Estudo da Propagação de Ondas
Eletromagnéticas em Estruturas Periódicas
Marcelo Bruno da Silva Dias
Segundo Semestre de 2003
CENTRO TECNOLÓGICO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO GUAMÁ
BELÉM – PA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLÓGICO
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Marcelo Bruno da Silva Dias
Estudo da Propagação de Ondas
Eletromagnéticas em Estruturas Periódicas
Belém 2003
TRABALHO SUBMETIDO AO COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA – OPÇÃO TELECOMUNICAÇÕES.
Estudo da Propagação de Ondas
Eletromagnéticas em Estruturas Periódicas
Este trabalho foi julgado em 03/06/2004 adequado para a obtenção do Grau de Engenheiro Eletricista – Opção Telecomunicações, e aprovado na sua forma final pela banca examinadora, que atribuiu o conceito EXCELENTE.
_________________________________________ Prof. Dr. Carlos Leonidas da Silva Souza Sobrinho
ORIENTADOR
_________________________________________ Prof. Msc. José Felipe Souza de Almeida
CO-ORIENTADOR
_________________________________________ Prof. Dr. Ronaldo Oliveira dos Santos MEMBRO DA BANCA EXAMINADORA
_________________________________________ Prof. Msc. Raimundo José Santos Mota MEMBRO DA BANCA EXAMINADORA
_________________________________________ Prof. Dr. Orlando Fonseca Silva
A meus pais, razões de minha vida, Belisário e Merice. A minhas irmãs, Denise e Marina.
A minha Lene, meu amor, minha inspiração. A Jesus Cristo, Redentor dos Homens.
AGRADECIMENTOS
Ao orientador, Prof. Dr. Carlos Leonidas da Silva Souza Sobrinho, por suas explicações, sua paciência, seu bom humor e seus sábios conselhos.
Ao co-orientador, Prof. Msc. José Felipe Souza de Almeida, por seu excelente trabalho de co-orientação, sua disposição, seu companheirismo e sua incessante busca pela perfeição.
Aos colegas do Laboratório de Análise Numérica em Eletromagnetismo (LANE), que contribuíram diretamente para a conclusão deste trabalho: Prof. Dr. Ronaldo Oliveira dos Santos, Prof. Msc. Eduardo Tannus Tuma e Rodrigo Melo e Silva de Oliveira.
À minha família, que me apoiou durante estes anos de graduação, fortalecendo-me e proporcionando-me infraestrutura física e psicológica suficiente para que eu pudesse concluir meus estudos com méritos.
À minha Lene, cujo auxílio foi fundamental para alcançar o sucesso deste trabalho e cujo apoio reergueu-me nos momentos mais difíceis desta caminhada.
“Quanto mais aprendemos, mais aumentamos a
fronteira da nossa ignorância”.
LISTA DE SÍMBOLOS
O(∆xn) Erro de n-ésima ordem
σ Condutividade
σe Condutividade elétrica
σm Condutividade magnética
σl Condutividade elétrica ou magnética, na posição l
σdmax Condutividade elétrica ou magnética máxima, na direção d
ε Permissividade elétrica
ε1 Permissividade elétrica do meio 1
ε2 Permissividade elétrica do meio 2
εo Permissividade elétrica absoluta do vácuo (8,8541878 × 10–12 F/m)
εr Permissividade elétrica relativa
ε Tensor permissividade elétrica
µ Permeabilidade magnética
µ1 Permeabilidade magnética do meio 1
µ2 Permeabilidade magnética do meio 2
µo Permeabilidade magnética absoluta do vácuo (1,256637061 × 10–6 H/m)
µr Permeabilidade magnética relativa
µ Tensor permeabilidade magnética
E Vetor intensidade de campo elétrico
Ex,Ey,Ez Componentes do campo elétrico, nas direções x, y, z, respectivamente
En+1 Componente de campo elétrico no instante (n+1)
En Componente de campo elétrico no instante (n)
El
0
Valor inicial da componente de campo elétrico, na direção l, para o cálculo intuitivo da derivada centrada
El
1
Valor final da componente de campo elétrico, na direção l, para o cálculo intuitivo da derivada centrada
H Vetor intensidade de campo magnético
Hx,Hy,Hz Componentes do campo magnético, nas direções x, y, z, respectivamente
Hn+1/2 Componente de campo magnético no instante (n+1/2)
Hl
0
Valor inicial da componente de campo magnético, na direção l, para o cálculo intuitivo da derivada centrada
Hl
1
Valor final da componente de campo magnético, na direção l, para o cálculo intuitivo da derivada centrada
D Vetor densidade de fluxo elétrico
Dx,Dy,Dz Componentes do vetor densidade de fluxo elétrico, nas direções x, y, z,
respectivamente
B Vetor densidade de fluxo magnético
Bx, By, Bz Componentes do vetor densidade de fluxo magnético, nas direções x, y, z,
respectivamente
J Vetor densidade de corrente de condução
Jx, Jy, Jz Componentes do vetor densidade de corrente de condução, nas direções x, y, z, respectivamente
a
n ∂
∂ Derivada parcial de n-ésima ordem em relação a a
I Índice indicador de célula de Yee, na direção x
J Índice indicador de célula de Yee, na direção y
K Índice indicador de célula de Yee, na direção z
n Índice da discretização temporal
∆x Dimensão da célula de Yee, na direção x
∆y Dimensão da célula de Yee, na direção y
∆z Dimensão da célula de Yee, na direção z
∆t Dimensão do menor incremento temporal
c Velocidade da luz no vácuo
vf Velocidade de fase
λ Comprimento de onda
λmin Menor comprimento de onda do sinal considerado
δ Erro cumulativo total
S Tensor
sl Elemento do tensor S na direção l
j −1
ω Freqüência angular
nci Número de camadas da UPML, na direção i
d Distância entre planos atômicos
θ Ângulo de incidência da onda
α, γ, β Ângulos em graus
S21 Coeficiente de transmissão
V(t)trasm Voltagem computada na porta de acesso, até que o regime estacionário seja atingido
V(t)inc Tensão total incidente gerada pelo campo
BW Largura de banda
fC Freqüência central do Band Gap
fH Freqüência mais alta da banda, definida para uma amplitude de 5% do pulso
fL Freqüência mais baixa da banda, definida para uma amplitude de 5% do pulso
v Velocidade do pulso Gaussiano no meio especificado
W Largura do pulso Gaussiano
2 Desvio padrão temporal do pulso Gaussiano
2z Desvio padrão em z do pulso Gaussiano fmax Amplitude máxima do pulso
Acírculo Área do círculo
Aquadrado Área do quadrado
L Lado do quadrado
R Raio do quadrado
a Constante de rede
LISTA DE FIGURAS
FIGURA DESCRIÇÃO PÁGINA
Figura 2.1 (a) Estrutura cilíndrica com periodicidade unidimensional; (b) Estrutura com periodicidade unidimensional.
5
Figura 2.2 Estruturas periódicas com periodicidade bidimensional. 5 Figura 2.3 Exemplos de estruturas com periodicidade tridimensional. 5 Figura 2.4 (a) Formação de um guia planar com a retirada de uma fileira de
elementos do cristal; (b) Formação de uma cavidade ressonante de Fabri-Perot após a retirada de um elemento.
6
Figura 2.5 (a) Simulação de modos de propagação na cavidade ressonante de Fabri-Perot;(b) Acoplador direcional sintonizado (Channel-Drop Filter) formado por dois guias de onda e uma cavidade ressonante.
7
Figura 2.6 (a) Guia de onda com curva acentuada de 90° (b) Guias de onda se cruzando através de uma cavidade ressonante, sem haver interferência entre os sinais de cada guia.
7
Figura 2.7 Onda refletindo nas várias camadas da matéria. 8 Figura 2.8 Célula unitária obtida por transladação da célula primária e estrutura
cristalina obtida por transladação da célula unitária.
9
Figura 2.9 Ilustração de uma rede cristalina quadrada obtida a partir da estrutura cristalina da Figura 2.8; a é a constante de rede neste caso.
10
Figura 2.10 Os sete sistemas cristalográficos básicos. 10
Figura 2.11 Exemplo de célula de Wigner-Seitz. 11
Figura 3.1 Definição intuitiva da derivada de 1ª ordem. Curvas para as deduções das fórmulas das derivadas (a) atrasada, (b) adiantada e (c) central.
Figura 3.2 Curva para outra forma de dedução intuitiva da derivada centrada. 16 Figura 3.3 Discretização em coordenadas retangulares do espaço de análise: (a)
Vista 3D (b) Vista Superior da malha 3D.
18
Figura 3.4 Célula de Yee com componentes elétricas no instante n. 19 Figura 3.5 Configuração de célula de Yee suficiente para mostrar a
aproximação por FD-TD da Lei de Faraday. As componentes com índice 0 e 1 são equivalentes aos valores iniciais e finais, respectivamente, usados no cálculo intuitivo da derivada centrada, feito pela Equação (3.7) deduzida a partir da Figura 3.2.
19
Figura 3.6 Visão 3D do espaço discreto segundo Yee, para mostrar as aproximações por FD TD das equações rotacionais de Maxwell.
20
Figura 3.7 Célula Secundária de Yee com componentes magnéticas no instante n+1/2.
21
Figura 3.8 Erro em função da discretização da malha. 24 Figura 3.9 Variação da velocidade de fase normalizada versus o ângulo de
propagação da onda, provocada pela dispersão numérica.
25
Figura 3.10 Variação da velocidade de fase normalizada com a resolução da malha para dado ângulo de propagação, causada pela dispersão numérica.
25
Figura 3.11 Modelo geral, no plano x-y, do domínio numérico de um problema aberto, mostrando a região de propagação eletromagnética em análise, circundada pela condição de fronteira absorvente UPML.
27
Figura 3.12 Modelo de problema eletromagnético 2D aberto, fechado artificialmente pela UPML.
27
Figura 3.13 Representação dos cantos da UPML. a) caso 3D; b) caso 2D. 28 Figura 3.14 Delimitações do domínio numérico para cálculos na UPML e célula
de Yee, para o modo de propagação TMz.
de Yee, para o modo de propagação TMz.
Figura 3.15 Condições de contorno para o PEC. 37
Figura 4.1 Esquema de filtro PBG. 40
Figura 4.2 Visão superior do modelo do Filtro PBG. 40 Figura 4.3 Vista lateral do filtro PBG. Deve-se observar a existência de uma
fileira de blocos abaixo da fita.
40
Figura 4.4 Vista ampliada do plano y-z do filtro PBG, mostrando a porta de acesso, onde se capta a tensão transmitida, gerada entre a placa metálica, abaixo do substrato, e a linha de fita, acima dele.
41
Figura 4.5 Exemplo de domínio numérico do filtro PBG, caso 2x7. Visão do plano x-y superior. A distância a deve ser, preferencialmente, igual ao comprimento de onda da freqüência central do pulso; b deve ser um valor que possibilite a, por exemplo, a + 10 células; c deve ser no mínimo 10 células e d pode ser igual a distância entre dois bastões.
44
Figura 4.6 Modelos do filtro de 2 planos PBG. De cima para baixo os arranjos 2 x 5, 2 x 7, 2 x 9 e 2 x 11, respectivamente.
45
Figura 4.7 Curva do coeficiente reflexão para cálculo da largura de banda da estrutura, nos casos 2 x 5, 2 x 7, 2 x 9 e 2 x 11.
46
Figura 4.8 Modelos do filtro de 6 planos PBG. 47
Figura 4.9 Curva do coeficiente S21, para determinação do band gap nos arranjos 6 x 5, 6 x 7, 6 x 9, 6 x 11.
48
Figura 4.10 Comparativo entre arranjos de 2 planos e 6 planos. 48 Figura 4.11 a) Vista 2D superior do guia de onda PBG bidimensional; b) Visão
3D em perspectiva do mesmo guia de onda (os espaços vazios entre os bastões, e o canal, são preenchidos com ar).
Figura 4.12 Espectro da intensidade do sinal transmitido na estrutura mostrada em [2].
50
Figura 4.13 Análise do domínio numérico do problema do guia de onda, para processamento seqüencial.
52
Figura 4.14 Divisão do domínio numérico para processamento paralelo e passagens de campos necessárias entre as máquinas.
53
Figura 4.15 Distribuição de campo após 600 iterações. A cor vermelha representa o máximo positivo e a cor a azul escura o máximo negativo.
54
Figura 4.16 Distribuição de campo após 1600 iterações. Apesar das curvas de 90o, o confinamento se mantém.
54
Figura 4.17 Distribuição de campo após 2500 iterações. 54 Figura 4.18 Plotagem 2,5D da onda confinada no guia após 2500 iterações. A
amplitude do campo é quase a mesma no começo e no fim do guia, ou seja, a onda é guiada com poucas perdas.
55
Figura 4.19 Distribuição de campo após 150 iterações. 55 Figura 4.20 Distribuição de campo passadas 1500 iterações. 56
Figura 4.21 Distribuição após 2500 iterações. 56
Figura A.1 Modelo de formulário para código estruturado do FORTRAN 77. 61 Figura A.2 Código FORTRAN para propagação de uma onda num domínio
unidimensional.
LISTA DE TABELAS
TABELA DESCRIÇÃO PÁGINA
Tabela 4.1 Dimensões do domínio numérico e posição da porta de acesso para cada caso.
45
Tabela 4.2 Dimensões do domínio numérico e posição da porta de acesso para cada caso de filtro de 6 planos.
47
Tabela A.1 Alguns conceitos básicos para iniciantes em FORTRAN. 62 Tabela A.2 Faixa de valor numérico para o tipo inteiro. 63 Tabela A.3 Tamanho de palavra para dados do tipo real. 63 Tabela A.4 Tamanho de palavra para dados do tipo complexo. 63 Tabela A.5 Operadores aritméticos utilizados na linguagem FORTRAN. 65 Tabela A.6 Operadores relacionais utilizados na linguagem FORTRAN. 65 Tabela A.7 Operadores lógicos utilizados na linguagem FORTRAN. 66 Tabela A.8 Algumas funções trigonométricas utilizadas na linguagem
FORTRAN.
66
Tabela A.9 Funções diversas utilizadas na linguagem FORTRAN. 67 Tabela A.10 Sintaxe para formatação de alguns tipos de dados e seus
significados.
69
Tabela A.11 Mais comandos para a construção de formatos. 70
SUMÁRIO
1. Introdução ... 1
1.1. Objetivos... 2
1.2. Composição Estrutural ... 2
Referências Bibliográficas ... 3
2. As Estruturas Periódicas e os Cristais Fotônicos ... 4
2.1. Introdução... 4
2.2. Cristais Fotônicos: Classificação e Aplicações ... 5
2.3. Teoria Cristalográfica Básica... 7
2.3.1. Redes ... 9
2.3.2. Zona de Brillouin ... 10
Referências Bibliográficas ... 12
3. Método FD-TD em Coordenadas Retangulares ... 13
3.1. Introdução... 13
3.2. Aproximação Algébrica da Derivada – O Príncipio do Método das Diferenças Finitas ... 14
3.3. O Método FD-TD – Aplicação das Diferenças Finitas às Equações de Maxwell ... ... 17
3.3.1. As Equações de Maxwell... 17
3.3.2. O Algoritmo de Yee ... 18
3.3.3. Precisão e Estabilidade do Método ... 23
3.4. As Condições de Fronteira Absorventes ... 26
3.4.1. Formulação da UPML ... 27
3.4.2. Condições de Contorno do PEC ... 37
Referências Bibliográficas ... 38
4.1. Introdução... 39
4.2. Problema 1 – O Filtro PBG ... 40
4.2.1. Características Construtivas do Problema ... 42
a) Fonte de Excitação... 42
4.2.2. Implementação Numérica... 43
4.2.3. Resultados ... 44
a) Caso 1: Estruturas com dois Planos PBG Paralelos ... 45
b) Caso 2: Estruturas com seis Planos PBG Paralelos ... 46
4.3. Problema 2 – Guia de Onda PBG 2D ... 49
4.3.1. Características Construtivas do Problema... 50
a) Fonte de Excitação... 50 4.3.2. Implementação Numérica... 51 a) Serial ... 52 b) Paralelo ... 52 4.3.3. Resultados ... 53 a) Seriais... 53 b) Paralelos ... 55 Referências Bibliográficas ... 57 5. Conclusões ... 58
APÊNDICE A: Programação em FORTRAN ... 60
A.1. Fundamentos sobre a Linguagem de Programação FORTRAN ... 60
A.1.1. Tipos de Dados ... 62
a) Numéricos... 62
b) Literais... 64
c) Lógicos ... 64
a) Declaração de Variáveis e Constantes ... 64
A.1.3. Operadores ... 65
a) Operadores Aritméticos ... 65
b) Operadores Relacionais ... 65
c) Operadores Lógicos... 66
A.1.4. Funções Intrínsecas ... 66
A.1.5. Funções e Sub-rotinas ... 67
a) Funções ... 68
b) Sub-rotina ... 68
A.1.6. Comandos de Entrada e Saída ... 69
a) Comando FORMAT... 69
b) Comando READ ... 71
c) Comando WRITE... 71
A.1.7. Arquivos ... 71
A.2. Estruturas de Programação ... 72
A.2.1. Estrutura Condicional ... 73
a) Estrutura Condicional Simples ... 73
b) Estrutura Condicional Composta ... 73
c) Estrutura Condicional Composta Simplificada... 73
A.2.2. Estrutura de Repetição ... 74
A.3. Recursos de Programação ... 74
A.3.1. Deslocamento ... 74
a) GO TO Implícito... 74
b) IF com deslocamento ... 74
A.3.2. Declarações e Atribuições Avançadas... 75
b) PARAMETER ... 75
c) DATA... 75
A.3.3. Designação de Memória ... 76
a) COMMON... 76
b) BLOCK DATA ... 76
A.3.4. Modularização ... 77
a) INCLUDE ... 77
RESUMO
Neste trabalho, são mostradas a teoria do método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo e a técnica da condição de contorno absorvente UPML. É, também, mostrado como essas técnicas se complementam e como podem ser usadas em conjunto para simular problemas de propagação eletromagnética em regiões abertas. De posse dessas informações, apresenta-se uma breve explanação sobre uma das mais promissoras áreas de pesquisa da ciência moderna: as estruturas periódicas. De uma forma mais aplicada à área das telecomunicações, são mostrados exemplos de estruturas capazes de controlar o fluxo luminoso. Essas estruturas são os cristais fotônicos que, através da criação de band gaps fotônicos (PBG), impedem a propagação da onda dentro de si, em determinadas direções. Dois exemplos de estruturas formadas por materiais desse tipo são analisados. Um é o arranjo de uma linha de fita em um substrato de cristais fotônicos, capaz de filtrar a onda transmitida pela fita, e o outro é um guia de onda que confina e direciona a onda eletromagnética, transmitindo-a com pouquíssima perda. Para as estruturas, cuja análise envolve um tempo de processamento considerável, o processamento paralelo é considerado.
CAPÍTULO 1: Introdução
No mundo globalizado moderno, as telecomunicações assumiram papel fundamental dentro das sociedades. A economia acirrada, a difusão cultural, a busca incessante por conhecimento ou a necessidade de se saber o que acontece no mundo são alguns exemplos da atual necessidade do homem. Nesse cenário, a evolução dos dispositivos ópticos para, por exemplo, a comunicação de alta velocidade, é infraestrutura essencial para suportar o crescente tráfego de dados, por causa da largura de banda e da velocidade que os dispositivos de comunicações operando nessa faixa de freqüência são capazes de suportar.
Assim, a partir das duas últimas décadas do século XX, com o auxílio dos estudos cristalográficos sobre as propriedades constitutivas dos sólidos, surgiram inúmeras pesquisas sobre o desenvolvimento de materiais artificiais com diversas características elétricas e ópticas. Nessas pesquisas, descobriu-se que combinações de materiais eletricamente diferentes, em estruturas que se repetem em certas direções, podem controlar as características de propagação eletromagnética, desde as freqüências de microondas até o espectro óptico. Essas estruturas periódicas quando constituídas de material dielétrico são conhecidas como cristais fotônicos [1].
Do mesmo modo que os cristais eletrônicos, os cristais fotônicos produzem uma banda proibida (band gap) onde a propagação fotônica (modos eletromagnéticos) é atenuada para determinadas faixas de freqüências (PBG – Photonic Band Gap). Dentre os exemplos de estruturas formadas por cristais fotônicos pode-se citar guias de onda periodicamente carregados para serem aplicados em dispositivos como válvulas de onda progressiva, filtros e guias de ondas de superfície [2]; estruturas dielétricas dispostas periodicamente usadas como substrato em uma linha de microfita para funcionar como um filtro PBG [3]; elementos impressos metálicos planares distribuídos periodicamente na superfície de um dielétrico (substrato) para serem usados em superfícies seletivas em freqüência [4]; antenas de arranjo de fase integradas [5]; acopladores de onda direcionais PBG [6,7] e outros.
Para a análise da propagação eletromagnética em estruturas desse tipo será usado o método numérico das diferenças finitas no domínio do tempo [8], associado à técnica da UPML de truncagem de malha [8,9] e ao processamento paralelo [10-13]. O método FD-TD (Finite-Difference Time-Domain) fornece a solução para os campos, como uma função do tempo, em toda a região de análise.
1.1) Objetivos:
Neste trabalho, alguns códigos computacionais, usando o método FD-TD e o processamento paralelo, são criados para o estudo da propagação de ondas eletromagnéticas em cristais fotônicos. Esses códigos são válidos para a análise de estruturas isotrópicas, com perfil de índice de refração variando continuamente. O método FD-TD também será usado para identificar as bandas proibidas de algumas das estruturas mostradas [8], que também terão suas larguras de banda calculadas.
1.2) Composição Estrutural:
Este trabalho é formado por 5 Capítulos e 1 Apêndice, divididos da seguinte maneira: Capítulo 1: apresenta o assunto a ser abordado neste trabalho, seus objetivos e sua
composição estrutural.
Capítulo 2: mostra a teoria do método FDTD e a técnica de truncagem UPML.
Capítulo 3: aborda as estruturas periódicas e os cristais fotônicos, suas teorias, aplicações práticas e tendências, classificando-as e destacando exemplos, além de mostrar uma abordagem inicial do estudo cristalográfico.
Capítulo 4: analisa um filtro PBG, constituído de uma linha de fita sobre uma estrutura PBG, e um guia óptico PBG, produzido pela abertura de um canal em um cristal fotônico, e apresenta os resultados das simulações numéricas computacionais realizadas para os dois dispositivos.
Capítulo 5: são as conclusões deste trabalho e as sugestões para trabalhos futuros.
Apêndice A: rápida introdução à linguagem FORTRAN, suas sintaxes, seus comandos, suas técnicas de programação e diversas funções intrínsecas.
Referências Bibliográficas
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light, 1ª Edição, Princeton Univ. Press, 1995.
[2] R. S. Elliot, An Introduction to Guided Waves and Microwave Circuits, 1ª Edição, Prentice Hall, 1993.
[3] J. F. S. de Almeida, “Análise fotônica em estruturas planares usando o método FD-TD com processamento paralelo”, Proposta de Tese para Qualificação ao Doutorado,
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Pará,
2004.
[4] J. P. Montgomery, “Scattering by na Infinite Periodic Array of Thin Conductors on a Dieletric Sheet”, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol AP -23, pp. 70-75, 1975.
[5] R. J. Maillox, J. F. Mcllenna, e N. P. Kernweis, “Microstrip Array Technology”, IEEE
Trans. Antennas Propagat., vol AP-29, pp. 25-37, 1981.
[6] S. Fan, P. R. Villeneuve, e J. D. Joannopoulos, “Channel drop tunneling through localized states”, Phys. Rev. Letters, vol. 80, no. 5, pp. 960-963, 1998.
[7] S. Fan, P. R. Villeneuve, e J. D. Joannopoulos, “Channel drop filters in photonic crystals”, Optics Express, vol. 3, no. 1, pp. 4-11, 1998.
[8] A. Taflove, e S. C. Hagness, Computational electrodynamics: the finite difference time
domain method, 2a Edição, Artech House, 2000.
[9] S. D. Gedney, “An anisotropic perfectly matched layer-absorbing medium for the truncation of FDTD lattices”. IEEE Trans. Antennas Propagat. 44, pp. 1631-1639, 1996.
[10] J. Rocha, “Cluster Beowulf, Aspectos de Projeto e Implementação”, Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal
do Pará, 2003.
[11] A. D. Bueno, “Introdução ao processamento paralelo e ao uso de clusters de workstations em sistemas gnu/linux parte I: filosofia”, Laboratório de Meios Porosos e
Propriedades Termofísicas,Universidade Federal de Santa Catarina, 2002.
[12] R. Samudrala, “Linux cluster howto”, www.ram.org/computing/linux/linux/cluster/, 2003.
[13] J. Araújo, “Análise de antenas em 2-D utilizando o método das diferenças finitas no domínio do tempo com processamento paralelo”, Tese de Mestrado, Programa de
CAPÍTULO 2: As Estruturas Periódicas e os Cristais Fotônicos
2.1) Introdução:A história da evolução humana sempre esteve marcada pelas descobertas de novos materiais e de técnicas de manipulação dos mesmos, para moldá-los de acordo com as necessidades do homem. Todas as vezes que um novo material era descoberto ou inventado, uma nova era se iniciava. Foi assim, por exemplo, na idade da pedra, quando o homem percebeu que a rocha era mais forte que a madeira e passou a talhá-la para construir armas úteis para proteger-se de seus inimigos e para caçar; e na idade dos metais, quando o bronze e as ligas metálicas passaram a ser usados, tanto na construção de armas quanto na confecção de ferramentas mais resistentes para o cultivo da terra. Durante o século XX, os materiais semicondutores, baseados na quebra da periodicidade da estrutura cristalina, revolucionaram o mundo contemporâneo com o transistor. Atualmente, materiais com características periódicas têm sido alvo de pesquisas.
O estudo dos cristais possibilitou a compreensão da constituição e das propriedades da matéria sólida. Em cristais perfeitos, a formação da estrutura atômica apresenta disposição periódica de átomos ou moléculas agrupados em rede. Usando essa idéia, pode-se projetar estruturas periódicas com características particulares para diversas utilizações. Dependendo das dimensões da estrutura é possível construir-se dispositivos para atenuar as ondas de choque de abalos sísmicos, isolar acusticamente ambientes e até guiar feixes de luz com perdas reduzidíssimas. Por isso, de forma similar ao estudo dos cristais, o estudo de estruturas periódicas tem evoluído bastante e se mostrado uma vasta teoria.
Durante as duas últimas décadas do século XX, o estudo de estruturas periódicas tem sido amplamente aplicado. Por exemplo, na área das telecomunicações, projetos de dispositivos como lentes de microondas, guias de onda (válvulas de ondas progressivas, filtros e guias de ondas de superfície), superfícies seletivas em freqüência, antenas de arranjo de fase integradas, arrays de microfita e outros [1-3], têm sido desenvolvidos sob a luz dessas teorias. Isto é feito combinando-se, artificialmente, materiais de diferentes propriedades constitutivas numa estrutura básica que se repete ao longo de todas as direções. Assim, é possível construir dispositivos para operarem desde a faixa de freqüência de microondas até a faixa do espectro óptico. Neste último caso, o controle das propriedades óticas dos materiais, possibilita a construção de dispositivos que impedem, em determinadas direções e para certas freqüências, a propagação eletromagnética.
Estruturas periódicas, para operarem na faixa óptica, podem ser feitas de materiais dielétricos ou metálicos [4]. Essas estruturas podem gerar bandas de freqüências proibidas. Quando fótons são lançados em um cristal deste tipo, seus modos decaem exponencialmente dentro da estrutura. Isso acontece devido ao número de onda se tornar complexo (caso em que os modos são evanescentes) e, com isso, a luz é fortemente atenuada em todas as direções (ou apenas algumas) do arranjo periódico [2]. Assim, analogamente aos cristais, estruturas macroscópicas podem ser projetadas para terem bandas proibidas (band gaps) de energia que impedem a propagação eletromagnética. Essas estruturas são denominadas como PBG (Photonic Band Gap).
2.2) Cristais Fotônicos: Classificação e Aplicações:
Uma estrutura periódica pode ter sua periodicidade em uma, duas ou três direções. Assim, pode ser classificada em unidimensional, quando suas características constitutivas variam em apenas uma direção, bidimensional, se tem periodicidade em duas direções, ou tridimensional, quando sua estrutura é periódica nas três direções [5] (Figuras 2.1, 2.2, 2.3).
(a) (b)
Figura 2.1: (a) Estrutura cilíndrica com periodicidade unidimensional; (b) Estrutura com periodicidade unidimensional.
Figura 2.2: Estruturas periódicas com periodicidade bidimensional.
Dentro desta classificação, os materiais PBG possuem aplicações para diversos fins. Estruturas unidimensionais são usadas para aumentar o ganho de antenas de circuito impresso [6,7], pela colocação, por exemplo, de um conjunto periódico de múltiplas camadas dielétricas em cima de uma antena. Pode-se conseguir este mesmo efeito usando-se estruturas bidimensionais [8]. Estruturas fotônicas bidimensionais, também, são usadas em optoeletrônica, para aumentar a eficiência de LED’s e lasers através do fenômeno da inibição da emissão espontânea [9]. Quanto às estruturas fotônicas tridimensionais, existe uma alta potencialidade no uso das mesmas em microestruturas ressonantes, atuando como uma cavidade do tipo Fabry-Perot, que reflete a radiação propagante em todas as direções para dentro de si própria.
Provocando-se imperfeições ou defeitos de maneira proposital na estrutura de um cristal fotônico, retirando-se, trocando-se, ou modificando-se, os elementos da rede e quebrando-se a periodicidade da estrutura em determinada região, é possível manter-se a propagação, no defeito, dos modos eletromagnéticos proibidos da estrutura. Por isso, os cristais fotônicos podem funcionar como guias ópticos ou como cavidades ressonantes, por exemplo, conduzindo o feixe de luz por determinado caminho ou confinando-o em determinada região da estrutura. Assim, os cristais fotônicos podem ser aplicados em diversos dispositivos práticos como: circuitos fotônicos, acopladores direcionais [10,11], cavidades do tipo Fabri-Perot, LED’s, antenas, filtros PBG e outros. Exemplos de cristais fotônicos alterados pela retirada, colocação ou modificação de elementos de sua rede cristalina são mostrados na Figuras 2.4, 2.5 e 2.6.
(a) (b)
Figura 2.4: (a) Formação de um guia planar com a retirada de uma fileira de elementos do cristal; (b) Formação de uma cavidade ressonante de Fabri-Perot após a retirada de um elemento.
(a) (b)
Figura 2.5: (a) Simulação de modos de propagação na cavidade ressonante de Fabri-Perot; (b) Acoplador direcional sintonizado (Channel-Drop Filter) formado por dois guias de onda e uma cavidade ressonante.
(a) (b)
Figura 2.6: (a) Guia de onda com curva acentuada de 90°; (b) Guias de onda se cruzando através de uma cavidade ressonante, sem haver interferência entre os sinais de cada guia.
2.3) Teoria Cristalográfica Básica:
A cristalografia é a ciência que classifica e descreve os cristais, em suas estruturas, suas formas e nas leis que presidem seu processo de formação. Utilizando-se os métodos do estudo cristalográfico é possível determinar de forma satisfatória as posições relativas de todos os átomos que constituem a molécula (estrutura molecular) e a posição relativa de todas as moléculas na célula unitária do cristal. Da primeira dependem as propriedades químicas do material e da segunda, fundamentalmente, as propriedades físicas.
Em 1912, o físico alemão Max von Laue, mostrou que um cristal podia servir como uma rede de difração tridimensional, “se o comprimento de onda de uma radiação incidente no mesmo fosse da ordem de grandeza da distância entre as partículas do sólido” [12]. Ele utilizou para isso os raios-X, que tem comprimento de onda nas dimensões do espaçamento
interatômico da matéria (cerca de 0,1nm), e percebeu que cada átomo do cristal atingido por eles absorvia parte da energia do mesmo e a retransmitia em todas as direções. As ondas emitidas por cada átomo somavam-se construtivamente (se em fase) ou destrutivamente (se fora de fase) e, assim, era possível observar-se emissões intensas de raios-X em determinadas direções, enquanto em outras não. A partir desses experimentos, Laue percebeu a natureza ondulatória eletromagnética dos raios-X e a natureza descontínua da matéria, concluindo com isso que todos os materiais são constituídos por átomos e/ou moléculas.
Depois, William Bragg tratou esse fenômeno como um processo de reflexão da onda incidente nas sucessivas camadas de partículas dentro do cristal [12]. Assim, feixes refletidos por camadas mais profundas necessitam percorrer um caminho maior e interferirem-se construtivamente com os raios refletidos por camadas mais externas, para chegarem ao detector. Pode-se concluir, com isso, que a distância maior percorrida pelo feixe mais penetrante deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda dos raios-X.
Portanto, considere-VHRFDPLQKR$%&LOXVWUDGRQD)LJXUD6H$%& ûHQWão, deve-se esperar uma interferência construtiva para os raios refletidos pela rede atômica. Ou
VHMDû n HPTXH é o comprimento da radiação. Assim, û d VHQ, é geometricamente
igual a:
n = 2d senθ ; n = 1, 2, …, (2.1)
que é a lei de Bragg.
θ θ θ θ C A B d = distância interplanar Raios-X incidentes Planos atômicos Raios-X difratados θ θ θ θ C A B d = distância interplanar Raios-X incidentes Planos atômicos Raios-X difratados
Figura 2.7: Onda refletindo nas várias camadas da matéria.
Essa equação serve de base para o estudo da estrutura cristalina por difração de raios-X. O que se faz é registrar em, por exemplo, uma película fotográfica, os ângulos nos quais os raios-X de comprimento de onda conhecido são refletidos por um cristal. De posse desses ângulos, torna-se fácil calcular as distâncias dos planos de átomos do cristal. Além disso, se
forem medidas as intensidades dos raios-X, então, pode-se deduzir através de um procedimento mais complexo, as posições reais dos átomos no sólido.
2.3.1) Redes:
Uma estrutura é considerada periódica quando os átomos, moléculas ou células que a constituem, estão dispostos regularmente no espaço. Basicamente, nessas estruturas pode-se caracterizar um arranjo denominado célula primária, que é a molécula básica de seu arranjo estrutural. Quando a célula primária é transladada em todas as direções, forma-se a célula unitária do dispositivo, que é a disposição geométrica espacial fundamental da estrutura do mesmo. Se da mesma forma, a célula unitária do material for trasladada em todas as direções, então, chegar-se-á a estrutura periódica. Como para a análise aqui desenvolvida o que interessará serão apenas os aspectos simétricos geométricos do arranjo, então, o padrão será descrito simplesmente pela estrutura periódica sem as células (base) das células unitárias, ou seja, em termos de um conjunto de pontos espaçados das mesmas distâncias existentes na estrutura, arranjados em linhas orientadas sob os mesmos ângulos, formando o que se chama rede. Quando essa rede é usada para a descrição da disposição das partículas num sólido ela é denominada rede cristalina. Um exemplo de rede cristalina formada por uma célula unitária (Figura 2.8) cúbica de corpo centrado, é mostrado na Figura 2.9 e a distância a é a constante de rede para este caso [13].
Célula prim ária
a Célula unitária a a a E strutura cristalina
Figura 2.8: Célula unitária obtida por transladação da célula primária e estrutura cristalina obtida por transladação da célula unitária.
a
a a R ede cristalina
Figura 2.9: Ilustração de uma rede cristalina quadrada obtida a partir da estrutura cristalina da Figura 2.8; a é a constante de rede neste caso.
Um detalhe importante a respeito das redes é que o mesmo tipo de rede pode servir para se fazer vários arranjos diferentes. Em 1848, Auguste Bravais mostrou que são possíveis apenas 14 tipos diferentes de redes, que podem ainda ser divididas em 7 sistemas cristalinos básicos [12] (Figura 2.10). a b c α γ β γ a b c α β β α γ a b c α β a γ b c γ a b c β α β γ a b α c a b c β γ α Triclínico α ≠ β ≠ γ ≠90º a ≠b ≠c Monoclínico α= β= 90º≠ γ a ≠b ≠c Tetragonal α= β= γ= 90º a = b ≠c Hexagonal α= β= 90º; γ= 120º a = b ≠c Rômbico α= β= γ= 90º a ≠b ≠c α= β= γ= 90º a = b = c Regular Romboédrico α= β= γ ≠90º a = b = c a b c α γ β γ a b c α β β α γ a b c α β a γ b c γ a b c β α β γ a b α c β γ a b α c a b c β γ α Triclínico α ≠ β ≠ γ ≠90º a ≠b ≠c Monoclínico α= β= 90º≠ γ a ≠b ≠c Tetragonal α= β= γ= 90º a = b ≠c Hexagonal α= β= 90º; γ= 120º a = b ≠c Rômbico α= β= γ= 90º a ≠b ≠c α= β= γ= 90º a = b = c Regular Romboédrico α= β= γ ≠90º a = b = c Figura 2.10: Os sete sistemas cristalográficos básicos.
Normalmente, os sólidos são estruturas não orientadas de policristais. No entanto, os monocristais, com exceção dos casos em que os limites do mesmo são determinados por defeitos na rede, têm uma estrutura orientada. De acordo com a ordenação desses monocristais pode-se classificar até 230 grupos de simetria, reduzíveis a 32 classes, que por sua vez, se subdividem nos sete sistemas de cristalização relativos à rede de Bravais [14]. 2.3.2) Zona de Brillouin:
Para se estudar as características de propagação dos cristais fotônicos é interessante definir-se a primeira zona de Brillouin. Ela é a célula primitiva de Wigner-Seitz (Figura 2.11),
uma região compreendida entre linhas de contorno, que são os planos de espalhamento do espaço real. Esta zona define a região no espaço dos vetores de onda que determina os modos de propagação possíveis, assim como, a célula unitária define toda a informação cristalográfica e estrutural. Os vetores fora desta zona são rebatidos por um vetor equivalente dentro dela. Os motivo disto são as condições de contorno periódicas usadas para tratar-se das propagações eletromagnéticas em cristais fotônicos ou outros problemas periódicos.
Figura 2.11: Exemplo de célula de Wigner-Seitz.
A largura efetiva da banda proibida é determinada pela análise das características de dispersão dos modos propagantes nos cristais fotônicos, na região da primeira zona de Brillouin, mais especificamente no contorno da zona irredutível de Brillouin, que correspondem justamente às direções principais da rede cristalina recíproca [1]. Para um maior aprofundamento na teoria dos cristais e da propagação eletromagnética em cristais fotônicos e estruturas periódicas sugerem-se as consultas à, respectivamente, [4,5,14].
Referências Bibliográficas
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Pós-graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Pará, pp. 1-17, 2001.
[2] P. A. dos S. Ramalho, “Utilização do método FDFD para a análise dos modos TM propagantes em estruturas periódicas 2-D”, Trabalho de Conclusão de Curso,
Departamento do Engenharia Elétrica da Computação, Universidade Federal do Pará,
pp. 1-15, 2003.
[3] J. P. Zhang at al, “Nanofabrication of 1-D photonic bandgap structures along a photonic wire”, IEEE Photon. Tech. Letters, vol. 8, no. 3, pp. 491-493, 1996.
[4] J. D. Joannopoulous, R.D. Meade, e J. N. Winn, Photonic crystals: molding the flow of
light, 1ª Edição, Princeton Univ. Press, 1995.
[5] S. G. Johnson, e J. D. Joannopoulos, “Introduction to photonic crystals: Bloch’s theorem, band diagrams, and gaps (but no defects)”, MIT, 2003.
[6] N.G. Alexopoulos, e D.R. Jackson, “Gain enhancement methods for printed circuit antennas”, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-33, pp. 976-987, 1985.
[7] H.Y. Yang, e N.G. Alexopoulos, “Gain enhancement methods for printed circuit antennas through multiple superstrates,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-35, pp. 860-863, 1987.
[8] H. Y. D. Yang, N.G. Alexopoulos, e E. Yablonovitch, “Photonic Band-Gap Materials for High-Gain Printed Circuit Antennas, “IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-45, no. 1, 1997.
[9] E. Yablonovitch, “Inhibited spontaneous emission in solid state physics and electronics,”
Phys. Rev. Letters, 58, pp. 2059-2062, 1987.
[10] S. Fan, P. R. Villeneuve, e J. D. Joannopoulos, “Channel drop tunneling through localized states”, Phys. Rev. Letters, vol. 80, no. 5, pp. 960-963, 1998.
[11] S. Fan, P. R. Villeneuve, e J. D. Joannopoulos, “Channel drop filters in photonic crystals”, Optics Express, vol. 3, no. 1, pp. 4-11, 1998.
[12] J. E. Brady, e G.E. Huminston, Química geral, vol. 1, 2ª Edição, LTC, pp. 284-290, 1986.
[13] R. B. M. Balbi, Fundamentos físicos e matemáticos dos materiais elétricos, 1ª Edição, Editora Universitária UFPA, pp. 130-133, 1998.
[14] J. F. S. de Almeida, “Análise fotônica em estruturas planares usando o método FD-TD com processamento paralelo”, Proposta de Tese para Qualificação ao Doutorado,
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Pará,
CAPÍTULO 3: Método FD-TD em Coordenadas Retangulares
3.1. Introdução:Em 1966, Kane S. Yee apresentou sua solução numérica das equações rotacionais de Maxwell para campos variantes no tempo [1], para analisar problemas de espalhamento eletromagnético em meios isotrópicos. O pesquisador aplicou a essas equações no domínio temporal, o método numérico das diferenças finitas. Ao fazer isso, Yee discretizou o domínio de análise do problema, substituindo as componentes derivativas parciais em relação ao espaço e ao tempo por suas aproximações finitas equivalentes, e transformou as leis de Faraday e Ampère em equações de diferenças algébricas mais simples de serem tratadas. Esse método ficou conhecido como o método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FD-TD). Ele permite o estudo da onda em todo o seu espectro de freqüências e em ambientes complexos, sendo baseado na aproximação de diferenças centradas para as componentes derivativas das equações diferenciais, o que permite se alcançar um erro de segunda ordem no tempo e no espaço [2].
O algoritmo inicial, no entanto, apresentava equívocos na definição da condição de estabilidade numérica do método [3] e limitações para a simulação de problemas abertos [4] (não haviam sido determinadas condições de truncamento da região de análise para problemas abertos; neste caso, as iterações simplesmente paravam ao chegar-se nos limites do domínio de análise, devidamente determinado pelo programador).
Na década de 60, porém, os métodos numéricos tornavam-se impraticáveis, por causa do custo computacional envolvido, representado pelos limites arquiteturais do hardware existente àquela época, que não permitiam o tratamento de valores numéricos com a precisão necessária e num tempo razoável de processamento. Era natural, então, que esses métodos não fossem tão apreciados.
A partir da década de 1970, com a evolução da informática, o surgimento dos supercomputadores massivos paralelos de Cray e a popularização de máquinas seqüenciais com grande poder de processamento, pôde-se implementar os métodos numéricos, em geral, de forma mais econômica que os métodos analíticos e experimentais. Com isso e a melhoria do algoritmo de Yee, realizado por Taflove et al [5], o método FD-TD passou a ser usado na solução de problemas em áreas como de projetos de antenas, caracterização de comportamento de placas de circuitos e componentes eletrônicos, na medicina, em aplicações
militares e outras [2].
Dentre as possíveis técnicas de solução de problemas de eletromagnetismo, pode-se destacar as técnicas numéricas pela sua praticidade, relativa simplicidade e excelente aproximação dos resultados reais.
3.2. Aproximação Algébrica da Derivada – O Príncipio do Método das Diferenças Finitas:
Basicamente, o método das diferenças finitas converte equações diferenciais em equações de diferenças finitas mais simples e passíveis de tratamentos computacionais, substituindo os termos derivativos de uma dada EDP (Equação Diferencial Parcial) por expressões algébricas equivalentes. Para a implementação deste método, portanto, deve-se estimar numericamente as derivadas das funções.
De uma forma intuitiva, uma função genérica f(x) pode ter sua derivada em P aproximada, ou pela inclinação da reta AP, ou pela inclinação da reta PB, ou pela inclinação da reta AB [6], Figura 3.1(a), (b) e (c), respectivamente.
f(x0–∆x) f(x0) x0–∆x x0 f(x) x A P (a) f(x0) f(x0+∆x) x0 x0+∆x f(x) x P B (b) f(x0) f(x0+∆x) x0 x0+∆x f(x) x P B f(x0–∆x) x0–∆x A (c)
Figura 3.1: Definição intuitiva da derivada de 1ª ordem. Curvas para as deduções das fórmulas das derivadas (a) atrasada, (b) adiantada e (c) central.
A fórmula da derivada de 1ª ordem de f(x), pela aproximação da diferença atrasada (Figura 3.1a), é: x x x f x f x f ∆ ∆ − − ≅ ′( 0) ( 0) ( 0 ) (3.1)
Pela aproximação da diferença adiantada (Figura 3.1b), a fórmula da 1ª derivada de
f(x) é: x x f x x f x f ∆ − ∆ + ≅ ′( ) ( 0 ) ( 0) 0 (3.2)
E, pela aproximação da diferença centrada (Figura 3.1c), é: x x x f x x f x f ∆ ∆ − − ∆ + ≅ ′ 2 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 (3.3)
Essas fórmulas podem ser deduzidas de forma mais geral através da série infinita de Taylor. Sendo assim, da representação em série de Taylor da função f(xo – ∆x):
! 3 1 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( ) (x0 −∆x = f x0 −∆x⋅ f′ x0 +∆x2⋅ f ′′ x0 ⋅ −∆x3⋅ f ′′′ x0 ⋅ f (3.4a)
pode-se chegar a equação da diferença atrasada a partir da truncagem da mesma até o termo de segunda ordem em relação a ∆x:
( )
2 0 0 0 ) ( ) ( ) (x x f x x f x O x f −∆ ≅ −∆ ⋅ ′ + ∆de onde se tira que:
( )
x O x x x f x f x f + ∆ ∆ ∆ − − ≅ ′( ) ( 0) ( 0 ) 0 , (3.4b)resultando em uma aproximação de primeira ordem para f′(x0).
O mesmo procedimento pode ser realizado com a função f(xo + ∆x) para obter-se a
equação da diferença adiantada (3.5):
! 3 1 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 0 0 2 0 0 0 +∆x = f x +∆x⋅ f′ x +∆x ⋅ f ′′ x ⋅ +∆x ⋅ f ′′′ x ⋅ x f (3.5a)
( )
2 0 0 0 ) ( ) ( ) (x x f x x f x O x f +∆ ≅ +∆ ⋅ ′ + ∆( )
x O x x f x x f x f + ∆ ∆ − ∆ + ≅ ′( 0) ( 0 ) ( 0) , (3.5b)resultando também em um erro de primeira ordem para f′(x0).
A fórmula da derivada centrada pode ser alcançada pela subtração de (3.4a) em (3.5a):
+ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ + ′ ⋅ ∆ ⋅ = ∆ − − ∆ + ! 3 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 0 3 0 0 0 x f x x x f x x f x x f
e pela truncagem da seqüência resultante no termo de terceira ordem, subseqüente a 1ª derivada de f(x = xo):
( )
3 0 0 0 ) ( ) 2 ( ) (x x f x x x f x O x f +∆ − −∆ ≅ ⋅∆ ⋅ ′ + ∆( )
2 0 0 0 2 ) ( ) ( ) ( O x x x x f x x f x f + ∆ ∆ ⋅ ∆ − − ∆ + ≅ ′ (3.6)Nesse caso, obtém-se um erro de 2ª ordem. Portanto, quanto mais termos da série infinita forem tomados, melhor será a aproximação. Como os sistemas computacionais têm limites de armazenamento em memória e de tamanho do registro da unidade aritmética, o resultado exato, que poderia ser alcançado com a utilização de toda a série infinita na representação da derivada, não pode, a princípio, ser conseguido. Ou seja, a série sempre deverá ser truncada em algum termo para conseguir tratar-se numericamente a equação, o que poderá acarretar num erro implícito em todas as soluções por diferenças finitas [6]. Portanto, pelas deduções através da série de Taylor, percebe-se que a formulação por derivada centrada ocasiona um erro menor se comparada às deduções por derivada atrasada e adiantada. Por isso, a aproximação por derivada centrada é escolhida para a implementação do método na solução das equações de Maxwell.
Essa aproximação pode ser ajustada para o caso do espaçamento entre os valores final e inicial de f(x) em torno de sua derivada em P, usados na aproximação por derivada centrada, serem separados por uma distância de apenas ∆x e não 2.∆x (Figura 3.2).
f(x0) f(x0+∆x/2) x0 x0+∆x/2 f(x) x P B f(x0–∆x/2) x0–∆x/2 A
Figura 3.2: Curva para outra forma de dedução intuitiva da aproximação centrada da derivada. Nestas condições, a fórmula da derivada em diferenças finitas por aproximação centrada será:
( )
2 0 0 0 ) 2 ( ) 2 ( ) ( O x x x x f x x f x f + ∆ ∆ ∆ − − ∆ + = ′ (3.7)3.3. O Método FD-TD – Aplicação das Diferenças Finitas às Equações de Maxwell: 3.3.1. As Equações de Maxwell:
Para a aplicação da técnica de Yee, as equações de Maxwell utilizadas são as equações rotacionais para campos variantes no tempo. Essas equações são suficientes para caracterizar o deslocamento espacial da onda eletromagnética provocado pela sua variação temporal. Apesar da técnica FD-TD já ter sido adaptada para meios anisotrópicos, o algoritmo original de Yee considerou a propagação em meios isotrópicos (σ, ε e µ são escalares, ou seja, não variam com a direção) onde as equações de Maxwell são escritas da seguinte forma:
• Lei de Faraday: t B E ∂ ∂ − = × ∇ (3.8a) • Lei de Ampère: J t D H + ∂ ∂ = × ∇ (3.8b)
onde B=µH e D=εE são as relações constitutivas do meio e J =σE.
Desta forma, pode-se escrever explicitamente o operador ∇ (nabla) e as componentes direcionais de todos os vetores das equações (3.8), mostrando-se o conjunto de seis equações escalares que elas representam. Para tal, seja o sistema de coordenadas retangulares. Então, das equações (3.8) obtêm-se:
t H z E y Ez y x ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ µ ⇒ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ y E z E t Hx y z µ 1 (3.9a) t H x E z Ex z y ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ µ ⇒ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ z E x E t Hy z x µ 1 (3.9b) t H y E x Ey x z ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ µ ⇒ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ x E y E t Hz x y µ 1 (3.9c) x x y z E t E z H y H σ ε + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ⇒ x z y x E z H y H t E ε σ ε − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 (3.9d)
y y z x E t E x H z H σ ε + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ⇒ y z x y E x H z H t E ε σ ε − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 (3.9e) z z x y E t E y H x H σ ε + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ⇒ z x y z E y H x H t E ε σ ε − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 (3.9f) respectivamente. 3.3.2. O Algoritmo de Yee:
Considere um espaço tridimensional contínuo representado em coordenadas retangulares pelas direções x, y, z. O primeiro passo do método consiste na discretização do espaço de análise do problema. Para isso, representam-se as variáveis x, y e z por i∆x, j∆y, k∆z. Uma função do espaço e do tempo f(x,y,z,t), nesta região, será representada por Fn(i,j,k),
onde o tempo t é substituído por n∆t. Os índices i, j, k e n assumem valores inteiros e ∆x, ∆y,
∆z, ∆t valores reais, que representa a discretização do espaço e do tempo. Quanto menores
forem os incrementos, ou seja, mais refinada for a malha, melhor será a aproximação do espaço contínuo. O espaço discretizado é mostrado na Figura 3.3.
z y x ∆z ∆y ∆x y x z ∆y ∆x (i, j, k) (a) (b)
Figura 3.3: Discretização em coordenadas retangulares do espaço de análise: (a) Visão em perspectiva da malha 3D; (b) Visão superior da malha 3D.
Se em um desses paralelepípedos forem representadas as 6 componentes dos campos elétrico e magnético das equações de Maxwell, nas metades de suas arestas e nos centros de suas faces, respectivamente, formar-se-á um volume elementar com uma configuração básica conhecida como célula de Yee (Figura 3.4). Essa célula fornece uma visão melhor de como aproximar as equações diferenciais de Maxwell por equações de diferenças finitas.
∆y ∆x ∆z x y z (i,j,k) Ez Ey Ex Hx Hz Hy Tempo (n) (n+1/2) (n+1) E H E (n–1/2) H
Figura 3.4: Célula de Yee com componentes elétricas no instante n.
Deve-se notar que as componentes elétricas e magnéticas, além de serem perpendiculares entre si, afastam-se de meio incremento espacial e de meio incremento temporal. Isto é feito por causa da dependência entre os campos elétrico e magnético, que não devem ser calculados ao mesmo tempo. Portanto, numa mesma iteração, um é calculado antes para atualizar o outro em seguida, caracterizando-se numericamente o fenômeno da propagação da onda eletromagnética.
Na configuração da célula da Figura 3.4, pode-se estabelecer que esta é a célula (i,j,k) e que todas as componentes aparecendo lhe pertencem. A aplicação do algoritmo pode ser mais bem visualizada se forem mostradas mais algumas componentes de campo pertencentes às células vizinhas, que serão utilizadas na aproximação por diferenças finitas das derivadas que aparecem nas equações de Maxwell (Figura 3.5 e Figura 3.6).
x y z (i,j,k) Ez0 Ey0 Ex0 Hx Hz Hy Ex1 Ey1 (i,j,k+1) Ex1 Ez1 (i,j+1,k) (i+1,j,k) Ez 1 Ey1 ∆y ∆x ∆z
Figura 3.5: Configuração de célula de Yee suficiente para mostrar a aproximação por FD-TD da Lei de Faraday. As componentes com índice 0 e 1 são equivalentes aos valores iniciais e finais, respectivamente, usados no cálculo intuitivo da derivada centrada, feito pela Equação (3.7) deduzida a partir da Figura 3.2.
x y z (i-1,j, k) Hy 0 Hz0 (i,j-1,k) Hx 0 Hz0 Hx0 Hy 0 (i,j,k+1) (i,j,k) Ez0 Ey0 Ex 0 Hx 1 Hz 1 Hy 1 Ex1 Ez1 (i,j+1,k) Ex1 Ey1 (i,j,k+1) (i+1,j,k) Ez 1 Ey 1 ∆y ∆x ∆z
Figura 3.6: Visão 3D do espaço discreto segundo Yee, para mostrar as aproximações por FD-TD das equações rotacionais de Maxwell.
Aplicando-se as considerações acima, levando-se em conta a equação (3.7) e que não existem cargas livres em movimento na região de análise (σ =0), as equações (3.9) podem ser reescritas da seguinte forma:
∆ − − ∆ − ∆ + = − + + + + + + + + + + + y E E z E E t H H n k j i z n k j i z n k j i y n k j i y n k j i x n k j i x ) 2 1 , , ( ) 2 1 , 1 , ( ) , 2 1 , ( ) 1 , 2 1 , ( 2 1 ) 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ) 2 1 , 2 1 , ( µ (3.10a) ∆ − − ∆ − ∆ + = −+ + + + + + + + + + + z E E x E E t H H n k j i x n k j i x n k j i z n k j i z n k j i y n k j i y ) , , 2 1 ( ) 1 , , 2 1 ( ) 2 1 , , ( ) 2 1 , , 1 ( 2 1 ) 2 1 , , 2 1 ( 2 1 ) 2 1 , , 2 1 ( µ (3.10b)
∆ − − ∆ − ∆ + = −+ + + + + + + + + + + x E E y E E t H H n k j i y n k j i y n k j i x n k j i x n k j i z n k j i z ) , 2 1 , ( ) , 2 1 , 1 ( ) , , 2 1 ( ) , 1 , 2 1 ( 2 1 ) , 2 1 , 2 1 ( 2 1 ) , 2 1 , 2 1 ( µ (3.10c) ∆ − − ∆ − ∆ + = + − + + + + + − + + + + + + + z H H y H H t E E n k j i y n k j i y n k j i z n k j i z n k j i x n k j i x 2 1 ) 2 1 , , 2 1 ( 2 1 ) 2 1 , , 2 1 ( 2 1 ) , 2 1 , 2 1 ( 2 1 ) , 2 1 , 2 1 ( ) , , 2 1 ( 1 ) , , 2 1 ( ε (3.10d) ∆ − − ∆ − ∆ + = + + − + + + + − + + + + + + + x H H z H H t E E n k j i z n k j i z n k j i x n k j i x n k j i y n k j i y 2 1 ) , 2 1 , 2 1 ( 2 1 ) , 2 1 , 2 1 ( 2 1 ) 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ) 2 1 , 2 1 , ( ) , 2 1 , ( 1 ) , 2 1 , ( ε (3.10e) ∆ − − ∆ − ∆ + = + + − + + + + + − + + + + + + y H H x H H t E E n k j i x n k j i x n k j i y n k j i y n k j i z n k j i z 2 1 ) 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ) 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ) 2 1 , , 2 1 ( 2 1 ) 2 1 , , 2 1 ( ) 2 1 , , ( 1 ) 2 1 , , ( ε (3.10f) Analisando-se a figura 3.6, é possível definir-se dois tipos de células de Yee, separadas por metade dos incrementos no tempo e no espaço. Uma é denominada célula primária e já foi comentada (Figura 3.4) e a outra possui as componentes de campo magnético nas metades de suas arestas e as componentes de campo elétrico nos centros de suas faces, na disposição mostrada na Figura 3.7, e é denominada célula secundária de Yee.
x y z (i,j,k) Ez Ey Ex Hx Hz Hy (i,j+1/2,k) (i,j,k+1/2) (i+1/2,j,k)
A primeira facilita o cálculo do rotacional do campo elétrico no instante n, o que gera as equações de atualização temporal das componentes magnéticas Hn+1/2 (3.10a-c). A segunda é muito útil para o cálculo do rotacional do campo magnético no instante n+1/2, gerando as equações de atualização temporal das componentes elétricas En+1 (3.10d-f).
No desenvolvimento do método FD-TD, porém, as posições físicas dos campos já estão inerentemente vinculadas pela aproximação da derivada centrada. Assim, não há necessidade de se explicitar, nas equações de atualização das componentes de campo da região de análise, índices fracionários para definir a célula a qual pertencem [7]. Por isso, a componente Ex(i+1/2,j,k) será definida como Ex(i,j,k), pois pertence à célula (i,j,k), assim como, a componente Ex(i+3/2,j+1,k+1) será definida como Ex(i+1,j+1,k+1), porque pertence à célula
(i+1,j+1,k+1), e assim por diante. Como, em códigos baseados em FD-TD, os índices dos
vetores de armazenamento das componentes dos campos são inteiros, isso simplifica a implementação computacional, pois não há a necessidade de se definir as coordenadas espaciais das componentes de campo com valores fracionários. Portanto, as equações (3.10) poderão ser reescritas como:
∆ − − ∆ − ∆ + = − + + + y E E z E E t H H n k j i z n k j i z n k j i y n k j i y n k j i x n k j i x ) , , ( ) , 1 , ( ) , , ( ) 1 , , ( 2 1 ) , , ( 2 1 ) , , ( µ (3.11a) ∆ − − ∆ − ∆ + = − + + + z E E x E E t H H n k j i x n k j i x n k j i z n k j i z n k j i y n k j i y ) , , ( ) 1 , , ( ) , , ( ) , , 1 ( 2 1 ) , , ( 2 1 ) , , ( µ (3.11b) ∆ − − ∆ − ∆ + = − + + + x E E y E E t H H n k j i y n k j i y n k j i x n k j i x n k j i z n k j i z ) , , ( ) , , 1 ( ) , , ( ) , 1 , ( 2 1 ) , , ( 2 1 ) , , ( µ (3.11c) ∆ − − ∆ − ∆ + = + + − + + − + z H H y H H t E E n k j i y n k j i y n k j i z n k j i z n k j i x n k j i x 2 1 ) 1 , , ( 2 1 ) , , ( 2 1 ) , 1 , ( 2 1 ) , , ( ) , , ( 1 ) , , ( ε (3.11d) ∆ − − ∆ − ∆ + = + + − + +− + x H H z H H t E E n k j i z n k j i z n k j i x n k j i x n k j i y n k j i y 2 1 ) , , 1 ( 2 1 ) , , ( 2 1 ) 1 , , ( 2 1 ) , , ( ) , , ( 1 ) , , ( ε (3.11e) ∆ − − ∆ − ∆ + = + +− + + − + y H H x H H t E E n k j i x n k j i x n k j i y n k j i y n k j i z n k j i z 2 1 ) , 1 , ( 2 1 ) , , ( 2 1 ) , , 1 ( 2 1 ) , , ( ) , , ( 1 ) , , ( ε (3.11f) respectivamente.
São, as equações (3.11), usadas na implementação computacional da simulação da propagação eletromagnética, dentro da região de análise.
3.3.3. Precisão e Estabilidade do Método:
Para uma solução confiável e útil, qualquer método numérico precisa ter precisão na medida certa e dentro de condições de estabilidade bem definidas. A precisão significa o quanto mais perto da solução analítica (se existir) a solução numérica se encontra, e a estabilidade, se o problema converge para uma solução finita com o passar do tempo. Dependendo do nível da aproximação e de como ela foi feita, o algoritmo poderá ou não ser preciso e estável; isto depende diretamente do nível de erro do mesmo.
Os erros de um algoritmo numérico são basicamente decorrentes de três fontes:
9Erros de Modelagem
São causados pelas diversas suposições e aproximações feitas no modelamento do problema, para simplificar a análise do mesmo e, até mesmo em alguns casos, torná-la possível (por exemplo, um sistema não-linear ser modelado por uma equação diferencial linear).
9Erros de truncagem
Provocados pela truncagem da série infinita de Taylor, para deduzir-se as aproximações algébricas da derivada.
9Erros de arredondamento (roundoff)
Ocorrem por causa da aproximação inevitável feita pelo sistema computacional em números de mantissa maior que o limite de tamanho dos registradores de sua unidade de lógica aritmética, influenciando na precisão dos cálculos envolvendo números fracionários.
Os erros de modelagem podem ser reduzidos se as aproximações do modelo forem melhoradas ou, se possível, evitadas. Os erros de truncagem podem ser diminuídos se a malha discreta for mais refinada – se os incrementos de espaço e de tempo forem reduzidos –, ou usando-se mais termos da série de Taylor na aproximação algébrica da derivada. Já os erros de arredondamento (roundoff), são minimizados pelo uso de dupla precisão aritmética, ou evitados se houverem apenas operações com inteiros aritméticos no código (algo muito trabalhoso, que tornaria o código mais pesado e extenso).
