Mestrado em Matemática Aplicada

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

P´

os-graduac

¸˜

ao em Matem´

atica Aplicada

Mestrado em Matem´

atica Aplicada

Elisiane Brasil Cust´

odio

Crescimento de Matrinx˜

a e Tambaqui: Modelos

Fuzzy

Santo Andr´e - SP 2013

(2)

(3)

Universidade Federal do ABC

Centro de Matemática, Computação e Cognição

Crescimento de Matrinx˜

a e Tambaqui: Modelos

Fuzzy

Elisiane Brasil Cust´odio

Orientador: Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi

Disserta¸cão apresentada junto ao Centro de Ma-temática, Computa¸cão e Cogni¸cão da Universi-dade Federal do ABC, para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada.

Santo Andr´e - SP 2013

(4)

(5)

Este exemplar foi revisado e alterado em rela¸cão à versão original, de acordo com as observa¸cões levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador. Santo André, de de 20 .

Assinatura do autor: Assinatura do orientador:

(6)

`

A minha familia pelo apoio. `

(7)

Agradecimentos

Ao Prof. Rodney por ter me orientado

A todos os meus colegas de mestrado que me ajudaram muito durante todo esse periodo. Aos professores do curso de p´os-gradua¸c˜ao.

Aos meus pais, Joaqui A. Cust´odio e Maria Rosa B. Cust´odio , pelo apoio, incentivo e carinho.

`

A UFABC o apoio financeiro concedido durante todo o per´ıodo de mestrado e pela estru-tura que oferece aos estudantes e pesquisadores.

A todos que de alguma forma contribu´ıram com o meu progresso como aluna e como Ser.

(8)

Resumo

Neste trabalho foi estudado a dinâmica populacional de duas espécies de peixes que são encontrados na bacia amazônica e que possuem importância econômica para a região. Para fazer esse estudo utilizou-se o Principio de Alometria e o Modelo de von Berta-lanffy Generalizado e para uma maior precisão utilizou-se a teoria dos conjuntos fuzzy e o Principio de Extensão de Zadeh. Pois muitas vezes os dados resultantes da medi¸cão e pesagem dos animais não possui muita precisão. A teoria fuzzy consegue englobar essas imprecisões ao modelo, já que foram consideradas imprecisões na condi¸cão inicial e no coeficiente alométrico.

Palavras-Chave

Crescimento de peixes; Modelo de von Bertalanffy Generalizado; Modelos Fuzzy; Princ´ıpio de Exten¸c˜ao de Zadeh

(9)

9

Abstract

This study investigated population dynamics of two species of fish that are encounte-red in the Amazon basin and have economic importance to the region. To do this study we used the Principle of Allometry and Model Generalized von Bertalanffy and greater precision used the theory of fuzzy sets and Zadeh Extension Principle. Because often the data from the measurement and weighing of animals not has very accurately. Fuzzy theory can encompass these inaccuracies to the model, were considered as inaccuracies in the initial condition and the allometric coefficient.

Keywords

(10)

Sum´

ario

1 Resultados Preliminares 13

1.1 Alometria . . . 13

1.2 Modelo de von Bertalanffy Cl´assico . . . 14

1.3 An´alise do modelo de von Bertalanffy . . . 15

2 Modelo de von Bertalanffy Generalizado 19 2.1 Solu¸c˜ao do Modelo . . . 19

2.2 Pontos de Equil´ıbrio . . . 20

2.2.1 Ponto de Inflex˜ao . . . 20

2.2.2 Estima¸c˜ao da Constante de Anabolismo . . . 21

2.2.3 Estima¸c˜ao do Parˆametro de Alometria . . . 22

2.3 Modelo Log´ıstico Generalizado . . . 22

2.3.1 An´alise da taxa de varia¸c˜ao . . . 23

3 Dinˆamica Fuzzy 24 3.1 Conceitos e defini¸c˜oes . . . 24

3.2 Solu¸c˜ao fuzzy do Modelo de von Bertalanffy Generalizado . . . 30

4 Modelagem Fuzzy para o Crescimento de Peixes 32 4.1 Alometria do Matrinx˜a . . . 33

4.2 Alometria do Tambaqui . . . 36

4.3 Modelo generalizado de von Bertalanffy com condi¸c˜ao inicial fuzzy . . . 38

4.4 Modelo com Parˆametro de Alometria Fuzzy . . . 39

5 Ponto de Inflexão Fuzzy 42 5.1 Ponto de Inflexão com Condi¸cão inicial fuzzy . . . 43

5.2 Ponto de Inflex˜ao com Parˆamentro de Alometria Fuzzy . . . 45

6 Conclus˜oes 48

Bibliografia 49

(11)

Lista de Figuras

1.1 Curva de von Bertanffy para crecimento em peso de peixes . . . 18

1.2 Curva de von Bertanffy para crecimento em comprimento de peixes . . . . 18

3.1 Extens˜ao de Zadeh . . . 29

4.1 Tambaqui . . . 32

4.2 Matrinx˜a . . . 33

4.3 ˆb matrinx˜a . . . 35

4.4 Alometria com parˆametro fuzzy Matrinx˜a , ˆb = [2, 95; 3, 1; 3, 15] . . . 35

4.5 Alometria peso x comprimento do Tambaqui com parˆametro fuzzy, ˆb = [2, 85; 2, 91; 2, 95] . . . 36

4.6 Modelo de von Bertalanffy Generalizado com condi¸c˜ao inicial fuzzy do Ma-trinx˜a ˆp0 = [0 ; 0, 6] . . . 38

4.7 Modelo de von Bertalanffy Generalizado com condi¸c˜ao inicial fuzzy do Tam-baqui ˆp0 ∈ F(R) . . . 39

4.8 Modelo de von Bertalanffy Generalizado do Matrinx˜a com γ fuzzy . . . . 40

4.9 Modelo de von Bertalanffy Generalizado do Tambaqui com γ fuzzy . . . . 41

5.1 Tempo de inflex˜ao para o matrinx˜a com ˆp0=[0 ; 0,6] . . . 45

5.2 Representa¸c˜ao do n´umero fuzzy ˆp0 = [0 ; 1] . . . 45

5.3 Tempo de inflex˜ao para o tambaqui com − ˆp0=[0 ; 1] . . . 46

5.4 Região de pontos de inflexão para o matrinxã com parâmetro de alometria ˆ λ = [2, 95; 3, 1; 3, 15] . . . 46

5.5 Região de pontos de inflexão para o tambaqui com parâmetro de alometria ˆ λ = [2, 85; 2, 91; 2, 95] . . . 47

(12)

Introdu¸

c˜

ao

Nas últimas décadas a Biomatemática vem tendo um desenvolvimento fortemente en-corajado pelo aparecimento de novas teorias matemáticas (Teoria do Caos e as bifurca¸cões, Teoria Fuzzy, Espa¸cos de Aspectos, etc. ) e técnicas derivadas de recursos computacionais. Recentemente, o surgimento de novos paradigmas, cada vez mais desvinculados dos tradi-cionais, pressupostos pelo reducionismo, propiciam modelos mesoscópicos mais realistas, capazes de simular, prever e influir nos fenômenos biológicos tais como: dinâmica de redes filamentares, difusão de insetos e poluentes, redes neuronais, agrega¸cão celular,padrões de forma¸cão em geral, controle de pragas etc. [4]

Neste projeto, analisamos o desenvolvimento de alguns peixes da bacia amazônica. Os modelos populacionais ou de alometrias de peixes são quase sempre formulados por meio de sistemas variacionais determin´ısticos que consideram seus parâmetros, como valores médios ou ajustados com dados imprecisos, obtidos ou da contagem de anéis de escamas ou da calcifica¸cão de ferrões, no caso dos bagres. São “modelos exatos ” que invariavelmente não condizem com a realidade. Ter modelos mais confiáveis passou a ser a preocupa¸cão dos pesquisadores, principalmente para se ter controle de estoques e evitar sobre pesca.

A ferramenta matemática que usamos em nossos modelos são os sistemas variacionais fuzzy que podem comportar vários tipos de subjetividades (fuzziness), dependendo da escolha da variável de estado e dos parâmetros. No caso de se estudar a dinâmica de uma popula¸cão, muitas vezes as informa¸cões que temos sobre os parâmetros e variáveis são parciais ou não temos certeza, nem mesmo, das condi¸cões iniciais. Nessa disserta¸cão não privilegiamos a imprecisão em detrimento da exatidão fornecida pela matemática clássica, simplesmente queremos utilizar ferramentas alternativas para modelar o crescimento de peixes, quando os dados amostrais são parciais ou imprecisos. Em nosso caso espec´ıfico, é muito dif´ıcil ter informa¸cões de dados alométricos como comprimento e peso relacionados com a idade dos peixes.

Usaremos equa¸cões determin´ısticas do tipo de von Bertalanffy, onde se contempla o metabolismo e anabolismo para a análise do crescimento em peso dos peixes, como equa¸cões determin´ısticas associadas aos sistemas fuzzy com parâmetros e condi¸cões iniciais incertas.

Uma estimativa fuzzy de alguns parâmetros será obtida, considerando-se conjecturas do tipo: “ O crescimento máximo (ponto de inflexão da curva) se dá em torno do instante em que o animal tem suas gônadas amadurecidas”.

(13)

Os dados utilizados foram fornecidos por pesquisadores da Universidade Federal do Amazonas, que est˜ao muito interessados nos poss´ıveis modelos, originados de dados par-ciais ou mesmo subjetivos, que utiliza conceitos novos provenientes da l´ogica fuzzy.

Este trabalho est´a estruturado em 5 cap´ıtulos como segue.

No primeiro cap´ıtulo, abordamos o Princ´ıpio de Alometria. Na se¸cão 1.2 apresentamos o modelo de von Bertalanffy Clássico que foi proposto pelo biólogo austr´ıaco von Berta-lanffy em 1938 juntamente uma análise do modelo, também apresentamos as equa¸cões de von Betalanffy que leva em considera¸cão o anabolismo e o catabolismo do peixe .

No segundo cap´ıtulo apresentamos o Modelo de von Bertalanffy Generalizado que considera a taxa de alometria própria de cada espécie. Na se¸cão 2.1 apresentamos a sua solu¸cão. Além disso, exibimos as op¸cões do algoritmo para a estimativa de α, β, γ e p∗. Na se¸cão 2.2 mostramos o Modelo Log´ıstico Generalizado que quando os parâmetros assumem determinados valores o modelo descreve o modelo de von Bertalanffy.

Algumas defini¸cões e resultados importantes da Teoria dos Conjuntos Fuzzy são dadas no cap´ıtulo 3. Além de algumas defini¸cões, propriedades e opera¸cões com conjuntos fuzzy são apresentados na se¸cão 3.1. Na se¸cão 3.2 apresentamos a extensão do fluxo determin´ıstico e a solu¸cão fuzzy do Modelo de von Bertalanffy Generalizado usando o princ´ıpio da extensão de Zadeh .

No cap´ıtulo 4 apresentamos os gráficos de alometria para as duas espécies e os gráficos do Modelo Generalizado de von Bertalanffy com a condi¸cão inicial fuzzy e os gráficos em que o parâmetro de metabolismo γ é fuzzy.

Já no cap´ıtulo 5 mostramos que existe um tempo de inflexão fuzzy para modelos de crescimento inibido que é o caso do Modelo de von Bertalanffy. Também exibimos proposi¸cões relacionadas ao ponto de inflexão quando a condi¸cão inicial é fuzzy e quando γ é fuzzyficado.

(14)

Cap´ıtulo 1

Resultados Preliminares

Neste cap´ıtulo abordamos o Princ´ıpio de Alometria que foi utilizado em nosso projeto bem como o modelo de von Bertalanffy.

Determinar a idade de um peixe nem sempre é poss´ıvel além de ser algo demorado, por isso para se analisar a dinâmica dos peixes utiliza-se o princ´ıpio de alometria. O Princ´ıpio de Alometria afirma que para o mesmo indiv´ıduo a razão entre os crescimentos espec´ıficos (relativos) de seus órgãos é constante . [3]

1.1 Alometria

Consideremos x(t) e y(t) sendo as medidas dos órgãos ou partes distintas de um mesmo individuo num determinado instante t. Em linguagem matemática o Princ´ıpio de Alometria é representado pela seguinte equa¸cão :

1 x dx dt = α 1 y dy dt (1.1)

onde x(t) e y(t) são positivos diferente de zero ; os valores de t são positivos e α é a taxa de proporcionalidade do crescimento relativo (coeficiente de alometria). Pela regra da cadeia a equa¸cão acima pode ser escrita como uma equa¸cão autônoma

dx dy = α

x

y (1.2)

resolvendo a equa¸c˜ao temos Z 1 xdx = α Z 1 ydy ⇒ ln x = α ln y + lnc com ln c constante e c > 0. Assim temos que

ln x = ln(cyα) ⇒ x = cyα (1.3)

(15)

1.2. MODELO DE VON BERTALANFFY CL ´ASSICO 15

1.2 Modelo de von Bertalanffy Cl´

assico

Em 1938 o biólogo austr´ıaco von Bertalanffy formulou um modelo o qual estabelece que “ o crescimento do peso do peixe é proporcional à área de sua superf´ıcie externa (anabolismo) e o decaimento é proporcional à energia consumida (catabolismo) que é proporcional ao peso”. [3]

dp

dt = αA − βp (1.4)

sendo que α representa a taxa de s´ıntese do peso por unidade de área do peixe (constante de anabolismo), β que representa a taxa de diminui¸cão do peso por unidade de peso (constante de catabolismo), A representa a área da superf´ıcie externa e p representa o peso. Sendo assim, pelo Princ´ıpio da Alometria temos que:

• o peso ´e proporcional ao volume: p = k1v

• o volume ´e proporcional ao cubo do comprimento: v = k2l3

• a ´area ´e proporcional ao quadrado do comprimento: A = k3l2

Logo

A = kp23

justificando o termo 2

3, para o parâmetro de alometria, presente no Modelo de von Ber-talanffy Clássico para crescimento (em peso) que é descrito pelo seguinte PVI

_dp dt = αp 2 3 − βp p(0) = p0 (1.5) onde p=p(t) é a massa do peixe em fun¸cão do tempo t, p0 é a massa inicial, α é constante

de anabolismo e β é a constante de catabolismo. No final do cap´ıtulos propomos uma alometria mais flexivel que leva em considera¸cão as particularidades de cada espécie.

Note que a equa¸cão diferencial que descreve o modelo é um equa¸cão de Bernoulli com n = 2₃. Substituindo z = p13 vem dz dt = 1 3p −2 3dp dt = 1 3p −2 3 αp23 − βp = 1 3(α − βz) dz dt = 1 3(α − βz) ⇔ dz (α − βz) = 1 3dt Z dz (α − βz) = Z 1 3dt Z ₋₁ β −βdz (α − βz) = 1 3t + c

(16)

16 CAP´ITULO 1. RESULTADOS PRELIMINARES −1 β ln(α − βz) = 1 3t + c ln(α − βz) = −β 3 t + c α − βz = c1e −β 3 t −βz = c2e −β 3 t− α

cuja solu¸c˜ao ´e dada por

z = α β + Ce

−βt 3

como z = p13 temos que p = z3. Assim,

p = α β + Ce −βt 3 3 (1.6) Quando t=0, o peso do peixe ser´a dado por um valor muito pequeno sendo assim podemos considerar p(0) ∼= 0 logo

α β + Ce −β0₃ 3 = 0 α β + C = 0 ⇒ C = − α β substituindo o valor de C na equa¸c˜ao (1.6) temos

p = α β − α βe −βt₃ 3 = α β 3 1 − e−βt3 3 (1.7) Quando o tempo cresce p tende ao seu peso limite p∞=

α β

3

1.3 An´

alise do modelo de von Bertalanffy

Para entendermos um pouco mais do modelo iremos fazer um estudo da equa¸c˜ao diferencial do modelo.

Para analisar a taxa de varia¸c˜ao, igualamos a zero a equa¸c˜ao deferencial do PVI (1.5). Sendo assim temos:

αp23 − βp = 0 ⇔ p

αp−13 − β

= 0 (1.8)

O que implica que p=0 ou que αp−13 − β = 0, logo os pontos de equil´ıbrio s˜ao p=0 e

p = α β

3

(17)

1.3. AN ÁLISE DO MODELO DE VON BERTALANFFY 17 Para analisarmos a máxima taxa de varia¸cão usaremos a segunda derivada

d2_p dt2 = 2 3αp −1 3 − β dp dt = 0 2 3αp −1 3 − β = 0 como dp_dt > 0 dp dt = 0 ⇒ p = 8 27 α β 3 = 8 27p∞

Podemos concluir que os pontos de equil´ıbrios ocorrem quando p=0 ou quando t tende ao infinito. O ponto de crescimento m´aximo ou de inflex˜ao do modelo ocorre quando p(t) = ₂₇8 p∞.

Temos que o tempo de inflex˜ao t∗ ocorrer´a no instante t∗ = 3ln(3)

β

Usando o Princ´ıpio de Alometria podemos obter também um modelo para o cresci-mento em compricresci-mento do peixe. Consideremos l = l(t) o compricresci-mento de um peixe no instante t, a rela¸cão alométrica entre peso e o comprimento é dada por

λ dp dt p = dl dt l ⇔ l(t) = b [p(t)] λ ou p(t) = k[l(t)]r com r = 1 λ De (1.5) temos que dp_dt = αp23 − βp logo

λαp 2 3 − βp p = dl dt l dl dt = l αp−13 − βp λ

O valor que λ assume depende da espécie considerada, variando com a forma do peixe. Para valores maiores que 1₃ o peixe terá uma forma ”aredondada”, para valores menores que 1₃ o peixe será mais longil´ıneo.

Por simplicidade consideraremos λ = 1₃, de acordo com a alometria isom´etrica p = kl3

ou l = bp13.

Usando a expressão alométrica o modelo será dado por: _dl

dt = λ (bα − βl)

(18)

18 CAP´ITULO 1. RESULTADOS PRELIMINARES resolvendo esse PVI temos

dl dt = βλ bα β − b dl bα β − b = β λdt −ln bα β − b = βλt + C bα β − b = −Aeβλt usando a condi¸c˜ao inicial l(0) = l0 obtemos

l0 = bα β − Ae (−βλ)0 l0− bα β = −A A = bα β − l0 l(t) = bα β − bα β − l0 e−βλt Que possui como solu¸c˜ao

l(t) = bα β 1 − e βλt (1.10) quando l0 ' 0. Quando t → ∞ lim t→∞l(t) = limt→∞ bα β − bα β − l0 e−βλt = bα β bα

β corresponde ao comprimento m´aximo lmax e portanto

lmax = b(pmax) 1 3 A equa¸c˜ao l(t) = lmax 1 − eβλt (1.11) ´

e denominada equa¸cão de von Bertalanffy para o crescimento em comprimento, de peixes. As equa¸cões de von Bertalanffy (1.7) e (1.11) baseiam-se no processo inibitório dos crescimentos em peso e em comprimento. Tais modelos tem sido utilizados pelos biólogos. Entretanto se considerarmos que as formas das várias espécies de peixes são bem variadas, podemos pensar num processo de alometria mais flex´ıvel A = kpγ com os parâmetros ajustados para cada espécie e γ correspondendo ao parâmetro de alometria. Os gráficos das curvas de von Bertalanffy em rela¸cão ao peso e comprimento estão a seguir:

(19)

1.3. AN ´ALISE DO MODELO DE VON BERTALANFFY 19

Figura 1.1: Curva de von Bertanffy para crecimento em peso de peixes

(20)

Cap´ıtulo 2

Modelo de von Bertalanffy

Generalizado

Considerando a alometria dada pela equa¸c˜ao A = αpγ o modelo de von Bertalanffy toma a seguinte forma mais geral

dp dt = αp

γ_{− βp}

p(0) = p0

(2.1) Sendo que p = p(t) é o peso do animal em fun¸cão do tempo, p0 é a nossa condi¸cão inicial,

α e β são as constantes de anabolismo e catabolismo, γ é o parâmetro alométrico tal que γ ∈ (0, 1). Se γ = 2₃ temos o modelo de von Bertalanffy Clássico.

2.1 Solu¸

c˜

ao do Modelo

Para resolver esse modelo basta fazer uma substitui¸cão de variável de tal modo que a equa¸cão poderá generalizá-los do tipo von Bertalanffy transformada numa equa¸cão linear.

Considerando Z = p1−γ e fazendo as substitui¸c˜oes necess´arias em (2.1) temos : dZ

dt + β(1 − γ)Z = α(1 − γ) (2.2) Usando o fator integrante µ(t) = eR β(1−γ)dt = eR β(1−γ)t temos

eR β(1−γ)tdZ

dt + β(1 − γ)Ze

R β(1−γ)t

= α(1 − γ)eR β(1−γ)t, (2.3) cuja solu¸c˜ao ´e dada por

Z(t) = α β + Ce

−β(1−γ)t

(2.4) Substituindo Z por p1−γ _{, a equa¸c˜}_{ao (2.4) ficar´}_{a da seguinte maneira:}

p(t) = α β + Ce −β(1−γ)t _1−γ1 (2.5) 20

(21)

2.2. PONTOS DE EQUIL´IBRIO 21

2.2 Pontos de Equil´ıbrio

Assim como em outros modelos temos que o peso limite ocorre quando o tempo tende ao infinito, isto ´e,

p∗ = lim

t→∞p(t)

Assim temos que

p∗ = lim t→∞ α β + Ce −β(1−γ)t _1−γ1 = α β _1−γ1 (2.6) usando a condi¸c˜ao inicial p(0) = p0 e p∗ temos

p(0) = α β + Ce −β(1−γ)0 _1−γ1 = α β _1−γ1 1 + Cβ α _1−γ1 = p∗ 1 + Cβ α _1−γ1 ⇒ ⇒ p0 p∗ = 1 + Cβ αe −β(1−γ)0 _1−γ1 ⇒ p0 p∗ 1−γ = 1 + Cβ α ⇒ p0 p∗ 1−γ − 1 = Cβ α ⇒ C = " p0 p∗ 1−γ − 1 # α β substituindo C em (2.6) temos: p(t) = α β _1−γ1 " 1 + p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)t #_1−γ1

que implica que

p(t) = p∗ " 1 + p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)t #_1−γ1 (2.7) No caso em que p0 ' 0temos que

p(t) = p∗ 1 − e−β(1−γ)t

1 1−γ

(2.8)

2.2.1 Ponto de Inflex˜

ao

Para encontrarmos o ponto de inflex˜ao de p(t) basta usarmos a segunda derivada e a igualarmos a zero, sendo assim

d2p dt2 = αγp γ−1dp dt − β dp dt =αγp γ−1 _{− β} dp dt = 0 Como a taxa de varia¸c˜ao ´e sempre positiva temos que

αγpγ−1_inf − β = 0 ⇔ pinf = p∗

1 γ

(22)

22 CAPÍTULO 2. MODELO DE VON BERTALANFFY GENERALIZADO Portanto o ponto de inflexão será

pinf = p∗

1 γ

_γ−11

(2.9) Utilizando (2.9) na equa¸c˜ao (2.7) temos :

p∗ 1 γ _γ−11 = p∗ " 1 + p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)tinf #_1−γ1 ⇔ p∗(γ)1−γ1 _{= p}∗ " 1 + p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)tinf #_1−γ1 ⇔ γ = 1 + p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)tinf ⇔ γ − 1 = p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)tinf ⇔ γ − 1 p0 p∗ 1−γ − 1 = e −β(1−γ)tinf ⇔ ln     γ − 1 p0 p∗ 1−γ − 1     = −β(1 − γ)tinf

Sendo a assim temos que o tempo de inflex˜ao ser´a dado por

tinf = − ln γ−1 (p0 p∗) 1−γ −1 (1 − γ)β (2.10)

Quando possu´ımos o valor do tempo de inflex˜ao podemos calcular o valor de β.

2.2.2 Estima¸

c˜

ao da Constante de Anabolismo

Da equa¸cão (2.6) podemos explicitar α, que é a nossa constante de anabolismo em fun¸cão de p∗ e β ,

p∗ = α β

_1−γ1

(23)

2.3. MODELO LOG´ISTICO GENERALIZADO 23

2.2.3 Estima¸

c˜

ao do Parˆ

ametro de Alometria

A equa¸cão que define a equa¸cão do cálculo do parâmetro de alometria γ depende do ponto de inflexão pinf, pois

pinf = p∗ 1 γ _γ−11 ⇔ pinf p∗ = 1 γ _γ−11 ⇔ γγ−11 = p ∗ pinf

Vamos analisar o que acontece quando γ tende a 1. Primeiro fa¸camos a seguinte mudan¸ca de vari´avel:

x = 1

1 − γ ⇒ γ = 1 − 1 x Assim temos que

lim γ→1γ 1 γ−1 = lim x→∞ 1 − 1 x − x substituindo x por -w temos que

lim w→−∞ 1 + 1 w w = e Sendo assim temos que

lim γ→1γ 1 γ−1 = e (2.12) Como γγ−11 ₌ p ∗ pinf

> 1 temos que o valor de p

∗

pinf

ser´a maior que e,isto ´e, pinf < p∗_e

caso contrário não é poss´ıvel realizar os dados utilizando esse modelo.

2.3 Modelo Log´ıstico Generalizado

Em um artigo A. Tsoularis, J. Wallace propõe uma generaliza¸cão da equa¸cão de cresci-mento log´ıstico com a incorpora¸cão de alguns parâmetros, que dependendo de seus valores estabelecem crescimento distintos do modelo original, assim como modifica os valores de inflexão. dN dt = rN α " 1 − N K β#γ (2.13) Onde

r: Taxa de crescimento intr´ınseco; N: Peso;

(24)

24 CAP´ITULO 2. MODELO DE VON BERTALANFFY GENERALIZADO No caso particular em que os parˆametros α,β e γ correspondem a 2

3 , 1

3 e 1 respecti-vamente, temos o Modelo de von Bertalanffy Cl´assico:

dN dt = rN 2 3 " 1 − N K 1₃# (2.14) Se α + β = 1 e γ = 1 temos o Modelo de von Bertalanffy Generalizado.

2.3.1 An´

alise da taxa de varia¸

c˜

ao

Igualando (2.13) a zero, obtemos os pontos de equil´ıbrio: rN23 " 1 − N K 1₃# = 0

Como r > 0, ∀ r temos que N = 0 ou "

1 − N K

1₃# = 0.

O que implica que temos dois pontos de equil´ıbrio para essa equa¸c˜ao diferencial que s˜ao N = 0 e N = K.

Para fazermos a análise da máxima taxa de varia¸cão derivamos (2.14) obtendo assim d2_N dt2 = 2 3rN −1 3 − r K13 (2.15) Para encontrarmos os pontos cr´ıticos de (2.15) basta igualarmos a zero a derivada segunda

2 3rN −1 3 − r K13 = 0 Assim, N = ₂₇8K

(25)

Cap´ıtulo 3

Dinˆ

amica Fuzzy

Os dados obtidos num processo de medi¸cão e pesagem de peixes apresentam impre-cisões, pois o trabalho deve ser feito de modo rápido. Devido a isso torna-se viável o uso da teoria dos conjuntos fuzzy.

A teoria dos conjuntos fuzzy teve inicio em 1965 pelo matemático Lofit Asker Zadeh com a publica¸cão de Fuzzy Sets. A principal intensão da lógica fuzzy é a de dar tratamento matemático a termos lingu´ısticos subjetivos tais como ”aproximadamente”e ”entorno de”.

3.1 Conceitos e defini¸

c˜

oes

Para formalizar o conceito de conjuntos fuzzy Zadeh utilizou-se de que para qualquer conjunto clássico podemos definir uma fun¸cão tal que essa fun¸cão é a fun¸cão caracter´ıstica. Defini¸cão 1. (Fun¸cão Caracter´ıstica) Seja U um conjunto e A um subconjunto de U. A fun¸cão caracter´ıstica de A é dada por

χA(x) =

1 se x ∈ A 0 se x 6∈ A

Defini¸cão 2. (Subconjuntos Fuzzy) Seja U um conjunto (clássico); um subconjunto fuzzy A de U é caracterizado por uma fun¸cão

ϕA: U → [0, 1]

denominada fun¸cão de pertinência do subconjunto fuzzy A. O ´ındice A na fun¸cão de per-tinência é usado em analogia à fun¸cão caracter´ıstica de um subconjunto clássico, conforme Defini¸cão 1.

O valor ϕA(x) ∈ [0, 1] indica o grau com que o elemento x de U est´a no conjunto A.

Um subconjunto fuzzy A é composto de elementos x de um conjunto clássico U , provi-dos de um valor de pertinência a A, dado por ϕA(x).POdemos dizer que um subconjunto

fuzzy A de U ´e dado por um conjunto (cl´assico) de pares ordenados: A = { (x, ϕA(x)), com x ∈ U }

(26)

26 CAPÍTULO 3. DIN ÂMICA FUZZY Defini¸cão 3. (α-n´ıvel) Seja A um subconjunto fuzzy de U e α ∈ [0, 1]. O α-n´ıvel de A ´

e o subconjunto cl´assico de U definido por

[A]α _{= {x ∈ U : ϕ(x) > α} , para α ∈ (0, 1] .}

Defini¸c˜ao 4. Seja A um subconjunto fuzzy de U, o suporte de A, denotado por supp(A), ´

e um subconjunto de U cujos elementos têm grau de pertinência não nulos supp(A) = {x ∈ U/ϕA(x) > 0}

Defini¸c˜ao 5. (N´umero Fuzzy)

Seja U = R. Dizemos que um subconjunto fuzzy A em R é um número fuzzy quando o conjunto universo no qual ϕA está definida, éo conjunto do números reais R e satisfaz às

condi¸c˜oes:

1. todos os α-n´ıveis de A são não vazios, com 0 ≤ α ≤ 1; 2. todos os α-n´ıveis de A s˜_{ao intervalos fechados de R;} 3. o suporte {x : µA(x) > 0}= suppA é limitado

A defini¸cão de número fuzzy dada acima é bem geral. É comum encontrarmos na literatura números fuzzy triangulares , trapezoidais e os sinoidais. Em nosso modelo utilizamos números fuzzy triangulares.

Defini¸cão 6. (Número fuzzy triangular) Um número fuzzy A é dito triangular se a sua fun¸cão de pertinência é da forma

ϕA(x) =        0 se x ≤ a x−a u−a se a < x ≤ u x−b u−b se u < x ≤ b 0 se x > b

A fun¸cão de pertinência de um número fuzzy triangular tem a forma de um triângulo, cuja base é o intervalo [a,b] e o vértice fora da base é o ponto (u,1).

Sendo assim os números reais a,u e b definem o número triangular A. Nesse trabalho o número fuzzy triangular será denotado por (a;u;b). Note que a defini¸cão de número triangular fuzzy não determina que o número fuzzy é necessariamente simétrico, pois (b-u) pode ser diferente de (u-a), porém a fun¸cão de pertinência em u sempre será 1.

Os α-n´ıveis de um n´umero triangular tˆem a seguinte forma

[aα₁, aα₂] = [(u − a)α + a, (u − b)α + b] ∀α ∈ [0, 1] (3.1) Defini¸cão 7. Opera¸cões Aritméticas com Números Fuzzy

(27)

3.1. CONCEITOS E DEFINIÇ ÕES 27 1. A soma dos números fuzzy A e B é o número fuzzy A+B, cuja fun¸cão de pertinência

´e ϕA+B(z) = (sup min φ(z) [ϕA(x), ϕB(y)] se φ(z) 6= 0 0 se φ(z) = 0 onde φ(z) = {(x, y) : x + y = z}.

2. A multiplica¸cão de λ por A é o número fuzzy λA, cuja fun¸cão de pertinência é ϕλA(z) = (sup min {x:λx=z} [ϕA(x)] se λ 6= 0 χ{0} se λ = 0 =    ϕA(λ−1z) se λ 6= 0 χ{0} se λ = 0

onde χ{0} ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica de 0.

3. A diferen¸ca A-B é o número fuzzy cuja fun¸cão de pertinência é dada por: ϕA−B(z) = (sup min φ(z) [ϕA(x), ϕB(y)] se φ(z) 6= 0 0 se φ(z) = 0 ondeφ(z) = {(x, y) : x − y = z}.

4. A multiplica¸cão de A por B é o número fuzzy A·B ϕA·B(z) = (sup min φ(z) [ϕA(x), ϕB(y)] se φ(z) 6= 0 0 se φ(z) = 0 onde φ(z) = {(x, y) : x.y = z}.

5. A divisão é o número fuzzy A/B cuja fun¸cão de pertinência é ϕA/B(z) = (sup min φ(z) [ϕA(x), ϕB(y)] se φ(z) 6= 0 0 se φ(z) = 0 onde φ(z) = {(x, y) : x/y = z}.

Teorema 3.1.1. Os α-n´ıveis do conjunto fuzzy A ⊗ B s˜ao dados por [A ⊗ B]α = [A]α⊗ [B]α

para todo α ∈ [0, 1], sendo ⊗ qualquer uma das opera¸c˜oes aritm´eticas mencionadas ante-riormente.

Não será feita a demonstra¸cão desse teorema por que foge do propósito deste trabalho. A demonstra¸cão desse teorema pode ser encontrada em Pedrycz e Gomide [9].

(28)

28 CAPÍTULO 3. DIN ÂMICA FUZZY Proposi¸cão 3.1.2. Sejam A e B números fuzzy com α-n´ıveis dados, respectivamente , por [A]α = [aα₁, aα₂] e [B]α = [bα₁, bα₂]. Então valem as seguintes propriedades:

1. A soma entre A e B é o número fuzzy A+B cujos α-n´ıveis são [A + B]α = [A]α+ [B]α = [aα₁ + bα₁, aα₂ + bα₂] 2. A diferen¸ca entre A e B é o número fuzzy A-B cujos α-n´ıveis são

[A − B]α = [A]α− [B]α _{= [a}α 1 − b α 1, a α 2 − b α 2]

3. A multiplica¸cão de λ por A é o número fuzzy A·B cujos α-n´ıveis são [λA]α = λ[A]α =

(

[λa1α, λa2α] if λ > 0

[λa2α, λa1α] if λ < 0

4. A multiplica¸cão de A por B é o número fuzzy A·B cujos α-n´ıveis são [A · B]α = [A]α· [B]α = [minP, maxP ]

onde P={aα₁bα₁, aα₁bα₂, aα₂bα₁, aα₂bα₂}.

5. A divisão de A por B, se 0 /∈ suppB,é o número fuzzy cujos α-n´ıveis são A B α = [A] α [B]α = [a α 1, a α 2] 1 bα 1 , 1 bα 2

Exemplo 3.1.1. Sejam os n´umeros fuzzy triangulares A e B que indicam, respectiva-mente, aproximadamente 4 e aproximadamente 6, dados por

A = (3; 4; 5) e B = (5; 6; 7)

O resultado de A⊗B para cada uma das opera¸cões aritméticas entre números fuzzy, antes de mostramos os resultados observemos que pela fórmula (3.1) temos que os α-n´ıveis de A e B são

[A]α = [3 + α, 5 − α] e [B]α = [5 + α, 7 − α] pela Proposi¸c˜ao 3.1.2 temos

1. [A + B]α _{= [8 + 2α; 12 − 2α] = [8; 10; 12]}

2. [A − B]α _{= [−4 + 2α; −2α] = [−4; −2; 0]}

3. [3A]α_{= [9 + 3α; 15 − 3α] = [9; 12; 15]}

(29)

3.1. CONCEITOS E DEFINIC¸ ˜OES 29 5. A_Bα=3+α_7−α;5−α_5+α

´

e de fácil verifica¸cão que os números fuzzy obtidos pela soma, diferen¸ca e multiplica¸cão por escalar ainda são números fuzzy triangulares. Porém a multiplica¸cão e a divisão não tem essa mesma propriedade. Seja A = (a1; u; a2) e B = (b1; v; b2) da equa¸cão (3.1) temos

[A]α = [(u − a1)α + a1, (u − a2)α + a2] [B]α= [(u − b1)α + a1, (u − b2)α + b2] Assim [A + B]α = [A]α+ [B]α logo, [A + B]α = [{(u + v) − (a1+ b1)} α + (a1+ b1) ; {(u + v) − (a2+ b2)} α + (a2+ b2)]

Novamente pela fórmula (3.1) esses intervalos são os α-n´ıveis do número fuzzy trian-gular

[(a1+ b1); (u + v); (a2+ b2)]

de maneira análoga podemos mostrar para a A-B e conclui-se que λA é triangular se A for um número fuzzy triangular.

Defini¸cão 8. (Princ´ıpio de extensão de Zadeh) Sejam f uma fun¸cão f:X → Z e A subconjunto fuzzy de X. A extensão de Zadeh de f é a fun¸cão ˆf que, aplicada a A, fornece o subconjunto fuzzy ˆf (A) de Z, cuja fun¸cão de pertinência é dada por

ϕ_{f (A)}ˆ (z) =

( sup

f−1_(z)

ϕ(A) se f−1(z) 6= ∅ 0 se f−1(z) = ∅

onde f−1(z) = {x; f (x) = z} é a pré-imagem de z. Sendo assim o Princ´ıpio de extensão de Zadeh afirma que

• O grau de pertinência de um valor do contradom´ınio é definido diretamente pelo grau de pertinência de sua pré imagem

• Quando um valor do contradom´ınio é mapeado por vários do dom´ınio, o seu grau de pertinência é obtido pelo supremo dos graus de pertinência dos valores da entrada. Na figura 3.1 temos a representa¸cão do Princ´ıpio de extensão de Zadeh

Teorema 3.1.3. Teorema de Nguyen [10] Se _{f : R}n _{→ R}n _´_{e continua, ent˜}_{ao a}

extens˜ao de Zadeh ˆf : F(Rn) → F(Rn) est´a bem definida e,

[ ˆf (U )]α _{= f ([U ]}α_{) = {f (x)/x ∈ [U ]} ∀α ∈ [0, 1] e U ∈ F(R}n₎

Este resultado indica que os α-n´ıveis do conjunto fuzzy, obtidos pelo Princ´ıpio de Extens˜ao de Zadeh, coincidem com as imagens dos α-n´ıveis pela fun¸c˜ao crisp.

(30)

30 CAP´ITULO 3. DIN ˆAMICA FUZZY

Figura 3.1: Extens˜ao de Zadeh Extens˜ao do fluxo determin´ıstico

Consideremos o seguinte problema de valor inicial x0_{(t) = f (x(t))}

x(0) = x0

(3.2) Quando f é continuamente diferenciável, a solu¸cão do PVI acima é única e depende da condi¸cão inicial e do tempo. Sendo assim a solu¸cão

ϕ(t, x0) : R+× Rn → Rn

do problema (3. 2) ´e uma fun¸c˜ao continua de x0. Temos que ϕ0(x0) = x0 e ϕ0t(x0) =

f (ϕt(x0)), a solu¸c˜ao ϕ(x0) ´e denominada fluxo gerado pelo campo vetorial f.

Considerando que a condi¸c˜ao inicial seja incerta, ou seja, x(0) = ˆx0com ˆx0subconjunto

fuzzy de E, assim temos um sistema fuzzy associado a equa¸c˜ao (3. 2) ˆx0(t) = f (x(t))

ˆ

x(0) = ˆx0

(3.3) Neste caso a solu¸cão depende da condi¸cão inicial, que é fuzzy. A solu¸cão do sistema associado (3.2) por esta abordagem é definida como sendo a fun¸cão obtida pela aplica¸cão do Princ´ıpio de extensão de Zadeh ao fluxo deterministico ϕt(x0), obtendo assim

ˆ

(31)

3.2. SOLUÇ ÃO FUZZY DO MODELO DE VON BERTALANFFY GENERALIZADO 31 Pela continuidade de ϕ(x0) com rela¸cão à condi¸cão inicial x0, a igualdade

[ ˆϕt(ˆx0)]α = ϕt([ˆx0)]α) (3.4)

´

e satisfeita para todo α ∈ [0, 1]. Portanto, a trajet´oria determinada por ϕt(ˆx0) consiste

de uma fam´ılia de trajet´orias determin´ısticas dadas por ϕt . Para cada ¯x ∈ Rn, o grau de

pertinência da trajetória ϕt(¯x) em ˆϕt(ˆx) é igual ao grau de pertinência de ¯x em ˆx pois,

pelo princ´ıpio de extens˜ao de Zadeh

µϕˆt(ˆx0)(ϕt(¯x0)) = supϕxˆ0(τ ) : ϕt(τ ) = ϕt(¯x0)

A igualdade ϕt(τ ) = ϕt(¯x0) vale, em particular para t=0, ou seja, τ = ¯x. Logo, o

supremo ´e tomado em um conjunto unit´ario , portanto µϕˆt(ˆx0)(ϕt(¯x0)) = µxˆ0(¯x0)

Para o caso em que ˆx0 ´e um conjunto fuzzy de En, ent˜ao temos os α-n´ıveis de ˆx0

convexos e compactos e, como consequência, ϕt([ˆx0]α) também é convexo e compacto

para todo α ∈ [0, 1]. Sendo assim ˆϕt(ˆx0) ´e um subconjunto fuzzy de Enpara todo t ∈ R+.

Se considerarmos o caso em que a subjetividade aparece nos parâmetros da fun¸cão f, então precisamos aplicar a extensão de Zadeh ao fluxo do sistema determin´ıstico

x0_{(t) = f (x(t), b)}

x(0) = x0

(3.5) onde x0 ∈ Rn e b ∈ Rm ´e um vetor de parˆamentros para f. Portanto , adicionando ao

sistema acima as equa¸c˜oes

         b0₁ = 0 b0₂ = 0 .. . b0_m = 0 (3.6)

temos um novo sistema de dimensão n+m    x0(t) = f (x(t)) b0(t) = 0 x(0) = (x0, b) (3.7) onde o vetor de parâmetro b aparece agora na condi¸cão inicial. Dessa forma, voltamos ao caso descrito acima onde somente a condi¸cão inicial é fuzzy.

3.2

Solu¸c˜ao fuzzy do Modelo de von Bertalanffy Generalizado dp

dt = λp γ_{− βp}

(32)

32 CAPÍTULO 3. DIN ÂMICA FUZZY e sua solu¸cão determin´ıstica

pt(p0, β, γ, p∗, λ, t) = p∗ " 1 + p0 p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)t #_1−γ1 (3.8) considerando que a condi¸cão inical p0 seja incerta, então os α-n´ıveis da solu¸cão fuzzy são

dados por [ˆpt(ˆp0)]α = p∗ " 1 + [ˆp0] α p∗ 1−γ − 1 ! e−β(1−γ)t #_1−γ1 (3.9) para o caso em que o parâmetro de alometria γ é fuzzy, os α-n´ıveis da solu¸cão fuzzy são dados por [ˆpt(ˆγ)]α = p∗ " 1 + p0 p∗ 1−[ˆγ]α − 1 ! e−β(1−[ˆγ]α)t #_1−[ˆ1_γ]α (3.10) Note que a expressão determin´ıstica para p∗ depende dos parâmetros α, β e γ.

p∗(λ, β, γ) = λ β

_1−γ1

(3.11) Sendo assim se considerarmos qualquer um dos parâmetros como sendo fuzzy é equi-valente a considerar p∗ fuzzy. Por exemplo, ao tomar o parâmetro de alometria γ fuzzy os α-n´ıveis da capacidade suporte são dados por

[ˆp∗(ˆγ)]α= λ β

_1−[ˆ1_γ]α

(33)

Cap´ıtulo 4

Modelagem Fuzzy para o

Crescimento de Peixes

Podemos considerar que a atividade pesqueira na Amazônia é extrativista e está con-dicionada ao n´ıvel das águas dos rios, com superprodu¸cão na época da ”seca”e escassez durante a época da ”cheia”, o que exerce influência no pre¸co final do produto. Para mi-nimizar o efeito da sazonalidade tem-se como alternativa a cria¸cão de peixes em cativeiro que propicia melhor equil´ıbrio entre a oferta e procura no mercado regional, estabilidade dos pre¸cos ao longo do ano além de contribuir para incrementar a exporta¸cão.

Estima-se que existam 411 piscicultores no Estado do Amazonas. As espécies mais cultivadas são o Matrinxã com área alagada de 27 ha, o Pirarucu com 21ha e o Tambaqui com 693 ha. Determinar a idade de um peixe é trabalhoso e dependendo da espécie não é poss´ıvel determinar a idade. Por isso usaremos os dados referentes ao comprimento e ao peso dos animais.

Neste trabalho estudamos o crescimento de peixes de duas espécies encontradas na bacia amazônica o Tambaqui e o Matrinxã.

Figura 4.1: Tambaqui

Tambaqui(Colossoma macropomum), tamb´em chamado de Pacu Vermelho, ´e um peixe

(34)

34 CAPÍTULO 4. MODELAGEM FUZZY PARA O CRESCIMENTO DE PEIXES de escamas cuja a colora¸cão geralmente é parda na metade superior e preta na metade inferior do corpo, mas pode variar para mais clara ou mais escura dependendo da cor da ´

agua. O tambaqui alcan¸ca cerca de 110 cm de comprimento total. Antigamente eram capturados exemplares com até 45 quilos. Hoje, por causa da sobre-pesca, praticamente não existem indiv´ıduos desse porte e o máximo que ele atinge é 30kg.

Figura 4.2: Matrinx˜a

O matrinxã (Brycon amazonicus) é um peixe de escamas, colora¸cão prateada, corpo alongado, capaz de atingir 80 cent´ımetros de comprimento e cinco quilos de peso.

Optamos por estudar estas duas esp´ecies por serem considerados peixes nobres da bacia amazˆonica juntamente com o pirarucu.

Utilizamos os dados fornecidos pelo grupo de pesquisa da UFAM.

4.1 Alometria do Matrinx˜

a

Como vimos no Cap´ıtulo 1, o crescimento de um animal mantém certas propriedades. A alometria entre o peso e o comprimento é dada por uma fun¸cão potência

p = alb proveniente da rela¸c˜ao alom´etrica

dp dt p = a dl dt l

Utilizando o método dos m´ınimos quadrados foi poss´ıvel ajustar uma fun¸cão do tipo exponêncial aos dados da tabela. Para que assim fossem encontrados os valores de a e b da equa¸cão de alometria. No caso do matrinxã, usando o ajuste obtemos

p = 2.10−5l3,1003

(35)

4.1. ALOMETRIA DO MATRINX ˜A 35 Tabela 4.1: Tabela (Peso e comprimento )-Matrinx˜a

Comprimento (cm) Peso (Kg) 7 0,0064 8,1 0,0103 9 0,0138 10 0,0164 11 0,0262 12 0,0366 12 0,0366 13 0,0457 14,1 0,0617 15 0,0754 16 0,1027 17 0,1183 18 0,1582 19 0,15 20 0,1972 21 0,2079 22 0,2369 23 0,2975 24 0,351 25 0,368 26 0,227 27 0,5552 28 0,518 29 0,603 30 0,6778 31 0,6879 32 0,784 33 0,8323 34 0,9297 35 0,9247 36 0,823 37 1,259 38 1,4442 39 1,4287 40 1,5798 41,3 1,6741 42,5 1,871 43 1,9322 45,6 1,9563

(36)

36 CAPÍTULO 4. MODELAGEM FUZZY PARA O CRESCIMENTO DE PEIXES O valor do parâmetro de alometria b = 3, 1003 que caracteriza o matrinxã não pode ser considerado um valor exato pois, como já frizamos, as medidas estão sujeitas a muitos fatores abióticos e bióticos que podem interferir neste valor. Desta forma, procuramos um modelo que contempla tais erros e subjetividades bióticas. Definimos então o parâmetro de alometria por meio de um conjunto fuzzy triangular, isto é,ˆb = [2, 95; 3, 1; 3, 15] cuja capacidade suporte é o intervalo [2,95;3,15]. Sendo que o valor 3,1 tem grau de pertinência 1.

Figura 4.3: ˆb matrinx˜a

Assim, a alometria entre peso e comprimento do matrinxã é dada pela equa¸cão p = f (l, ˆb) = 2.10−5l3,1ˆ

Figura 4.4: Alometria com parâmetro fuzzy Matrinxã , ˆb = [2, 95; 3, 1; 3, 15] Podemos observar que para cada valor do comprimento l o peso agora é um conjunto fuzzy (ver figura 4.4)

(37)

4.2. ALOMETRIA DO TAMBAQUI 37

4.2 Alometria do Tambaqui

Temos que

p = 5.10−5l2,91 cujo gr´afico ´e dado na figura 4.5

Figura 4.5: Alometria peso x comprimento do Tambaqui com parˆametro fuzzy, ˆb = [2, 85; 2, 91; 2, 95]

Nosso objetivo ´e formular modelos de crescimento (peso e comprimento) destes peixes que contemplem a subjetividade e os erros das medidas apresentados nas tabelas de dados.

(38)

38 CAP´ITULO 4. MODELAGEM FUZZY PARA O CRESCIMENTO DE PEIXES Tabela 4.2: Tabela (Peso e comprimento )- Tambaqui

Comprimento (cm) Peso (Kg) 3,4 0,00118 4 0,00221 5,4 0,00738 9,4 0,03261 9,7 0,03768 10 0,0409 15 0,1366 16 0,1372 17,1 0,2099 18 0,229 19,1 0,1491 22 0,3795 22,3 0,3859 23,2 0,4404 24 0,5402 25 0,5775 26,9 0,7609 27 0,7784 28 0,8672 29 0,9279 29 0,8264 30,1 1,072 31,1 1,061 32 1,2689 33,1 1,3387 34,2 1,6181 35 1,5133 42,5 2,95 45,5 3,6 50,2 4,35 60,1 7,1 65 9,3 70 13,35 75 11,15 77,5 14,85 78,2 22,5 80 18,125 82,1 22 85 21,5

(39)

4.3. MODELO GENERALIZADO DE VON BERTALANFFY COM CONDIC¸ ˜AO INICIAL FUZZY39

4.3 Modelo generalizado de von Bertalanffy com condi¸

c˜

ao

inicial fuzzy

_dp dt = αp γ_{− βp} ˆ p0 ∈ F(R) (4.1) Temos que para cada valor inicial p0 ∈ supp ˆp0 a equa¸c˜ao (4.1) admite uma ´unica

solu¸cão p(t). Então a solu¸cão fuzzy ˆp(t, p0) é definida como a extensão de Zadeh da

solu¸cão determin´ıstica do sistema associado _dp dt = αp γ_{− βp} ˆ p0 ∈ R (4.2) observemos que o grau de pertinência de cada p(t) ∈ ˆp(t, p0) é o mesmo grau de p0 em ˆp0

Desta forma, a solu¸c˜ao fuzzy de (4.1) ´e dada por : ˆ p(t) = p ∗ " 1 + ˆp0 p∗ _1−γ1 − 1 ! e−β(1−γ)t #

Para o matrinx˜a, temos p*= 5kg, α = 2, 5519767, β = 1, 433178 , γ = 2 λ =

2

3,1 ' 0, 645

onde λ ´e a constante de alometria.

A condi¸cão inicial ˆp0 é dada pelo conjunto fuzzy A cuja fun¸cão grau de pertinência é

ϕ_A(p0) = 1 − _0,6p0 se 0 6 p0 6 0, 6

0 se p0 ∈ [0; 0, 6]/

O gr´afico de ˆp(t) pode ser vizualizado na figura (4.6)

Figura 4.6: Modelo de von Bertalanffy Generalizado com condi¸c˜ao inicial fuzzy do Ma-trinx˜a ˆp0 = [0 ; 0, 6]

(40)

40 CAPÍTULO 4. MODELAGEM FUZZY PARA O CRESCIMENTO DE PEIXES Para o tambaqui, temos p*= 30kg, α = 2, 8367, β = 1, 0288 , γ = 2_λ = _2,912 ' 0, 687. Tomando a condi¸cão inicial como sendo o conjunto fuzzy definido pela fun¸cão grau de pertinência:

ϕA(p0) = 1 − _0,6p0 se 0 6 p0 6 0, 6

0 se p0 ∈ [0; 0, 6]/

obtemos a solu¸c˜ao para o peso do tambaqui esbo¸cado na figura (4.7)

Figura 4.7: Modelo de von Bertalanffy Generalizado com condi¸c˜ao inicial fuzzy do Tam-baqui ˆp0 ∈ F(R)

O teorema a seguir garante a estabilidade dos pontos de equilibrio do modelo com condi¸c˜ao inicial fuzzy.

Teorema 4.3.1. Seja ¯x equilibrio de (4.1). Ent˜ao,

1. χ{¯x} é estável pra o sistema (4.1) se, e somente se, ¯x é estável para (4.2).

2. χ{¯x}é assintóticamente estável para o sistema (4.1) se,e somente se, ¯x é assintóticamente

est´avel para (4.2).

3. χ{¯x} é instável se, e somente se, ¯x é instável.

Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao deste teorema se encontra em [10]

4.4 Modelo com Parˆ

ametro de Alometria Fuzzy

Se considerarmos o sistema autonˆomo dp

dt = f (t, ˆγ)

p0 ∈ R

(41)

4.4. MODELO COM PAR ÂMETRO DE ALOMETRIA FUZZY 41 Onde o parâmetro ˆγ é um conjunto fuzzy. Para obter a solu¸cão necessitamos ampliar a dimensão do sistema para que tenhamos apenas a condi¸cão inicial fuzzy

   dp dt = f (t, γ) dγ dt = 0 p0 ∈ R e γ0 ∈ F(R) (4.4) Assim a solu¸cão fuzzy de (4.2) será a proje¸cão do sistema fuzzy ampliado que pode ser obetida pela fuzzyfica¸cão do sistema deterministico associado a (4.3)

ˆ p = ˆp∗[1 − e−β(1 − ˆγ)t]1−ˆ1γ quando p 0 ' 0 ou ˆ p = ˆp∗[1 + p0 ˆ p∗ _1−ˆ1_γ − 1 − e−β_{(1 − ˆ}_γ)t]_1−ˆ1_γ _{se p} 0 6≡ 0

Quando fuzzyficamos o parâmetro γ também fuzzyficamos p*, pois pela equa¸cão 2.6 temos que p∗ =α_β

1 1−γ

. Sendo assim temos que ˆ

p∗ = α β

_1−ˆ1_γ

Para o matrinx˜a, usamos ˆp∗ = (1, 7832)1−ˆ1γ_{, α = 2, 55,β = 1, 43,ˆ}_{γ = [0, 63492; 0, 645; 0, 6779]}

Figura 4.8: Modelo de von Bertalanffy Generalizado do Matrinx˜a com γ fuzzy Para o tambaqui, usamos ˆp∗ = (2, 757)1−ˆ1γ, α = 2, 837,β = 1, 029 como o parˆametro

fuzzy dado pelo conjunto fuzzy triangular ˆγ = [0, 669; 0, 687; 0, 702]

Podemos observar que em ambos os modelos, os dados das tabelas s˜ao sempre valores coerentes com o fluxo fuzzy.

(42)

42 CAP´ITULO 4. MODELAGEM FUZZY PARA O CRESCIMENTO DE PEIXES

(43)

Cap´ıtulo 5

Ponto de Inflex˜

ao Fuzzy

Quando utilizamos modelos de crescimento inibido determin´ıstico na modelagem do crescimento em peso de animais criados em cativeiros para a alimenta¸cão humana, como é o caso da psicultura, procura-se fazer o abate num tempo próximo ao que corresponde ao crescimento máximo, isto é, ponto de inflexão de p(t) para se obter o máximo rendimento com menor custo.

Modelos de crescimento inibidos são dados por uma equa¸cão autônoma x0_{(t) = f (x(t))}

x(0) = x0

(5.1) com f : I → R satisfazendo: f (0) = f (K) = 0 e f (x) > 0 para todo x ∈ (0, K), com K correspondendo à capacidade suporte. Um resultado relativo à existência de pontos de inflexão para (5. 1) é dado no seguinte teorema:

Teorema 5.0.1. [6] Seja f : I → R em (5. 1) côncava, f (0) = f (K) = 0 , f (x) > 0 para todo x ∈ (0, K) e x∗ o ponto de inflexão para o fluxo de ϕt(x0). Se a condi¸cão inicial

X0 é tal que [X0]0 = [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ (0, x∗) então existe um tempo de inflexão fuzzy

ti ∈ (t∗, t∗−ε) para o fluxo fuzzy ˆϕt(X0).

Demonstra¸c˜ao. sejam x1(t) e x2(t) como as respectivas solu¸c˜oes dos problemas

deter-min´ısticos x0 = f (x), x(0) = x01 = x0 − ε; x0 = f (x), x(0) = x02= x0+ ε;

Seja g : R+ → R por g(t) = x2(t) − x1(t). Desde que g(t) > 0 para todo t > 0, ent˜ao o

tempo de inflexão fuzzy existe se a fun¸cão g admitir um ponto de máximo. Para mostrar isso, provemos primeiramente que existe ti > 0 tal que g0(ti) = 0.

Com efeito, temos que g0(0) = f (x02) − f (x01) > 0 uma vez que f ´e cˆoncava e [X0]0 ⊂

(0, x∗). Por outro lado, desde que x1(t) → K quando t → ∞, existe τ > 0 tal que

(44)

44 CAP´ITULO 5. PONTO DE INFLEX ˜AO FUZZY x2(τ ) > x1(τ ) > x∗ e, novamente pela concavidade de f, temos que g0(τ ) < 0. Assim,

a continuidade de g0(t) garante que existe um ´unico ti > 0 tal que g0(ti) = f (x2(ti)) −

f (x1(ti)) = 0, de onde conclu´ımos que x2(ti) > x∗ > x1(ti). Como ϕt(x) ´e crescente, isso

implica que ti ∈ (tεi, t −ε i ).

Uma vez que g(ti) é crescente para t > ti então ti é um ponto de máximo para g(t) e

portanto temos a existˆencia de um tempo de inflex˜ao fuzzy.

A determina¸cão do tempo de inflexão fuzzy, cuja existência é garantida pelo teorema acima, depende de cada caso especificamente, isto é, depende da equa¸cão (5.1). No caso do parâmetro fuzzy ocorre o mesmo já que consideramos o sistema associado que faz com que o parâmetro apare¸ca na condi¸cão inicial.

5.1 Ponto de Inflex˜

ao com Condi¸

c˜

ao inicial fuzzy

Observamos que no caso do Modelo Generalizado fuzzy do tipo von Bertalanffy o tempo de inflex˜ao tinf que proporciona o ponto de inflex˜ao depende do p0 e de γ (vide

equa¸c˜ao (2.10) na se¸c˜ao 2.1.2 )

Exemplo 5.1.1. No caso do matrinx˜a, temos p*=5 e γ = 0, 645 ent˜ao pinf = 5(0, 645)

1

0,355 ∼_{= 1, 454}

Exemplo 5.1.2. Para o tambaqui temos p*=30 e γ = 0, 687 logo pinf = 30(0, 687) 1 0,313 ∼_{= 9, 041} Proposi¸c˜ao 5.1.1. Seja _dp dt = αp γ_{− βp} p(0) = ˆp0 ∈ F(R)

Temos que o ponto de inflex˜ao do sistema fuzzy associado quando p0 = ˆp0 ser´a constante

e o tempo de inflexão dependerá da condi¸cão inicial

Demonstra¸c˜ao. Do modelo determin´ıstico associado temos que pinf = p ∗

1 γ

_γ−11

= p ∗ (γ)1−γ1

logo, a condi¸cão inicial fuzzy ˆp0 não interfere no valor de ˆpinf que será constante para

todo p0 ∈ ˆp0, coincidindo com o valor do modelo deterministico.

Observa¸cão: No caso da condi¸cão inicial ser fuzzy temos que os instantes que ocorrem os valores de inflexão para cada elemento p(t, p0) de ˆp estão no intervalo [ˆt1inf, ˆt2inf]

(45)

5.1. PONTO DE INFLEX ÃO COM CONDIÇ ÃO INICIAL FUZZY 45 De fato: Da equa¸cão determin´ıstica do modelo generalizado, temos

p(t) = α β + Ce −β(1−γ)t _1−γ1 de onde tiramos p∗ =α_β 1 1−γ ⇒α β = (p∗)1−γ Ainda, p0 = α β + C _1−γ1 ⇒ C = p1−γ₀ − (p∗)1−γ

Então, a solu¸cão do modelo determin´ıstico pode ser escrita como : p(t) = (p∗)1−γ + p1−γ₀ − (p∗)1−γ_e−β(1−γ)t_1−γ1 ou p(t) = p ∗ 1 − 1 −p0 p∗ 1−γ e−β(1−γ)t _1−γ1 p(t) p∗ 1−γ = 1 − 1 −p0 p∗ 1−γ e−β(1−γ)t 1−₍p(t)_p∗ ₎1−γ 1−(_p∗p0)1−γ = e −β(1−γ)t E portanto, t = − 1 β(1 − γ)ln    1 −p(t)_p∗ 1−γ 1 − p0 p∗ 1−γ    Logo t é uma fun¸cão da condi¸cão inicial p0

Exemplo 5.1.3. Para o matrinx˜a ˆp0 = [0 ; 0, 6]

Ent˜ao t1_inf(0) = − 1 β(1 − γ)ln    1 −p(t)_p∗ 1−γ 1 − p0 p∗ 1−γ   = 2, 03593 t2_inf = 0, 78385

(46)

46 CAP´ITULO 5. PONTO DE INFLEX ˜AO FUZZY

Figura 5.1: Tempo de inflex˜ao para o matrinx˜a com ˆp0=[0 ; 0,6]

Exemplo 5.1.4. Para o tambaqui tomando, p∗ = 30, β = 1, 029,γ = 0, 687, pinf = 9, 041

e ˆp0 = [0; 1]

Figura 5.2: Representa¸c˜ao do n´umero fuzzy ˆp0 = [0 ; 1]

Obtemos o intervalo de tempo que se tem o crescimento m´aximo dado por ˆ

t = [2, 29; 3, 61]

5.2 Ponto de Inflex˜

ao com Parˆ

amentro de Alometria

Fuzzy

Podemos observar da equa¸cão determin´ıstica que p ponto de infle¸cão depende de γ, isto é, pinf = p ∗ 1 γ _γ−11 = p ∗ (γ)1−γ1

Proposi¸cão 5.2.1. O sistema fuzzy com coeficiente ˆγ, associado ao modelo generalizado de von Bertalanffy admite para cada γ em ˆγ um único ponto de inflexão.

(47)

5.2. PONTO DE INFLEX ˜AO COM PAR ˆAMENTRO DE ALOMETRIA FUZZY 47

Figura 5.3: Tempo de inflex˜ao para o tambaqui com − ˆp0=[0 ; 1]

Demonstra¸cão. A existência do tempo de inflexão tinf (γ) decorre do teorema (5.0.1).

Por outro lado temos que a fun¸c˜ao p(γ) = p ∗ 1

γ _γ−11

com 0 < γ < 1 ´

e mon´otona crescente e portanto para cada tinf(γ) temos um ´unico ponto pinf(γ)

As figuras (5.4) e (5.5), correspondentes a região de pontos de infle¸cão do matrinxã e do tambaqui respectivamente, mostram as regiões onde se encontram os pontos de inflexão.

Observamos que o valor de γ ´e dado pelo quociente γ = 2_λ, onde λ ´e o coeficiente de alometria do peso e comprimento

Figura 5.4: Região de pontos de inflexão para o matrinxã com parâmetro de alometria ˆ

(48)

48 CAP´ITULO 5. PONTO DE INFLEX ˜AO FUZZY

Figura 5.5: Região de pontos de inflexão para o tambaqui com parâmetro de alometria ˆ

(49)

Cap´ıtulo 6

Conclus˜

oes

Neste trabalho apresentamos aplica¸cões do Modelo de von Bertalanffy generalizado à duas espécies de peixes amazônicos.

A interpreta¸cão biológica dos parâmetros possui fundamental importância para ressal-tar caracter´ısticas relevantes do crescimento, como por exemplo o parâmetro de alometria γ, que corresponde a taxa de proporcionalidade do crescimento relativo. Quando reali-zamos pequenas altera¸cões em tal parâmetro conseguimos tornar o modelo mais realista como foi poss´ıvel perceber nos gráficos (4.4) e (4.5) da se¸cão 4 .

Conforme visto no cap´ıtulo 3 a solu¸cão fuzzy do modelo estima com graus de per-tinência em rela¸cão à curva do modelo determin´ıstico, inserindo assim,as varia¸cões que de fato ocorrem nos dados reais e no decorrer do processo de modelagem,imprimindo maior confiabilidade à solu¸cão obtida.

No cap´ıtulo 5 vimos que ao fuzzyficarmos a condi¸cão inicial o ponto de inflexão será constante, porém quando fuzzyficamos o parâmetro γ teremos um único ponto de inflexão para cada γ ∈ ˆγ

Em trabalhos futuros pretende-se explorar os demais parâmetros considerando impre-cisões e analisar o que ocorre quando todos os parâmetros são fuzzy.

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Referˆ

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