Hipersuperfícies com curvatura média prescrita em variedades riemannianas

(1)

UNIVERSIDADE

FEDERAL DO

CEAR

A

´

DEPARTAMENTO DEMATEMATICA´

MESTRADO EM MATEMATICA´

PRISCILA

RODRIGUES

DE

ALCANTARA

HIPERSUPERF

´

ICIES COM

CURVATURA

M ´

EDIA

PRESCRITA EM

V

ARIEDADES

RIEMANNIANAS

(2)

PRISCILA

RODRIGUES

DE

ALCANTARA

HIPERSUPERF

´

ICIES COM

CURVATURA

M ´

EDIA

PRESCRITA EM

V

ARIEDADES

RIEMANNIANAS

Dissertação submetida Coordenação do Curso de Pós-Gradução em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática.

´

Area de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira.

(3)

A348h Alcantara, Priscila Rodrigues de

Hipersuperf´ıcies com curvatura m´edia prescrita em variedades riemannianas / Priscila Rodrigues de Alcantara - Fortaleza:2010.

41f.

Orientador: Prof. Dr. Jorge Herbert Soares Lira ´

Area de concentração: Matemática

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Departa-mento de Matemática,2010.

1-Geometria diferencial

(4)

Dedicat´oria

Dedico este trabalho, em especial a Deus, que me presenteou com o Dom da Vida e por estar comigo sempre.

Aos meus familiares, em especial aos meus pais Antônio Deuszimar de Alcantara e So-nia Maria Rodrigues de Alcantara, meu irmão Deryson Rodrigues de Alcantara, aos meus avós Tereza de Jesus Rodrigues e Francisco Xavier Rodrigues(in memoriam), meus tios, tias e pri-mos, que acreditaram e favoreceram para que esta conquista se realizasse. Obrigada pelo incen-tivo, compreensão e paciência por ter lhes privado muitas vezes da minha companhia devido à necessidade de dedicação aos estudos.

Aos professores Juscelino Pereira Silva, Mário de Assis Oliveira, Zelalber Gondim Guimarães e Carlos Humberto Soares Júnior, por toda ajuda concedida para o ingresso no curso de Pós-graduação da UFC. Obrigada por me fazerem sonhar.

A Andrea Dantas, secretária da Pós-Graduação em Matemática da UFC, quero parabenizá-la por toda sua competência e prontidão na assistência a todos os alunos da Pós-graduação.

(5)

Agradecimentos

A Deus por ter me iluminado, permitindo que eu canalizasse minhas energias na conclus˜ao deste trabalho.

A todos os amigos da Pós-Graduação em Matemática da UFC, em especial: Vânia, Ana Shirley, Valéria, Wilson, Tiago Veras, Rondinelle, Leon Denis, Filipe Mendonça, José Deibson, Alexandro Belém, Raimundo Bastos (Bill), José Ederson, Thadeu, Edinardo, João Francisco (Piaget), Nazareno, Ernani, Kelton Brito, Flávio França, Francisco Calvi, Damião Júnio, Chaves, Tiarlos, João Vitor, Davi Lustosa, Fátima Cruz, Raquel Costa, Francisco de Assis, Júnio Mor-eira, Fagner, Edno. Tenham certeza de que todos vocês contribuiram com tijolos para que eu pudesse construir este caminho e finalizar esta jornada.

A C´ıcero Henrique Viana Correia, a quem carinhosamente chamo deMeu Amor, por toda compreensão que mostrou, principalmente nas muitas vezes que transpareci deixá-lo em se-gundo plano, limitando ligações, viagens, ou ainda direcionando o cansaço e preocupações da estressante e exigente vida de um mestrando em matemática. Por todas as palavras de apoio e incentivo, carinho e ombro amigo/noivo muito obrigada!

Ao professor Jorge Herbert S. Lira, pela paciência demonstrada e por toda ajuda durante a elaboração deste trabalho.

Aos demais professores do curso de pós-graduação em matemática da UFC: João Lucas Marques Barbosa, Levi Lima, Antonio Caminha, Marcos Melo, José Robério, Fernanda Esther, Luquésio Jorge, Cleon Barroso, Silvano Menezes, Abdênago Alves, Fábio Montenegro,Gregório Pacelli Bessa, Aldir Brasil e Eduardo Vasconcelos pela ajuda concedida nos momentos de dúvida mais obscuros.

`

(6)

“ What you do in life echoes in eternity.”

(7)

Resumo

O objetivo deste trabalho é exibir resultados de existência e unicidade de gráficos com curvatura média prescrita. Demonstraremos que uma fixação natural do problema de Dirich-let para gráficos de curvatura média prescrita é considerar esses gráficos como folhas em uma submersão Riemanniana transversal ao cilindro de Killing, isto é, ao cilindro dado pelas linhas de fluxo de um campo de vetores de Killing. Usando essa aproximação, somos capazes de re-solver o problema em um modo mais compreensivo, dando uma prova unificada e resultados de existência para uma ampla gama do ambiente de variedades Riemannianas.

(8)

Abstract

This work shows results existence and uniqueness of graphs with prescribed mean curva-ture. We demonstrate that a natural fixation Dirichlet problem for graphs of average curvature is required to consider those graphs like leaves on a Riemannian submersion Killing transversal cylinder, the cylinder given by flow lines of a Killing vector field. Using this approach, we are able to solve the problem in a way more comprehensive, giving a unified proof and existence results.

(9)

Sum´ario

Introduc¸˜ao 8

1 Campos de Killing 10

1.1 Exemplos . . . 12

2 Gráficos de Killing 17 2.1 A Equação da Curvatura Média na Forma Divergente . . . 20

2.1.1 Abordagem Variacional . . . 21

3 Resultados de Existˆencia 24 3.1 O M´etodo da Continuidade . . . 25

3.2 Esferas Geod´esicas como Barreiras . . . 26

3.3 Esferas de Curvatura M´edia Constante . . . 27

3.4 Apˆendice: uma f´ormula do fluxo . . . 29

4 Estimativas do Gradiente 31 5 Gráficos Helicoidais: um Protótipo para o Caso Não-Integrável 35 5.1 Prova do Teorema 2 . . . 36

5.2 Gr´aficos helicoidais emM2_×R _{. . . .} ₃₆

(10)

Introduc¸˜ao

Uma das principais questões para desenvolver uma teoria de superf´ıcies de curvatura média constante em ambientes Riemannianos gerais é a existência de exemplos. Os métodos que se baseiam principalmente em construções geométricas podem falhar por falta de simetrias ou estruturas mais r´ıgidas no ambiente. No entanto, o problema pode ser reformulado em ter-mos anal´ıticos, pelo menos localmente, como a existência de gráficos com curvatura média constante. Isto requer essencialmente apenas uma noção adequada de gráfico, o que pode ser obtido se supusermos que a variedade riemanniana é dotada de um campo de Killing.

O problema de Dirichlet para curvatura média prescrita de gráficos de Killing foi resolvido em [5] para para espaços ambiente dotados com um campo de vetores de Killing o qual deter-mina uma distribuição normal integrável. Neste caso, a variedade ambiente está submersa em cada uma das folhas integrais. Aqui, consideraremos uma generalização de [2] para submersões cujas fibras verticais são dadas por linhas de fluxo de uma translação infinitesimal. Agora,não

estamos assumindo a integrabilidade da distribuição normal. Enfatizamos o fato de que não impomos restrições na curvatura da variedade base. Entre os ambientes com que lidamos neste trabalho, podemos citar mais dimensões espaços de Heisenberg e esferas de dimensão ´ımpar submersas no espaço projetivo complexo.

Nosso resultado de existência é provado usando o método de continuidade para EDP el´ıptica quasilinear. Em ordem para obter estimativas a priori é essencial para este método usarmos cilindros de Killing como barreiras. Mais precisamente, dada a submersão Riemanniana π :

¯

Mn+1 _→ Mne um dom´ınioΩemM com fecho compacto e bordoΓ, os cilindros de Killing

KeM0sobreΓeΩ¯ s˜ao respectivamente os subconjuntosπ−1(Γ)eπ−1( ¯Ω). Denotaremos por

Hcyla curvatura m´edia deK e por Ric o tensor de Ricci deM¯. Suponhamos que n˜ao existem

pontos singulares deY emM0 e que as linhas integrais deY s˜ao completas aqui. Usando esta

notac¸˜ao, afirmamos nosso teorema.

(11)

9

Teorema. SejaΩ _⊂M um dom´ınio com fecho compacto eC2,α _{com bordo}_Γ_{. Suponha que}

Hcyl>0e que

inf

¯

M Ric≥ −ninfΓ H 2

cyl. (1)

SejaH _∈Cα( ¯Ω)eφ_∈C2,α(Γ)funções dadas. Assuma que existe uma imersãoC2,αι: ¯Ω_→ ¯

M transversal `as fibras verticais emM0. Se

sup

Ω |

H_{| ≤}inf

Γ Hcyl, (2)

então existe uma única funçãou _∈ C2,α( ¯Ω)satisfazendo u_|Γ = φcujo gráfico de KillingΣ

possui curvatura m´ediaH.

A hipótese na existência de uma imersão ι é usada simultaneamente para introduzir um conjunto de coordenadas bem adequadas para o problema e definir propriamente a noção de gráfico. Em termos dessas coordenadas, podemos tornar evidente que a métrica ambiente é fixa. Finalmente,ι( ¯Ω) é usado como barreira para produzir um gráfico inicial m´ınimo pelo método direto do Cálculo das Variações. No caso dos espaços de Heisenberg de maior dimensão, existe uma folha m´ınima transversal às linhas de fluxo do campo vetorial vertical. Então, neste caso particular, não é necessária a hipótese. No entanto, se considerarmos o exemplo das esferas de dimensão ´ımpar submersas no espaço projetivo complexo, não é garantido que sempre existe tal gráfico m´ınimo com respeito às fibras de Hopf. No entanto, observamos que submersões com fibras totalmente geodésicas constituem um exemplo importante onde podemos construir inicialmente gráficos de Killing . De fato, se assumirmos que o cilindro de KillingM0sobreΩ¯

é completo, então cones geodésicos com bordo emKe vértice na metade do lado convexo deK

podem ser tomados, depois de suavização em torno do vértice, como gráficos de Killing iniciais. Assim, pode-se excluir a hipótese neste caso.

(12)

Cap´ıtulo 1

Campos de Killing

Doravante,M denota uma variedade riemanniana de dimens˜aon+ 1, cuja m´etrica denotamos porg. Por comodidade, dados dois campos vetoriaisX, Z _∈Γ(T M), escrevemos

g(X, Z) =_hX, Z_i.

Definic¸˜ao 1. SejamMuma variedade Riemanniana eX_∈X₍_M₎_{. Seja}_p_∈_M_{e sejam}_U _⊂_M

uma vizinhança dep, eφ: (₋ε, ε)_×U _→ M uma aplicação diferenciável tais que para todo

q _∈U a curvat_7→ φ(t, q)é a trajetória deXpassando porqemt= 0. X é chamadoCampo de Killing conformese, para todo t0 ∈ (−ε, ε), a aplicação φ(t0) : U ⊂ M → M é uma

aplicac¸˜ao conforme.

Supomos que M é dotada de um campo vetorial conforme Y, cujas linhas de fluxo são completas e tal que a distribuição ortogonal

p_∈M _7→D_p ₌_{_v_∈_T_p_M _:_h_{Y, v}_i_{= 0}_{} ⊂}_T_p_M

é integrável. A mera definição de campo conforme acarreta a existência de uma funçãoρ _∈ C∞

(M)tal que

£_Y_g_{= 2}_ρg, _(1.1)

o que implica, por sua vez, em

2ρ_hX, Z_i = Y_hX, Z_{i − h}[Y, X], Z_{i − h}X,[Y, Z]_i = _h_∇¯YX−[Y, X], Zi+h∇¯YZ−[Y, Z], Xi

= _h_∇¯XY, Zi+h∇¯ZY, Xi,

(13)

CAP´ITULO 1. CAMPOS DE KILLING 11

para quaisquer X, Z _∈ Γ(T M). Nestes cálculos e ao longo do texto, _∇¯ denota a conexão riemanniana em(M, g). Conclu´ımos queY satisfaz a equação de Killing

h∇¯XY, Zi+h∇¯ZY, Xi= 2ρhX, Zi, X, Z ∈Γ(T M). (1.2)

Por outro lado, se denotarmos porω=g(Y,_·)a forma metricamente equivalente aY, o crit´erio de integrabilidade de Frobenius diz que

dω(X, Z) = 0,

para quaisquerX, Z _∈D_{. Segue que}

0 = X_hY, Z_{i −}Z_hY, X_{i − h}Y,[X, Z]_i = _h_∇¯XY, Zi − h∇¯ZY, Xi.

Disto resulta que

h∇¯XY, Zi=ρhX, Zi, X, Z ∈D. (1.3)

A equação (1.3) implica que as folhas integrais da distribuição D_{são hipersuperf´ıcies em}_M

com curvaturas principais iguais a

k= ρ

|Y_|, (1.4)

quando calculadas com respeito à orientação dada porY /_|Y_|.

Seja P_{uma folha integral de}D_{. Definimos o fluxo}_{Ψ :} R_×P _→ _M _{gerado por}_Y_{, com}

condições iniciais dadas por Ψ(0, p) = p, para algum p _∈ P_{. Denotamos} _Ψ_s _{= Ψ(}_s,_·₎ _e P_s_{= Ψ}_s₍P₎_{. Fixada esta notação, conclu´ımos que existe uma função}_λ_∈_C∞

(M)tal que hΨs∗X,Ψs∗Zi=λ2(s, p)hX, Zi, X, Z ∈Γ(T M). (1.5)

A partir de agora, nos restringiremos ao caso dos campos de Killing isométricos. Em termos da notação há pouco fixada, isto significa considerarmos ρ = k = 0 eλ = 1. O caso geral dos campos conformes não-isométricos apresenta algumas dificuldades técnicas as quais podem obnubilar as idéias essenciais dos métodos anal´ıticos que estudaremos.

Fixadas coordenadas locaisx1, . . . , xnemP_{, define-se um sistema de coordenadas em}_M

do seguinte modo: a um pontoq _∈ M tal queq = Ψ(s, p), para algump _∈ P_{, associamos}

coordenadas

q_7→(s, x1, . . . , xn)

desde que ap_∈P_{correspondam as coordenadas}_x1_{, . . . , x}n_{. Em termos dos campos}

coordena-dos

∂ ∂s

q=Y(q) = Ψs∗(p)·Y(p) e

∂ ∂xi

q= Ψs∗(p)·

∂ ∂xi

(14)

a m´etrica ambiente ´e escrita como

γ−1

ds2+σijdxidxj, (1.7)

onde

γ = 1 |Y_|2₍_q₎ =

1

|Y_|2₍_p₎ (1.8)

e

σij|q =σij|p =h

∂ ∂xi,

∂

∂xji|p (1.9)

é a métrica induzida em P_{. Em algumas circunstâncias, denotamos} _s ₌ _x0 _{e, mantida esta}

convenção, escrevemos a métrica ambiente abreviadamente como

¯

gabdxadxb, (1.10)

ondea, bvariam de0an. A m´etrica contravariante, atuando sobre covetores, tem componentes indicados por¯gab.

1.1 Exemplos

Nesta seção, apresentamos alguns exemplos elementares, embora importantes, da estrutura geométrica descrita anteriormente. No que segue,Md₍_κ₎_{denota a forma espacial de dimensão}

d, completa e simplesmente conexa, com curvatura seccional constanteκ.

Fixemos, doravante, M = Mn+1₍_κ₎ _e P _{uma hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica em} Mn+1₍_κ₎_{. Assim,}P _{´e um modelo da forma espacial}_n_-dimensionalMn₍_κ₎_{com a mesma}

cur-vatura. Seja

(r, θ)_∈R+_×Sn−1

7→p_∈P

um sistema de coordenadas polares na variedadeP_{, centradas em algum ponto}_o_emP_.

Consi-deremos tamb´em

(θ1, . . . , θn−1

)_∈Rn−1

7→θ_∈Sn−1 coordenadas generalizadas emSn−1

. Em termos dessas coordenadas, a m´etrica emP_{´e expressa}

por

dr2+sn2_κ(t) dσ2,

ondedσ2 =σijdθidθj é a métrica usual emSn−1 e snκ(r)é dada pela expressão

snκ(r) =

          

r, se κ= 0 sin√κr

√

κ , se κ >0

sinh√₋κr

√

(15)

Sejamca geod´esica emM passando por oe ortogonal aP_e_Y _{o campo de Killing em}_M

gerado pela translação geodésica ao longo dec. A norma ao quadrado deste campo é igual a

hY, Y_i=cs2_κ(r).

Assim, no pontoo, o vetorY(o)é a velocidade unitária dec. Lembremos que a funçãosnκ(r) é

a solução da equação de Jacobiu¨+κu= 0com condições iniciaisu(0) = 0eu˙(0) = 1, onde_· indica derivada com respeito ar. Além disso,sn˙κ(r) = csκ(r).

A restric¸˜ao deY aP_{define um campo normal a}P_{fora do conjunto de pontos singulares de}_Y

emP_{. Como antes,}_Ψ(_{s, p}₎_{denota o fluxo gerado por}_Y _eD_{= ker}_ω_{, onde}_ω ₌_h_Y, _{· i}_{. No caso}

que ora consideramos, as folhas integrais deD_{s˜ao hipersuperf´ıcies totalmente geod´esicas dadas}

porP_s _{= Ψ}_s₍P₎_{. Assim, o parˆametro} _s_{do fluxo pode ser considerado como uma coordenada}

emM. As coordenadas(r, θ1, . . . , θn)s˜ao ent˜ao estendidas aM ao longo do fluxo: associamos os mesmos valores dessas coordenadas a pontos correspondentes emP _e_Ψ_s₍P₎ _{com respeito}

à aplicaçãoΨs : P → Ps. A métrica emM é dada em termos destas coordenadas cil´ındricas

(r, θ, s)por

dl2 =cs2_κ(r)ds2+ dr2+sn2_κ(r)dσ2. (1.11)

Determinamos agora a conexão Riemanniana∇¯ deM em termos dessas coordenadas. Temos, pela equação de Killing,

h∇¯YY, Yi= 0.

Em particular, a norma do campo de Killing ´e constante ao longo das ´orbitas do fluxo s _7→

Ψ(s, p). Al´em disso, o fato de que as folhas integrais de D_{s˜ao hipersuperf´ıcies totalmente}

geod´esicas implica que

h∇¯ ∂ ∂rY,

∂

∂ri=h∇¯∂r∂ Y,

∂

∂θii=h∇¯_∂θi∂ Y,

∂

∂θji= 0.

Segue igualmente da equac¸˜ao de Killing que

h∇¯YY,

∂

∂ri=−hY,∇¯∂r∂ Yi=− 1

2∂rhY, Yi=−csκ(r) ˙csκ(r). (1.12) Geometricamente, estas equac¸˜oes significam o seguinte: parar fixado, a linha de fluxo de Y

passando sobre o c´ırculo geod´esico em P _{centrado em} _o _{com raio} _r _{gera um cilindro, dito}

cilindro de Killing emM.

(16)

cilindro é hipersuperf´ıcie de n´ıvel da função coordenada r. Ademais, conclu´ımos a partir da expressão

h∇¯ ∂ ∂θi

Y, ∂ ∂ri= 0

queY = _∂s∂ e _∂θ∂i são direções principais desses cilindros. Calculemos, portanto, as correspon-dentes curvaturas principais. Para tanto, observamos que

¯ ∇ ∂

∂θi

∂ ∂θj =: Γ

1

ij

∂ ∂r + Γ

k ij

∂ ∂θk.

No entanto, comoP₌Mn₍_κ₎ _{´e totalmente geod´esica, temos}

Γ1_ij =_h_∇¯ ∂ ∂θi

∂ ∂θj,

∂

∂ri=h∇

Mn₍_κ₎ ∂ ∂θi

∂ ∂θj,

∂ ∂ri=−

˙ snκ(ρ)

snκ(ρ)

hij,

onde(hij)n_i,j−₌₁1 s˜ao as componentes da m´etrica induzida em Pe ∇M

n₍_κ₎

´e a conex˜ao rieman-niana emP_{. Assim,} _(Γ1

ij)n

−1

i,j=1 s˜ao as componentes da segunda forma fundamental das esferas

geod´esicas em P_{com respeito ao campo vetorial unit´ario} ∂

∂r. Finalmente,(Γkij)n

−1

i,j,k=1 s˜ao os

s´ımbolos de Christoffel usuais para a esfera euclidiana Sn−1

⊂ Rn _{em termos das}

coorde-nadas(θi₎n−1

i=1. Conclu´ımos que as curvaturas principais dos cilindros de Killing nas direc¸˜oes

∂

∂s/|∂s∂|=cs

−1

κ (r)Y e ∂θ∂i s˜ao respectivamente iguais a

κs=−

˙ csκ(r)

csκ(r)

, κi=−

˙ snκ(r)

snκ(r)

.

Assim, a curvatura m´ediaHcyl dos cilindros de Killing ´e dada por

nHcyl=− ˙ csκ(r)

csκ(r) −

(n₋1)sn˙κ(r) snκ(r)

Em seguida, descrevemos mais concretamente estes fatos nos casos particulares em que

κ= 0,1,₋1. Paraκ= 0, em um ambiente euclidiano, o campo vetorialY é paralelo. Podemos fixarY(p) = a, um campo vetorial constante. Em particular, sua restrição aP ₌ _{_q _∈ _M _:

hq, a_i = 0_} é um campo normal. Este campo obviamente é livre de singularidades. O fluxo gerado por Y é dado por Ψ(s, p) = p +sa. As hipersuperf´ıcies de n´ıvel Ψs(P) formam a

fam´ılia de hiperplanos paralelos aP _{com a mesma direção normal}_a_{. A métrica neste caso é}

dada por

dl2 = ds2+ dr2+r2dσ2.

Quandoκ=₋1, a hipersuperf´ıcie integralP_{é um hiperplano totalmente geodésico}Hn₍₋₁₎_⊂ Hn+1₍₋₁₎_{. No modelo do semi-espaço}

(17)

este hiperplano pode ser visto como uma semi-esfera euclidiana centrada na origemoda fron-teira assint´otica_{xn+1 _{= 0}_}_{. A origem}_o_{das coordenadas polares em}_P _{pode ser fixada, por}

meio de isometrias hiperb´olicas, no ponto de maior coordenadaxn+1emP_{. Sendo assim, o trac¸o}

da geodésicacpode ser fixado como a semi-reta vertical passando poro. Nesta configuração, o campo de Killing é dado porY(p) = p. Este campo de vetores gera dilatações euclidianas, ou seja, translações emHn+1₍₋₁₎_{do tipo parabólico. O fluxo de}_Y _{é dado por}_Ψ(_{s, p}_{) =}_es_p_.

As hipersuperf´ıciesΨs(P)consistem na fam´ılia de semi-esferas euclidianas centradas emo. Os

cilindros de Killing correspondem a cones esféricos euclidianos com vértice em o, contendo uma esfera geodésica emP_{centrada em}_o_{. O quadrado da norma de}_Y _{em um ponto arbitrário}

deP_{´e igual a}

hY, Y_i=_h∂Ψ

∂s, ∂Ψ

∂si

s=0 =

e2s e2s₍_xn+1₎2 =

1 (xn+1₎2.

De outro modo, denotando porφo ˆangulo euclidiano entre o eixo vertical dado pelo trac¸o dec

e a norma do cilindro com direçãop, então

1/cosφ= 1/xn+1.

Por outro lado, a distˆancia geod´esicarentreoe o pontop

r =

Z ₁

cosφdφ= ln secφ+ tanφ

.

Ent˜ao,er= secφ+ tanφ= (1 + sinφ)/cosφe, portanto,e−r

= cosφ/(1 + sinφ). Assim,

coshr = secφ.

Logo,

hY, Y_i= cosh2r.

Deste modo, a m´etrica emHn+1₍₋₁₎_{em termos de coordenadas cilindricas ´e dada por}

cosh2rds2+ dr2+ sinh2rdσ2.

Quandoκ = 1, o campo vetorial de KillingY possui duas singularidades em pontos ant´ıpodas

a,₋aemSn+1₍₁₎_{. De fato, neste caso,}_Y _{é o campo gerado por rotações euclidianas fixando o}

eixo emRn+2_contendo_a_e₋_a_{. Consideramos}P₌Sn_{como o equador em}Sn+1₍₁₎_{, contendo}

±a, para o qualY é campo normal fora dos pontos_±a. A rotação gerada porY levaSn_{em uma}

fam´ılia de esferas totalmente geod´esicas, todas elas contendo_±a. Fixamos, ent˜ao, coordenadas polares(r, θ)com origem emo _∈ Sn_{, de modo que o ponto}_a_{corresponde ao valor}_r ₌ _π/₂_.

Definimosφ=π/2₋r. Com isto, as linhas de fluxo deY passando por pontos deSn_quando

(18)

linhas de fluxo de forma que, nos pontos deSn_{, o campo}_Y _{coincida com a velocidade desses}

c´ırculos geod´esicos com raio geod´esicoφ. Sendo assim, temos

hY, Y_i=_h∂Ψ

∂s, ∂Ψ

∂si= sin

2_φ_{= cos}2_r.

Portanto, a métrica esférica é escrita como

cos2rdr2+ dr2+ sin2rdσ2

Uma outra classe natural de exemplos com que lidaremos a seguir são os produtos rieman-nianos da formaMn₍_κ₎_×R_{, em que o campo de Killing em consideração é o campo paralelo}

coordenado _∂s∂ associado `a coordenada naturalsdo fatorR_{. Neste caso, coordenadas cil´ındricas}

são facilmente definidas, de modo que a expressão da métrica ambiente nesta carta é da forma

ds2+dr2+sn2_κ(r)dϑ2. (1.13)

(19)

Cap´ıtulo 2

Gr´aficos de Killing

Mantemos, doravante, a notac¸˜ao fixada no cap´ıtulo anterior. Dados um aberto limitadoΩ _⊂P

com fecho compacto e fronteira Γ = ∂Ωde classe C2,α, o gráfico de Killingde uma função

u_∈C2,α( ¯Ω,R₎ _{é, por definição, a hipersuperf´ıcie}

Σ =_{q= Ψ(u(p), p) :p_∈Ω¯_}.

Alternativamente,Σé o lugar geométrico definido pela equação

Φ(s, p) =s₋u(p) = 0,

onde definimos trivialmente a extensão u(s, p) = u(p), s _∈ R_{, da função}_u_{. O gráfico}_Σ _é

globalmente orientado pelo vetor normal unit´ario

N = 1

W ∇¯Φ. (2.1)

ondeW = _|_∇¯Φ_|. Adotando a notac¸˜ao abreviada∂s = _∂s∂ e ∂i = _∂x∂i, calculamos explicita-mente, no pontoq= Ψ(u(p), p),

¯

∇Φ(q) = ¯g00∂s−g¯ij(p)ui∂j(q) =γ∂s−σij(p)uiΨu(p)∗∂j(p)

= γ ∂s−Ψu(p)∗∇u(p),

onde_∇denota a conexão Riemanniana emP_{com respeito à métrica induzida e}

∇u=σijui∂j =uj∂j

´e o gradiente deurelativamente a esta m´etrica. Vale ressaltar que |∇u_|2 =uiui.

(20)

CAP´ITULO 2. GR ´AFICOS DE KILLING 18

Denotamos, no que segue,

W2 =γ+_|∇u_|2.

Fixada esta notac¸˜ao, conclu´ımos que

N = 1

W(γ ∂s−Ψ∗∇u) (2.2)

ondeΨ∗ denota abreviadamente a diferencial Ψs∗. Observamos que a orientação do gráfico é escolhida de modo que_hN, Y_i>0.

Por sua vez, o espac¸o tangente aΣno pontoq= Ψ(u(p), p)´e gerado pelos vetores tangentes

Xi= Ψ∗∂i+ui∂s,

o que implica, em particular, que a m´etrica induzida emΣtem componentes

gij =σij+

uiuj

γ ,

ao passo que os componentes de sua vers˜ao contravariante s˜ao

gij =σij ₋ u

i_uj

γ+_|∇u_|2.

Agora, determinamos a segunda forma fundamental deΣ, definida como o tensor sim´etrico

aij =h∇¯XiXj, Ni.

Temos

W aij =γuijh∂0, ∂0i+γuiujh∇¯∂0∂0, ∂0i+γujh∇¯∂i∂0, ∂0i+γuih∇¯∂j∂0, ∂0i + γ_h_∇¯∂i∂j, ∂0i −uiujh∇¯∂0∂0,Ψu(p)∗∇ui −ujh∇¯∂_i∂0,Ψu(p)∗∇ui − uih∇¯∂j∂0,Ψu(p)∗∇ui − h∇¯∂_i∂j,Ψu(p)∗∇ui.

Do fato queP_{´e hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica, resulta}

h∇¯∂i∂j, ∂0i= 0.

Os termos relativos à aceleração das linhas de fluxo são

h∇¯∂0∂0, ∂0i=

1 2∂sγ

−1 = 0

e

h∇¯∂i∂0, ∂0i= 1 2∂iγ

−1

(21)

Similarmente, usando o fato que, para cadas_∈R_{, a aplicação}_Ψ_s _{é uma isometria, temos}

h∇¯∂i∂j|q,Ψu(p)∗∇u(p)i=hΨu(p)∗∇¯∂_i∂j|p,Ψu(p)∗∇u(p)i=h∇∂_i∂j|p,∇u|pi e

h∇¯∂i∂0,Ψu(p)∗∇ui=h∇¯∂i∂0|q, u

j_∂

j|qi= 0.

Posto queui;j =uij − h∇∂i∂j,∇uis˜ao os componentes do hessiano deu, temos

W aij =ui;j− γi

2γuj− γj

2γui− γk

2γ2uiuju

k_.

Deste modo, infere-se facilmente que

W3ai_k = W3gijajk

= (W2σij₋uiuj)uj;k−

1 2u

i_γ

k−W2

γi

2γuk. (2.3)

Tomando traços e, em seguida, dividindo ambos os lados da expressão acima porW3_{, obtém-se}

a equação da curvatura médiaHdo gráfico de Killing deu, a saber,

nH = 1

W

σij ₋u

i_uj

W2

ui;j−

γiui

2W3 −

1

W γiui

2γ . (2.4)

Definimos, portanto, o operador

Q_[_u_{] :=}

ui

p

γ+uk_u k

;i−

1

p

γ+uk_u k

γiui

2γ −nH. (2.5)

Seja φuma função C2,α _em _{Γ =} _∂_Ω_{. O gráfico de Killing de} _φ_{, definido como o lugar}

geom´etrico dos pontos da forma

q = Ψ(φ(p), p), p_∈Γ,

é uma subvariedade de codimensão 2 emM. Portanto, dizemos queΣé um gráfico de Killing com curvatura média prescritaHe fronteira prescrita porφseuresolve o problema de Dirichlet

Q_[_u_{] = 0}_, _u_|_Γ₌_φ _(2.6)

para o operador diferencial parcial el´ıptico e quase-linearQ_{. Podemos aplicar a este operador o}

Princ´ıpio do Máximo e o Princ´ıpio de Comparação expostos em [9]. Na verdade, isto requer que cumpramos a condição∂sH ≥ 0, condição atendida, em particular, quando a curvatura média

do gr´afico ´e constante.

(22)

2.1 A Equação da Curvatura Média na Forma

Diver-gente

Nesta seção, reobtemos a equação da curvatura média do gráfico de Killing de uma função

u a partir do cálculo da divergência de um campo de vetores. Da definição da aplicação de Weingarten, segue diretamente que

nH(q) =₋trΣ∇¯N =−divΣN,

onde a divergência é calculada com respeito à métrica induzida no gráficoΣ. Consideramos um sistema normal de coordenadasx1, . . . , xnem torno de um pontop_∈P_{de modo que os campos}

coordenados∂1, . . . , ∂n s˜ao ortonormais no ponto p, isto ´e, tal queσij|p = δij. Neste caso,

E0 =γ1/2∂s, E1(q) = Ψ∗∂1(p), . . . , En(q) = Ψ∗∂n(p)define um referencial ortonormal em

q= Ψ(u(p), p).

A express˜ao (2.2) assegura que

−nH =gij_h_∇¯∂iN, ∂ji=g

ij_h_∇_¯

∂iN, ∂ji+h∇¯NN, Ni=divM ¯ ∇Φ

W (q),

onde, desta vez, consideramos a divergˆencia calculada emM. Utilizando o referencial ortonor-mal definido h´a pouco, calculamos este divergente da seguinte forma

divM

¯ ∇Φ

W =h∇¯ γ W

, ∂si+

γ

WdivM∂s−γh∇¯∂s Ψ∗_∇u

W , ∂si − h∇¯Ei Ψ∗_∇u

W , Eii.

Da equação de Killing, deduzimos que o campo vetorialY =∂s é livre de divergência. Além

disso, as funçõesγ eW não dependem des, visto que os componentes da métrica ambiente são constantes ao longo do fluxo gerado porY. Assim,

divM

¯ ∇Φ

W = −γh∇¯∂s Ψ∗_∇u

W , ∂si −

X

i

h∇¯Ei Ψ∗_∇u

W , Eii

= γ_hΨ∗∇u

W ,∇¯∂s∂si −

X

i

h∇¯Ψ∗∂iΨ∗ ∇u

W ,Ψ∗∂ii

= γ_hΨ∗∇u

W ,∇¯∂s∂si −

X

i

h∇¯∂i ∇u

W , ∂ii.

Uma vez queΨ∗ preserva o campo ∂s, pela propriedade de grupo a um parˆametro do fluxo,

temos

γ(q)_hΨ∗∇u

W ,∇¯∂s∂si(q) =γ(p)h ∇u

W ,∇¯∂s∂si(p). Resulta que

nH(p) =X

i

h∇¯∂i ∇u

W , ∂ii −γh

∇u

(23)

onde as expressões em ambos os lados são calculadas em p _∈ P_{. Visto que} P _{é totalmente}

geod´esica, podemos escrever

divP ∇

u W

−γ_h∇u

W ,∇¯∂s∂si −nH = 0, (2.7) onde, por fim, a divergência refere-se à métrica induzida emP_{. Observamos que o campo}_∇¯_∂

s∂s é tangente aP_{, como consequência da equação de Killing. Em vista da expressão,}

h∇¯γ,_∇u_i= 2γ2_h_∇¯∂s∂s,∇ui,

n˜ao ´e dif´ıcil verificar que (2.7) pode ser posta na forma

1

W σ

ij

−u

i_uj

W2

ui;j −

1

W3(γ+W 2₎

h∇u,_∇¯∂s∂si −nH = 0, (2.8)

mencionando uma vez mais que(ui;j)ni,j=1s˜ao os componentes do hessiano deuem termos das

coordenadas(xi)n_i₌₁emP_{. Denotando}

Aij(x,_∇u) = 1

W σ

ij ₋uiuj

W2

(2.9)

e

B(x,_∇u) =₋ 1

W3(γ+W

2₎_h∇_u,_∇_¯

∂s∂si, (2.10) a equação da curvatura média passa a ser escrita como

Q_[_u_{] =}_Aij_u_i_;_j₊_B₋_nH _{= 0}_.

Observamos que a matriz(Aij)n_i,j₌₁ ´e definida-positiva com autovalores dados por

λ−=

γ

W3 e λ+=

1

W

cujas multiplicidades são1 e n₋1, correspondendo às direções paralela e ortogonais a _∇u, respectivamente. Note queλ−≤λ+, dado queγ ≤W2.

2.1.1 Abordagem Variacional

O fato de que a equação da curvatura média pode ser posta na forma divergente é diretamente vinculado à caracterização de funções descrevendo gráficos com curvatura média constante serem extremos de um problema variacional.

Consideramos o funcional n˜ao-param´etrico

I_[_u_{] =}

Z Ω

(24)

onde

F(x, u,_∇u) = _√1

γ

p

γ+_|∇u_|2p

detσij

definido em

C₌_{_u_∈_C0,1_{( ¯}_{Ω) :}_u_|_Γ₌_φ_}_.

Pontos cr´ıticos deste funcional são soluções fracas da equação da curvatura média para gráficos de Killing m´ınimos, isto é, com curvatura média nula e fronteira prescrita. Isto significa que os extremizantes deI_{são funções lipschtzianas com derivadas definidas em quase toda parte}

-satisfazendo a equação da curvatura médiaH = 0e dado de fronteira prescrita no sentido das distribuições.

A lagrangianaF ´e o elemento de volume do gr´aficoΣ. De fato, calcula-se

X1∧. . .∧Xn= (∂1+u1∂s)∧. . .∧(∂n+un∂s)

=∂1∧. . .∧∂n+ n

X

i=1

ui∂1∧. . .∧∂i−1∧∂s∧∂i+1∧. . .∧∂n.

Sendo assim, temos

X1∧. . .∧Xn = |∂1∧. . .∧∂n|

∂s

|∂s|− |

∂s||∂1∧. . .∧∂n|σijui∂j

= _|∂s||∂1∧. . .∧∂n| γ∂s−Ψ∗∇u

= _√1

γ|∂1∧. . .∧∂n|W N.

Portanto, resulta da identidade de Lagrange que

p

detgij =

q

det_hXi, Xji=|X1∧. . .∧Xn|

= _√1

γ

p

γ+_|∇u_|2p

detσij.

A equação de Euler-Lagrange que caracteriza extremos deI_é

∂F ∂u −

F ui

p

γ+_|∇u_|2 !

,i

= 0, (2.11)

onde a v´ırgula denota derivadas parciais. Entretanto, temos

∂F ∂u = 0

e

∂F ∂ui =

1 2W√γ

∂ ∂ui(σklu

k_ul₎p

detσkl=

G Wσiku

k₌ G

(25)

onde

W =pγ+_|∇u_|2 _e _G₌ F

W =

1

√_γpdetσkl.

Dado que Gui W ,i =G ui W ,i + u i_G ,i

W =G

ui W

,i

+Gu

i

W

−₂γ_γi +∂i √

detσkl

√ detσkl

,

obtemos a partir de (2.11) que

− ui W ,i + 1 W

uiγ_i

2γ

+ u

i

W

∂i√detσkl

√ detσkl

= 0.

Uma vez que

p

detσkl=|∂1∧. . .∧∂n| e ∇∂i(∂1∧. . .∧∂n) =

n

X

j=1

Γj_ij∂1∧. . .∧∂n

temos

∂i√detσkl

√ detσkl

= Γj_ij.

Conclu´ımos que (2.5), no caso particular em queH = 0, é a equação de Euler-Lagrange paraI

como afirmado. Restringindo o funcionalI_{ao impor um v´ınculo sobre o volume, caracterizamos}

(26)

Cap´ıtulo 3

Resultados de Existˆencia

O seguinte resultado geral foi demonstrado em [6] para o caso mais geral em que a distribui-ção associada ao campo de Killing não é integrável. Neste contexto, a existência de folhas integrais, em que são fixadas coordenadas locais para efetuar os cálculos, é substitu´ıda pela seguinte configuração: a variedade M é o espaço total de uma submersão riemanniana π :

M _→ P_{, onde}P _{´e uma variedade riemanniana} _n₋_{dimensional n˜ao necessariamente imersa}

emM, de tal modo que o campoY é tangente à distribuição vertical, unidimensional, definida porq _7→ kerπ∗(q). Fixado um dom´ınio Ω _⊂ P_{, exigimos, portanto, que exista uma imersão}

ι: ¯Ω_→M transversal `as linhas de fluxo deY no cilindro de KillingM0sobreΩ¯. Tal cilindro

´e simplesmente definido porπ−1

(Ω). A curvatura m´edia da fronteira do cilindro de Killing, ou seja, do cilindro de KillingK =π−1

(Γ)sobreΓ =∂Ω´e denotada porHcyl.

No enunciado abaixo,Ricdenota o tensor de Ricci deM. A hipótese sobre o tensor de Ricci implica que a curvatura média de cilindros de Killing geodesicamente paralelos não decresce ao movermos os cilindros na direção de seu vetor curvatura média.

Teorema 1. (Veja [6])SejaΩ_⊂P_{um dom´ınio}_C2,α_{com fecho compacto, cuja fronteira}

deno-tamos porΓ. Suponhamos queHcyl >0e, al´em disso, que

inf

M Ric≥ −ninfΓ H 2

cyl. (3.1)

Dadas as funçõesH _∈Cα_{( ¯}_Ω)_e_φ_∈_C2,α_(Γ)_{, suponha que exista uma imersão}_C2,α_ι_{: ¯}_Ω _→

M tranversal `as linhas de fluxo deY emM0. Se

sup

Ω |

H_{| ≤}inf

Γ Hcyl, (3.2)

então existe uma única funçãou_∈C2,α( ¯Ω)satisfazendou_|Γ=φcujo gráfico de KillingΣtem

curvatura m´ediaH.

(27)

CAP´ITULO 3. RESULTADOS DE EXIST ˆENCIA 25

Estes resultados estendem, para ambientes riemannianos bastante gerais, o teorema clássico de existência de James Serrin [19]. Um caso interessante per si de aplicação do Teorema 1 assegura a existência de gráficos helicoidais em espaços euclidianos e, mais geralmente, em submersões riemannianas. O resultado abaixo foi demonstrado em [7].

Teorema 2. (Veja [7]) Seja Ω _⊂ P _{um dom´ınio} _C2,α _{cuja fronteira denotamos por} _Γ_.

Suponhamos queHcyl ≥0 eRicM| ≥ −ninfΓHcyl2 . Considere H ∈ Cα( ¯Ω)eφ ∈ C2,α(Γ)

func¸˜oes tais que

|H_{| ≤}inf

Γ Hcyl.

Então, existe uma única funçãou _∈C2,α( ¯Ω)satisfazendou_|Γ =φcujo gráfico helicoidal tem

curvatura m´ediaHe dados de fronteiraφ.

Apresentamos, na sequência, alguns resultados parciais cujas demonstrações envolvem menor aparato técnico, conquanto utilizem as idéias centrais do método empregado nas situações mais gerais.

3.1 O M´etodo da Continuidade

Aplicamos o m´etodo da continuidade (v. [9]) `a fam´ılia de problemas definidos por

Q_σ_[_u_{] = 0}_, _u_|_Γ₌_σφ, _(3.3)

ondeσ_∈[0,1]e

Q_σ_[_u_{] =}_Aij_u_i_;_j ₊_B₋_nσH.

O subconjunto I de [0,1]consistindo nos valores deσ para os quais o problema de Dirichlet correspondente tem uma soluçãoC2,α é não-vazio, uma vez que0 _∈ I. A hipóteseHs ≤ 0

implica queI é aberto, o que segue diretamente do Teorema da Função Impl´ıcita (v. [9], Teorema 17.6). O fato de que I é fechado deriva das estimativas a priori demonstradas na sequência deste trabalho. Deste modo, por conexidade de[0,1], conclu´ımos que1 _∈I, siginificando que o problema de Dirichlet original (2.6) admite solução. Para maiores detalhes, mencionamos ao leitor à referência clássica [9].

(28)

A parte da unicidade de soluções nos resultados segue tanto do Pr´ıncipio do Máximo para equações el´ıpticas quase-lineares quanto de um argumento geométrico utilizando uma fórmula do fluxo, consequência do Teorema da Divergência aplicado ao campo de KillingY, o qual é livre de divergência.

Analisamos, no que segue, apenas alguns casos particulares em que a construção de barreiras requer ferramentas anal´ıticas mais simples, de emprego direto. Indicamos ao leitor as referências [5], [6] e [7] para detalhes completos sobre a prova dos teoremas 1 e 2 acima.

3.2 Esferas Geod´esicas como Barreiras

Nesta seção, exibimos barreiras de natureza geométrica cuja existência, todavia, requer condições mais restritivas sobre a geometria do ambiente, ou sobre as funções de curvatura média prescrita admiss´ıveis.

Teorema 3 (Veja [5]). Seja Ω _⊂ P _{um dom´ınio} _C2,α_{, limitado, com bordo} _Γ_{, contido em}

um disco normal geod´esico de raior0. Suponha queinfMRicM ≥ −(n−1)kpara alguma constante positivak. SejamH _∈Cα( ¯Ω)eφ_∈ C2,α(∂Ω)dados. Suponha queHcyl ≥0, que

sup_Ω_|H_{| ≤}infΓHcyle que

r0 ≤

1 √

kcoth

−1supΩ|H| √

k .

Então, existe uma única funçãou _∈C2,α_{( ¯}_Ω)_satisfazendo_u_|

Γ=φ, cujo gr´afico de Killing tem

curvatura m´ediaH.

Segundo a hipótese do Teorema 3, supomos que a curvatura de Ricci é limitada inferior-mente, isto é, que exista uma constante positivaktal que

RicM ≥ −(n−1)k.

Neste caso, apresentamos uma estratégia para obter estimativas de altura parau. O método em consideração se baseia no Teorema de Comparação do Hessiano e adota esferas geodésicas como barreiras.

Fixamos um pontoo_∈P_{e consideramos a função distância}_r₌_dist₍_o, _·₎_{. Seja}Hn+1₍₋_k₎

o espaço hiperbólico com curvatura seccional constante₋kerhypa respectiva função distância

com respeito a um dado ponto. O Teorema de Comparação do Laplaciano (cf. [18], p. 5, Corolário 1.1) assegura que

∆r_≤∆Hn+1₍−k)rhyp

(29)

com mesmo raior0, então as curvaturas médias das respectivas esferas geodésicas, calculadas

com respeito ao gradiente das distˆancias, satisfazem

−H∂B ≤ −H∂Bhyp =−

√

kcoth√k r0.

Assim, supondo que a func¸˜ao prescritaHsatisfaz

r0 ≤ √1

kcoth

−1 maxΩ|H| √

k ,

deduzimos que

|H_{| ≤}H∂B.

Logo, supondo, ainda, que o dom´ınioΩesteja contido em um disco geod´esico de raior0 em

P_{, conclu´ımos que a esfera geod´esica correspondente em}_M _{´e uma barreira para estimativas}_C0

do problema (2.6). Para obtermos esta estimativa, é suficiente movermos uma esfera geodésica ao longo das linhas de fluxo deY e então aplicar o Princ´ıpio do Máximo a uma vizinhança do primeiro ponto de contato entre o gráficoΣe a esfera.

3.3 Esferas de Curvatura M´edia Constante

Supomos, agora, que a métrica induzida emP_{é invariante por rotações. Mais precisamente,}

que a m´etrica emP_{´e da forma}

dr2+ξ2(r)dθ2,

quando escrita em termos de coordenadas(r, θ)_∈R+_×Sn−1

, ondedθ2_{denota a m´etrica usual}

em Sn−1

. Supomos, ademais, que ̺ = ̺(r), isto é, que a norma do campo de Killing não depende deθ. Neste caso, a métrica ambiente é escrita em termos de coordenadas cil´ındricas

s, r, θcomo

̺2(r)ds2+ dr2+ξ2(r)dθ2

e M um produto duplamente warped com respeito a funções da coordenada r. Neste caso particular que, todavia, inclui todos os exemplos vistos no Cap´ıtulo 1, demonstra-se o seguinte teorema por recurso às barreiras geométricas naturalmente definidas.

Teorema 4. Suponha que a m´etrica induzida emP_{´e da forma}

dr2+ξ2(r)dθ2

para uma dada funçãoξ, ondedθ2 é a métrica canônica na esfera unitáriaSn−1

. SejaΩ_⊂P

(30)

SejamH _∈Cα( ¯Ω)eφ_∈C2,α(∂Ω)dados. Suponha queHcyl ≥0, quesupΩ|H| ≤infΓHcyl

e que

sup

Ω |

H_{| ≤ −} ̺(r0)ξ

n−1 (r0) Rr0

0 ̺(r)ξn

−1₍_r_)d_r

onde̺=_|Y_|2_{. Então, existe uma única função}_u_∈_C2,α_{( ¯}_Ω)_satisfazendo_u_|

Γ=φcujo gr´afico

de Killing possui curvatura m´ediaH.

As barreiras são hipersuperf´ıcies rotacionalmente invariantes com curvatura média constante. Uma hipersuperf´ıcie rotacionalmente invarianteΣ0 é parametrizada por uma imersão

R_×Sn−1

→M cuja express˜ao coordenada ´e dada por

(u, θ)_7→(s(u), r(u), θ),

ondeué o parâmetro comprimento de arco da curva perfilθ=θ0. Isto significa queué definido

por̺2s˙2+ ˙r2 = 1e que a m´etrica induzida emΣ0 ´e

du2+ξ2(u)dθ2.

Se Σ0 possui curvatura m´edia constanteH0, ent˜ao as coordenadas da curva perfil satisfazem

uma equação de primeira ordem dada pela fórmula do fluxo. Na fórmula do fluxo no apêndice, fixamosΓcomo o c´ırculo geodésico de raior=r(u), dado pela intersecção deΣ0e a folhaPs,

ondes=s(u). Assim, consideramosDcomo o disco geod´esico emP_s_{com raio}_r ₌_r₍_u₎_{. O}

vetor conormal ´e a velocidade unit´arias∂˙ s+ ˙r∂r. Finalmente, o campo de KillingY corresponde

ao campo coordenado∂s. Assim, temos

hY, ν_i=̺2(r(u)) ˙s e _hY, NDi=hY,

Y

|Y_|i=̺(r(u)).

Portanto, reunindo essas expressões na fórmula do fluxo, obtém-se

c = nH0 Z D ̺+ Z Γ ˙

s̺2=nH0 Z r

0 Z

Sn−1

̺ξn−1

drdθ+

Z

Sn−1

˙

s̺2ξn−1

dθ. (3.4)

Como estamos integrando em um valor fixo dese, portanto, em um valor fixo deu, temos

nH0 Z r

0

̺ξn−1

dr+ ˙s(r(u))̺2(r)ξn−1

(r) = c

ωn

.

Derivar esta expressão com respeito auresulta em uma EDO de segunda ordem, a qual carac-teriza hipersuperf´ıcies invariantes com curvatura média constanteH0. As soluções compactas

(31)

exemplos compactos correspondem a tomarc = 0. Por outro lado, nos pontos de m´aximo para

r, temos̺2_s_˙2 _{= 1}_{e, deste modo,}

nH0 Z r0

0

̺(r)ξn−1

(r)dr+̺(r0)ξn−1(r0) = 0,

onder0 é o valor máximo der. Assim, a curvatura média de um exemplo compacto,

rotacional-mente invariante, com raio m´aximor0, satisfaz

nH0 =−

̺(r0)ξn−1(r0) Rr0

0 ̺(r)ξn

−1₍_r_)d_r =:−F(r0).

Se supusermos queΩ _⊂ P_{está contida num disco geodésico com raio}_r₀_{, então essas esferas}

com curvatura média constante são barreiras para a altura do gráfico de Killing com curvatura média prescritaH(x)satisfazendo

n_|H(x)_{| ≤}F(r0).

O valor de F(r0) pode ser dado explicitamente em casos particulares tais comoHn+1(−k) e

Hn₍₋_k₎_×R_.

3.4 Apˆendice: uma f´ormula do fluxo

Considere uma hipersuperf´ıcie Σem M com bordo Γ e outra hipersuperf´ıcie Dtal que Σ_∪Dlimita um dom´ınioU emM. SejaHuma função, suposta constante ao longo das linhas de fluxo deY. Escolha uma orientação deΣ_∪Ddada pelo campo normal unitárioN ao longo deΣeNDao longo deD. Pela equação de Killing, temos

divMHY =HdivMY +h∇¯H, Yi= 0.

Assim, aplicando o Teorema de Stokes ao dom´ınioU, temos

0 =

Z

U

divMHY =

Z Σ

H_hY, N_i+

Z

D

H_hY, NDi.

No entanto, se considerarmos um referencial ortonormalN, e1, . . . , enadaptado aΣ, deduzimos

da equac¸˜ao de Killing que

0 =X

i

h∇¯eiY, eii=

X

i

h∇¯eiY

T_{, e} ii+

X

i

h∇¯eiN, eii=divΣY

T

−nH_hY, N_i.

Logo, aplicando uma vez mais o Teorema de Stokes, desta vez `aΣ, obtemos

n

Z Σ

H_hY, N_i=

Z Γh

(32)

onde ν é o co-normal exterior unitário deΣ ao longo Γ. As duas expressões obtidas acima podem ser reunidas nafórmula do fluxo

n

Z

D

H_hY, NDi+

Z Γh

Y, ν_i= 0.

Uma variante útil deste racioc´ınio é a de se considerar uma hipersuperf´ıcieΓemΣnão homóloga a zeroΣtal queΓ =∂D. Então, temos

n

Z

D

H_hY, NDi+

Z Γh

Y, ν_i=c,

(33)

Cap´ıtulo 4

Estimativas do Gradiente

Nesta seção, consideramos o caso particular em queM =P_×R_{é o produto riemanniano.}

Neste caso,Y =∂sum campo de vetores paralelo e suas linhas de fluxo s˜ao geod´esicas.

Supo-mos que RicM ≥ 0e que∂Σ = ∂Ω. Al´em disso, supomosH constante. Sob estas hip´oteses,

pretendemos demonstrar o seguinte resultado de existˆencia.

Teorema 5. SejaΩ _⊂P_{um dom´ınio}_C2,α_{com fecho compacto, cuja fronteira denotamos por}

Γ. Supomos queHcyl>0e, al´em disso, queRic≥0. Dada uma constante n˜ao-negativaHtal

que

H <inf

Γ Hcyl, (4.1)

então existe uma única funçãou_∈C2,α_{( ¯}_Ω)_satisfazendo_u_|

Γ= 0cujo gr´afico de KillingΣtem

curvatura m´ediaHe bordoΓ.

No que segue, podemos supor, sem perda de generalidade, queY tem norma constante igual a1. Neste cap´ıtulo, _∇denota, excepcionalmente, a conexão riemanniana no gráficoΣ. Além disso,∆Σou∆denotam, ambos, o operador de Laplace-Beltrami emΣ.

A fim de obtermos estimativas de altura e do gradiente, definimos as func¸˜oes

h=s_|Σ

e

Θ =_hY, N_i.

Em termos não-paramétricos, temosh = ue Θ = 1/W. Fixado um sistema de coordenadas geodésicas local_{ei}ni=1emΣcom∇ei(p) = 0, para algump∈Σ, calculamos

h∇h, eii=h∇¯s, eii=h∂sT, eii,

(34)

CAP´ITULO 4. ESTIMATIVAS DO GRADIENTE 32

ondeT denota a projec¸˜ao tangente sobreTΣ. Assim, segue que

∇h=∂_sT =∂s−ΘN.

Diferenciando mais uma vez no pontop, temos

h∇ei∇h, eji=h∇¯ei∂s, eji −Θh∇¯eiN, eji=hAΣei, ejiΘ,

ondeAΣindica o operador de WeingartenAΣ=−∇¯N emΣ. Logo,

∆Σh=nHΘ.

Agora, temos

h∇Θ, eii=h∇¯eiN, ∂si=−hAΣei, ∂

T

si=−hAΣ∂Ts, eii.

Portanto,

∇Θ =₋AΣ(∂sT),

o que resulta em

−h∇ei∇Θ, eji=h∇eiAΣ(∂

T

s), eji=h(∇eiAΣ)∂

T

s, eji+hAΣ(∇ei∂

T s), eji

=_h(_∇_∂T

sAΣ)ei, eji+h ¯

R(ei, ∂sT)N, eji+h∇ei∂

T

s, AΣeji

=_h∇_∂T

s AΣei, eji − hAΣ(∇∂Tsei), eji+h ¯

T

s, AΣeji

=∂_sT_hAΣei, eji − hAΣei,∇∂T

seji − h∇∂Tsei, AΣeji+h ¯

T

s, AΣeji

=∂_sT_hAΣei, eji+hR¯(ei, ∂sT)N, eji −Θh∇¯eiN, AΣeji =∂_sT_hAΣei, eji+hR¯(ei, ∂sT)N, eji+ ΘhAΣei, AΣeji.

Utilizamos, nos cálculos anteriores, a equação de Codazzi

(_∇UAΣ)V −(∇VAΣ)U = ¯R(U, V)N, U, V ∈Γ(TΣ).

Tomando traços na expressão acima e levando em conta queH = trAΣ/n é constante, segue

que

−∆ΣΘ =Ric(∂sT, N) +|AΣ|2Θ.

No entanto, como∂s´e campo de vetores paralelo, temos

¯

R(X, Z)∂s= 0, X, Z ∈Γ(T M).

Assim, conclu´ımos que

(35)

Em particular, devemos apenas que verificar queΘé uma função superharmônica emΣ. Como

H_≤0, observamos que

∆Σ(Hh+ Θ) = (nH2− |AΣ|2−Ric(N, N))Θ≤0, (4.3)

isto é, queHh+ Θuma função superharmônica emΣ. Como∂Σ = ∂Ω, temosh_|∂Ω = 0e,

portanto,

min

Σ (Hh+ Θ)≥minΓ Θ

Agora, fixamosp_∈Γcomo um ponto ondeΘatinge seu m´ınimo. Note que

min

Σ Θ≥minΓ Θ = Θ(p).

Então, seνdenota a direção co-normal unitária sobreΓapontando para dentro deΣ, deduzimos que

ν(Θ)_≥0.

Isto implica que

hAΣ(∂sT), νi=−h∇Θ, νi ≤0.

No entanto, comoΓ_⊂P_,

∂_sT =_h∂s, νiν

ou, equivalentemente, posto que∂s= ΘN +h∂s, νiν, obtemos

h∂s, νihAΣν, νi ≤0.

Como o gráfico está localmente contido (globalmente, de fato) no semi-espaço s _≥ 0, temos h∂s, νi ≥0. Então, conclu´ımos que

hAΣν, νi ≤0.

Agora, consideremos um sistema de coordenadas ortonormal tangente emTpΣformado porν(p)

e um sistema de coordenadas ortonormal locale1, . . . , en−1paraΓ⊂P. Ent˜ao, calculamos em

p

nH =_hAΣν, νi −

n−1

X

i=1

h∇¯eiN, eii.

Todavia,

(36)

Portanto, obtemos

nH =_hAΣν, νi −

n−1

X

i=1

h∇¯eiη, eiihN, ηi=hAΣν, νi −

n−1

X

i=1

h∇Peiη, eiihN, ηi,

o que implica

nH =_hAΣν, νi+ (n−1)HΓhN, ηi=hAΣν, νi+nHcylhN, ηi ≤nHcylhN, ηi.

Elevando ao quadrado ambos os lados da ´ultima desigualdade, obtemos, tendo em conta que

H_≤0e que_hN, η_{i ≤}0,

H2 _{≥ h}N, η_i2H_cyl2 = (1_{− h}N, ∂si2)Hcyl2 ,

o que implica

Θ2(p)_≥ H

2

cyl−H2

H2 cyl

.

Se supusermos que

|H_|<inf

Γ Hcyl,

ent˜ao obtemos uma estimativa n˜ao trivial paraΘ(p)e, portanto, para minΓΘe paraminΣΘ.

Isto produz automaticamente uma estimativa de altura, uma vez que

Hh+ 1_≥Hh+ Θ_≥min

Γ Θ = Θ(p)≥ v u u t

H2

cyl−H2

H2 cyl

,

o que implica

h_≤

1₋

r

1₋_HH22 cyl

|H_| .

Deste modo, provemos tamb´em estimativas globais do gradiente, uma vez que 1

p

1 +_|∇u_|2 = Θ.

(37)

Cap´ıtulo 5

Gr´aficos Helicoidais: um Prot´otipo

para o Caso N˜ao-Integr´avel

A fim de formular a noção exata de gráfico helicoidal, vamos inicialmente definir o con-texto geométrico em que trabalhamos neste cap´ıtulo. Então, apresentamos a prova do resultado geral de existência, baseado fortemente no Teorema 1. Finalmente, discutimos a versão particu-lar do teorema de existência no caso de variedades produtoM2_×_R_{, o que, obviamente, inclui}

o espac¸o euclideano.

Seja(Pn_{, dσ}2₎_{uma variedade Riemanniana dotada de um campo de Killing}_S₀_{. Dada uma}

func¸˜ao positiva̺_∈C∞

(M)tal queS0(̺) = 0, consideramos o produtowarped

Mn+1 =Pn_×_̺R

com a m´etrica

dσ¯2=̺2dt2+dσ2. (5.1) Denotamos porS o levantamento vertical deS0 pela projec¸˜ao(p, t) ∈ M 7→ p∈ P. Portanto,

é fácil ver queS é um campo de Killing em(M, dσ¯2₎_{. Assim, dadas constantes}_{a, b} _∈_R_com

b₆= 0, segue que

Y =aS+bT

´e um campo de Killing emM, ondeT =∂t. IdentificandoPn`a hipersuperf´ıcie imersaP×{0} ⊂

M, denotamos porΨ : R_×P_→_M _{o fluxo gerado por}_Y_.

A seguir, por comodidade, relembramos a notação empregada anteriormente, adaptada ligeira-mente ao caso de gráficos helicoidais, em que a distribuição ortogonal aY não é necessariamente integrável.

(38)

CAPÍTULO 5. GR ÁFICOS HELICOIDAIS: UM PROT ÓTIPO PARA O CASO

N ˜AO-INTEGR ´AVEL 36

Dado um dom´ınio limitado ΩemPn _{com bordo}_Γ_{, o}_{gráfico helicoidal} _{de uma função}_u

definida emΩ¯ ´e a hipersuperf´ıcie

Σn=_{Ψ(u(p), p) :p_∈Ω_}.

OcilindroKsobreΓ´e a hipersuperf´ıcie regrada pelas linhas de fluxo deY ao longo deΓ, i.e.,

K=_{q= Ψ(s, p) :s_∈R_{, p}_∈_Γ_}

eHcyldenota a curvatura m´edia deste cilindro relativamente `a normal apontando para dentro.

No enunciado abaixo, RicM denota mais uma vez o tensor de Ricci ambiente.

Teorema 2. SejaΩ um dom´ınio C2,α limitado em Pn_{. Suponha que}_H_cyl _≥ ₀ _e _Ric_M _≥

−ninfΓH_cyl2 . SejamH∈Cα( ¯Ω)eϕ∈C2,α(Γ)dados tais que

|H_{| ≤}inf

Γ Hcyl.

Então, existe uma única função u _∈ C2,α( ¯Ω) satisfazendo u_|Γ = φ cujo gráfico helicoidal

possui função curvatura médiaHe fronteira prescritaφ.

5.1 Prova do Teorema 2

Considere a submers˜aoπ: M _→ P_{definida identificando-se os pontos ao longo das linhas de}

fluxo deY¯, i.e.,

π(Ψ(s, p)) =p,

ondes_∈R_e_p _∈Pn_{. Seja}_v₁_{, . . . ,}_v_n_{um referencial local definido em}_Ω_⊂Pn_{. Por exemplo,}

podemos tomar um referencial de coordenadas relativo a um sistema de coordenadas locais em

Pn_{. Ent˜ao, seja}_D₁_{, . . . , D}_n_{o referencial de vetores b´asicos}_π_{-relacionado a}_v₁_{, . . . ,}_v_n_{. Segue}

queπ é uma submersão Riemanniana de considerarmosPn_{munido da métrica definida por}

hvi(p),vj(p)i=hDi(Ψ(s, p)), Dj(Ψ(s, p))i̺,

onde_h·,_·i̺denota a m´etrica (5.1) emMn+1. Agora, a prova segue diretamente do Teorema 1.

5.2 Gr´aficos helicoidais em

_M

2

_×

R

Consideraremos agora o caso em queP₌P2 _{é munido de uma métrica invariante por rotações.}

(39)

como

ds2=dr2+ψ2(r)dθ2

para alguma função diferenciável positivaψ.

Definimos coordenadas cil´ındricasr, θ, zna variedade produtoM3=P2_×R_{. Identificamos} P2_{com o plano}_z_{= 0}_{. Dado o campo de Killing}_∂_θ_emP2_e_{a, b}_∈R_com_b₆_{= 0}_{, ent˜ao}

Y =a∂θ+b∂z

´e um campo de Killing emM3. Em termos de coordenadas cil´ındricas, o fluxo gerado porY ´e descrito por

Ψs(r, θ, z) = (r, θ+as, z+bs), s∈R.

Como no caso geral, definimos a submers˜aoπ: M3_→P2_{identificando pontos de mesma ´orbita}

ao longo de um ponto deP2_{. Portanto,}

π(r, θ, z) = (r, θ₋a bz).

Note que os campos de vetores ∂r e−b∂θ +aψ2∂z geram o subespac¸o horizontal de π com

respeito à métrica emM3. Além disso,

π∗∂r=∂r, π∗∂θ=∂θ, π∗∂z =−

a

b∂θ, (5.2)

implica que os campos vetoriais horizontais

D1 =∂r, D2= b

a2_ψ2₊_b2(b∂θ−aψ 2_∂

z)

s˜aoπ-relacionados aos campos vetoriais∂r e∂θ emR2, respectivamente. Portanto, a m´etrica

emM3restrita ao subespac¸o horizontal tem componentes

hD1, D1i= 1, hD1, D2i= 0, hD2, D2i=

b2ψ2 a2_ψ2₊_b2.

Assim, conclu´ımos queπ: M3 _→_P2 _{´e uma submers˜ao Riemanniana se considerarmos em}_P2

a m´etrica

ds2 =dr2+ b

2_ψ2

a2_ψ2₊_b2 dθ 2_.

(40)

Corol´ario 1. SejaΩ _⊂ R2 _{um dom´ınio limitado} _C2,α_{com bordo}_Γ_{tal que}_H_cyl _≥ ₀_{. Sejam}

H_∈Cα_(Ω)_e_φ_∈_C2,α_(Γ)_{dados tais que}

|H_{| ≤}inf

Γ Hcyl.

Então, existe uma única funçãou _∈C2,α_{( ¯}_Ω)_satisfazendo_u_|

Γ =φcujo gr´afico helicoidal em

R3_{possui curvatura m´edia}_H_{e bordo prescrito}_φ_.

´

(41)

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