LOGÍSTICA REVERSA CAPACITADA EM DOIS NÍVEIS -‐ UMA ABORDAGEM UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS
Victor Miranda Rangel Silva
Instituto de Computação – Programa de Pós-Graduação em Computação Universidade Federal Fluminense
Rua Passo da Pátria, 156, 3o andar, Niterói – RJ victormrsilva@gmail.com
Alan de Freitas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627, Belo Horizonte – MG
alandefreitas@gmail.com
Frederico Gadelha Guimarães e Felipe Campelo Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627, Belo Horizonte – MG fredericoguimaraes@ufmg.br, fcampelo@ufmg.br
RESUMO
Logística reversa é o nome dado ao retorno de produtos do cliente ao fornecedor, seja por estar defeituoso, causar dano ao meio ambiente, ou para reciclagem. Neste trabalho, estudamos o problema de logística reversa capacitada em dois níveis, onde os clientes tem a opção de enviar os produtos ao fornecedor ou para um ponto de coleta, que em seguida envia os produtos de volta ao fornecedor. São descritas neste trabalho heurísticas para decisão de facilidades abertas, algoritmos para definir como o roteamento de produtos deve ser feito e operadores genéticos específicos, bem como a comparação do método proposto com outras heurísticas existentes para resolução do problema. Os testes mostraram a eficiência do algoritmo genético proposto em relação às heurísticas existentes. PALAVARAS CHAVE. Algoritmo Genético, Logística, Inteligência Artificial
ABSTRACT
Reverse Logistics refers to the return of products from customers to manufacturers, be it because it is broken, pollutes the environment or needs to be recycled. In this paper, we study the problem with two levels, in which the products are transported from origination points to the refurbishment sites through collection sites. We describe heuristics for deciding locations, algorithms for defining routes for the products, and problem-‐specific genetic operators. We also present a comparison between the proposed method and the heuristics from the literature. The results show that genetic algorithms are significantly more efficient than heuristics for this problem.
1. Introdução
Anteriormente, quando uma empresa realizava a distribuição de um produto, assumia-‐se que o único fluxo a ser otimizado era o da distribuição de produtos do produtor para os consumidores. Porém, há muitos casos em que os produtos precisam ser devolvidos para o produtor para serem trocados, consertados ou até mesmo reciclados. A logística reversa é definida como sendo as atividades que envolvem o transporte físico do produto do consumidor final para o produtor, ou seja, o fluxo reverso do processo de distribuição habitual. Há muito tempo a logística reversa vem tendo destaque cada vez maior, já que o custo do fluxo reverso pode sobrepor o custo de distribuição dos produtos para os clientes (Min, 1989). Além disso, ter produtos que se preocupam com questões ecológicas está se tornando um elemento de marketing para as empresas (Srivastava, 2008).
De acordo com soluções da literatura (Jayaraman et al, 2003), foi estudada uma formulação para o problema de logística reversa capacitado em dois níveis (Seção 2). Aqui, o primeiro nível representa locais de coleta (como depósitos), onde os produtos são temporariamente armazenados até que sejam enviados para locais de recondicionamento (como fábricas de reciclagem).
Essa formulação do problema pode ser reduzida para outro problema NP-‐ completo que possui heurísticas já desenvolvidas para solucioná-‐lo (Seção 3). Além do uso das heurísticas conhecidas para o problema, estudou-‐se a possibilidade de usar algoritmos genéticos para a formulação dada. O problema pode ser modelado com o custo, limites e capacidades de cada local de coleta e recondicionamento além do custo de envio dos produtos (Seção 4). Uma solução para o problema deve incluir quais locais serão abertos e qual o melhor caminho a ser utilizado para envio dos produtos.
Dada a formulação para o problema, foi desenvolvida neste trabalho uma heurística gulosa para decidir quais locais são abertos (Seção 5.1), uma heurística de roteamento para definir o melhor caminho para envio dos produtos (Seção 5.3), um algoritmo genético e operadores específicos para evoluir soluções (Seção 6), um conjunto de 25 instâncias com 5 configurações diferentes (Seção 7.1) e experimentos com 4 heurísticas e 6 algoritmos genéticos para o problema (Seção 7).
Na análise dos resultados (Seção 7.3), pode-‐se perceber que os algoritmos genéticos podem gerar soluções significantemente melhores do que as heurísticas. Com isso, conclui-‐se (Seção 8) a eficiência dos algoritmos genéticos para este problema.
2. Fluxo de Distribuição Reversa
O fluxo reverso de produtos é muito diferente do problema de distribuição tradicional, já que os produtos normalmente não podem ser transportados da mesma forma e os envios normalmente contêm poucos produtos. O custo de envio do consumidor para o produtor pode ser maior do que o caminho inverso (Fleishmann et al, 1997).
Há muitas variações deste problema, usando diferentes produtos, níveis, frotas heterogêneas e junção com o fluxo de distribuição habitual (Melo et al, 2009) . A formulação considerada neste trabalho foca-‐se apenas na distribuição reversa de um tipo de produto. Aqui, os produtos estão inicialmente localizados no varejo ou com os próprios clientes. Em
seguida, vão para um local de coleta ou recondicionamento, formando um problema de distribuição em dois níveis (Jayaraman et al, 2003). Além do custos de transporte, cada facilidade possui um custo de ativação ou abertura.
Uma solução do problema consiste dos locais de recondicionamento e de coleta que são abertos e as rotas pelas quais os produtos são entregues.
Este problema tem implicações para empresas que precisam da distribuição reversa. Elas precisam estar preparadas para um grande número de expectativas, riscos e impactos, tornando importantes certas recomendações gerenciais (Horvath et al, 2005).
Quando não há locais de coleta, a formulação do problema utilizada neste trabalho é reduzida ao problema conhecido como Capacited Facilities Location Problem, que é NP-‐ Completo (Davis; Ray, 1969). A dificuldade de encontrar uma solução ótima para um grande conjunto de instâncias em tempo polinomial justifica o uso de heurísticas para o problema.
3. Soluções
De posse de um modelo matemático para o problema, comparou-‐se a eficiência de 10 métodos. O modelo define custos, possíveis locais a serem abertos, capacidade de cada local, número de produtos localizados nas origens, quantidade máxima e mínima para cada tipo de local e custo do transporte de cada local de origem para cada local de recondicionamento através dos locais de coleta. Diferentes heurísticas são descritas para decidir quais locais devem ser abertos e para calcular as rotas para os produtos.
Dentre os métodos para decidir quais locais devem ser abertos, tem-‐se uma heurística gulosa (Seção 5.1) e a Heuristic Concentration (Rosing; ReVelle, 1997 e Jayaraman, 2003) (Seção 5.2).
Definido quais locais devem ser abertos, calcula-‐se as rotas que serão feitas para os produtos irem dos locais de origem até os locais de recondicionamento. Para este caso, há uma ideia gulosa que forma uma heurística de roteamento (Seção 5.3) ou ainda permite-‐ se definir um segundo modelo matemático para o problema, onde os locais de coleta e recondicionamento são considerados parte do problema e a solução obtida são as únicas rotas para os produtos (Seção 5.4).
Com todas essas heurísticas como referência, é proposto um Algoritmo Genético (Seção 6) que pode evoluir as soluções geradas por essas heurísticas.
4. Modelagem do Problema
O modelo matemático faz as seguintes suposições (Jayaraman et al, 2003):
• Todos os produtos localizados nos pontos de origem devem ser devolvidos para locais de recondicionamento. Locais de coleta podem intermediar o processo.
• Uma loja (varejista) é considerada como ponto de origem. O cliente estaria inclinado a devolver o produto para o ponto de origem mais próximo.
• Há um custo para abrir (ou ativar) locais de coleta e locais de recondicionamento. Há um limite para quantos locais devam ser abertos. É permitido o envio de produtos diretamente para um local de recondicionamento.
Baseado nessas suposições, o modelo (Jayaraman et al, 2003) é descrito a seguir: • I {i | i é um local de origem}
• J {j | j é um local de coleta}
• K {k | k é um local de recondicionamento}.
• 𝐶!"# – Custo de transportar uma unidade do local de origem i para local de recondicionamento k através do local de coleta j.
• 𝐹! – Custo de abrir o local de coleta j.
• 𝐺! – Custo de abrir o local de recondicionamento k. • 𝑎! – número de produtos no local de origem i. • 𝐵! – Capacidade máxima do local de coleta j.
• 𝐷! – Capacidade máxima do local de recondicionamento k. • 𝑃!"# -‐ número mínimo de locais de coleta abertos.
• 𝑃!"# -‐ número máximo de locais de coleta abertos.
• 𝑄!"# -‐ número mínimo de locais de recondicionamento abertos. • 𝑄!"# -‐ número máximo de locais de recondicionamento abertos. Cada solução do problema é definida pelas seguintes variáveis de decisão:
• 𝑋!"# – Fração de unidades do local de origem i transportadas através dos locais j e k (j = 0 é usado para indicar que o produto vai direto para k). • 𝑃! – Indica se o local de coleta j está aberto.
• 𝑄! – Indica se o local de recondicionamento k está aberto A função objetivo e suas 10 restrições são dadas abaixo:
minimizar ! ! !𝐶!"#𝑎!𝑋!"#+ !𝐹!𝑃! + !𝐺!𝑄! sujeito a:
2. ! ! !𝑎!𝑋!"# ≤ 𝐵! para todo 𝑗 3. ! ! !𝑎!𝑋!"#≤ 𝐷! para todo 𝑘
4. 𝑋!"# ≤ 𝑃! para todo 𝑖, 𝑗 e 𝑘 5. 𝑋!"# ≤ 𝑄! para todo 𝑖, 𝑗 e 𝑘 6. 𝑃!"# ≤ !𝑃!≤ 𝑃!"# para todo 𝑗 > 0 7. 𝑄!"# ≤ !𝑄! ≤ 𝑄!"# para todo 𝑘 > 0 8. 0 ≤ !𝑋!"# ≤ 1 9. 0 ≤ 𝑋!"# ≤ 1 10. 𝑃! ∈ {0, 1} 11. 𝑄! ∈ {0, 1}
A função objetivo consiste em minimizar o custo de enviar produtos e de abrir os locais necessários para tal. As restrições matemáticas acima representam respectivamente:
1. Todos os itens são devolvidos para um local de recondicionamento. 2. Os itens enviados através de cada local j não excedem sua capacidade. 3. Os itens enviados para cada local k não excedem sua capacidade. 4. Os itens só são enviados para j se j estiver aberto.
5. Os itens só são enviados para k se k estiver aberto.
6. Os números máximo e mínimo de locais de coleta são respeitados.
7. Os números máximo e mínimo de locais de recondicionamento são respeitados.
8. A fração de itens enviados de i até k através de j é sempre entre 0 e 1. 9. A quantidade de itens enviados de i até k através de j é sempre entre 0 e 1. 10. Os locais de coleta estão apenas fechados ou abertos (0 ou 1).
11. Os locais de recondicionamento estão apenas fechados ou abertos (0 ou 1). 5. Heurísticas
Para minimizar o custo de envio dos produtos, deve-‐se primeiramente selecionar quais locais serão abertos. Quando os valores 𝑃!e 𝑄! forem determinados, deve-‐se calcular o custo mínimo do fluxo para estes locais.
5.1. Heurística Gulosa
Baseada em um princípio guloso, é proposta a heurística a seguir para gerar soluções:
1. Ordene todos os locais de coleta 𝑃!e locais de recondicionamento 𝑄! pela razão capacidade/custo.
2. Sorteie um número inteiro entre 𝑃!"# e 𝑃!"# e salve-‐o como 𝑃!"#$. Sorteie um número inteiro entre 𝑄!"# e 𝑄!"# e salve-‐o como 𝑄!"#$.
3. Os 𝑃!"#$ locais de coleta com a maior razão capacidade/custo serão abertos. Os 𝑄!"#$ locais de recondicionamento com a maior razão capacidade/custo serão abertos.
5.2. Heuristic Concentration
Inspirado pelo algoritmo de heuristic concentration originalmente proposto para o problema de p-‐medianas (Rosing; ReVelle, 1997), uma abordagem similar foi proposta para este problema de logística reversa (Jayaraman et al, 2003). A principal ideia por trás deste procedimento é identificar locais em potencial que possam pertencer à solução. Com isso, temos a seguinte heurística:
1. Seleção aleatória: seleção aleatória dos possíveis locais de coleta e recondicionamento. Para um certo número de iterações, um subconjunto de 𝑃!"# locais de coleta e 𝑄!"# locais de recondicionamento é escolhido aleatoriamente e, com isso, realiza-‐se o roteamento dos produtos com ajuda de outro algoritmo, como os apresentados nas seções 5.3 e 5.4. Todas soluções são salvas e a melhor solução é marcada.
2. Heuristic Concentration: Os locais de coleta e recondicionamento mais utilizados nas melhores soluções são adicionados à melhor solução encontrada na fase de seleção aleatória e o problema é resolvido de forma ótima. Essa nova solução é comparada à melhor solução da etapa de solução aleatória.
3. Expansão Heurística: adicionar cada local não utilizado à melhor solução e resolver o problema. Se uma solução melhor for encontrada deve-‐se marcá-‐la, mas ainda não substituir a melhor solução por esta. Verificar se algum local não utilizado possui uma solução melhor do que a nova solução encontrada. Repetir este processo até que não haja mais locais não utilizados. Parar quando nenhuma solução melhor for encontrada.
5.3. Heurística de Roteamento
Com os locais abertos para cada nível, deve-‐se agora definir as rotas em que os produtos chegarão aos locais de recondicionamento. A ideia desta heurística consiste em sempre transportar os produtos através dos locais que são mais próximos do ponto de origem. O algoritmo dessa heurística seria:
1. Dentre as rotas válidas para os produtos, escolher aquela com menor custo.
2. Enviar a maior quantidade possível de produtos através desta rota e atualizar as capacidades.
3. Se ainda houver produtos no local de origem, enviar pela próxima melhor rota. Caso contrário, examinar outro local de origem. Esta abordagem não garante que a rota ótima seja encontrada, mas possui a grande vantagem de ter um custo computacional mais baixo do que os métodos exatos.
5.4. SIMPLEX
Enquanto consideramos que os locais P e Q não são variáveis de decisão no problema de roteamento, tem-‐se a seguinte formulação:
minimizar ! ! !𝐶!"#𝑎!𝑋!"# sujeito a: 𝑋!"# ! ! = 1, para todo 𝑖 𝑎!𝑋!"# ! ! ! ≤ 𝐵! para todo 𝑗 > 0 𝑎!𝑋!"# ! ! ! ≤ 𝐷! para todo 𝑘 0 ≤ 𝑋!"# ! ≤ 1 𝑋!"#≤ 𝑃!, para todo 𝑖, 𝑗, 𝑘 𝑋!"# ≤ 𝑄!, para todo 𝑖, 𝑗, 𝑘 0 ≤ 𝑋!"# ≤ 1
Essa formulação é um problema de programação linear que pode ser resolvido por um algoritmo SIMPLEX para encontrar o valor ótimo de 𝑋!"# em tempo polinomial.
6. Algoritmo Genético
Neste trabalho, utilizou-‐se uma abordagem baseada em Algoritmos Genéticos (AG) (Reeves, 2010). Para poder evoluir as soluções de forma eficiente, foram definidos operadores genéticos específicos para o problema e as heurísticas apresentadas são usadas como abordagens para gerar novas soluções.
Cada indivíduo da população é representado por dois vetores que representam os valores de cada variável P e Q (Seção 4). As restrições para o problema são satisfeitas pelos operadores genéticos desenvolvidos, o que simplifica a solução dos problemas pelo AG. Na
abordagem apresentada, o AG procura por bons valores de P e Q, enquanto as heurísticas apresentadas nas seções 5.3 e 5.4 foram usadas para calcular o valor de X.
Se houver algum caso em que as capacidades dos locais não são suficientes para receber os produtos dos locais de origem, a aptidão destas soluções inviáveis é penalizada de modo a ser sempre pior do que das soluções viáveis.
Os valores finais de aptidão dos indivíduos são obtidos pelo seu rank (Kreinovich et al, 1993). Uma seleção estocástica (Runarsson; Yao, 2000) é usada para decidir quais pais vão gerar filhos.
Além das funções de aptidão, os operadores genéticos também são importantes para implicitamente filtrar soluções (Freitas; Guimarães, 2011). Neste trabalho foi usado um operador de cruzamento que mantém abertos os locais que possivelmente podem levar a bons valores de aptidão. O operador funciona da seguinte forma:
1. O número de locais abertos pelos filhos goal é um número inteiro proporcional à aptidão de cada pai P na forma !"#!!!!!"#!!!
!"#!!!"#! + 0,5 .
2. 𝐴 = 𝑃!∪ 𝑃! e 𝐵 = 𝑃!∪ 𝑃! − 𝑃!∩ 𝑃!
3. Adicionar elementos de B em A aleatoriamente até que |A| = goal
A mutação utilizada neste trabalho se resume a abrir ou fechar um local aleatoriamente, respeitando-‐se os limites para P e Q.
A probabilidade inicial de acontecer um cruzamento para cada indivíduo ind foi de 𝑐𝑝!"# = 90% enquanto a probabilidade inicial de mutação foi de 𝑚𝑝!"# = 5%. Estes valores foram adaptados (Whitacre, 2007) a cada geração para cada indivíduo.
O algoritmo genético utilizou uma população de 40 indivíduos que foi inicializada aleatoriamente, utilizando a heurística gulosa (Seção 5.1) ou a Heuristic Concentration (Seção 5.2).
7. Metodologia
7.1. Instâncias Utilizadas
Para gerar as instâncias, os locais de origem, recondicionamento e coleta foram dispostos aleatoriamente em um quadrado 100 x 100. Então, baseando-‐se em um método existente para geração de instâncias (Jayaraman et al, 2003), os seguintes valores foram utilizados:
• 𝐹!= 0.1 1, 10000 + 𝐵! 0, 10 • 𝐺! = 0.1( 1, 25000 + 𝐷! 0, 100 )
• 𝐶!"#= Distância euclidiana de i para j e de j para k • 𝑎! = [0, 500], 𝐵!= 0, 6000 , 𝐷! = 0, 30000
Os parâmetros |I|, |J|, |K|, 𝑃!"# e 𝑄!"# foram configurados para gerar 5 conjuntos de instâncias. Os parâmetros 𝑃!"# e 𝑄!"# são iguais a 1. Os valores para cada conjunto de instância estão na Tabela 1. As instâncias utilizadas nesse trabalho estão disponíveis com os autores1. |I| |J| |K| 𝑃!"# 𝑄!"# Conjunto 1 30 14 12 4 2 Conjunto 2 40 20 15 6 4 Conjunto 3 50 30 20 6 4 Conjunto 4 70 30 20 6 4 Conjunto 5 100 40 30 8 4 Tabela 1: Instâncias 7.2. Resultados Computacionais
Para avaliar o desempenho dos métodos baseados no AG em comparação com as outras heurísticas utilizadas na solução do problema de distribuição reversa em dois níveis, foi realizado um experimento comparativo consistindo na aplicação de 11 diferentes métodos em 25 instâncias do problema, 5 para cada conjunto de instâncias descritos na Tabela 1.
Será usada a seguinte notação para os algoritmos comparados nesse trabalho: Algoritmo Guloso (Gr), Heuristic Concentration (CH), heurística de roteamento (RH), roteamento Simplex (SR), Algoritmos Genéticos (GA), população inicial aleatória (RS). Neste experimento foram comparadas quatro heurísticas não-‐evolucionárias e sete AG, conforme descrito na Tabela 2. Dez replicações do experimento foram realizadas com o objetivo de investigar a existência de diferenças de desempenho médio ao longo das 25 instâncias usadas. O desempenho dos métodos foi definido como sendo o valor da função objetivo obtido ao final de cada rodada algorítmica. Para a heurística gulosa, (A e B), o critério de parada utilizado foi a convergência do método. Para a CH, a fase de Seleção Aleatória foi executada 100 vezes, e o critério de parada também foi a convergência do método após a fase de Expansão Heurística. Finalmente, o critério de parada utilizado para os GAs foi o tempo de execução, estabelecido como 30 segundos. Os valores finais médios alcançados por cada método em cada conjunto de instâncias são descritos na Tabela 3.
Método Meta-‐Heurística Heurística Roteamento
A Gr + RH B Gr + SR C CH + RH D CH + SR E GA + RS + RH F GA + RS + SR G GA + Gr + RH 1 http://www.alandefreitas.com/ptbr/downloads/instancias-‐de-‐problemas.php
H GA + Gr + SR
I GA + CH + RH
J GA + CH + SR
K GA22 + RS + RH
Tabela 2: Métodos Comparados Conjunto Instâncias Método A Método B Método C Método D Método E Método F Método G Método H Método I Método J Método K 1 0,1088 0,0876 0,0222 0,0515 0,0010 0,0010 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0012 2 0,0026 0,0024 0,0029 0,0029 0,0011 0,0016 0,0011 0,0017 0,0011 0,0016 0,0019 3 0,4873 0,0044 0,0054 0,0053 0,0019 0,0024 0,0019 0,0024 0,0019 0,0024 0,0028 4 0,2266 0,8976 0,0028 0,0026 0,0015 0,0016 0,0015 0,0016 0,0015 0,0016 0,0018 5 3,0399 4,3570 0,0047 0,0048 0,0030 0,0030 0,0031 0,0031 0,0030 0,0030 0,0034
Tabela 3: Valores Médios da Função Objetivo (x 10!)
O tipo de investigação descrito acima requer um planejamento experimental conhecido como Análise de Variância de fator único (ANOVA). Neste planejamento os métodos de otimização são definidos como níveis do fator experimental Método, e as instâncias como um fator de blocagem, cujos efeitos serão removidos de forma a permitir uma comparação dos métodos ao longo de todos os problemas (Montgomery, 2008). A ordem das observações foi definida aleatoriamente para todas as replicações, de forma a minimizar tendenciosidades temporais nos dados, devidas à possível co-‐ocorrência de outros processos em execução no computador. Para todos os testes foi estabelecido um nível de significância de 95%. Todas as análises estatísticas foram realizadas utilizando-‐se o ambiente R (R Development Core Team, 2011).
7.3. Análise dos Resultados
Após uma análise preliminar utilizando-‐se a ANOVA paramétrica (teste F), observou-‐se um desvio moderado de normalidade dos resíduos. Dado que o tamanho amostral utilizado neste estudo foi moderadamente baixo (n=10 para cada combinação de instância e método), optou-‐se pela utilização do teste de Friedman (Montgomery and Runger, 2006), que representa uma alternativa não dependente da premissa de normalidade dos resíduos.
Os resultados deste teste foram altamente significativos (p < 2.2e-‐16), indicando que ao menos alguns dos métodos testados apresentam diferenças significativas de desempenho entre as instâncias testadas. Para investigar quais os métodos responsáveis
2 Algoritmo Genético proposto por (Costa, 2007), com a seguinte configuração: Seleção de
torneio binário, crossover de fusão, mutação de troca de nodos, troca de apenas metade da geração anterior, tamanho da população de 2.|J|, probabilidade de crossover de 0,5, probabilidade de mutação de 0,1.
por esta diferença, estimadores pontuais e intervalos de confiança simultâneos para os ranks médios de cada algoritmo foram obtidos utilizando-‐se métodos de bootstrap (Davison and Hinkley, 1997). Os intervalos de confiança obtidos foram ajustados utilizando-‐se a correção de Bonferroni (Montgomery, 2008), e são mostrados na Figura 1.
A partir de uma análise dos intervalos de confiança ilustrados na Figura 1, pode-‐se observar que os métodos testados podem ser divididos em quatro grupos, em ordem decrescente de desempenho médio: (i) algoritmos genéticos hibridizados com a heurística de roteamento; (ii) algoritmos genéticos com roteamento simplex; (iii) algoritmo genético de Costa et al, com inicialização aleatória e heurística de roteamento; (iv) heurísticas. É interessante notar que as técnicas de inicialização da população nos AGs não parecem exercer qualquer influência significativa no desempenho final dos mesmos, quando integrado ao longo de múltiplos problemas. em termos de desempenho médio, métodos baseados em AG foram significativamente superiores às heurísticas, e aqueles utilizando a heurística de roteamento apresentaram vantagem significativa sobre os que utilizaram simplex.
8. Conclusão e Trabalhos Futuros
Comparando as técnicas utilizadas para o problema de distribuição reversa em dois níveis, foi possível observar que o uso de algoritmos genéticos pode melhorar significantemente os resultados quando comparados às outras heurísticas estudadas.
A inicialização da população inicial com métodos diferentes não parece influenciar a performance dos algoritmos genéticos. Por outro lado, a utilização da heurística de roteamento apresentou resultados bastante promissores, embora este estudo não tenha sido elaborado de forma a explorar exaustivamente esta questão.
Ideias para trabalhos futuros incluem o uso de GAs para o cálculo de roteamento, avaliação de outros operadores genéticos, testes em instâncias maiores e com maior tempo limite, e a exploração dos efeitos dos diferentes parâmetros do GA.
9. Agradecimentos
Este trabalho foi realizado com o apoio financeiro da CAPES, CNPq (projeto 472446/2010-‐0) e FAPEMIG (projeto APQ-‐04611-‐10).
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