Métodos da Física Teórica I (Notas de Aula)

Universidade Federal do Pará

Instituto de Ciências Exatas e Naturais

Colegiado do Curso de Licenciatura em Física

Modalidade a Distância

Métodos da Física Teórica I

(Notas de Aula)

Tópico 4

8

Equações Diferenciais

Uma equação é definida como equação diferencial, quando a mesma é formada por operadores diferenciais, que relacionam variáveis dependentes (variável que depende de outra variável) e

inde-pendentes (variável que não depende de outra variável ).

As equações abaixo são exemplos de equações diferenciais com classificação de variáveis depen-dentes e independepen-dentes. 1. d 2_y dx2 + x 2dy dx = 0  y → vari´avel dependente x → vari´avel independente 2. d 5_x dt5 + 4 dx4 dt4 + 2 = cos t  x → vari´avel dependente t → vari´avel independente 3. ∂v ∂s + ∂v ∂t = v  v → vari´avel dependente s, t → vari´aveis independentes 4. ∂Ψ ∂x + ∂Ψ ∂y + ∂Ψ ∂z − kΨ = 0  Ψ → vari´avel dependente x, y, z → vari´aveis independentes

8.1 Definições

8.1.1 Ordem de uma Equação Diferencial

1. ordem 2 ↓ d2_y dx2 + xy = 0 =⇒ Equação Diferencial de 2 a _Ordem 2. ordem 1 ↓ dv dt − F m = 0 =⇒ Equação Diferencial de 1 a _Ordem 3. ordem 5 ↓ d5_z dy5 − 3 dz4 dy4 − z dz dy = y

2 _{=⇒ Equação Diferencial de 5}a _Ordem

8.1.2 Equação diferencial Ordinária

Equação diferencial que envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma variável independente é chamada de equação diferencial ordinária.

1. dy dx − xy = 0 2. dz ds − z dz ds + 7 = cos z

8.1.3 Equação Diferencial Parcial

Equações diferenciais que envolvem derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a mais de uma variável independente são definidas como equações diferencias parciais.

1. ∂ 2_Ψ ∂x2 + ∂2_Ψ ∂y2 + ∂2_Ψ ∂z2 − k 2_{Ψ = 0} 2. ∂u ∂x + ∂v ∂y = 0

8.1.4 Equação Diferencial Linear

Uma equação diferencial é linear se:

ii. na equação não figuram produtos entre a variável dependente e suas derivadas. 1. d 4_y dx4 + x 2d3y dx3 + x 3dy dx = xe x 

→ Equaç. Diferen. Linear

2. d 2_y dx2 + 5  dy dx 2 + 6y = 0 3. ydy dx = x           

→ Equaç. Diferen. Não-Linear

8.1.5 Solução de uma Equação Diferencial

Seja uma equação diferencial ordinária de n−ésima ordem

F (x, y, y′′, ..., yn) = 01 (8.1) então

i. A função f(x, y, c1, c2, ..., cn) = 0 ou y = y (x, y, c1, c2, ..., cn) , onde c1, c2, ..., cn são constantes

arbitrárias, é denominada uma solução geral de F .

ii. Atribuindo-se os valores particulares a uma ou mais das n constantes arbitrárias da solução

geral, teremos uma solução particular de F .

iii. Toda solução que não pode ser obtida da solução geral, por meio dos valores particulares

atribuídos às constantes, é denominada solução singular.

Exemplo 8.1

1. y = C1e2x+ C2xe2x+ C3x2e2x é uma solução geral da equação y′′′− 6y′′− 8y = 0.

2. y = senx−cosx, é uma solução particular da equação y′′_{+ y = 0}

3. y = a, é uma solução singular da equação (y′₎2_{+ y}2 _{= a}2_{, uma vez que ela não pode ser obtida}

da solução geral y = sen(x + c).

1_y′′₌ d2y dx2

8.1.6 Condições Iniciais ou Valor Inicial

Definimos como condições iniciais quando se conhece a função e suas derivadas em algum ponto do domínio da função solução. A quantidade de condições iniciais equivale à ordem da equação.

Exemplo 8.2

y′′_{+ 4y = 0}



y (0) = 0

y′_{(0) = 1} =⇒ Condições Iniciais

8.2 Equação Diferencial de Primeira Ordem

A forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem de uma função y(x) é: dy dx = y ′ _{= f (x, y) (8.2)} ou na forma M (x, y) dx + N (x, y)dy = 0 (8.3) onde f (x, y) = −M(x, y)_{N(x, y)}

8.2.1 Classificação

Algumas equações diferenciais de primeira ordem são classificadas como:

Equação Diferencial            Exata Separável Linear de Bernoulli Homogênea (8.4)

8.2.2 Equação Diferencial Exata

A equação diferencial da forma

M (x, y) dx + N (x, y)dy = 0 (8.5) é exata se, e somente se, for verificado que

∂M (x, y) ∂y = ∂N (x, y) ∂x (8.6) Exemplo 8.3 A equação diferencial 3x2ydx +y + x3dy = 0

é exata, devido a condição (8.6) ∂ (3x2_y) ∂y = 3x 2 ∂(y + x3₎ ∂x = 3x 2

8.2.3 Equação Diferencial Separável

A equação diferencial do tipo

F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 (8.7) é uma equação diferencial separável, porque está na forma

F (x) f (x)dx + g(y) G(y)dy = 0 (8.8) ou M (x, y) dx + N (x, y)dy = 0 (8.9) onde M (x, y) = F (x) f(x) e N (x, y) = g(y) G(y) (8.10) logo a equação (8.9) também será uma equação diiferencial exata, caso

∂M (x, y) ∂y = ∂N (x, y) ∂x (8.11) Exemplo 8.4 A equação xy2_{dx − x}2y2dy = 0 é separável, devido a mesma poder ficar na forma

1

xdx − dy = 0 após ser dividida por x2_y2_.

8.2.4 Equação Diferencial Linear

Uma equação é diferencial linear quando a mesma pode ser escrita na forma dy dx + P (x)y = Q(x) (8.12) Exemplo 8.5 y′_{− (senx) y = e}x dy dx + (x − e x_{) y = 0}    

Equaç. Dif. Lineares

8.2.5 Equação Diferencial Bernoulli

Uma equação diferencial de Bernoulli é uma equação da forma

y′+ P (x)y = Q(x)yn (8.13) onde n é um número real. Quando n = 0 ou 1,a equação de Bernoulli reduz-se a uma equação diferencial linear. Exemplo 8.6 y′ ₋y x = − y2 x Equação de Bernoulli

8.2.6 Equação Diferencial Homogênea

Uma equação diferencial da forma

dy dx = y

′ _{= f (x, y) (8.14)}

é homogenea se

f (tx, ty) = f (x, y) (8.15) para qualquer número real t.

Exemplo 8.7 y′ ₌ y + x x y′ ₌ ty + tx tx = t t (y + x) x y′ ₌ y + x x Equaç. Homogênea

8.2.7 Soluções das Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Para cada tipo de equação diferencial de primeira ordem está associado um método de solução.

8.2.8 Equação Diferencial Separável

F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 Solução da Equação _ F (x) f (x)dx +  _g(y) G(y)dy = C (8.16) onde C é uma constante arbitrária.

8.2.9 Equação Diferencial Exata

M (x, y) dx + N (x, y)dy = 0 onde ∂M (x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x Solução da Equação _ M∂x +   N − ∂ ∂y  M ∂x  dy = C (8.17) onde C é uma constante arbitrária.

8.2.10 Equação Diferencial Linear

dy dx + P (x)y = Q(x) Solução da Equação yeP dx=  QeP dxdx + C (8.18) onde C é uma constante arbitrária.

8.2.11 Equação de Bernoulli

y′+ P (x)y = Q(x)yn Solução da Equação ve(1−n)P dx_{= (1 − n)}  Qe(1−n)P dxdx + C (8.19) onde v = y1−n (8.20)

sendo que para n = 1,a solução será

ln y = 

8.2.12 Equação Diferencial Homogênea

dy dx = f(x, y) Solução da Equação ln x =  _dv f (v) − v (8.22) onde v = y/x (8.23)

sendo que para f(v) = v a solução será

y = Cx (8.24)

onde C é uma constante arbitrária.

8.2.13 Aplicações Físicas

1. Lançamento Vertical para Cima

Um corpo de massa m que se afasta do solo com velocidade v, a partir de uma altura y0 com

velocidade inicial v0. m y0 v mg y x ou dv dt = −g dy dt = −gt − v0              Equaç. Diferenciais (8.25) y(t) = −1₂gt2 + v0t + y0 =⇒ Solução (8.26)

2. Resistência do Ar Proporcional à Velocidade

Movimento vertical de um corpo de massa m, próximo à superfície da terra, sujeito a duas forças: gravitacional (FG) e resistência do ar(FR) .

m FG FR y x FG− FR= ma mdv dt = mg − kv dv dt + k mv − g = 0 =⇒ Equação Diferencial (8.27) v(t) = mg k  1 − e−mkt  =⇒ Solução (8.28) 3. Circuito RC Série

Circuito formado por um resistor R em série com um Capacitor C e uma fonte de tensão contínua V, que gera uma corrente I, associada a uma carga total Q.

dQ dt + 1 RCQ = V R =⇒ Equaç. Diferencial (8.29) Q(t) = CV _{1 − e}−t/RC _=⇒ Solução (8.30) ou em função da corrente I dI dt + 1 RCI = 0 =⇒ Equaç. Diferencial (8.31) I(t) = V Re −t/RC _{=⇒ Solução (8.32)}

4. Taxa de Decaimento Radioativo dN

dt = −kN =⇒ Equaç. Diferencial (8.33) N(t) = N0e−k(t−t0) =⇒ Solução (8.34)

5. Taxa de Resfriamento dT

dt = k(A − T ) =⇒ Equaç. Diferencial (8.35) T (t) = T0



8.3 Equação Diferencial de Ordem Superior

Seja a equação diferencial ordinária de ordem n a0(x) dn_y dxn + a1(x) dn−1_y dxn−1 + ... + an−1(x) dy dx + an(x)y = b(x) (8.37) onde a0(x) = 0, então: se    b(x) = 0 _{=⇒ Equação Homogênea} b(x) = 0 =⇒ Equação Não-Homogênea (8.38)

A solução geral para a equação (8.37) é composta de uma solução particular (yp) mais a solução da

equação homogênea (yh). Porém, nem sempre isso é possivel (conforme veremos mais adiante), nesse

caso, utiliza-se um método avançado de solução por meio de séries infinitas (Método de Frobenius).

8.3.1 Soluções Linearmente Dependente (LD) e Linearmente

Indepen-dente (LI)

Seja a combinação linear

C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0 (8.39)

Se existe pelo menos uma constante Ci = 0 da combinação formada pela equação (8.39), então o

conjunto de funções {f1(x), f2(x), ..., fn(x)} é linearmente dependente no domínio a < x < b.

Caso contrário, se C1 = C2 = ... = Cn= 0, então o conjunto de funções {f1(x), f2(x), ..., fn(x)} é

linearmente independente no domínio a < x < b.

8.3.2 Wronskiano

Seja as funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) onde cada uma possui derivadas, pelo menos até a ordem

(n − 1) , o determinante W (f1, f2, .., fn) = f1(x) f2(x) ... fn(x) f′ 1(x) f2′(x) ... fn′(x) ... ... ... ... f1n−1(x) f2n−1(x) ... fnn−1(x) (8.40)

é definido como o Wronskiano das funções f1(x), f2(x), ..., fn(x).

Um modo de verificar se o conjunto de soluções {f1(x), f2(x), ..., fn(x)} são L.I. ou L.D. é calcular

o Wronskiano.

Se o Wronskiano das soluções {f1(x), f2(x), ..., fn(x)} for nulo, essas soluções são L.D., caso

Considerando a equação diferencial linear homogênea a0(x) dn_y dxn + a1(x) dn−1_y dxn−1 + ... + an−1(x) dy dx + an(x)y = 0 (8.41) então para que

y(x) = C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) (8.42)

seja solução da equação (8.41), terá que ser sempre linearmente independente.

8.3.3 Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes

A equação diferencial homogênea com coeficientes constantes é

a0 dn_y dxn + a1 dn−1_y dxn−1 + ... + an−1 dy dx + any = 0 (8.43) onde a0, a1, ..., an são constantes reais.

8.3.4 Soluções das Equações Diferenciais com Coeficiente Constantes

Considerando a função exponencial

y(x) = eλx _(8.44)

e substituindo na equação (8.43), teremos

a0λneλx+ a1λn−1eλx+ ... + an−1λeλx+ aneλx = 0

eλxa0λn+ a1λn−1+ ... + an−1λ + an= 0

como eλx _{= 0, então}

a0λn+ a1λn−1+ ... + an−1λ + an = 0 (8.45)

A equação acima é chamada de equação característica. Trata-se de um polinômio de grau n que, consequentemente, possui n raizes.

Logo, a equação (8.45) possui n soluções que se dividem em três casos, conforme a natureza de λ.

λ =   

Raizes reais e distintas Raizes reais e iguais Raizes complexas

8.4 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Homogênea

com Coeficientes Constantes

Considerando a equação (8.43) com n = 2 d2_y dx2 + a1 dy dx + a0y = 0 (8.46) e substituindo por y(x) = eλx teremos λ2+ a1λ + a0 = 0 (8.47)

8.4.1 Raizes Reais e Distintas (λ

₁

e λ

₂

)

Duas soluções linearmente independentes são eλ1x e eλ2x, e a solução geral será

y(x) = C1eλ1x+ C2eλ2x (8.48)

onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais (condições de contorno).

Obs.

Quando λ1 = −λ2, a solução 8.48 pode ser reescrita como

y(x) = k1cosh(λ1x) + k2 Senh (λ2x) (8.49)

onde k1 e k2 são constantes arbitrárias.

8.4.2 Raizes Reais e Iguais (λ

1

= λ

2

)

Duas soluções linearmente independentes eλ1x e xeλ1x , e a solução geral será

y(x) = C1eλ1x+ C2xeλ2x (8.50)

8.4.3 Raizes Complexas (λ

1

= a + ib e λ

2

= a − ib)

Duas soluções linearmente independentes são e(a+ib) _{e e}(a−ib)_{, e a solução geral complexa é}

y(x) = C1e(a+ib)x+ C2e(a−ib)x, a, b ∈ R (8.51)

ou equivalente

y(x) = D1eaxcos(bx) + D2eaxsen (bx) (8.52)

8.5 Souções das Equações Diferenciais por meio de Série de

Potência

8.5.1 Série

Conjunto de elementos arrumados numa certa ordem.

8.5.2 Série Numérica

Série cujo os elementos são números:

Uma série numérica é representada por:

{an}n=n_n=nf₀ (8.53)

onde

an → Elementos da Série (podem ser funções de n)

n → Índice da Série (no _inteiro)

Obs. A forma explícita de an é chamada Lei de Formação da Série.

Exemplo 8.8 1.

{n}n=7n=1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

onde an= n é lei de formação da série.

2. ₁

n22n=5_n=1 = 1, 4, 9, 16, 25

3. ₁

(−1)n−1n2n=6_{n=1 = 1, −2, 3, −4, 5, −6}

8.5.3 Série de Potências

Quando os elementos de uma série são potências variáveis {anxn}n=nn=nf0 = {bn}

n=nf

n=n0 (8.54)

onde an e bn também possuem uma lei de formação. Neste caso estamos considerando apenas uma

variável, x porém, uma série pode ter mais de uma variável. Exemplo 8.9

1.

{nxn}n=4n=1 = x, 2x

2_{, 3x}3_{, 4x}4

8.5.4 Soma de uma Série

Soma dos elementos da série

nf



n=n0

an = an0+ an0+1+ an0+2+ ... + anf → Soma da Série Numérica

nf  n=n0 anxn= an0x n0_{+ a} n0+1xn0+1+ ... + anfx

nf _{→ Soma da Série de Potências}

(8.55) Exemplo 8.10 1. 7  n=1 n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 2. 4  n=1 nxn= x + 2x2+ 3x3+ 4x4

8.5.5 Série de Taylor

Seja uma função f(x) de tal modo que a mesma possa ser representada por uma série em torno de um ponto x = x0 dada por

f(x) = ∞  n=0 1 n! dn_{f (x)} dxn x=x0 (x − x0)n= f (x0) + (x − x0) df(x) dx x=x0 + 1 2(x − x0) 2 d2f (x) dx2 x=x0 + ... (8.56) Exemplo 8.11

Cálculo da série de Taylor da função f (x) = ex _{em torno de x} 0 = 0.

Solução Seja a série de taylor para f(x) = ex

ex = ∞  n=0 1 n! dn_ex dxn x=0 xn= a0+ a1+ ... + an+ ...

desenvolvendo o lado esquerdo de 8.57 e comparando com o lado direito n = 0 → a0 = _0!1e0x0 = 1 n = 1 → a1 = _1!1 _dex dx x=0  x1 _{= x} ... ... n = n → an= _n!1 _dn_ex dxn _x=0xn₌ 1 n![e x_] x=0xn = xn n!

logo f(x) = ex = 1 + x +x 2 2 + x3 3! + ...

8.5.6 Critérios de Convergência

Teste da Razão

Seja uma série numérica "

n an ou de potência" n anxn=" n bn, então lim n→∞ an+1 an = L ou lim n→∞ bn+1 bn = L. (8.57) Se _   L < 1 → Série Converge L > 1 → Série Diverge

L = 1 → Nada se pode afirmar sobre a convergência

(8.58)

Obs. O teste da razão pode não ser aplicado a determinados tipos de série, nesse caso existem outros tipo de testes mais precisos.

Exemplo 8.12

Aplique o teste da razão para a série exponencial

ex = ∞  n=0 xn n! Solução Usando a equação 8.57 lim n→∞ bn+1 bn = lim n→∞ xn+1 (n+1)! xn n! = x lim n→∞ n! (n + 1)! = x lim n→∞ 1 n + 1 = x.0 = 0 Série Converge

8.5.7 Ponto Ordinário e Ponto Singular

Seja uma equação diferencial de segunda ordem tal que:

y′′_{+ P (x)y}′ _{+ Q(x)y = 0 (8.59)}

Se P (x) e Q(x) são polinômios e existe um ponto x0 tal que

P (x0) = Q(x0) = Finito (8.60)

então x = x0 é chamado ponto ordinário. Caso contrário

P (x) = Q(x) = Diverge quando x → x0 (8.61)

o ponto x = x0 é chamado ponto singular.

8.5.8 Ponto Singular Regular e Irregular

Se lim x→x0{(x − x0)P (x)} = L1 (8.62) e lim x→x0{(x − x0 )2_{Q(x)} = L}2 (8.63)

Se L1 e L2 forem finitos, então x0 é um ponto singular regular. Caso contrário, se pelo menos um

dos limites (L1 ou L2) divergirem então x0 é um ponto singular irregular.

8.5.9 Métodos de Séries para Equações Diferenciais

Seja a equação diferencial de 2a _ordem

M(x)d

2_y

dx2 + N (x)

dy

dx + O(x)y = 0 (8.64) Nosso objetivo é obter pelo menos uma solução na forma de série de potência, tal que

y(x) =

∞



n

an(x − x0)n (8.65)

onde x0 é o ponto em torno do qual se quer achar solução para equação (8.64).

Para simplificar a equação (8.64) faz-se a seguinte normalização d2_y dx2 + P (x) dy dx + Q(x)y = 0 (8.66) onde P (x) = N (x) M (x) e Q(x) = O(x) M (x) (8.67)

Teorema 8.1

A equação diferencial (8.66) tem duas soluções diferentes, linearmente independente (LI), na forma da equação y(x) = ∞  n an(x − x0)n (8.68)

desde que x0 seja um ponto ordinário. Ou seja, se x0 for um ponto ordinário da equação (8.66),

por meio do método de séries é possível encontrar as duas soluções LI em torno de x0 que formam

a solução geral da equação diferencial. O que diferencia as duas soluções são os termos an.

Exemplo 8.13

Calcular os pontos ordinário e singular das equações abaixo a) d2y dx2 + x dy dx + (x 2_{+ 5)y = 0} b) d2y dx2 + 1 x dy dx + (x 2_{4x + 5)y = 0} Solução

a) Pela equação (8.66) temos que

P (x) = x e Q(x) = x2_{+ 5}

são polinômios e não tem ponto singular, logo todos os pontos são ordinários. b)

P (x) = 1

x e Q(x) = x

2

− 4x + 5

como existe uma singularidade para x = 0 em P (x), então x = 0 é um ponto singular, apesar de ser finito em Q(x).

Exemplo 8.14

Calcular a solução, via série, da equação

d2_y dx2 + x dy dx +  x2+ 5y = 0 Solução

Conforme visto no exemplo 8.13 (a), a equação tem somente pontos ordinários, logo é válida a soluçã para qualquer valor de x0 tais como

escolhendo a solução em torno de x0 = 0, teremos y(x) = ∞  n=0 anxn

como solução considerada e que será substituida na equação diferencial, logo dy dx = ∞  n=1 nanxn−1

onde o primeiro termo do somatório mudou para n = 1,devido em n = 0 o valor ser nulo → 0.a0x0−1 = 0. Assim como para segunda derivada o primeiro termo do somatório será n = 2.

d2_y dx2 = ∞  n=2 n (n − 1) anxn−2

Portanto substituindo na equação diferencial teremos

∞  n=2 n (n − 1) anxn−2+ x ∞  n=1 nanxn−1+  x2+ 5 ∞  n=0 anxn= 0 ou ainda ∞  n=2 n (n − 1) anxn−2+ ∞  n=1 nanxn+ ∞  n=0 anxn+2+ 5 ∞  n=0 anxn= 0

Notemos que x não tem o mesmo expoente, faremos então uma mudança nos índices

∞  n=2 n (n − 1) anxn−2 = ∞  n=0 (n + 2) (n + 1) an+2xn (n → n + 2) ∞  n=0 anxn+2 = ∞  n=2 a_n−2xn _{(n → n − 2)} e voltando à equação diferencial com os termos reescritos

∞  n=0 (n + 2) (n + 1) an+2xn+ ∞  n=1 nanxn+ ∞  n=2 a_n−2xn+ 5 ∞  n=0 anxn= 0

expandindo os termos das séries de "∞ n=0 e "∞ n=1 até "∞ n=2 2a2+ 6a3x + ∞  n=2 (n + 2) (n + 1) an+2xn+ a1x + ∞  n=2 nanxn+ ∞  n=2 a_n−2xn+ 5a0+ 5a1x + 5 ∞  n=2 anxn= 0 simplificando (5a0+ 2a2)    A + (5a1+ 6a3) x    B + ∞  n=2 [(n + 2) (n + 1) an+2+ (n + 5) an+ an−2]    C xn = 0

A + Bx +

∞



n=2

cxn = 0 para ser válida a igualdade é necessário que

A = B = C = 0 que tem como resultado

   5a0+ 2a2 = 0 5a1+ 6a3 = 0 (n + 2) (n + 1) an+2+ (n + 5) an+ an−2 = 0

Resolvendo as duas primeiros equações em função de a0 e a1

a2 = − 5 2a0 e a3 = − 5 6a1 assim como an+2 = − (n + 5) an+ an−2 (n + 2) . (n + 1) n ≥ 2 que resulta nos termos a4, a5,...

n = 2 a4 = 33 24a0 n = 3 a5 = 17 72a1 Portanto, voltando a solução

y(x) = ∞  n=0 anxn= a0+ a1x + a2x + a3x3+ a4x4+ a5x5+ ... e substituindo os coeficientes y(x) = a0+ a1x − 5 2a0x 2 − 5₆a1x3+ 33 24a0x 4₊ 17 72a1x 5_{+ ...} y(x) = a0  1 − −5₂x2+ 33 24x 4_{+ ...}     y1(x) + a1  x − 5₆x3+17 72x 5_{+ ...}     y2(x)

y(x) = a0y1(x) + a1y2(x) → Solução Geral

8.5.10 Método de Frobenius

O método de Frobenius é uma técnica de resolução de equações diferenciais via série que é aplicado a equações com um ponto singular regular.

Portanto, um resumo dos tipos de solução por meio das séries, é

Solução via Série           

Pontos Ordinários (método da Série)

Pontos Singulares   

Ponto Singular Regular (método de Frobenius)) Ponto Singular Irregular (s/ solução via série) Se x0 é um ponto singular regular da equação diferencial

d2_y

dx2 + P (x)

dy

dx + Q(x)y = 0 (8.69) então existe pelo menos uma solução na forma

y(x) = |x − x0|r ∞



n=0

an(x − x0)n (8.70)

em torno do ponto x0, onde r é um parâmetro a ser determinado.

Teorema 8.2

Se x0 é um ponto singular regular da equação diferencial (8.69) e r1 e r2 são raizes da equação

indicial associada a x0, com R (r1) ≥ R (r2), as soluções da equação diferencial são:

1. Se r1− r2 = N, onde N é um número natural, as soluções LI serão

y1(x) = |x − x0|r1 ∞  n=0 an(x − x0)n (8.71) e y2(x) = |x − x0|r2 ∞  n=0 bn(x − x0)n (8.72) 2. Se r1− r2 = N, N = 0, as soluções LI serão y1(x) = |x − x0|r1 ∞  n=0 an(x − x0)n (8.73) e y2(x) = Cy1(x) ln |x − x0| + |x − x0|r1 ∞  n=0 bn(x − x0)n (8.74)

3. Se r1 = r2, as soluções LI serão y1(x) = |x − x0|r1 ∞  n=0 an(x − x0)n (8.75) e y2(x) = y1(x) ln |x − x0| + |x − x0|r1+1 ∞  n=0 bn(x − x0)n (8.76) Exemplo 8.14

Calcular a solução geral, pelo método de Frobenius, da equação

x2d2y dx2 + x 2 dy dx + 2x 2_{y = 0} Solução

Considerando a equação diferencial na forma da equação (8.69) d2_y dx2 + 1 2x dy dx+ 2y = 0

Usando o método de Frobenius em torno de um ponto singular regular x0 = 0, de tal modo que

pelas equações (8.62) e (8.63) lim x→0  x 1 2x  = 1 2 lim x→0(x 2_{2) = 0}        valores finitos

com solução do tipo

y(x) = xr ∞  n=0 anxn = ∞  n=0 anxn+r com a0 = 0

e suas respectivas derivadas

dy dx = ∞  n=0 (n + r) anxn+r−1 e d2_y dx2 = ∞  n=0 (n + r) (n + r − 1) anxn+r−2

que substituindo na equação diferencial inicial

∞

ou ∞  n=0 (n + r) (n + r − 1) anxn+r+ 1 2 ∞  n=0 (n + r) anxn+r+ 2 ∞  n=0 anxn+r+2 = 0

fazendo n → n − 2 no terceiro termo

∞  n=0 anxn+r+2= ∞  n=2 a_n−2xn+r portanto ∞  n=0 (n + r) (n + r − 1) anxn+r+ 1 2 ∞  n=0 (n + r) anxn+r+ 2 ∞  n=2 a_n−2xn+r _{= 0}

Porém analizando a equação acima, percebe-se que todos os termos tem mesma potência (n + r) na variável x e índices n diferentes nos somatórios. Logo, desenvolvendo as duas primeiras séries até o termo n = 2, teremos  r (r − 1) + r₂a0xr+  r (r + 1) +r + 1 2  a1xn+r+ + "∞ n=2  (n + r) (n + r − 1) +1₂(n + r)  an+ 2an−2  xn+r _{= 0}

esta equação é válida somente quando os coeficientes do polinômio forem nulos, ou seja,                       r (r − 1) + r₂a0 = 0  r (r + 1) + r + 1 2  a1 = 0  (n + r) (n + r − 1) + 1₂(n + r)  an+ 2an−2 = 0, n ≥ 2

considerando a primeira equação em que a0 = 0

r (r − 1) + r 2 = 0 r =    r1 = 1/2 r2 = 0

enquanto que na segunda, para os dois valores de r a1 = 0 e na terceira, an = − 2a_n−2 (n + r)  n + r − 1₂  , n = 2, 3, ... .

Consideremos cada valor de r. De início para r = 1/2, temos an = − 2a_n−2 n  n + 1 2  , n = 2, 3, ... .

expandindo alguns valores de n

a2 = − 2a0 2  2 + 1 2  = −2a₅0 a3 = 2a1 33₇ = 0 a4 = − 2a2 49₂ = 2a0 45 a5 = 0 a6 = 4a0 1755 ... e para r = 0 an = − 2a_n−2 n  n − 1₂  , n = 2, 3, ... . a2 = − 2a0 3 a3 = 0 a4 = 2a0 21 a5 = 0 a6 = − 4a0 693 ... Portanto as duas soluções para cada valor de r serão

y1(x) = xr1 ∞  n=0 anxn= a0x1/2  1 − 2x 2 5 + 2x4 45 − 4x6 1755 + ...  e ∞   2x2 _2x4 _4x6 

onde a0 de y1(x) é diferente do a0 de y2(x), pelo fato de terem sido obtidos do valor de cada r.

Portando a solução geral será

y(x) = y1(x) + y2(x) ou y(x) = C1x1/2  1 −2x 2 5 + 2x4 45 − 4x6 1755 + ...  + C2  1 − 2x 2 3 + 2x4 21 − 4x6 693 + ... 

onde C1 e C2 dependem das condições de contorno do problema. Note que nesse caso, duas soluções

L.I. foram obtidas. Exemplo 8.15

Calcular a solução geral, pelo método de Frobenius, da equação do oscilador harmônico

d2_y

dx2 + w 2_{y = 0}

onde w é uma constante (frequência de oscilação)

Solução Considerando a solução y(x) = ∞  n=0 anxn+r

e substituindo na equação diferencial

∞  n=0 an(n + r) (n + r − 1) xn+r−2+ w2 ∞  n=0 anxn+r = 0

fazendo-se a seguinte substituição no segundo somatório n → n − 2

∞  n=0 an(n + r) (n + r − 1) xn+r−2+ w2 ∞  n=2 a_n−2xn+r−2 = 0 e expandindo o primeiro termo até n = 2

a0r (r − 1) xr−2+ a1r (r + 1) xr−1+ ∞  n=2 an(n + r) (n + r − 1) xn+r−2+ w2 ∞  n=2 a_n−2xn+r−2 = 0 a0r (r − 1) xr−2+ a1r (r + 1) xr−1+ ∞  n=2  an(n + r) (n + r − 1) + w2an−2  xn+r−2 = 0 igualando a zero os coeficientes dos polinômios

a0r (r − 1) = 0

a1r (r + 1) = 0

como na primeira equação a0 = 0, teremos r = 0 e r = 1. Quando r = 0 o coeficiente a1 será

arbitrário, enquanto que r = 1 implica a1 = 0, logo pela terceira equação

a3 = a5 = a7 = ... = 0

e para cada valor de r

an = −w2 a_n−2 n(n − 1) para r = 0 bn= −w2 b_n−2 n(n + 1) para r = 1 para n = 2, 4, ... a2 = − w2 2 a0 a4 = w4 4!a0 ... a2m= (−1)m w2m (2m)!a0 (m = 0, 1, 2...) e b2 = − w2 3!b0 b4 = w4 5!b0 ... b2m= (−1)m w2m (2m + 1)!b0 e as duas soluções serão

y1(x) = ∞  n=0 anxn+r = a0 3 1 − (wx) 2 2! + (wx)4 4! − ... 4 = a0cos(wx) e y2(x) = ∞  n=0 bnxn+r = b0 w 3 (wx) −(wx) 3 3! + (wx)5 5! − ... 4 = b0 w sen(wx) com soulção geral

y(x) = a0cos(wx) +

b0

w sen(wx) onde a0 e b0 são constantes definidas pelas condições de contorno.

8.6 Exercícios

1) Em cada uma das equações abaixo, determine se x0 = 0 é um ponto ordinário, singular regular

ou singular irregular.

a) xy′′_{+ (x − x}3_)y′_{+ (senx)y = 0 c) x (x + 1) y}′′_{+ 2y}′_{+ 3xy = 0}

b) xy′′_{+ x}2_y′_{+ (e}x_{− 1) y = 0 d) x}2_{(1 − x}2_{) y}′′_{+ 2xy}′ _{− 2y = 0}

2) Ache duas soluções em série de Frobenius linearmente independente (com x > 0) para cada uma das equações diferenciais abaixo.

a) 2xy′′_{+ 3y}′_{− y = 0}

b) 2xy′′ _−2y′_{− y = 0}

3) A equação diferencial

x2y′′+ xy′ + x2y = 0

é definida como função de Bessel de ordem zero (a0 = 1) que tem como solução

y(x) = J0(x) Mostre que J0(x) = 1 − x2 4 + x4 64− x6 2304 + ... = ∞  n=0 (−1)n 22n_(n!)2x 2n

8.7 Método de Separação de Variáveis

O método de separação de variáveis é uma técnica usada para separar uma equação diferencial parcial em outras equações independentes e resolve-las para cada variável da equação original.

Para mostrar esse método, escolhemos a seguinte equação

∇2Ψ + k2Ψ = 0 (8.77) que é muito comum nos mais variados sistemas físicos.

Dependendo do valor de k, a equação (8.77) pode assumir determinadas formas, de acordo com sua aplicação, tais como:

k2 _{= 0 → Equação de Laplace (Eletromagnetismo)}

k2 _{= + cte → Equação de Helmholtz - Onda (Eletromagnetismo)}

k2 _{= − cte → Equação Difusão (Termodinâmica)}

k2 _{= cte x Energia Cinética → Equação Schrodinger - potencial nulo (Mec. Quântica)}

8.7.1 Equação de Helmholtz em Coordenadas Cartesianas

Seja a equação de Helmholtz (equação de onda)

∇2Ψ + k2Ψ = 0 (8.79) Considerando o laplaciano em coordenadas cartesianas, temos:

∂2_Ψ ∂x2 + ∂2_Ψ ∂y2 + ∂2_Ψ ∂z2 + k 2_{Ψ = 0 (8.80)}

Nosso objetivo é resolver a equação diferencial parcial (8.80) como um conjunto de equações diferenciais ordinárias. Para isso, faremos a seguinte separação de variáveis na solução Ψ

Ψx, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (8.81) que derivando em relação à x, y e z, independentemente

∂2_Ψ ∂x2 = ∂2_X ∂x2 Y Z = d2_X dx2 Y Z ∂2_Ψ ∂y2 = ∂2_Y ∂y2 XZ = d2_Y dy2 XZ ∂2_Ψ ∂z2 = ∂2_Z ∂z2XY = d2_Z dz2XY (8.82) que substituindo em (8.80) Y Zd 2_X dx2 + XZ d2_Y dy2 + XY d2_Z dz2 + k 2_{XY Z = 0 (8.83)} dividindo por XY Z 1 X d2_X dx2 + 1 Y d2_Y dy2 + 1 Z d2_Z dz2 + k 2 _{= 0 (8.84)} e isolando a função X 1 X d2_X dx2 = − 1 Y d2_Y dy2 − 1 Z d2_Z dz2 − k 2 _(8.85)

Se analizarmos a equação (8.85), notaremos que a mesma sofre uma contradição, já que o resultado do lado esquerdo está em função somente da variável x, enquanto que o da direita em Y e Z. Para resolvermos este problema, admitiremos que os dois lados da equação são iguais a uma constante.

Com isso, igualando uma constante −l2 _{para os dois lados da equação (8.85)}

1 X d2_X dx2 = −l 2 _(8.86) −_Y1 d 2_Y dy2 − 1 Z d2_Z dz2 − k 2 = −l2 (8.87) onde o sinal da constante é completamente arbitrário, já que a mesma depende das condições de

A equação (8.86)

d2_X

dx2 + Xl

2 _{= 0 (8.88)}

é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes, conhecida como

equação do oscilador harmônico e que tem Xl(x) como solução.

Voltando a equação (8.87) e aplicando a mesma técnica de separação por constante, teremos 1 Y d2_Y dy2 = l 2 − k2 −_Z1d 2_Z dz2 = −m 2 _(8.89)

o que nos dara

d2_Y dy2 + m 2_{Y = 0 (8.90)} d2_Z dz2 + n 2_{Z = 0 (8.91)}

onde n2 _{= k}2 _{− l}2_{− m}2 _{e cuja as soluções são Y}

m(y) e Zn(z).

Portanto, a solução geral, substituindo as soluções Xl(x), Ym(y) e Zn(z) em (8.81)

Ψ(x, y, z) = Xl(x)Ym(y)Zn(z) (8.92)

8.7.2 Equação de Helmholtz em Coordenadas Cilíndrícas

Considerando Ψ(ρ, θ, ϕ), teremos que a equação de Helmholtz

∇2Ψ(ρ, θ, ϕ) + k2Ψ(ρ, θ, ϕ) = 0 (8.93) que, substituindo o laplaciano em coordenadas cilíndricas

1 ρ ∂ ∂ρ  ρ∂Ψ ∂ρ  + 1 ρ2 ∂2_Ψ ∂ϕ2 + ∂2_Ψ ∂z2 + k 2_{Ψ = 0 (8.94)}

admitindo uma solução com variáveis separáveis

Ψ(ρ, θ, ϕ) = P (ρ)Φ(ϕ)Z(z) (8.95) e substituindo em (8.93) 1 ρ ∂ ∂ρ  ρ∂(P ΦZ) ∂ρ  + 1 ρ2 ∂2_{(P ΦZ)} ∂ϕ2 + ∂2_{(P ΦZ)} ∂z2 + k 2_{(P ΦZ) = 0 (8.96)}

dividindo toda equação por P ΦZ e isolando a variável z 1 1 P ρ d dρ(ρ dP dρ) + 1 Φρ2 d2_Φ dϕ2 + k 2 = −_Z1d 2_Z dz2 (8.97)

admitindo −l2 _{como constante de separação}

d2_Z

dz2 − l

1 P ρ d dρ(ρ dP dρ) + 1 Φρ2 d2_Φ dϕ2 + k 2 = −l2 (8.99) com solução Zl(z) para (8.98). Fazendo n2 = k2+ l2 em (8.99), teremos

ρ P d dρ(ρ dP dρ) + ρ 2_n2 = −_Φ1 d 2_Φ dϕ2 (8.100)

de tal modo, que o lado direito da equação será d2_Φ

dϕ2 − m

2_{Φ = 0 (8.101)}

que tem como solução Φm(ϕ).

Logo, a equação (8.100) será ρ d dρ(ρ dP dρ) +  ρ2n2_{− m}2P = 0 (8.102) ρ2d 2_P dρ2 + ρ dP dρ +  ρ2n2_{− m}2P = 0 (8.103) a equação acima é definida como equação diferencial de Bessel que tem como solução

P (ρ) = AJν(ρ) + BNν(ρ) (8.104)

e que será estudada no próximo capítulo.

Com isso, a solução geral da equação (8.93) será

Ψ(ρ, θ, ϕ) = P (ρ)Φm(ϕ)Zl(z) (8.105)

8.7.3 Equação de Schrödinger - Coordenadas Esféricas

A equação de Schrödinger, para um potencial V

−ℏ 2 2m∇ 2_{Ψ(r, θ, ϕ) + V Ψ(r, θ, ϕ) = 0 (8.106)} −ℏ 2 2m∇ 2 Ψ + (V − E)Ψ = 0 (8.107) substituindo o Laplaciano em coordenadas esféricas

−ℏ 2 2m  1 r2 ∂ ∂r  r2∂Ψ ∂r  + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ  sin θ∂ψ ∂θ  + 1 r2_sin2_θ ∂2_ψ ∂ϕ2  + (V − E)Ψ = 0 (8.108) Considerando uma solução que separam as partes radial R(r) e angular Y (θ, ϕ), teremos

que substituindo em (8.108) −ℏ 2 2m  Y r2 ∂ ∂r  r2∂R ∂r  + R r2_{sin θ} ∂ ∂θ  sin θ∂Y ∂θ  + R r2_sin2_θ ∂2_Y ∂ϕ2  + (V − E)RY = 0 (8.110) e separando as variáveis 1 R d dr  r2dR dr  − 2m_ℏ2 r2_{(V − E) = −}1 Y  1 sin θ ∂ ∂θ  sin θ∂Y ∂θ  + 1 sin2θ ∂2_ψ ∂ϕ2  (8.111) Igualando ambos os lados à constante l (l + 1) (a justificativa dessa escolha é devido à quantização do momento angular). Portanto 1 R d dr  r2dR dr  −2m_ℏ2 r2_{(V − E) = l (l + 1) → Equação Radial} (8.112) 1 Y  1 sin θ ∂ ∂θ  sin θ∂Y ∂θ  + 1 sin2θ ∂2_ψ ∂ϕ2  = −l (l + 1) → Equação Angular (8.113) Podendo ainda a equação angular ser separada por uma outra solução

Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Ψ(ϕ) (8.114) que gera duas outras equações por meio de uma nova constante de separação m2

1 Θ  sin θ d dθ  sin θdΘ dθ  + l (l + 1) sin2θ = m2 (8.115) 1 Φ d2_ψ dϕ2 = −m 2 _(8.116)

8.8 Exercícios

1. Mostre que a equação de Helmholtz é separável em coordenadas cilíndricas se k2 _{for generalizado}

para k2+ f (ρ) + (1/ρ2)g(ϕ) + h(z) 2. Verifique se a equação ∇2Ψ(r, θ, ϕ) +  k2+ f (r) + 1 r2g(θ) + 1 r2_sin2_θh(ϕ)  Ψ(r, θ, ϕ) = 0 é separável em coordenadas esféricas. Onde k2 _{é uma constante.}

3. Resolva a equação de Helmholtz, pelo método de separação de variáveis, em coordenadas esféricas. Admita uma solução do tipo

sendo −m2 _{e −Q}2 _{as constantes de separação.}

4. Da equação de difusão do calor

∂T(r, t) ∂t = k∇

2_{T(r, t)}

admita uma solução do tipo

T = Ψ(r, θ, ϕ)T (t) e mostre que a equação radial tem a forma padrão

r2d 2_R dr2 + 2r dR dr + [α 2_r2 − n(n + 1)]R = 0 ; n → inteiro

5. Da equação de Laplace em coordenadas esféricas, para um potencial V . Calcule as equações por separação de variáveis para r e θ. Admita uma simetria azimuthal no potencial e uma constante de separação igual a l(l + 1).

6. Da equação de Schrodinger HΨ(r, θ, ϕ) = EΨ(r, θ, ϕ), onde H é o Hamiltoniano em função do operador L2 H = −  2 2m 1 r ∂2 ∂r2(r) + 1 2m 1 r2L 2_{+ V (r)}

mostre que as equações, radial e angular, são  −  2 2m 1 r d2 dr2(r) + l(l + 1) 2 2m 1 r2 + V (r)  R(r) = ER(r) e −  ∂ ∂θ2 + 1 tan θ ∂ ∂θ + 1 sin2θ ∂2 ∂ϕ2  Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1)Ylm(θ, ϕ) Dica

Admita a equação de autovalor, para o momento angular L2Ψ(r, θ, ϕ) = l(l + 1)2Ψ(r, θ, ϕ)

7. As coordenadas parabólicas (ξ, η, φ) de um ponto no espaço são definidas pelas relações x = 0ξη cos φ z = 1

2(ξ − η) y = 0ξη sin φ r = 1

2(ξ + η). Admitindo uma solução

com um potencial coulombiano

V (r) = − Ze

2

(4πε0)r

.

Mostre que a equação de Schrodinger pode ser substituida pelas equações d dξ  ξdf1 dξ  −  1 4λ 2 ξ + m 2 4ξ + ν1  f1 = 0 d dη  ηdf2 dη  −  1 4λ 2_{η +} m2 4η + ν2  f2 = 0 onde λ2

= −2M E_2 e ν1, ν2 são as constante de separação, dadas por

ν1+ ν2 = −

Ze2

4πε0

M 2