Instituto Tecnológico de Aeronáutica VIBRAÇÕES MECÂNICAS MPD-42

(1)

VIBRAÇÕES

MECÂNICAS

(2)

SISTEMAS CONTÍNUOS:

SOLUÇÃO EXATA

(3)

Sistemas discretos e sistemas contínuos representam dois tipos de sistemas

diferentes?

Ambos são meras representações matemáticas

de sistemas fisicamente idênticos

(4)

Diferença básica:

Sistemas discretos têm um número finito de graus de liberdade

Sistemas contínuos têm infinitos graus de

liberdade

(5)

O índice i é associado a uma massa

concentrada. Em contrapartida, uma

coordenada espacial x identifica a posição de um elemento infinitesimal .

Consistente com esse fato sistemas discretos são governados por equações diferenciais ordinárias e sistemas contínuos por

equações diferenciais parciais.

(6)

Tipos de sistemas contínuos

• Fios em vibração transversal (2

^a

ordem)

• Barras em vibração axial (2

^a

ordem)

• Eixos em torção dinâmica (2

^a

ordem)

• Vigas em flexão dinâmica (4

^a

ordem)

Soluções exatas só são possíveis em tipos

especialmente simples de sistemas contínuos

(7)

Existe uma relação bastante estreita entre sistemas discretos e sistemas contínuos.

Vibração transversal de um fio

1) Sistema discreto (análise limite)

2) Sistema contínuo

(8)

m_i m_i+1 m_i₋₁

F_i F_i+1 F_i−1

…

(9)

F_i

T_i T_i−1

i+1

F_i−1

v_i−1

v_i v_i+1

T_i = tensão no fio F_i = força externa

∆x_i−1 ∆x_i

2 2 1

1 1

dt v m d

x F v T v

x v

T

_i

v

ⁱ ⁱ _i ⁱ ⁱ

+

_i

=

_i ⁱ

∆

− −

∆

−

− − +

(10)

2 2

1 1 1

1

dt v m d

x F v T v

x v

T v

_i _i ⁱ

i i i

i i

i

+ =

∆

− −

∆

−

− − +

Equações válidas para i = 1,...,n quando

v

₀

(t) = v

_n+1

(t) = 0. Outras condições de contorno

podem também ser consideradas.

(11)

1 1

1

e

₋ ₋

+

−

_i

= ∆

_i _i

−

_i

= ∆

_i

i

v v v v v

v

2 2

1 1

1

dt

v m d

x F T v

x

T v

_i _i ⁱ

i i i

i i

i

+ =

∆

− ∆

∆

−

− −

2 2

dt v d x m x

F x

T v x

i i

i

= ∆

+ ∆

 



 



∆

Equações incrementais nas componentes

verticais da força de tração

(12)

2 2

( , ) )

( )

, ) (

( t

t x x v

t x x f

t x x v

x T ∂

= ∂

 +

 



∂

∂ ρ

Se o número de massas m

_i

cresce

indefinidamente (n → ∞ ) as massas m

_i

e as distâncias ∆ x

_i

e ∆ v

_i

tendem a zero. No limite,

onde f(x, t) é a força externa distribuída por

unidade de comprimento e ρ ^(x) a densidade de

(13)

x

v(x,t)

f (x,t)

(14)

T(x)

θ

^(x)

T(x) + dT(x)

θ

^{(x) + d}

θ

^(x)

dx f (x,t)

x x ) v

( ∂

= ∂

θ

(15)

2 2 2

2

( , )

) ( )

,

( t

t x dx v

x dx

t x x f

T v x dx

v x

dx v x T T

∂

= ∂

∂ +

− ∂

 

 





∂ + ∂

∂

 ∂

 



∂

+ ∂ ρ

Lei de Newton para a componente vertical:

Desprezando termos de 2

^a

ordem:

2 2

( , ) )

( )

, ) (

( t

t x x v

t x x f

t x x v

x T ∂

= ∂

 +

 



∂

∂ ρ

(16)

Através de um processo limite partiu-se de um sistema discreto para um contínuo. No

entanto, o mais comum é seguir o caminho inverso de tal forma que um sistema físico contínuo seja aproximado matematicamente por um sistema discreto.

Se os parâmetros forem não-uniformemente

distribuídos o procedimento de aproximação

(17)

2 2

( , ) )

) ( , ) (

( t

t x x v

x t x x v

x T ∂

= ∂

 

 

∂

∂ ρ

0 )

, ( )

, 0

( t = v L t = v

) ( )

0 , (

) ( )

0 , (

0 0

x v x

v

x v x

v

&

& =

= Condição de valor inicial:

Condição de contorno:

(18)

Investiga-se a possibilidade de movimento

síncrono, isto é, a forma do fio não muda com o tempo, somente a amplitude do movimento.

Matematicamente procura-se um solução na forma separável: v(x, t) = V(x) F(t)

Se v(x, t) representa uma oscilação harmônica e estável então F(t) deve ser limitada para

qualquer instante de tempo.

(19)

2 2

( ) )

( 1 )

) ( ) (

( ) (

1 t d

t F d t F x

d x V x d

x T d

d x

V

x   =

 

ρ

O lado esquerdo depende somente do espaço enquanto o lado direito depende somente do tempo. Para tanto,

2 2

2

( ) )

( 1 )

) ( ) (

( ) (

1 ω

ρ ^ ⁼ ⁼ ⁻

 



t d

t F d t F x

d x V x d

x T d

d x

V

x

(20)

0 )

) ( (

) ( ) ) (

) ( (

2 2

2

= +

−

 =

 



t t F

d t F d

x V x x

d x V x d

x T d

d

ω

ρ ω

O sinal de ω

²

foi selecionado de forma que F(t)

não apresentasse termos exponenciais.

(21)

A função F(t) = C cos( ω ^t − φ ⁾ é síncrona. Resta

saber se os padrões de deslocamento V(x) são também possíveis.

0 )

( )

0 (

) ( ) ) (

) (

(

²

=

−

 =

 



L V V

x V x x

d x V x d

x T d

d ω ρ

(22)

A constante ω permanece indeterminada. O

problema consiste em se encontrar os valores de ω que levem a soluções não triviais de V(x).

Observação: se V(x) for solução então α ^V(x)

também será solução.

) ( ) ) (

) (

(

²

x V x

x d

x V x d

x T d

d   = − ω ρ

 

(23)

Aplicação das condições de contorno leva à equação característica do problema de auto- valor cuja solução fornece um número infinito de freqüências naturais ω

_r

e modos naturais V

_r

(x) associados.

Em geral, A

_r

V

_r

(x) é solução do problema. A

_r

pode ser única se a ortogonalidade dos

modos for levada em conta.

(24)

Resolva o problema de auto-valor associado com a vibração de um fio uniforme fixo em x = 0 e x = L e esboce a forma dos três primeiros

modos de vibração. A tensão T no fio é constante.

0 )

( )

0 (

com 0

) ) (

(

₂ ₂ ²

2 2

=

= +

L V V

x T x V

d

x V

d β β ω ρ

(25)

) cos(

) ( sin )

( x A x B x

V = β + β

0 )

0 ( =

V B = 0

) (

sin )

( x A x

V = β

0 )

( L =

V sin ( β L ) = 0 β

_r

^L = ^r π

L x A r

x

V

_r _r

π

sin )

( =

Equação

característica

(26)

y/A

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

modo 1 modo 2 modo 3

v/A

(27)

Formule o problema de auto-valor associado à vibração lateral de um cabo uniforme suspenso sob ação da gravidade.

g L

(28)

A vibração axial livre de uma barra é descrita pela mesma equação diferencial que o

problema do fio em vibração transversal.

Substituir:

ρ ^(x) ^{por m(x)} ⁼

massa por unidade de comprimento

T(x) por EA(x) =

rigidez axial

(29)

0 )

( )

0 (

) ( ) ) (

) ( (

) ( ) ( )

, (

2

=

−

 =

 



=

L U U

x U x x m

d x U x d

x EA d

d

t F x U t

x u

ω

x

L

u(x,t)

(30)

k k k k 2k

2k M M M M M

 



 



=

 



 



−

=

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

] 5 [ 1

2 1

0 0

0 1

2 1

0 0 0

1 2

1 0 0

0 1

3 ] 5

[ mL

L m k EA

L/10 L/5 L/5 L/5 L/5 L/10

(31)

V 1/A

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Modo 1

V2/A

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Modo 2

(32)

V 3/A

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Modo 3

V4/A

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Modo 4

(33)

Freqüências

Modo exato aprox.

1 3.1416 3.0902 2 6.2832 5.8779 3 9.4248 8.0902 4 12.566 9.5106 5 15.708 10.000 EA

mL

²

ω ω =

x/L V5/A

0.0 0.3 0.5 0.8 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Modo 5

(34)

As freqüências do modelo aproximado são

mais baixas que as do modelo exato devido à concentração de massa no centro da barra.

Obviamente a utilização de mais massas

concentradas leva a melhores resultados do

modelo aproximado.

(35)

Considere uma barra uniforme em vibração axial que possui os dois extremos livres e ache os três primeiros modos de vibração.

L

u(x,t)

(36)

Obter as equação do movimento e as condições de contorno de uma barra fixada em x = 0 e conectada a uma mola em x = L.

L

u(x,t) EA(x), m(x)

k

(37)

Obter as equação do movimento e as condições de contorno de uma barra fixada em x = 0 e suportando uma massa concentrada em x = L.

L

u(x,t) EA(x), m(x)

M

(38)

Obter as equação do movimento e as condições de contorno de uma barra uniforme fixada em x = 0 e suportando uma massa concentrada em um ponto interno localizado em x = a.

a

(EA)₁, m₁

M

b

(EA)₂, m₂

(39)

As equações dinâmicas de fios em vibração transversal e barras em vibração axial são idênticas nas suas formas. Ambas levam a equações de segunda ordem.

No caso de vibração de vigas em flexão as

equações são de quarta ordem.

(40)

f(x,t)

x y

L

f(x,t)dx

dx

M Q Q+dQ

M+dM

(41)

2 0 )

, ) (

, ( )

, ) (

, (

) , ) (

( )

, ( )

, ) (

,

(

₂

2

=

 +

 



∂ + ∂

+

 −

 



∂ + ∂

∂

= ∂ +

 −

 



∂ + ∂

dx dx t

x f dx x dx

t x t Q

x Q t

x M x dx

t x t M

x M

t t x dx v

x m dx

t x f t

x Q x dx

t x t Q

x Q

0 )

, ) (

, (

) , ) (

( )

, ) (

, (

2 2

=

∂ +

∂ ∂

= ∂

∂ +

∂

t x x Q

t x M

t t x x v

m t

x x f

t

x

Q

(42)

2 2 2

2

( , )

) ( )

, ) (

, (

t t x x v

m t

x x f

t x M

∂

= ∂

∂ +

− ∂

Teoria básica de flexão de vigas:

2 2

( , ) )

( )

,

( x

t x x v

EI t

x

M ∂

= ∂

(43)

2 2 2

2 2

2

( , )

) ( )

, ) (

(

t

t x x v

m t

x x f

t x x v

x EI ∂

= ∂

 +



 





∂

− ∂

A equação contém derivadas em relação a x

até quarta ordem.

(44)

Condições de contorno:

) 0 , , (

0 )

, 0 (

0

∂ =

= ∂

=

x

t x t v

Engaste: v

Apoio simples: ( , ) 0

) ( ,

0 )

, 0 (

0 2

2

=

∂

= ∂

=

x

t x x v

EI t

v

Livre: ( , ) 0

) ( ,

) 0 , ) (

(

2 2

  =

 

∂

= ∂

∂

∂ v x t

x t EI

x x v

EI

(45)

As condições de contorno de engastamento e uma de apoio simples estão relacionadas à

geometria do problema e, por isso, são

chamadas condições de contorno geométricas.

As condições de contorno de extremo livre e

uma de apoio simples estão relacionadas aos

balanços de força e momento e são chamadas

condições de contorno naturais.

(46)

) ( ) ) (

) ( (

) ( ) ( )

, (

2 2

2

x V x x m

d

x V x d

x EI d

d

t F x V t

x v

ω

 =



 





=

L f(x,t)

(47)

) 0 , ) (

( ,

0 )

, (

) 0 , ) (

( ,

0 )

, 0 (

2 2

0 2

2

=

L x x

x d

t x v x d

EI t

L v

x d

t x v x d

EI t

v

Condições de contorno:

(48)

) 0 , (

0 )

(

) 0 , (

0 )

0 (

com 0

) ) (

(

2 2

0 2

2

2 4

4 4

4

=

−

= x

x d

x V L d

V

x d

x V V d

EI x m

dx V x V

d β β ω

Viga uniforme: EI(x)=EI e m(x)=m

(49)

x C

x

V ( ) =

₁

sin β +

₂

cos β +

₃

sinh β +

₄

cosh β

Solução geral:

[ ^C ^x ^C ^x ^C ^x ^C ^x ]

dx x

dV ( ) cos sin cosh sinh

4 3

2

1

β β β β

β − + +

=

[ ^C ^x ^C ^x ^C ^x ^C ^x ]

dx x V

d ( ) sin cos sinh cosh

4 3

2 1

2 2

2

= β − β − β + β + β

(50)

Aplicação de condições de contorno:

) 0

e ( 0 )

0 (

0 2

2

=

x

d

x V

V d C

₂

= C

₄

= 0

0 sinh

sin

0 sinh

sin

3 1

= +

−

= +

L C

β β

β

β sin β L = 0 β

_r

^L = ^r π

(51)

Freqüências naturais e modos de vibração

4

)

2

( mL

r EI

r

π

ω =

L x A r

x

V

_r _r

π

sin )

( =

(52)

L EI, m

[ ⁽ ^sin ^sinh ⁾⁽ ^sin ^sinh ] ⁾

)

( x A L L x x

V

_r

=

_r

β

_r

− β

_r

β

_r

− β

_r

+ 1

cosh

cos β L β L = −

Considere uma viga uniforme em balanço. Encontre a equação diferencial de movimento e a equação

característica da flexão dinâmica.

(53)

Uma viga em flexão dinâmica está apoiada numa

fundação elástica de rigidez distribuída k. Encontre a equação diferencial de movimento e a equação

característica.

L EI(x), m(x)

k

(54)

Em sistemas discretos há ortogonalidade dos modos de vibração em relação às matrizes de massa e rigidez.

No caso de sistemas contínuos também existe

um tipo de ortogonalidade dos modos.

(55)

Sistema discreto com matriz de massa diagonal:

s r u

u m u

m u

n

i

is ir i s

T

r

= ∑ = ≠

=

com 0

} ]{

[ } {

1

Processo limite fazendo n → ∞

s r dx

x u x u x

L

s

r

= ≠

∫ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁰ ^com

0

ρ

(56)

Ortogonalidade com relação à massa:

) ( ) ) (

) ( (

) ( ) ) (

) ( (

2 2

2

2 2

2

x V x dx m

x V x d

dx EI d

x V x dx m

x V x d

dx EI d

s s

s

r r

r

ω ω

 =



 





 =



 





(57)

∫

=

 +

 

 

− 

 



 



 

 





 =



 





L

s r

r L

s r

L r

s L

r s

L

r s

dx x V x V x m dx dx

x V d dx

x V x d

EI

dx x V x d

dx EI x dV dx

x V x d

dx EI x d

V

dx dx x V x d

dx EI x d

V

2 2

2

0 2

2

0 2

2 0

2 2 2

2

) ( ) ( ) ) (

( )

) ( (

) ) (

) ( ( )

(

) ) (

( )

(

ω

Multiplicação por V

_s

(x):

(58)

∫

=

 +

 

 

− 

 



 



 

 





 =



 





L

s r

s L

r s

L s

r L

s r

L

s r

dx x V x V x m x dx

V d x V x d

EI

dx x V x d

dx EI x dV dx

x V x d

dx EI x d

V

dx dx x V x d

dx EI x d

V

2 2

2

0 2

2

0 2

2 0

2 2 2

2

) ( ) ( ) ) (

( )

) ( (

) ) (

) ( ( )

(

) ) (

( )

(

ω

Multiplicação por V

_r

(x):

(59)

( )

L r s

L s

r

L r

s L

r s

L

s r

dx x V x d

dx EI x dV dx

x V x d

dx EI x d

V

dx x V x d

dx EI x dV dx

x V x d

dx EI x d

V

dx x V x V x m

2 2 2

2

0 2

2

0 2

2 0

2 2

) ) (

) ( ( )

(

) ) (

) ( ( )

(

) ( ) ( ) (

 



  + 

 



 



 

 





 −

 

 

− 

 



 



 

 





=

− ^ω ∫

ω

Subtração:

(60)

Aplicação das condições de contorno:

( ) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁰

0 2

2

−

^s

∫

^L ^r ^s

=

r

ω m x V x V x dx

ω

s

r

ω

ω ≠ ( ) ( ) ( ) 0

0

∫

^L

^m ^x ^V

^r

^x ^V

^s

^x ^dx = s

r ≠

(61)

Ortogonalidade com relação à rigidez

0 )

( ) ( ) ) (

) ( ( )

(

0 2 0

2 2 2

2

 = =



 



 ∫

∫

^L

^V

^s

^x _dx ^d ^EI ^x ^d _dx ^V

^r

^x ^dx ^ω

^r ^L

^m ^x ^V

^r

^x ^V

^s

^x ^dx

(62)

Ortogonalidade com relação à rigidez

) 0 ( )

) ( ) (

( )

) ( (

) ) (

) ( ( )

(

) ) (

( )

(

2 2

0 2

2

0 2

2 0

2 2 2

2

=

 +

 

 

− 

 



 



 

 





 =



 





∫

L

s r

L

s r

L r

s L

r s

L

r s

x dx V

d x V x d

EI x dx

V d x V x d

EI

dx x V x d

dx EI x dV dx

x V x d

dx EI x d

V

dx dx x V x d

dx EI x d

V

(63)

Ortogonalidade com relação à rigidez

s r dx dx

x V d dx

x V x d

EI

L

s

r

= ≠

∫ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁰ ^com

0

2 2 2

2

(64)

Normalização dos modos

 



≠

= =

∫

^L

^m ⁽ ^x ⁾ ^V

^r

⁽ ^x ⁾ ^V

^s

⁽ ^x ⁾ ^dx =

^rs

₀ ¹ ^se _se ^r _r ^s _s

0

δ

2 0

2 2 2

2

( ) ( )

)

(

_rs _r

L

s

r

dx

dx x V d dx

x V x d

EI = δ ω

∫

(65)

Matriz [k] positiva semi-definida

Matriz [m] positiva definida

Matrizes [m] e [k]

simétricas Índices r e s podem

ser trocados

Sistema discreto Sistema contínuo

0 ) ( ) (

0

2 >

∫

^L^m ^x^V^r ^x ^dx

0 )

) ( (

0

2 2

2  ≥







∫

^L  ^r ^dx

dx x V x d

EI

(66)

Uma viga em flexão dinâmica está engastada em x = 0 e suportada por uma mola linear de rigidez k em x = L.

Prove ortogonalidade dos modos de vibração.

L

EI(x), m(x)

k x

(67)

Assim como o quociente de Rayleigh pode ser definido para sistemas discretos há uma

definição para sistemas contínuos.

L

u(x,t)

Seja a barra em vibração axial com um extremo

livre.

(68)

) 0 ) (

( )

0 (

) ( ) ) (

) (

(

²

=

−

 =

 



dx L L dU

EA U

x U x x m

d x U x d

x EA d

d ω

∫

∫ ^ _ ^ ^ _ ^

 =

 

− 

=

_L

L

L L

dx x

U x m

x dx d

x U x d

EA dx

x U

x m

x dx d

x U x d

dx EA x d

U

2 0

2

2 2 0

) ( )

(

) ) (

( )

(

) ) (

( )

(

ω

λ

(69)

∑

=

1

) ( )

(

i

i i

U x c

x U

∫

^L

^m ^x ^U

ⁱ

^x ^U

^j

^x ^dx ⁼

^ij

0

) ( )

( )

( δ ∫

^L

^EA ^x ^dU _dx

ⁱ

^x ^dU _dx

^j

^x ^dx ⁼

^j ^ij

0

) ) (

) (

( λ δ

∑

∞

=

2 1

2

) (

i i

c c U

R

λ

)

1

( U ≥ λ

R

(70)

2 2

( , ) )

) ( , ) (

( t

t x x v

x t x x v

x T ∂

= ∂

 

 

∂

∂ ρ

Fio em vibração transversal livre

Fio uniforme sob tensão constante

ρ

c T t

t x v c

x t x

v =

∂

= ∂

∂

∂ ( , ) 1 ( , ) com

2 2 2 2

2

(71)

A equação da onda em uma dimensão

2 2 2 2

2

( , ) 1 ( , )

t t x v c

x t x v

∂

= ∂

∂

c é a velocidade de propagação. Solução geral:

) (

) ,

( x t F

₁

x ct F

₂

x ct

v = − + +

(72)

F

₁

(x − ct) ⇒ propagação na direção positiva de x F

₂

(x + ct) ⇒ propagação na direção negativa de x Onda senoidal:

) 2

( sin )

2 ( sin )

,

( x t A x ct A k x t

v π ω

λ

π ₋ ₌ ₋

=

onde λ é o comprimento de onda, k = 1/ λ ^{é o}

(73)

Movimento gerado pela superposição de duas ondas senoidais idênticas propagando-se em direções contrárias.

) cos(

) 2

( sin 2

) 2

( sin )

2 ( sin )

,

( x t A k x t A k x t A k x t

v = π − ω + π + ω = π ω

As duas ondas combinam-se para formar uma única onda estacionária cujo padrão de

movimento oscila na freqüência ω ^.

(74)

A equação da onda contendo derivadas de

segunda ordem no espaço vale para as análises de fios, barras e eixos mas não para vigas.

Problemas de vibração livre sem amortecimento são caracterizados por soluções que

representam ondas estacionárias.