IntroCalculo - Parte 1 - Mandolesi

(1)

Introdu¸

c˜

ao ao C´

alculo - Parte 1

Andr´

e Mandolesi

Curso de Ver˜

ao UFBA - Janeiro de 2013

1 N´

umeros Reais

1.1 O que ´

e N´

umero?

O conceito de n´umero evoluiu ao longo do tempo:

• para os antigos gregos os ´unicos n´umeros eram os naturais 1, 2, 3, 4, . . .

• embora usassem razões _mn entre naturais, estas eram vistas só como uma maneira de expressar propor¸cões e não como um novo tipo de número.

• após descobrirem que nenhuma razão _mn permitia comparar a diagonal com o lado de um quadrado, passaram a desconfiar dos números e se concentrar na geometria. • números irracionais (que não são razão) eram usados pelos árabes no séc. IX, mas

só se tornaram mais aceitos com o surgimento da nota¸cão decimal no séc. XVI. • até os séc. XVI e XVII muitos matemáticos não aceitavam o número 0, e o conceito

de número negativo foi considerado problemático até os séc. XVIII e XIX. • os números reais só vieram a ser definidos rigorosamente no séc. XIX.

• números complexos come¸cam a aparecer no séc. XVI, mas só são bem entendidos no séc. XIX. Hoje vemos que eles têm um papel simplificador em várias áreas da Matemática, além de serem fundamentais à descri¸cão F´ısica do mundo.

• a Matemática moderna usa vários outros tipos de número: hiper-reais (que incluem números infinitamente grandes ou pequenos), quatérnios (que generalizam os com-plexos), etc.

Nenhum tipo de número é mais “verdadeiro” que os outros, todos são conceitos abs-tratos, cada qual se adequando melhor a um tipo de situa¸cão. Para trabalhar com essa diversidade de op¸cões precisamos entender bem o que pode ou não ser feito com cada tipo de número. Por isso, o que se faz é identificar certas propriedades básicas que caracterizam cada tipo de número, e a partir destas deduzir quais outras são válidas.

Por vários motivos que serão compreendidos mais tarde, o conjunto numérico adequado para o estudo do Cálculo é o dos reais1_{. Come¸camos ent˜}_{ao caracterizando-os.}

1_tamb´_{em existe um C´}_{alculo com n´}_{umeros complexos, em muitos aspectos at´}_{e mais poderoso que o}

(2)

1.2 N´

umeros Reais

Os n´_{umeros reais formam um conjunto R com duas opera¸c˜oes b´asicas (+ e · ) e uma} rela¸c˜_{ao (≤), tal que as seguintes propriedades fundamentais valem para todos x, y, z ∈ R:}

1. Propriedades da Adi¸c˜ao:

(a) Associatividade: (x + y) + z = x + (y + z) (b) Comutatividade: x + y = y + x

(c) Existência de elemento neutro2: x + 0 = x (d) Existência de elemento oposto3: x + (−x) = 0 2. Propriedades da Multiplica¸cão:

(a) Associatividade: (xy)z = x(yz) (b) Comutatividade: xy = yx

(c) Existˆencia de elemento neutro4_{: 1 · x = x}

(d) Existˆencia de elemento inverso5_{: x · x}−1 _{= 1} _{(x 6= 0)}

3. Propriedade de Distributividade: x(y + z) = xy + xz 4. Propriedades de Ordenamento:

(a) Reflexividade: x ≤ x

(b) Totalidade: x ≤ y ou y ≤ x

(c) Anti-simetria: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (d) Transitividade: x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z

(e) Compatibilidade com a adi¸c˜ao: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z

(f) Compatibilidade com a multiplica¸c˜ao: x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz

5. Propriedade de Completude: todo subconjunto de R limitado superiormente tem um supremo.

Essa propriedade requer algumas explica¸cões. Se A ´_{e um subconjunto de R então:} • c ∈ R é uma cota superior de A se a ≤ c para todo a ∈ A.

• A é limitado superiormente se tiver alguma cota superior. • o supremo de A é a menor de suas cotas superiores. Ex: o supremo de A = {x ∈ R|2 < x < 5} é s = 5. Ex: o supremo de A = {q ∈ R|q ∈ Q, q2 _{< 2} ´}_e √_2.

2

de forma mais rigorosa: existe um elemento 0 ∈ R tal que x + 0 = x para todo x ∈ R.

3

para todo x ∈ R existe um elemento −x ∈ R tal que x + (−x) = 0.

4

existe um elemento 1 ∈ R tal que 1 · x = x para todo x ∈ R.

5

(3)

Embora essas propriedades pare¸cam óbvias, os reais são o único tipo de número que satisfaz todas elas. Por ex., nos naturais não há elemento oposto, nos inteiros não há inverso, nos complexos não há ordem, nos quatérnios a multiplica¸cão não comuta, etc.

O conjunto Q dos racionais satisfaz as condi¸cões 1–4 mas não é completo. Por ex., o subconjunto A = {q ∈ Q| q2 _{< 2} ´}_{e limitado superiormente mas n˜}_{ao tem supremo}

(racional). Embora as propriedades 1–4 permitam distribuir os n´umeros racionais ao longo de uma reta, a falta de completude faz com que existam pontos da reta que n˜ao correspondem a nenhum racional (como observado pelos gregos antigos).

A inclus˜ao da propriedade 5 permite “completar esses buracos” com novos n´umeros6_{, os}

irracionais, que junto com os racionais formam o conjunto R. Por isso podemos identificar os n´_{umeros reais com os pontos da reta, e falar na reta real R. A completude também é} essencial para que certos conceitos do Cálculo funcionem adequadamente.

Todas as outras propriedades dos números reais são consequência dessas fundamentais, como as seguintes, cuja demonstra¸cão deixamos como exerc´ıcio.

Proposi¸c˜_{ao 1.1. Para todos x, y, z ∈ R valem as seguintes rela¸c˜oes:} 1. x + z = y + z ⇔ x = y

2. se z 6= 0 ent˜ao xz = yz ⇔ x = y 3. x · 0 = 0

4. xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0

Proposi¸cão 1.2. As rela¸cões abaixo são v´_{alidas para todos x, y, z, v ∈ R:} 1. x + z < y + z ⇔ x < y

2. se x < z e y < v então x + y < z + v 3. se z > 0 então xz < yz ⇔ x < y 4. se z < 0 então xz < yz ⇔ x > y

5. se 0 < x < z e 0 < y < v ent˜ao 0 < xy < zv

6. se x, y forem ambos positivos ou ambos negativos ent˜ao x < y ⇔ 1_x > 1_y 7. se x, y > 0 ent˜ao x < y ⇔ x2 _{< y}2

8. se x, y < 0 ent˜ao x < y ⇔ x2 _{> y}2

Duas propriedades importantes, cuja demonstra¸cão envolve a completude e pode ser encontrada no Apêndice A do livro do Guidorizzi, são as seguintes:

Proposi¸c˜ao 1.3 (Propriedade dos Intervalos Encaixantes). Seja [a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃

[a2, b2] ⊃ . . . ⊃ [an, bn] ⊃ . . . uma sequˆencia de intervalos fechados, cada qual contido

no anterior, e tais que para todo c > 0 exista um n ∈ N tal que o comprimento de [an, bn] seja menor que c. Então existe um único número real que pertence a todos esses

intervalos.

Proposi¸c˜_{ao 1.4 (Propriedade de Arquimedes). Dados x, y ∈ R, com x > 0, existe n ∈ N} tal que nx > y.

(4)

1.3 Rigor Matem´

atico

Vamos demonstrar detalhadamente uma das propriedades da Proposi¸c˜ao 1.1. Proposi¸c˜_{ao 1.5. Dados x, y, z ∈ R, se xz = yz e z 6= 0 ent˜ao x = y.}

Prova. Como z 6= 0, por (1d) existe o inverso z−1. Multiplicando ambos os termos da equa¸cão xz = yz por z−1 obtemos (xz)z−1 = (yz)z−1, o que por (2a) equivale a x(zz−1) = y(zz−1). Como por (1d) zz−1 = 1 então x · 1 = y · 1. Usando (2b) podemos trocar a ordem, 1 · x = 1 · y, e (2c) então resulta x = y.

`

A primeira vista pode parecer que usamos uma sequência de obviedades para concluir algo que já estávamos cansados de saber. Mas a importância de fazer demonstra¸cões é que, além de exercitar a capacidade de racioc´ınio formal, elas ajudam a perceber porque algo é válido, e ainda mais importante: quando não é válido!

Muitos alunos, ao se depararem com algo do tipo cx = 4c (c ∈ R), concluem apres-sadamente que x = 4. Mas a demonstra¸cão acima mostra que esse tipo de cancelamento envolve uma multiplica¸cão por c−1, que não existe se c = 0. Se esse for o caso então todo x ∈ R seria solu¸cão dessa equa¸cão, e não apenas x = 4.

Outro exemplo da importância de se prestar aten¸cão nesses detalhes. Para resolver a equa¸cão

x2− 4

2 − x = 2 (1)

podemos multiplicar os dois lados por 2 − x, o que ap´os simplificar resulta em

x2− 4 = 4 − 2x (2)

Somando 2x − 4 dos dois lado e simplificando obtemos

x2+ 2x − 8 = 0 (3)

cujas solu¸c˜oes s˜ao

x = −4 ou x = 2.

Mas substituindo esses valores em (1) vemos que apenas x = −4 é uma solu¸cão correta. O que está acontecendo? Detalhando mais as opera¸cões feitas para ir de (1) até (3) pode-se verificar que todas elas estão corretas, podendo ser justificadas por meio das propriedades dos números reais. Logo toda solu¸cão de (1) será solu¸cão de (3).

Mas isso não significa que toda solu¸cão de (3) também seja solu¸cão de (1). Para isso (3) deveria implicar (1). Partindo de (3) poder´ıamos tentar desfazer as opera¸cões até voltar a (1), mas na passagem de (2) para (1) isso envolveria dividir por 2 − x, o que não ´

e uma opera¸c˜ao v´alida justamente quando x = 2.

Esperamos que esses exemplos sirvam para convencer o aluno de que em Matem´atica ´

e necessário estar atento a cada detalhe e saber justificar cada passagem. A maioria dos erros vem justamente de minúcias que à primeira vista pareciam insignificantes. Esse tipo de cuidado exige no in´ıcio um grande esfor¸co de aten¸cão, mas com um pouco de prática se torna mais fácil e natural, e o resultado é compensador. A lista de exerc´ıcios inclui vários exemplos nos quais pequenos descuidos levam a respostas erradas. Quando isso ocorrer, recomendamos que o aluno tente primeiro identificar em qual passagem do seu cálculo está o erro, para só então tentar chegar à resposta correta.

(5)

2 M´

odulo

Defini¸cão 2.1 (Módulo ou Valor Absoluto). O m´_{odulo de x ∈ R é definido por}

|x| = (

x se x ≥ 0 −x se x < 0 Proposi¸c˜_{ao 2.2. Para todos x, y ∈ R valem}

a) |x| ≥ 0 b) |x| = | − x| c) |x|2 = x2 d) se y > 0 ent˜ao |x| = y ⇔ x = ±y e) |x| = |y| ⇔ x = ±y f ) |xy| = |x| · |y| g) se y > 0 ent˜ao |x| < y ⇔ −y < x < y

h) |x + y| ≤ |x| + |y| (essa ´e a Desigualdade Triangular)

i) |x + y| = |x| + |y| ⇔ x, y s˜ao ambos positivos ou ambos negativos.

3 Potˆ

encias e Ra´ızes

Defini¸c˜ao 3.1 (Potˆ_{encias inteiras). Para x ∈ R e n ∈ N}∗ = {1, 2, 3, . . .} definimos: • xn _{= x · x · . . . · x} _{(n vezes)}

• x0 _{= 1} _{(x 6= 0, pois 0}0 _n˜_{ao est´}_{a definido)}

• x−n= 1

xn (x 6= 0, por causa do denominador)

Defini¸c˜_{ao 3.2 (Ra´ızes). Para x ∈ R e n ∈ N}∗ definimos:

• se x ≥ 0, ent˜ao √n_{x = y, onde y ´}_{e o ´}_{unico real positivo tal que y}n_{= x.}

• se x < 0 e n for ´ımpar, ent˜ao √n_{x = y, onde y ´}_{e o ´}_{unico real negativo tal que y}n _{= x.}

• se x < 0 e n for par, ent˜ao √n_{x n˜}_{ao existe (nos n´}_{umeros reais).}

Defini¸c˜ao 3.3 (Potˆ_{encia racional). Para x ∈ R}+ _{= {reais positivos}, n ∈ N}∗ _{e m ∈ Z} definimos:

• xmn = n

√ xm

(6)

Observa¸c˜oes:

i. na defini¸cão das ra´ızes, a propriedade de completude dos reais é necessária para garantir a existência de um y tal que yn_{= x.}

ii. a defini¸cão de potência racional é restrita a x positivo para evitar que ambiguidades levem a erros do tipo −2 = (−8)13 = (−8)

2

6 =p(−8)6 2 = 2.

iii. também é poss´ıvel definir potências com expoente irracional (requer completude).

Proposi¸c˜_{ao 3.4. Para todos x ∈ R e n ∈ N valem:} (a) (√n_x)n ( = x se x ≥ 0 ou se n for ´ımpar @ se x < 0 e n for par (b) √n xn ₌ ( |x| se n for par x se n for ´ımpar

Proposi¸c˜_{ao 3.5. Para todos x, y ∈ R}+_{, n, m ∈ N}∗_{, p ∈ Z e r, s ∈ R valem} (a) √n xp _{= (}√n_x)p (b) √n x · √n_{y =} √n_xy (c) pn _m√ x = nm√_x (d) mn√ xmp ₌ √n xp (e) (xy)r = xr· yr (f ) xr· xs_{= x}r+s (g) x r xs = x r−s (h) xrs = xrs

Aten¸c˜ao! Cuidado com os seguintes erros comuns: √

4 6= ±2

(x + y)r _{6= x}r_{+ y}r

√

(7)

4 Fun¸

c˜

oes

Uma fun¸cão f : D → C entre dois conjuntos D e C é uma regra que associa a cada elemento x de D um único elemento y de C, sendo que nesse caso escrevemos f (x) = y e dizemos que y é o valor de f em x. D é chamado de dom´ınio da fun¸cão, e C é seu contradom´ınio.

Neste curso de Cálculo estaremos interessados principalmente em fun¸cões reais de uma variável real, o que significa que D e C s˜_{ao subconjuntos de R. Quando estes não forem} especificados, entende-se que C = R e D é o conjunto de todos os pontos de R nos quais a regra de f fa¸ca sentido.

O gráfico de f é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano nos quais y = f (x). Nas próximas se¸cões serão apresentados vários exemplos de fun¸cões e seus gráficos, e recomendamos que se dê uma rápida olhada nelas antes de prosseguir a leitura. Para cada fun¸cão, deve-se come¸car a dar aten¸cão às seguintes propriedades importantes. 1) Dom´ınio

Como foi dito, a menos que seja especificada alguma restri¸cão extra, o dom´ınio é o conjunto de todos os valores de x para os quais f (x) existe. É importante conhecê-lo pois pontos fora do dom´ınio são um tipo de descontinuidade da fun¸cão, tendo várias consequências no Cálculo.

Se f (x) for dada por uma fórmula, um certo x não irá pertencer ao dom´ınio se for imposs´ıvel calculá-la com esse valor. Problemas comuns são um denominador dar 0, o argumento de uma raiz par dar negativo, o de um logaritmo dar 0 ou negativo, etc. Para determinar o dom´ınio deve-se analisar tudo que pode dar errado na fórmula, e achar todos os valores de x nos quais isso ocorre.

Ex: o dom´ınio de f (x) = √

x − 2

5 − x ´e D = {x ∈ R|x ≥ 2 e x 6= 5}.

Graficamente, um certo ponto x do eixo das abscissas não estará no dom´ınio se não houver nenhum ponto do gráfico na reta vertical que passa por x. Assim, o dom´ınio corresponde à proje¸cão do gráfico de f sobre o eixo x.

2) Imagem

A imagem de f ´e o conjunto de todos os valores y do contradom´ınio para os quais exista algum x do dom´ınio no qual f (x) = y.

Graficamente, um ponto y do eixo das ordenadas estará na imagem se a reta horizontal que passa por y interceptar o gráfico. Assim, a imagem corresponde à proje¸cão do gráfico de f sobre o eixo y.

Nem sempre é fácil achar a imagem por meio da fórmula, pois é preciso determinar todos os valores de y para os quais a equa¸cão f (x) = y tenha alguma solu¸cão x. Por outro lado, se a imagem for conhecida isso permite saber quando uma equa¸cão da forma f (x) = c terá solu¸cão.

Ex: a imagem de f (x) = x2 _´_{e I = {y ∈ R|y ≥ 0}, o que significa que uma equa¸c˜ao do}

tipo x2 _{= c ter´}_{a solu¸c˜}_{ao se e somente se c ≥ 0.}

(8)

Uma fun¸cão f é sobrejetiva7 se sua imagem for todo o contradom´ınio. Nesse caso uma equa¸cão da forma f (x) = c sempre terá solu¸cão (para todo c no contradom´ınio). Ex: f (x) = tan x é sobrejetiva, e tan x = c tem solu¸c˜_{ao para todo c ∈ R.}

Ex: f (x) = x2 _n˜_{ao ´}_{e sobrejetiva, pois x}2 _{= −4 n˜}_{ao tem solu¸c˜}_{ao (real).}

A fun¸c˜ao f ´e injetiva8 _{se ao ser calculada em pontos distintos der sempre resultados}

diferentes,

x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2),

ou, equivalentemente, se a ´unica maneira de dar valores iguais ´e se os pontos forem os mesmos,

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

Graficamente, isso significa que nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico em mais de 1 ponto. Em termos de equa¸cões, significa que sempre que f estiver aplicada em ambos os lados de uma equa¸cão ela pode ser eliminada. Também significa que sempre que uma equa¸cão do tipo f (x) = c tiver solu¸cão esta será única.

Ex: f (x) = 2x _´_{e injetiva, logo nenhuma equa¸c˜}_{ao da forma 2}x _{= c ter´}_{a mais que uma}

solu¸cão (pode não ter nenhuma). Além disso, uma equa¸cão como 2x−1 _{= 2}8−2x _pode

ser simplificada para x − 1 = 8 − 2x.

Ex: f (x) = sen x não é injetiva, pois sen x = 0 tem várias solu¸cões, e a equa¸cão sen(3x) = sen(x + π) não garante que 3x = x + π.

E uma fun¸c˜ao f ´e bijetiva9 _{se for injetiva e sobrejetiva. Graficamente isso significa}

que toda reta horizontal intercepta o gráfico em exatamente 1 ponto. E toda equa¸cão f (x) = c terá exatamente uma solu¸cão.

Ex: f (x) = log₂x é bijetiva, logo qualquer equa¸cão log₂x = c terá uma solu¸cão única. 4) Fun¸cão Inversa

Dizemos que f : A → B e g : B → A s˜ao fun¸c˜oes inversas se

f (x) = y ⇔ x = g(y), (4)

ou, equivalentemente, se para todos x ∈ A e y ∈ B valer

g(f (x)) = x e f (g(y)) = y. (5)

A fun¸cão inversa de f é representada como f−1, não devendo ser confundida com 1 f. Ex: f (x) = x3 _{e f}−1_{(x) =}√3_{x s˜}_{ao inversas pois x}3 _{= y ⇔ x =} √3 _{y, ou tamb´}_{em porque}

3

√

x3 _{= x e (}√3 _x)3 _{= x.}

A condi¸cão (4) significa que (x, y) é um ponto do gráfico de f se e somente se (y, x) for do gráfico de f−1, de modo que o gráfico de f−1 é o reflexo do de f pela diagonal y = x. Compare por exemplo os gráficos de x3 e √3 _{x na se¸c˜}_{ao 4.1, e tente identificar}

graficamente outros pares de inversas.

7_{ou sobrejetora, ou uma sobreje¸c˜}_ao. 8_{ou injetora, ou uma inje¸}_c˜_ao. 9_{ou bijetora, ou uma bije¸}_c˜_ao

(9)

A condi¸cão (5) indica que se f e f−1 forem aplicadas uma na outra elas se cancelam, deixando o argumento. Isso é útil na resolu¸cão de equa¸cões, pois se f estiver aplicada em um dos lados de uma equa¸cão (ou em ambos), é poss´ıvel eliminá-la aplicando f−1 em ambos os lados.

Ex: (x + 2)3 _{= (6 − x)}3 _⇒ p(x + 2)3 3 ₌p(6 − x)3 3 _{⇒ x + 2 = 6 − x.}

Ex: √3

x − 1 = 2 ⇒ (√3

x − 1)3 _{= 2}3 _{⇒ x − 1 = 2}3_.

Infelizmente nem toda fun¸cão tem inversa. Ela precisa ser bijetiva, pois a condi¸cão (4) mostra que, dado y ∈ B, para definir f−1(y) é preciso que haja algum x ∈ A tal que f (x) = y (ou seja, f deve ser sobrejetiva), e esse x deve ser único (ou seja, f deve ser injetiva) para que se possa definir f−1(y) = x sem ambiguidade.

Se f não for sobrejetiva, isso é facilmente remediado reduzindo o contradom´ınio à sua imagem. Nesse caso a inversa terá seu dom´ınio igualmente reduzido.

Ex: a imagem de f (x) = 2x _´_{e R}+_{, que ser´}_{a o dom´ınio de sua inversa f}−1_{(x) = log} 2x.

Se f não for injetiva ainda é poss´ıvel obter uma inversa parcial, correspondente à restri¸cão de f a algum subconjunto A0 do seu dom´ınio no qual ela seja injetiva. Nesse caso é preciso certo cuidado, pois f−1(f (x)) = x somente para x ∈ A0.

Ex: f (x) = x2 não tem inversa pois não é injetiva. Mas restrita a {x ≥ 0} ela fica injetiva, e a inversa de x2 _{(x ≥ 0) ´}_{e f}−1_{(x) =} √_{x. Embora} √_x2 _{= x para todo x ≥ 0,}

o mesmo n˜ao vale para x < 0, pois p(−3)2 ₌√_{9 = +3.}

Listamos alguns pares de inversas importantes, que veremos adiante: • n ´ımpar: xn _e √n_x • n par: xn _{(x ≥ 0) e} √n_x • bx _{e log} bx • exp x e ln x • sen x (−π 2 ≤ x ≤ π 2) e sen −1 x • cos x (0 ≤ x ≤ π) e cos−1_x 5) Simetria

Dizemos que f tem

(i) simetria par se f (−x) = f (x), ou seja, se um sinal negativo dentro dela puder ser eliminado;

(ii) simetria ´ımpar se f (−x) = −f (x), ou seja, se um sinal negativo dentro dela puder ser passado para fora.

Ex: f (x) = x2 _{tem simetria par pois (−x)}2 _{= x}2_.

Ex: f (x) = x3 _{tem simetria par pois (−x)}3 _{= −x}3_.

Ex: f (x) = 2x não tem simetria nenhuma, pois 2−x não é igual a 2x nem a −2x. Como os pontos x e −x são simétricos em rela¸cão ao eixo y, o gráfico de uma fun¸cão par será simétrico em rela¸cão a esse eixo.

Já o gráfico de uma fun¸cão ´ımpar é simétrico em rela¸cão à origem, o que quer dizer que refletindo qualquer um de seus pontos pelo eixo y e depois pelo eixo x obtemos outro ponto do gráfico.

(10)

Tente identificar nos gráficos das próximas se¸cões quais fun¸cões são pares ou ´ımpares, e expresse isso em termos do que acontece com sinais colocados em seus argumentos. 6) Periodicidade

Dizemos que f é peri´_{odica se existir algum T ∈ R tal que f (x + T ) = f (x) para todo} x em seu dom´ınio. Claro que se essa rela¸cão vale para T então também irá valer para seus múltiplos. O menor T > 0 para o qual isso vale é chamado de per´ıodo de f . Ex: sen x tem per´ıdo 2π, pois sen(x + k · 2π) = sen x para todos x ∈ R, k ∈ Z. O gráfico de uma fun¸cão periódica se repete a cada intervalo de comprimento T . 7) Crescimento

Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´e:

(i) crescente se x > y ⇒ f (x) ≥ f (y) (ii) decrescente se x > y ⇒ f (x) ≤ f (y)

(iii) estritamente crescente se x > y ⇒ f (x) > f (y) (iv) estritamente decrescente se x > y ⇒ f (x) < f (y)

O gráfico de uma fun¸cão crescente sobe (ou fica constante) à medida que x aumenta (ou seja, da esquerda pra direita), e o de uma fun¸cão decrescente desce (ou fica cons-tante). Se for estritamente crescente ou decrescente ele só sobe ou só desce (sem ficar constante).

Ex: f (x) = x3 ´e estritamente crescente, pois x > y ⇒ x3 > y3. Ex: f (x) = −x ´e estritamente decrescente, pois x > y ⇒ −x < −y.

Conhecer o tipo de crescimento de uma fun¸cão é útil na resolu¸cão de inequa¸cões. A aplica¸cão de uma fun¸cão estritamente crescente em ambos os lados de uma inequa¸cão preserva a desigualdade, enquanto uma estritamente decrescente inverte a desigual-dade. Se for só crescente, um > pode se tornar ≥ por exemplo.

Ex: √3

x − 1 < 2 ⇒ x − 1 < 23 Ex: −x − 2 < 5 ⇒ x + 2 > −5

Muitas fun¸cões são crescentes em alguns intervalos e decrescentes em outros. Nesse caso a regra acima só se aplica se os valores de ambos os lados da inequa¸cão estiverem em um mesmo intervalo de crescimento ou decrescimento.

Ex: f (x) = x2é estritamente decrescente no intervalo (−∞, 0], e estritamente crescente em [0, ∞). Logo x < −3 ⇒ x2 > 9 (pois x e −3 estão ambos no intervalo (−∞, 0]), mas de x > −3 não se pode concluir nada sobre x2 _{(pois neste caso x pode estar em}

qualquer um dos intervalos). Ex: f (x) = 1

x ´e estritamente decrescente no intervalo (−∞, 0), e novamente no

inter-valo (0, ∞). Logo para resolver a inequa¸cão _x−11 > 1₂ temos que analisar dois casos: • se x > 1 então os dois lados estão em (0, ∞), e aplicando 1_x em ambos a

desigual-dade se inverte, dando x − 1 < 2. Logo neste caso a solu¸c˜ao ´e 1 < x < 3;

• se x < 1 cada lado estará em um intervalo diferente, e seria errado aplicar a fun¸cão pois não saber´ıamos o que acontece com a desigualdade. Mas como o lado esquerdo será negativo, não tem como ser maior que 1₂, ou seja, não há solu¸cão.

(11)

4.1 Gr´

aficos de Algumas Fun¸

c˜

oes Importantes

1) Fun¸c˜oes Constantes: f (x) = c _{(c ∈ R)} 2) Fun¸c˜ao Identidade: f (x) = x

3) Fun¸c˜ao M´odulo: f (x) = |x|

4) Fun¸c˜oes do 1o _{grau: f (x) = ax + b} _{(a, b ∈ R, a 6= 0) T}

5) Fun¸c˜oes do 2o grau: f (x) = ax2+ bx + c _{(a, b, c ∈ R, a 6= 0)}

6) Polinˆomios: f (x) = anxn+ . . . + a2x2+ a1x + a0 (n ∈ N, a0, a1, . . . , an ∈ R)

(12)

(13)

4.2 Opera¸

c˜

oes com Gr´

aficos

Conhecendo o gráfico de uma fun¸cão f (x), pode-se deduzir o de outra parecida por meio das seguintes opera¸cões. Dada uma constante c, para obter o gráfico de

(i) g(x) = f (x) + c basta deslocar o gr´afico de f em |c| unidades para cima (se c > 0) ou para baixo (se c < 0).

(ii) g(x) = f (x + c) basta deslocar o gr´afico de f em |c| unidades pra esquerda (se c > 0) ou pra direita (se c < 0).

(iii) g(x) = c · f (x) basta ampliar (se c > 1) ou contrair (se 0 < c < 1) o gr´afico de f por um fator c na vertical, a partir do eixo x.

(iv) g(x) = f (c · x) basta contrair (se c > 1) ou ampliar (se 0 < c < 1) o gr´afico de f por um fator c na horizontal, a partir do eixo y.

(v) g(x) = −f (x) basta refletir o gráfico de f em rela¸cão ao eixo x. (vi) g(x) = f (−x) basta refletir o gráfico de f em rela¸cão ao eixo y.

Tente entender o porquê dessas opera¸cões, em especial porque quando c é somado ou multiplicado à váriavel x o efeito é o oposto do que se poderia imaginar.

(14)

5 Exponenciais

Defini¸c˜ao 5.1. Dado 0 1, definimos a fun¸c˜ao exponencial de base b como sendo f : R → R,

f (x) = bx.

Obs: bases negativas não são usadas por darem problema com x racional, e as bases 0 ou 1 não interessam pois dariam fun¸cões constantes. Note que se 0 1 como no exemplo 1₂x = 2−x.

Essas fun¸cões têm as propriedades usuais de potências, e pode-se provar que: (a) seu dom´ınio ´_{e R e a imagem é R}+_.

(b) se b > 1 a fun¸c˜ao ´e crescente: x < y ⇒ bx < by. (c) se 0 b}y_.

(d) ´e injetiva: bx = by ⇒ x = y.

Uma base importante para o Cálculo é o número neperiano e = 2, 71828... Nesse caso a fun¸cão pode ser representada com a nota¸cão

exp x = ex

e chamada simplesmente de fun¸cão exponencial (sem precisar especificar a base). Reescrevendo as propriedades de potências nessa nota¸cão, obtemos:

Proposi¸c˜_{ao 5.2. Para todos x, y ∈ R valem:} (a) exp 0 = 1

(b) exp x > 0

(c) exp(x + y) = exp x · exp y (d) exp(x − y) = exp x_{exp y}

(15)

6 Logaritmos

Defini¸cão 6.1. Dado 0 1, para cada x > 0 há um único10 _{y ∈ R tal que}

by _{= x. Definimos o logaritmo de x na base b, log}

bx, como sendo tal y. Ou seja,

log_bx = y ⇔ by = x.

A partir dessa defini¸cão e das propriedades das exponenciais, prova-se o seguinte. Proposi¸cão 6.2. Dado 0 1, as seguintes rela¸cões valem para todos x, y ∈ R+_{, z ∈ R, e 0 < c < 1 ou c > 1:}

(a) log_b1 = 0 (b) log_bb = 1 (c) log_b(bz) = z (d) blogbx _{= x}

(e) log_b(xy) = log_bx + log_by

(f ) log_b(x_y) = log_bx − log_by (g) log_b(xz_{) = z · log} bx (h) log_bx = logcx log_cb (i) log1 b x = − logbx = logb( 1 x)

Essa ´ultima propriedade permite, se preciso, expressar o caso 0 1, como no exemplo log1

2 x = − log2x.

Se a base for e = 2, 71828... temos o logaritmo natural, denotado por ln x = log_ex.

Reescrevendo as propriedades acima nessa nota¸c˜_{ao temos, para todos x, y ∈ R}+_{, z ∈ R,}

e 0 < c < 1 ou c > 1: (a) ln 1 = 0 (b) ln e = 1 (c) ln(exp z) = z (d) exp(ln x) = x (e) ln(xy) = ln x + ln y (f) ln(x_y) = ln x − ln y (g) ln(xz_{) = z · ln x} (h) ln x = logcx logce (i) log_cx = ln x_{ln e}

Defini¸c˜ao 6.3. Dado 0 1, definimos a fun¸c˜ao logaritmo de base b como sendo f : R+ _{→ R,}

f (x) = log_bx. Essa fun¸c˜ao tem as seguintes propriedades: (a) o dom´ınio ´_{e R}+ _{e a imagem ´}_{e R.}

(b) se b > 1 a fun¸c˜ao ´e crescente: x < y ⇒ log_bx < log_by. (c) se 0 log_by. (d) injetiva: log_bx = log_by ⇒ x = y.

10_{a existˆ}_{encia e unicidade de tal y ´}_{e consequˆ}_{encia da imagem e injetividade das exponenciais, por isso}

(16)

(e) log_bx ´e a fun¸c˜ao inversa de bx.

Note que ln x ´e fun¸c˜ao inversa de exp x, ou seja, ln x = y ⇔ x = exp y.

Compare o gr´afico das fun¸coes logar´ıtmicas com o das exponenciais:

Aten¸cão: em diferentes situa¸cões, log x (sem base) costuma ser usado para representar log₁₀x, log₂x ou ln x. No gráfico acima, ele representa este último.

(17)

7 Trigonometria

7.1 Angulos

ˆ

A medida de ângulos em graus, embora simples, é matematicamente bem artificial. A idéia de dividir uma volta completa de um c´ırculo em 360 partes iguais e chamar cada uma de 1 grau vem desde a antiga Babilônia, mas qualquer outro número de divisões poderia ter sido escolhido11.

No Cálculo é importante usar outra unidade de medida, o radiano (rad), que reflete melhor a geometria do c´ırculo. Várias fórmulas do Cálculo só valem se os ângulos estiverem em radianos, precisando ser alteradas se forem usados graus.

Defini¸cão 7.1. Seja x um ângulo central em um c´ırculo de raio r, e seja c o comprimento do arco subtendido por esse ângulo. A medida em radianos12 _{de x ´}_{e definida como sendo:}

x = c r

Defini¸cão 7.2. O número π é definido como sendo a razão13 entre o comprimento C de uma circunferência e seu diâmetro:

π = C d =

C 2r

Combinando essas defini¸cões, temos que a medida angular de uma volta completa no c´ırculo é de 2π radianos. E usando propor¸cões obtemos a seguinte correspondência:

ˆ angulo em graus x 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦ ˆ angulo em radianos x · π 180 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3π 2 2π

Será útil ter ângulos correspondendo a qualquer valor real, não apenas entre 0 e 2π. Para isso convencionamos que ângulos maiores que 2π representam uma ou mais voltas completas no c´ırculo (ou seja, 25π₄ = 3 · 2π +π₄ equivale a 3 voltas completas mais π₄ rad). E que ângulos positivos representam deslocamentos no sentido anti-horário no c´ırculo, e ˆ

angulos negativos s˜ao deslocamentos no sentido hor´ario.

11_{acredita-se que 360 foi escolhido por ter v´}_{arios divisores, algo pr´}_{atico em uma ´}_{epoca sem calculadoras,}

e por ser próximo do número de dias do ano, o que era útil na astronomia.

12_{na verdade, por ser uma raz˜}_{ao entre dois comprimentos, a medida de x ´}_{e adimensional, e a unidade}

rad só é necessária para indicar que estão sendo usado radianos e não graus.

13_s´_{o no s´}_{ec. XVIII se provou que π ´}_{e irracional, encerrando mais de 2000 anos de busca por uma fra¸}_c˜_ao

(18)

7.2 Fun¸

c˜

oes trigonom´

etricas

Vamos definir as fun¸cões trigonométricas por meio do ciclo trigonométrico:

Defini¸cão 7.3. No c´ırculo de raio 1 centrado na origem, seja P o ponto correspondente ao deslocamento por um ângulo x a partir do ponto (1, 0). Definimos para o ângulo x:

• seno: sen x = ordenada do ponto P • cosseno: cos x = abscissa do ponto P • tangente: tan x = sen x

cos x • cotangente: cot x = 1 tan x = cos x sen x • secante: sec x = 1 cos x • cossecante: csc x = 1 sen x

Obs: claro que só estão definidas para ângulos em que o denominador não se anule. Por semelhan¸ca de triângulos, tan x corresponde ao valor em que a reta OP intercepta um eixo auxiliar (azul na figura), paralelo ao das ordenadas pelo ponto (1, 0). Tente obter interpreta¸cões geométricas para as outras fun¸cões também.

Também por semelhan¸ca, pode-se ver que em qualquer triângulo retângulo valem as seguintes rela¸cões:

sen x = c.o. h. cos x = c.a. h. tan x = c.o. c.a.

(19)

Seguem os gráficos das fun¸cões trigonométricas. Tente entender as propriedades exi-bidas neles (dom´ınio, imagem, crescimento, periodicidade, simetria, etc.) em termos do ciclo trigonométrico e das defini¸cões acima.

(20)

Os valores dessas fun¸c˜oes para x = 0,π₂, π, 3π₂ e 2π podem ser vistos diretamente no ciclo trigonom´etrico. Com um pouco de geometria14_{, pode-se obter ainda os valores para}

os seguintes ˆangulos importantes:

sen x cos x tan x π 6 1 2 √ 3 2 √ 3 3 π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 π 3 √ 3 2 1 2 √ 3

Também através de geometria se demonstram as seguintes identidades. Proposi¸c˜_{ao 7.4. Para todos x, y ∈ R valem as seguintes rela¸cões:}

(a) sen2_{x + cos}2_{x = 1} _{(Identidade Trigonom´}_{etrica Fundamental)}

(b) sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x (c) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y

E a partir dessas é poss´ıvel obter dezenas de outras identidades úteis, como as seguin-tes, cuja demonstra¸cão é deixada como exerc´ıcio.

Proposi¸c˜_{ao 7.5. Para todos x, y ∈ R valem as seguintes rela¸c˜oes:} (a) 1 + tan2_{x = sec}2_x

(b) sen(π

2 − x) = cos x

(c) cos(π − x) = − cos x (d) sen 2x = 2 sen x cos x (e) cos 2x = cos2_{x − sen}2_x

(f ) sen2x = 1 − cos 2x 2 (g) cos2x = 1 + cos 2x 2 (h) senx 2 = ± r 1 − cos x 2 (i) cosx 2 = ± r 1 + cos x 2

(j) sen x cos y = sen(x − y) + sen(x + y) 2

(k) cos x cos y = cos(x − y) + cos(x + y) 2

(l) sen x sen y = cos(x − y) − cos(x + y) 2

Obs: a primeira obviamente s´o vale para ˆangulos em que tan x e sec x existam.

14_para π 6 e

π

3 basta usar metade de um triˆangulo equil´atero, e para π

(21)

8 Fun¸

c˜

oes Trigonom´

etricas Inversas

Como as fun¸cões trigonométricas não são injetivas elas não têm inversas. Mas isso pode ser remediado restringindo-as a intervalos apropriados.

Defini¸cão 8.1. Definimos as fun¸cões trigonométricas inversas por: • sen−1_{x = y} _⇔ _{x = sen y e −}π 2 ≤ y ≤ π 2 • cos−1_{x = y} _⇔ _{x = cos y e 0 ≤ y ≤ π} • tan−1_{x = y} _⇔ _{x = tan y e −}π 2 < y < π 2 • cot−1_{x = y} _⇔ _{x = cot y e 0 < y < π} • sec−1_{x = y} _⇔ _{x = sec y e 0 ≤ y ≤ π} • csc−1_{x = y} _⇔ _{x = csc y e −}π 2 ≤ y ≤ π 2

Obs: elas também são chamadas de arco-seno (arcsen x), arco-cosseno (arccos x), etc. Aten¸cão: não confunda sen−1x, a fun¸cão inversa do seno, com (sen x)−1 = 1

sen x. Os gráficos dessas fun¸cões são os seguintes, compare-os com os das trigonométricas correspondentes.

(22)

A partir das identidades trigonométricas é poss´ıvel obter várias rela¸cões para essas inversas, como por exemplo:

(a) cos−1x = π₂ − sen−1_x

(b) sen−1(−x) = − sen−1x (c) cos−1(−x) = π − cos−1x (d) sen(sen−1x) = x

(e) sen−1(sen x) = x se −π₂ ≤ x ≤ π 2

(f) cos(cos−1x) = x

(g) cos−1(cos x) = x se 0 ≤ x ≤ π (h) cos(sen−1x) =√1 − x2

(23)

9 Fun¸

c˜

oes Hiperb´

olicas

Do mesmo modo que as fun¸cões trigonométricas estão ligadas à geometria do c´ırculo, há um grupo de fun¸cões relacionadas à geometria da hipérbole.

Ao invés de ser um ângulo, aqui x é o dobro da área delimitada pelo segmento OP , a hipérbole e o eixo das abscissas, com sinal negatico caso P esteja abaixo do eixo. Com as ferramentas do Cálculo será poss´ıvel calcular essa área curva, mas enquanto isso adotamos outra defini¸cão equivalente.

Defini¸cão 9.1. As fun¸cões hiperbólicas são definidas por: • Seno hiperbólico: senh x = e

x_{− e}−x

2 • Cosseno hiperb´olico: cosh x = e

x_{+ e}−x

2 • Tangente hiperb´olica: tanh x = senh x

cosh x =

ex− e−x

ex_{+ e}−x

• Cotangente hiperb´olica: coth x = cosh x senh x =

ex+ e−x ex_{− e}−x

• Secante hiperb´olica: sech x = 1 cosh x • Cossecante hiperb´olica: csch x = 1

senh x

Ao contrário das trigonométricas, essas fun¸cões não são periódicas. Ainda assim elas têm várias propriedades semelhantes, como por exemplo:

(a) cosh2x − senh2x = 1 (b) 1 − tanh2x = sech2x (c) senh(−x) = − senh x (d) cosh(−x) = cosh x

(e) senh(x ± y) = senh x cosh y ± senh y cosh x (f) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y (g) senh 2x = 2 senh x cosh x

(24)

Não é coincidência que essas combina¸cões de exponenciais tenham propriedades tão parecidas com as trigonométricas: com os números complexos descobre-se que ex _est´_a

relacionada com sen x e cos x.

(25)

Introdu¸

c˜

ao ao C´

alculo - Parte 1

Andr´

e Mandolesi

Curso de Ver˜

ao UFBA - Janeiro de 2013

Exerc´ıcios

1) Demonstre as rela¸cões da Proposi¸cão 1.1 (embora elas pare¸cam óbvias, tente provar usando apenas as propriedades fundamentais dos números reais ou as já demonstradas.) 2) Prove as rela¸cões da Proposi¸cão 1.2. Obs: a maioria delas continua válida se > e < forem trocados por ≥ e ≤. Verifique onde isso não ocorre, e porque a demonstra¸cão falha nesse caso.

3) Usando as defini¸cões de ra´ızes e de potência racional, e propriedades já conhecidas de potências com expoente inteiro, demonstre as seguintes propriedades para todos x, y ∈ R+, m, n ∈ N∗ e p, q ∈ Z: (a) √n xp _{= (}√n_x)p (b) √n x · √n_{y =} √n_xy (c) pn m√_{x =} nm√_x (d) mn√ xmp₌ √n xp (e) (xy)mp = x p m · y p m (f) xmp · x q n = x p m+ q n (g) x p m xnq = xmp− q n (h) xmp q n _{= x}_mp·_nq

4) Estude o sinal de: (a) x + 5 (b) 9 − x2 (c) x2+ x − 2 (d) (3 − x) · (x2_{+ x)} (e) 2x2_{− x}4 (f) x 2_{− 4} x + 1 (g) x 2_{− 2x + 1} x − x2_{− 1} (h) 3x −6x 2_{+ 5} 2x + 1 (i) x3·√x + 2 (j) x 5_{+ x} √ 1 − x2

5) Resolva as inequa¸c˜oes: (a) 3x + 5 > x + 6 (b) x2_{− 2 ≤ x + 4} (c) x3 > 3x (d) x − 1 < x2− x (e) 1 −_x1 < x − 1 (f) 3x + 1 x2_{− 1} ≥ −1

6) Prove as rela¸cões da Proposi¸cão 2.2 (usando a defini¸cão formal de módulo). 7) Resolva:

(26)

(a) |2x − 3| = 5 (b) |x − 4| = −2 (c) |x| = 2x + 1 (d) |x| = |2x + 1| (e) |x + 1| + |x − 3| = 4 (f) (x − 1)2 _{= x}2 (g) |x| < 5 (h) |3x − 1| ≥ 2 8) Demonstre as rela¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 6.2.

9) Calcule: (a) 843 (b) (√3)5 (c) √3 58 (d) cos(2π₃ ) (e) sen(−5π₄ ) (f) tan(7π₆ ) (g) sec(7π) (h) log₂24 − log₂3 (i) 34 log32 (j) log1 5 25 (k) log₄√2 (l) 6 8+log62 29_{· 3}6

10) Para cada tipo de fun¸cão apresentada na apostila, estime com base no gráfico o que é pedido abaixo, e tente justificar sua resposta com o que você conhece sobre essas fun¸cões:

(a) Dom´ınio e imagem.

(b) Se ´e sobrejetiva, injetiva, bijetiva. (c) Simetria, se houver.

(d) Per´ıodo, se houver.

(e) Intervalos de crescimento e decrescimento.

11) Esboce o gráfico das fun¸cões abaixo, com o máximo de detalhes que puder: (a) f (x) = 1 x − 2− 1 (b) g(x) = 1 +√x + 2 (c) f (x) = −3 cos x (d) h(x) = 1 + sen 4x (e) p(x) = 1 − 3−x (f) f (x) = log₂−x 2

12) Determine o dom´ınio das fun¸c˜oes abaixo: (a) f (x) = x 2_{− x} x (b) g(x) =√x2_{− 4x + 3} (c) h(x) = 3 √ x − 5 √ 8 + x (d) f (x) = √ 4 − x2 √ x2_{− 3x} (e) f (x) = r 4 − x2 x2_{− 3x} (f) g(x) = 4 p2 − |x − 3| x2_{− 4} (g) f (x) = cos(x − π) − tanx 2 (h) u(x) = sen −1_x 1 − cos x (i) q(x) = log2(3 − x 2₎ x2_{+ 4} (j) f (x) = 5 x−1 log₃(2x − 7)

(27)

13) Resolva as equa¸c˜oes (use fun¸c˜oes inversas): (a) (x − 1)3 _{= 27} (b) (3x + 2)4 _{= 16} (c) (√x + 2)2 = p(1 − x)3 ₃ (d) p(2x − 5)4 4 _{= 3} (e) sen−1x = −π₄ (f) cos x = 1 2

(g) x + tan(tan−1x) = 2log29− log

7(7x) (h) sen−1(sen x) = π₅ (i) log₈(x2− 4 + 8x_{) = x} (j) log₃x 5 4 + log₃4 = 10 (k) 4e3−2 ln x = e3

14) Resolva as inequa¸c˜oes (considere o crescimento das fun¸c˜oes): (a) (x + 2)7 _{≥ −1} (b) (2x − 3)8 _{> 1} (c) √3 x2_{− 1 ≤ 2} (d) √x + 1 < 3 (e) 1 x2_{− 9} < 1 7 (f) 1 (3 − x)2 ≥ 1 4 (g) sen x < 1₂ (0 ≤ x ≤ 2π) (h) cos x ≤ cosπ₆ (0 ≤ x ≤ 2π)

(i) cot x > cotπ

4 (0 < x < π)

(j) 23x−2 > 1

(k) log₃(x + 2) ≤ log₃7 15) Demonstre as identidades trigonom´etricas da Proposi¸c˜ao 7.5.

(28)

Respostas

1) Se não conseguir, dê uma olhada no livro do Guidorizzi ou outros. 2) Idem. 3) Idem. 4) (a) 0 se x = −5 + se x > −5 − se x < −5 (b) 0 se x = ±3 + em (−3, 3) − se x < −3 ou x > 3 (c) 0 se x = −2 ou 1 + se x < −2 ou x > 1 − em (−2, 1) (d) 0 se x = −1, 0 ou 3 + em (−∞, −1) e (0, 3) − em (−1, 0) e (3, ∞) (e) 0 se x = 0 ou ±√2 + em (−√2, 0) e (0,√2) − em (−∞, −√2) e (√2, ∞) (f) 0 se x = ±2 @ se x = −1 + em (−2, −1) e (2, ∞) − em (−∞, −2) e (−1, 2) (g) 0 se x = 1 − se x 6= 1 (h) 0 se x = 5₃ @ se x = −12 + se x < −1₂ ou x > 5₃ − se −1 2 < x < 5 3 (i) 0 se x = −2 ou 0 @ se x < −2 + se −2 ≤ x < 0 − se x > 0 (j) 0 se x = 0 @ se x ≤ −1 ou x ≥ 1 + se 0 < x < 1 − se −1 < x < 0 5) (a) x > 1₂ (b) −2 ≤ x ≤ 3 (c) −√3 < x < 0 ou x >√3 (d) x 6= 1 (e) x > 0 e x 6= 1 (f) x ≤ −3 ou −1 < x ≤ 0 ou x > 1 6) Use a defini¸cão de módulo e as rela¸cões já provadas. Se não conseguir, olhe o livro do

Guidorizzi ou outros. 7) (a) x = −1 ou x = 4 (b) @ (c) x = −1₃ (d) x = −1 ou x = −1₃ (e) −1 ≤ x ≤ 3 (f) x = 1 2 (g) −5 < x < 5 (h) x ≤ −1₃ ou x ≥ 1

8) Use a defini¸cão de logaritmo e as propriedades de potências. Pode ser útil também chamar r = log_bx e s = log_by.

9) (a) 16 (b) 9√3 (c) 25√25 (d) −1 2 (e) √ 2 2 (f) √ 3 3 (g) −1 (h) 3 (i) 16 (j) −2 (k) 1₄ (l) 9

(29)

10) Pesquise nos livros de C´alculo. 11) (a) (b) (c) (d) (e) (f) 12) _{(a) {x ∈ R|x 6= 0}} (b) {x ∈ R|x ≤ 1 ou x ≥ 3} (c) {x ∈ R|x > −8} (d) {x ∈ R| − 2 ≤ x < 0} (e) {x ∈ R| − 2 ≤ x < 0 ou 2 ≤ x < 3} (f) {x ∈ R| 1 ≤ x ≤ 5 e x 6= 2} (g) {x ∈ R|x 6= nπ, n ∈ Z} (h) {x ∈ R| − 1 < x < 1 e x 6= 0} (i) {x ∈ R| −√3 < x <√3} (j) {x ∈ R|x > 72 e x 6= 4} 13) (a) x = 4 (b) x = −4₃ ou x = 0 (c) x = −1₂ (d) x = 1 ou x = 4 (e) x = − √ 2 2 (f) x = ±π₃ + 2πn _{(n ∈ Z)} (g) x = 3 (h) x = π₅+ 2πn ou x = 4π₅ _{+ 2πn (n ∈ Z)} (i) x = ±2 (j) x = 9 (k) x = ±2 14) (a) x ≥ −3 (b) x < 1 ou x > 2 (c) −3 ≤ x ≤ 3 (d) −1 ≤ x < 8 (e) x < −4 ou −3 < x < 3 ou x > 4 (f) 1 ≤ x ≤ 5 e x 6= 3

(30)

(g) 0 ≤ x < π₆ ou 5π₆ < x ≤ 2π (h) π₆ ≤ x ≤ 11π 6 (i) 0 < x < π₄ (j) x > 2₃ (k) −2 < x ≤ 5

15) Tente usar as identidades já demonstradas. Se não conseguir, pesquise nos livros de trigonometria ou Cálculo.

16) Substitua as fun¸cões hiperbólicas pelas expressões que as definem em termos da expo-nencial, e use as propriedades desta.