MATERIAL COMPLEMENTAR PARA PROFESSORES RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS. Seção 1 (ex.1) a) PB b) PIM c) PI d) PIB e) PB f) PBM g) PIM. Seção 2 (ex.

(1)

MATERIAL COMPLEMENTAR PARA PROFESSORES RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Seção 1 (ex.1) a) PB b) PIM c) PI d) PIB e) PB f) PBM g) PIM Seção 2 (ex.1) a) Não b) Sim (x₁ 10,x₂ 0 com z 20) c) Não d) Sim (x1 0, x2 4 com z 32) e) Sim (x₁ 1,x₂ 0 com z 4) f) Não g) Sim (x₁ 6,x₂ 5 com z 58) Seção 2 (ex.2) b) SF = 0) (6, 1); (5, 0); (5, 2); (4, 1); (4, 0); (4, 2); (3, 1); (3, 0); (3, 3); (2, 2); (2, 1); (2, 0); (2, 3); (1, 2); (1, 1); (1, 0); (1, (0,4); 3); (0, 2); (0, 1); (0, 0); , 0 (

c) Solução ótima: x1 4 e x2 2 com z 14. Seção 2 (ex.3)

b) SF = (0,0);(0,1);(0,2);(1,0);(1,1);(2,0);(2,1);(3,0) c) Solução ótima: x₁ 2 e x₂ 1 com z 4.

Seção 2 (ex.4)

b) (0,0);(0,1);(0,2);(1,0);(1,1);(1,2);(2,0);(2,1);(2,2);(3,0);(3,1);(3,2);(4,0) c) Solução ótima: x₁ 3 e x₂ 2 com z 13.

(2)

Seção 3 (ex.1) SBF ótima = x3 1,x4 1,x6 1,x8 1 com z 172. Seção 4 (ex.1) 1 , 0 , , , , , 0 1 20 3 4 6 5 7 4 s.a. 6 7 10 8 12 7 max 6 5 4 3 2 1 2 3 6 5 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

Solução ótima: x1 1, x2 1, x3 0, x4 1, x5 0, x6 1 com z 35. Seção 5 (ex.1)

Índices

n j

i, 1,.., que representam os clientes (o índice 0 representa o depósito)

NV

v 1,..., que representam os veículos Parâmetros

v

Cm ax, = Capacidade máxima do veículo v

i

d = demanda do cliente i ij

c = custo de viagem do cliente i ao cliente j Variáveis de decisão

1, se o arco de até é percorrido pelo veículo 0, caso contrário v ij i j v x contrário caso , 0 veículo pelo entregue for cliente do pedido o se , 1 i v y_iv

(3)

Formulação do modelo i j v v ij ijx c min s.a. v v i i n y 1, 1,..., (1) v v i NV i y , 0 (2) NV v C y d v i v i i m ax,, 1,..., (3) NV v n j y x v_j i v ij , 0,..., , 1,..., (4) NV v n i y x _iv j v ij , 0,..., , 1,..., (5) NV v n S n S S x x _ijv S ij v ij 1, 1,..., , 2 1, 1,..., (6) NV v n j n i x_ijv 0,1, 0,..., 0,..., , 1,..., (7) NV v n i yv i 0, 1, 0,..., , 1,..., (8)

O objetivo do modelo é minimizar o custo total de viagem. A restrição (1) garante que cada nó (cliente) seja visitado por apenas um veículo. Já a restrição (2) garante que todas as rotas comecem e terminem no depósito (i 0). A restrição (3) garante que a capacidade dos veículos não será excedida. As restrições (4) e (5) garantem que os veículos não interrompam suas rotas em um cliente. São as restrições de conservação dos fluxos de entrada e saída. A restrição (6) garante que não sejam formadas sub-rotas. Finalmente, as restrições (7) e (8) garantem que as variáveis x e _ijv yiv sejam binárias. Seção 6 (ex.1)

Índices

m

i 1,..., que representam os centros de distribuição (CDs)

n

(4)

Parâmetros do modelo i

f custo fixo de manter o CD i aberto ij

c custo de transporte do CD i para o consumidor j j

D demanda do consumidor j i

C_{m ax,} capacidade máxima do CD i Variáveis de decisão contrário caso 0 aberto for CD o se 1 i y_i contrário caso 0 CD pelo abastecido for consumidor o se 1 j i x_ij Formulação geral (3) ,..., 1 , ,..., 1 , 1 0, , (2) ,..., 1 , 1 (1) ,..., 1 , s.a. min 1 1 m ax, 1 1 1 obj n j m i y x n j x m i y C D x D x c y f z F i ij m i ij n j i i j ij j m i m i n j ij ij i i

que corresponde a um problema de programação binária. Para esse problema, o índice i corresponde a:

1

i (Belém), i 2 (Palmas), i 3 (São Luís), i 4 (Teresina) e i 5 (Fortaleza); e o índice j corresponde a:

1

j (Belo Horizonte), j 2 (Vitória), j 3 (Rio de Janeiro), j 4 (São Paulo) e 5 j (Campo Grande). SBF ótima: x₂₂ 1, x₂₄ 1, x₄₅ 1, x₅₁ 1, x₅₃ 1, y₂ 1, y₄ 1, y₅ 1 com 00 , 400 . 459 z .

(5)

Seção 6 (ex.2) Índices: Fornecedores i I Pólos consolidadores j J Fábrica k K Produtos p P Parâmetros do modelo: j

Cm ax, capacidade máxima do pólo consolidador j.

fj custo fixo para abertura pólo consolidador j. Dpk demanda do produto p na fábrica k.

Sip capacidade do fornecedor i produzir o produto p.

cpij custo unitário de transporte de p do fornecedor i para pólo consolidador j. cpjk custo unitário de transporte de p do pólo consolidador j para a fábrica k. cpik custo unitário de transporte de p do fornecedor i para a fábrica k.

Variáveis de decisão do modelo:

xpij quantidade transportada do produto p do fornecedor i para o pólo consolidador j. ypjk quantidade transportada do produto p do pólo consolidador j para a fábrica k.

zpik quantidade transportada do produto p do fornecedor i para a fábrica k.

z j variável binária que assume valor 1 caso o polo j opere e 0 em caso contrário.

O problema pode ser formulado da seguinte forma:

p i j j j k pik pik p j k pjk pjk p i j pij pijx c y c z f z c min s.a.: pk i pik j pjk z D y , p,k (1) j j p i pij C z x _max, , j (2) ip k pik j pij z S x , i,p (3) k pjk i pij y x , p, j (4) 0 , , _pjk _pik pij y z x , p,i,j,k (5)

(6)

1 , 0

j

z , z (6)

Na função objetivo, o primeiro termo representa os custos de transporte dos fornecedores até os terminais de consolidação, o segundo refere-se aos custos de transporte dos terminais de consolidação para o cliente final (fábrica de Harbin), o terceiro representa os custos de transporte dos fornecedores diretamente ao cliente final, e o último o custo fixo de localização de terminais de consolidação.

A restrição (1) garante que a demanda do cliente k pelo produto p é atendida. A restrição (2) é relacionada com a capacidade máxima de cada terminal de consolidação. A restrição (3) representa a capacidade de oferta do fornecedor i para o produto p. Já a restrição (4) é de conservação dos fluxos de entrada e saída em cada ponto de transbordo. Finalmente, têm-se as restrições de não-negatividade e de que a variável z j é binária.

Seção 7 (ex.1) i

x número de ônibus que começam a trabalhar no turno i, i 1,2,...,9.

Turno Período 1 6:01 – 14:00 2 8:01 – 16:00 3 10:01 – 18:00 4 12:01 – 20:00 5 14:01 – 22:00 6 16:01 – 24:00 7 18:01 – 02:00 8 20:01 – 04:00 9 22:01 – 06:00 Assim, tem-se: 1

x número de ônibus que começam a operar às 6:01. 2

(7)

Solução ótima: x₁ 24, x₂ 0, x₃ 0, x₄ 0, x₅ 16, x₆ 11, x₇ 0, x₈ 0, 8 9 x com z 59. Seção 7 (ex.2) i

x número de funcionários que começam a trabalhar no dia i, i 1,2,...,7.

1

x número de funcionários que começam a trabalhar na Segunda. 2

x número de funcionários que começam a trabalhar na Terça. 

7

x número de funcionários que começam a trabalhar no Domingo. 9 ,..., 2 , 1 , 0 00) : 06 -01 : (04 8 00) : 04 -01 : (02 3 00) : 02 -01 : (00 4 00) : 24 -01 : (22 10 00) : 22 -01 : (20 12 00) : 20 -01 : (18 8 1 00) : 18 -01 : (16 27 00) : 16 -01 : (14 6 1 00) : 14 -01 : (12 15 00) : 12 -01 : (10 18 00) : 10 -01 : (8 24 00) : 8 -01 : (6 20 a sujeito min 9 9 8 9 8 7 9 8 7 6 8 7 6 5 7 6 5 4 6 5 4 3 5 4 3 2 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 obj i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z F i

(8)

7 ,..., 1 , 0 (Domingo) 10 (Sábado) 15 (Sexta) 25 (Quinta) 22 (Quarta) 17 (Terça) 20 (Segunda) 15 a sujeito min 7 6 5 4 3 6 5 4 3 2 5 4 3 2 1 7 4 3 2 1 7 6 3 2 1 7 6 5 2 1 7 6 5 4 1 7 6 5 4 3 2 1 i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z i

Solução ótima alternativa: x₁ 10, x₂ 6, x3 0, x4 5, x5 4, x6 0, x7 1 com

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