2 Matrizes Matrizes Operações com Matrizes Matrizes Invertíveis Aplicações... 35

(1)

Sumário

1 Conjuntos e Funções 8

1.1 Definição clássica de função . . . 8

1.2 Conjuntos . . . 8 1.3 Cartesiano . . . 9 1.4 Relação . . . 10 1.5 Funções . . . 11 1.6 Operação . . . 13 1.7 Somatória . . . 14 1.8 Indução Matemática . . . 15 1.9 Números Reais . . . 16 1.10 Números Complexos . . . 17 2 Matrizes 18 2.1 Matrizes . . . 18

2.2 Operações com Matrizes . . . 20

2.3 Matrizes Invertíveis . . . 31 2.4 Aplicações . . . 35 3 Sistemas Lineares 36 3.1 Sistemas Lineares . . . 36 3.2 Sistemas Equivalentes . . . 42 3.3 Determinação da Inversa . . . 50 3.4 Sistemas de Cramer . . . 52 3.5 Matrizes Elementares . . . 53 3.6 Aplicações . . . 56 4 Espaços Vetoriais 65 4.1 Espaços Vetoriais . . . 65 1

(2)

4.2 Propriedades . . . 69

4.3 Subespaços Vetoriais . . . 74

4.4 Soma de Subespaços . . . 78

4.5 Combinação Linear . . . 80

4.6 Espaços Finitamente Gerados . . . 81

4.7 Aplicações . . . 82

5 Base e Dimensão 83 5.1 Dependência Linear . . . 83

5.2 Base de Subespaço. . . 95

5.3 Dimensão da soma de dois subespaços . . . 95

5.4 Coordenadas . . . 96

5.5 Mudança de Base . . . 98

6 Transformação Linear 107 6.1 Transformação Linear . . . 107

6.2 Núcleo e Imagem . . . 112

7 Matriz de uma Transformação Linear 116 7.1 Operações com Transformações Lineares . . . 116

7.2 Matriz de uma Transformação Linear . . . 128

7.3 Matriz de uma Transformação Composta . . . 132

7.4 Espaço Dual . . . 134

7.5 Matrizes Semelhantes . . . 134

8 Espaço com Produto Interno 136 8.1 Produto Interno . . . 136 8.2 Norma e Distância . . . 138 8.3 Processo de Gram-Schmidt . . . 145 9 Determinantes 151 9.1 Permutações . . . 151 9.2 Determinantes . . . 154 9.3 Cofatores . . . 162 9.4 Adjunta e Inversa . . . 166 9.5 Regra de Cramer . . . 169

(3)

10 Diagonalização de Operadores Lineares 174 10.1 Autovalores e Autovetores . . . 174 10.2 Diagonalização de Operadores . . . 179 10.3 Operadores Auto-Adjuntos . . . 186

(4)

Professor: Antônio Carlos Telau e-mail: antonio.telau@ufvjm.edu.br site: www.telau.com.br

apps: apps

Livro texto: Álgebra Linear e Aplicações.

Autores: Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa.

Edição: 6ª Edição reformulada.

Moniorias/Tutoria Período: 05/06/2018 a 09/08/2018 Salas 209 209 209/229/209/229 S Horário D S T Q Q S S 10:00 - 11:00 Camilla 11:00 - 12:00 Camilla 12:00 - 13:00 Camilla 13:00 - 14:00 Lineker Reunião 14:00 - 15:00 Lineker Lineker 15:00 - 16:00 Lineker Lineker 16:00 - 17:00 Camilla 17:00 - 18:00 Camilla 18:00 - 19:00 Telau-229 19:00 - 20:00 Telau-229 CTT112-A,B e C

Prova Conteúdo Valor Data

P1 Capítulos 2, 3 e 4 30 23/05/2018

P2 Capítulos 5, 6 e 7 35 13/07/2018

P3 Capítulos 8, 9 e 10 35 10/08/2018

PF Capítulos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 e 10 100 21/08/2018 P1 + P2 + P3 = 100

(5)

Cronograma da Primeira Prova.

N Data Páginas Quantidade

1 18/04/2018 1-15 15 2 20/04/2018 16-20 5 3 25/04/2018 21-25 5 4 27/04/2018 26-32 6 5 02/05/2018 33-42 10 6 04/05/2018 43-52 10 7 09/05/2018 53-58 6 8 11/05/2018 58-64 6

Cronograma da Segunda Prova.

N Data Páginas Quantidade

1 25/05/2018 83-86 4 2 30/05/2018 Paralização -3 06/06/2018 87-90 4 4 08/06/2018 91-94 4 5 13/06/2018 95-98 4 6 15/06/2018 99-104 6 7 20/06/2018 105-111 7 8 22/06/2018 Copa/Tutoria -9 27/06/2018 112-117 6 10 04/07/2018 118-123 6 11 06/07/2018 124-130 7 12 11/07/2018 Revisão -13 -13/07/2018 Avaliação

-M F = N 1 + N 2 + N 3, onde N1 é a nota da P1, N2 é a nota da P2 e N3 é a nota da P3.    M F ≥ 60 ⇒ Aprovado 40 ≤ M F < 60 ⇒ Exame Final M F < 40 ⇒ Reprovado

(6)

RF = M F + P F

2 , onde P F é a nota do Exame Final.

RF ≥ 60 ⇒ Aprovado

(7)

Introdução

Este material ainda está sendo desenvolvido e tem como objetivos finais os seguintes tópicos:

Todas as demonstrações

Conter todas as demonstrações que foram trabalhadas de forma mi-nuciosa para serem facilmente compreendidas até mesmo por alunos iniciantes na matemática.

Uso de cores e gráficos

Destaca-se com cores pontos de suma importância na compreensão dos texto.

Autocontido

Este material é autocontido no sentido que não há a necessidade de se buscar constantemente complementação em outros livros didáticos. Conteúdos de auto nível da álgebra linear

Transcrever conteúdos de auto nível da álgebra linear em linguagem simplificada com exemplos perfeitamente acessíveis.

Aplicações

Algumas aplicações são expostas de forma bem explícita.

(8)

Capítulo 1

Conjuntos e Funções

1.1 Definição clássica de função

Uma função é uma terna de domínio(A) contra-domínio(B) e uma regra que associa da cada elemento do domínio um, e somente um, ele-mento do contra-domínio.

Agora damos início a uma sequência de definições com o objetivo de redefinir função e por meio dessa definir operação.

1.2 Conjuntos

Na matemática costuma-se definir um conjunto como uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e indicamos com x ∈ A. A relação entre dois conjunto é a relação de estar contido: quando todos os objetos de um conjunto A também compõem o conjunto B, dizemos que A etá contido em B e indicamos com A ⊂ B.

(9)

1.3 Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B definimos A × B como

A × B = {(x, y); x ∈ A, y ∈ B} (1.1)

Exemplo 1.3.1. Sejam os conjuntos A = {r, t} e B = {3, 7, 9}. Então A × B = {(r, 3), (r, 7), (r, 9), (t, 3), (t, 7), (t, 9)} (1.2) r t A 3 7 9 B

Exemplo 1.3.2. Sejam os conjuntos A = R e B = R. Então

(10)

R R (x, y) x y 1.4 Relação

Uma relação R entre A e B é um subconjunto do cartesiano R ⊂ A × B.

Exemplo 1.4.1. Sejam os conjuntos A = {−2, 0, 3} e B = {−1, 0, 1}. Então a o conjunto R = {(x, y); x ∈ A, y ∈ B − 0} ⊂ A × B, logo é uma relação entre A e B.

R = {(−2, −1), (−2, 1), (0, −1), (0, 1), (3, −1), (3, 1)} (1.4) 0 -1 2 A -1 0 1 B

(11)

1.5 Funções

Uma função F com domínio A e contradomínio B é uma relação entre A e B que satisfaz as propriedades:

1) ∀x ∈ A existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ F ; 2) Se (x, y), (x, z) ∈ F então y = z. F : A −→ B x 7−→ F (x) Domínio Contra-Domínio Imagem

O conjunto Imagem da função F é o conjunto de todos os valores que estão relacionados... -1 0 1 A -1 0 1 B Im(F) F (x) = x2

(12)

D(F ) = {−1, 0, 1} = A CD(F ) = {−1, 0, 1} = B Im(F ) = {0, 1}

Imagem de um Subconjunto

Se W é um subconjunto do domínio A da função F então F (W ) é o subconjunto do contra-domínio de F de todos os elementos que estão relacionados por F ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 B F(W) F(x) = x+2 2

(13)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 A W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 B F(W) F (x) = |x − 4| + 2 Função Injetiva 3) Se (x, z), (y, z) ∈ F então x = y. Função Sobrejetiva

4) ∀y ∈ B existe x ∈ A tal que (x, y) ∈ F ;

Função Bijetiva

Uma função bijetora é uma função que satisfaz 3) e 4). 1.6 Operação

Uma operação binária em um conjunto E é uma função

◦ : E × E −→ E

(14)

Vamos pensar um pouco no domínio e contra-domínio da função det. det : Mn(R) −→ R A 7−→ det(A) 1.7 Somatória α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = β (1.5) n X k=1 αibi = β (1.6) 5 X k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (1.7) 5 X k=1 k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 45 (1.8) n X k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n = n(n + 1) 2 (1.9) n X k=1 k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + · · · + n2 = n(2n + 1)(n + 1) 6 (1.10)

Outro exemplo em que o uso do somatório faz-se necessário é a soma S dos elementos de uma matriz

(15)

S = (α11+ · · · + α1n) + (α21 + · · · + α2n) + · · · + (αm1+ · · · + αmn) = n P j=1 α1j + n P j=1 α2j + · · · + n P j=1 αmj = m P i=1 n P j=1 αij = n P j=1 m P i=1 αij 1.8 Indução Matemática

A Indução Matemática é uma forma de demonstrar que uma propo-sição que depende de uma variável natural n é verdadeira para todo n ∈ N.

Teorema 1.1. Seja X um conjunto tal que: i) 1 ∈ X ;

ii) n ∈ X ⇒ (n + 1) ∈ X. Então X = N.

Demonstração. Suponhamos que X 6= N. Seja n0 o menor elemento

de N − X 6= ∅. Pela primeira hipótese i) temos que n0 6= 1 então

n0 − 1 ∈ N − X. Logo n0 ∈ X, absurdo. Portanto X = N.

Vamos provar por indução que P (n) : n X k=1 k = n(n + 1) 2 (1.11)

De fato P (1) é verdadeira pois P1

k=1k =

1(1+1)

2 . Suponhamos agora

(16)

n P k=1 k = n(n+1)₂ ⇒ _n P k=1 k + (n + 1) = n(n+1)₂ + (n + 1) ⇒ n+1 P k=1 k = n(n+1)₂ + 2(n+1)₂ ⇒ n+1 P k=1 k = (n+1)((n+1)+1)₂ ⇒ P (n + 1) 1.9 Números Reais

Propriedades dos números reais(R).

Dados os números reais a, b e c, as seguintes propriedades operatórias são válidas: 1 – Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c 2 – Comutatividade: a + b = b + a a · b = b · a

3 – Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação:

a + 0 = a a · 1 = a

(17)

a multiplicação: a + (−a) = 0 a · a−1 = 1 se a 6= 0. 5 – Distributividade: a · (b + c) = a · b + a · c CTT112-A 18/04/2018 1.10 Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos o conjunto C de todos os pares ordenados de números reais para os quais valem as seguintes definições:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

(18)

Capítulo 2

Matrizes

2.1 Matrizes

Definição 2.1.1. Sejam m ≥ 1 e n ≥ 1 dois números inteiros. Uma matriz m × n é uma tabela de números que se indica do seguinte modo.

A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn      ou (aij)_m×n ou (aij) ou [A]_ij

Cada número que compõe a matriz A chama-se termo de A. O termo geral de A é aij ou [A]_ij. O primeiro índice i indica a linha e o segundo

índice j indica a coluna. Denotaremos por Mm×n(R) o conjunto das

matrizes reais m × n. Se m = n usa-se Mn(R).

Exemplo 2.1.1. Se A =   1 0 2 −3 −1 4 

 então A é uma matriz real 3 × 2. Logo A ∈ M3×2(R). Além disso [A]₁₁ = 1, [A]₁₂ = 0, [A]₂₁ = 2,

[A]₂₂ = −3, [A]₃₁ = −1, e [A]₃₂ = 4.

(19)

Linhas e Colunas

Usaremos um índice sobrescrito com parênteses para representar as li-nhas de uma matriz, reservando o expoente para potências futuramente definidas. E para as colunas usaremos um índice subscrito com parên-teses. A(1) = a11 a12 · · · a1n , A(2) = a21 a22 · · · a2n , ... A(m) = am1 am2 · · · amn

são chamadas linhas da matriz A.

A(1) =      a11 a21 ... am1      , A(2) =      a12 a22 ... am2      , · · · , A(n) =      a1n a2n ... amn     

são chamadas colunas da matriz A.

Exemplo 2.1.2. Seja A = 1 0 1 0 6 −5

uma matriz 2 × 3. Então A(1) = 1 0 1 , A(2) = 0 6 −5 são as linhas da matriz A.

A₍₁₎ = 1 0 , A₍₂₎ = 0 6 , A₍₃₎ = 1 −5

(20)

Igualdade de Matrizes

Sejam A, B ∈ Mm×n(R), dizemos que A = B se, e somente se,

[A]_ij = [B]_ij, ∀(i, j) ∈ {1, · · · , m} × {1, · · · , n}.

Exemplo 2.1.3. Calcule os valores das variáveis na equação matricial.

x + y x y + 1 z = 1 2 3 4 ⇔        x + y = 1 x = 2 y + 1 = z z = 4 2.2 Operações com Matrizes

Vamos agora definir operações no conjunto das matrizes Mm×n. Adição Exemplo 2.2.1. Sejam A = 1 2 1 0 1 2 e B = 0 1 −2_{2 4} ₇ . A+B = 1 2 1 0 1 2 + 0 1 −2_{2 4} ₇ = 1 + 0 2 + 1 1 + (−2) 0 + 2 1 + 4 2 + 7 ⇒ A+B = 1 3 −1 2 5 9 B+A = 0 1 −2 2 4 7 + 1 2 1_{0 1 2} = 0 + 1 1 + 2 (−2) + 1 2 + 0 4 + 1 7 + 2 ⇒ A+B = 1 3 −1 2 5 9

(21)

Observe que dessa forma definida a soma de matrizes é comutativa, ou seja, a soma satisfaz A+B = B+A.

Definimos a operação de soma de matrizes e utilizamos um símbolo diferenciado + para representar a soma de matrizes em oposição à soma de números reais representada pelo símbolo +. Definimos formalmente a soma de matrizes por:

+ : Mm×n(R) × Mm×n(R) −→ Mm×n(R)

(A, B) 7−→ A+B

dada por [A+B]ij = [A]ij + [B]ij

A+B =     [A+B]₁₁ [A+B]₁₂ [A+B]₂₁ [A+B]₂₂     =     [A]₁₁+ [B]₁₁ [A]₁₂ + [B]₁₂ [A]₂₁+ [B]₂₁ [A]₂₂ + [B]₂₂    

Teorema 2.1. Prove que valem as seguinte propriedades para esta ope-ração:

A1) A+B = B+A, ∀A, B ∈ Mm×n(R);

A2) A+(B+C) = (A+B)+C, ∀A, B, C ∈ Mm×n(R);

A3) ∃0 ∈ Mm×n(R) tal que A+0 = A, ∀A ∈ Mm×n(R);

A4) ∀A ∈ Mm×n(R), ∃(−A) ∈ Mm×n(R)/ A+(−A) = 0;

Demonstração. A1) [A+B]_ij = [A]_ij + [B]_ij = [B]_ij + [A]_ij = [B+A]_ij ⇒ [A+B]_ij = [B+A]_ij ⇒ A+B = B+A

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A2) [A+(B+C)]_ij = [A]_ij + [(B+C)]_ij = [A]_ij + ([B]_ij + [C]_ij) = ([A]_ij + [B]_ij) + [C]_ij = [(A+B)]_ij + [C]_ij = [(A+B)+C]_ij ⇒ [A+(B+C)]_ij = [(A+B)+C]_ij ⇒ A+(B+C) = (A+B)+C Exemplo 2.2.2. Sejam A = 1 3 −2 −1 , B = −2 8 5 −4 e C = 9 −2 5 6

matrizes 2 × 2. Note que a soma de matrizes é associativa.

A+(B+C) = 1 3 −2 −1 + −2_{5 −4}8 + 9 −2₅ ₆ = 1 3 −2 −1 + 7 6 10 2 = 8 9 8 1

(23)

(A+B)+C = 1 3 −2 −1 + −2_{5 −4}8 + 9 −2₅ ₆ = −1 11 3 −5 + 9 −2₅ ₆ = 8 9 8 1 Exemplo 2.2.3. Sejam A = a b c d e f e B = 0 0 0_{0 0 0} duas ma-trizes 2 × 3. Então B é um elemento neutro da adição de mama-trizes com essa dimensão. A+B = a b c d e f + 0 0 0_{0 0 0} = a + 0 b + 0 c + 0 d + 0 e + 0 f + 0 = a b c d e f = A Exemplo 2.2.4. Seja A = 1 a −2 −2 −√2 0

. Então (−A) = −1 −a 2₋₂ √ 2 0

.

(24)

A+(−A) = 1 a −2 −2 −√2 0 + −1 −a 2₋₂ √ 2 0 = 1 + (−1) a + (−a) −2 + 2 −2 + 2 −√2 +√2 0 + 0 = 0 0 0 0 0 0 .

Note que resultou no elemento neutro da soma de matrizes com essa dimensão.

Exemplo 2.2.5. Nesse texto é dada uma atenção especial ao domínio e contra-domínio das operações. Esse exemplo de operação deixa claro que não é um fato geral o contra-domínio coincidir com o conjunto onde se tomam os elementos a serem multiplicados por escalares, como ocorre na definição usual de produto por escalar.

Exemplo 2.2.6. Se definirmos a operação de soma de matrizes da se-guinte forma [A + B]ij = [A]ij + [B]ij + 1, qual é o elemento neutro da

soma de matrizes 2 × 3? 0 = −1 −1 −1

−1 −1 −1

(25)

Exemplo 2.2.7. Se definirmos a operação de soma de matrizes da se-guinte forma [A + B]ij = [A]ij+ [B]ij+ (i − j), qual é o elemento neutro

da soma de matrizes 4 × 4? 0 = (0 − (i − j))_4×4 = (j − i))_4×4 =     0 1 2 3 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 −3 −2 −1 0    

Exemplo 2.2.8. Se definirmos a operação de soma de matrizes da se-guinte forma [A + B]ij = (−1) · [A]ij · [B]ij, qual é o elemento neutro

da soma de matrizes 3 × 3? 0 =   −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1   Se por exemplo A =   1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9   então A + 0 =   1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9  +   −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1   ⇒ A+0 =   (−1) · 1 · (−1) (−1) · (−2) · (−1) (−1) · 3 · (−1) (−1) · (−4) · (−1) (−1) · 5 · (−1) (−1) · (−6) · (−1) (−1) · 7 · (−1) (−1) · (−8) · (−1) (−1) · 9 · (−1)   ⇒ A + 0 =   1 −2 3 −4 5 −6 7 −8 9   ⇒

(26)

A + 0 = A

Exemplo 2.2.9. Se definirmos a operação de soma de matrizes da se-guinte forma [A + B]ij = [A]ij+[B]ji, qual é o inverso aditivo (á direita)

de uma matriz A qualquer 3 × 3? (−A) =





− [A]₁₁ − [A]₂₁ − [A]₃₁ − [A]₁₂ − [A]₂₂ − [A]₃₂ − [A]₁₃ − [A]₂₃ − [A]₃₃



 = (−1) · AT

Exemplo 2.2.10. Se definirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B]ij = 2 [A]ij + [B]ij , qual é o inverso aditivo de

uma matriz A qualquer 3 × 3? CTT112-B 02/05/2018

Produto por escalar

Exemplo 2.2.11. Sejam A = 1 3 2 1 −1 3 e B =   1 2 1 0 1 2 0 0 4   matri-zes e α = −2, β = 2 dois números reais. Então

a) α A = (−2) A = (−2) · 1 (−2) · 3_{(−2) · 1 (−2) · (−1) (−2) · 3}(−2) · 2 ⇒ α A = −2 −6 −4 −2 2 −6 b) β B = 2   1 2 1 0 1 2 0 0 4   ⇒ β B =   2 4 2 0 2 4 0 0 8  

(27)

E definimos o produto de um número por uma matriz como : R × Mm×n(R) −→ Mm×n(R)

(λ, A) 7−→ λ A

dada por [λ A]ij = λ · [A]ij

CTT112-A 02/05/2018

Teorema 2.2. Prove que valem as seguinte propriedades para o produto por escalar. M1) (α · β) A = α (β A), ∀α, β ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R); M2) (α + β) A = (α A)+(β A), ∀α, β ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R); M3) α (A+B) = (α A)+(α B), ∀α ∈ R, ∀A, B ∈ Mm×n(R); M4) 1 A = A, ∀A ∈ Mm×n(R). Demonstração. M1) [(α · β) A]_ij = (α · β) [A]_ij = α · (β [A]_ij) = α · [β A]_ij = [α (β A)]_ij ⇒ [(α · β) A]_ij = [α (β A)]_ij ⇒ (α · β) A = α (β A) M2)

(28)

[(α + β) A]_ij = (α + β) · [A]_ij = α · [A]_ij + β · [A]_ij = [α A]_ij + [β A]_ij = [(α A)+(β A)]_ij ⇒ [(α + β) A]_ij = [(α A)+(β A)]_ij ⇒ (α + β) A = (α A)+(β A)

Exemplo 2.2.12. Encontre o elemento neutro se definirmos o produto por escalar dado pela regra [λ A]ij = 2 · λ · [A]ij.

Exemplo 2.2.13. Se definirmos o produto por escalar dado pela se-guinte regra [λ A]ij = 2 · λ · [A]ij + 1 existe um elemento neutro?

λx + 1 = x ⇒ λ = 2 e x = −1 λ = 2 e A = −1 −1 −1

−1 −1 −1

No entanto, isso só funciona para uma matriz e deveria ser verdade para toda matriz A.

Multiplicação de Matrizes Exemplo 2.2.14. Sejam A = 2 1 0 0 1 2 e B =   3 4 5 0 0 0 1 0 1  . A · B = 2 1 0 0 1 2 ·   3 4 5 0 0 0 1 0 1   ⇒ A·B = 2 · 3 + 1 · 0 + 0 · 1 2 · 4 + 1 · 0 + 0 · 0 2 · 5 + 1 · 0 + 0 · 1 0 · 3 + 1 · 0 + 2 · 1 0 · 4 + 1 · 0 + 2 · 0 0 · 5 + 1 · 0 + 2 · 1 ⇒

(29)

A · B = 6 8 10

2 0 2

Consideremos a matriz A ∈ Mm×p(R) e a matriz B ∈ Mp×n(R). O

produto A · B é dado por

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aipbpj (2.1) ou cij = p X k=1 aikbkj (2.2) ou [AB]_ij = p X k=1 [A]_ik[B]_kj (2.3)

Os dois teoremas seguintes são propriedades do produto de matrizes análogas às propriedades que valem para números reais[?].

Teorema 2.3. Se A ∈ Mm×p(R), B ∈ Mp×q(R) e C ∈ Mq×n(R) então

A(BC) = (AB)C.

Demonstração. Vamos demonstrar que o termo geral de A · (B · C) é igual ao termo geral de (A · B) · C.

(30)

[A · (B · C)]_ij = p P k=1 [A]_ik ·[B · C]_kj = p P k=1 [A]_ik · q P r=1 [B]_kr · [C]_rj = p P k=1 _q P r=1 [A]_ik · [B]_kr · [C]_rj = q P r=1 _p P k=1 [A]_ik · [B]_kr · [C]_rj = q P r=1 _p P k=1 ([A]_ik · [B]_kr) · [C]_rj = q P r=1 [A · B]_ir· [C]_rj = [(A · B) · C]_ij

Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz A(BC) e da matriz (AB)C são iguais, então A(BC) = (AB)C.

Teorema 2.4. Se A ∈ Mm×p(R), B, C ∈ Mp×n(R) então A(B + C) =

AB + AC. Analogamente se A, B ∈ Mm×p(R), C ∈ Mp×n(R) então

(A + B)C = AC + BC.

Demonstração. Vamos demonstrar que o termo geral de A · (B + C) é igual ao termo geral de A · B + A · C.

[A · (B + C)]_ij = p P k=1 [A]_ik·[B + C]_kj = p P k=1 [A]_ik·[B]_kj + [C]_kj = p P k=1 [A]_ik· [B]_kj + [A]_ik · [C]_kj = p P k=1 [A]_ik· [B]_kj+ p P k=1 [A]_ik · [C]_kj = [A · B]_ij + [A · C]_ij = [A · B + A · C]_ij

(31)

A(B +C)e da matriz AB+AC são iguais, então A(B+C) = AB+AC. A demonstração da igualdade (A + B)C = AC + BC é análoga.

Exemplo 2.2.15. Se A = 1 2 2 0 , B = 0 3_{3 1} então AB 6= BA. 1 2 2 0 0 3 3 1 = 6 5 0 6 6= 6 0 5 6 = 0 3 3 1 1 2 2 0

Exemplo 2.2.16. Dadas as matrizes A ∈ Mm×p(R) e B ∈ Mp×n(R)

observe que:

a) a linha do produto AB é o produto da linha de A pela a matriz B, ou seja, (A · B)(i) = A(i)· B

b) a coluna do produto AB é o produto de A pela coluna da matriz B, ou seja, (A · B)(j) = A · B(j)

Exemplo 2.2.17. Observe que o produto de matrizes triangulares su-periores é uma matriz triangular superior.

    1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 8 9 0 0 0 10         4 3 2 1 0 4 3 2 0 0 4 3 0 0 0 4     =     ? ? ? ? 0 ? ? ? 0 0 ? ? 0 0 0 ?     2.3 Matrizes Invertíveis

Definição 2.3.1. (Elemento neutro da multiplicação) Seja In ∈ Mn(R)

tal que

[In]_ij =

0, se i 6= j 1, se i = j ou seja,

(32)

In =      1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 1     

Essa matriz satisfaz In · A = A · In ∀A ∈ Mn(R) e recebe o nome de

matriz identidade de ordem n.

Definição 2.3.2. Uma matriz A de ordem n diz-se invertível se, e so-mente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que:

A · B = B · A = In

Caso essa matriz B exista, é única e chama-se a inversa de A e é indica-se por B = A−1_.

Exemplo 2.3.1. A matriz A = 2 0 0 5

é invertível e sua inversa é B = ₁ 2 0 0 1₅ . Exemplo 2.3.2. Se A = a b c d e ad − bc 6= 0 então A é invertível e sua inversa é A−1 ₌ 1 ad−bc d −b −c a . Exemplo 2.3.3. A matriz A = 1 2 1 3

é invertível e sua inversa é B = 3 −2 −1 1 .

Exemplo 2.3.4. Se alguma linha de A é nula, digamos a i-ésima li-nha de A, A(i) ₌ _{0 0 · · · 0} então A não é invertível. De fato se

fosse invertível existiria B tal que AB = In, por outro lado (AB) (i)

= (A)(i)B = 0 0 · · · 0 6= B = 0 0 · · · 0 6= (In)(i).

(33)

Exemplo 2.3.5. Se A e B são matrizes de ordem n, ambas invertíveis, então AB também é invertível e (AB)−1

= B−1 · A−1_.

Vamos demonstrar que (AB)·B−1 _{· A}−1_{= I}

n. A igualdade B−1 · A−1·

(AB) = In se demonstra de forma análoga.

De fato (AB) ·B−1 · A−1 = (AB) · B−1 · A−1 = A · B · B−1 · A−1 = [A · In] · A−1 = A · A−1 = In ⇒ (AB) ·B−1 · A−1 = In ⇒ (AB)−1 = B−1 · A−1 Portanto (AB)−1 = B−1· A−1.

Exemplo 2.3.6. Se A ou B são matrizes de ordem n, e A não é inver-tíveis, então AB também não é invertível.

Exemplo 2.3.7. Se A é uma matriz de ordem n invertíveis, então A−1 também é invertível e A−1−1 = A. A inversa de A é A−1 _⇒ A−1· A = In A · A−1 = In ⇒ a inversa de A−1 é A. Portanto A−1−1 = A.

Exemplo 2.3.8. Prove que a inversa de uma matriz invertível é única.

Exemplo 2.3.9. Prove que a inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, (AB)T _{= B}T_AT_.

Suponhamos que A seja invertível e que B e C sejam inversas de A e provemos que B = C.

(34)

A · B = I e C · A = I ⇒ C · (AB) = C · I ⇒ (CA) · B = C ⇒ I · B = C ⇒ B = C

Exemplo 2.3.10. Prove que a transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem trocada, ou seja, (A·B)T _{= B}T_·AT_.

Demonstração.

Vamos demonstrar que o termo geral de (AB)T _{é igual ao termo geral}

de BT_AT_. (AB)T ij = [AB]ji = [A](j)[B]_(i) = AT_(j)BT(i) = BT(i)AT_(j) = BTAT_ij

Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz (AB)T e da matriz BTAT são iguais, então (AB)T = BTAT.

Exemplo 2.3.11. Prove que a inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, (AT₎−1 _{= (A}−1₎T.

Demonstração.

(AT) · (A−1)T = (A · A−1)T = (I)T = I.

(A−1)T · (AT_{) = (A}−1 _{· A)}T _{= (I)}T _{= I.}

Exemplo 2.3.12. Resumo de algumas propriedades que valem para o produto de números reais mas falham para o produto de matrizes:

(35)

1) A · B = B · A;

2) A 6= 0, B 6= 0 ⇒ A · B 6= 0; 3) Mn(R)∗ = Mn(R) − {0}.

2.4 Aplicações

Em computação o produto de matrizes tem a grande vantagem de poder ser executado em paralelo portanto sempre que possível devemos converter um processo em série para a multiplicação de matrizes. Um bom exemplo disso é a replicação de um vetor nas colunas de uma matriz como no exemplo seguinte.

Exemplo 2.4.1. Sejam A =   a b c   e B = 1 1 1 1 . Calcule o produto de A por B. A · B =   a b c  · 1 1 1 1 ⇒ A · B =   a a a a b b b b c c c c   Previsão: CTT112-A,B 04/05/2018

(36)

Capítulo 3

Sistemas Lineares

3.1 Sistemas Lineares

Definição 3.1.1. Dados os números α1, α2, · · · , αn, β (n ≥ 1), à

equa-ção

α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = β (3.1)

onde os xi são variáveis em R, damos o nome de equação linear sobre

R nas incógnitas x1, x2, · · · , xn.

A equação (3.1) pode ser escrita em termos de somatória

n

X

i=1

αibi = β (3.2)

Uma solução dessa equação é uma sequência de n números reais, in-dicados por (b1, b2, · · · , bn), tais que

α1b1 + α2b2 + · · · + αnbn = β. (3.3)

CTT112-B 18/04/2018

Exemplo 3.1.1. Dada a equação 2x1 − x2 + x3 = 1, a terna ordenada

(1, 3, 2) é uma solução dessa equação pois 2 · 1 − 3 + 2 = 1 é verdadeira. Solução:

(37)

Isolando uma das variáveis e atribuindo qualquer valor às demais obtém-se uma solução.

x1 =

1 + x2 − x3

3 x2 = 2x1 + x3 − 1 x3 = 1 − 2x1 + x2 Portanto temos que

1 + x2 − x3

3 , x2, x3

, (x1, 2x1 + x3 − 1, x3) , (x1, x2, 1 − 2x1 + x2)

são soluções da equação 2x1 − x2 + x3 = 1.

Definição 3.1.2. Um sistema com m equações lineares e n incógnitas (m, n ≥ 1 ) é um conjunto de m equações lineares consideradas simul-taneamente, cada uma delas com n incógnitas. Um sistema linear se apresenta do seguinte modo:

S :          α11x1 + α12x2 + · · · + α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + · · · + α2nxn = β2 ... ... ... ... αm1x1 + αm2x2 + · · · + αmnxn = βm (3.4)

Uma solução do sistema (3.5) é uma solução de todas as equações, ou seja, uma solução do sistema (3.5) é uma n-upla (b1, b2, · · · , bn) de

números reais que é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, uma n-upla (b1, b2, · · · , bn) de números reais tais que

         α11b1 + α12b2 + · · · + α1nbn = β1 α21b1 + α22b2 + · · · + α2nbn = β2 ... ... ... ... αm1b1 + αm2b2 + · · · + αmnbn = βm (3.5)

Exemplo 3.1.2. Dado o sistema S : 2x − y + z = 1

x + 2y = 6

Uma solução de S é (2, 2, −1). Essa solução não é única: as ternas (8₅, 11₅ , 0), (4, 1, −6) também são soluções de S.

(38)

Definição 3.1.3. Quanto ao número de soluções, um sistema linear é classificado da seguinte forma. Primeiro distinguimos um sistema com solução de uma sistema sem solução.

Nenhuma Solução – Impossível Pelo menos uma Solução – Possível

Segundo classificamos os sistemas com solução em Determinado e In-determinado.

Uma única Solução – Determinado Mais do que uma solução – Indeterminado

E por fim agrupamos essas informações da seguinte forma. 





Nenhuma Solução – Impossível

Uma única Solução – Possível e Determinado Mais do que uma solução – Possível e Indeterminado.

Obs.: Um sistema com mais do que uma solução tem infinitas solu-ções.

(39)

Exemplo 3.1.3. Classifique cada um dos sistemas quanto ao número de soluções. a) x − y = −1_{x + y = 3} x y −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 P b) 2x + y = 1_{6x + 3y = 9} x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

(40)

c) 2x + 3y = 6_{4x + 6y = 12} x y −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −2 −1 0 1 2 3 4 5 CTT112 - B - 20/04/2018 Exemplo 3.1.4. S : 2x − y + z = 1 x + 2y = 6 Solução: x = 6 − 2y ⇒ 2(6 − 2y) − y + z = 1 ⇒ 12 − 4y − y + z = 1 ⇒ 5y = 11 + z ⇒ y = 11 + z 5 x = 6 − 2 11 + z 5 ⇒ x = 6 − 22 + 2z 5 ⇒ x = 30 − 22 − 2z 5 ⇒ x = 8 − 2z 5

Portanto toda terna de números do tipo 8 − 2z 5 ,

11 + z 5 , z

é uma solução do sistema dado.

(41)

H :          α11x1 + α12x2 + · · · + α1nxn = 0 α21x1 + α22x2 + · · · + α2nxn = 0 ... ... ... ... αm1x1 + αm2x2 + · · · + αmnxn = 0

Todo sistema homogêneo admite a solução (b1, b2, · · · , bm) = (0, 0, · · · , 0).

Essa solução é chamada de solução trivial. Portanto todo sistema ho-mogêneo é possível.

Exemplo 3.1.5. Seguem-se dois exemplos de sistemas homogêneos, o primeiro é determinado e o segundo indeterminado.

a) x + y = 0_{x + 2y = 0} b) x + 2y = 0 3x + 6y = 0 CTT112 - A - 20/04/2018

Exemplo 3.1.6. Qualquer sistema do tipo

S :              α11x1 + α12x2 + · · · + α1nxn = β1 ... ... ... ... 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn = βi (βi 6= 0) ... ... ... ... αm1x1 + αm2x2 + · · · + αmnxn = βm

é necessariamente impossível, pois a i-ésima equação não tem solução, visto que, dado (b1, b2, · · · , bm) temos (0 · b1 + 0 · b2 + · · · + 0 · bm = 0)

e βi 6= 0.

(42)

S :          x1 = β1 x2 = β2 ... xn = βn

é possível e determinado e (β1, β2, · · · , βn) é a única solução.

3.2 Sistemas Equivalentes

Descrevemos a seguir três formas de modificar um sistema linear pre-servando o conjunto solução. O objetivo é transformar o sistema até obter um sistema(com a mesma solução) cuja solução esteja explícita. (I) Permutar duas equações de um sistema não afeta seu conjunto solu-ção. Ou seja, se o sistema R é obtido a partir de S permutando duas equações então R e S tem o mesmo conjunto solução.

S :                      α11x1 + · · · + α1nxn = β1 ... αi1x1 + · · · + αinxn = βi ... αj1x1 + · · · + αjnxn = βj ... αm1x1 + · · · + αmnxn = βm

(43)

R:                      α11x1 + · · · + α1nxn = β1 ... αj1x1 + · · · + αjnxn = βj ... αi1x1 + · · · + αinxn = βi ... αm1x1 + · · · + αmnxn = βm

(II) Multiplicar uma equações de S por um número real λ 6= 0 tam-bém não afeta o conjunto solução do sistema.

S :              α11x1 + · · · + α1nxn = β1 ... αi1x1 + · · · + αinxn = βi ... αm1x1 + · · · + αmnxn = βm R:              α11x1 + · · · + α1nxn = β1 ... λαi1x1 + · · · + λαinxn = λβi ... αm1x1 + · · · + αmnxn = βm

(III) Somar a uma das equações do sistema uma outra equação mul-tiplicada por um número real. Essa modificação apesar de mais elabora também preserva o conjunto solução do sistema.

(44)

S :                      α11x1 + · · · + α1nxn = β1 ... αi1x1 + · · · + αinxn = βi ... αj1x1 + · · · + αjnxn = βj ... αm1x1 + · · · + αmnxn = βm R:                      α11x1 + · · · + α1nxn = β1 ... αi1x1 + · · · + αinxn = βi ... (αj1 + λαi1)x1 + · · · + (αjn+ λαin)xn = βj + λβi ... αm1x1 + · · · + αmnxn = βm

Definição 3.2.1. Dado um sistema linear S qualquer uma das modifi-cações (I), (II), (III) recebe o nome de Operação Elementar sobre linhas. Se um Sistema linear R foi obtido de S por meio de um número finito de operações elementares dizemos que R está relacionado com S. E es-crevemos R ∼ S para representar essa relação.

É fácil verificar que a relação ∼ satisfaz as seguintes propriedades: a) S ∼ S (Reflexiva);

b) R ∼ S ⇒ S ∼ R (Simetria);

c) R ∼ S, T ∼ R ⇒ T ∼ S (Transitiva).

Uma relação que satisfaça as propriedades a), b) e c) é chamada de relação de equivalência[?], [?].

Definição 3.2.2. Se um sistema R for obtido de S por meio de um número finito de operações elementares dizemos que R é equivalente a S.

(45)

S :          α11x1 + α12x2 + · · · + α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + · · · + α2nxn = β2 ... αm1x1 + αm2x2 + · · · + αmnxn = βm a matriz      α11 α12 · · · α1n β1 α21 α22 · · · α2n β2 ... ... ... ... ... αm1 αm2 · · · αmn βm     

é chamada de matriz aumentada do sistema S.

Ao manipular as equações de um sistema as variáveis permanecem intactas, assim podemos suprimi-las nesse processo e trabalhar apenas com os coeficientes. Esse processo recebe o nome de escalonamento. Exemplo 3.2.1. Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas com três equações e três incógnitas.

   x1 + x2 − x3 = −3 −2x1 − x2 + 3x3 = 8 3x1 − 2x2 − 7x3 = −16 ←→   1 1 −1 −3 −2 −1 3 8 3 −2 −7 −16   −−−−−−→ L2 + 2L1 L3 + (−3)L1   1 1 −1 −3 0 1 1 2 0 −5 −4 −7   −−−−−−→ L3 + 5L2

(46)

  1 1 −1 −3 0 1 1 2 0 0 1 3   L1 + L3 L2 + (−1)L3 −−−−−−→   1 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 3   L1 + (−1)L2 −−−−−−→   1 0 0 1 0 1 0 −1 0 0 1 3   ←→    x1 = 1 x2 = −1 x3 = 3

A única solução do sistema equivalente é (x1, x2, x3) = (1, −1, 3).

Por-tanto a solução do sistema original também é única e é (x1, x2, x3) =

(1, −1, 3).

Exemplo 3.2.2. Mostre que o seguinte sistema é equivalente a um sis-tema impossível.    x − y + z = 1 2x − y + z = 4 x − 2y + 2z = 0 ←→   1 −1 1 1 2 −1 1 4 1 −2 2 0   −−−−−−→ L2 + (−2)L1 L3 + (−1)L1   1 −1 1 1 0 1 −1 2 0 −1 1 −1   −−−−−−→ L3 + L2   1 −1 1 1 0 1 −1 2 0 0 0 1   ←→    x − y + z = 1 y − z = 2 0 = 1 CTT112 - A,B - 25/04/2018

Portanto o sistema original é impossível, ou seja, o conjunto solução é vazio.

(47)

Exemplo 3.2.3. Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas 4 × 4.        x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 = 8 3x1 + 10x2 + 14x3 + 5x4 = 24 −5x1 − 11x2 − 11x3 − 17x4 = −48 4x1 + 9x2 + 10x3 + 12x4 = 36 ←→     1 3 4 2 8 3 10 14 5 24 −5 −11 −11 −17 −48 4 9 10 12 36     −−−−−−→ L2 + (−3)L1 L3 + 5L1 L4 + (−4)L1     1 3 4 2 8 0 1 2 −1 0 0 4 9 −7 −8 0 −3 −6 4 4     −−−−−−→ L3 + (−4)L2 L4 + 3L2     1 3 4 2 8 0 1 2 −1 0 0 0 1 −3 −8 0 0 0 1 4     L1 + (−2)L4 L2 + L4 L3 + 3L4 −−−−−−→     1 3 4 0 0 0 1 2 0 4 0 0 1 0 4 0 0 0 1 4     L1 + (−4)L3 L2 + (−2)L3 −−−−−−→     1 3 0 0 −16 0 1 0 0 −4 0 0 1 0 4 0 0 0 1 4     L1 + (−3)L2 −−−−−−→     1 0 0 0 −4 0 1 0 0 −4 0 0 1 0 4 0 0 0 1 4     ←→        x1 = −4 x2 = −4 x3 = 4 x4 = 4 ←→        x1 = −4 x2 = −4 x3 = 4 x4 = 4 ⇒     x1 x2 x3 x4     =     −4 −4 4 4    

(48)

   x − 2y − z = 1 2x + y − 3z = 0 x − 7y = 3 ←→   1 −2 −1 1 2 1 −3 0 1 −7 0 3   −−−−−−→ L2 + (−2)L1 L3 + (−1)L1   1 −2 −1 1 0 5 −1 −2 0 −5 1 2   −−−−−−→ L3 + L2   1 −2 −1 1 0 5 −1 −2 0 0 0 0   −−−−−−→ L2/5   1 −2 −1 1 0 1 −1₅ −2₅ 0 0 0 0   L1 + 2L2 −−−−−−→    1 0 −7₅ 1₅ 0 1 −1₅ −2 5 0 0 0 0    ←→ ( x − 7₅z = 1₅ y − 1₅z = −2₅ ←→ ( x = 1₅ + 7₅z y = −2₅ + 1₅z Portanto 1 5 + 7 5z, − 2 5 + 1 5z, z é uma solução de S ∀z ∈ R.   x y z   =    1 5 + 7 5z −2₅ + 1₅z z    =    1 5 −2₅ 0   +    7 5z 1 5z z    =    1 5 −2₅ 0   + z    7 5 1 5 1   

Exemplo 3.2.5. Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas com três equações e cinco incógnitas(mais equações do que in-cógnitas).

(49)

   x1 − x2 + x3 − 7x4 = 1 2x1 − 2x2 + 3x3 − 19x4 − x5 = 1 3x1 − 3x2 + 2x3 − 16x4 + x5 = 4 ←→   1 −1 1 −7 0 1 2 −2 3 −19 −1 1 3 −3 2 −16 1 4   −−−−−−→ L2 + (−2)L1 L3 + (−3)L1   1 −1 1 −7 0 1 0 0 1 −5 −1 −1 0 0 −1 5 1 1   −−−−−−→ L3 + L2   1 −1 1 −7 0 1 0 0 1 −5 −1 −1 0 0 0 0 0 0   L1 + (−1)L2 −−−−−−→   1 −1 0 −2 1 2 0 0 1 −5 −1 −1 0 0 0 0 0 0   ←→ x1 − x2 − 2x4 + x5 = 2 x3 − 5x4 − x5 = −1 ←→ x1 = 2 − x5 − 2x4 + x2 x3 = −1 + x5 + 5x4       x1 x2 x3 x4 x5       =       2 0 −1 0 0       + x5       −1 0 1 0 1       + x4       −2 0 5 1 0       + x2       1 1 0 0 0      

Exemplo 3.2.6. Verifique que o seguinte sistema é possível e determi-nado e encontre a sua única solução.

   x − y + z = 1 2x + y + 2z = 0 3x − y + z = 1 ←→

(50)

  1 −1 1 1 2 1 2 0 3 −1 1 1   −−−−−−→ L2 + (−2)L1 L3 + (−3)L1   1 −1 1 1 0 3 0 −2 0 2 −2 −2   −−−−−−→ L2 ↔ L3   1 −1 1 1 0 2 −2 −2 0 3 0 −2   L2/2 −−−−−−→   1 −1 1 1 0 1 −1 −1 0 3 0 −2   −−−−−−→ L3 + (−3)L2   1 −1 1 1 0 1 −1 −1 0 0 3 1   −−−−−−→ L3/3   1 −1 1 1 0 1 −1 −1 0 0 1 1₃   L1 + (−1)L3 L2 + L3 −−−−−−→    1 −1 0 2₃ 0 1 0 −2₃ 0 0 1 1₃    L1 + L2 −−−−−−→    1 0 0 0 0 1 0 −2₃ 0 0 1 1₃    L1 + (−1)L3 L2 + L3 −−−−−−→ ←→      x = 0 y = −2₃ z = 1₃     x y z     =     0 −2₃ 1 3     3.3 Determinação da Inversa

Um processo prático para determinação da inversa de uma matriz será apresentado nesse exemplo e demonstrado adiante no Teorema (3.3).

(51)

Exemplo 3.3.1. Verifique se a matriz A =   1 1 0 0 1 1 1 0 2   é invertível e determine A−1_{, caso esta matriz exista.}

  1 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1   −−−−−−→ L3 + (−1)L1   1 1 0 0 1 1 0 −1 2 1 0 0 0 1 0 −1 0 1   −−−−−−→ L3 + L2   1 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0 0 1 0 −1 1 1   −−−−−−→ L3/3   1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 −1₃ 1₃ 1₃    −−−−−−→ L2 + (−1)L3   1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 3 2 3 − 1 3 −1₃ 1₃ 1₃    L1 + (−1)L2 −−−−−−→   1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 − 2 3 1 3 1 3 2 3 − 1 3 −1₃ 1₃ 1₃   

Logo a matriz A é invertível e

A−1 =    2 3 − 2 3 1 3 1 3 2 3 − 1 3 −1₃ 1₃ 1₃    ⇒ A −1 ₌ 1 3   2 −2 1 1 2 −1 −1 1 1  

Exemplo 3.3.2. Vejamos o mesmo problema com A=   1 2 6 0 1 5 2 3 7  .   1 2 6 0 1 5 2 3 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1   −−−−−−→ L3 + (−2)L1

(52)

  1 2 6 0 1 5 0 −1 −5 1 0 0 0 1 0 −2 0 1   −−−−−−→ L3 + L2   1 2 6 0 1 5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 −2 1 1  

Logo a matriz A não é invertível. 3.4 Sistemas de Cramer Seja S :          α11x1 + α12x2 + · · · + α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + · · · + α2nxn = β2 ... ... ... ... αm1x1 + αm2x2 + · · · + αmnxn = βm (3.6)

um sistema de m equações com n incógnitas (m, n ≥ 1 ) sobre R. Se tomarmos A =      α11 α12 · · · α1n α21 α22 · · · α2n ... ... ... αm1 αm2 · · · αmn      , X =      x1 x2 ... xn      e B =      β1 β2 ... βm      ,

então S poderá ser escrito na forma matricial AX = B

(53)

onde A recebe o nome de matriz dos coeficientes dos sistema (3.6). Definição 3.4.1. Um sistema de Cramer é um sistema linear n×n cuja matriz dos coeficientes é invertível.

Neste ambiente em que A ∈ Mn(R)∗ procedendo com as seguintes

manipulações algébricas, cujas validades já foram demonstradas temos. AX = B ⇔ A−1(AX) = A−1B ⇔ (A−1A)X = A−1B ⇔ InX =

A−1B ⇔ X = A−1B

Portanto todo sistema de Cramer é possível e determinado. Exemplo 3.4.1. A matriz dos coeficiente do sistema

   x + y = 1 y + z = 1 x + 2z = 0 é A =   1 1 0 0 1 1 1 0 2   que é invertível e A−1 = 1₃   2 −2 1 1 2 −1 −1 1 1   Além disso X =   x y z   e B =   1 1 0   Portanto X = 1₃   2 −2 1 1 2 −1 −1 1 1  ·   1 1 0   =   0 1 0   ⇒   x y z   =   0 1 0   CTT112-A 04/05/2018 3.5 Matrizes Elementares

Definição 3.5.1. Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz E obtida de In por meio de uma única operação elementar.

Exemplo 3.5.1. E1 =   0 0 1 0 1 0 1 0 0  , E2 =   1 0 0 0 2 0 0 0 1  , E3 =   1 0 0 3 1 0 0 0 1  ,

(54)

Teorema 3.1. Sejam E uma matriz elementar de ordem n. Se apli-carmos, em uma matriz A, (também de ordem n) a mesma operação elementar que transforma In em E obtemos a matriz EA.

Exemplo 3.5.2. Sejam A =   1 2 4 5 1 3 2 1 8   E1 =   0 0 1 0 1 0 1 0 0  , E2 =   1 0 0 0 2 0 0 0 1   e E3 =   1 0 0 3 1 0 0 0 1  

Aplicando a operação que transformou In em E1 obtemos:

  1 2 4 5 1 3 2 1 8   −−−−−−→ L1 ↔ L3   2 1 8 5 1 3 1 2 4  

Multiplicando E1 por A obtemos:

E1 · A =   0 0 1 0 1 0 1 0 0  ·   1 2 4 5 1 3 2 1 8   =   2 1 8 5 1 3 1 2 4  

  1 2 4 5 1 3 2 1 8   −−−−−−→ L2 = 2L2   1 2 4 10 2 6 2 1 8  

(55)

Multiplicando E2 por A obtemos: E2 · A =   1 0 0 0 2 0 0 0 1  ·   1 2 4 5 1 3 2 1 8   =   1 2 4 10 2 6 2 1 8  

  1 2 4 5 1 3 2 1 8   −−−−−−→ L1 + 3L1   1 2 4 8 7 15 2 1 8  

Multiplicando E3 por A obtemos:

E3 · A =   1 0 0 3 1 0 0 0 1  ·   1 2 4 5 1 3 2 1 8   =   1 2 4 8 7 15 2 1 8  

Teorema 3.2. Toda matriz elementar E de ordem n é invertível. CTT112-B 04/05/2018

Teorema 3.3. Uma matriz A de ordem n é invertível se, e somente se, In ∼ A. Neste caso, a mesma sucessão de operações que transforma A

em In, transforma In em A−1.

Demonstração.

Et · Et−1· · · E2 · E1 · A = In ⇒ A−1 = Et · Et−1· · · E2 · E1

(56)

3.6 Aplicações

Exemplo 3.6.1. Suponha que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Determine seus coeficientes a, b, c e d resolvendo o seguinte sistema:

       f (−1) = −2 f (0) = 2 f (1) = 2 f (2) = 4

Exemplo 3.6.2. Suponha que f(n) =

n

P

k=1

k2 possa ser expressa por uma função polinomial de grau três, ou seja, f(n) = an3_{+ bn}2_{+ cn + d}_.

Determine seus coeficientes a, b, c e d resolvendo o seguinte sistema:        f (0) = 0 f (1) = 1 f (2) = 5 f (3) = 14 Resolvendo o sistema acima obtemos       a b c d       =       1 3 1 2 1 6 0       Ou seja, f(n) = 1 3n 3 ₊ 1 2n 2 ₊ 1 6n + 0 = n(2n+1)(n+1) 6 . Desse fato

concluímos que caso a função f possa ser expressa como polinômio de grau 3 então é dada por

n

X

k=1

k2 = n(2n + 1)(n + 1)

(57)

Exemplo 3.6.3. Dados os pontos D = (8, 12), E = (13, 9), F = (18, 1)

e G = (0, 4) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as

coorde-nadas de A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3).    4A = B +C + D+ E 4B = A+C +E +F 5C = A+B +D +F +G x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D E F G

Exemplo 3.6.4. Dados os pontosD = (17, 6), E = (16, 10), F = (2, 11)

coorde-nadas de A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3).    4A = B +C + D+ E 4B = A+C +E +F 5C = A+B +D +F +G

(58)

x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D E G F Resposta: A = (13, 8), B = (10, 9) e C = (9, 7)

(59)

x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C D E G F Resposta: A = (12, 7), B = (9, 8) e C = (8, 6)

(60)

x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C D E G F Resposta: A = (11, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6)

(61)

(62)

(63)

x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E G F Resposta: A = (11, 6), B = (8, 7) e C = (7, 6) Exemplo 3.6.10. Exemplo 3.6.11. Exemplo 3.6.12. Exemplo 3.6.13.

Esse problema pode ser generalizado de modo que a solução é ob-tida por meio de resolução de um sistema linear [?]. Segue o esquema generalizado aplicado a parametrização de superfícies triangulares.

(64)

Click aqui para ver mais detalhes dessa generalização

http://www.tellau.com.br/mestrado/dissertacao_telau.pdf.

Veja também um vídeo da resolução de um sistema por meio de mé-todo iterativo clicando aqui (Relaxamento Planar)

Um problema análogo porém no espaço tridimensional também requer a solução de um sistema mas não um sistema linear. Porém sua resolução é feita iterativamente e em cada iteração um sistema linear é resolvido. Veja vídeo de processo clicando aqui(Método de Newton e Instabilidade).

(Método de Newton e Estabilidade mas não convergente) CTT112-A 09/05/2018

(65)

Capítulo 4

Espaços Vetoriais

4.1 Espaços Vetoriais

Nesse capítulo vamos formalizar um pouco mais a linguagem mate-mática de estruturas como o conjunto de matrizes para que não se tenha dupla ou múltiplas interpretações de uma mesma afirmação. Para en-tender melhor esse fato clique aqui(Romanos) para assistir esse vídeo. Definição 4.1.1. Dizemos que um conjunto E 6= ∅ é um espaço veto-rial sobre R quando for possível definir duas operações satisfazendo uma lista de 8 propriedades que descreveremos a seguir.

I - Adição

+ : E × E −→ E (u, v) 7−→ u+v tal que

A1) u+v = v+u, ∀u, v ∈ E(Comutatividade);

A2) u+(v+w) = (u+v)+w, ∀u, v, w ∈ E(Associatividade);

A3) ∃ 0 ∈ E tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ E(Existência do elemento

neutro da soma);

A4)Dada a matriz u ∈ E, ∃(−u) ∈ E tal que u+(−u) = 0(Existência

do inverso aditivo).

(66)

II - Produto por Escalar

: E × E −→ E

(u, v) 7−→ u v tal que

M1) (α · β) u = α (β u), ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ E(Associatividade);

M2) (α + β) u = α u+β u, ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ E(Distributiva

do produto por escalar em relação à soma de números reias);

M3) α(u+v) = α u+α v, ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ E(Distributiva do

produto por escalar em relação à soma de vetores); M4) 1 u = u, ∀u ∈ E(Elemento neutro).

Exemplo 4.1.1. O conjunto R com as operações de adição e multipli-cação é um espaço vetorial sobre R.

Exemplo 4.1.2. O conjunto C com as operações de soma e produto de números reais por complexos é um espaço vetorial(Neste caso, em C está definido um produto de complexo por complexo que torna C um corpo algebricamente fechado).

Exemplo 4.1.3. O conjunto dos vetores da geometria(definidos por meio de segmentos orientados) é um espaço vetorial.

Exemplo 4.1.4. O conjunto Mm×n(R) das matrizes m × n com as

operações de soma e produto por escalar definidas no anterior é um espaço vetorial sobre R.

Exemplo 4.1.5. Seja Rn = {(x1, · · · , xn) / x1, · · · , xn ∈ R} com as

operações + : Rn× Rn _−→ Rn (u, v) 7−→ u + v · : R × Rn _−→ Rn (λ, u) 7−→ λ · u

(67)

Dados    u = (x1, · · · , xn) v = (y1, · · · , yn) λ ∈ R

definimos a soma e o produto por es-calar da seguinte forma:

(x1, · · · , xn) + (y1, · · · , yn) := (x1 + y1, · · · , xn + yn)

e

λ · (x1, · · · , xn) := (λ · x1, · · · , λ · xn)

(Rn, +, ·) é um espaço vetorial sobre R.

Exemplo 4.1.6. (Cn, +, ·) é um espaço vetorial sobre R.

Exemplo 4.1.7. Seja Pn o conjunto de todos os polinômios de grau ≤ n,

ou seja, Pn(R) = {(a0 + a1x + · · · + anxn) / a0, · · · , an ∈ R} com as

operações + : Pn(R) × Pn(R) −→ Pn(R) (f, g) 7−→ f + g · : R × Pn(R) −→ Pn(R) (λ, f ) 7−→ λ · f Dados    f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn g(x) = b0 + b1x + · · · + bnxn λ _{∈ R}

definimos a soma e o pro-duto por escalar da seguinte forma:

(a0 + · · · + anxn) + (b0 + · · · + bnxn) := (a0 + b0) + · · · + (an + bn) xn

e

λ · (a0 + · · · + anxn) := λ · a0 + · · · + λ · anxn

Prove que (Pn(R) , +, ·) é um espaço vetorial sobre R.

Exemplo 4.1.8. O espaço Pn(C) é um espaço vetorial sobre C.

Exemplo 4.1.9. O conjunto F (R) das funções f : R −→ R é um espaço vetorial sobre R.

(68)

Exemplo 4.1.10. E = {u ∈ R /u > 0} com as operações u+v := u · v e λ u := uλ é um espaço vetorial sobre R .

Exemplo 4.1.11. Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais. Determine quais são as condições sobre a, b, c e d para que seja comutativa a operação de adição definida por

(x1, y1)+(x2, y2) := (ax1 + bx2, cy1 + dy2).

Demonstração.

u+v = (x1, y1)+(x2, y2) = (ax1 + bx2, cy1 + dy2)

v+u = (x1, y1)+(x2, y2) = (ax2 + bx1, cy2 + dy1)

Portanto para que seja comutativa é necessário que ax1 + bx2 = ax2 + bx1, ∀x1, x2 ∈ R

cy1 + dy2 = cy2 + dy1, ∀y1, y2 ∈ R

Assim podemos inferir que valem as igualdades para quaisquer valores que atribuirmos a x1, x2, y1, y2 ∈ R

x1 = 1, x2 = 0 ⇒ a = b

y1 = 1, y2 = 0 ⇒ c = d

Portanto as condições são : a = b

c = d

Exemplo 4.1.12. Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais. Determine quais são as condições sobre a para que seja associativa a operação de produto por escalar definida por

λ (x, y) = (a · λ · x, λ · y). Demonstração.

(69)

α(β u) = α · (β (x, y)) = α (a · β · x, β · y)

= (a · α · (a · β · x), α · β · y) = (a2 · (α · β) · x, (α · β) · y)

Portanto para que seja associativa é necessário que a · (α · β) · x = a2 · (α · β) · x

Assim podemos inferir que vale a igualdade para quaisquer valores que atribuirmos a α, β e x.

Portanto a única condição é:

a2 = a ⇒ a2 − a = 0 ⇒ a(a − 1) = 0 ⇒

a = 0 ou a = 1.

4.2 Propriedades

Seja um espaço vetorial E sobre R. Então valem as seguintes propri-edades: P1. Para todo α ∈ R, α · 0 = 0 Demonstração. α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0 ⇒ α · 0 + α · 0 = α · 0 ⇒ α · 0 + α · 0 = 0 + α · 0 ⇒ [α · 0 + α · 0] + (−(α · 0)) = [0 + α · 0] + (−(α · 0)) ⇒ α · 0 + [α · 0 + (−(α · 0))] = 0 + [α · 0 + (−(α · 0))] ⇒ α · 0 + 0 = 0 + 0 ⇒ α · 0 = 0 CTT112-B 09/05/2018

(70)

P2. Para todo u ∈ E, 0 · u = 0. Demonstração. 0 · u = (0 + 0) · u = 0 · u + 0 · u ⇒ 0 · u = 0 · u + 0 · u ⇒ 0 · u + 0 = 0 · u + 0 · u ⇒ (−(0 · u)) + [0 · u + 0] = (−(0 · u)) + [0 · u + 0 · u] ⇒ [(−(0 · u)) + 0 · u] + 0 = [(−(0 · u)) + 0 · u] + 0 · u ⇒ 0 + 0 = 0 + 0 · u ⇒ 0 = 0 · u ⇒ 0 · u = 0

Seja E um espaço vetorial. Prove que para todo u ∈ E, 0 · u = 0 Solução: 0 · u = (0 + 0) · u = 0 · u + 0 · u ⇒ 0 · u = 0 · u + 0 · u ⇒ 0 · u + 0 = 0 · u + 0 · u ⇒ (−(0 · u)) + [0 · u + 0] = (−(0 · u)) + [0 · u + 0 · u] ⇒ [(−(0 · u)) + 0 · u] + 0 = [(−(0 · u)) + 0 · u] + 0 · u ⇒ 0 + 0 = 0 + 0 · u ⇒ 0 = 0 · u ⇒ 0 · u = 0

P3. Uma igualdade α · u = 0, com α ∈ R e u ∈ E só é possível se α = 0

ou u = 0.

Demonstração. Suponha α 6= 0. Daí existe o número real α−1. Mul-tiplicando então ambos os lados da equação α · u = 0 por α−1 _teremos

(71)

P4. Para todo α ∈ R e todo u ∈ E, (−α) · u = −(αu).

Demonstração.

αu + (−α) · u = [α + (−α)] · u = 0 · u = 0 ⇒ αu + (−α) · u = 0 Assim temos:

αu + (−α) · u = 0

αu + (−(α · u)) = 0 ⇒ αu + (−α) · u = αu + (−(α · u)) ⇒ (−(αu)) + [αu + (−α) · u] = (−(αu)) + [αu + (−(α · u))] ⇒

[(−(αu)) + αu] + (−α) · u = [(−(αu)) + αu] + (−(α · u)) ⇒ 0 + (−α) · u = 0 + (−(α · u)) ⇒

(−α) · u = −(α · u)

Em particular se α = 1 temos (−1) · u = −(1 · u) donde (−1) · u = −u. Ou seja, o inverso aditivo de u é igual a (−1)·u assim como ocorria com números reais.

P5. Para todo α ∈ R e todo u ∈ E, α(−u) = −(αu)

Demonstração.

αu + α · (−u) = α · [u + (−u)] = α · 0 = 0 ⇒ αu + α · (−u) = 0 Assim temos:

αu + α · (−u) = 0

αu + (−(α · u)) = 0 ⇒ αu + α · (−u) = αu + (−(α · u)) ⇒ (−(αu)) + [αu + α · (−u)] = (−(αu)) + [αu + (−(α · u))] ⇒

(72)

0 + α · (−u) = 0 + (−(α · u)) ⇒ α · (−u) = −(α · u)

Definição 4.2.1. Dados dois vetores u, v do espaço E, define-se a dife-rença entre u e v como segue:

u − v := u + (−v) (4.1) P6. Para todo α, β ∈ R e u ∈ E, (α − β) · u = α · u − β · u. Demonstração. (α − β) · u = (α + (−β)) · u = α · u + (−β) · u = α · u + (−(β · u)) = α · u − (β · u) = α · u − β · u

P7. Para todo α ∈ R e todo u, v ∈ E, α · (u − v) = α · u − α · v.

Demonstração. α · (u − v) = α · (u + (−v)) = α · u + α · (−v) = α · u + (−(α · v)) = α · u − (α · v) = α · u − α · v

P8. Sejam E um espaço vetorial e u, v, w ∈ E. Utilizando apenas as 8

(73)

ou seja, se u + v = u + w então v = w (Explicite cada propriedade utilizada). Solução: u + v = u + w ⇒ (−u) + [u + v] = (−u) + [u + w] ⇒ [(−u) + u] + v = [(−u) + u] + w ⇒ 0 + v = 0 + w ⇒ v = w

P9. Dados os números α1, α2, · · · , αn, β ∈ R e u1, · · · , un ∈ E, então:

β n X j=1 αjuj ! = n X j=1 (βαj) uj (4.2)

Demonstração. Faremos a demonstração por indução. Seja a propo-sição P (n) definida como

P (n) : β n P j=1 αjuj ! = n P j=1 (βαj) uj

Assim temos que P (1) : β 1 P j=1 αjuj ! = 1 P j=1 (βαj) uj ⇔ β(α1u1) = (βα1)u1 (por M1) Desenvolvendo P (n + 1) temos: β n+1 P j=1 αjuj ! = n+1 P j=1 (βαj) uj ⇔ βPn j=1αjuj + αn+1un+1 = n P j=1 (βαj) uj + (βαn+1) un+1 β Pn j=1αjuj + β (αn+1un+1) = n P j=1 (βαj) uj + β (αn+1un+1)

(74)

CTT112-A,B 09/05/2018 4.3 Subespaços Vetoriais

Definição 4.3.1. Seja E um espaço vetorial sobre R. Um subespaço vetorial de E é um subconjunto F ⊂ E, tal que:

i) 0 ∈ F;

ii) u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F; iii) α ∈ R, u ∈ F ⇒ αu ∈ F .

Usaremos a seguinte notação F ≤ E para indicar que F é subespaço vetorial de E.

(75)

CTT112-A 11/05/2018

Teorema 4.1. Se F ⊂ E é um subespaço vetorial de E, então F é um espaço vetorial sobre R(Exercício).

Exemplo 4.3.1. Para todo espaço vetorial E é imediato que F = {0} e F = E são subespaços de E. Esses subespaços são chamados subespaços triviais.

Exemplo 4.3.2. F = {(x, y, z) ∈ R3/x + y + z = 0} é um subespaço de R3 _{(Exercício).}

Exemplo 4.3.3. F = {(x, y, z) ∈ R3/x + y + z = 2} não é um subes-paço de R3 (Exercício).

(76)

Exemplo 4.3.4. F = {(x, y, z) ∈ R3/ax+by +cz = 0}é um subespaço de R3 _{(Exercício).}

Exemplo 4.3.5. A interseção de dois subespaços do mesmo espaço ve-torial E é também um subespaço veve-torial de E.(Exercício) (F, G ≤ E) ⇒ F ∩ G ≤ E)

Exemplo 4.3.6. Ps(R) é um subespaço de Pn(R) desde que 0 ≤ s ≤

n.(Exercício)

Exemplo 4.3.7. Uma matriz M ∈ Mn(R) é dita simétrica quando vale

[M ]_ij = [M ]_ji. O conjunto Sn(R) ⊂ Mn(R) das matrizes simétricas é

um subespaços vetoriais de Mn(R).

Demonstração.

i) [0]ji = 0 = [0]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒ 0 ∈ Sn(R);

ii) A, B ∈ Sn(R) ⇒ [A]ji = [A]ij e [B]ji = [B]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒

[A+B]ji = [A]ji+[B]ji = [A]ij+[B]ij = [A+B]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒

A + B ∈ Sn(R);

iii) A ∈ Sn(R), α ∈ R ⇒ [α · A]ji = α · [A]ji = α · [A]ij =

[α · A]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒ α · A ∈ Sn(R).

Exemplo 4.3.8. Uma matriz M ∈ Mn(R) é dita anti-simétrica quando

vale [M]ij = − [M ]ji. O conjunto An(R) ⊂ Mn(R) das matrizes

anti-simétricas é um subespaços vetoriais de Mn(R).

Demonstração.

i) [0]ji = 0 = −0 = −[0]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒

0 ∈ An(R);

ii) A, B ∈ An(R) ⇒

[A]ji = −[A]ij e [B]ji = −[B]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒

[A + B]ji = [A]ji+ [B]ji = (−[A]ij) + (−[B]ij) = −([A]ij) + [B]ij) =

−[A + B]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒ A + B ∈ An(R);

(77)

[α · A]ji = α · [A]ji = α · (−[A]ij) = −[α · A]ij ∀i, j ∈ {1, · · · , n} ⇒

α · A ∈ An(R).

Exemplo 4.3.9. Se E é um espaço vetorial e u ∈ E, o conjunto dos vetores da forma λu com λ ∈ R, é um subespaço de E.(Exercício) Demonstração.

i) 0 = 0 · u ∈ F ⇒ 0 ∈ F;

ii) v, w ∈ F ⇒ v = λ1 · u, w = λ2 · u ⇒ v + w = λ1 · u + λ2 · u =

(λ1 + λ2) · u ∈ F;

iii) v ∈ F, α ∈ R ⇒ α · v = α · (λ · u) = (α · λ) · u ∈ F .

Exemplo 4.3.10. O conjunto das matrizes triangulares superiores de dimensão n definido por Tn(R) = {A ∈ Mn(R); [A]ij = 0 ∀i > j} é um

subespaço vetorial de Mn(R).

Exemplo 4.3.11. Seja um sistema linear homogênio sobre R:          a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 ... ... ... ... 0 am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0 (4.3)

Prove que o conjunto solução do sistema acima é um sub-espaço ve-torial de Rn_.

Demonstração. E = Rn, F = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn/ (x1, · · · , xn) é

solução do sistema (4.3) } ⇒ F ⊂ E é um subespaço vetorial. i) (0, 0, · · · , 0) ∈ F;

ii) (x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈ F ⇒ (x1, · · · , xn) + (y1, · · · , yn) ∈ F;

(78)

Exemplo 4.3.12. O conjunto G ⊂ F (R) das funções g : R −→ R tais que g(0) = 0 é um subespaço vetorial de F (R).

Demonstração. i) 0(0) = 0 ⇒ 0 ∈ F (R) ii) f, g ∈ F (R) ⇒ f (0) = g(0) = 0 ⇒ (f + g)(0) = f (0) + g(0) = 0 + 0 = 0 ⇒ f + g ∈ F (R) iii) λ ∈ R, f ∈ F (R) ⇒ f (0) = 0 ⇒ (λf )(0) = λf (0) = λ0 ⇒ λf ∈ F (R)

Exemplo 4.3.13. Mostre que

a) Dados v0 uma solução de AX = B e v uma solução de AX = 0

então w = v0 + v é solução de AX = B;

b) Dados v0, w soluções de AX = B então v = w − v0 é solução de

AX = 0. Solução:

a) De fato Aw = A(v + v0) = Av + Av0 = B + 0 = B. Logo v + v0

é uma solução de AX = B.

b) De fato Av = A(w − v0) = Aw − A0 = B − B = 0.

4.4 Soma de Subespaços

Definição 4.4.1. Sejam F, G ≤ E subespaços vetoriais de E. Indica-mos por

F + G = {u + v/u ∈ F e v ∈ G} .

Teorema 4.2. Sejam E é um espaço vetorial e F, G ⊂ E subespaços vetoriais de E. Então F + G também é um sub-espaço vetorial de E. Demonstração.

(79)

i) 0 = 0 + 0 ∈ F + G, pois 0 ∈ F, G;

ii) w, t ∈ F + G ⇒ w + t = (u1+ v1) + (u2+ v2) = (u1+ u2) + (v1+ v2) ∈

F + G;

iii) w ∈ F + G, λ ∈ R ⇒ λ · w = λ · (u + v) = λ · u + λ · v ∈ F + G; CTT112-B 11/05/2018

Definição 4.4.2. Sejam F, G ⊂ E subespaços vetoriais de um espaço vetorial E tais que F ∩ G = {0}. Neste caso diz-se que F + G é a soma direta dos subespaços F e G e indicamos por F ⊕ G.

Teorema 4.3. Sejam F, G ⊂ E subespaços vetoriais de um espaço vetorial E. Então E = F ⊕ G se, e somente se, cada vetor u ∈ E admite uma única decomposição u = v + w, com v ∈ F e w ∈ G.

Demonstração. Se E = F ⊕ G então u ∈ E ⇒ u = v + w, v ∈ F e w ∈ G. Suponha que u = v0 + w0 , com v ∈ F e w ∈ G. ⇒ v+w = v0+w0 ⇒ v−v0 = w−w0 ∈ F ∩G = {0} ⇒ v = v0 e w = w0. Portanto a escrita é única.

Supondo agora que cada vetor de u ∈ E tem uma única escrita u = v + w, com v ∈ F e w ∈ G então E = F + G. Se u ∈ F ∩ G então u = u+0 = 0+ulogo u = 0. Portanto F ∩G = {0} e consequentemente E = F ⊕ G.

Exemplo 4.4.1. O espaço R3 é a soma direta dos subespaços: F = {(x, 0, 0) ∈ R3/x ∈ R}

G = {(0, y, z) ∈ R3/y, z ∈ R}

(80)

Para todo {(x, y, z) ∈ R3 _{temos {(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, z) ∈ F + G}

Logo R3 _{= F ⊕ G}_.

Exemplo 4.4.2. O espaço R3 é claramente a soma direta dos subespa-ços:

F = {(x, y, x + y) ∈ R3/x, y ∈ R}

G = {(z, z, z) ∈ R3/y, z ∈ R}

Também vale F ∩ G = {(0, 0, 0)}

Para todo {(a, b, c) ∈ R3 _{temos {(a, b, c) = (x, y, x + y) + (z, z, z) ∈}

F + G basta tomar x = c − b, y = c − a e z = a + b − c. Logo R3 _{= F ⊕ G}_.

4.5 Combinação Linear

Definição 4.5.1. Seja E um espaço vetorial sobre R e S ⊂ E um subconjunto não vazio de E. Indiquemos por

[S] = {α1u1 + · · · + αnun / u1, · · · , un ∈ E e α1, · · · , αn ∈ R} (4.4)

Teorema 4.4. [S] é um subespaço vetorial de E.

O subespaço [S] que acabamos de construir recebo o nome de espaço gerado por S. Cada elemento de [S] é uma combinação linear de S. Diz-se também que S geram [S], ou então que S é um sistema de geradores de [S].

Teorema 4.5. Decorre da definição que: a) S ⊂ [S];

(81)

b) S1 ⊂ S2 ⊂ E ⇒ [S1] ⊂ [S2];

c) [S] = [[S]];

d) Se S1 ⊂ E e S2 ⊂ E, então [S1 ∪ S2] = [S1] + [S2]

Demonstração. a) v ∈ S ⇒ v = 1 · v ∈ [S].

Exemplo 4.5.1. Se E = R3, u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) o que é [{u, v}]? Demonstração.

[{u, v}] = {αu + βv/ α, β ∈ R} = {(α + β, β, 0)/ α, β ∈ R} = {(x, y, 0)/ x, y ∈ R} uma vez que o sistema

α + β = x

β = y é possível e determinado.

4.6 Espaços Finitamente Gerados

Exemplo 4.6.1. Seja S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Verifique que R3 = [S].

∀(a, b, c) ∈ R3 vale a igualdade

(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) R3 = [S].

Exemplo 4.6.2. Seja S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 6)}. Verifique que R3 = [S].

∀(a, b, c) ∈ R3 a equação a seguir tem solução

(82)

  x y z   =   3a − 3b + c 5b − 3a − 2c a − 2b + c   Portanto R3 _{= [S]}_.

Definição 4.6.1. Dizemos que um espaço vetorial E é finitamente ge-rado se existe S ⊂ E, finito, tal que E = [S].

Exemplo 4.6.3. Cada um dos seguintes espaços vetoriais é finitamente gerado: 1) E = R3_; 2) E = {0}; 3) E = M2(R); 4) E = Rn_; 5) E = Mm×n(R); 6) E = Pn(R). Exemplo 4.6.4. R∞ = {(x1, · · · , xn, · · · ); xi ∈ R ∀i = 1, 2, · · · , n · · · }

não é um espaço finitamente gerado. 4.7 Aplicações

Uma aplicação de base de um espaço vetorial é a conversão de imagens no formato .bmp para o formato .jpg. Esta conversão consiste em (uma versão discreta) escrever as matrizes rgb do mapa de bits como uma combinação linear de matrizes de uma base especial das matrizes.