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(1)

Notas para o acompanhamento das aulas de

´

Algebra Linear

(2)

(3)

Sum´

ario

1 Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes 5

1.1 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . 5

1.2 Matrizes . . . 8

1.2.1 Alguns Tipos Especiais de Matrizes . . . 14

1.3 Determinantes de Matrizes . . . 16

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes . . 23

2 Espa¸cos Vetoriais 33 2.1 O conceito de Espa¸co Vetorial . . . 33

2.2 Subespa¸cos Vetoriais . . . 39

2.3 Combina¸cões Lineares, Dependência e Independência Linear . . . 43

2.4 Espa¸co e Subespa¸co Vetorial Gerado por Conjunto . . . 46

2.5 Base e Dimens˜ao de Espa¸co Vetorial Finitamente Gerado . . . 49

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Espa¸cos Vetoriais . . . 57

3 Transforma¸c˜oes Lineares 67 3.1 O Conceito de Transforma¸c˜ao Linear . . . 67

3.2 N´ucleo de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 70

3.3 Isomorfismos e Automorfismos . . . 73

3.4 Matrizes e Transforma¸c˜oes Lineares . . . 74

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Transforma¸c˜oes Lineares . . . 80

4 Espa¸cos com Produto Interno 89 4.1 O Conceito de Produto Interno . . . 89

4.2 Medindo Distˆancias e ˆAngulos . . . 92

4.3 O Processo de Ortonormaliza¸c˜ao de Bases de Gram-Schmidt . . . 94

4.4 Operadores Lineares Especiais sobre Espa¸cos Vetoriais com Produto Interno . . . 96

4.4.1 Operador Proje¸c˜ao Ortogonal . . . 96

4.4.2 Operador Isometria . . . 97

4.4.3 Operador Auto-Adjunto . . . 98

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Espa¸cos com Produto Interno . . . 99

5 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares 107 5.1 Autovalores, Autovetores e Subespa¸cos Pr´oprios . . . 107

5.2 O Polinˆomio Caracter´ıstico . . . 109

5.3 Diagonalizando Operadores Lineares . . . 111

5.4 O Polinˆomio Minimal . . . 114

5.5 A Forma Canˆonica de Jordan . . . 117

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares . . . 122

(4)

(5)

Cap´ıtulo 1

Sistemas Lineares, Matrizes e

Determinantes

Este cap´ıtulo aborda três assuntos básicos: sistemas lineares, matrizes e determinanes, que são pré-requisitos para os demais cap´ıtulos deste texto.

Um primeiro estudo de Álgebra Linear é focado nas chamadas transforma¸cões lineares, que serão introduzidas no Cap´ıtulo 3, página 67, e, conforme veremos, estarão intrinsicamente relacionadas com as matrizes, da´ı a importância de um estudo prévio desse assunto. Quanto aos sistemas lineares, eles são extremamente necessários ao desenvolvimento de nossos estudos e surgem a todo momento, e em todos os cap´ıtulos, deste texto. Já os determinantes são especialmente importantes para adiagonaliza¸cão de operadores lineares, conforme veremos no Cap´ıtulo 5, página 107, uma vez que está relacionado com um importante polinômio, chamado depolinômio caracter´ıstico.

1.1 Sistemas de Equa¸

c˜

oes Lineares

Sejam R: conjunto dos n´umeros reais e;

C: conjunto dos n´umeros complexos.

Estes conjuntos munidos das opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão usuais são chamados decorpos numéricos.

Sejam a1, . . . , an, b∈R(ouC), sendon≥1. Chama-seequa¸c˜ao linearsobreR (ouC)uma equa¸c˜ao da forma: a1x1+_{· · ·}+anxn=b

sendo que:

xk,1_≤k_≤n, são as variáveisou asincógnitasem R(ouC). ak,1_≤k_≤n, são os coeficientes dexk.

b´e otermo independente.

Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn), ou x1 = α1, . . . , xn = αn, αk ∈ R (ou C)é solu¸cão da equa¸cão linear acima quando a1α1+· · ·+anαn=bfor verdadeira.

Observa¸cão: xk ser variável em uma equa¸cão linear significa quexk pode assumir infinitos valores, enquanto quexk ser incógnita significa quexk pode assumir apenas um valor.

Exemplo 1.1 As equa¸cões2x1+4x2=2oux2+x3+x4=0 são equa¸cões lineares sobre R.

Um sistema de equa¸cões linearesS, mporn sobreR (ouC)é um conjunto demequa¸cões lineares sobreR(ou

C), cada uma com nvari´aveis ou inc´ognitas. RepresentamosS do seguinte modo:

S=

    

   

a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = b2

.. .

am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm _(m_×_n)

Quando m=ndizemos que Sé de ordem n. Dizemos ainda que an-upla (α1, . . . , αn)ésolu¸cão deS quando for solu¸cão de cada uma das mequa¸cões lineares de S.

Quando todos os termos independentes são nulos, ou seja,bi=0, para todoi=1, . . . , m, dizemosSéhomogêneo. Geralmente, um sistema de equa¸cões lineares é, simplesmente, chamado desistema linear.

(6)

P´agina 6 de 127 p´aginas UFU Algebra Linear Exemplo 1.2 O sistema

S=

2x1+4x2 =2

x2 +x3+x4=0 ´e um sistema linear2×4 sobreR.

Dado um sistema linear S, dizemos que:

S éincompat´ıvel (ouimposs´ıvel) quandonão admitirsolu¸cões. (SI)

S ´ecompat´ıvel determinado (ouposs´ıvel e determinado)quando admitir apenas umasolu¸c˜ao. (SPD)

S ´ecompat´ıvel indeterminado (ouposs´ıvel e indeterminado)quando admitir infinitassolu¸c˜oes. (SPI)

Exemplo 1.3 Os sistemas

S=

x1+x2=1

x1+x2=2 e

S=

0x1+0x2=3

4x1+2x2=0 s˜ao sistemas lineares imposs´ıveis.

Exemplo 1.4 O sistema

S=  



1x1+0x2+0x3=1

0x1+2x2+0x3=2

0x1+0x2+3x3=3

´e um sistema linear poss´ıvel e determinado. Solu¸c˜ao: x1=x2=x3=1(ou(1, 1, 1)).

Exemplo 1.5 O sistema

S=

x1 + x2 =1

2x1+2x2=2 ´e um sistema linear poss´ıvel e indeterminado.

Seja S um sistema linear. São chamadas opera¸cões elementaresemS as seguintes opera¸cões:

(i) permuta de duas linhas deS.

(ii)multiplica¸cão de uma linha deSpor um número real não nulo.

(iii)soma de uma linha de Scom outra linha que foi multiplicada por um n´umero real n˜ao nulo.

Observemos que opera¸cões elementares não alteram a(s) solu¸cão(ões) do sistema linear.

Um sistema linear S1 é equivalente a um sistema linear S2 quando S2 é obtido de S1 por opera¸cões elementares. Nota¸cão: S1∼S2.

Exemplo 1.6 Os sistemas

S1=    

  

x1+2x2+3x3+4x4=1

2x1+3x2+4x3+5x4=2

3x1+4x2+5x3+6x4=3 .(-1)

4x1+5x2+6x3+7x4=4 +

eS2=    

  

2x1+3x2+ 4x3 + 5x4 =2

x1 +2x2+ 3x3 + 4x4 =1

6x1+8x2+10x3+12x4=6

x1 + x2 + x3 + x4 =1

s˜ao sistemas lineares equivalentes.

Observa¸c˜oes.

(i)A equivalência∼definida acima é chamada derela¸cão de equivalência entre sistemas lineares, ou seja: (a)S1∼S1 (reflexiva);

(b)S1∼S2⇐⇒S2∼S1(sim´etrica);

(c)S1∼S2eS2∼S3=⇒S1∼S3(transitiva).

(ii)Sistemas lineares equivalentes possuem a(s) mesma(s) solu¸c˜ao(˜oes).

Dizemos que um sistema linearm_×n est´aescalonadoquando possui o seguinte formato: a1r1xr1 + · · · + a1nxn = b1

a2r2xr2 + · · · + a2nxn = b2 .. . ajrjxrj + · · · + ajnxn = bj

0xn = bj+1 .. . 0xn = bm (as linhas nulas podem ser eliminadas)

(7)

Exemplo 1.7 O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema poss´ıvel e indeterminado(SPI):

x1 + 2x2 + 4x4 + 5x5 = 1

4x3 + 5x4 = 2

6x4 + 7x5 = 3

8x5 = 4

Exemplo 1.8 O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema imposs´ıvel(SI):

x1 + x2 = 1

2x2 = 3

0x2 = 5

Exemplo 1.9 O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema poss´ıvel e determinado(SPD):

x1 + x2 = 1

2x2 + 3x3 = 2

6x3 = 3

Proposi¸c˜ao 1.1 Todo sistema linear ´e equivalente a um sistema linear escalonado.

Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Via Escalonamento

SejaS um sistema linear escalonadom×ncom linhas nulas e repetidas eliminadas. (i)Se a última linha deS for da forma0xn =b6=0, então o sistema é imposs´ıvel(SI). Caso as linhas da forma0xn=b6=0não ocorram temos:

(ii)Sem=n, então o sistema é poss´ıvel e determinado(SPD). (iii)Sem < n, então o sistema é poss´ıvel e indeterminado(SPI).

Observa¸cão: sem > n, então necessariamente ocorrem linhas do tipo0xn=b6=0. Nos exemplos abaixo faremos x1=x,x2=yex3=zpara simplificar a nota¸cão.

Exemplo 1.10 Escalone e classifique o sistema

S1=  



x +2y−3z= −1 3x− y +2z= 7 5x+3y−4z= 2

.

Temos

S1=  



x +2y−3z= −1 .(-3) .(-5)

3x− y +2z= 7 +

5x+3y−4z= 2 +

∼ S2=  



x+2y− 3z = −1

−7y+11z= 10 .(-1)

−7y+11z= 7 +

∼ S3=  



x+2y− 3z = −1

−7y+11z= 10 0z = −3

Como a última linha do sistema escalonadoS3é da forma0z= −36=0, temos que S1é um sistema imposs´ıvel.

Exemplo 1.11 Escalone e classifique o sistema

S1=   

x+ y + z = 6 x− y +2z= 5 x+6y+3z=22

.

Temos

S1=  



x+ y + z = 6 .(-1) .(-1)

x− y +2z= 5 +

x+6y+3z=22 +

∼ S2=  



x+ y + z = 6

−2y+ z = −1 .(5/2)

+5y+2z= 16 +

∼ S3=  



x+ y + z = 6

−2y+ z = −1

+ 9₂z= 27₂

(8)

P´agina 8 de 127 p´aginas UFU Algebra Linear Exemplo 1.12 Escalone e classifique o sistema

S1=  



x+ y +z= 2 x− y +z= −2

+2y = 4 .

Temos

S1=   

x+ y +z= 2 .(-1)

x− y +z= −2 +

+2y = 4

∼ S2=   

x+ y +z= 2

−2y = −4 .(1)

+2y = 4 +

∼ S3=   

x+ y +z= 2

−2y = −4

0y = 0

∼

S4=

x+ y +z= 2

−2y = −4

Como a última linha do sistema escalonado S3 não é da forma 0z = b6= 0 em = 2 < n = 3, temos que S1 é um sistema poss´ıvel e indeterminado, sendo{(a, 2,−a) :a∈R}o conjunto solu¸cão.

Exerc´ıcio Resolvido. Uma companhia produz 3 tipos de produtos: A, B e C. Esta companhia possui 3 f´abricas:

F1, F2 eF3sendo que as f´abricas produzem diariamente as seguintes quantidades:

•F1produz1 tonelada de cada produto;

•F2n˜ao produz A, produz 1tonelada deBe2toneladas de C;

•F3produz2 toneladas deA,1tonelada deBe2 toneladas deC.

A companhia recebeu um pedido de20toneladas de A,22toneladas de Be26toneladas deC.

Quantos dias inteiros cada uma das f´abricas ter´a de trabalhar para que juntas produzam exatamente a quantia solicitada?

Resolu¸c˜ao.

Sejam:

xa quantidade de dias queF1 trabalhar´a.

ya quantidade de dias queF2 trabalhar´a.

za quantidade de dias queF3trabalhar´a.

Quantidade total de produtoAproduzido emF1: 1x. Quantidade total de produtoAproduzido emF2: 0y. Quantidade total de produtoAproduzido emF3: 2z. Queremos1x+0y+2z=20.

Quantidade total de produtoBproduzido em F1: 1x. Quantidade total de produtoBproduzido em F2: 1y. Quantidade total de produtoBproduzido em F3: 1z. Queremos1x+1y+1z=22.

Quantidade total de produtoCproduzido emF1: 1x. Quantidade total de produtoCproduzido emF2: 2y. Quantidade total de produtoCproduzido emF3: 2z. Queremos1x+2y+2z=26.

Logo,

S=  



x +2z=20 x+ y + z =22 x+2y+2z=26

⇒S′ =  



x +2z=20 y − z = 2

2y = 6

⇒S′′=  



x +2z=20 y− z = 2

2z= 2

⇒z=1,y=3 ex=18.

Conclusão: F1trabalhará1 dia,F2trabalhará 3dias eF3trabalhará18dias.

1.2 Matrizes

(9)

Vamos `as defini¸c˜oes:

Sejam m, n∈N. Chamamos dematriz real commlinhas e ncolunas uma tabela retangular da forma

A=



   

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

..

. ...

am1 am2 · · · amn 

   

sendo que aij∈R;i=1, . . . , m ej=1, . . . , n; s˜ao chamados deentradasda matriz real A. Nota¸c˜ao: A= [aij]1≤i≤m

1≤j≤n

ou, simplificadamente,A= [aij].

As mlinhas e as ncolunas deAserão indicadas porm_×ne dizemos que Aé uma matriz real detamanhom_×n ou, simplesmente, queAé uma matriz realm_×n. Quando uma matriz realApossui apenas uma única linha(1_×n), chamamos Adematriz linhae, quandoApossui apenas uma coluna (m_×1), chamamosAdematriz coluna. Ao conjunto de todas as matrizes reais m×ndenotamos Mm_×n(R).

Quandom=n, chamamosAde matriz realquadrada de ordem nou, simplesmente, de matriz real de ordemn, e denotamos o conjunto de todas as matrizes reais de ordem npor Mn(R).

Em uma matriz real A de ordem n as entradas aii ∈ R constituem a diagonal principal de A, enquanto que as entradas aij; comi+j=n+1; constituem a diagonal secund´ariadeA.

As defini¸cões acima podem ser facilmente estendidas para as chamadasmatrizes complexas, bastando, para tanto, permitir que as entradas aij possam pertencer ao conjunto Cdos números complexos. Neste caso, temos a nota¸cão

Mm×n(C), ouMn(C), para o conjunto de tais matrizes. Em particular, uma matriz real pode ser vista como matriz complexa, uma vez queR_⊂C. Quanto estiver claro sobre qual conjunto num´erico estamos trabalhando, ´e usual dizer apenas matriz Ano lugar dematriz real Aoumatriz complexa A.

Há dois casos particulares de matrizes que aparecem com muita frequência nos estudos: a matriz nula e a matriz identidade, cujas defini¸cões seguem abaixo.

Consideremos M_m×n(R)o conjunto das matrizes commlinhas e ncolunas. Definimos a matriz

O=



   

0 0 · · · 0 0 0 · · · 0

..

. ...

0 0 · · · 0 

   

m×n

como sendo amatriz nula deM_m×n(R), ou seja, Opossui apenas entradas nulas. Em particular, quando m=ndizemos que O´e amatriz nula de ordem n deMn(R). Consideremos Mn(R)o conjunto das matrizes quadradas de ordemn. Definimos a matriz

Idn=



   

1 0 · · · 0 0 1 _{· · ·} 0

..

. ...

0 0 _{· · ·} 1 

   

n×n

como sendo a matriz identidade de ordem n de Mn(R), ou seja, a diagonal principal de Idn ´e constitu´ıda por entradas iguais a 1, enquanto que as demais entradas s˜ao todas nulas.

Exemplo 1.13 Considere as matrizes abaixo:

A=

1 −2 3

−3 0 3

,B=

    

i −i 10 3

0 6i 1 1

−3 6 −2 −1

0 1 1+5i 4

    

,C=

    

1 2 1 1

1 2 0 0

−3 8 5 2

9 −1 1 7

    

,D=

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1  ,E=

 

0 0 0 0 0 0  ,

F=

1 3 7 9 11 13

,G=

  0 1 0  ,H=

 

0 0 1 0 1 0 1 0 0  , I=

i 0 1+i i 1 1−i

eJ= 5

(10)

Página 10 de 127 páginas UFU Algebra Linear • Aé uma matriz real2_×3 com entradasa11=1,a12= −2,a13=3,a21= −3,a22=0 ea23=3.

• Bé uma matriz complexa (quadrada) de ordem3, com destaque para as entradasb11=i(ié a unidade imaginária dos números complexos: i=√−1),b22=6i,b33= −2eb44=4, que constituem a diagonal principal deB;

•Cé uma matriz real de ordem4, com destaque para as entradasc14=1,c23=0,c32=8, ec41=9, que constituem a diagonal secundária de C(observe que, neste caso, os cij da diagonal secundária são tais quei+j=5);

• D´e a matriz identidade de ordem3;

• E´e a matriz nula3_×2;

• F´e uma matriz real linha1_×6;

• G´e uma matriz real coluna3×1;

• Hé uma matriz real de ordem 3(cuidado: não é a matriz identidade de ordem3);

• I´e uma matriz complexa2×3.

• J´e uma matriz real de ordem1.

´

E poss´ıvel definir opera¸cões sobreMm×n(R)que serão extremamente úteis para o desenvolvimento das transforma¸cões lineares que serão objetos de estudos futuros.

Opera¸c˜oes com matrizes:

(i) Adi¸c˜ao de matrizes: Sejam A= [aij], B = [bij]∈ Mm×n(R). Chama-se soma de A com B, e indica-se por A+B, a matrizC= [cij]∈Mm×n(R)tal quecij =aij+bij.

Simbolicamente:

+ : Mm_×n(R)×Mm×n(R) −→ Mm×n(R)

(A, B) ₇₋_→ A+B

(ii)Multiplica¸c˜ao de matriz por escalar: Sejam A= [aij]∈Mm×n(R)e α∈R. Chama-se produto deαporA a matriz reais m_×ndada porαA= [αaij].

(iii)Multiplica¸c˜ao de matrizes: SejamA= [aik]∈Mm×p(R) eB= [bkj]∈Mp×n(R). Chama-se produto deA por B, e indica-se porAB, a matrizC= [cij]∈Mm_×n(R)tal quecij=

p

P

k=1 aikbkj.

Exemplo 1.14 Adi¸c˜ao:

 

1 2 3 4 5 6  

3×2 +

 

6 5 4 3 2 1  

3×2 =

 

7 7 7 7 7 7  

3×2 .

Exemplo 1.15 Multiplica¸c˜ao por escalar: 2

1 2 3 4

2×2 =

2 4 6 8

2×2 .

Exemplo 1.16 Multiplica¸c˜ao:

 

1 2 2 1 2 2  

3×2

1 2 3 4 5 6 7 8

2×4 =

 

11 14 17 20 7 10 13 16 12 16 20 24  

3×4 .

Uma indaga¸cão muito comum na opera¸cão de multiplica¸cão de matrizes é o por quê de uma defini¸cão tão artificial. Não seria mais fácil definir a multiplica¸cão de modo análogo à adi¸cão, ou seja, multiplicar entradas correspondentes nas matrizes? A justificativa para essa indaga¸cão será apresentada mais adiante. Resumidamente, o que podemos dizer, por enquanto, é que matrizes serão associadas às chamadas transforma¸cões lineares e a composta de duas transforma¸cões lineares corresponde à multiplica¸cão de suas matrizes de acordo com a defini¸cão acima. Este é um dos (poucos) casos em que o aluno de Ensino Médio é apresentado para uma defini¸cão a qual o professor não tem condi¸cões de justificar de forma razoável, uma vez que o assunto transforma¸cões lineares não é objeto de estudos no Ensino Médio.

Proposi¸c˜ao 1.2 Propriedades operat´orias:

(a)Da adi¸c˜ao:

SejamA, B, C∈Mm_×n(R).

(1) (A+B) +C=A+ (B+C); (associativa) (2)A+B=B+A; (comutativa)

(11)

(b)Da multiplica¸c˜ao por escalar: Sejamα, β∈ReA, B∈Mm_×n(R).

(1)α(βA) = (αβ)A; (associativa)

(2)α(A+B) =αA+αB; (distributiva em rela¸cão à soma de matrizes) (3) (α+β)A=αA+βA; (distributiva em rela¸cão à soma de escalares) (4)1A=A. (elemento neutro da multiplica¸cão por escalar)

(c)Da multiplica¸c˜ao:

(1)A(BC) = (AB)CsendoA_∈Mm×p(R),B∈Mp×q(R)eC∈Mq×n(R); (associativa)

(2)A(B+C) =AB+AC;A_∈M_m×p(R),B, C_∈M_p×n(R); (distributiva à direita em rela¸cão à soma de matrizes) (3) (A+B)C=AC+BC;A, B_∈M_m×p(R),C_∈M_p×n(R); (distributiva à esquerda em rela¸cão à soma de matrizes)

Observa¸cão: a propriedade comutativa não é válida para a multiplica¸cão de matrizes. Um contra-exemplo:

1 2 3 4

1 1 1 1

=

3 3 7 7

1 1 1 1

1 2 3 4

=

4 6 4 6

Transposta de uma Matriz

A transpostade uma matriz A, denotada porAt_{, ´e a matriz obtida de}_A_{escrevendo as linhas de}_A_{como colunas de} At_{, ou seja, quando} _A_{= [}_a

ij]∈Mm×n(R), temos At= [bji]∈Mn×m(R)tal queaij =bji. Mais explicitamente:

A=



   

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

..

. ...

am1 am2 · · · amn 

   

m×n

⇒At₌ 

   

a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2

..

. ...

a1n a2n · · · amn 

   

n×m

Exemplo 1.17 SeA=

 

1 2 3 4 5 6  

3×2

, ent˜aoAt₌

1 3 5 2 4 6

2×3 .

Proposi¸c˜ao 1.3 Propriedades da transposta: (1) (A+B)t=At₊_Bt_{, sendo} _{A, B}_∈_Mm

×n(R).

(2) (kA)t=kAt_{, sendo} _A_∈_Mm

×n(R)ek∈R.

(3) (At₎t₌_A_{, sendo}_A_∈_Mm ×n(R).

(4) (AB)t=Bt_At_{, sendo} _A_∈_Mm

×p(R)eB∈Mp×n(R). Matrizes Invert´ıveis

O conceito de matriz invert´ıvel requer que trabalhemos exclusivamente com matrizes quadradas. Portanto, considere-mosMn(R).

Definimos a matriz identidade Idn, de ordem n, acima e é muito fácil verificar a validade da seguinte propriedade: IdnA=AIdn=Apara qualquerA∈Mn(R), o que significa que Idné o elemento neutro multiplicativo das matrizes quadradas. Este fato motiva a seguinte defini¸cão:

Dizemos que A_∈Mn(R)éinvert´ıvelquando existeB∈Mn(R)tal queAB=BA=Idn. Nota¸cão: B=A−1_; _(B_{é a matriz inversa de} _A).

Observemos que, de certa forma, o conceito de matriz inversa ´e parecido com o conceito de inverso multiplicativo de n´umero real.

Abaixo seguem algumas propriedades:

Proposi¸c˜ao 1.4 SejamA, B_∈Mn(R).

(i)SeAapresentar uma linha ou coluna nula, então Anão é invert´ıvel.

(ii)SeAfor invert´ıvel, então A−1−1=A; (a inversa da inversa é a própria matriz).

(12)

Página 12 de 127 páginas UFU Algebra Linear Determina¸cão da Inversa de uma Matriz

De modo análogo a sistemas lineares, dizemos que A, B_∈Mn(R)são equivalentes quandoBpuder ser obtida deA via um número finito de opera¸cões elementares sobre as linhas de A.

Abaixo segue um resultado matemático (proposi¸cão ou teorema) que é muito útil para o cálculo de matrizes inversas.

Proposi¸cão 1.5 Uma matriz A_∈Mn(R)é invert´ıvel se, e somente se, Aé equivalente à Idn e, neste caso, as mesmas

opera¸c˜oes elementares que transformamAemIdn, transformamIdn emA−1_.

Como consequência (corolário) do resultado matemático acima temos:

Corolário 1.1 SejamA, B_∈Mn(R)matrizes quadradas equivalentes. A matrizAé invert´ıvel se, e somente se, a matriz Bé invert´ıvel.

Exemplo 1.18 Verificar seA=

 

1 0 1 1 1 0 0 2 1 

´e invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo. Resolu¸c˜ao.

Montemos um arranjo com a matriz Ae Id3 lado a lado para aplicarmos as opera¸c˜oes elementares simultaneamente nas duas matrizes.

A| Id3=⇒

 

1 0 1 1 1 0 0 2 1    

1 0 0 0 1 0 0 0 1   .(-1) + =_⇒  

1 0 1

0 1 −1

0 2 1

   

1 0 0

−1 1 0

0 0 1

  .(-2) + =⇒  

1 0 1

0 1 −1

0 0 3

 

 

1 0 0

−1 1 0 2 −2 1   .(1/3) =⇒  

1 0 1

0 1 −1

0 0 1

 

 

1 0 0

−1 1 0

2/3 −2/3 1/3   + .(1) + .(-1) =⇒  

1 0 0 0 1 0 0 0 1  

 

1/3 2/3 −1/3

−1/3 1/3 1/3 2/3 −2/3 1/3



=⇒Id3 | A−1

Logo,A´e invert´ıvel eA−1₌ 1 3

 

1 2 −1

−1 1 1

2 −2 1  .

Exemplo 1.19 Verificar seA=

 

3 −1 0 2 1 −1

1 0 2



´e invert´ıvel e obter a inversa, caso afirmativo.

Resolu¸c˜ao.

Montemos um arranjo com a matriz Ae Id3 lado a lado para aplicarmos as opera¸c˜oes elementares simultaneamente nas duas matrizes.

A| Id3=⇒

 

3 −1 0 2 1 −1

1 0 2

 

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1   =⇒  

1 0 2

2 1 −1 3 −1 0

   

0 0 1 0 1 0 1 0 0   .(-2) + .(-3) + =⇒  

1 0 2

0 1 −5 0 −1 −6  

 

0 0 1

0 1 −2 1 0 −3   .(1) + =⇒  

1 0 2

0 1 −5 0 0 −11

   

0 0 1

0 1 −2 1 1 −5   .(-1/11) =⇒  

1 0 2

0 1 −5

0 0 1

   

0 0 1

0 1 −2

−1/11 −1/11 5/11   + .(5) + .(-2) =⇒  

1 0 0 0 1 0 0 0 1  

 

2/11 2/11 1/11

−5/11 6/11 3/11

−1/11 −1/11 5/11 

=⇒Id3 |A−1

Logo,A´e invert´ıvel eA−1= 1 11

 

2 2 1

−5 6 3

(13)

Observa¸c˜oes importantes:

(i) Quando tentamos inverter uma matriz Aquadrada que não possui inversa pelo método acima, simplesmente é imposs´ıvel obter Idn a partir deApor meio de opera¸cões elementares sobre linhas de A. Isso fica evidente durante o processo, pois fatalmente aparecerá uma linha ou coluna nula durante as opera¸cões sobre A, indicando a inexistência da inversa Apor proposi¸cão já apresentada e o corolário acima.

(ii)O procedimento de obten¸cão da inversa de uma matriz delineado acima, por meio de opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz, nãopode ser usado com opera¸cões elementares sobre ascolunas da matriz e, muito menos, com a mistura das opera¸cões elementares sobre linhas e sobre colunas.

Matrizes e Sistemas Lineares

Consideremos o sistema linear

S=     

   

a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = b2 .. .

am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm ₍_m_×_n₎

Podemos colocar Sna nota¸c˜ao matricial adotando as seguintes matrizes:

A=

    

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n ..

. ...

am1 am2 · · · amn

    

m×n

matriz dos coeficientes deS

X=

    

x1

x2 .. .

xn

    

n×1

matriz das vari´aveis ou inc´ognitas deS eB=

    

b1

b2 .. .

bm

    

m×1

matriz dos termos independentes deS

Logo,Am×nXn×1=Bm×1(ou, resumidamente, AX=B) ´e uma equa¸c˜ao matricial que representa o sistema linearS.

Exemplo 1.20 O sistemaS=  



3x−y =1 2x+y− z =0 x +2z=2

possui representa¸c˜ao matricialAX=Btal que

 

3 −1 0 2 1 −1

1 0 2

 

3×3

| {z }

A

  x y z  

3×1 | {z }

X =

  1 0 2  

3×1 | {z }

B

Sistemas de Cramer

Dizemos que um sistema linearS de ordemn´e umSistema de Cramer quando a matriz Ados coeficientes deS ´e invert´ıvel.

Observa¸c˜oes:

(1)Em um Sistema de Cramer,AX=B_⇒A−1_AX₌_A−1_B

⇒InX=A−1B⇒X=A−1B, o que significa que todo Sistema de Cramer ´e poss´ıvel e determinado.

(2)Se um sistema linear é homogêneo (ou seja, a matriz Bdos termos independentes é uma matriz coluna nula) e é um Sistema de Cramer, então a solu¸cão do sistema é a solu¸cão trivial (isto é, solu¸cão nula). De fato,AX=0_⇒X=

A−1₀

⇒X=0. (0´e matriz coluna nula).

Exemplo 1.21 Resolva o Sistema de CramerS=  



3x−y =1 2x+y− z =0 x +2z=2

invertendo a matriz de coeficientes.

Resolu¸c˜ao.

Representando Stemos

AX=B, sendoA=

 

3 −1 0 2 1 −1

1 0 2

 ,B=

  1 0 2   eX=

(14)

P´agina 14 de 127 p´aginas UFU Algebra Linear

Mas vimos em exemplo anterior que A−1₌ 1 11

 

2 2 1

−5 6 3

−1 −1 5 

. Logo,AX=B⇒X=A−1B, ou seja,

  x y z  =

1 11

 

2 2 1

−5 6 3

−1 −1 5     1 0 2  =

 

4/11 1/11 9/11  ⇒x=

4 11,y=

1 11 ez=

9 11.

Portanto, 4 11,

1 11,

9 11

´e a solu¸c˜ao procurada.

Observa¸cão: embora a técnica acima seja interessante, normalmente é bem mais simples resolver um sistema linear por escalonamento do que invertendo matriz de coeficientes.

1.2.1 Alguns Tipos Especiais de Matrizes

Nesta subse¸cão apresentamos alguns tipos especiais de matrizes que surgem com frequência nos demais cap´ıtulos deste texto. Quase todas essas matrizes podem ser associadas àquilo que definiremos adiante comooperadores lineares, que são casos particulares das chamadas transforma¸cões lineares. Grosso modo, as transforma¸cões lineares estão para a

´

Algebra Linear assim como as fun¸cões reais de uma variável real estão para o Cálculo Diferencial e Integral 1.

Matrizes Ortogonais

Matrizes ortogonais estão relacionadas com alguns tipos especiais de aplica¸cões que estudamos adiante. São as cha-madasisometrias, que são aplica¸cões que preservam distâncias, áreas e ângulos. O estudo das isometrias constituem um dos mais importantes ramos da Matemática e há inúmeras aplica¸cões práticas envolvendo-as.

Seja A∈Mn(R) invert´ıvel. Dizemos queA´ematriz ortogonal quando sua inversa for igual a sua transposta, ou seja, A−1=At_{. Desta forma, quando} _A_{´e matriz ortogonal, temos}

AAt=AtA=Idn .

Exemplo 1.22 A=

1/2 √3/2 √

3/2 −1/2

´e matriz ortogonal poisAt₌

1/2 √3/2 √

3/2 −1/2

eAAt₌_At_A₌_Id2.

Matrizes Triangulares Superiores ou Inferiores

Matrizes triangulares superiores ou inferiores são especiais pelo fato de possuirem determinantes (próxima se¸cão) muito simples de serem calculados.

Seja A= [aij]_∈Mn(R).

Dizemos queA´ematriz triangular superiorquandoaij=0parai > j, ou seja, todas a entradas abaixo da diagonal principal s˜ao nulas.

Dizemos queA´ematriz triangular inferiorquandoaij=0parai < j, ou seja, todas a entradas acima da diagonal principal s˜ao nulas.

Exemplo 1.23 A =

 

2 0 3 0 2 5 0 0 6 

 ´e matriz triangular superior e B =  

2 0 0 3 2 0 4 5 6 

 ´e matriz triangular inferior. Em

particular, a matriz identidade Idn, de ordemn, e a matriz nulaO∈Mn(R), de ordemn, s˜ao matrizes triangulares superior e inferior ao mesmo tempo.

Matrizes Diagonais

(15)

diagonais que possam ser associadas a operadores lineares constituem um das mais belas partes da ´Algebra Linear. Em nossa notas, esse assunto mereceu ser abordado em um cap´ıtulo inteiro e exclusivo.

Vamos `a defini¸c˜ao:

Seja A= [aij]∈Mn(R). Dizemos queAématriz diagonal quando aij =0 para i6=j, ou seja, todas as entradas que não estão na diagonal principal são nulas. Em particular, quando uma matriz diagonal é da forma A= kIdn, sendok∈R, dizemos queAé uma matriz escalar.

Observemos que uma matriz diagonal ´e, tamb´em, matriz triangular inferior e matriz triangular superior ao mesmo tempo.

Exemplo 1.24 A =

 

2 0 0 0 2 0 0 0 2   e B =

 

0 0 0 0 1 0 0 0 8 

 s˜ao matrizes diagonais (em particular, A ´e matriz escalar). A

matriz identidade Idn, de ordem n, e a matriz nula O ∈ Mn(R), de ordem n, s˜ao, tamb´em, matrizes diagonais e escalares.

Matrizes Sim´etricas e Anti-Sim´etricas

As matrizes simétricas estão associadas a um tipo especial de operador linear: os chamados operadores auto-adjuntos, que também são operadores de especial importância na Álgebra Linear. A defini¸cão de matriz simétrica segue abaixo, juntamente com a defini¸cão de matriz anti-simétrica.

Seja A= [aij]∈Mn(R). Dizemos que A´ematriz sim´etricaquando Acoincide com sua transposta, ou seja, A=At_.

Isto significa queaij=aji.

SejaA= [aij]∈Mn(R). Dizemos queA´ematriz anti-sim´etricaquandoAcoincide com o oposto de sua transposta, ou seja,

A= −At_. Isto significa queaij= −aji.

Exemplo 1.25 As matrizes A =

 

2 3 7 3 2 9 7 9 6   e B =

 

0 5 0 5 1 6 0 6 8 

 s˜ao matrizes sim´etricas. Em particular, a matriz

identidade Idn, de ordemn, e a matriz nulaO∈Mn(R), de ordemn, s˜ao matrizes sim´etricas.

As matrizes C=

 

0 3 −7

−3 0 −9

7 9 0

  eD =

 

0 −5 0

5 0 6

0 −6 0 

 s˜ao matrizes anti-sim´etricas. A matriz nulaO ∈ Mn(R), de

ordemn, é, também, anti-simétrica.

Matrizes Semelhantes

O conceito de matrizes semelhantes pode parecer estranho em uma primeira apresenta¸cão. Entretanto, ele é necessário para um estudo consistente de operadores lineares. Veremos nos próximos cap´ıtulos que um mesmo operador linear pode estar associado a inúmeras matrizes distintas. Essas matrizes dependem daquilo que chamamos de base de um

espa¸co vetorial (apresentamos esses conceitos mais adiante) e bases não são únicas. Sendo assim, um dos problemas que se apresenta é descobrir a rela¸cão entre matrizes diferentes associadas a um mesmo operador linear. Esta rela¸cão passa por aquilo que chamamos de matriz de mudan¸ca de bases (próximo cap´ıtulo) e chegamos ao resultado de que matrizes associadas a um mesmo operador linear são semelhantes, no sentido da defini¸cão abaixo.

SejamA, B_∈Mn(R). Dizemos que AeBs˜aomatrizes semelhantesquando existeM∈Mn(R)invert´ıvel tal que A=M−1_BM.

Exemplo 1.26 As matrizes A =

 

−4 −8 −2

10 3 6

6 13 3



 e B =  

1 2 0 0 1 1 3 2 0 

 s˜ao matrizes semelhantes. De fato, M =

 

0 1 0 5 1 3 3 1 2 

possui inversa, que ´eM−1=  

1 2 −3

1 0 0

−2 −3 5  e

 

−4 −8 −2

10 3 6

6 13 3

 =

 

1 2 −3

1 0 0

−2 −3 5  .

 

1 2 0 0 1 1 3 2 0  .

 

0 1 0 5 1 3 3 1 2 

(16)

1.3 Determinantes de Matrizes

Toda aplica¸cão bijetivaσ:{1, 2, . . . , n}→{1, 2, . . . , n}é chamada depermuta¸cãodo conjunto{1, 2, . . . , n}.

Exemplo 1.27 Existem6permuta¸c˜oes do conjunto{1, 2, 3}. Chamemo-as deσ1, σ2, . . . , σ6. S˜ao elas: 

 

σ1(1) =1

σ1(2) =2

σ1(3) =3 ,

  

σ2(1) =1

σ2(2) =3

σ2(3) =2 ,

  

σ3(1) =3

σ3(2) =1

σ3(3) =2 ,

  

σ4(1) =3

σ4(2) =2

σ4(3) =1 ,

  

σ5(1) =2

σ5(2) =3

σ5(3) =1 e

  

σ6(1) =2

σ6(2) =1

σ6(3) =3

Vamos adotar a seguinte nota¸c˜ao para uma permuta¸c˜aoσ:{1, 2, . . . , n}_→{1, 2, . . . , n}

σ:

1 2 3 _{· · ·} n

σ(1) σ(2) σ(3) _{· · ·} σ(n)

Assim, no exemplo acima as6permuta¸c˜oes s˜ao denotadas do seguinte modo:

σ1:

1 2 3 1 2 3

;σ2:

1 2 3 1 3 2

;σ3:

1 2 3 3 1 2

;σ4:

1 2 3 3 2 1

;σ5:

1 2 3 2 3 1

eσ6:

1 2 3 2 1 3

´

E fácil notar que o número de permuta¸cões de um conjunto comnelementos én! No exemplo acima,n=3e temos3! =6 permuta¸cões.

Seja σ uma permuta¸c˜ao de{1, 2, . . . , n} er a quantidade de vezes que ocorre um decrescimento na imagem de σ, ou seja,

i < j_⇒σ(i)> σ(j)

sendoi, j_∈{1, 2, . . . , n}.

Definimos a fun¸c˜ao sinal deσ, denotada porsgn(σ), do seguinte modo:

sgn(σ) =1, quandor ´e par. sgn(σ) = −1, quando r´e ´ımpar.

Exemplo 1.28 Consideremos as permuta¸c˜oes do exemplo anterior. Paraσ1temos r=0. Logo, sgn(σ1) =1.

Paraσ2temos r=1. Logo, sgn(σ2) = −1. Paraσ3temos r=2. Logo, sgn(σ3) =1. Paraσ4temos r=3. Logo, sgn(σ4) = −1. Paraσ5temos r=2. Logo, sgn(σ5) =1. Paraσ6temos r=1. Logo, sgn(σ6) = −1.

Seja A= [aij]∈Mn(R)uma matriz real de ordemn. Ao n´umero

P

σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)· · ·anσ(n)

chamamos de determinantedeAe indicamos por detA.

O somatório acima é sobre todas as n!permuta¸cõesσdo conjunto{1, 2, . . . , n}. Portanto, a soma acima é constitu´ıda por n!parcelas.

Exemplo 1.29 Sen=1, entãoA= [a11]e existe apenas uma permuta¸cãoσ:{1}→{1}que éσ(1) =1. Logo,r=0 e sgn(σ) =1.

Logo,

detA=P σ

sgn(σ)a1σ(1)=1a11=a11.

Assim, por exemplo, seA= [7], ent˜ao detA=7.

Exemplo 1.30 Sen= 2, ent˜ao A=

a11 a12

a21 a22

e existem 2! =2 permuta¸c˜oesσ1 :

1 2 1 2

e σ1:

1 2 2 1

. Logo,

(17)

Logo,

detA=P σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)

=sgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)+sgn(σ2)a1σ2(1)a2σ2(2)

=1a11a22+ (−1)a12a21 =a11a22−a12a21.

Assim, por exemplo, seA=

1 2 3 4

, ent˜ao detA=4−6= −2.

Exemplo 1.31 Sen =3, ent˜ao A=

 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



 e existem3! =6 permuta¸c˜oes que s˜ao as apresentadas nos

dois primeiros exemplos dessa se¸c˜ao. Logo,

detA=P σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3)

=sgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)a3σ1(3)+· · ·+sgn(σ6)a1σ6(1)a2σ6(2)a3σ6(3)

=1a11a22a33+ (−1)a11a23a32+1a13a21a32+ (−1)a13a22a31+1a12a23a31+ (−1)a12a21a33 = (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) − (a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).

Assim, por exemplo, seA=

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

, ent˜ao detA=45+84+96−105−48−72=0.

Exemplo 1.32 SejaA=

    

a11 0 0 · · · 0

a21 a22 0 · · · 0 ..

. ...

an1 an2 an3 · · · ann

    

. Seja uma permuta¸c˜aoσde{1, 2, . . . , n}diferente da

identi-dade. Logo, existe i_∈{1, . . . , n}tal queσ(i) =j > ie, portanto,a1σ(1). . . aiσ(i). . . anσ(n)=0poisaiσ(i)=0.

Logo, detA=P σ

sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2). . . anσ(n)=1a11a22. . . ann. (s´o a permuta¸c˜ao identidade)

Proposi¸c˜ao 1.6 Propriedades de determinantes: (1)Linearidade sobre colunas.

(i)det 

   

a11 · · · a1i+a1i′ · · · a_1n

a21 · · · a2i+a2i′ · · · a_2n

..

. ...

an1 · · · ani+ani′ · · · ann

     =det     

a11 · · · a1i · · · a1n a21 · · · a2i · · · a2n

..

. ...

an1 · · · ani · · · ann      +det     

a11 · · · a1i′ · · · a_1n

a21 · · · a2i′ · · · a_2n

..

. ...

an1 · · · ani′ · · · ann

     .

(ii)det 

   

a11 · · · ka1i · · · a1n a21 · · · ka2i · · · a2n

..

. ...

an1 · · · kani · · · ann 

   

=kdet 

   

a11 · · · a1i · · · a1n a21 · · · a2i · · · a2n

..

. ...

an1 · · · ani · · · ann 

   

, sendo k_∈R.

Propriedades an´alogas valem para as linhas (linearidade sobre linhas).

(2)Uma matriz real de ordemncom duas linhas ou duas colunas iguais possui determinante zero.

(3) Seja B uma matriz real de ordem n obtida de A pela permuta¸c˜ao de duas linhas ou duas colunas de A. Ent˜ao,

detB= −detA.

(4)det 

 

a11 · · · a1i · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ani · · · ann 

 =det

        

a11 · · · a1i+

n

P

k=1 k6=i

αka1k · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ani+ Pn

k=1 k6=i

αkank · · · ann         

, sendoαk∈R.

A propriedade(4)acima tamb´em vale para linhas. (5)SeA_∈Mn(R), ent˜aodetA=detAt.

(6)SeA, B_∈Mn(R), ent˜aodet(AB) =detAdetB.

(7)SeA_∈Mn(R)´e invert´ıvel, ent˜aodet A−1

= 1

(18)

Da propriedade (1) (i) resulta que se uma matriz real de ordem npossui uma linha ou uma coluna nula, ent˜ao seu determinante ´e zero.

A propriedade (4)permite fazer escalonamento em matrizes sem alterar o determinante (veja exemplo abaixo). Como det(Idn) =1, a propriedade(7)´e uma consequˆencia direta da propriedade(6).

Exemplo 1.33 det

 

1 2+3 4 5 6+0 5 4 3+2 1  =det

 

1 2 4 5 6 5 4 3 1  +det

 

1 3 4 5 0 5 4 2 1 

= −15+75=60.

Exemplo 1.34 det

 

1 2.2 3 4 2.5 6 7 2.8 0  =2det

 

1 2 3 4 5 6 7 8 0  =54.

Exemplo 1.35 det

 

1 1 2 3 3 4 5 5 6 

=0. (duas colunas iguais)

Exemplo 1.36 det

 

1 2 3 4 5 6 7 8 0 

= −det  

2 1 3 5 4 6 8 7 0  =27.

Exemplo 1.37 det

 

1 2 3 4 5 6 7 8 0  =det

 

1+2.2+5.3 2 3 4+2.5+5.6 5 6 7+2.8+5.0 8 0 

=27. (neste exemplo,n=3, i=1,α2=2eα3=5)

Exemplo 1.38 Calcule o determinante da matrizA=

   

1 5 2 1 3 4 2 0 1 2 1 2 0 3 1 3    

aplicando a propriedade(5)sucessivas vezes,

fazendo um escalonamento.

Resolu¸c˜ao: det    

1 5 2 1 3 4 2 0 1 2 1 2 0 3 1 3     .(-5) .(-2) .(-1) =det    

1 5+ (−5)1 2+ (−2)1 1+ (−1)1 3 4+ (−5)3 2+ (−2)3 0+ (−1)3 1 2+ (−5)1 1+ (−2)1 2+ (−1)1 0 3+ (−5)0 1+ (−2)0 3+ (−1)0     = det    

1 0 0 0

3 −11 −4 −3 1 −3 −1 1

0 3 1 3

    .(-4/11) .(-3/11) = det    

1 0 0 0

3 −11 0 0

1 −3 1/11 20/11 0 3 −1/11 24/11     .(-20) =det    

1 0 0 0

3 −11 0 0

1 −3 1/11 0 0 3 −1/11 4    

=1(−11)

1 11

4= −4.

Regra de Laplace para c´alculo de determinantes

A defini¸cão abaixo é fundamental para a introdu¸cão de uma das técnicas mais comuns para cálculo de determinantes, que é aRegra de Laplace, enunciada em seguida.

Sejam

A=



 

a11 · · · a1n ..

. ...

an1 · · · ann 

 

n×n

(19)

Proposi¸c˜ao 1.7 (Regra de Laplace) SejaAmatriz realn_×neaij uma entrada dessa matriz. Ent˜ao,

detA=

n

P

i=1 aijAij

| {z }

↓

=

n

P

j=1 aijAij

| {z }

↓

soma dos produtos dos elementos soma dos produtos dos elementos da linhajpor seus cofatores da linhaipor seus cofatores

Exemplo 1.39 Calcular o determinante deA=

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

utilizando a Regra de Laplace.

Resolu¸c˜ao.

Escolhendo a primeira linha deAtemos detA= 3 P

j=1

a1jA1j. Logo,

detA=a11A11+a12A12+a13A13

=a11(−1)1+1D11+a12(−1)1+2D12+a13(−1)1+3D13

=a11(−1)1+1det

5 6 8 9

+a12(−1)1+2det

4 6 7 9

+a13(−1)1+3det

4 5 7 8

=1(1) (45−48) +2(−1) (36−42) +3(1) (32−35) = −3+12−9

=0

Regra de Chi´o para c´alculo de determinantes

Esta regra é uma combina¸cão das propriedades de determinantes e da Regra de Laplace. O método consiste em usar as propriedades para criar uma linha ou coluna que tenha uma entrada igual a 1 e as demais entradas iguais a 0. Depois, basta a aplicar a Regra de Laplace utilizando essa linha ou coluna. Com isso, precisamos calcular apenas um cofator.

SejaA=

  

a11 · · · a1n ..

. ...

an1 · · · ann

 

∈Mn(R)n˜ao nula. Sem perda de generalidade, suponhamos que a116=0.

Da propriedade (1) (ii)podemos escrever

detA=a11det

    

1 b12 · · · b1n

a21 a22 a2n ..

. ...

an1 an2 · · · ann

    

sendob1j= a11a1j.

Da propriedade (4)podemos escrever

detA=a11 det

    

1 b12 · · · b1n

a21 a22 a2n ..

. ...

an1 an2 · · · ann

    

.(-b12)

.. .

.(-b1n)

=a11det

    

1 0 · · · 0 a21 a′22 a′2n

..

. ...

an1 a′n2 · · · a′nn

    

sendoa′

(20)

Utilizando a Regra de Laplace:

detA=a11det

    

1 0 _{· · ·} 0 a21 a′22 a′2n

..

. ...

an1 a′n2 · · · a′nn

    

=a11(1) (−1)1+1det

  

a′

22 a′2n .. .

a′_n2 · · · a′_nn   

detA=a11det

  

a′₂₂ a′_2n

.. .

a′_n2 · · · a′_nn   

 

2 2 4

−1 5 7

1 2 1



utilizando a Regra de Chi´o.

Resolu¸c˜ao.

Escolhendo a primeira linha e a primeira entrada:

det

 

2 2 4

−1 5 7

1 2 1



= 2det  

1 1 2

−1 5 7

1 2 1

 

.(-1) .(-2)

=2det

 

1 0 0

−1 6 9 1 1 −1

 =2det

6 9

1 −1

=2(−6−9) = −30

Regra de Sarrus para c´alculo de determinantes de matrizes de ordem 3

Este método só vale para matrizes de ordem 3. Já vimos que se A=

 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

 , ent˜ao

detA= (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) − (a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).

O m´etodo de Sarrus consiste apenas em enxergar um dispositivo pr´atico com a tabela de entradas da matriz Aque nos conduza ao resultado acima.

Para simplificar, reescrevamos a matriz Ado seguinte modo: A=

 

a b c d e f g h i  . Logo,

detA=aei+bfg+chd−ceg−bdi−ahf.

Observe na figura abaixo o procedimento pr´atico da Regra de Sarrus:

g h i g h

d e f d e

a b c a b

-ceg-afh bdi aei bfg cdh- + + +

Note que os produtos advindos das setas paralelas à diagonal principal permanecem inalterados, enquanto que os produtos advindos das setas paralelas à diagonal secundária são multiplicados por −1 (ou seja, seus “sinais” são trocados). No final, todos os seis termos são somados para obtermos o determinante.

 

1 2 3 3 2 1 1 1 1 

utilizando a Regra de Sarrus. Resolu¸c˜ao.

Temos, de acordo com o dispositivo pr´atico:

1 1 1 1 1

3 2 1 3 2

1 2 3 1 2

(21)

Logo, detA=2+2+9−6−1−6=0.

Matriz Adjunta

Nesta subse¸c˜ao apresentamos um novo m´etodo para calcular a matriz inversa de uma matriz invert´ıvel.

Seja A= [aij]matriz real de ordemne sejamAij os cofatores deaij. Definimos amatriz adjuntadeAcomo sendo

AdjA= [Aij]t=



   

A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2

..

. ...

A1n A2n · · · Ann 

   

n×n

A importˆancia da matriz adjunta reside no resultado abaixo.

Proposi¸cão 1.8 Seja Amatriz realn×ntal quedetA6=0. Então,Aé invert´ıvel eA−1₌ 1

detAAdjA. Exemplo 1.42 Calcular a matriz inversa deA=

 

1 2 3

1 1 1

−1 2 −1 

utilizando a matriz adjunta.

Resolu¸c˜ao.

Precisamos calcular os9 cofatores deA:

A11= (−1)1+1det

1 1

2 −1

= −3;A12= (−1)1+2det

1 1

−1 −1

=0;A13= (−1)1+3det

1 1

−1 2

=3

A21= (−1)2

+1 det

2 3

2 −1

=8;A22= (−1)2

+2 det

1 3

−1 −1

=2;A23= (−1)2

+3 det

1 2

−1 2

= −4

A31= (−1)3+1det

2 3 1 1

= −1;A32= (−1)3+2det

1 1 3 1

=2;A33= (−1)3+3det

1 2 1 1

= −1

Precisamos do determinante de A:

det

 

1 2 3

1 1 1

−1 2 −1 

= −1−2+6+3+2−2=6

Logo,

A−1= 1

detAAdjA= 1 6

 

−3 8 −1

0 2 2

3 −4 −1  

Regra de Cramer para resolu¸c˜ao de Sistemas Poss´ıveis e Determinados

Podemos encontrar solu¸c˜oes de umSistema de Cramer (portanto, um sistema linear poss´ıvel e determinado) utilizando determinantes, via o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 1.9 (Regra de Cramer) SejaAX=Bum Sistema de Cramer escrito em forma matricial, sendo

A=



 

a11 · · · a1n

..

. ...

an1 · · · ann 

 

n×n

,B=

   b1 .. . bn   

n×1

eX=

   x1 .. . xn   

n×1

.

Ent˜ao,

xk= det∆k

detA,

sendo

∆k= 

 

a11 · · · a1(k−1) b1 a1(k+1) · · · a1n

..

. ... ... ... ...

an1 · · · an(k−1) bn an(k+1) · · · ann 

 

n×n

(22)

´

E importante enfatizar que a Regra de Cramer possui interesse teórico apenas. Comparado ao método de resolu¸cão de sistemas lineares por escalonamento, a Regra de Cramer é extremamente ineficiente, devido ao fato de ser necessário o cálculo de diversos determinantes (o que geralmente é bem trabalhoso). Quanto maior a ordem do sistema, maior é a ineficiência desse método.

Exemplo 1.43 ResolverS=  



x +2y+3z= 14 2x − y +3z= 9

−x−2y+ z = −2

utilizando a Regra de Cramer.

Resolu¸c˜ao:

TemosA=

 

1 2 3

2 −1 3

−1 −2 1  ;B=

 

14 9

−2  eX=

  x y z 

. Temos tamb´em que detA= −1−6−12−3−4+6= −20.

(i)det∆1=det

 

14 2 3

9 −1 3

−2 −2 1 

= −14−12−54−6−18+84= −20. Portanto, x1=x= detdet∆1A =

−20

−20 =1.

(ii)det∆2=det

 

1 14 3

2 9 3

−1 −2 1 

=9−42−12+27−28+6= −40. Portanto, x2=y= detdet∆2A =

−40

−20 =2.

(iii)det∆3=det

 

1 2 14

2 −1 9

−1 −2 −2 

=2−18−56−14+8+18= −60. Portanto, x3=z= det_det∆3_A = −₋60₂₀ =3.

(23)

Se¸

c˜

ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos:

Sistemas Lineares, Matrizes

e Determinantes

Exerc´ıcio 1.1 Resolva os sistemas lineares abaixo por escalonamento:

S1=  



x − y −2z= 1

−x+ y + z = 2 x −2y+ z = −2

S4=  



x + y − z + t = 1 3x − y −2z+ t = 2

−x−2y+3z+2t= −1

S7=       

2x− y +z− t =4 3x+2y−z+2t=1 2x− y −z− t =0

5x +2t=1

S2=  



−x+ y −2z =1 2x − y +3t=2 x −2y+ z −2t=0

S5=       

x +y+z+ t = 1 x −y+z+ t = −1

y−z+2t= 2 2x +z− t = −1

S8=  



x −2y=5

−x+3y=3

−x+4y=2

S3=  



x +3y+2z= 2 3x+5y+4z= 4 5x+3y+4z= −10

S6=  



x −2y−3z=5

−2x+5y+2z=3

−x +3y− z =2

S9=  



x − 2y + 3z = 5

−2x+ 4y − 6z = −10 12x −24y+36z= 60

Respostas:

S1: (−11,−6,−3);(SPD)

S2:

−13

5t+1,− 11

5t, t 5−1, t

:t_∈R ;(SPI)

S3:∅;(SI)

S4:

−2t+ 6₇,−t+2₇,−2t+ 1₇, t

:t∈R ; (SPI)

S5: −1₅, 1,−1₅,2₅

;(SPD)

S6:∅;(SI)

S7: (1, 2, 2,−2);(SPD)

S8:∅;(SI)

S9:{(5+2y−3z, y, z) :y, z∈R};(SPI)

Exerc´ıcio 1.2 Determinar os valores deaebque tornam o sistema abaixo poss´ıvel (compat´ıvel) e determinado. Em seguida, resolva o sistema.

S=       

3x−7y= a

x + y = b

5x+3y= 5a+2b x +2y=a+b−1

Respostas: a=2,b=4,x=3ey=1.

Exerc´ıcio 1.3 Associar os sistemas abaixo a sistemas lineares (exceto aqueles que j´a estiverem na forma de sistema linear) e resolvˆe-los.

S1=  



2/x−1/y−1/z= −1 1/x+1/y+1/z= 0 3/x−2/y+1/z= 4

S3=  



2x _· ₂y _· ₂z ₌ ₈

3x _·_1/9y_· ₃z ₌₃9

125.5x_· ₁y _·_1/5z₌ ₁

S5=  



x −ycos(γ) −zcos(β) =0

−xcos(γ) + y −zcos(α) =0

−xcos(β) −ycos(α) + z =0

S2=  



1/x+1/y =0 2/x+3/y =0 1/x−2/y+4/z=0

S4=  



log₂(x+y+z) =0

log_y(x+z) =1

log₃(5) +log₃(x) =log₃(y−z)

S6=  



5732x+2134y+2134z= 7866 2134x+5732y+2134z= 670 2134x+2134y+5732z=11464

EmS5 os númerosα,βeγsão medidas, em radianos, de ângulos internos de um triângulo.

Respostas: S1: −3,−₁₄9,₁₇9

;(SPD)(sugest˜ao: fa¸cax′ ₌ 1 x, y′ =

1 y ez′=

1 z);

S2:∅(SI);S3: (1,−2, 4) (SPD);S4:∅(SI);S5:

_t_sen₍_α₎

sen(γ) ,

tsen(β)

sen(γ) , t

, comt_∈R,(SPI);

S6: (1,−1, 2);(SPD)(sugest˜ao: fa¸caa=5732,b=2134e observe que7866=a+b,670=3b−ae11464=2a)

Exerc´ıcio 1.4 Em uma garagem há motos e carros estacionados. A quantidade de rodas em contato com o solo da garagem é três vezes a quantidade de ve´ıculos. João afirma que há quinze carros nessa garagem. Mas João nem sempre é honesto em suas afirma¸cões. Você pode confirmar se João está mentindo ou falando a verdade?

(24)

Página 24 de 127 páginas UFU Algebra Linear Exerc´ıcio 1.5 Mostre que no conjunto R=ré reta no plano cartesiano de equa¸cãox+ay+a2₌₁_:_a_∈_R _duas retas quaisquer sempre se intersectam.

Exerc´ıcio 1.6 Discutir os sistemas em fun¸c˜ao dek∈R. (ou seja, para quais valores de kcada sistema abaixo ´eSI,

SPI eSPD)

S1=  



x + y +kz=2 3x+4y+2z=k 2x+3y− z =1

S4=   

x + y −kz= 0 kx+ y − z =2−k

x +ky− z = −k

S2=

x +2y+kz=1 2x+ky+8z=3

S5=

kx+3ky=0 2x+ ky =4

S3=  



x −3z= −3

−2x−ky+ z = 2 x +2y+kz= 1

S6=   

kx+y= 2 x −y=k x +y= 2

Respostas:

S1:k=3⇒SPI;k6=3⇒SPD

S2:k6=4⇒SPI;k=4⇒SI

S3:k=2⇒SPI;k= −5⇒SI;k6=2 e−5⇒SPD

S4:k=1 ou−2⇒SI;k6=1e−2⇒SPD

S5:k=0⇒SPI;k=6⇒SI;k6=0e6⇒SPD

S6:k= −2ou1⇒SPD;k6= −2 e1⇒SI

Exerc´ıcio 1.7 (Resolvido) Em um sistema linear 2_×2, cada linha pode ser uma equa¸cão geral de reta em R2_. Portanto, um sistema linear 2_×2 pode representar, geometricamente, duas retas no plano. Quando as retas são concorrentes, significa que possuem um único ponto em comum. As coordenadas deste ponto satisfazem as2equa¸cões do sistema e, portanto, representam a solu¸cão do sistema e este seráSPD.

Relacione (e justifique) posi¸c˜ao relativa de retas no plano e sistemas SI eSPI.

De modo análogo, qual a interpreta¸cão geométrica de um sistema linear3_×3 nos casosSPD, SI eSPI?

Resolu¸c˜ao:

Sejamr1er2as retas dadas pelas equa¸cões lineares do sistema2×2. Baseados na posi¸cão relativa der1er2no plano cartesiano, podemos fazer a seguinte classifica¸cão baseados na interseçcão entrer1 er2(fa¸ca as figuras):

r1∩r2=  



∅_⇒SI, pois as retas serão paralelas e não há pontos (solu¸cões) em comum

{P}_⇒SPD, pois as retas serão concorrentes e há apenas um ponto (solu¸cão) em comum

{infinitos P’s}_⇒SPI, pois as retas serão coincidentes e há todos os pontos (solu¸cões) em comum

Sejam π1, π2eπ3 os planos dados pelas equa¸cões lineares do sistema3×3. Baseados na posi¸cão relativa deπ1, π2 eπ3 no espa¸co cartesiano, podemos fazer a seguinte classifica¸cão baseados na interseçcão entreπ1, π2e π3(fa¸ca as figuras):

π1∩π2∩π3=  



∅_⇒SI; (_∗)

{P}⇒SPD; (_∗∗)

{infinitos P’s}⇒SPI; (_{∗ ∗ ∗}) Em(_∗)podemos ter as seguintes posi¸c˜oes relativas:

•Trˆes planos paralelos dois a dois;

•Dois planos paralelos e um terceiro concorrente aos dois primeiros;

•Dois planos coincidentes e um terceiro paralelo a ambos;

• Três planos concorrentes dois a dois de tal modo que haja três retas de interseçcão paralelas duas a duas. Neste caso, os planos darão origem a um prisma triangular infinito no espa¸co.

Em(_∗∗)h´a apenas uma posi¸c˜ao relativa:

• Três planos são concorrentes dois a dois de tal modo que haja três retas de interseçcão com um único pontoPem comum. Neste caso, os três planos formam triedros no espa¸co. O exemplo mais famoso dessa situa¸cão é o dos três planos cartesianos no espa¸co, formando oito triedros ortogonais (octantes).

Em(_{∗ ∗ ∗})podemos ter as seguintes posi¸c˜oes relativas:

•Três planos concorrentes dois a dois de tal modo que interseçcão dos três planos seja uma única reta;

• Dois planos coincidentes e um terceiro concorrente aos dois primeiros. Neste caso, a interseçcão comum aos três planos é uma reta;

(25)

Exerc´ıcio 1.8 Foram estudados trˆes tipos de alimentos e determinou-se que:

• Cada grama do alimento Icont´em1 unidade de medida de vitaminaA,3 unidades de vitamina Be4unidades de vitaminaC;

• Cada grama do alimentoIIcont´em2unidade de medida de vitamina A,3 unidades de vitaminaBe5 unidades de vitaminaC;

• Cada grama do alimento III cont´em 3 unidade de medida de vitamina A, nenhuma unidade de vitamina B e 3

unidades de vitaminaC;

Determinada dieta requer11unidades de medida de vitaminaA,9unidades de vitaminaBe20unidades de vitamina

Cdi´arias.

(1)Encontre as poss´ıveis quantidades (em gramas) dos alimentosI,IIeIIIque fornecem as quantidades de vitaminas requerida diariamente pela dieta.

(2)Se o alimentoI custa60centavos o grama e os outros dois custam10centavos o grama, existe uma solu¸c˜ao para a dieta que custe1 real ao dia?

Resposta: (1)sendox,yezas quantidades requeridas de alimentosI, IIeIII, respectivamente, ent˜aox= −5+3ze

y=8−3zsendo 5 3 ≤z≤

8 3.

(2)Sim: x=1,y=2ez=2 gramas.

Exerc´ıcio 1.9 (Resolvido) Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada10 m2_: _{135 g}_{de nitrato,}_{185 g}_de fosfato e182, 5 gde pot´assio.

Disp˜oe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracter´ısticas:

(i)Cada quilograma do adubo I custaR$ 0, 05e contém10 g de nitrato,10 gde fosfato e100 gde potássio. (ii)Cada quilograma do adubo II custaR$ 0, 05e contém10 g de nitrato,100 gde fosfato e30 g de potássio. (iii)Cada quilograma do adubo III custaR$0, 05e contém50 gde nitrato,20 gde fosfato e20 gde potássio. (iv)Cada quilograma do adubo IV custa R$0, 15e contém20 gde nitrato,40 g de fosfato e35 g de potássio. Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar R$ 0, 50 a cada10 m2 _{com a aduba¸c˜}_ao?

Resolu¸c˜ao:

Sejam:

x: quantidade de adubo I a cada10 m2

y: quantidade de adubo II a cada10 m2

z: quantidade de adubo III a cada10 m2

t: quantidade de adubo IV a cada10 m2 De acordo com o problema:

   

  

10x + 10y + 50z + 20t = 135 10x + 100y + 20z + 40t = 185 100x + 30y + 20z + 35t =182, 5 0, 05x+0, 05y+0, 05z+0, 15t= 0, 5

⇒    

  

x + y +5z+2t=27/2 x +10y+2z+4t=37/2 20x+ 6y +4z+7t=73/2 x + y + z +3t= 10

⇒

   

  

x+ y + 5z + 2t = 27/2 9y − 3z + 2t = 5

−14y− 96z −33t= −467/2

−4z+ t = −7/2

⇒    

  

x+ y + 5z + 2t = 27/2

9y− 3z + 2t = 5

− (302/3)z− (269/9)t= −4063/18

−4z + t = −7/2

⇒

   

  

x+ y + 5z + 2t = 27/2

9y− 3z + 2t = 5

−906z−269t= −4063/2

−4z + t = −7/2

⇒    

  

x+ y + 5z + 2t = 27/2

9y− 3z + 2t = 5

−906z− 269t = −4063/2

(991/453)t=4955/906

⇒    

  

x=1/2 y=1/2 z=3/2 t=5/2

Conclus˜ao: a cada10 m2_{de terreno devemos misturar}_{0, 5 kg}_{do adubo I;}_{0, 5 kg}_{do adubo II;}_{1, 5 kg}_{do adubo III e}

2, 5 kgdo adubo IV.

Exerc´ıcio 1.10 Determine a inversa da matrizA, caso exista, utilizando opera¸c˜oes elementares:

A= [aij]de ordem3tal queaij=

icos(πi), sei=j

jsen(πj), sei₆=j B=  

1 2 3

0 4 6

−1 6 −9 

 C=  

−1 −1 0

2 6 4

1 0 1

(26)

D=

 

1 1 1 2 6 4 3 7 5 

 E=

   

1 2 3 4

−1 2 −1 4

0 1 0 1

1 0 1 0

    F=    

1 0 0 2 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0     G=    

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0     Respostas: A=  

−1 0 0

0 2 0

0 0 −3 

⇒A−1=      

−1 0 0

0 1₂ 0

0 0 −1 3      

; B−1₌

     

1 −1

2 0 1 12 1 12 1 12 − 1 18 1 9 − 1 18      

; C−1₌

      −3 4 − 1 8 1 2 −1 4 1 8 − 1 2 3 4 1 8 1 2       ;

∄D−1_; _E−1₌

          −1 2 1

2 0 2

0 −1

2 2 −

1 2

1

2 −

1

2 0 −1

0 1

2 −1 1 2          

; F−1₌

          4 3 2 3 − 4 3 − 1 3 1 3 2 3 − 1 3 − 1 3 −2 3 − 1 3 2 3 2 3 −1 6 − 1 3 2 3 1 6          

; ∄G−1_.

Exerc´ıcio 1.11 (Resolvido) SeA=

1 1 0 1

, mostre por indu¸c˜ao queAn₌

1 n 0 1

.

Obs.: An₌_{AA . . . A}_{; (}_n_vezes)

Resolu¸c˜ao:

Paran=1a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.

Hipótese de indu¸cão: a afirma¸cão é verdadeira paran=r, ou seja,A=

1 1 0 1

⇒Ar₌

1 r 0 1

para algumr∈N. Mostremos que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira paran=r+1:

Ar+1=ArA=

1 r 0 1 1 1 0 1 =

1 r+1

0 1

.

Logo, peloPrinc´ıpio de Indu¸cão Finita, a afirma¸cão é verdadeira para qualquern∈N.

Exerc´ıcio 1.12 Resolver o Sistema de Cramer abaixo calculando a matriz inversa dos coeficientes.

S=  



x+y+ z =2 x−y+ z =0 y+2z=0

.

Respostas: x= 3

2;y=1;z= − 1 2.

Exerc´ıcio 1.13 Determinarx0,y0ez0de modo que a matriz

     

1 0 0

0 √2 2

√

2 2

x0 y0 z0

      seja ortogonal.

Respostas: Duas solu¸c˜oes poss´ıveis: (x0, y0, z0) =±

0,√2

2 ,−

√

2 2

.

De AAt=Id3chega-se a  



x0=0

y0+z0=0

y2

0+z20=1

(27)

Exerc´ıcio 1.14 (Resolvido) Mostre que seA∈Mn(R)é invert´ıvel, então At também é invert´ıvel e as opera¸cões de inversão e transposi¸cão comutam, ou seja, A−1t

= (At₎−1_.

Resolu¸c˜ao:

Por hip´otese,A´e invert´ıvel, portanto,∃A−1_{. Logo,}

A−1t

.At₌ _A.A−1t

=Idt n=Idn

At_{. A}−1t

= A−1_.At

=Idt n=Idn

.

De A−1t

.At₌_At_{. A}−1t

=Idn conclu´ımos queAt_{´e invert´ıvel e sua inversa ´e} _A−1t

, ou seja,(At₎−1₌ _A−1t

.

Exerc´ıcio 1.15 (Resolvido) Verdadeiro ou falso? Justifique: (a)SeA_∈M2(R)eA2=0, ent˜aoA=0.

(b)SeA, B_∈M2(R)eAB=0, ent˜ao BA=0.

(c)SeA_∈Mn(R),Aé invert´ıvel eA2=A, então A=Idn. (d)ExisteA∈Mn(R)invert´ıvel tal queAA=0(matriz nula). (e)Se pudermos efetuar o produtoAA, então a matrizAé quadrada. (f)SeA∈Mm×p(R),B∈Mp×n(R)eAB=0, entãoA=0ouB=0. (g)A∈Mn(R)é invert´ıvel se, e somente se,Até invert´ıvel.

Resolu¸c˜ao:

(a)Falso. Um contra-exemplo: A=

1 1

−1 −1

. De fato: A2₌

1 1

−1 −1

.

1 1

−1 −1

=

0 0 0 0

=0 eA₆=0.

(b) Falso. um contra-exemplo: A =

1 0 1 0

e B =

0 0 1 1

. De fato: AB =

1 0 1 0

.

0 0 1 1

=

0 0 0 0

= 0 e

BA=

0 0 1 1

.

1 0 1 0

=

0 0 2 0

6

=0.

(c) Verdadeiro. Demonstra¸c˜ao: A´e invers´ıvel ⇒∃A−1_{. De}_A2 ₌_A

⇒(AA)A−1 ₌ _AA−1

⇒A AA−1

= Idn ⇒

AIdn=Idn ⇒A=Idn.

(d)Falso. Se existisse tal matriz ter´ıamos: AA=0 ⇒(AA)A−1₌ _0A−1_⇒_{A AA}−1

=0⇒AIdn =0⇒A=0. No entanto, a matriz nula não é invert´ıvel. Esta contradi¸cão surge do fato de supormos que existeAde acordo com o enunciado.

(e)Verdadeiro. Demonstra¸cão: SeAém×ne∃Am×n.Am×n, então o número de colunas da 1a. matriz tem que ser

igual ao n´umero de linhas da 2a_{. matriz, ou seja,}_n₌_m_{e, portanto,}_A_{´e quadrada.}

(f)Falso. Um contra-exemplo: A=

1 0 1 0

eB=

0 0 1 1

. De fato: AB=

1 0 1 0

.

0 0 1 1

=

0 0 0 0

=0masA6=0 e

B6=0.

(g)Verdadeiro. Demonstra¸c˜ao:

(_⇒)E exatamente a demonstra¸c˜´ ao do Exerc´ıcio 1.14, página 27. (_⇐)Por hipótese,At_{é invert´ıvel, portanto,}_∃₍_At₎−1_{. Logo,}

 



(At₎−1t_.₍_At₎t₌_At_.₍_At₎−1t₌_Idt n =Idn (At₎t_.₍_At₎−1t₌₍_At₎−1_.Att₌_Idt

n =Idn ⇒

 



(At₎−1t_.A₌_Idn

A.(At₎−1t₌_Idn .

De (At₎−1t_.A₌ _A.₍_At₎−1t ₌ _Idn _{conclu´ımos que} _A_{´e invert´ıvel e sua inversa ´e} ₍_At₎−1t_{, ou seja,} _A−1 ₌