Física Moderna II Aula 16

Física Moderna II

Aula 16

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto

Oscar Sala – sala 220

rizzutto@if.usp.br

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

2º _{Semestre de 2015}

Monitor: Gabriel M. de Souza Santos

Sala 309 – Ala Central

Plantão de Dúvidas: Sala 202, Ala Central – Segunda-feira, 18h às 19h.

gabriel.marinello.santos@usp.br

Página do curso:

Modelo de elétrons livres em um metal

Vimos que quando consideramos um poço 3D )(limites da rede cristalina) a densidade de estados (número de estados)pode ser escrito como:

Ocupação dos estados (distribuição de Fermi):

kT

E

e

e

e

E

f

_{E kT E E kT F} F





_



_







_

,

com

1

1

1

1

)

(

_{/ ( )/}

Então a ocupação dos estados de energia do gás de

e

–, fica:

1

)

2

(

π

4

)

(

)

(

)

(

_{( )/} 2 / 1 3 2 / 3







_{EE kT} F

e

dE

E

h

m

V

dE

E

g

E

f

E

n

Normalização: se

T

= 0 K  estados populados só até

E

_F



f(E) = 1

, se

E < E

_F e



f(E) = 0

, se

E > E

_F.

 

1/2 3 2 / 3

2

π

2

)

(

E

h

V

m

E

g



 

1/2 3 2 / 3

2

π

4

)

(

E

h

V

m

E

g



No caso de 2 elétrons

Este assunto esta no capitulo 10.3 Tipler

3 3 / 2 2 2 / 3 3 2 / 3 0 2 / 1 3 2 / 3 0

8π

3

2

)

0

(

)

2

(

π

4

3

2

)

2

(

π

4

)

(





























V

N

m

h

E

E

h

m

V

dE

E

h

m

V

dE

E

n

N

F F E E_{F F} Expressão define a energia de Fermi (

E

_F) em

T

= 0 K 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 E g (E) E1/2 X =

1

)

2

(

π

4

)

(

)

(

)

(

_{( )/} 2 / 1 3 2 / 3







_{EE kT} F

e

dE

E

h

m

V

dE

E

g

E

f

dE

E

n

Física Moderna 2 Aula 16



dE

E

n

(

)

F F

E

E

E

E

E

g





,

0

),

(



3 / 2 2 3 / 2 2

8π

3

2

8π

3

2

)

0

(































m

h

V

N

m

h

E

_F com



= N/V

.

E_F aumenta lentamente com  já que os estados estão ocupados . Aumentar N/V equivale aumentar o no _{de estados de}

energia a serem ocupados

1

1

)

E

(

F E -E FD





kT

e

f

F

E

E



_e

EkT-EF

_

₁

₂ 1 ) E ( FD  f

Vemos então que, à medida que mais partículas são adicionadas ao sistema,

E

_F cresce. Se a temperatura estiver ligeiramente acima de 0 K,

E

_F deixa de ser a energia do último estado ocupado e é definida como a energia em que

n

(

E

) = ½; à medida que

T

aumenta,

E

_F diminui. Para temperaturas suficientemente altas,

E

_F ~ 0, implicando que todos os estados, a

probabilidade de ocupação inicia em ~1/2 e cai como Boltzmann. Mas nesse caso extremo, somem os efeitos quânticos.

(0)

)

2

(

π

4

5

2

)

2

(

π

4

)

(

₃ 5/2 2 / 3 0 2 / 3 3 2 / 3 0 F E E

E

h

m

V

dE

E

h

m

V

EdE

E

n

E

F F











F F

E

NE

E

h

m

V

N

5

3

)

2

(

π

4

3

2

_3/2 3 2 / 3







Mas

A energia total do sistema, em

T

= 0 K, é:

Notem que, mesmo em

T

= 0 K, o último férmion adicionado, aquele com energia

E

_F, tem velocidade dada por:

m

E

E

m

_{F F F}

2

F

2

1

₂







v

v

No caso de 1

e

- _{de condução em um metal}

típico (

E

_F ~ 5 eV) a velocidade de Fermi é da ordem de 106 _{m/s (a 0 K!).} A temperatura de Fermi é definida como:

T

_F

= E

_F

/k

. F

E

5

3

E



Física Moderna 2 Aula 16 k ev K K ev x K J k / 10 . 6 . 8 / 10 . 2 , 6 10 . 38 , 1 / 10 . 38 , 1 5 18 23 23       dE E h m V E n ₃ 1/2 2 / 3 ) 2 ( π 4 ) ( 

A energia total do sistema é:

_E



_N





_PV



_NkT



_nRT

que nos remete à conhecida expressão da lei dos gases ideais.

Nós vimos que as distribuições quânticas se reduzem à clássica quando



é muito grande. Podemos escrever as funções de distribuição como:

kT kT kT

_e

_e

e

e

e

e

f

_ε ε ε

1

1

1

)

ε

(

   









  

com o sinal de cima valendo para férmions e o de baixo para bósons.

A distribuição de Boltzmann é obtida fazendo o denominador igual a 1, o que é equivalente a

₁

ε



  _kT

e

e



Vamos tentar uma aproximação um pouco melhor e fazer uma expansão binomial (para

x

<< 1):





2

1

1

1

x

x

x







Nesse caso a distribuição fica:

_















   





kT kT

_e

_e

e

e

f

ε ε

1

)

ε

(

 

A partir desse resultado, seguindo um caminho um pouco trabalhoso, pode-se mostrar que a lei dos gases pode ser escrita como:

7



















_5/2



3

2

1



V

N

NkT

PV

No caso da energia média, por partícula, do sistema, temos:





















_5/2



3

2

1

2

3





V

N

kT

N

E

Substituindo o valor do comprimento de onda térmico:







_

















_3/2



3 2 / 5

π

2

2

1

1

2

3

mkT

h

V

N

kT

N

E



+ → férmions

– → bósons

Daí pode-se perceber que a energia média de um

gás de férmions

é um pouco superior à de um gás ideal, enquanto à de um gás de bósons é um pouco menor. Valor do termo de correção é boa indicação da

necessidade, ou não, de se usar as distribuições quânticas. Se o termo de correção << 1 a distribuição de Boltzmann (e os resultados

decorrentes dela) são OK.

Física Moderna 2 Aula 16

A energia total do sistema nos gás de Fermi a qualquer temperatura:

Sommerfield obteve na temperatura ambiente =2_/4

Podemos agora estimar a contribuição do gás de elétrons para o calor específico molar:

Em T=0 vimos que a energia média do elétron é dada por:

e a energia total é:

Em uma temperatura T apenas os e- _{que estão próximos ao nível Fermi}

poderão ser excitados por colisões com os íons da rede, que possuem uma energia kT. A fração dos e- que podem ser excitados é da ordem de kT/E_F, e a cada colisão faz a energia destes e- _{aumentar de um valor kT.}

kT

E

kT

N

NE

dE

e

E

h

m

V

EdE

E

n

E

F F kT

















 

5

3

1

1

)

2

(

π

8

)

(

0 E -E 2 / 3 3 2 / 1 3 0 F

Vimos que a função distribuição n(E) para elétrons é descrita pela figura ao lado. E o no _{exato de e}- _depende

da temperatura (forma da curva) que muda com T.

Constante >1 F

E

5

3

E



F NE E 5 3 

FNC0376 - Fisica Moderna 2

Aula 19 9

A contribuição dos elétrons para o calor específico molar:

Se voltarmos na tabela de temperaturas de Fermi vemos que T_F~ 104 _K,

portanto para T=300K a contribuição dos elétrons livres do metal para o C_v do material é:

Cv ~ 10-2_{R (que é o valor medido experimentalmente). Esse valor é muito}

menor que a contribuição 3R que vem das energias de oscilação dos átomos nos materiais não condutores que forma a rede, ou dos íons dos materiais condutores da rede do sólido.

F A V

E

T

k

N

dT

dE

C





2



2 F F

kT

E



F V

T

T

R

C



2



Exercício Calcular a contribuição eletrônica ao calor específico molar do ( T=293K)

• A) cobre T_F=8.12x104_K • B) prata T_F=6.36x104_K R x R c_V 0.018 10 12 . 8 293 4 2 ₄ 2         

R

x

R

c

_V

0

.

023

10

36

.

6

293

4

2

₄ 2



















Vemos que a contribuição eletrônica para o calor específico molar não é muito

diferente para estes condutores, mas é muito pequeno comparado com 3R

kT E kT N NE E F F   5 3 2 4

6

10

10

300

2







R

R

C

_V





Condução elétrica em metais

Elétrons livres no metal  gás de

e

-_.

Movimento aleatório dentro do poço. Caminho livre médio:



.

E

externo aplicado  aceleração entre colisões  velocidade de arrasto:

v

_d.

v

v

v

v

m

eE

a

t

a

t

m

eE

a



_colis







_d



_colis









Se tivermos

n

e

- _{de condução por unidade de volume, e a}

densidade de corrente for

j

, temos:

E

m

ne

j

m

eE

ne

j

v

v

v





2 d











 Lei de Ohm:

j =



E







-1 ₂

ne

m

v





Notem que materiais que obedecem a lei de Ohm, nem a resistividade  nem a condutividade  dependem de

E

.

11

Condução elétrica em metais

F 77 , 0 77 , 0 5 3 v v   

Caso do fio de Cu, com 4 mm2 _{e 10 A (}

Cu = 9 g/cm3,

M

_Cu = 63,5 g/mol), determine a velocidade média e de arrasto dos elétrons neste fio:

3 28 3 22 23 Cu A Cu

₈

_,

₅

₁₀

_elétrons/c

_m

₈

_,

₅

_.

₁₀

_/

5

,

63

10

6

9

m

e

M

N

n

















m

E

E

m

_{F F F}

2

F

2

1

₂







v

v

m/s

10

1,2

10

57

,

1

77

,

0





6





6



v

F

v

m

E

m

E

E

E

m

5

3

5

2

.

3

5

6

5

3

2

1

_{F F} F 2













v

v

m/s

10

8

,

1

C

m

10

6

,

1

10

5

,

8

A/m

)

10

4

10

(

₄ 3 -19 28 2 6 d   





















ne

j

v

velocidade de arrasto:

v

_d

.

m/s

10

8

,

1

C

m

10

6

,

1

10

5

,

8

A/m

)

10

4

10

(

₄ 3 -19 28 2 6 d   





















ne

j

v

Voltando ao modelo de condutividade elétrica, podemos definir a mobilidade:

v

v

m

e

E







d



e assim, podemos escrever a condutividade como:





ne



De forma mais abrangente, devemos definir a condutividade como:

p p n

n

pq

nq











onde

n

e

p

designam os portadores de carga negativa e positiva, respectivamente. Portadores de carga positivos (transição de elétrons da banda de valência para a banda de condução deixando buracos vazios na banda de valência)

v

v

v

m

eE

a

t

a











_colis d

13

Elétrons livres em um metal – final

Analisamos os

e

- _{como férmions em uma caixa 3D (poço infinito). Sabemos,}

no entanto, que

e

- _{são capazes de deixar o metal (foto-elétrico, emissão}

termiônica( processo de emissão de elétrons de um filamento aquecido) , etc.), portanto o poço tem uma profundidade finita.

Sabendo que a ocupação dos estados deve obedecer a uma distribuição de Fermi e que os metais possuem um valor característico de função trabalho (W) e que os

e

- _{de energia mais alta precisam receber esta quantidade de energia}

(W) para serem arrancados. Qual a profundidade do poço?

Se o poço tem profundidade

V

₀, os

e

- _{de energia mais alta}

têm

E

_F. Esses precisam de

W

para serem arrancados. Assim:

V

₀ =

E

_F +

W

. Com esse modelo podemos

entender fenômenos como o potencial de contato entre metais e a emissão

termiônica, efeito fotoelétrico

Física Moderna 2 Aula 16

Logo se temos a profundidade do poço e a função trabalho

podemos determinar a energia de Fermi pois: V

₀

= E

_F

+ W.

Para a Ag W=4,7eV

E

_F=

5,5eV de tal modo que V

_o

=10,2 eV. Para

a maioria dos metais V

_o

está entre 5 e 15eV

Agora vamos trabalhar mais com sólidos

E ai poderemos compreender melhor porque alguns

materiais são condutores e outros não...

15

Moléculas

Moléculas é uma coleção de 2 ou mais núcleos e seus elétrons associados, com todas as ligações complexas unidas pelas forças

A aplicação da mecânica quântica permitiu à física molecular explicar a estrutura das moléculas e dos detalhes dos seus espectros. Explica porque 2 átomos de H se

juntam e formam uma molécula e porque 3 átomos de H não formam uma molécula

Física Moderna 2 Aula 16

2 pontos de vista:

•conjunto de núcleos e

e

-_;

•e associação de átomos. Abordagem correta:

•combinação linear das duas, pois os átomos perdem algumas de suas características, mas mantém muitas outras.

•Os

e

- _{externos mudam muito, mas os internos nada.}

•Forças interatômicas são eletromagnéticas e os

e

- _{externos dominam os}

processos.

Os tipos mais importantes de ligação molecular são: covalente, iônica, dipolo-dipolo (Van der Waals) e ligações metálicas.

Quando dois átomos se combinam de tal modo que um ou mais e- _{são divididos pelos}

átomos

Quando dois átomos se

combinam de tal modo que um ou mais e- _{são transferidos de um}

Ligações iônicas

Quando dois átomos se combinam de tal modo que um ou mais e- _são

transferidos de um para outro átomo

Este é o tipo mais forte de ligação e está presente na maioria dos sais Vejamos o KCl: Para a molécula de KCl ser estável temos que ter:

E(KCl) < E(K) + E(Cl) quando os átomos de K e Cl estão em repouso e muito distantes um do outro.

K (Z=19) 1s2_,2s2_,2p6_,3s2_,3p6_,4s1

Cl(Z=17) 1s2_,2s2_,2p6_,3s2_,3p5

Todos os tipos de ligação molecular se devem ao fato da energia total da

molécula ser menor do que a soma das energia dos átomos que a compõem

A remoção do elétron deixa o íon positivo Falta um e- para completar a camada, quando recebe um e- fica íon negativo

17

KCl

Energia necessária para formar KCl a partir de K+ _{e Cl}- _é: 4,34-3,62=0,72eV Física Moderna 2 Aula 16

2 Ion Excl 2

)

(

E

E

r

ke

r

U









E_Ion → energia necessária para formar KCl a partir K+ e Cl- _é:

4,34-3,62 = 0,72eV

E_Excl → energia de repulsão devida ao princípio de exclusão: E_Excl = Ar–n com A e n constantes para cada molécula.

r₀ = 0,27 nm

A energia potencial total U da molécula KCl:

Potencial eletrostático Energia de repulsão (princípio de exclusão) Energia de ionização total