UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

(1)

FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E

CONTABILIDADE

DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO

S

É

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I

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D

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O

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3

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5

5 UMA VARIAÇÃO DO MODELO KMV DE CRÉDITO PARA O

CALCULO DA PROBABILIDADE DE DEFAULT DE UMA

EMPRESA

JOSÉ ROBERTO SECURATO

FEA-USP

Este artigo pode ser obtido no site:

www.ead.fea.usp.br/wpapers

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Uma Variação do Modelo KMV de Crédito para o Calculo da Probabilidade de Default de Uma Empresa

Resumo

Este artigo tem como principal objetivo apresentar uma fórmula para o cálculo da probabilidade de default de uma operação de crédito.

A fórmula utiliza como dados de entrada coeficientes obtidos a partir das demonstrações contábeis e da evolução dos valores do Ativo e Patrimônio Liquido da empresa, além do estado da dívida.

Ela foi elaborada a partir de uma variação do modelo de opções reais seguindo a linha do modelo KMV e ainda requer, adaptações para a efetiva aplicação.

O centro do artigo é a fórmula obtida para o cálculo da probabilidade de default e a tabela apresentada de probabilidade conforme o percentual da dívida em relação ao valor patrimonial.

Trata-se de um artigo exploratório com possibilidades de novos estudos.

1. Introdução

Um dos grandes problemas que temos em nossos dias é, com certeza, a questão do crédito. Altman e Suggit (1998:2) observam que: “a administração do risco de crédito é talvez o próximo grande desafio na administração de risco das instituições financeiras”.

Assim temos o estudo cada vez mais acentuado de modelos para análise de crédito e para a avaliação do risco de crédito oriundos das mais distintas vertentes, desde o estudo do demonstrativos contábeis até a aplicação em Redes Neurais ou Teoria do Caos para a análise de crédito.

Um dos modelos mais interessantes foi o desenvolvimento na década de 80 por Kealhofer e Vasicek, que mais tarde vão se juntar a McQuown dando origem ao modelo de uso comercial KMV, desenvolvido pela KMV Corporation.

Nesse artigo apresentamos uma variação do modelo KMV, que segue as idéias de Merton (1974), para o cálculo de probabilidade de default de uma empresa.

2. Uma Empresa Entendida como Uma Opção e o Modelo KMV

Conforme a proposta de Merton (1974) consideremos uma empresa em sua estrutura mais simples, ao longo do tempo, da seguinte forma:

a) na data t = 0 (hoje)

- a empresa tem um patrimônio liquido indicado por PL0, uma divida D0 e um

total de ativos A0 .

b) na data T (T>0) temos:

- a empresa deverá pagar a dívida cujo valor será DT;

- supõe-se que caso a dívida não seja paga os credores assumem a empresa nada pagando aos acionistas;

- e supõe-se que durante o período t = 0 a t = T, a empresa não assume novas dívidas e nem paga dividendos ao proprietários.

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Com estas hipóteses traçadas podemos considerar que um pessoa poderia pagar a quantia PL0 na data t = 0 e com isso adquirir o direito de ficar com a empresa, ou não,

dependendo do valor que os ativos assumirem na data t = T, de vencimento da dívida.

- Em t = 0 os ativos da empresa valem A0 e irão variar ao longo do tempo até a

data t = T.

Indicando por AT o valor do ativo, no vencimento da dívida, teremos duas

possibilidades:

- Se AT ≥ DT então, nesse caso, será paga a dívida DT . Como resultado da

operação obtêm-se o valor (AT - D - PLT), onde PLT corresponde ao valor PL0 ,

que foi gasto para entrar na operação, corrigido para a data de vencimento da dívida.

- Se AT < DT então se entrega a empresa aos credores perdendo-se o valor PL0

pago no início da operação.

Do exposto temos um caso típico de uma CALL, opção de compra, onde: - Paga-se prêmio C = PL0

- para se ter o direito de comprar um ativo, em uma data T, por um valor de exercício X = DT ;

- Direito esse que será exercido se o preço do ativo A0, em t = 0, evoluir para um

preço AT ≥ DT, no vencimento em t = T.

Então pela fórmula de Black e Scholes podemos calcular o valor de PL0 , ou seja, o

prêmio da CALL – opção de compra –, como segue:

( )

1 T i xT

( )

2 0 0 A .N d D e .N d PL = − −T com, . . T 2 1 T . D e A ln d A A T xT i 0 1 F σ + σ       = e d₂ =d₁−σ_A T;

onde é a volatilidade da taxa de variação do ativo, N ( . ) é a probabilidade com base na distribuição normal e as demais variáveis já foram explicadas. É interessante notar que esse modelo pode ser ampliado para o caso de distribuição de dividendos ao longo do período

.

A

σ

[ ]

0;T

A partir da visão da empresa como uma opção de compra, o Modelo KMV procura calcular a probabilidade de default, ou seja, de não pagamento da dívida em um prazo fixado t = T. Conforme Crocchy (2000: 88-90), essa probabilidade de default PD, é calculada a partir da distância de default – DD–, calculada pela diferença entre o valor esperado do valor dos ativos – E

[

- e o valor das dividas de curto prazo somada à metade das de longo prazo; como segue:

]

(4)

[ ]

A t 2 DL DC A E DD σ       ₊ − =

onde DC: dívida de curto prazo DL: dívida de longo prazo

DD: distância de default dada em número de desvios padrões Daí obtém-se a probabilidade de default empírica, dada por:

número de firmas que deram default em um ano com, valores de ativos de K distância de default no início do ano σ

PD =

Total de firmas com valores de ativos de Kσde distância de default Conforme comenta Saunders (1999:29) “a vantagem do KMV é a construção de uma base de dados mundial de firmas que lhe permite produzir estas probabilidades de default empíricas”. Claro que o problema surge quando não dispomos dessa base e, nessas condições, precisamos de outras soluções para a determinação do cálculo da probabilidade de default, como a que passamos a apresentar.

3. Uma Variação do Modelo KMV para Calculo da Probabilidade de Default

A partir da fórmula de Black-Scholes devemos lembrar que N (d2) representa a

probabilidade de ocorrência de exercício da opção; o que pode ser visto em BRIYS et al. (1998:64-68), quando trata da solução da equação diferencial que dá origem a fórmula de Black-Scholes.

Nestas condições, para o vencimento da opção em t = T, a probabilidade de default será dada por :

PD = 1 – N (d2).

Substituindo N (d2) a partir da fórmula de Black-Scholes virá que:

( )

Fxt i T 0 1 0 e D PL d . N . A 1 PD= − ₋− .

Por outro lado, se calcularmos a derivada do prêmio da opção em relação ao preço do ativoobjeto obtemos o conhecido resultado, que para nosso caso, será dado por:

(

d1 N A PL = ∂

)

∂ ; que na forma discreta nos dará:

( )

1

t

t A .N d

PL =∆ ∆

(5)

Se considerarmos que a variação de uma variável possa ser captada como um percentual de seu valor e que possamos tomar para tal o desvio padrão das taxas de variação da variável, conforme Crosbie (1999:15), teremos:

PL . PL =σ_PL ∆ e ∆A=σ_A.A ou mais genericamente PL . . k PL = ₁σ_PL ∆ e ∆A =k₂.σ_A.A, onde k1 e k2 são constantes a serem determinados.

Substituindo em nossa última equação nos dará a seguinte relação:

( )

1 t A 1 t PL 2. .PL k .A .N d k σ = σ

Tomando essa relação para t = 0 e substituindo o produto A0 x N (d1) na fórmula da

probabilidade de default, teremos:

xt i T 0 0 A 1 PL 2 T T F e D Pl PL . k k -1 PD ) D (A ade Probabilid ₋ − σ σ = = < .

Indicando k1/k2 pelo coeficiente k de calibração do modelo teremos:

      − σ σ = = < . k. 1 D e . PL -1 PD ) D (A P A PL T xt i 0 T T F onde

PD: probabilidade de default no vencimento T DT: valor da divida na data T

PL0: valor do patrimônio liquido em t = 0

iF: taxa livre de risco

σPL: volatilidade da taxa de variação do PL

σA: volatilidade da taxa de variação dos ativos da empresa

k: coeficiente de calibragem do modelo.

Se consideramos que ic é a taxa de crédito a vigorar para a dívida no período T,

podemos considerar que DT = D0 x eicT.

Daí a fórmula será:

( )       − σ σ − = _xe − _k_. ₁ D PL 1 PD A PL T . i i 0 0 F c ;

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com algumas condições naturais para aplicação: iF < ic e A PL

.

k

σ

>1 4. Testando o Modelo

Para termos idéia do comportamento do modelo em relação a sua aplicação prática constatamos que os resultados dependem de uma boa calibragem do modelo.

Com relação ao quociente σPL/σA calculamos a volatilidade do Ativo e do Patrimônio

Liquido de uma amostra de 15 empresas a partir de dados de balanços coletados na ECONOMÁTICA, do período 1995 à 2001, encontrando uma média de 1,43 com desvio de 0,37.

A tabela seguinte apresenta as probabilidades de default para T = 1 ano, k = 1 e spread em relação a taxa livre de risco ic-iF = 20% a.a., para diferentes percentuais de passivos em

relação ao patrimônio liquido e diferentes quocientes de volatilidades no intervalo [1,06;1,80]; como pode ser visto.

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5. Considerações Finais

Observando a tabela de probabilidades de default contatamos que aumentando o percentual do endividamento a probabilidade aumenta significativamente enquanto que aumentando o quociente σPL/σA a probabilidade de default diminui mostrando que quanto

maior for a taxa de variação do patrimônio em relação a taxa de variação do ativo diminui o risco da empresa.

A tabela foi elaborada para k = 1 e acreditamos que o tamanho da empresa e tipo de negócio devem ter uma calibragem especial; com especial atenção para os bancos.

Desta forma o modelo apresentado requer, ainda, estudos que possam referendá-lo, ou não, para as aplicações práticas. Acreditamos que estudos com relação a calibragem possam nos levar a algum sucesso do modelo.

Bibliografia

ALTMAN, Edward I; SUGGIT, Heather J. “ Default Rates In The Sindicates Bank Loan Market: A Mortality Analysis”. Conference on Credit Risk Modeling and Regulatory Implications. London September, 1998.

MERTON, R.C. On the princing of corporate debt: the risk structure of interent rates. The Journal of Finance, 1974, Vol. 29, pp 449-470

CROUHY, M; GALAI, D; MARK, R. A Comparative Analysis Of Current Credit Risk Models. Journal of Banking & Finance; 2000, Vol. 24, pp. 59-117.

SAUDERS, Antony. Credit Risk Measurement. John Wiley, New York, 1999

BRIYS, Eric; BELLALAH, Mondher; MAI, Huuminh, e VARENNE, François de. Options, Futures And Exotic Derivatives. John Wiley, New York, 1998.