Biomecânica. Leandro J. R. Machado. Propedêutica de Matemática. 3 o ano da licenciatura em Desporto e Educação Física

Biomecânica

3

_{ano da licenciatura em Desporto e Educação Física}

Propedêutica de Matemática

Leandro J. R. Machado

Universidade do Porto, Portugal

Capítulo 1

Noções básicas de algebra

Neste Capítulo serão apresentadas algumas das noções básicas de matemática necessárias para o estudo da Biomecânica. Entre estas encontram-se a manipulação de expressões, o uso da notação científica, a resolução de sistemas de equações de duas incógnitas e duas equações, etc...

1.1 Manipulações algébricas

A uma expressão do tipo

A + B + C = D + E + F (1.1)

em que A, B, C, D, E e F são expressões matemáticas quaisquer, podemos:

1. somar uma mesma quantidade de ambos os lados do sinal de igualdade exemplos: A + B + C = D + E + F _⇐⇒ A + B + C+w= D + E + F+w 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 + 2 x + 3 y_{− 1}=3 z_{− 1} ⇐⇒ 2 x + 3 y = 3 z − 1 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 + 2 x + 3 y_{− 2 x}=3 z_{− 2 x} ⇐⇒ 1 + 3 y = 3 z − 2 x 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 + 2 x + 3 y_{− 3 z}=3 z_{− 3 z} ⇐⇒ 1 + 3 y + 2 x − 3 z = 0

1.1. MANIPULAÇÕES ALGÉBRICAS

2. multiplicar por uma mesma quantidade todos os termos de ambos os lados do sinal de igualdade exemplos: A + B + C = D + E + F _⇐⇒ A_{· w}+B_{· w}+C_{· w} =D_{· w}+E_{· w}+F_{· w} A +(B + C)= D + E + F _⇐⇒ A_{· w}+(B + C)_{· w} =D_{· w}+E_{· w}+F_{· w} 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1_{· 5}+2 x_{· 5}+3 y_{· 5} =3 z_{· 5} ⇐⇒ 5 + 10 x + 15 y = 15 z m g h1+ 1 2m v 2 1= m g h2+ 1 2m v 2 2 ⇐⇒ m g h1· 2+ 1 2m v 2 1· 2 =m g h2· 2+ 1 2m v 2 2· 2 ⇐⇒ 2 ·m g h1+m v2₁ =2 ·m g h2+m v2₂

3. dividir por uma mesma quantidade todos os termos de ambos os lados do sinal de igualdade exemplos: A + B + C = D + E + F _⇐⇒ A w + B w + C w = D w + E w + F w A +(B + C)= D + E + F _⇐⇒ A w+ 1 w(B + C)= D w + E w + F w 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 3 + 2 x 3 + 3 y 3 = 3 z 3 ⇐⇒ 1₃+ 2 3 x + y = z 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 2 + 2 x 2 + 3 y 2 = 3 z 2 ⇐⇒ 1₂+ x + 3 2y = 3 2z m g h1+ 1₂m v2₁ =m g h2+ 1₂m v2_{2 ⇐⇒} m g h1 m + m v2₁ 2m = m g h2 m + m v2₂ 2m ⇐⇒ g h1+ v 2 1 2 = g h2+ v2₂ 2

1.1.1 Colocar em evidência

Para colocar em evidência um factor numa expressão, é necessário multiplicar/dividir os termos onde esse factor vai ser evidênciado pelo factor em causa.

A + B + C = D + E + F _⇐⇒ A + Bw w +C w w = D + E + F ⇐⇒ A +w         B w + C w        = D + E + F 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 + 2 x3 3 +3y =3 z ⇐⇒ 1 +3 2₃x + y ! = z 1 + 2 x + 3 y = 3 z _⇐⇒ 1 +2+3 y2 2 = 3 z ⇐⇒ 1 +2 x + 3 2y ! = 3 z g h1+ 1₂v2₁ = 1₂ S 2 1 S2₂ v 2 1 ⇐⇒ g h1+ 12v21= S2₁ S2₂ 1 2v21 ⇐⇒ g h1= S 2 1 S2₂ 1 2v21− 12v21 ⇐⇒ g h1= 1₂v2₁ S 2 1 S₂2 − 1 !

1.1.2 Fracções e somas

Utilizando as regras da Secção anterior é fácil concluir que as seguintes igaldades são verdadeiras: a c + b c = a + b c a b + a c = a ₁ b + 1 c  = a c b c + b b c  = a b + c b c 

É também fácil de concluir que:

a b + c , a b + a c

Embora o lado esquerdo e o lado direito sejam distintos, é frequente encontrá-los nas respostas a exames como sendo equivalentes, o que faz com que as expressões estejam erradas.

1.2 Notação científica

A notação científica tem grande importância para a escrita de números muito grandes ou muito pequenos, uma vez que a simplifica consideravelmente. Compare-se, por exemplo, 0.0000000002 com 2 × 10−10_.

1.2. NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A notação científica também é muito útil para fazer cálculos, em particular cálculos que envolvam mul-tiplicações ou divisões, embora com o uso generalizado das calculadoras esta facilidade já não seja tão fundamental. É no entanto ainda útil para confirmar a ordem de grandeza do resultado final.

1.2.1 Potências de dez

como se vê, as potências positivas de 10 são muito intuitivas.

e se o número for (em módulo) menor do que 1; por exemplo 0.1? Sabe-se que 0.1 = 1 10 = 1011, logo 0.1 = 10−1 e de igual modo 0.01 = 1 100 = 1012 = 10−2 0.001 = 1 1000 = 1013 = 10−3 0. n−1 z}|{ 0 · · · 01 = 10−n Em resumo 0. n−1 z}|{ 0 · · · 01 = 10−n .. . 0.001 = 10−3 0.01 = 10−2 0.1 = 10−1 1 = 100 10 = 101 100 = 102 1000 = 103 .. . 1 n z}|{ 0 · · · 0 = 10n

Multiplicação e divisão

A multiplicação e divisão de potências de 10 segue a regra geral para esta operação, ou seja:

10a × 10b_{= 10}a+b e no caso da divisão 10a 10b = 10 a × 10−b=10a−b

1.2.2 Base, mantissa e expoente

A × Bn _(1.2)

em que A é amantissa_{, B é a}basee n é oexpoente. Emnotação científicaverifica-se que:

1 ≤ A < 10 B = 10 né inteiro Exemplos simples 0.0123 = 1.23 × 10−2 123 = 1.23 × 102 0.3 = 3 × 10−1 104 _{= 1 × 10}4 1 102 = 1 × 10−2 1 10−3 = 1 × 10 3

Operações em notação científica

Nas operações de soma e subtração é conveniente ter ambos os números com o mesmo expoente. Se levar-mos em conto os algarismos significativos usamos o maior dos expoentes, caso seja apenas para

1.2. NOTAÇÃO CIENTÍFICA

facilitar o cálculo podemos usar o menor dos expoentes.

1.23 × 103_{+7.1 × 10}2_{= 12.3 × 10}2_{+7.1 × 10}2 _{=(12.3 + 7.1) × 10}2 = 19.4 × 102= 1.94 × 103 4.87 × 10−3_{− 2.02 × 10}−7_{= 48700 × 10}−7_{− 2.02 × 10}−7 _{=(48700 − 2.02) × 10}−7 = 48697.98 × 10−7 =4.869798 × 10−3_{≃ 4.87 × 10}−3 9.25 × 106_{+3.7 × 10}2_{= 9.25 × 10}6_{+0.00037 × 10}6 _{=(9.25 + 0.00037) × 10}6 = 9.25037 × 106 _{≃ 9.25 × 10}6

É de notar que quando a ordem de grandeza dos números é muito diferente, como nos dois últimos exemplos, o resultado final é aproximadamente igual ao maior dos dois números.

No caso da multiplicação ou divisão não é necessário que os expoentes sejam iguais, uma vez que a mantissa e o expoente são operados separadamente, de acordo com a regra seguinte:

(c × 10a_{) × (d × 10}b_{) = (c × d) × (10}a × 10b₎ = c d_{× 10}a+b c_{× 10}a d_{× 10}b = c d × 10 a × 10−b = c d × 10 a−b Exemplos: (9.25 × 106_{) × (3.7 × 10}2_{) = (9.25 × 3.7) × (10}6 × 102) = 34.225 × 1010 =3.4225 × 109 9.25 × 106 3.7 × 102 = 9.25 3.7 ×10 6 × 10−2 =2.5 × 104

1.2.3 Notação científica nas calculadores e computadores

Nas calculadoras a notação científica faz uso das teclas EXP , EE , E ou e .

Nos exemplos seguintes usaremos sempre a tecla EE como modelo para qualquer uma delas. Para escrever 1.0213 × 106 _{digita-se 1 .0 2 1 3 EE 6}

Dependendo da calculadora, na tela pode aparecer 1 .0 2 1 36 ou _{1 .0 2 1 3} E6 Para escrever 5.269 × 10−6_{digita-se 5 .2 6 9} EE +_/− 6

Dependendo da calculadora, na tela pode aparecer 5 .2 6 9-6 ou _{5 .2 6 9E-6} Calcular 1.8402 × 10−7_{+6.4932 × 10}−8_{. Em algumas calculadoras será:}

digitar 1 .8 4 0 2 EE +_/− 7, obtendo 1 .8 4 0 2-7 + 6 .4 9 3 2 EE +_/− 8, obtendo 6 .4 9 3 2-8 ENTER , obtendo 2 .4 8 9 5 2-7 noutras será: digitar 1 .8 4 0 2 EE +_/− 7 + 6 .4 9 3 2 EE +_/− 8, obtendo 1 .8 4 0 2E-7 + 6 .4 9 3 2E-8 ENTER , obtendo 2 .4 8 9 5 2E-7

Notar que a sequência de caracteres 1 .8 4 0 2 EE +_/− 7 representa apenas um número, e como tal podem-se fazer sobre ele todas as operações tal como se fariam sobre qualquer outro número, por exemplo, obter a raiz quadrada, elevar ao cubo, calcular o seno, etc.

Nos computadores utilizam-se as teclas e ou E , e não há uma tecla especial para o sinal menos do expoente.

Por exemplo digitar 1 .8 4 0 2 e - 7, obtendo-se 1 .8 4 0 2 e - 7

1.3 Resolução de sistemas

A estratégia a adoptar para a resolução de sistemas de duas incógnitas e duas equações é isolar, através de simplificações, uma das incógnitas numa das equações, e de seguida substituir essa expressão na outra equação, a qual após simplificação dá a solução para a segunda incógnita. Esta será substituida na primeira equação, obtendo-se o valor da primeira incógnita.

Sejam x e y as incógnitas e A · · · F constantes, no sistema:              A x + B y = C D x + E y = F . Este é um sistema

linear nas incógnitas x e y, uma vez que ambas aparecem com a potência 1 nas equações. A solução

1.3. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS              A x + B y = C D x + E y = F ⇐⇒              A x = C_{− B y} ⇐⇒              x = C_{A −} B_Ay ⇐⇒              D _C A − B Ay  +E y = F               E_{− D}B_A y = F_{− D}C_A ⇐⇒              y = F−D CA E−D B A ⇐⇒              y = A F−D C A A E−D B A ⇐⇒              y = A F_{A E−D B}−D C              x = C_{A −} B_{A ×} A F_{A E−D B}−D C ⇐⇒              x = ACE−BCD−ABF+BCD_A(AE−BD) ⇐⇒              x = A(CE−BF)_A(AE−BD)              x = CE_AE−BD−BF y = A F_{A E−B D}−C D ∥

Sejam ρAu =19.3 g cm−3e ρAg= 10.5 g cm−3as densidades do ouro e da prata. Determine VAue VAg,

os respectivos volumes, a partir do sistema              ρAuVAu+ρAgVAg=1200 VAu+VAg= 80              ρAuVAu+ρAgVAg= 1200 VAu+VAg= 80 ⇐⇒              VAu =80 − VAg ⇐⇒              ρAu80 − VAg  +ρAgVAg= 1200             

80 ρAu_{− ρ}AuVAg+ρAgVAg= 1200

⇐⇒               ρAg_{− ρ}Au  VAg =1200 − 80 ρAu              VAg = 1200−80 ρ_ρ Au Ag−ρAu ⇐⇒              VAg=39.1 cm3 ⇐⇒              VAu= 80 − 39.1 ⇐⇒              VAu =40.9 cm3 Como este sistema de equações é linear nas incógnitas VAu e VAg também o podemos resolver por identificação dos coeficientes e posterior substituição directa na solução genérica encontrada anterior-mente. Assim, as identificações são:

x = VAu A = ρAu =19.3 C =1200 E =1

e por substituição, obtem-se

VAu = x = 1200×1−10.5×80_{19.3×1−10.5×1} = 360_8.8 = 40.9 VAg =y = 19.3×80−1200×1_{19.3×1−10.5×1} = 344_8.8 = 30.1 como seria de esperar.

∥ Sejam S1 = 1.5 cm2, S2 = 0.6 cm2, p1 = p0, p2 = p0, y1 =5 cm, y2 = 0 cm, g = 10m s−1. Determine v1e v2a partir do sistema              S1v1= S2v2 p1+ 1₂ρ v2₁+ρ g y1 = p2+ 1₂ρ v2₂+ρ g y2              S1v1 =S2v2 p1+ 1₂ρ v2₁+ρ g y1 = p2+ 1₂ρ v2₂+ρ g y2 ⇐⇒              p0+ 12ρ v21+ρ g y1 = p0+ 12ρ v22+0              12ρ v21+ρ g y1= 12ρ v22 ⇐⇒              12v21+g y1 = 12v22 ⇐⇒              v21+2 g y1 =v22              v2 = S1 S2 v1 ⇐⇒              v21+2 g y1 = _S1 S2 v1 2 ⇐⇒              2 g y1 = _S1 S2 2 v2_{1− v}2₁              2 g y1 = _S 1 S2 2 − 1  v2₁ ⇐⇒                v2₁ = 2 g y1 S 1 S 2 2 −1 ⇐⇒              v21 =0.19 ⇐⇒              v2 =1.09 m s−1 v1 =0.44 m s−1 Este sistema não é linear nas incógnitas v1e v2, uma vez que na segunda equação do sistema ambas aparecem com potência 2.

1.4 Equação de segunda ordem

Uma equação do tipo

a x2+b x + c =0

em que os coeficientes a, b e c são reais, é chamada equação de segunda ordem. A partir dos coeficientes é possível calcular o determinante, ∆:

∆ =b2_{− 4 a c} As soluções da equação - x1e x2- dependem do valor de ∆:

1.4. EQUAÇÃO DE SEGUNDA ORDEM ∆>0 x1= −b + √ ∆ 2a e x2= −b − √∆ 2a ∆ =0 x1= x2= −b 2a

∆<0 não existem soluções reais

∥

Determine o tempo que decorreu desde o inicio de determinado movimento descrito pela seguinte equação: 9t2

− 8t − 1 = 0. Fazendo a identificação dos coeficientes, vem:                      a =9 b =₋₈ c =₋₁ logo ∆ = 64 + 36 = 100 , √∆ =10. Assim,              t1 = 8+10_2×9 t2 = 8−10_2×9              t1 =1 s t2 =_{−0.11 s}

Como o início do tempo é t = 0 s, a solução negativa não é considerada. ∥

Sabendo que y = 0 m, y0 = 1.6 m, θ0= 20o, x0 =0 m e v = 31.5 m s−1, determine o valor de x para o movimento descrito pelo seguinte sistema

             y = y0+vsin(θ0) t − 5 t2 x = x0+vcos(θ0) t              y = y0+vsin(θ0) t − 5 t2 x = x0+vcos(θ0) t ⇐⇒              0 = 1.6 + 31.5 sin(20o_{) t − 5 t}2 x = 0 + 31.5 cos(20o) t ⇐⇒              0 = 1.6 + 10.77 t − 5 t2 x =29.6 t              t = −10.77± √ 10.772_{−4∗(−5)∗1.6} 2∗(−5) ⇐⇒              t = −10.77±₋₁₀√148 ⇐⇒              t = −10.77±12.17₋₁₀ ⇐⇒              t = 10.77∓12.17₁₀              t1= −1.4₁₀ ; t2= 22.94₁₀ ⇐⇒              t =2.3 s ⇐⇒              x = 29.6∗ 2.3 ⇐⇒              x = 68 m

Capítulo 2

Noções básicas de trigonometria

2.1 Pontos e rectas

Ponto tem apenas posição; não tem comprimento, largura ou espessura. É representado por uma

pe-quena mancha circular b

Recta tem uma dimensão; tem comprimento, mas não largura ou espessuara. A partir de determinado

ponto, prolonga-se infinitamente em ambas as direcções.

Semi-recta é um pedaço de uma recta que começa em determinado ponto e prolonga-se infinitamente

numa única direcção. Tem comprimento infinito.

Segmento de recta é um pedaço de uma recta que começa em determinado ponto e acaba num outro

distinto. Tem comprimento finito. É representada por:

Se começa no ponto A e acaba no ponto B, é representada por AB: b

b

A B

2.2 Ângulos

V

V é o ´ do ângulo.

Ânguloé a região do plano delimitada por duas semi-rectas com origem comum. É representado por: ou ∠.

2.2. ÂNGULOS

2.2.1 Classificação dos ângulos

Ângulo agudo é um ângulo que mede menos de 90o_.

Ângulo recto é um ângulo de 90o_{, ou π/2 radianos.} ( repare na representação )

Ângulo Obtuso é um ângulo que mede entre 90o_{e 180}o_.

Ângulo raso é um ângulo de 180o_{, ou π radianos.}

2.2.2 Ângulos e rectas

Duas rectas distintas que se intersectam fazem-no em apenas um ponto.

Duas rectas que não se intersectam mutuamente dizem-se paralelas. Este facto é representado pelo simbolo _k, ou, ∥.

Duas rectas que se intersectam segundo um ângulo de 90o _{dizem-se perpendiculares. Este facto é} representado pelo simbolo _⊥.

2.2.3 Equivalência entre ângulos

Consideremos duas rectas distintas que se intersectam em determinado ponto, como esquematizado na figura:

a b

c d

Então, os ângulos a e c medem a mesma quantidade de graus. Os ângulos b e d também medem a mesma quantidade de graus. Com pouco rigor, é habitual dizer-se que a and c são o mesmo ângulo, e que b e d são o mesmo ângulo.

Caso as rectas sejam paralelas ( i.e., não se intersectam mutuamente, ver na figura as rectas L1e L2) e sejam interseptadas por outra recta - L3 - então os oito ângulos definidos relacionam-se da seguinte forma:

L1 L2 a b c d e f g h

os ângulos a, c, e e g são o mesmo; e os ângulos b, d, f e h são o mesmo. Repare, em particular, que ∠c = ∠e, que é um resultado muito usado para relacionar ângulos entre vectores.

2.3 Triângulos

Triânguloé um objecto geometrico fechado constituído por 3 segmentos de recta. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de 180o_.

α β

γ

α + β + γ = 180o A área de qualquer triângulo é calculada através da fórmula:

area = base × altura

2 or A = b _{× h} 2 h b cateto ca te to hipote nusa

Um triângulo rectângulo é um triângulo com um ângulo interno de 90o_{, i.e., um}

ângulo recto.

O lado oposto ao ângulo recto chama-sehipotenusa, enquanto que os lados adjacentes ao ângulo recto chamam-se catetos.

2.4 Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras reveste-se de uma importância fundamental em geometria, e permite calcular o tamanho de um dos lados de um triângulo rectângulo a partir do conhecimento do tamanho dos outros dois. cateto1 a ca te to2 b hipote nusa c

Para um triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

hipotenusa2 =cateto12+cateto22 ou c2= a2+b2

Uma prova geométrica do teorema de Pitágoras é apresentada de seguida. Repare que de uma figura para a seguinte apenas muda a posição de um dos triângulos de lados a, b e c. Assim sendo, a área marcada com linhas verticais mantém-se constante. Na figura do lado esquerdo esta área é igual a c2_,

2.5. FUNÇÕES SENO E COSENO

enquanto que na figura do lado direito é a soma das áreas do quadrado de lado a e do quadrado de lado b, i.e., a2_+b2_{. Ou seja c}2 _{= a}2_+b2 a b c a b c a b c a b c area = c2 a b c a b c a b c a b c c a b c a a a a b b area = a2_+b2

A análise da última figura desta prova dá-nos outra fórmula de interesse: o quadrado exterior de delimitação tem área (a + b)2_{, e esta é igual à soma das áreas do quadrado de lado a, do quadrado de lado} be dos dois rectângulos iguais de lados a e b. Ou seja, em linguagem simbólica,

(a + b)2 ₌

a2+b2+2 × a b

2.5 Funções Seno e Coseno

c

b a

θ

Por definição:

sin(θ) = cateto oposto

hipotenusa ou sin(θ) =

b c cos(θ) = cateto adjacente

hipotenusa or cos(θ) =

a c

Obviamente que esta definição é apenas válida para ângulos entre 0o _{e 90}o_{. No entanto, pode ser} alargada para valores fora desta gama usando para tal o círculo trigonométrico.

O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1. Os valores para o coseno medem-se no eixo hori-zontal, enquanto que os valores do seno medem-se no eixo vertical.

Por analogia com o teorema de Pitágoras (ver p.13) são também identificados os valores do seno e do coseno com os catetos do triângulo rectângulo, tendo a hipotenusa o valor 1, medida do raio do círculo.

θ sin θ cos θ c =1 a =cos θ b =sin θ         

A partir do teorema de Pitágoras é fácil de concluir que:

cos2_{θ +sin}2_{θ =1}

expressão conhecida porFórmula Fundamental da Trigonometria.

2.5.1 Valor do Seno e do Coseno para θ > 90

Estas fórmulas são conhecidas por redução ao primeiro quadrante.

2.5.2 Gráficos e propriedades das funções Seno e Coseno

θ (rad) sin θ π 2 π 2π 1 -1 T =2π θ (rad) cos θ π 2 π 2π 1 -1 T =2π

Algumas propriedades das funções seno e coseno: • tomam valores entre -1 e 1

2.6. VECTORES

2.6 Vectores

Um vector é um objecto a uma dimensão com magnitude (comprimento), direcção e sentido. É repre-sentado por uma seta:

Um vector com início no ponto A e fim no ponto B é representado por AB.

A B

Um vector com início no ponto B e fim no ponto A é representado por BA.

A B

É óbvio que AB , B A

O ponto inicial de um vector é chamadoponto de aplicaçãodo vector. Nos exemplos anteriores, é o ponto A para o vector AB, e o ponto B para o vector BA.

O ponto final de um vector é chamado extremidadedo vector. Nos exemplos anteriores, é o ponto Bpara o vector AB, e o ponto A para o vector BA.

Os vectores podem ser classificados como:

livres se o ponto de aplicação é arbitrário;

deslizantes se o vector se pode mover ao longo de uma recta com a direcção do vector;

fixos se o ponto de aplicação é fixo.

2.6.1 Soma de Vectores

A soma de dois vectores, ~v e ~u, pode ser obtida geometricamente usando a regra do paralelogramo:

~v ~u

~v ~u ~v+

~u

Neste caso o vector ~v manteve-se fixo, enquanto que o vector ~u foi deslocado, mantendo as suas caracteristicas de magnitude, direcção e sentido, mudando apenas o seu ponto de aplicação para a ex-tremidade do vector ~v. O vector soma ~v + ~u tem ponto de aplicação no ponto de aplicação do vector ~v, enquanto que a sua extremidade é na extremidade do vector ~u.

Também é possível começar pelo vector ~u e depois somar o vector ~v:

~v ~u ~u

~v

~u+ ~v

Neste caso, o vector ~u manteve-se fixo, enquanto que o vector ~v foi aplicado na extremidade do vector ~u. O vector soma ~u + ~v tem agora ponto de aplicação no ponto de aplicação do vector ~u, e extremidade na extremidade do vector ~v.

A soma de dois vectores é o mesmo vector, independentemente de qual é utilizado em primeiro lugar:

~v + ~u = ~u + ~v

~u ~v

~v ~u

A figura anterior é um paralelogramo, justificando assim o nome da regra geométrica utilizada.

2.6.2

Producto Interno de Dois Vectors

Ocomprimento (magnitude)de um vector ~v é, simbolicamente, representeda por_|~v|ou porv.

Oproducto internode dois vectors, ~v e ~u é

~v ~u = |~v| |~u| cos θ

em que é o simbolo de producto interno, eθé o ângulo entre ~v e ~u.

~v ~u

θ

Notar que o produto interno de dois vectores é um escalar, i.e., um número, e não um novo vector. A partir desta definição de producto interno, facilmente se concluiu que:

~v ~u = |~v| |~u| cos θ = |~u| |~v| cos θ e também ~u ~v = |~u| |~v| cos θ ou seja

~v ~u = ~u ~v

Caso dois vectores sejam perpendiculares, usando-se para tal facto o simbolo ⊥, então o producto interno entre os dois vectores é nulo:

se _{~v ⊥ ~u}, então ~v ~u =0

2.7 Sistema de Referência ou Referencial

Até aqui definimos e utilizamos vários objectos geometricos livres, independentemente de um referencial espacial fixo. De seguida iremos definir um referencial a duas dimensões, mas que pode ser facilmente

2.7. SISTEMA DE REFERÊNCIA OU REFERENCIAL

generalizado para três dimensões, e que utilizaremos continuamente, embora quase sempre de forma implícita.

Para definir um referencial são necessários:

• uma origem

• dois eixos

• uma escala adequada

• legendas • unidades 0 origem 1 2 3 t(s) escala legendaunidade 2 4 6 x(m) escala legenda unidade eixos

2.7.1 Pontos e vectores num referencial

Um ponto é identificado pelas suas coordenadas em determinado referencial. A notação utilizada é: (coordenada horizontal, coordenada vertical)

Por exemplo: A (2, 1) 1 2 3 x 1 2 y bA

Um vector é identificado pelas coordenadas da sua extremidade, assumindo, por convenção, que o ponto de aplicação coincide com a origem do referencial.

Por exemplo: ~v = (5, 2) e ~u = (2, 3) 1 2 3 4 5 x 1 2 3 y ~v ~u

Repare na diferente notação utilizada: a seta para definir os pontos: A (2, 1); e o sinal de igualdade para definir os vectores: ~v = (5, 2).

2.7.2 Magnitude de um Vector

Por exemplo: ~v = (4, 3) 1 2 3 4 x 1 2 3 y ~v ~vx ~vy

Os vectores ~vxe ~vysão as componentes do vector ~v, segundo a horizontal e a vertical, respectivamente. Estes três vectores formam um triângulo rectânglo, e como tal podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar a magnitude de ~v uma vez conhecidas as componentes vx e vy:

|~v|2 = v2_x+v2_y = 42+32= 16 + 9 = 25 ou seja _{|~v| =} √25 = 5

Este resultado pode ser generalizado para 3 dimensões, dando a seguinte fórmula:

|~v| = qv2_x+v2_y +v2_z (2.1)

2.7.3 Soma de dois Vectores

Já vimos anteriormente que a soma de dois vectores pode ser obtida usando a regra do paralelogramo. Esta regra é usada na figura seguinte, em que o vector ~v mantém o seu ponto de aplicação na origem do referencial, enquanto que o vector ~u é aplicado na extremidade do vector ~v.

Por exemplo: ~v = (4, 3) e ~u = (1, 2) 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 y ~v+ ~u ~v ~u

Analiticamente, o que se faz é somar as componentes horizontais e verticais de ambos os vectores, obtendo-se:

~v + ~u =(4, 3) + (1, 2) = (4 + 1, 3 + 2) = (5, 5) Em geral, sejam

~v =(vx, vy, vz) e ~u =(ux, uy, uz) então

2.7. SISTEMA DE REFERÊNCIA OU REFERENCIAL

2.7.4 Produto Interno de dois Vectores e o respectivo Ângulo

~v =(vx, vy, vz) e ~u =(ux, uy, uz)

então, o seu produto interno é definido como:

~v ~u = vxux+vyuy+vzuz (2.2)

Mas, já vimos anteriormente que o produto interno também pode ser calculado usando a expressão

~v ~u = |~v| |~u| cos θ

assim, a partir das coordenadas dos vectores ~u e ~v calcula-se o produto interno usando a equação (2.2) e calculam-se também os respectivos módulos usando a equação (2.1) on the previous page, após o que se obtem o coseno do ângulo formado pelos dois vectores usando a expressão:

cos θ = ~v ~u |~v| |~u|

A magnitude de um vector também pode ser entendida como sendo a raiz quadrada do produto interno do vector consigo próprio.

|~v| = q

v2_x+v2_y+v2_z = √~v ~v

2.7.5 De novo um referencial

Um referencial (O,~ex, ~ey) é dito ortonormal se:

• ~ex ~ey = 0 os vectores ~ex e ~ey são perpendiculares entre si

• |~ex| = |~ey| = 1 os vectores ~ex e ~ey têm ambos magnitude 1

Neste caso, os dois vectores nas direcções de XX′_{e YY}′_{dizem-sevectores unitários} ouversores, e são representados pelos símbolos ˆex eˆey, respectivamente.

ˆex1 2 x ˆey 1 2 y Ob

2.8 Dois sistemas de referência

Nesta secção serão deduzidas as expressões que permitem relacionar as coordenadas de determinado ponto escritas relativamente a dois referênciais distintos.

Suponhamos que no referêncial (O, ˆex,ˆey) o vector de posição de determinado ponto seja ~r = (x, y), enquanto que no referêncial (O′_,ˆe

x ′_,ˆe

y

′_{) o vector posição desse mesmo ponto seja ~r}′ _=(x′_{, y}′_). Caso as direcções de ˆex e ˆex′_{sejam as mesmas, bem como as direcções de ˆey e ˆey}′_{, então:}

~r =_OO′+~r′ (2.3)

como facilmente se conclui por observação da figura seguinte.

ˆex1 2 x ˆey 1 2 y O b OO ′ ˆex′1 2 3 4 x′ ˆey′ 1 2 y′ O′ b ~r′ ~r

Pelo exemplo da figura, ~r′ _{=(6, 1) e OO}′ _{= (5, 4), de onde se conclui que:}

~r = OO′_+~r′ _{= (5, 4) + (6, 1) = (5 + 6, 4 + 1) = (11, 5)}

Desde que sejam conhecidos dois dos vectores, o terceiro obtem-se após a utilização da equa-ção (2.3). Este resultado é muito útil quando se pretendem relacionar as posições ou as velocidades de um objecto em dois referênciais distintos, por exemplo um fixo e outro móvel.

Apêndice A

Alfabeto grego

nome minúsculas maiúsculas nome minúsculas maiúsculas

alfa α A niu ν N beta β B csi ξ Ξ gama γ Γ omicron o O delta δ ∆ pi π ; ̟ Π epsilon ǫ ; ε E ró ρ ; ̺ P zeta ζ Z sigma σ ; ς Σ eta η H tau τ T teta θ ; ϑ Θ upsilon υ Υ iota ι I fi φ ; ϕ Φ kapa κ K qui χ X lambda λ Λ psi ψ Ψ miu µ M omega ω Ω