An´
alise Combinat´
oria para
professores do Ensino M´
edio
Jos´
e Pl´ınio de O. Santos
1Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Comp. Cient´ıfica - IMECC Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Robson da Silva
2Centro de Matem´atica, Computa¸c˜ao e Cogni¸c˜ao - CMCC Universidade Federal do ABC - UFABC
1josepli@ime.unicamp.br 2robson.dasilva@ufabc.edu.br
Conte´
udo
1 Permuta¸c˜ao, Arranjo e Combina¸c˜ao 5
2 Permuta¸c˜ao com repeti¸c˜oes 11
3 Permuta¸c˜oes circulares 15
4 Exerc´ıcios 17
5 Respostas dos exerc´ıcios 19
Apresenta¸
c˜
ao
Nosso objetivo ao escrever este texto ´e o de apresentar o que consta do pro-grama de An´alise Combinat´oria do segundo grau em uma linguagem informal mas sem deixar a precis˜ao em segundo plano. Acreditamos que esta abor-dagem ajudar´a bastante os professores de matem´atica na tarefa de ensinar esta disciplina que, infelizmente, n˜ao tem sido dada ou, quando ministrada, reduz-se a algumas f´ormulas decoradas sem o devido entendimento.
Utilizaremos um grande n´umero de exemplos concretos na introdu¸c˜ao de cada conceito novo.
1
Permuta¸
c˜
ao, Arranjo e Combina¸
c˜
ao
Nosso primeiro problema ser´a o de calcularmos o n´umero de diferentes maneiras que podemos colocar n pessoas em fila. Claramente estamos con-siderando as pessoas como diferentes objetos. Vamos, inicialmente, tomar n = 3 e listar todas as poss´ıveis filas que podemos formar com estas trˆes pessoas, que vamos chamar de a, b e c. A tabela abaixo apresenta as seis diferentes filas que podemos formar neste caso.
abc acb bac bca cab cba
Tabela 1: Poss´ıveis filas com trˆes pessoas
Veja que, ao falarmos em filas, a pergunta “em que posi¸c˜ao uma dada pessoa se encontra?” faz sentido. Observe que a pessoa a ´e a primeira em duas filas, ´e a segunda em duas filas e ´e a terceira, tamb´em, em duas filas. Estas afirma¸c˜oes valem tamb´em para as outras duas letras (pessoas). Aqui estamos em uma democracia plena. Todos tˆem exatamente os mesmos direitos.
´
E claro que tendo apenas uma pessoa o n´umero de filas ´e igual a 1 e, ainda, no caso de duas pessoas este n´umero ´e igual a 2. Listamos abaixo estes dois casos.
a ab ba
Tabela 2: Poss´ıveis filas com uma e com duas pessoas
O n´umero de filas com trˆes pessoas ´e 3 vezes o n´umero de filas com duas pessoas. Isto ´e verdade pelo simples fato de que a terceira pessoa, c, pode ser
introduzida na fila ab em trˆes posi¸c˜oes distintas: depois de ab, isto ´e, no final da fila, gerando abc; entre as duas, resultando em acb; como primeira da fila, gerando cab. Ao introduzirmos a nova pessoa c na outra fila ba vamos obter, pelas mesmas raz˜oes, trˆes novas filas que s˜ao: bac, bca, cba.
O n´umero de diferentes filas com quatro pessoas ´e igual a 24 que ´e 4 vezes o n´umero de filas com trˆes pessoas, que j´a vimos ser igual a 6 = 3 × 2. A justificativa ´e a mesma usada na mudan¸ca de duas para trˆes pessoas. Agora como estamos introduzindo uma quarta pessoa, denotada por d, esta pode ser colocada, em cada fila com trˆes pessoas, em quatro posi¸c˜oes diferentes: em primeiro lugar, em segundo, em terceiro ou em ´ultimo. Na tabela abaixo temos as 24 filas distintas.
abcd bcad abdc bcda adbc bdca dabc dbca acbd cabd acdb cadb adcb cdab dacb dcab bacd cbad badc cbda bdac cdba dbac dcba
Tabela 3: Poss´ıveis filas com quatro pessoas
Este simples argumento nos permite concluir que, no caso de n pessoas, o total de diferentes filas ´e igual a n! (lˆe-se n fatorial) que ´e a nota¸c˜ao usada para o produto dos primeiros n inteiros positivos, isto ´e,
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 3 × 2 × 1.
Dizemos que n! ´e o n´umero de permuta¸c˜oes de n objetos distintos, isto ´
e, o n´umero de filas distintas que podemos formar com n objetos diferentes. Vamos denotar este n´umero por Pn, ou seja, Pn= n!.
Estas diferentes filas que chamamos de permuta¸c˜oes podem ser vistas como fun¸c˜oes. Vejamos como. Consideremos o caso n = 4, isto ´e, quatro pessoas a, b, c e d. Na fila bacd temos que a primeira letra ´e b, a segunda a, a terceira c e a ´ultima d. Podemos escrever isto da seguinte forma
1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ b a c d
aqui como o c ´e a imagem do 3, isto significa que ele ´e o terceiro da fila. Observa¸c˜oes semelhantes valem, claramente, para as demais letras (pessoas).
Agora que sabemos contar de quantas maneiras diferentes podemos or-denar (colocar em fila) n objetos distintos (que ´e n!), vamos responder a uma outra pergunta, cuja resposta inclui, como caso particular, a quest˜ao resolvida acima.
Consideremos o seguinte conjunto com quatro objetos distintos {a, b, c, d}. A pergunta agora ´e a seguinte: de quantas maneiras diferentes podemos retirar dois objetos colocando-os em fila? Como para o primeiro da fila temos 4 condidatos, restam apenas 3 poss´ıveis ocupantes para a segunda posi¸c˜ao. Logo, 4 × 3 = 12 ´e a resposta `a nossa pergunta. Listamos a seguir todas estas doze filas.
ab ad bd ba da db ac bc cd ca cb dc
Tabela 4: As doze poss´ıveis filas
Se o n´umero total de objetos for n e desejarmos retirar r (r ≤ n) objetos para formarmos filas, temos que escolher um objeto para ocupar o primeiro lugar (s˜ao n possibilidades), para o segundo lugar nos restam n−1 candidatos, n − 2 para o terceiro, ..., e finalmente n − (r − 1) = n − r + 1 para a r-´esima posi¸c˜ao. Assim, temos n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × (n − r + 1) poss´ıveis filas diferentes contendo r elementos escolhidos dentre os n do nosso conjunto.
A este n´umero chamamos arranjo de n objetos r a r, o qual vamos denotar por Arn. Como n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × (n − (r − 1)) = n × (n − 1) × · · · × (n − (r − 1)) × (n − r) × · · · × 3 × 2 × 1 (n − r) × (n − r − 1) × · · · × 3 × 2 × 1 = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × (n − (r − 1)) × (n − r)! (n − r)! = n! (n − r)!,
ent˜ao
Arn= n!
(n − r)! (1)
Observemos que no caso r = n, ou seja, se desejamos tomar todas os indiv´ıduos para formarmos filas, a resposta ser´a An
n = n!. Portanto, a
per-muta¸c˜ao ´e um caso particular de arranjo.
Ao substituirmos r por n em (1), obtemos Ann = n!
0! = Pn, donde con-clu´ımos ser conveniente definir 0! = 1.
Vamos agora responder algumas simples quest˜oes que ilustram os concei-tos de permuta¸c˜ao e arranjo vistos at´e aqui.
Numa prateleira de uma estante onde cabem pelo menos 20 livros gostar´ıamos de colocar 15 livros, todos distintos, sendo 6 de Matem´atica, 6 de F´ısica e 3 de Portuguˆes. N˜ao havendo nenhuma restri¸c˜ao a resposta seria simplesmente 15!. Caso os livros de mesma disciplina devam estar jun-tos a resposta seria 6!6!3!3!. Se apenas os de Matem´atica tivessem que estar juntos, ter´ıamos 6!10! possibilidades. Se os 3 livros de portuguˆes ocupas-sem os primeiros 3 lugares, estando os de Matem´atica e F´ısica intercalados, ter´ıamos 3!6!6!2!. Caso queiramos escolher 3 livros de Matem´atica dentre os 6 e 3 livros de F´ısica dentre os 6 para colocarmos todos em fila juntamente com os 3 de portuguˆes a resposta n˜ao seria A36A363!. Procure justificar onde esta o erro. Qual seria a pergunta que teria como resposta correta o n´umero dado acima?3
Tendo visto as defini¸c˜oes de Arranjo e de Permuta¸c˜ao, vamos introduzir o conceito de Combina¸c˜ao que, como veremos, pode ser expresso em termos dos dois primeiros.
Gostar´ıamos de contar quantos s˜ao os subconjuntos de {a, b, c, d} con-tendo exatamente 2 elementos. Vamos chamar este n´umero de combina¸c˜ao de 4 objetos tomados 2 a 2 e o denotaremos por 42. A lista de todos estes conjuntos ´e apresentada na Tabela 5 abaixo.
{a, b} {b, c} {a, c} {b, d} {a, d} {c, d}
Tabela 5: Os 6 poss´ıveis conjuntos
No caso geral, nr denota, portanto, o n´umero de subconjuntos contendo r elementos que um conjunto com n elementos possui.
Sabemos que o arranjo de n objetos r a r conta todas as maneiras de tirarmos r elementos colocando-os em fila e que combina¸c˜ao de n objetos r a r n˜ao leva em considera¸c˜ao a ordem mas apenas a natureza dos ele-mentos retirados. Logo (veja a Tabela 6 a seguir) para obtermos Ar
n basta
multiplicarmos nr por r!, isto ´e, n r r! = Arn = n! (n − r)!, donde obtemos n r = A r n r! = n! r!(n − r)!. (2) 4 2 = 6 4 22! = A 2 4 ab ab, ba ac ac, ca ad ad, da bc bc, cb bd bd, db cd cd, dc
Tabela 6: Um exemplo de que nrr! = Arn
Uma propriedade importante verificada pela f´ormula de combina¸c˜ao, supondo r ≤ n, ´e a seguinte: n r = n n − r . (3)
Uma maneira de se provar (3) ´e pela simples substitui¸c˜ao na f´ormula dada por (2): n r = n! r!(n − r)! = n! (n − r)!(n − (n − r))! = n! (n − r)!r! = n n − r .
Esta demonstra¸c˜ao, embora correta, n˜ao requer o uso da defini¸c˜ao de combina¸c˜ao como sendo o n´umero de subconjuntos contendo r elementos que um conjunto com n elementos possui. Vamos, pois, demonstrar (3)
novamente, mas agora sem fazer uso da f´ormula dada por (2). Cada vez que retiramos r elementos, n − r s˜ao deixados e, portanto, (3) est´a provada. A tabela abaixo ilustra isto no caso n = 5 e r = 2. A mesma tabela ilustra, tamb´em, o caso n = 5 e r = 3 (basta trocar “retirar” por “deixar”). ´E, portanto, apenas uma quest˜ao de referencial.
retirar deixar ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe ce abd de abc
Tabela 7: Um exemplo de que nr = n−rn
Vamos resumir o que foi feito at´e agora:
Pn= n! Ar n = n! (n − r)!, r ≤ n n r = A r n r! = n! r!(n − r)!, r ≤ n.
Antes de considerarmos cole¸c˜oes de objetos onde repeti¸c˜oes s˜ao permiti-das, vamos demonstrar uma importante e conhecida rela¸c˜ao utilizando ape-nas argumentos combinat´orios:
n r =n − 1 r +n − 1 r − 1 .
Sabemos que nr conta quantos s˜ao os subconjuntos com r elementos que um conjunto com n elementos possui. Como cada elementos do conjunto aparece exatamente o mesmo n´umero de vezes na tabela das combina¸c˜oes de n objetos r a r, podemos escolher um elemento qualquer e contar o n´umero
de subconjuntos nos quais ele n˜ao est´a presente, que ´e n−1r , e somar com o n´umero daqueles em que este elementos est´a presente, que ´e n−1r−1.
Consideremos o conjunto {a, b, c, d, e}. As combina¸c˜oes destas cinco letras trˆes a trˆes est˜ao listadas abaixo.
cde ace bde acd bce abe bcd abd ade abc
Tabela 8: Combina¸c˜oes de a, b, c, d e e trˆes a trˆes
Como sabemos, cada letra aparece exatamente o mesmo n´umero de vezes na tabela acima. Consideremos a letra d. Claramente, dado um subconjunto ou d pertence a este subconjunto ou n˜ao pertence. Vamos contar, primeira-mente, a quantos subconjuntos a letra d n˜ao pertence. Como o subconjunto deve ter trˆes elementos (r no caso geral), ent˜ao 5−13 = 43 = 4 ( n−1r no caso geral) ´e o n´umero de subconjuntos nos quais a letra d n˜ao aparece. Aque-les em que d esta presente s˜ao 5−13−1 = 42 = 6 ( n−1r−1 no caso geral), pois devemos retirar dois (r − 1 no caso geral) elementos para completarmos, jun-tamente com o elemento d os trˆes (r no caso geral) elementos do subconjunto considerado. Neste caso particular temos 10 = 53 = 43 + 42 = 4 + 6.
2
Permuta¸
c˜
ao com repeti¸
c˜
oes
Vamos estudar agora as permuta¸c˜oes com repeti¸c˜oes. Isto significa que queremos colocar em fila objetos que n˜ao s˜ao necessariamente todos distin-tos. Para ilustrarmos a id´eia, consideremos um exemplo com apenas quatro elementos aabc, isto ´e, duas c´opias da letra a, uma da letra b e uma da letra c. Sabemos que o total de filas distintas com quatro objetos distintos ´e igual a 4! = 24. Inicialmente, vamos supor que as duas letras a s˜ao distintas. Vamos cham´a-las de a1 e a2. Assim, temos quatro objetos distintos: a1, a2, b e c.
Na Tabela 9 est˜ao listadas as 24 permuta¸c˜oes (filas) que podemos cons-truir com estes quatro (temporariamente distintos) objetos.
a1a2bc a2a1bc a1a2cb a2a1cb a1ba2c a2ba1c a1bca2 a2bca1 a1cba2 a2cba1 a1ca2b a2ca1b ca1a2b ca2a1b ba1a2c ba2a1c ba1ca2 ba2ca1 ca1ba2 ca2ba1 cba1a2 cba2a1 bca1a2 bca2a1
Tabela 9: As 24 poss´ıveis filas
Listamos a tabela de forma a destacar o fato de que a diferen¸ca entre a primeira e a segunda colunas ´e apenas pela troca (permuta¸c˜ao) das letras a1 e a2. Como, na realidade, a1 = a2, as filas a1a2bc e a2a1bc s˜ao iguais.
Isto se aplica a todas as outras linhas da Tabela 9, o que nos mostra que a resposta correta ´e 12, que ´e igual a 24 = 4! dividido por 2!. Logo, o n´umero de permuta¸c˜oes das quatro letras aabc ´e igual a 4!2! = 242 = 12.
Se tiv´essemos com as seis letras aaabbc, o total de filas distintas seria
6!
3!2!1! = 60, pelo mesmo argumento apresentado acima, isto ´e, poder´ıamos
supor serem todas distintas a1a2a3b1b2c e ter´ıamos, por exemplo, do total de
6! = 720, as seguintes filas onde apenas as letras a1a2a3 s˜ao permutadas:
a1a2b1cb2a3 a1a3b1cb2a2 a2a1b1cb2a3 a2a3b1cb2a1 a3a1b1cb2a2 a3a2b1cb2a1
Tabela 10: 6 das 720 filas poss´ıveis
Como a1 = a2 = a3 = a, todas estas filas s˜ao iguais, o que mostra a
necessidade de dividir 6! por 3!. De forma an´aloga, temos que dividir por 2! devido as duas c´opias da letra b.
No caso geral, em que se tem n1 c´opias de a1, n2 c´opias de a2, ..., nr
c´opias de ar, o total de permuta¸c˜oes com repeti¸c˜oes ´e dado por
n! n1!n2! · · · nr!
, (4)
onde n1+ n2+ · · · + nr = n.
Observe que permuta¸c˜ao simples, isto ´e, sem repeti¸c˜ao, ´e um caso parti-cular da f´ormula (4) acima onde n1 = n2 = · · · = nr = 1.
Algo j´a visto anteriormente tamb´em ´e caso particular da f´ormula (4) acima. Trata-se de combina¸c˜ao simples. Como demonstramos, o n´umero de combina¸c˜oes de n objetos tomados r a r ´e dado por
n r
= n! r!(n − r)!
e isto ´e, claramente, um caso particular de (4) ao tomarmos n1 = r e n2 =
n − r.
Vejamos um exemplo num´erico simples para ilustrar este importante fato. Gostar´ıamos de escolher dentre cinco pessoas (distintas, ´e claro) duas para participarem de um comiss˜ao. Sabemos que este n´umero ´e dado por 52 =
5! 2!(5−2)! =
5!
2!3! = 10. Este ´e, tamb´em, o n´umero de filas distintas que podemos
formar com as letras aaabb. Na Tabela 11 listamos todas estas filas.
aaabb aabab abaab baaab aabba ababa baaba abbaa babaa bbaaa
Tabela 11: As 10 filas distintas com as letras aaabb
Observe que para caracterizarmos uma fila basta que escolhamos as posi¸c˜oes das duas letras b. Ou as posi¸c˜oes das letras a, afinal 52 = 53, como j´a foi visto. Disto conclu´ımos que combina¸c˜ao simples ´e um caso particular muito especial das permuta¸c˜ao com repeti¸c˜oes.
Vamos discutir agora problemas que podem ser resolvidos com o que vimos at´e aqui.
Consideremos duas salas distintas, Sala 1 e Sala 2, e quatro pessoas a, b, c e d. De quantas maneiras diferentes podemos colocar duas pessoas em cada sala? Quando escolhemos duas pessoas para colocarmos na Sala 1, as duas restantes necessariamente ir˜ao para a Sala 2. Na Tabela 12 abaixo temos listadas todas as possibilidades.
Sala 1 Sala 2 ab cd ac bd ad bc bc ad bd ac cd ab
Tabela 12: As poss´ıveis ocupa¸c˜oes das duas salas
Como pode ser visto, na coluna da Sala 1 est˜ao todas as combina¸c˜oes de 4, 2 a 2. Na segunda coluna, temos exatamente a mesma lista na ordem inversa. A resposta para nossa quest˜ao ´e, portanto, 6 = 42.
Vejamos agora uma outra quest˜ao relativa a estas mesmas quatro pes-soas a, b, c e d. De quantas maneiras distintas podemos separ´a-las em dois conjuntos com duas pessoas em cada?
Uma simples observa¸c˜ao na Tabela 12 nos permite concluir que a resposta agora ´e 3, pois a diferen¸ca entre a primeira e a ´ultima linhas ´e apenas na ordem dos conjuntos {a, b} e {c, d}. A mesma observa¸c˜ao ´e v´alida para as linhas 2 e 5 e, ainda, para as linhas 3 e 4. Disto podemos concluir que a resposta ´e 12 42 = 122!2!4! = 126 = 3.
Assim, 42 ´e o n´umero de subconjuntos formados por dois elementos que um conjunto com quatro elementos possui e ´e, tamb´em, o n´umero de maneiras de separarmos estes quatro elementos em dois grupos, com dois em cada um, onde a ordem destes grupos importa. Caso as salas sejam idˆenticas, a resposta, como vimos, ´e 3, pois neste caso estamos interessados em saber “quem est´a junto com quem” e n˜ao onde um par de elementos est´a.
Continuando com esta mesma linha de racioc´ınio, vamos resolver outra quest˜ao semelhante. Considerando agora trˆes salas distintas e as seis pessoas
a, b, c, d, e e f , de quantas maneiras diferentes podemos colocar duas em cada sala?
Temos 62 maneiras para a escolha das duas que ir˜ao para a Sala 1. Devemos agora escolher duas dentre as quatra restantes para ocupar a Sala 2, o que pode ser feito de 42 maneiras. Logo, a resposta correta ´e
6 2 ×4 2 ×2 2 = 6! 2!4! 4! 2!2! 2! 2!0! = 6! 2!2!2! = 90. (5)
Note que, tamb´em neste caso, temos uma permuta¸c˜ao com repeti¸c˜oes. Considere agora a seguinte quest˜ao envolvendo as mesmas seis pessoas a, b, c, d, e e f acima: de quantas maneiras podemos separ´a-las em trˆes pares, isto ´e, em duplas para disputarem a primeira rodada de um torneio de tˆenis? A resposta agora ´e o n´umero dado por (5) dividido por 3! = 6.
Observe as seguintes distribui¸c˜oes em salas distintas das pessoas a, b, c, d, e e f na Tabela 13.
Sala 1 Sala 2 Sala 3 ac ef bd ac bd ef ef ac bd ef bd ac bd ef ac bd ac ef
Tabela 13: Seis poss´ıveis ocupa¸c˜oes das salas por a, b, c, d, e, f
Claramente, as seis ocupa¸c˜oes listadas na Tabela 13 s˜ao todas distintas. Caso estejamos interessados apenas na forma¸c˜ao de pares, cada uma das linhas desta tabela fornecer´a exatamente a mesma configura¸c˜ao, isto ´e, que os pares s˜ao ac, bd e ef . Por isto a necessidade de dividirmos por 3!.
3
Permuta¸
c˜
oes circulares
Inicialmente vamos falar a respeito da diferen¸ca entre as permuta¸c˜oes j´a vistas e as que chamamos permuta¸c˜oes circulares. Vimos que a n´umero de maneiras de colocarmos em fila n pessoas (n objetos distintos) ´e igual a Pn=
n!. Vamos tomar n = 4 para ilustrarmos, n˜ao apenas a diferen¸ca entre os dois conceitos, mas tamb´em como se calcula o n´umero de permuta¸c˜oes circulares de n. Na Tabela 4 listamos as 24 = 4! filas distintas que podemos formar com 4 pessoas a, b, c, d. Quando temos pessoas em fila podemos perguntar quem ocupa o primeiro lugar, quem ocupa o segundo e assim por diante. J´a no caso em que as pessoas est˜ao de m˜aos dadas, formando uma roda, esta mesma pergunta n˜ao faz sentido. Vamos explicar uma forma de se contar o total das permuta¸c˜oes circulares a partir das filas, isto ´e, das permuta¸c˜oes n˜ao circulares. Claramente se tomarmos uma fila e pedirmos para que a primeira pessoa da fila dˆe a m˜ao `a ´ultima formaremos uma roda que estamos considerando como permuta¸c˜ao circular. Quando as pessoas est˜ao de m˜aos dadas o que se pode perguntar sobre uma dada pessoa ´e, por exemplo, quem s˜ao seus vizinhos mas n˜ao se ela ocupa uma dada posi¸c˜ao no sentido de ser a primeira ou a segunda, etc.
Vamos, agora, iniciar a forma¸c˜ao de rodas transformando uma fila em uma roda pedindo para que o primeiro da fila dˆe a m˜ao ao ´ultimo. Como estamos lidando com pessoas e devemos ser precisos vamos convencionar que todos dever˜ao ficar “olhando” para o interior da roda. Iniciemos com a fila abcd. a b c d d a b c c d a b b c d a
Consideramos iguais duas rodas quando elas diferem apenas por uma rota¸c˜ao. Com esta conven¸c˜ao as quatro rodas da figura acima s˜ao idˆenticas.
´
E f´acil observar que nenhuma outra fila, al´em destas quatro, dar´a origem a esta roda com a opera¸c˜ao que realizamos (liga¸c˜ao do primeiro com o ´ultimo). Mantendo nossa preocupa¸c˜ao com a precis˜ao n˜ao estamos esperando que as pessoas brinquem de roda de cabe¸ca para baixo.4
As quatro filas que originam esta mesma roda s˜ao: abcd, dabc, cdab e bcda. Vejamos o que elas tˆem em comum. O que se observa ´e que cada uma pode ser obtida da anterior ao se retirar o ´ultimo elemento e coloc´a-lo no in´ıcio da fila. Logo estas quatro diferentes filas nos fornecem a mesma roda. Se tomarmos qualquer fila fora do conjunto formado por estas quatro poderemos repetir o que fizemos obtendo outro conjunto de quatro filas que ir´a gerar uma roda diferente da anterior. Procedendo desta maneira iremos
4isto ´e importante porque n˜ao precisamos considerar, em cada roda, duas poss´ıveis
separar o conjunto das 24 filas em 6 grupos de 4 filas, cada um dos quais, gerando uma roda. Logo o 6 foi obtido da divis˜ao de 24 por 4. Isto ´e de 4! por 4. Este simples argumento nos permite dizer que, no caso geral, teremos (n − 1)! rodas (permuta¸c˜oes circulares distintas) com os n objetos distintos. Este n´umero, que denotamos por (P C)n, ´e, pois, dado por:
(P C)n= Pn n = n! n = n(n − 1)! n = (n − 1)!.
4
Exerc´ıcios
1. De quantas maneiras podemos colocar em fila 10 homens e 10 mulheres sendo que os homens devem estar juntos numa ordem qualquer?
2. De quantas maneiras podemos formar comiss˜oes com 5 homens e 3 mulheres de um total de 8 homens e 12 mulheres?
3. Uma comiss˜ao julgadora ´e formada por 4 matem´aticos e 3 f´ısicos. De quantas maneiras eles podem sentar-se em fila, se:
(a) os matem´aticos sentam-se juntos e os f´ısicos tamb´em? (b) somente os matem´aticos sentam-se juntos?
4. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em dois grupos de 6 pessoas cada?
5. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em trˆes grupos de 4 pessoas cada?
6. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em dois grupos de 2 pessoas e dois grupos de 4?
7. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em dois grupos sendo um de 7 pessoas e o outro de 5?
8. No Problema 1 quantas s˜ao as filas nas quais n˜ao existam duas mulheres vizinhas?
9. No Problema 2, considerando-se que Jo˜ao ´e um dos homens e Maria uma das mulheres, quantas s˜ao as comiss˜oes das quais Maria faz parte sem o Jo˜ao?
10. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 18 objetos distintos em trˆes caixas distintas com a restri¸c˜ao de que cada caixa tenha 6 objetos?
11. Considere 4 bolas vermelhas idˆenticas, 4 bolas verdes idˆenticas e 4 bolas amarelas idˆenticas. De quantas maneiras podemos coloca-las em fila?
12. Que rela¸c˜ao existe entre os Problemas 5 e 11?
13. Considere um grupo de 8 casais. De quantas maneiras podemos colocar estas 16 pessoas em fila de forma que marido e mulher estejam juntos?
14. Qual a resposta ao problema anterior caso os casais sejam colocados ao redor de uma mesa circular com exatamente 16 cadeiras idˆenticas? 15. E se as cadeiras no problema anterior forem distintas?
16. Considere dois dados de cores distintas. Quando jogamos os dois quan-tos s˜ao os poss´ıveis resultados?
17. No problema anterior quantas s˜ao as possibilidades de se obter soma 9?
18. De quantas maneiras podemos colocar 8 torres idˆenticas em um tabu-leiro de xadrez de modo que elas estejam em linhas distintas e colunas distintas?
19. 12 pessoas v˜ao disputar um campeonato de xadrez. De quantas manei-ras podemos separ´a-las em seis duplas para a primeira rodada?
20. Sendo Jo˜ao e Maria duas dentre as 12 pessoas do problema anterior qual a probabilidade de que eles formem um par na primeira rodada?
21. De quantas maneiras podemos distribuir 24 livros diferentes entre 5 alunos se 2 deles recebem 6 livros e os outros 3 recebem 4 livros cada? 22. De quantas maneiras podemos retirar sucessivamente 2 cartas de um
baralho de 52 cartas de modo que:
(a) a primeira carta ´e um ´as e a segunda carta n˜ao ´e uma rainda? (b) a primeira carta ´e de espadas e a segunda n˜ao ´e uma rainda? 23. Quantos s˜ao os jogos de um campeonato disputado por 16 equipes de
vˆolei se todas se enfrentam 2 vezes?
24. De quantas maneiras podemos comprar 18 sorvetes, cada um de um ´
5
Respostas dos exerc´ıcios
1. 11!10! 2. 8 5 12 3 = 12320 3. (a) 4!3!2! = 288 (b) 4!4! = 576 4. 12! 2(6!)2 = 462 5. 12! 3!(4!)3 = 5775 6. 12! 24(4!)2 = 51975 7. 12! 7!5! = 792 8. 2(10!)2 9. 11 2 7 5 = 1155 10. 18! (6!)3 = 17153136 11. 12! (4!)3 = 34650 13. 288! = 10321920 14. 287! = 1290240 15. 288! = 10321920 16. 36 17. 4 18. 8! = 40320 19. 12! 266! = 46080 20. 12 132 21. 24! (6!)2(4!)3 22. (a) 188 (b) 612 23. 240 24. 1330Resposta a pergunta deixada na p´agina 7: Uma poss´ıvel pergunta seria: De quantas maneiras podemos escolher 3 livros de Matem´atica dentre os 6, 3 de F´ısica dentre os 6 para colocarmos em fila, juntamente com os 3 de Portuguˆes, sendo que os 3 primeiros seriam de Matem´atica, os 3 seguintes de F´ısica e os 3 ´ultimos de Portuguˆes?
Referˆ
encias
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