Prof. Antonio Petraglia. Métodos de Aproximação para Filtros Analógicos

Métodos de Aproximação para

Filtros Analógicos

Introdução

- Faixa de passagem: 0 ≤ W ≤ W_p

- Faixa de rejeição: W ≥ W_r

- Ripple na faixa de passagem: d (dB)

- Atenuação na faixa de rejeição: A (dB) Obs.: W_p ≤ W ≤ W_r é a faixa de transição

Introdução

- Butterworth

- Chebyshev (tipos I e II)

- Elíptico

- Bessel

Aproximação de Butterworth

A magnitude ao quadrado da resposta em frequência é da forma:

- n é a ordem da aproximação - W_3dB é a frequência de 3 dB => para qualquer n:

Aproximação Chebyshev

A extensão analítica de 𝐻(𝑗Ω ) 2 com Ω = Ω Ω_𝑝 resulta em

𝐻 𝑠 𝐻 −𝑠 = 1

1 + 𝜀2_𝐶

𝑛2(𝑠 𝑗 )

, 𝑛 = 1,2, ⋯

Os 2𝑛 polos of 𝐻 𝑠 𝐻 −𝑠 têm partes real Σ_𝑘 e imaginária Ω_𝑘igual a

Σ_𝑘 = 𝜈 − 1 𝜈 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑘 , Ω𝑘 = 𝜈 + 1_𝜈 2 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑘) onde 𝜈 = 1 𝜀 + 1 𝜀2 + 1 1/𝑛 e 𝜃_𝑘 = (2𝑘−1)𝜋_2𝑛 , 𝑘 = 1,2, ⋯ , 2𝑛

Aproximação Chebyshev

Pode-se observar que

2Σ_𝑘 𝜈 − 1/𝜈 2 + 2Ω𝑘 𝜈 + 1/𝜈 2 = 1

indicando que os polos estão sobre uma elipse, como ilustrado na figura abaixo para 𝑛 = 4.

Os polos no semiplano lateral esquerdo formarão o denominador 𝐷 𝑠 do filtro Chebyshev.

Aproximação Chebyshev

• Função de transferência Chebyshev Tipo I: 𝐻 𝑠 = 𝐾 𝐷(𝑠) onde 𝐾 = 𝐷 0 , 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝐷(0) 1 + 𝜀2 , 𝑛 𝑝𝑎𝑟

 Todos os zeros de 𝐻 𝑠 estão no ∞

 O parâmetro 𝜀 está relacionado ao ripple na faixa de passagem 𝛿 (em dB) por

20 log₁₀ 1

Aproximação Chebyshev

• Função de transferência Chebyshev Tipo II: 𝐻 𝑠 = 𝐾 (𝑠2 + 𝑏𝑖)

𝑚 𝑖=1

𝐷(𝑠)

onde 𝐷(𝑠) têm raízes no círculo unitário, 𝑏_𝑖 são constantes reais positvas e 𝐾 é um fator de escala.

 Resposta em frequência maximamente plana no origem  Zeros sobre o eixo imaginário

Aproximação Elíptica

• O quadrado da magnitude da resposta em frequência de um filtro elíptico é dado por:

𝐻(𝑗Ω) 2 = 1

1 + 𝜀2_𝑅

𝑛2(Ω Ω𝑝)

, 𝑛 = 1,2, ⋯

onde 𝑅_𝑛(. ) é uma razão de polinômios. Através da extensão analítica de 𝐻(𝑗Ω) 2, obtém-se a função de transferência 𝐻 𝑠 . • As funções de transferência elípticas têm zeros sobre o eixo

imaginário e polos sobre uma elipse.

 Respostas em frequência equirriple na faixa de passagem  Mais eficientes em termos de seletividade em frequência do

que as aproximações Butterworth e Chebyshev, pois em geral requerem aproximações de ordens menores

Aproximação Elíptica

 A ordem da aproximação (𝑛) pode ser obtida através de tabelas, programas de computador ou curvas, como as amostradas na próxima figura.

Aproximação Elíptica

Aproximação Elíptica

 Exemplo: obter a ordem da aproximação elíptica dada a seguinte especificação

 ripple na faixa de passagem: 𝛿 = 0,5 𝑑𝐵  atenuação na faixa de rejeição: 𝐴 = 60 𝑑𝐵  faixa de transição: Ω_𝑟 = 2Ω_𝑝

De 𝛿 = 0,5 obtemos: 𝜀 = 100,05 − 1 = 0,3439 De 𝐴 = 60 𝑑𝐵 obtemos: 𝐴 − 20 log₁₀ 𝜀 = 69,3 𝑑𝐵 Da figura anterior, com Ω_𝑟/Ω_𝑝= 2, obtemos 𝑛 = 5.

Aproximação Bessel

• Esta aproximação foi derivada para obter filtros com resposta de fase maximamente linear na faixa de passagem com funções de transferência só-polos

𝐻 𝑠 = 𝑎𝑛

𝑠𝑛 _{+ 𝑎}

1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛

• Os coeficientes 𝑎_𝑘 são obtidos igualando a 0 as derivadas de 2a. ordem e de ordens mais altas da resposta em frequência de fase em Ω = 0: 𝑑𝑖∠𝐻(𝑗Ω) 𝑑Ω𝑖 Ω=0 = 0, 𝑖 = 2,3, ⋯ , 𝑛 + 1

Aproximação Bessel

• A função de transferência resultante tem a forma 𝐻 𝑠 = 𝐵𝑛(0)

𝐵_𝑛(𝑠)

onde 𝐵_𝑛 𝑠 é o polinômio de Bessel de 𝑛-ésima ordem, o qual pode ser calculado pela recursão

𝐵_𝑛 𝑠 = (2𝑛 − 1)𝐵_𝑛−1 𝑠 + 𝑠2𝐵_𝑛−2(𝑠) com 𝐵₀ 𝑠 = 1 e 𝐵₁ 𝑠 = 𝑠 + 1.