Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Mestrado em Matemática
Caracterizações de Superfícies que
contém Geodésicas Helicais em S
3
por
Liliane Xavier Neves
sob orientação do
Prof. Dr. Rodrigo Ristow Montes
João Pessoa-Paraíba julho de 2006
Caracterizações de Superfícies que
contém Geodésicas Helicais em S
3
por
Liliane Xavier Neves
Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Fe deral da Paraíba, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Área de Concentração: Geometria Diferencial Aprovada por:
Prof. Dr. Rodrigo Ristow Montes Orientador
Prof. Dr. Romildo Pina
Prof. Dr. Pedro Venegas
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Mestrado em Matemática
julho de 2006
Aos meus pais, Nelma, Raimundo e minhas queridas irmãs.
Agradecimentos
Ao meu orientador Rodrigo Ristow Montes pelo incentivo e por sua paciência durante este período de preparação da dissertação.
Aos professores Everaldo Souto de Medeiros e Pedro Hinojosa coordenador do Mestrado em Matemática da UFPB, por toda ajuda prestada durante o Mestrado.
Aos professores do Mestrado em Matemática da UFPB, a quem tive o prazer de conviver durante esse tempo.
Aos colegas e amigos que fiz aqui na UFPB, em particular, Kalina, Maria e Célia, por quem tenho grande amizade.
Aos amigos Naldisson e Anderson por estarem sempre prontos a me ajudar quando precisei.
À Sebastião Marques, um grande amigo que nunca vou esquecer. À Aparecida Gomes, pelo acolhimento e amizade.
Aos meus pais, a quem não canso de agradecer por todo amor que me dedicam. Eu os amo muito.
À CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo apoio finaceiro.
Resumo
O principal resultado deste trabalho é o teorema que classifica superfícies imersas na esfera S3, usando o conceito geométrico de geodésicas helicais. Em [16], Tamura
de-fine as geodésicas helicais como curvas que são hélices no espaço ambiente e geodésicas na superfície imersa.
Neste trabalho, com o objetivo de estudar a geometria da esfera S3,
estabelecer-emos suas equações de estruturas. Também determinarestabelecer-emos as equações de estrutura para uma superfície em S3, que nos possibilitará fazer um estudo mais detalhado da
geometria de S2 e do Toro Hopf. Como aplicação desta teoria demonstraremos o
teo-rema de Tamura que diz que as superfícies completas de curvatura média constante imersas em S3 contendo duas geodésicas helicais são a 2-esfera e o Toro Hopf.
Abstract
The main result of this work is the theorem that classifies immersed surfaces in the sphere S3 using the concept of helical geodesics. in [16], Tamura introduces helical
geodesics like curves with two properties: "helices"in ambient space and geodesics in immersed surface.
In this work, in order to study the geometry of the sphere S3, we determine
struc-ture equations of S3. Also, we compute structure equations for an immersed surface
in S3, and it will be possible to find geometric results of the sphereS2 and the Hopf
torus. As an application of this theory we will prove the Tamura´s theorem , that says that complete immersed surfaces with constant mean curvature and with two helical geodesics in S3 are the sphere S2 and the Hopf torus.
Conteúdo
Introdução . . . 2
1 Terminologia e Resultados Preliminares 4 1.1 Variedades Diferenciáveis . . . 4
1.2 Formas Diferenciais em Rn . . . . 12
1.3 Equações de Estrutura no espaço Euclideano Rn . . . . 17
1.4 Geodésicas de Sn . . . . 21
1.5 Curvaturas . . . 23
1.6 A Aplicação Hopf . . . 25
1.7 As Equações de Gauss e Codazzi . . . 27
2 A Geometria da Esfera S3 31 2.1 Produto Interno e Hermitiano em R4 . . . . 31
2.2 Equações de Estrutura para uma superfície em S3 . . . . 33
2.3 Exemplos de Superfícies na esfera S3 . . . . 38
3 Geodésicas Helicais e o Teorema de Classificação 44 3.1 Preliminares . . . 44
3.2 O Teorema de Classificação para Superfícies em S3 . . . . 49
A Classificação das Superfícies Isoparamétricas em R3 e S3 56
B O Teorema de Classificação para Superfícies em R3 61
Bibliografia 64
Introdução
Michico Tamura, em [17], definiu as geodésicas helicais em uma superfície em R3
como curvas que são hélices em R3 e geodésicas sobre a superfície. Por exemplo, as
curvas dadas por
α(t) = (r cos(at + b), r sin(at + b), ct + d)
são geodésicas do cilíndro circular e como têm curvatura e torção constantes, são hélices no espaço euclideano R3.
Ainda em [17], Tamura classificou as superfícies completas em R3 com curvatura
média constante contendo duas geodésicas helicais como planos, esferas ou cilíndros circulares.
Em [16], Tamura generalizou este resultado para superfícies completas imersas em um espaço Riemanniano tridimensional de curvatura constante, os quais, sem perda de generalidade, ele escolheu como sendo os espaços Riemannianos R3 com curvatura
zero, S3 com curvatura um ou H3 com curvatura menos um.
Baseados em [16], nós classificaremos as superfícies completas de curvatura média constante contendo geodésicas helicais em S3 como segue.
Teorema 0.1 Seja M uma superfície completa de curvatura média constante em S3.
Se existem duas geodésicas helicais sobre M passando por cada ponto de M, então M é ou uma 2-esfera totalmente geodésica, ou uma 2-esfera totalmente umbílica ou um Toro Hopf sobre um círculo.
Para o bom desenvolvimento deste trabalho, nós estudaremos a geometria da es-fera S3 determinando suas equações de estrutura e também as esquações de estrutura
de uma superfície imersa em S3. Isso nos possibilitará fazer um estudo mais detalhado
da esfera S2 e do toro como superfícies em S3.
Dividimos este trabalho da seguinte forma:
No primeiro capítulo reunimos a teoria necessária para o bom entendimento de todo o restante do trabalho. Neste capítulo encontram-se os resultados citados nos capítulos posteriores, como por exemplo a descrição do Toro Hopf em S3, que é definido
como a imagem inversa pela aplicação Hopf, π : S3 → S2(4), de uma curva fechada da
esfera S2 com curvatura 4.
Também podemos encontrar neste capítulo a teoria das Equações de Estrutura do espaço euclideano Rn, que serve como motivação para determinarmos depois as
Equações de Estrutura da esfera S3.
O objetivo do segundo capítulo é determinar as Equações de Estrutura de uma superfície em S3. Estes resultados foram determinados por Rodrigo Ristow Montes, em
[10]. Lá, ele introduz a noção de ângulo de contato que pode ser considerado como um novo invariante geométrico bastate útil no estudo da geometria de superfícies imersas em variedades Riemannianas.
Geometricamente, o ângulo de contato é o ângulo complementar entre a dis-tribuição de contato (∆z = {v ∈ TzS; hξ, vi = 0}, onde ξ⊥S) e o espaço tangente à
superfície.
Por meio das formas de conexão e formas duais de uma superfície em S3
deduzire-mos a seguinte fórmula para a curvatura
K = 1 + (ω13∧ ω23)(e1, e2).
Em particular, utilizando referenciais adaptados, encontraremos as formas de conexão e as formas duais da esfera S2 e do Toro como superfícies em S3, podendo
assim determinar suas Equações de Estrutura.
No terceiro capítulo definimos, segundo Tamura em [16], as geodésicas helicais em uma superfície imersa em S3. Aqui nos mostramos que as curvas dadas por
γ(s) = (cos φ cos(as), cos φ sin(as), sin φ cos(bs), sin φ sin(bs)),
onde a2cos2φ + b2sin2φ = 1 são geodésicas helicais do Toro raso em S3.
Também encontra-se neste capítulo a prova do teorema de Tamura que classifica superfícies completas que contém geodésicas helicais em S3. Nós mostraremos que
essas superficies são isoparamétricas, ou seja, têm curvaturas principais constantes. Também mostraremos que superfícies isoparamétricas em S3 são 2-esferas totalmente
geodésicas, ou 2-esferas totalmente umbílicas, ou um toro Hopf sobre um círculo e isso nos faz concluir o teorema.
Capítulo 1
Terminologia e Resultados
Preliminares
Neste capítulo reuniremos a teoria necessária para o bom entendimento deste trabalho. Aqui, encontraremos todos os resultados citados nos capítulos posteriores. Provaremos alguns destes resultados. Outros, com demonstração mais extensa, indi-caremos a bibliografia.
1.1
Variedades Diferenciáveis
Nesta seção conheceremos uma nova estrutura de espaços: As variedades difer-enciáveis. Veremos que a esfera S3, que é a superfície mais importante neste trabalho,
é uma variedade diferenciável. Assim, com os conceitos de variedades, poderemos tra-balhar melhor dentro da esfera S3.
Uma variedade diferenciável de dimensão n é um par formado por um conjunto M e uma família de sistemas de coordenadas xα: Uα ⊂ Rn→ M de abertos Uα de Rn
em M tais que : (i) Sαxα(Uα) = M;
(ii) Para todo par (α , β) , com xα(Uα)
T
xβ(Uβ) = W 6= 0, os conjuntos xα−1(W ) e xβ−1(W ) são abertos em Rn e as aplicações xβ−1◦ xα são diferenciáveis.
A família {(Uα, xα)} dos pares (Uα, xα) com os abertos Uα de Rn e os sistemas
de coordenadas xα satisfazendo (i) e (ii) é chamada uma estrutura diferenciável em M.
Usaremos a notação Mn para identificar uma variedade diferenciável M de dimensão n
Um exemplo trivial de variedade diferenciável é o espaço euclideano Rn com a
estrutura diferenciável dada pela identidade.
Toda superfície regular S ⊂ R3 é uma variedade diferenciável. De fato, as
parametrizações de uma superfície em R3 formam uma estrutura diferenciável.
O espaço Sn= {x = (x
1, x2, ..., xn+1) ∈ Rn+1; kxk = 1}. é uma variedade
diferen-ciável. De fato, como Sn é uma superfície regular, basta tomarmos as parametrizações
de Sn dadas por ϕN : Rn → Sn− {N}; N = (0, . . . , 0, 1) x 7→ ( 2x1 1+kxk2, . . . , 2xn 1+kxk2, kxk2−1 1+kxk2) ϕS : Rn → Sn− {S}; S = (0, . . . , 0, −1) x 7→ ( 2x1 1+kxk2, . . . , 2xn 1+kxk2, 1−kxk2 1+kxk2)
que são homeomorfismos. Claramente Sn = Sn− {N} ∪ Sn− {S}. Agora, se tivermos Uα e Uβ abertos em Rn tais que ϕN(Uα) ∩ ϕS(Uβ) = W 6= 0, então W é aberto em Sn,
pois ϕN e ϕS são homeomorfismos. Deste modo, ϕN−1(W ) e ϕS−1(W ) são abertos em Rn e (ϕ
S−1◦ ϕN)(x) = kxkx2 é diferenciável.
Seja Mn uma variedade diferenciável, o conjunto T M = {(p, v); p ∈ M, v ∈ TpM}
é uma variedade diferenciável. Para ver isto, considere {Uα, xα} a estrutura
diferen-ciável de M. Sejam (xα 1, . . . , xαn) as coordenadas de Uα e {∂x∂α 1, . . . , ∂ ∂xα n} as bases nos
espaços tangentes de xαUα. Para cada α, seja
yα : Uα× Rn −→ T M (xα 1, . . . , xαn, u1, . . . , un) 7−→ ³ xα(xα1, . . . , xαn), Pn i=1ui∂x∂α i ´ .
Assim, {(Uα× Rn, yα)} é uma estrutura diferenciável em TM.
O Toro Tn = S1×. . .×S1é uma variedade diferenciável. Isto fica claro ao vermos
o teorema seguinte.
Teorema 1.1 Sejam Mm e Nn variedades diferenciais de classe C∞. Então M × N
é uma variedade C∞ de dimensão m + n com estrutura determinada pelas vizinhanças
coordenadas da forma {U × V, ϕ × ψ}, onde U, ϕ e V, ψ são vizinhanças coordenadas sobre M e N, respectivamente, e (ϕ × ψ)(p, q) = (ϕ(p), ψ(q)) em Rm+n= Rm× Rn.
Prova. Ver [1, cap.3]
Uma aplicação ϕ : M1 → M2 entre variedades diferenciáveis é diferenciável
parametrização x : U ⊂ Rn → M
1 em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V ) e a aplicação
y−1◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn→ Rm é diferenciável em x−1(p).
Dizemos que uma aplicação diferenciável ϕ : M → N entre variedades diferen-ciáveis Mm e Nn é uma imersão se dϕ
p : TpM → Tϕ(p)N é injetiva para todo p ∈ M.
Uma imersão ϕ que é um homeomorfismo sobre ϕ(M) ⊂ N, onde ϕ(M) tem a topolo-gia induzida por N, é chamado um mergulho. Quando a aplicação inclusão i : M ⊂ N, com M ⊂ N, é um mergulho dizemos que M é uma subvariedade de N.
Exemplo 1 Considere x : R2 → R4 tal que
x(θ, ϕ) = √1
2(cos θ, sin θ, cos ϕ, sin ϕ).
Temos que x é uma imersão de R2 na esfera unitária S3, cuja imagem x(R2) é o toro
T2.
De fato, a matriz jacobiana da diferencial de x, dx(ϑ, ϕ) = √1
2(−ϑ
0sin ϑdϑ, ϑ0cos ϑdϑ, −ϕ0sin ϕdϕ, ϕ0cos ϕdϕ), tem posto 2. Portanto, dx é injetiva.
Um campo de vetores é a atribuição, a cada ponto de uma variedade diferenciável, de um vetor no espaço tangente à variedade nesse ponto. À rigor, podemos escrever: Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ TpM.
Considerando uma parametrização x : U ⊂ Rn → M é possível escrever
X(p) = n X i=1 ai(p) ∂ ∂xi ,
onde cada ai : U → R é uma função em U e {∂x∂i} é uma base associada a x, i = 1, ..., n.
Diremos que X é diferenciável se e só se as funções ai são diferenciáveis para alguma
parametrização. O conjunto dos campos de vetores de classe C∞ definidos em M é
denotado por X (M).
Exemplo 2 Os campos vetoriais sobre a esfera Sn⊂ Rn+1 são as aplicações X : Sn →
Rn+1 tais que para cada vetor posição u ∈ Sn temos hX(u), ui = 0, já que X(u) está
no espaço tangente.
Sejam S3 = {(x1, x2, x3, x4);P4
i=1(xi)2 = 1} e os campos vetoriais dados por
X = −x2 ∂ ∂x1 + x1 ∂∂x2 + x4 ∂∂x3 − x3 ∂∂x4, Y = −x3 ∂ ∂x1 − x4 ∂∂x2 + x1 ∂∂x3 + x2 ∂∂x4, Z = −x4 ∂ ∂x1 + x3 ∂∂x2 − x2 ∂∂x3 + x1 ∂∂x4,
em um ponto x = (x1, x2, x3, x4) de S3. Sem muito esforço podemos ver que X, Y e Z
são campos vetoriais ortonormais em R4 e são tangentes à S3, pois são ortogonais ao
vetor posição x = (x1, x2, x3, x4), que é normal à esfera S3.
Uma curva integral (ou trajetória) de um campo de vetores X ∈ X (M) em uma variedade M é uma curva ϕ tal que ϕ0 = X(ϕ).
O teorema que enuciaremos a seguir, assegura a existência e a unicidade da curva integral mostrando que por cada ponto de uma certa vizinhança passa uma única curva integral do campo vetorial X. Este teorema se estende naturalmente às variedades diferenciáveis, pois é um teorema local e como sabemos toda variedade diferenciável é localmente difeomorfa ao espaço euclideano Rn.
Teorema 1.2 Seja X um campo diferenciável de vetores em uma variedade
diferen-ciável M, e seja p ∈ M. Então existem uma vizinhança U ⊂ M de p e um intervalo
(−δ, δ), δ > 0, e uma aplicação diferenciável ϕ : (−δ, δ) × U → M tais que a curva
t → ϕ(t, q), t ∈ (−δ, δ), q ∈ U, é a única curva que satisfaz ϕ0(u) = X(ϕ(t, q)) e
ϕ(0, q) = q.
Prova. Ver [13, cap.3]
Uma correspondência que associa a cada ponto p de M uma forma bilinear simétrica e definida positiva, <, > no espaço tangente TpM, que varia
diferenciavel-mente no sentido que: para todo par X, Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M, a função < X, Y > é diferenciável em V, é chamada de métrica
Riemanniana sobre uma variedade diferenciável M. Uma métrica Riemanniana então
determina um produto interno sobre cada espaço tangente TpM. Uma variedade
difer-enciável junto com uma métrica Riemanniana é chamada uma variedade Riemanniana. Exemplo 3 Seja f : Mn→ Nn+k uma imersão. Se existe uma métrica Riemanianna definida em N, f induz uma estrutura Riemanniana em M por
hu, vip = hdfp(u), dfp(v)if (p), u, v ∈ TpM.
Como dfp é injetiva, h, ip é positivo definido e também simétrico já que hu, vip = hdfp(u), dfp(v)if (p)= hdfp(v), dfp(u)if (p) = hv, uip.
A métrica de M é chamada a métrica induzida por f , e f é uma imersão isométrica. Se
X : U ⊂ Rn→ Rm é uma parametrização de uma subvariedade M ⊂ Rm com a métrica
induzida, a métrica induzida nas coordenadas (u1, . . . , un) sobre U é exatamente
g = m X i=1 (dXi)2 = m X i,j=1 (∂Xi ∂uj duj)2.
Uma variedade diferenciável M é uma variedade Hausdorff se dados dois pontos distintos de M existem vizinhanças destes dois pontos que não se intersectam. Quando M pode ser coberta por uma quantidade enumerável de vizinhanças coordenadas diz-se então que M tem base enumerável.
A seguinte proposição garante que todo espaço tangente a uma variedade diferen-ciável Hausdorff com base enumerável tem um produto interno associado. Para a prova desse resultado necessitaremos da noção de Partição da Unidade.Se o leitor quiser se aprofundar um pouco mais nesta teoria, sugerimos Plaza, [12].
Proposição 1.3 Uma variedade diferenciável M (de Hausdorff e com base enumerável)
possui uma métrica Riemanniana.
Prova. Seja {fα} uma partição da unidade de M subordinada a uma cobertura {Vα}
de M por vizinhanças coordenadas. Isto significa que {Vα} é uma cobertura localmente
finita (i.e., cada ponto de M possui uma vizinhança U tal que U ∩ Vα 6= ∅ apenas para
um número finito de índices) e que {fα} é um conjunto de funções diferenciáveis em M
satisfazendo:
(i) fα ≥ 0, fα = 0 no complementar do fecho Vα.
(ii) Pαfα(p) = 1 para todo p em M.
É claro que podemos definir uma métrica Riemanniana h, iα em cada Vα: basta
tomar-mos a métrica induzida pelo sistema de coordenadas. Façatomar-mos
hu, vip =X
α
fα(p) hu, viα,p,
que define uma métrica Riemanniana sobre M para todo p ∈ M, u, v ∈ TpM.
O mais simples modelo de variedade Riemanniana é naturalmente o espaço eu-clideano Rn, com a métrica Euclideana g dada por
g =X i dxidxi = X i (dxi)2 = δijdxidxj.
Para a esfera Sn−1, consideremos a aplicação diferenciável f : Rn → R dada por
f (x1, . . . , xn) =
n
X
i=1
x2i − 1.
Então 0 é valor regular de f e f−1(0) ⊂ Rné uma subvariedade de Rn, por isso podemos
definir em f−1(0) a métrica induzida pela aplicação inclusão. Mas observe que f−1(0) = {x ∈ Rn; x21+ . . . + x2n= 1} = Sn−1.
Veremos agora a noção de derivada covariante que nos permite derivar os campos vetoriais dos espaços tangentes à uma variedade.
Considere a aplicação ∇ : X (M) × X (M) → X (M) tal que (X, Y )→ ∇∇ XY,
satisfazendo as seguintes propriedades:
1. ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇YZ,
2. ∇X(Y + Z) = ∇X(Y ) + ∇X(Z),
3. ∇X(f Y ) = f ∇X(Y ) + X(f )Y,
onde X, Y, Z ∈ X (M) e f, g ∈ D(M), que é o anel das funções reais de classe C∞
definidas em M, é o que chamamos de Conexão Afim em uma Variedade diferenciável M. A imagem ∇XY é chamada a derivada covariante de Y na direção de X.
A proposição seguinte vem como uma segunda definição da derivada covariante de um campo vetorial.
Proposição 1.4 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então
existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva
diferenciável c : I → M um outro campo vetorial DV
dt ao longo de c, denominado
derivada covariante de V ao longo de c, tal que
1. D
dt(V + W ) = DVdt + DWdt .
2. D
dt(f V ) = df
dtV + fDVdt , onde V é um campo de vetores ao longo de c e f é uma
função diferenciável em I.
3. Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X (M), i.e., V (t) = Y (c(t)), então
DV
dt = ∇dcdtY.
Prova. Seja x : U ⊂ R → M um sistema de coordenadas com c(I) ∩ x(U) 6= ∅ e seja (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) a expressão local de c(t), t ∈ I. Seja Xi = ∂x∂i. Então podemos
expressar o campo V localmente como
V =X
j vjX
j, j = 1, ..., n,
onde vj = vj(t) e X
j = Xj(c(t)). Defina DVdt e x(U) por
(1) DV dt = X j dvj dt Xj + X i,j dxi dt v j∇X iXj.
Dizemos que um campo de vetores é paralelo se sua derivada covariante é zero. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e uma métrica h, i. Dizemos que a conexão é compatível com a métrica se para toda curva diferenciável c e pares de campos de vetores paralelos P e P’ tivermos que ao longo da curva c,
hP, P0i = constante.
A seguir veremos um modo mais prático de verificar se uma conexão afim é compatível com a métrica da variedade.
Proposição 1.5 Seja M uma variedade Riemanniana. uma conexão ∇ em M é
com-patível com a métrica se e só se para todo par V e W de campos de vetores ao longo da curva diferenciável c : I → M tem-se
d dt hV, W i = ¿ DV dt , W À + ¿ V,DW dt À , t ∈ I.
Prova. Ver [3, cap.2]
Corolário 1.6 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível com
a métrica se e só se, para todo X, Y, Z ∈ X (M) temos X hY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi .
Prova. Suponhamos que ∇ é compatível com a métrica. Seja p ∈ M e seja c : I → M uma curva diferenciável com c(t0) = p, t0 ∈ I, e com dcdt|t=t0 = X(p). Então
X(p) hY, Zi = d dt hY, Zi |t=t0 = ∇XpY, Z ® p + Y, ∇X(p)Z ® p. A recíproca é óbvia.
Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é simétrica quando
∇XY − ∇YX = XY − Y X, ∀X, Y ∈ X (M).
A conexão simétrica e compatível com a métrica da variedade Riemanniana é chamada de conexão Levi-Civita ou ainda, conexão Riemanniana. Mostraremos agora que uma conexão Riemanniana é única.
Teorema 1.7 (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única
conexão afim ∇ em M que é simétrica e compatível com a métrica Riemanniana.
Prova. Suponhamos a existência de uma tal conexão ∇. Então (1) X hY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi ,
(2) Y hZ, Xi = h∇YZ, Xi + hZ, ∇YXi ,
Somando (1) e (2) e subtraindo (3), obtemos, usando a simetria da conexão ∇, que
X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i = h[X, Z], Y i + h[Y, Z], Xi + h[X, Y ], Zi + 2 hZ, ∇YXi .
Portanto,
(4) hZ, ∇YXi =
1
2{X hY, Zi+Y hZ, Xi−Z hX, Y i−h[X, Z], Y i−h[Y, Z], Xi−h[X, Y ], Zi}.
A expressão (4) mostra que a conexão ∇ está univocamente determinada pela métrica, portanto, caso exista, ela será única. Para mostrar a existência defina ∇ por (4).
A partir de agora faremos um breve estudo das noções de Grupos de Lie e Álgebra de Lie. Mostraremos que a esfera Sn é um grupo de Lie e que o espaço vetorial dos
campos C∞ tangentes à variedade diferenciável M é uma Álgebra de Lie.
Consideraremos nesta parte do nosso estudo variedades diferenciáveis de Haus-dorff e com base enumerável.
Um grupo de Lie é uma variedade G com uma estrutura de grupo de tal modo que as aplicações
G × G −→ G e G −→ G
(x, y) 7−→ x · y x 7−→ x−1
são diferenciáveis.
Exemplo 4 S3 = {p ∈ R4; |p| = 1} é um grupo de Lie. Para mostrar isto,
considere-mos o conjunto dos quatérnios
Q = {q = a + bi + cj + dk},
que é isomorfo a R4 e onde i, j, k se multiplicam segundo a tabela
· i j k i -1 k -j j -k -1 i k j -i -1 . Definamos ϕ : Q × Q → Q ψ : Q → Q (q, q0) 7→ q · q0 q 7→ q−1 onde q = a + bi + cj + dk, q0 = a0+ b0i + c0j + d0k e q−1 = a − bi − cj − dk a2+ b2+ c2+ d2.
Claramente ϕ e ψ são diferenciáveis e observemos que o denominador em q−1 não se
Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial G, com uma operação bilinear [ , ] :
G × G −→ G, satisfazendo
(i) [X, Y ] = −[Y, X]
(ii) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, para todo X,Y,Z em G.
Exemplo 5 Seja X (M) o espaço vetorial dos campos C∞ tangentes a M, onde M é
uma variedade diferenciável e seja f : M → R de classe C∞tal que para X, Y ∈ X (M),
definimos [X, Y ] como o campo
[X, Y ](f ) = XY (f ) − Y X(f ).
Com esta operação X (M) é uma álgebra de Lie. De fato, o primeiro item da definição é imediato e para verificar o item (ii) basta observar que, por um lado temos
[[X, Y ], Z] = [XY − Y X, Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X
e, por outro lado,
[X, [Y, Z]]+[Y, [Z, X]] = XY Z −XZY −Y ZX +ZY X +Y ZX −Y XZ −ZXY +XZY.
Como os segundos membros das expressões acima são iguais, usando o item (i) con-cluímos (ii).
1.2
Formas Diferenciais em R
nO objetivo desta seção é nos dar as ferramentas necessárias para podermos, na próxima seção, estabelecer as Equações de Estrutura do espaço euclideano Rn e depois
disso, no capítulo 2, poderemos encontrar as Equações de Estrutura da esfera S3.
Es-tudaremos as formas diferenciais com todas as suas propriedades.
Para fixar idéias trabalharemos inicialmente com o espaço tridimensional R3.
Definimos o espaço dual do espaço tangente a R3 em p como o conjunto (T
pR3)∗
das aplicações lineares
ϕ : TpR3 → R.
Temos que {dx1, dx2, dx3} é uma base do espaço dual (TpR3)∗, onde xi : R3 → R
é a aplicação que assume em cada ponto sua i-ésima coordenada. Para (ei), i = 1, 2, 3,
(dxi)(ej) = ∂xi ∂xj
Uma aplicação ω que associa a cada p ∈ R3 um elemento ω(p) ∈ (T
pR3)∗ é uma
forma diferencial de grau 1 em R3. Podemos escrever
ω(p) =
3
X
i=1
ai(p)dxi,
onde ai é uma função real diferenciável em R3 para todo i = 1, 2, 3.
Seja V2(TpR3)∗ o conjunto das aplicações ϕ : TpR3× TpR3 → R
que são bilineares e alternadas.
Quando ϕ1 e ϕ2 pertencem a (TpR3)∗, podemos obter um elemento ϕ1 ∧ ϕ2 ∈
V2
(TpR3)∗ fazendo
(ϕ1∧ ϕ2)(v1, v2) = ϕ1(v1)ϕ2(v2) − ϕ2(v1)ϕ1(v2) = det(ϕi(vj)).
Uma correspondência ω que associa a cada p ∈ R3 um elemento ω(p) ∈V2(T
pR3)∗
é uma forma diferencial de grau 2 em R3; ω pode ser escrito na forma
ω(p) =X
i<j
aij(p)dxi∧ dxj, i, j = 1, 2, 3,
onde aij são funções reais diferenciáveis.
Agora nós generalizaremos a noção de forma diferencial para o espaço Rn.
Seja p ∈ Rn, T
pRn o espaço tangente a Rn em p e (TpRn)∗ seu espaço dual. Seja
aindaVk(TpRn)∗ o conjunto de todas as aplicações alternadas k-lineares do tipo ϕ : T|pRn× . . . × T{z pRn}
kvezes
→ R.
Dados ϕ1, . . . , ϕk ∈ (TpRn)∗ nós podemos obter um elemento ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ . . . ∧ ϕk de
Vk
(TpRn)∗ fazendo
(ϕ1∧ ϕ2∧ . . . ∧ ϕk)(v1, v2, . . . , vk) = det(ϕi(vj)), i, j = 1, . . . , k.
A seguir estabeleceremos uma base para o conjunto Vk(TpRn)∗.
Proposição 1.8 O conjunto
{(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik), i1 < i2 < . . . < ik} com ij ∈ {1, . . . , n}
Prova. Os elementos do conjunto são linearmente independentes. De fato, se X i1<i2<...<ik ai1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik = 0, é aplicado a (ej1, . . . , ejk), j1 < . . . < jk, jl ∈ {1, . . . , n}, nós obtemos X i1<i2<...<ik ai1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik(ej1, . . . , ejk) = ai1...ik = 0.
Agora mostraremos que, se f ∈Vk(TpRn)∗, então f é uma combinação linear da forma
X
i1<i2<...<ik
ai1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik.
Para isto, façamos
g = X
i1<i2<...<ik
f (ej1, . . . , ejk)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik.
Note que g ∈Vk(TpRn)∗ e que
g(ej1, . . . , ejk) = f (ej1, . . . , ejk),
para todo i1, . . . , ik. Segue que f = g. Fazendo f (ej1, . . . , ejk) = ai1...ik concluímos a
demonstração.
Uma k-forma diferencial em Rn é uma aplicação ω que associa a cada p ∈ Rn um
elemento ω(p) ∈Vk(TpRn)∗. Podemos escrever ω na forma
ω(p) = X
i1<i2<...<ik
ai1...ik(p)dxi1 ∧ ... ∧ dxik, ij ∈ {1, ..., n},
onde ai1...ik são funções reais diferenciáveis em R
n.
Definição 1.9 Sejam ω e ϕ duas k-formas diferenciais em Rn dadas por
ω =X I aIdxI, ϕ = X I bIdxI. Definimos sua soma por
ω + ϕ = X
I
(aI + bI)dxI.
Se ω é uma k-forma e ϕ é uma s-forma, o produto exterior ω ∧ ϕ é a s + k-forma dada por ω ∧ ϕ =X IJ aIbJdxI∧ dxJ, com ω = PaIdxI, I = {i1, . . . , ik}, i1 < . . . < ik, ϕ = PbJdxJ, J = {j1, . . . , js}, j1 < . . . < js.
O produto exterior de formas diferenciais em Rnpossui as seguintes propriedades.
Proposição 1.10 Sejam ω uma k − f orma, ϕ uma s − f orma e ϑ uma r − f orma.
Então:
a) (ω ∧ ϕ) ∧ ϑ = ω ∧ (ϕ ∧ ϑ), b) (ω ∧ ϕ) = (−1)ks(ϕ ∧ ω),
c) ω ∧ (ϕ + ϑ) = ω ∧ ϕ + ω ∧ ϑ, se r = s. Prova. Provaremos o item b). Sejam
ω =XaIdxI, I = (i1, ..., ik), i1 < ... < ik, ϕ =XbJdxJ, J = (j1, ..., js), j1 < ... < js.
Então
ω ∧ ϕ = PI,JaIbJdxi1 ∧ ... ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ ... ∧ dxjs
= PI,JbJaI(−1)dxi1 ∧ ... ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxik ∧ ... ∧ dxjs
= PI,JbJaI(−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik∧ dxj2 ∧ ... ∧ dxjs.
Como J tem s elementos, nós obtemos repetindo o argumento anterior para cada dxj`,
j` ∈ J,
ω ∧ ϕ =X
J,I
bJaI(−1)ksdxj1 ∧ ... ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik = (−1)
ksϕ ∧ ω.
Seja f : Rn→ Rm uma aplicação diferenciável. Então f induz uma aplicação f∗
que leva k-formas em Rm em k-formas em Rndefinida como segue. Seja ω uma k-forma
em Rm. Por definição, f∗ω é a k-forma em Rn dada por
(f∗ω)(p)(v
1, ..., vk) = ω(f (p))(dfp(v1), ..., dfp(vk)).
A próxima proposição estabelece algumas propriedades de f∗.
Proposição 1.11 Sejam f : Rn → Rm uma aplicação diferenciável, ω e ϕ k-formas sobre Rm. Então
a) f∗(ω + ϕ) = f∗ω + f∗ϕ,
b) f∗(gω) = f∗(g)f∗(ω); g : Rm → R uma 0-forma em Rm.
c) Se ϕ1, ..., ϕk são 1-formas em Rm, f∗(ϕ1∧ ... ∧ ϕk) = f∗(ϕ1) ∧ ... ∧ f∗(ϕk).
e) (f ◦ g)∗ω = g∗(f∗ω), onde g : Rp → Rn é uma aplicação diferenciável. Prova. a) f∗(ω + ϕ)(p)(v 1, ..., vk) = (ω + ϕ)(f (p))(dfp(v1), ..., dfp(vk)) = (f∗ω)(p)(v1, ..., vk) + (f∗ϕ)(p)(v 1, ..., vk) = (f∗ω + f∗ϕ)(v1, ..., vk). b) f∗(gω)(p)(v 1, ..., vk) = (gω)(f (p))(dfpv1, ..., dfpvk) = (g ◦ f )(p)f∗ω(p)(v1, ..., vk) = f∗g(p)f∗ω(p)(v 1, ..., vk). c) f∗(ϕ 1∧ ... ∧ ϕk)(v1, ..., vk) = (ϕ1∧ ... ∧ ϕk)(df (v1), ..., df (vk)) = det(ϕi(df (vj))) = det(f∗ϕi(vj)) = (f∗ϕ 1∧ ... ∧ f∗ϕk)(v1, ..., vk). d) Tomando (y1, ..., ym) = (f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)) ∈ Rm, (x1, ..., xn) ∈ Rn, ω = PIaIdyI, ϕ = P JbJdyj, obtemos f∗(ω ∧ ϕ) = f∗(P IJ aIbJdyI∧ dyJ) = PIJaI(f1, ..., fm)bJ(f1, ..., fm)dfI∧ dfJ) = PIaI(f1, ..., fm)dfI∧ P JbJ(f1, ..., fm)dfJ) = (f∗ω) ∧ (f∗ϕ). e) (f ◦ g)∗ω = P IaI((f ◦ g)1, ..., (f ◦ g)m)d((f ◦ g))I = PIa1(f1(g1, ..., gn), ..., fm(g1, ..., gn))dfI(dg1, ..., dgn) = g∗(f∗ω).
Seja g : Rn → R uma função diferenciável. Temos que g é uma 0-forma. A
diferencial de g dada por
dg = n X i=1 ∂g ∂xidxi
é uma 1-forma. A seguir definiremos uma operação que leva k-formas em (k+1)-formas. Definição 1.12 Seja ω =PaIdxI uma k-forma em Rn. A diferencial exterior dω de ω é definida por
dω =X
I
daI∧ dxI.
Apresentaremos agora algumas propriedades da diferenciação exterior. Proposição 1.13 a) d(ω1+ ω2) = dω1+ dω2, onde ω1 e ω2 são k-formas.
b) d(ω ∧ ϕ) = dω ∧ ϕ + (−1)kω ∧ dϕ, onde ω é uma k-forma e ϕ é uma s-forma.
c) d(dω) = d2ω = 0.
d) d(f∗ω) = f∗(dω), onde ω é uma k-forma em Rm e f : Rn → Rm é uma aplicação diferenciável.
1.3
Equações de Estrutura no espaço Euclideano R
nO objetivo desta seção é encontra as Equações de Estrutura de Rn. Faremos
tam-bém um breve estudo da geometria de uma superfície em R3 utilizando um referencial,
as formas duais e formas de conexão da superfície em R3.
Consideremos U ⊂ Rn um conjunto aberto e sejam e
1, ..., en campos vetoriais
diferenciáveis tais que para cada p ∈ U,
< ei, ej >= δij = ½
1, se i = j 0, se i 6= j.
Dizemos que o conjunto formado por tais campos de vetores é um referecial móvel
ortonormal.
Dado um referencial móvel {ei}, i = 1, ..., n, o conjunto das 1-formas diferenciais ωi tais que ωi(ej) = δij, j = 1, ..., n é, para cada ponto p, a base dual de {(ei)p} e o
denominamos coreferencial associado a {ei}.
Como definimos acima, cada campo vetorial
ei : U ⊂ Rn→ Rn
é uma aplicação diferenciável. A diferencial em p ∈ U, (dei)p : Rn → Rn,
é uma aplicação linear. Desta forma, para cada p e cada v ∈ Rn podemos escrever
(dei)p(v) em função dos próprios campos ej como
(dei)p(v) =
X
j
(ωij)p(v)ej.
Os coeficientes (ωij)p(v) dependem linearmente de v, pois fazendo o produto interno
com ej em ambos os membros da igualdade acima, obtemos h(dei)p(v), eji = (ωij)p(v).
Então (ωij)p é uma forma linear em Rn, já que é uma aplicação que associa a cada
v ∈ Rn um elemento (ω
ij)p(v) ∈ R e, como ei é um campo vetorial diferenciável, ωij é
uma 1-forma diferencial. As n2 formas ω
ij são chamadas formas de conexão de Rn no referencial móvel {ei} e elas são anti-simétricas nos índices i,j. De fato, se nós diferenciarmos
hei, eji = δij,
obtemos
ou seja, ωij = −ωji.
Apresentaremos agora as equações estruturais de Elie Cartan que estabelecem uma relação entre as formas ωi e ωij.
Teorema 1.14 Sejam {ei} um referencial móvel em um conjunto aberto U ⊂ Rn, {ωi} o coreferencial associado a {ei} e ωij as formas de conexão de U no referencial {ei}. Então (∗) ( dωi = Pkωk∧ ωki, dωij = Pkωik∧ ωkj, i, j, k = 1, . . . , n, k 6= i, j.
Prova. Ver [4, cap.5]
Definição 1.15 Seja f : Mn → Rn+k uma imersão de uma variedade diferenciável
Mn sobre o espaço euclideano Rn+k. Como toda imersão é localmente um mergulho,
temos que para p ∈ M existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que a restrição
f |U ⊂ M → Rn
é um mergulho. Seja V ⊂ Rn+k uma vizinhança de f (p) em Rn+k tais que V ∩ M =
f (U). Assuma que V é tal que existe um referencial móvel {e1, . . . , en, en+1, . . . , eq} em V tal que quando restrita a f (U), os vetores e1, . . . , en são tangentes a f (U). Chamamos um tal referencial de referencial adaptado.
Ao referencial {ei} em V na definição anterior temos associado as formas
coref-erenciais ωi e as formas de conexão ωij como no caso anterior.
Uma outra relação entre formas é dada pelo seguinte lema de Cartan.
Lema 1.1 (Lema de Cartan) Seja Vn um espaço vetorial de dimensão n, e sejam ω1, . . . , ωr : Vn → R, r ≤ n, formas lineares em V que são linearmente independentes.
Assuma que existem formas θ1, . . . , θr : V → R tais que
Pr
i=1ωi ∧ θi = 0. Então
θi =X
j
aijωj, com aij = aji.
Prova. Ver [4, cap.5]
Vamos aplicar o método dos referenciais móveis para o caso de superfícies no es-paço euclideano R3 e assim determinar a curvatura Gaussiana da superfície em termos
Seja f : M2 → R3 uma imersão de uma variedade bidimensional em R3. Para
cada ponto p ∈ M2, um produto interno h, i
p está definido em TpM pela regra hv1, v2ip = hdfp(v1), dfp(v2)i .
Assim, M2 é uma variedade Riemanniana com a métrica induzida pela imersão f .
Sejam U ⊂ M uma vizinhança de p tal que a restrição f |U é um mergulho e
V ⊂ R3 uma vizinhança de f (p) em R3 tal que V ∩ f (M) = f (U), e que é possível
escolher em V um referencial adaptado e1, e2, e3. Associado ao referencial {ei} em
V, temos os coreferenciais ωi e as formas de conexão ωij satisfazendo as Equações de
Estrutura (∗):
A imersão f : U ⊂ M → V ⊂ R3 induz formas f∗(ω
i), f∗(ωij) em U. Como f∗
comuta com d e ∧, tais formas satisfazem as Equações de Estrutura. Temos que
f∗(ω
3)(v) = ω3(df (v)) = ω3(a1e1+ a2e2) = 0,
onde v = a1e1+ a2e2, para todo q ∈ U e v ∈ TqM. Com um certo abuso de notação,
escreveremos
f∗(ωi) = ωi f∗(ω
ij) = ωij.
Isto nos possibilita olhar para U como um subconjunto de R3 pela inclusão f : U → R3.
Estas formas diferenciais satisfazem as equações anteriores acrescentando que ω3 = 0.
Como ω3 = 0,
dω3 = ω1∧ ω13+ ω2∧ ω23= 0,
daí pelo lemma de Cartan
ω13= h11ω1+ h12ω2
ω23 = h21ω1+ h22ω2,
onde hij = hji são funções diferenciáveis em U. Temos que (hij) é a matriz de de3 :
U ⊂ M → S2 na base {e
1, e2}. A matriz (hij) é simétrica, portanto a diferencial de3 é
uma aplicação linear, logo pode ser diagonalizada com autovalores λ1, λ2 e autovetores
ortogonais. Assim, podemos definir a curvatura Gaussiana da superfície M em p por
K = det(hij) = λ1λ2 = h11h22− h212
e a curvatura média H de M em p por
H = 1 2tr(hij) = λ1+ λ2 2 = h11+ h22 2 .
As expressões de K e H podem ser obtidas por meio do referencial móvel: Lema 1.2 1 ω13∧ ω32= Kω1∧ ω2.
Prova. Vamos encontrar a matriz do operador forma da superície M, S(v) = −∇vE3,
onde E3 é o campo vetorial normal à superfície M. Seja {E1, E2, E3} um referencial
adaptado à superfície M. Temos
S(E1) = −∇E1E3 = −ω31(E1)E1− ω32(E1)E2
S(E2) = −∇E2E3 = −ω31(E2)E1− ω32(E2)E2.
Então a matriz de S é dada por µ ω13(E1) ω23(E1) ω13(E2) ω23(E2). ¶ Assim, ω13∧ ω23(E1, E2) = ω13(E1)ω23(E2) − ω13(E2)ω23(E1) = detS = K. (ω13∧ ω2+ ω1 ∧ ω23)(E1, E2) = ω13(E1)ω2(E2) + ω1(E1)ω23(E2) = ω13(E1) + ω23(E2) = 2H. Corolário 1.16 dω12 = −Kω1 ∧ ω2. Prova. dω12(E1, E2) = (ω13∧ ω32)(E1, E2) = K. Corolário 1.17 K = E2[ω12(E1)] − E1[ω12(E2)] − ω12(E1) − ω12(E2).
Prova. Temos que
ω12= f1ϑ1+ f2ϑ2,
onde fi = ω12(Ei) para i = 1, 2. Então
dω12 = df1∧ ϑ1+ df2∧ ϑ2+ f1dϑ1+ f2dϑ2
= df1∧ ϑ1+ df2∧ ϑ2+ f1ω12∧ ϑ2+ f2ω21∧ ϑ1.
Agora, como ϑi(Ej) = δij, obtemos
dω12(E1, E2) = −df1(E2) + df2(E1) + f1ω12(E1) − f2ω21(E2).
Daí,
−K = −E2[f1] + E1[f2] + f1ω12(E1) + f2ω12(E2),
1.4
Geodésicas de S
nNesta seção, veremos algumas propriedades das geodésicas, além do teorema que garante que as geodésicas da esfera Sn são os grandes círculos, que são as interseções
da esfera com planos passando pela origem.
Seja M uma variedade Riemanniana munida de uma conexão Riemanniana ∇. Uma curva parametrizada γ : I → M tal que
D dt(
dγ dt) = 0
no ponto t0 ∈ I é chamada uma geodésica de M em t0. Se γ é uma geodésica em t
para todo t, dizemos que γ é uma geodésica. Para uma geodésica γ, temos que
d dt ¿ dγ dt, dγ dt À = 2 ¿ D dt dγ dt, dγ dt À = 0. Portanto, o comprimento do vetor tangente dγ
dt de uma geodésica γ é constante.
O teorema abaixo garante a existência e a unicidade das geodésicas.
Teorema 1.18 Seja M uma variedade com uma conexão ∇. Para todo p ∈ M, V ∈
TpM e t0 ∈ R, existe um intervalo aberto I ⊂ R contendo t0 e uma única geodésica
γ : I → M satisfazendo γ(t0) = p, γ
0
(t0) = V .
Prova. Ver [9, cap.4]
Exemplo 6 Seja M ⊂ Rn+k uma subvariedade com conexão Riemanniana ∇. Se ∇ é
a conexão de Rn+k, para uma curva c sobre M temos
c00(t) = ∇ dtc 0(t) = ∇ c0(t)c0(t). Como ∇c0(t)c0(t) = (∇c0(t)c0(t))⊥,
temos que as geodésicas da subvariedade M são as curvas com vetor aceleração normal. As geodésicas do espaço euclideano Rnsão as retas parametrizadas com velocidade constante. De fato,
D dtc
0(t) = 0 ⇔ c00(t) = 0 ⇔ c(t) = x
A seguir classificaremos as geodésicas da esfera Sn.
Teorema 1.19 As geodésicas sobre Sn
Rsão precisamente os "grandes círculos"(interseções de Sn
R com planos bidimensionais passando pela origem), com parametrizações com
ve-locidade constante.
Prova. Consideremos uma geodésica
γ(t) = (x1(t), ..., xn+1(t))
começando no pólo norte N cuja velocidade inicial V é um múltiplo de ∂/∂xi. É
intuitivamente evidente por simetria que esta geodésica deve manter-se ao longo do meridiano
x2 = ... = xn= 0.
Para uma prova rigorosa disto, suponha o contrário; isto é, suponha que existe um t0
tal que xi(t
0) 6= 0 para algum 2 ≤ i ≤ n. A aplicação linear
ϕ : Rn+1→ Rn+1
levando xi a −xi e fixando as outras coordenadas é uma isometria da esfera que fixa N = γ(0) e V = γ0(0), e portanto leva γ a γ. Mas
ϕ(γ(t0)) 6= γ(t0),
o que é uma contradição.
Como geodésicas têm velocidade constante, a geodésica com ponto inicial N e ve-locidade inicial c∂/∂xideve portanto ser um círculo onde Sn
Rintersecta (x1, xn+1)-plano,
com uma parametrização constante. Como existe uma aplicação ortogonal levando qualquer outro ponto a N e qualquer outro vetor inicial levando a uma dessas formas, e já que aplicações ortogonais leva planos passando pela origem em planos passando pela origem, segue que as geodésicas sobre Sn
R são as intersecções de SRn com planos
bidimensionais passando pela origem.
Definição 1.20 N é dito ser uma cobertura da variedade M com aplicação cobertura
ϕ se ϕ é sobrejetora, N é conexa e se cada p ∈ M tem uma vizinhança conexa U tal que
ϕ−1(U) = [Uα,
uma união de componentes abertas Uα com a propriedade que a restrição de ϕ a Uα é
um difeomorfismo sobre U. Um difeomorfismo h : M → M é dito ser uma transfor-mação cobertura se ϕ ◦ h = ϕ.
Seja ϕ : R2 → T2 a cobertura padrão dada por
Considere o espaço euclideano R2 com a métrica Riemanniana usual. Como as
trans-formações cobertura são translações, elas são isometrias de R2. Segue que podemos
definir sobre o toro T2 uma métrica Riemanniana que faz a projeção ϕ uma isometria
local, siginificando que ϕ∗ é uma isometria de cada espaço tangente TpR2 sobre Tϕ(p)T2.
Com esta métrica a isometria de T2 é localmente equivalente à geometria de R2. Como
uma isometria local leva geodésicas em geodésicas, temos que as imagens das retas de R2 sobre T2 são geodésicas de T2.
Um campo vetorial V ao longo de uma curva γ é dito ser paralelo ao longo de γ
se DtV ≡ 0. Logo, podemos caracterizar uma geodésica como uma curva cujo campo
vetorial velocidade é paralelo ao longo da curva.
Um campo vetorial sobre uma variedade M é dito ser paralelo se ele é paralelo ao longo de toda curva em M, ou seja, se ∇V ≡ 0, onde ∇ é a conexão da variedade M.
Seja γ : I → M uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco, em uma variedade Riemanniana M, definimos a curvatura geodésica kg de γ pela igualdade
γ00 = k gN,
onde N é o campo vetorial normal principal obtido quando rotacionamos 90◦ a curva γ0.
Com base nesta definição concluímos que a função curvatura geodésica kg é
iden-ticamente nula se, e somente se a curva γ é uma geodésica.
Observe que se f : M → M é uma imersão entre variedades Riemannianas e γ é uma curva em M, então γ tem duas curvaturas geodésicas distintas: sua curvatura intrínseca, como uma curva em M e sua curvatura extrínsica como uma curva em M.
1.5
Curvaturas
O objetivo desta seção é mostrar que variedades Riemannianas completas e com curvatura seccional constante são isométricas aos espaços, denominados espaços mod-elos, Rn, Sn e Hn. Também veremos que a curvatura seccional da esfera unitária S3 é
1, fato que será muito usado nos próximos capítulos.
Seja M uma variedade Riemanniana. A curvatura R de M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X (M) uma aplicação R(X, Y ) : X (M) → X (M) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇Z∇YZ + ∇[X,Y ]Z, Z ∈ X (M),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
A curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades: (i) R é bilinear em X (M) × X (M), isto é, para f, g ∈ D(M), X1, X2, Y1, Y2 ∈ X (M),
temos
R(X1, f Y1+ gY2) = f R(X1, Y1) + gR(X1, Y2).
(ii) Para todo par X, Y ∈ X (M), o operador curvatura R(X, Y ) : X (M) → X (M) é linear, isto é, para f ∈ D(M), Z, W ∈ X (M), temos
R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )(Z) + R(X, Y )(W ) e R(X, Y )f Z = f R(X, Y )Z,
Dado um ponto p ∈ M e um subespaço bi-dimensional σ ⊂ TpM o número real K(x, y), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ
em p e é dada por K(x, y) = hR(x, y)x, yi |x ∧ y|2 , onde |x ∧ y|2 = q |x|2|y|2− hx, yi2
é a área do paralelogramo bidimensional determinado pelo par de vetores x, y ∈ σ. Lema 1.3 Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M. Defina uma
aplicação trilinear R0 : T
pM × TpM × TpM → TpM por
hR0(X, Y, W ), Zi = hX, W i hY, Zi − hY, W i hX, Zi ,
para todo X, Y, Z, W ∈ TpM. Então M tem curvatura seccional constante se e só se
R = KoR0, onde R é a curvatura de M.
Prova. Ver [3, cap.4]
Cada uma das variedades Rn e Sn
R tem um grupo de isometria que atua
tran-sitivamente sobre referenciais ortonormais, logo eles são homogêneos e portanto são geometricamente os mesmos em todo ponto. Esse mesmo grupo de isometrias atua transitivamente sobre planos bidimensionais no espaço tangente às variedades, daí cada um deles têm curvatura seccional constante no sentido que as curvaturas seccionais são as mesmas para todos os planos bidimensionais em todos os pontos.
Vamos agora calcular as curvaturas seccionais dos espaços citados acima.
(i) O Espaço Euclideano Rn. Como cada subespaço bidimensional de Rn é um
plano cuja curvatura Gaussiana é zero, então a curvatura seccional de Rn é zero.
Analiticamente, basta observarmos que o tensor curvatura do espaço euclideano Rn é zero. De fato, indicando por Z = (z
1, . . . , zn) as componentes do campo Z
nas coordenadas naturais do Rn, obtemos
∇XZ = (Xz1, . . . , Xzn).
Segue que
∇Y∇XZ = (Y Xz1, . . . , Y Xzn).
Logo,
(ii) A Esfera Sn
R. Se p é um ponto de SnRentão as geodésicas passando por p tangentes
a um plano σ em Tp(S3R) são grandes círculos e formam uma 2-esfera de raio R.
Como a curvatura Gaussiana dessa 2-esfera é dada por 1
R2 e a curvatura seccional
K(σ) é igual a curvatura Gaussiana de S2
R em p, então SnR tem curvatura
sec-cional constante igual a 1
R2.
Teorema 1.21 Seja M uma variedade Riemanniana n-dimensional completa,
simples-mente conexa com curvatura seccional constante C. Então M é isométrica a um dos espaços: Rn, Sn, ou Hn.
Prova. Ver [9, cap.11]
Definição 1.22 Uma variedade Riemanniana é dita ser rasa se é localmente isométrica
ao espaço euclideano, isto é, se todo ponto tem uma vizinhança que é isométrica a um
conjunto aberto de Rn com sua métrica euclideana.
Teorema 1.23 Uma variedade Riemanniana é rasa se, e somente se, seu tensor
cur-vatura é identicamente nulo.
Prova. Ver [9, cap.7]
1.6
A Aplicação Hopf
O objetivo desta seção é definir o Toro Hopf. Aqui, veremos que este toro é a imagem inversa pela aplicação Hopf de uma curva fechada em S2(4).
Identifiquemos a esfera S2 com C ∪ {∞}, onde o pólo norte de S2 corresponde ao
∞, por meio da projeção estereográfica
σ : S2− {(0, 0, 1)} −→ C ∪ {∞} (a, b, c) 7−→ ( a 1−c,1−cb ) tal que σ−1 : C ∪ {∞} −→ S2− {(0, 0, 1)} (x, y) 7−→ ( 2x x2+y2+1,x2+y2y2+1,x 2+y2−1 x2+y2+1).
Temos que S2 = C ∪ {∞} tem um atlas C∞ consistindo de duas aplicações: f1 : C → C e f2 : C − {0} ∪ {∞} → C,
f2(z) = ½ 1 z, se z 6= ∞ 0, se z = ∞ Seja agora S3 = {(z1, z2) ∈ C × C; |z1|2+ |z2|2 = 1}.
Então a Aplicação Hopf é dada por
π : S3 → S2
(z1, z2) 7→ zz12.
tal que z1
z2 = ∞ se z2 = 0.
A aplicação Hopf é claramente C∞ sobre o conjunto no qual z
2 6= 0 e também
sobre o conjunto onde z1 6= 0.
A imagem inversa π−1(z
o) de qualquer ponto z0 ∈ C é
π−1(z
o) = {(z1, z2) ∈ S3; z1 = zoz2}.
Fazendo zj = xj + iyj para j = 0, 1, 2 podemos escrever
π−1(zo) = {(x1, y1, x2, y2) ∈ S3; x1 = xox2− yoy2 e y1 = xoy2+ x2yo},
que é a intersecção de S3 com dois hiperplanos passando pela origem. Então π−1(z o) é
um grande círculo. Além disso, π−1(∞) = {(z
1, z2) ∈ S3; z2 = 0} é também um grande
círculo.
Consideremos a aplicação ortogonal
f : S2 = C ∪ {∞} → S2 = C ∪ {∞}
definida por
f (z) = az + b cz + d,
que é um-a-um e tem no máximo um pólo de ordem ≤ 1. Normalizando f para
ad − bc = 1, ela será ortogonal se e só se |a|2 + |c|2 = 1
, ab = cd. |b|2 + |d|2 = 1
Nestas condições, g(z1, z2) = (az1 + bz2, cz1 + dz2) é uma isometria de S3 ⊂ C × C.
Agora, para qualquer conjunto X ⊂ S2 temos que
(z1, z2) ∈ π−1(f−1(X)) ⇔ (z1, z2) ∈ S3 e π(g(z1, z2)) ∈ X.
Então π−1(f−1(X)) = g−1(π−1(X)), ou seja substituindo X por um conjunto isométrico
para encontrar π−1(Σ) para Σ ⊂ S2 um círculo devemos assumir que Σ é paralelo
ao plano-xy, tal que a projeção estereográfica de Σ em C é exatamente um círculo
{z : |z| = R}. Então π−1({z : |z| = R}) = {(z 1, z2) : |z1|2+ |z2|2 = 1 e ¯ ¯ ¯z1 z2 ¯ ¯ ¯ = R} = {(z1, z2) : |z1| = √1+RR 2 e |z2| = 1 √ 1+R2}
que é exatamente o Toro Produto. Vamos denotar por
π : S3 → S2(4)
a aplicação Hopf de S3 sobre a esfera de curvatura 4 e seja γ uma curva em S2(4) com
curvatura k. Então a imagem inversa M = π−1(γ) é uma superfície rasa em S3 com
curvatura média H = k◦π
2 e chama-se o cilíndro Hopf sobre γ. Em particular, se γ é
fechada, então M é difeomorfa ao Toro e chama-se Toro Hopf sobre γ. O cilíndro Hopf sobre uma geodésica em S2(4) é o Toro de Clifford (minímo).
1.7
As Equações de Gauss e Codazzi
Seja f : M → M uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma variedade Riemanniana M de dimensão k = n + m, que chamaremos às vezes de espaço ambiente. A métrica Riemanniana de M induz uma métrica Riemanniana em M definida por
hv1, v2i = hdfp(v1), dfp(v2)i .
Desta forma, f passa a ser uma imersão isométrica de M em M. Como nossas consid-erações são locais e toda imersão é localmente um mergulho, podemos assumir que M é um variedade Riemanniana mergulhada.
Em cada ponto p ∈ M o espaço tangente ambiente TpM decompõe-se como uma
soma direta ortogonal
TpM = TpM ⊕ (TpM)⊥,
onde (TpM)⊥ é o complemento ortogonal de TpM em TpM.
A conexão Riemanniana de M será indicada por ∇. Se X e Y são campos locais em M, nós podemos extendê-los a campos vetoriais sobre M aplicando o operador devivada covariante ∇, e então decompor em pontos de M para obter,
∇XY = (∇XY )T + (∇XY )⊥.
Definimos a Segunda Forma Fundamental de M como sendo a aplicação de X (M)×
II(X, Y ) := (∇XY )⊥,
onde X,Y são extensões arbitrárias a a M.
O seguinte teorema mostra que o termo tangencial na decomposição de ∇ é ∇XY .
Portanto, podemos dizer que a segunda forma fundamental mede a diferença entre a conexão Riemanniana intrínseca sobre M e a conexão Riemanniana ambiente sobre M. Teorema 1.24 (A Fórmula de Gauss) Se X, Y ∈ X (M) são extensões arbitrárias a
campos vetoriais a M, a seguinte fórmula vale ao longo de M: ∇XY = ∇XY + II(X, Y ).
Prova. Ver [3,cap.6]
Lema 1.4 A segunda forma fundamental é (a) independente das extensões de X e Y; (b) bilinear sobre C∞(M);
(c) simétrica em X e Y. Prova. Ver [9,cap.8]
Um conceito que será bastante explorado neste trabalho é o seguinte.
Definição 1.25 Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se para todo
ξ ∈ (TpM)⊥ a segunda forma fundamental IIξ é identicamente nula em p.
Veremos agora que a segunda forma fundamental também pode ser expressa em termos da derivada covariante de campos vetoriais normais.
Lema 1.5 (A Equação de Weingarten)Suponha X, Y ∈ X (M) e ξ ∈ (TpM)⊥. Quando X,Y,ξ são extendidas arbitrariamente a M, a seguinte equação vale em pontos de M:
∇Xξ, Y
®
= − hξ, II(X, Y )i .
Prova. Como hξ, Y i = 0 ao longo de M e X é tangente a M, temos 0 = X hξ, Y i =∇Xξ, Y ® +ξ, ∇XY ® =∇Xξ, Y ® + hξ, ∇XY + II(X, Y )i =∇Xξ, Y® + hξ, II(X, Y )i .
Teorema 1.26 (A Equação de Gauss)Para quaisquer X, Y, Z, W ∈ TpM, a seguinte equação vale:
R(X, Y )Z, W® = hR(X, Y )Z, W i − hII(X, W ), II(Y, Z)i + hII(X, Z), II(Y, W )i . Prova. Ver [3,cap.6]
Seja M uma superfície suave e conexa em uma variedade Riemanniana de cur-vatura constante e considere ξ o campo vetorial unitário normal a M. O operador forma
Sξ : X (M) → X (M) de M é dado por
hξ, II(X, Y )i = hS(X), Y i , ∀X, Y ∈ X (M).
Da equação de Weingarten temos que
∇Xξ, Y®= − hξ, II(X, Y )i = − hS(X), Y i , de onde segue a igualdade
∇Xξ = −Sξ(X).
O operador forma Sξ é o negativo da derivada da aplicação normal de Gauss.
Como é simétrica, a matriz do operador Sξ, quando diagonalizada, apresenta como
autovalores as curvaturas principais da superfície.
Para p ∈ M e ξ ∈ (TpM)⊥ podemos tomar uma base ortonormal {e
1, e2} de TpM
para a qual Sξ é diagonal, ou seja, Sξ(ei) = λiei onde λi é autovalor de S. Assim,
hξ, II(ei, ej)i = hS(ei), eji =
½
λi, se i = j
0, se i 6= j. Então segue da equação de Gauss que
K(ei, ej) − K(ei, ej) = λiλj.
Como K = c, a curvatura Gaussiana K é dada pela fórmula
K = c + λiλj = c + detS
e a curvatura média é H = 1
2trS. O determinante de S é chamado a curvatura
Gauss-Kronecker de M e é denotado por ke.
Uma imersão f : M → M é mínima se para todo p ∈ M e todo ξ ∈ (TpM)⊥
tem-se que o traço do operador forma Sξ é zero.
Proposição 1.27 (A Equação de Codazzi)
Prova. Ver [3,cap.6]
Se o espaço ambiente M tem curvatura seccional constante, a equação de Codazzi se reduz a
(∇XII)Y = (∇YII)X.
Podemos ver em [15,cap.7] que o operador forma S satisfaz a equação de Codazzi:
(∇XS)Y = (∇YS)X,
Capítulo 2
A Geometria da Esfera S
3
Este capítulo é voltado para as superfícies da esfera S3. Aqui, o nosso objetivo
é encontrar as Equações de Estrutura de uma tal superfície e para isso, necessitare-mos de algumas propriedades dos produtos Interno e Hermitiano em R4. A partir das
Equações de Estrutura, determinaremos uma fórmula para a curvatura gaussiana da superfície usando suas formas de conexão. Também faremos uma aplicação utilizando duas superfícies de grande importância neste trabalho: a esfera S2
R e o Toro Hopf.
2.1
Produto Interno e Hermitiano em R
4Nesta seção trabalharemos com duas operações em R4; o produto interno e o
pro-duto Hermitiano. Veremos que elas possuem propriedades que serão de grande auxílio na determinação dos referenciais, formas duais e de conexão da esfera S3 e também de
uma superfície em S3. Considere o espaço C2 = {z = (z 1, z2); zj ∈ C}. A aplicação ϕ : C2 → R4 (z1, z2) 7→ (x1, x2, x3, x4),
onde z1 = x1+ iy1 e z2 = x2+ iy2, estabelece um isormorfismo entre os espaços
en-volvidos. Logo, quando for conveniente, podemos identificar os elementos de C2 como
elementos de R4.
Para z, w ∈ C2, com z = (z
1, z2) e w = (w1, w2), definimos
