IV. Exercícios de Aplicação
a. Uma empresa está a iniciar o estudo de um projecto que envolve 9 das suas áreas funcionais:
• Gestão do Projecto (GP), Investigação Operacional (IO), Marketing (MK), Aprovisionamento (AP), Finanças (FI), Pessoal (PE), Engenharia Civil (EC), Engenharia Hidráulica (EH) e Engenharia Electrotécnica (EE)
Efectuada a primeira reunião de coordenação, decidiu-se que nos 30 dias seguintes TODA a informação sobre o assunto obtida em qualquer das nove áreas, deveria ser difundida para conhecimento das restantes. Cada uma das áreas ficou obrigada a transmitir informação conforme indicado na Matriz Booleana seguinte:
GP IO MK AP FI PE EC EH EE GP 1 IO 1 1 MK 1 1 AP 1 FI 1 1 PE 1 1 EC 1 1 EH 1 EE 1
Decorridas 2 semanas constata-se não haver difusão total da informação desconhecendo-se se tal se deve a não cumprimento do estabelecido ou deficiência do plano de ligações antes definido.
1) Verifique analiticamente se a deficiência pode ser atribuída ao conjunto de ligações indicado na
matriz e justifique a resposta.
2) Se concluiu na alínea anterior haver deficiência no conjunto de ligações, estude a forma mais simples
de resolver o problema.
b. Uma empresa agro-pecuária dispõe de 4 depósitos (D1 , D2 , D3 , D4) de abastecimento à rega de uma herdade na qual há 6 repartidores principais (E , F , G , H , I , J).
As ligações existentes, do antecedente, entre depósitos e repartidores são as seguintes (matriz booleana):
E F G H I J
D1 1
D2 1 1
D3 1
D4 1
A empresa planeia instalar as seguintes ligações entre repartidores:
E F G H I J E 1 F 1 G 1 H 1 I 1 J 1
c. Uma empresa tem um armazém em B onde inicia, diariamente, a distribuição de produtos ás suas lojas.
A primeira das lojas a ser abastecida está localizada em H (as restantes lojas não estão graficadas sendo posteriormente abastecidas).
A rede viária da zona da cidade onde se situam B e H é a apresentada na figura seguinte (sem preocupações de escala e posição relativa).
Identifique e descreva as alternativas de ligação de B a H.
A F G H C B D E
d. Admita que cabe à direcção organizar o movimento de estudantes e convidados na festa das "pastas dos
licenciados".
Reconhecido o local, foram escolhidos 9 pontos importantes (A, B, …,I) e com base neles definido o sentido do movimento "livre" das pessoas que circulam no recinto. O grafo tem a seguinte matriz de incidência:
A B C D E F G H I A 1 B 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 D 1 1 1 1 E 1 F 1 1 1 1 1 1 G 1 H 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1
Admita ser um dos licenciados e que vai ficar numa zona do recinto acessível apenas em I.
Se a sua família e amigos entrarem em G, qual o caminho que devem seguir para reduzir ao mínimo o número de pontos de controlo a ultrapassar?
Nota: Se detectar algum erro de planeamento, contacte a direcção e apresente propostas de solução. e. Admita que uma professora de escola infantil ensinou aos alunos regras básicas de movimento nas ruas da
localidade.
Uma das regras é que devem atravessar as ruas numa direcção perpendicular às mesmas e quando vão para a escola devem fazer o menor número possível de travessias.
Um seu familiar está embaraçado pois ensinou ao filho um caminho em que são atravessadas 6 ruas mas um vizinho disse-lhe que há melhor. Pode dar uma ajuda ao seu familiar consultando a planta da zona onde ele habita?
Nota: considere que há passeio marginando cada bloco.
Bloco do Familiar Bloco Habitações B Bloco Habitações C
Bloco Habitações D Bloco Habitações E Bloco Habitações G Bloco Habitações H Bloco Habitações F Bloco Habitações I Bloco Habitações J
Bloco M Bloco Habitações N
Bloco Habitações O
Bloco Habitações K
Bloco Habitações L
2. Solução dos Exercícios de Aplicação
a.
1) Há deficiências porque o grafo não é fortemente conexo.
2) Estabelecer umas das seguintes ligações: (AP,GP) ; (AP,FI) ; (EH,GP) ; (EH,FI)
b. O grafo dos repartidores não é fortemente conexo pelo que D1 não pode alimentar a totalidade.
H I F G E J D1 D2 D4 D3 G1 G2 G3
Os subgrafos f.c.m. são: G1 = {H,I} ; G2 = {F,G} ; G3 = {E,J}, pelo que D1 só alimenta G2 como mostra a figura.
Alternativas:
Ligar G2 a G1 (4 modalidades) e G2 a G3 (4 modalidades) no total de 8 modalidades ou ligar G2 a G3 (ou G1) e G3 (ou G1) a G1 (ou G3) igualmente com 8 modalidades.
c. Alternativa nº 1: Efectuar Potenciação Algébrica até nível 7 (comprimento máximo do caminho de B a H pois o grafo tem 8 vértices) e registar a descrição dos caminhos à medida que são calculados.
Alternativa nº 2: Usar a técnica de cálculo do Fecho Transitivo Directo de B (até nível 7) e registar os vértices antecessores à medida que são detectados caminhos.
Alternativa nº 3: Usar a técnica de Potenciação com matrizes latinas.
Há 11 caminhos de B para H sendo um de comprimento 2, quatro de comprimento 3, dois de comprimento 4 e quatro de comprimento 5.
Uso da alternativa nº 2 para detectar os caminhos:
A B C D E F G H N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 A 1 2F 3G 4G 4G B 1 1 1 0 C 1 1 1B 2D 2F D 1 1 1B E 1 2D 3G 4G 4G F 1 1 1B G 1 1 2C 3C 3C H 2C 3A 3C 3C 4A 4E 5A 5A 5E
Reconstituição dos caminhos para H:
Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Nível 5
A 2F 3G 4G 4G B 0 C 1B 2D 2F D 1B E 2D 3G 4G 4G F 1B G 2C 3C 3C H 2C 3A 3C 3C 3E 4A 4E 5A 5A 5E 5E Caminhos de comprimento 5
Iniciar a descrição do caminho no nível 5 do vértice H progredindo em sentido inverso para os antecessores de cada nível.
Nível 5: "H" tem antecessores "A" e "E" (nível 4):
E
A H
Passar ao nível 4 em "A" e "E". Nível 4: "A" tem antecessor "G" (nível 3); "E" tem antecessor "G":
E
A H
G
Passar ao nível 3 em "G". Nível 3: "G" tem antecessor "C" (nível 2)
E
A H
G C
Passar ao nível 2 em "C".
Nível 2: "C" tem antecessores "D" e "F" (nível 1) pelo que estes têm B como antecessor (nível 0)
E A H G C F D B
Procedendo de igual modo no vértice H nos níveis 4, 3, e 2 obtêm-se os seguintes caminhos de comprimento 4, 3, e 2:
Caminhos de comprimento 4 : (BCGAH ; BCGEH )
Caminhos de comprimento 3 : : (BFAH ; BDCH ; BFCH ; BDEH ) Caminhos de comprimento 2 : : (BCH )
Usando a alternativa nº 3 (potenciação com matrizes latinas) reduz-se o tempo de cálculo calculando apenas em cada nível o produto da linha de "B" (desse nível) pelas colunas da matriz inicial.
Veja-se o produto da linha "B" (inicial) pela coluna "A" para obter o elemento mBA de M2:
A B C D E F G H
Linha B BC BD BF
Coluna A FA GA
"Produtos" BFA
Em "Produtos" obteve-se apenas "B F A" que é o único caminho de comprimento 2 de "B" para "A". Repetindo para os restantes vértices, num só quadro (lembrando que a linha de "B" é multiplicando) tem-se:
A B C D E F G H
Linha B BC BD BF
Coluna A FA GA
Casa B,A BFA
Coluna C BC DC FC
Casa B,C BFC
Coluna D BD
Casa B,D
Coluna E DE EG
Casa B,E BDE
Coluna F BF Casa B,F Coluna G CG Casa B,G BCG Coluna H AH CH EH Casa B,H BCH Em M2 temos a linha de "B": A B C D E F G H Linha B em M2 BFA BDC BFC BDE BCG BCH
Para calcular a linha de "B" em M3 multiplica-se agora a linha de "B" de M2 pelas colunas da matriz inicial. Obter-se-á a descrição de todos os caminhos de comprimento 3 com início em B:
A B C D E F G H
Linha B em M2 BFA BDC
BFC
BDE BCG BCH
Coluna A GA
Casa B,A BCGA
Coluna C BC DC FC
Casa B,C
Coluna D BD
Casa B,D
Coluna E DE EG
Casa B,E BCGE
Coluna F BF Casa B,F Coluna G CG Casa B,G BDCG BFCG Coluna H AH CH EH Casa B,H BFAH BDCH BFCH BDEH Em M3 temos a linha de "B": A B C D E F G H
Linha B em M3 BCGA BCGE BDCG
BFCG
BFAH BDCH BFCH BDEH
Para calcular a linha de "B" em M4 multiplica-se agora a linha de "B" de M3 pelas colunas da matriz inicial. Obter-se-á a descrição de todos os caminhos de comprimento 4 com início em B. Repetindo o procedimento em M4 e M5 (em M5 o vértice "B" só tem caminhos para "H") dispõe-se de toda a informação sobre caminhos de "B" para "H":
As linhas de "B" de M4 e de M5 são as seguintes:
A B C D E F G H Linha B em M4 BDCGA BFCGA BDCGE BFCGE BCGAH BCGEH A B C D E F G H Linha B em M5 BDCGAH BFCGAH BDCGEH BFCGEH
O recurso à Potenciação Booleana (alternativa nº 1) que só permite obter informação sobre o número de caminhos em cada nível pode ser completada com o registo dos caminhos à medida que se efectuam os produtos.
d. Não é possível atingir "I" partindo de "G".
Informar a AEISG que o plano está errado pois não permite o movimento "livre" no recinto.
Para fazer uma proposta útil é necessário decompor o grafo em subgrafos f.c.m. e estudar a circulação entre estes. No grafo há 3 subgrafos f.c.m. com as seguintes ligações entre si:
G E A G1 I F C G3 H D B G2 Pr Liga (9 m oposta r G1 a G3 odalidades)
e. Considerando que a travessia de uma rua pode ser representada por uma aresta é necessário definir o grafo não orientado e calcular o Fecho Transitivo Directo no bloco do familiar.
O melhor caminho (comprimento 5) está assinalado. O vizinho tem razão.
Bloco do Familiar Bloco Habitações B Bloco Habitações C
Bloco Habitações D Bloco Habitações E oco Habitações G Bl Bloco Habitações H Bloco Habitações F Bloco Habitações I Bloco Habitações J
Bloco M Bloco Habitações N
Bloco Habitações K
