14 a 16 de Abril de 2003
ANÁLISE NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE VALORES DE
FRONTEIRA SINGULARES
Matilde Pós-de-Mina Pato1, Pedro Miguel Rita da Trindade e Lima 2
RESUMO
Neste trabalho aplicamos os métodos numéricos das diferenças finitas e de shooting à resolução de problemas de valores de fronteira não lineares singulares que descrevem as deformações de uma membrana.
A equação diferencial considerada tem a forma
] ]
0,1 , 8 2 3 2 2 2 2 2 2 ´ ´´ 2 + = − + − r∈ S r S r r rS S r r r r r β ν λ γ (1) onde Sr, r e , representam, respectivamente, a tensão radial, o raio da membrana e ocoeficiente de Poisson, sendo , λ e constantes positivas conhecidas. Procura-se a função Sr que satisfaz as condições de fronteira:
S (1) S ou S S e 0 em limitada é Sr r´(1)+ (1−ν ) r(1)= Γ r = , (2) onde e S são números reais.
Usando métodos iterativos conhecidos, como o de Picard e Newton, a resolução do problema não linear é reduzida à resolução de uma sucessão de problemas lineares, que são depois discretizados pelo método das diferenças finitas.
Os resultados obtidos pelo método das diferenças finitas são comparados com os do método de shooting e com os apresentados em trabalhos anteriores.
1.INTRODUÇÃO
Consideremos uma membrana, no estado não deformado. Assumimos que a membrana é dada em coordenadas cilindricas pela equação z=z(r) e a pressão a que está sujeita é vertical e uniforme.
Se a membrana for rasa e estiver sujeita a uma força de tensão e pressão vertical baixa, então uma deformação rotacionalmente simétrica é descrita exactamente pela equação
1 Eq. Assistente, Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, Departamento de Eng. Química, Lisboa. 2 Professor Auxiliar, Instituto Superior Técnico, Departamento de Matemática, Lisboa.
(
)
r r mS r dr d ∑ + = +1 2 1 2εθ ε (3)onde εθ e εr são, respectivamente, a taxa de deformação radial e a taxa de deformação tangencial. Além disso, verificam-se as relações m2 = 1+
( )
z' 2, ∑ = 2 +1r r r σ ε e 1 2 + =
∑ θ σθ εθ , onde σr e σθ representam, respectivamente, a tensão radial e a tangencial. Admitindo que as taxas de deformação são pequenas, e a membrana é rasa e a pressão vertical é baixa, Dickey mostrou, usando a lei de Hook, que a partir da equação (3) se pode obter uma equação aproximada (ver Dickey (1987)).
Mais precisamente, Dickey mostrou que, sob estas condições, as grandezas , εθ, εr, z’ são pequenas. Por conseguinte, aplicando a fórmula de Taylor à equação inicial e desprezando as potências de , de expoente igual ou superior a 3, e as potências de εθ, εr, z’, de expoente igual ou superior a 2, ele obteve a seguinte equação:
( )
3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 − + = + r r r r G E G rG dr d E z dr d E dr d r dr d r σ σ ν σ σ (4)onde E é o módulo de elasticidade e G=F/E, sendo F definido por =
∫
r d mP h rF 0 ) ( 1 ρ ρ ρ , onde P é a pressão aplicada.
Podem ser considerados dois problemas de valores de fronteira: problema de tensão, onde a tensão radial σ na fronteira é σr(a)= σ e o problema de deslocamento, onde o deslocamento radial é ( )≡
(
aσ '(a)+ (1−ν )σ (a))
− µE a a
u r r .
Para simplificar e sem perda de generalidade, consideremos P(r)≡P constante e a
superfície não deformada toma a forma
− = γ a r C r
z( ) 1 , onde a e C são, respectivamente, o raio da membrana e a altura do centro até à superfície, e >1. Suponhamos que a=1, e introduz-se a seguinte notação:
( )
( )
3 13 23 1 2 2 2 1 ; ; ; = = = = − Eh P Eh P C h EP K K r a S r r λ γ β σ .Então (4) toma a forma
] ]
0,1 , 8 2 3 2 2 2 2 2 2 ´ ´´ 2 + = − + − r∈ S r S r r rS S r r r r r β ν λ γ . (5)Sendo Sr a solução da equação (5), a forma da membrana pode ser descrita pelas
equações:
[
( ) (1 ) ( )]
) ( rS' r S r E Kr r u = r + −ν r =∫
1 ) ( 2 ) ( r r dt t S t EhK P r w ,onde u e w são a deslocação radial e vertical da membrana, respectivamente, e o coeficiente de Poisson1.
A fronteira da membrana corresponde a r=1. A condição de fronteira, para o problema da tensão é
K S
Sr(1)= ≡ σ , (S>0) e, para o problema do deslocamento, é
K E S
Sr''(1)+ (1−ν ) r(1)= Γ ≡ µ , ( ).
Vamos considerar separadamente três problemas de valores fronteira não lineares: problema A Análise das grandes deformações de uma membrana esférica (é um caso particular do problema B, com =0 na equação (5));
problema B Análise das deformações de uma membrana esférica, com positivo (é um caso particular do problema C, com =2);
problema C Análise das deformações de uma membrana com uma forma arbitrária, isto é com >1.
Perante situações em que a pressão é muito baixa, e tendo em conta que varia com
P-1/3 e com P2/3, corresponde a elevado e baixo, e o termo do meio do segundo membro
de (5) é muito baixo, pelo que o podemos ignorar, ver Baxley (1988), problema A.
Para =2 (problema B), em Baxley e Gu (1999) prova-se que limr→0+ Sr(r) existe e é
positivo, assim como lim 1 ' ( ) 0 r S r r r
−
→ + .
No problema de tensão, com =2, existe solução única limitada e positiva, se S1/
(4); e pelo menos uma solução positiva, se S>1/(4). Para o problema do deslocamento, se β ν
ν 4
1 1− ≤
Γ
o problema tem solução única limitada e positiva, este critério de unicidade é equivalente a 21-, o que se verifica se for suficientemente pequeno. Se ν β ν
4 1 1−
Γ
podem verificar-se múltiplas soluções.
Quando 2 (problema C), Baxley e Robinson (1998) mostraram a existência de valores A/a0, para os quais a solução obtida é não monótona. Para >1, os mesmos autores obtiveram resultados de existência e unicidade, assim como informação qualitativa sobre as soluções. Analisando separadamente os problemas consoante o valor de , primeiro tem-se >2, seguido do caso em que 4/3<<2 e por fim o caso 1<4/3.
A fim de resolver o problema numericamente introduzem-se as susbtituições de variável x=r2, u(x)=S r(r)x. Então de (1) e (2) resulta u x u x x u 4 32 8 ´´ 2 2 2 2 β ν λ γ − + = − (6) u(0)=0 (7) a0u(1)-a1u’(1)=A (8)
onde a0=b0 e a1=2b1. No problema da tensão a0=1, a1=0 e A>0; para o problema do
deslocamento a0=1-, a1=2 e A toma qualquer valor real.
2.MÉTODOS NUMÉRICOS
Resultados numéricos para este problema foram obtidos por outros autores usando o método de shooting. Neste trabalho reproduzem-se valores conhecidos, aplicando esquemas iterativos e o método das diferenças finitas para aproximação numérica do problema de valores de fronteira considerado.
O método de shooting consiste na resolução de problemas de valor de fronteira a 2 pontos e reduzi-lo à forma de problema de valores iniciais. Consideremos a equação (6) com
as condições de fronteira (7)-(8) e suponhamos que a10. Consideremos o problema de valores iniciais a a A (a) u' a u 1 1 0 , ) ( = µ = − µ , (9)
onde é um valor arbitrário. Vamos assumir que a solução do problema de valores iniciais (7)-(8) existe, para qualquer , real, é única e depende continuamente das condições iniciais.
No caso de a1=0, em vez de (9), teremos u(a)= A a , u'(a)= µ
0
1 . No caso da condição inicial em x=0, o problema não pode ser resolvido directamente, já que o segundo membro não está definido nesse ponto. Por conseguinte, as condições iniciais são formuladas num ponto x1, próximo de 0. Para isso utiliza-se o comportamento assimptótico da solução
próximo da origem que, no caso de =2, é ,( 0) 2 ) ( 2 1 1 1 ≈ + x x→ M Lx x u , onde L é um número
a determinar e M é dado pela fórmula
8 32 1 2 2 λ + − = L
M . Assim as condições iniciais que a
solução deve satisfazer em x=x1 são 12
2 2 1 1 8 32 1 2 1 ) ( x L Lx x u − + + = λ e 1 2 2 1 8 32 1 ) ( ' x L L x u − + + = λ .
Deste modo, o método de shooting neste caso consiste em determinar o valor do parâmetro L, para o qual fica satisfeita a condição de fronteira em x=1.
O método das diferenças finitas nem sempre proporciona bons resultados quando há singularidade num dos extremos, podendo a convergência tornar-se muito lenta. No nosso caso, apesar de a equação apresentar uma singularidade em x=0, o método das diferenças finitas converge rapidamente, como veremos na próxima secção, mesmo no caso em que <2. Ultrapassado este problema, vamos aplicar esquemas iterativos com a finalidade de transformar a equação não linear numa sucessão de equações lineares, aplicando a estas últimas um esquema de diferenças finitas.
Consideremos uma equação diferencial ordinária dada na forma Lu=f(x,u), onde L é um operador linear. O primeiro passo para o cálculo numérico da solução consiste em reduzir o problema não linear a uma sequência de problemas lineares, através de esquemas iterativos, como o de Picard e de Newton. O método de Picard corresponde a construir uma sucessão de iteradas {u(n)(x)}, n0 dadas por
Lu(n+1)(x)=f(x, u(n)(x)), x]a, b[ (10)
i u(n+1)(x)+i u’(n+1)(x)=i, x=a, b, i=1, 2 (11)
onde u(0)(x) é uma função dada definida em [a,b]. No caso do método de Newton, a sucessão
de iteradas é definida por
Lu(n+1)(x)=f(x, u(n)(x))+ ) ( ) , ( n u u u x u f = ∂ ∂ ( u(n+1)(x)- u(n)(x)), x]a, b[ (12)
i u(n+1)(x)+i u’(n+1)(x)=i, x=a, b, i=1, 2 (13)
O método de Newton converge, em geral, mais rapidamente que o de Picard. De facto, se o método de Newton for convergente, então a convergência deste método iterativo é quadrática. Estes esquemas iterativos foram estudados em trabalhos de Mooney(1978, 1979), onde são apresentadas as propriedades que a função f deve apresentar para que o sistema tenha uma solução única e o método iterativo convirja para essa solução.
Como vimos no parágrafo anterior, para obter uma solução aproximada do problema (6)-(8) começamos por reduzi-lo a uma sucessão de problemas lineares. A principal ideia dos esquemas de diferenças finitas, para obter uma solução aproximada duma equação diferencial, é aproximar as derivadas da solução através de uma combinação linear dos valores que ela assume em determinados pontos, os pontos da rede. Assim, se a equação diferencial estiver definida num intervalo [a, b], o primeiro passo é discretizar esse intervalo. Fazendo h=(b -
a) / N, dividimos assim o intervalo [a, b] em N subintervalos iguais. A h chamamos passo de
discretização O modo mais comum para aproximar as derivadas é através das séries de Taylor, para tal exige-se que u C3([a, b]).
O método de Richardson aplica-se a qualquer sucessão Sn, que se possa representar na
forma: ... 2 1 2 1 + + + = τ τ n n n S ah a h S , (14) onde
hn é uma sucessão auxiliar, cujos termos são distintos entre si, i são números inteiros, tais que
ij, para todo ij, ai são coeficientes reais desconhecidos. A série do segundo membro de
(14) é, em geral, infinita.
O objectivo da extrapolação de Richardson consiste em obter uma aproximação, tão precisa quanto possível do limite S, utilizando um número finito (k+1) de termos da sucessão
Sn. Sobre a precisão dos resultados obtidos por este método são conhecidos alguns teoremas,
descritos em Brezinski e Zaglia (1991).
2.1. Aplicação dos métodos numéricos
Diz-se que u(x) é uma subsolução do problema (10)-(11), ou (12)-(13), se u(x) satisfaz as desigualdades Lu(x)-f(x,u(x))0, para todo o x ]a,b[ e u (x)+u’(x)0, x=a,b. Se u(x) satisfaz as mesmas condições mas com o sentido das desigualdades invertido, diz-se que u(x) é uma supersolução.
Os métodos iterativos iniciam-se com uma subsolução u(0)(x), ou com uma
supersolução, U(0)(x), de modo a garantir a convergência uniforme e monótona da sucessão.
Neste trabalho partimos, sempre, de uma subsolução, diferente para cada um dos problemas. A tabela 1, onde a e C são parâmetros a ajustar, as constantes , r e q, satisfazem, respectivamente, 11 + 2/(1 - ), r=3/2 - 9/8, q=3/2 - 15/8, apresenta as subsoluções utilizadas. Problema A e B =2 Problema C 1<4/3 4/3<<2 >2 u(0)(x)=Cx( - x) -1 u(0)(x)=(1 - a)r-q x1 - /2 u(0)(x)=Cx( - x)
Tabela 1: Subsoluções dos problemas em análise
Uma vez determinada a subsolução u(0)(x), podemos escrever as equações dos métodos
de Picard e de Newton para cada um dos problemas A, B e C. Dado que os problemas A e B, são casos particulares de C, escreveremos as equações dos métodos iterativos apenas para este último problema.O problema C, no caso das condições de fronteira de tensão, é equivalente a
= = − + + + − = − + − S u u x u x u x x u x x u x x u x x x u x u x x u x x u n n n n ) 1 ( , 0 ) 0 ( ) ( ) ( 16 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 32 8 ) ( ) ( 16 ) ( 4 ) ( '' 3 ) ( 2 2 ) ( 2 2 2 2 3 ) ( 2 2 ) ( β ν β ν λ β ν γ , 0<x1 (15)
onde se somou uma parcela a ambos os membros da equação (15) por forma a que a nova função f satisfaça as condições referidas em Mooney (1978, 1979).
Depois, aplicam-se os esquemas iterativos dados pelas expressões (10)-(11) ou (12)-(13), para o método de Picard ou de Newton, respectivamente. Por fim, aplicamos o método das diferenças finitas com três pontos, escolhendo uma rede uniforme. Utilizando uma diferença central para aproximar a derivada de segunda ordem, o problema reduz-se a um sistema linear tridiagonal da forma AU=R, onde
= − − N N N N N N b a c c b a c b a c b A , 1 , , 1 4 , 3 3 , 3 2 , 3 3 , 2 2 , 2 1 , 2 2 , 1 1 , 1 ϑ ϑ .
Para qualquer, tem-se no esquema de Newton:
ai+1,i=1/h2, i=1, ..., N-1 − − − − = − − − − S h u x u x h u x u x B n N N n N N n n , 2 16 4 , , 2 16 4 ( )3 2 1 2 1 2 ) ( 1 1 2 3 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 1 β ν β ν , ci,i= 1/h2, i=1, ..., N-1 R=[r1, r2, ..., rN-1, rN -S/h2]T, onde ( )2 ( ) 2 2 2 2 32 3 8 n i i n i i i i u x u x x r = λ γ− − − β ν , i=1, ..., N.
A solução do sistema da n+1-ésima iteração é representada pelo vector: U=[u(n+1)(x
1), u(n+1)(x2), ..., u(n+1)(xN-1), u(n+1)(1)]T.
Em ambos os esquemas iterativos, o vector R só depende de valores conhecidos, i.e., dos valores da iteração anterior e dos valores da solução na fronteira.
3.RESULTADOS NUMÉRICOS
Neste parágrafo, vamos apresentar resultados dos cálculos efectuados para vários exemplos relativos aos problemas B e C. Os resultados expostos para o problema B referem-se às condições de fronteira do deslocamento, enquanto que os do problema C referem-se referem às condições de fronteira de tensão.
Perante os resultados obtidos, verificámos que não houve variações significativas entre os resultados numéricos obtidos dos métodos de Picard e Newton, e por isso apenas são apresentados os deste último. Os cálculos serviram para comparar a rapidez dos dois métodos. Ao aplicar o método de Newton, consideraram-se como aproximações iniciais as subsoluções,
referidas na tabela 1. São apresentados alguns resultados numéricos com diferentes valores de , , e . Os resultados dos esquemas das diferenças finitas foram obtidos para diversos valores do passo h. Considerámos, para comparação, neste método, h=1/20, h=1/40 e h=1/80 e aplicámos a extrapolação de Richardson com 3 redes.
Atendendo a que foi usado um esquema de diferenças finitas de segunda ordem, assumiu-se que o desenvolvimento (14) tem lugar, com 1=2 e 2=4.
Ponto Val. Aprox. h/2 Val. Aprox. - Richardson
0 0 0 0 0.1 0.03036814093 0.03036811299 0.03036810367 0.2 0.06066819021 0.06066812942 0.06066810916 0.3 0.09089530821 0.09089520928 0.0908951763 0.4 0.1210444052 0.1210442623 0.1210442147 0.5 0.1511101291 0.1511099362 0.1511098719 0.6 0.1810868532 0.1810866035 0.1810865202 0.7 0.2109686624 0.2109683487 0.2109682442 0.8 0.2407493394 0.2407489539 0.2407488254 0.9 0.2704223492 0.2704218835 0.2704217283 1. 0.2999808236 0.2999802688 0.2999800839
Val. Aprox. h/4 Val. Aprox.
0 0.0303682 0.0606682 0.0908953 0.121044 0.151109 0.181085 0.210967 0.240748 0.270421 0.299979
Tabela 2: Valores aproximados da solução do problema B com = 0.825, = 1.0, = 0.3, =2.0 e h=1/20, nas 3 primeiras colunas de resultados, a 4ª coluna corresponde aos valores obtidos pelo método de shooting.
A unicidade de solução nem sempre se verifica, i.e, há valores dos parâmetros para os quais existe mais do que uma solução. Esta situação verifica-se, por exemplo, quando , , e tomam os valores 0.991, 0.3, 5.0 e 1.19, respectivamente. Neste caso, temos duas soluções positivas, que denominamos por solução 1 e solução 2. Para calcular estas soluções, como aproximações iniciais utilizaram-se as funções: 10Cxi(-xi) e 9Cxi(-xi), respectivamente (ver
tabela 1). Apresentamos na tabela 3 os resultados correspondentes a esta situação, obtidos pelo método de Newton com N=80, e aproximações obtidas pela extrapolação de Richardson com 3 redes, considerando como maior valor do passo, h=0.025 e os seguintes h/2 e h/4.
Ponto Val. Aprox. n=80
0 0 0.1 0.07322610833 0.2 0.152219256 0.3 0.2368286083 0.4 0.3269152455 0.5 0.4223507479 0.6 0.5230159983 0.7 0.6288001623 0.8 0.7395998133 0.9 0.8553181791 1. 0.9758644881 Richardson (h,h/2,h/4) 0 0.07322361754 0.1522144268 0.2368215784 0.3269061399 0.4223396805 0.5230030734 0.6287854755 0.7395834528 0.8553002263 0.9758450184 Val. Aprox. n=80 0 0.02988373736 0.07005990354 0.1196362119 0.17788954 0.2442309222 0.3181736591 0.3993092496 0.4872898345 0.5818153596 0.6826240675 Richardson (h,h/2,h/4) 0 0.02989124562 0.07007376277 0.1196555296 0.1779136017 0.2442591437 0.3182055546 0.3993444097 0.48732791 0.5818560498 0.682667111
Tabela 3: Valores aproximados das soluções,1 e 2, do problema B, pelo método de Newton, com = 0.991, = 5.0, = 0.3, =2.0, =1.19 e h=1/20. O valor aproximado corresponde a ter h=1/80.
Considerando como aproximação inicial 9.5Cxi( - xi) verificamos que não há
convergência próximo do ponto 0. Outra particularidade deste caso é que, para a solução 2, quando o método iterativo converge, as iteradas não formam uma sucessão monótona, ao contrário do que acontece nos outros casos, como representado no gráfico 1.
0.2 0.4 0.6 0.8 1pontos -4 -3 -2 -1 1 u ufinal u1 u0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pontos 0.2 0.4 0.6 0.8 u ufinal u1 u0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pontos -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 u ufinal u1 u0
Gráfico 1: Soluções do problema B, pelo método de Newton: solução 1 (em cima à esquerda) e solução 2 (em cima à direita). Em baixo está representado um caso em que o método iterativo diverge. Todos os gráficos
correspondem aos valores = 0.991, = 5.0, = 0.3, =2.0, =1.19 e h=1/80 e =5E-11.
Os resultados numéricos apresentados para o problema C foram obtidos resolvendo (5) na variável Sr(r), sendo dada uma condição inicial do tipo Sr(0)=S0. Por exemplo, no caso de
=1.0, =0.3, =1.0, =1.6, S=0.1 e S0=0.196485 os resultados são apresentados na tabela 4; para =1.0, =0.3, =1.0, =4.0, S=0.38 e S0=0.379869 os resultados são dados na tabela 5.
Ponto Val. Aprox.–Sr(r)
0 0.196485 0.1 0.2108906911 0.2 0.2098085824 0.3 0.2056718885 0.4 0.1993070017 0.5 0.1908727098 0.6 0.1802284494 0.7 0.1669804726 0.8 0.1503885346 0.9 0.1290625999 1 0.1 Val. Aprox.–Sr(r) 0.196485 0.2106405468 0.2097531832 0.2056824855 0.1993513513 0.1909390119 0.1803111643 0.1670755547 0.1504895829 0.1291514359 0.1 Val. Aprox.–Sr(r) 0.196485 0.2105368179 0.209726728 0.2056797358 0.1993598689 0.1909543932 0.1803314211 0.1670993951 0.1505152663 0.1291742891 0.1 Richardson (h,h/2,h/4) 0.1964852 0.21049858 0.20971789 0.205678339 0.199362479 0.190959414 0.180338135 0.167107348 0.150523864 0.129181964 0.1
Tabela 4: Valores aproximados da solução Sr(r), pelo método de Newton, com = 1.0, = 1.0, = 0.3, =1.6,
S=0.1, com h=1/20, h=1/40 e h=1/80, respectivamente.E, a extrapolação de Richardson com 3 redes
Ponto Val. Aprox.–Sr(r)
0 0.379869 0.1 0.3789336665 0.2 0.3780186138 0.3 0.3772094533 0.4 0.3765702419 0.5 0.3761658902 0.6 0.3760621824 0.7 0.3763257837 0.8 0.3770242324 0.9 0.378225912 1 0.38 Val. Aprox.–Sr(r) 0.379869 0.3789183232 0.3780047598 0.3771971383 0.3765595179 0.376156811 0.3760548037 0.3763201625 0.3770204268 0.3782239803 0.38 Val. Aprox.–Sr(r) 0.379869 0.3789144874 0.3780012962 0.3771940595 0.3765568368 0.3761545412 0.376052959 0.3763187572 0.3770194754 0.3782234974 0.38 Val. Aprox.–Sr(r) 0.379869 0.378913 0.378002 0.377193 0.3765575 0.376156 0.376052 0.376319 0.377019 0.378223 0.38
Tabela 5: Valores aproximados da solução Sr(r), pelo método de Newton, com = 1.0, = 1.0, = 0.3, =4.0,
S=0.38, com h=1/20, h=1/40 e h=1/80, respectivamente. E, método de shooting na 4ª coluna de resultados.
Para finalizar, apresentamos o número de iterações e o tempo de cálculo, necessário à obtenção dos valores obtidos pelos diferentes métodos de aproximação e diversos valores de , com um passo constante e igual a h=1/80. Consideremos o problema C.
Nº. de iterações Tempo de cálculo
1
Shooting Picard Newton Shooting Picard Newton
1.6 7 33 5 0.03 0.972 0.3
1 Para apresentação dos resultados foi utilizado um computador com processador Pentium III, de 665 MHz e 128
4 6 27 5 0.03 0.761 0.28
Tabela 6: Número de iterações e tempo de cálculo para cada método do problema C, com diferentes valores de e = 1.0, = 1.0, = 0.3, S=0.38 e h=1/80.
Em Pato (2003) podem encontrar-se tabelas e gráficos referentes a estes e outros exemplos da equação (5), incluindo os casos A, B e C.
4.CONCLUSÕES
O método das diferenças finitas, combinado com os métodos iterativos de Picard e Newton, permitiu reduzir os problemas iniciais a sistemas lineares de N equações, onde N é o número de pontos de rede no intervalo considerado.
A análise dos resultados obtidos, permite-nos constatar, tal como se esperava, que o método das diferenças finitas aplicado neste caso tem convergência de ordem 2. Além disso, a aplicação do método de Richardson com 3 redes permite-nos, em geral, aumentar a precisão dos resultados em cerca de três casas decimais.
No que diz respeito aos métodos iterativos, como se pode ver pela tabela 6, o método de Newton é o que converge mais rapidamente, não só nos casos de =1.6 e =4, como também para os restantes valores de considerados.
Em relação ao método de shooting, tem o inconveniente de nem sempre ser fácil encontrar uma aproximação inicial adequada, que garanta a sua convergência. Uma vez encontrada tal aproximação, converge quase tão rapidamente como o de Newton.
REFERÊNCIAS
Baxley, John V., “A singular nonlinear boundary value problem: membrane response of a spherical cap”, Siam J.Appl.Math., 48 (1988), 497-505.
Baxley, John V. e Gu, Yihong, “Nonlinear boundary value problems for shallow membrane caps”, Comm. Appl. Anal., 3 (1999), 327-344.
Baxley, John V. e Robinson, Stephen B., “Nonlinear boundary value problems for shallow membrane caps, II”, Siam J.Appl.Math., 88 (1998), 203-224.
Brezinski, Claude e Zaglia, Michela R., “Extrapolation methods, theory and practice”, Elsevier Science Publishers B.V., 1991.
Dickey, R.W., “Membrane caps”, Quart. of Appl. Math., 45 (1987), 697-712.
Mooney, J.W., “Monotone methods for the Thomas-Fermi equation”, Quart. of Appl. Math., 36 (1978), 305-314.
Mooney, J.W., “A unified approach to the solution of certain classes of nonlinear boundary value problems using monotone iterations, nonlinear analysis, theory, methods & applications”, Pergamon Press Ltd., Vol. 3,No. 4 (1979), 449-465.
Pato, Matilde P.M., “Análise numérica de problemas de valores de fronteira singulares”, Dissertação de mestrado, IST, 2003.
