Equação DGLAP. M. M. Machado

Equação DGLAP

M. M. Machado

melo.machado@ufrgs.br

High Energy Phenomenology Group Instituto de F´ısica

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Porto Alegre, Brazil

GFPAE - UFRGS

http://www.if.ufrgs.br/gfpae

Semin´

ario baseado na aula apresentada pela Prof

Beatriz na escola JAS - 2007

Outline

•

_{Espalhamento profundamente inelástico}

•

_{Tensor hadrônico e leptônico}

•

_{Espalhamento neutrino-nucleon}

•

_{Modelo de pártons}

•

_{Equação DGLAP}

•

_{Solução da DGLAP}

•

DGLAP em pequeno-

_x

•

_Conclusões

Espalhamento Profundamente Inel ´astico

•

_{O espalhamento profundamente inelástico (DIS) é um dos processos mais}

importantes para estudar a estrutura do hádron

•

_{Interação eletromagnética entre um lépton de alta energia (ν, e}+_{, e}−_{) e um}

nucleon (p, ¯p, n) ou um núcleo

•

_{Processo ep em ordem dominante −→ e + p → e + X}

•

_{Quadri-momentum do fóton (q}µ_{) em QED −→ escala do processo q = k − k}′

•

_{Quadrado do momentum transferido −→ virtualidade do bóson}

Q2 ≡ −q2 = −(k − k′)2

•

_{Princípio da incerteza → ∆x ≈} 1

∆p −→ resolução pela qual o hádron é estudado

Cinem ´atica

e

(k

µ

≡

(E, ~k))

X

(p

µ_X

)

γ

∗

(q

µ

)

e(k

′µ

≡

(E

′

, ~

k

′

))

p(p

µ

)

•

_{Energia do fóton virtual γ}∗ _{−→ ν =} p.q

M

•

_{Massa invariante −→ W}2 _{= (p + q)}2 _{= M}2 _{− Q}2 _{+ 2M ν}

•

_{Variável de Bjorken −→ x =} Q2 2p.q = Q2 2M ν

•

_{Rapidez −→ y =} p.q ₌ ν

Interac¸ ˜ao

•

_{Espalhamento profundamente inelástico elétron-próton ep → eX}

•

_{Próton quebra-se em hádrons −→ troca de um fóton virtual muito energético}

•

_{No centro de massa (CM) do sistema elétron-próton, o momentum do próton (p~) é}

grande nas colisões em altas energias

•

_{Momentum do elétron −→ (|~p|, −~p)}

•

_{Momentum do bóson −→ (q}0_{, ~q )}

P ´artons

•

_{Considerando que o próton quebra-se em um estado virtual com duas}

componentes

◦

_{Párton com momentum xp e massa m}

1

◦

_{Pártons com momentum total (1 − x)p e massa invariante m}

2

•

_{Fração de momentum carregada por estes pártons −→ x e 1 − x}

•

_{Diferença de energia entre o estado virtual e o próton (∆E)}

∆E = q x2_p2 _{+ m}2 1 + q (1 − x)2_p2 _{+ m}2 2 − q p2 _{+ M}2 proton ≃ 1 |p| " m2₁ 2x + m2₂ 2(1 − x) − M_proton2 2 # .

•

_{Inverso desta quantidade (princ´ıpio da incerteza) −→ meia-vida do estado virtual}

τ_virtual ∼ 1/∆E

e(E, ~k)

Invariantes de Lorentz

•

_{Usando a expressão} q0 = 2p . q + q 2 2(q~p2 _{+ M}2 proton + |~p|) ∼ 2Mprotonν − Q 2 4|~p| ,

notação dos invariantes de Lorentz foi utilizada

Q2 ≡ −q2 ,

ν ≡ p . q

Mproton

,

condição de vínculo para o elétron no estado final

•

_{Aproximação de impulso −→ pártons livres durante a colisão}

•

_{Razão entre as escalas de tempo é pequena}

τ_collision τ_virtual ∼ 2 m2₁ x + m2₂ (1−x) − Mproton2 2Mprotonν − Q2

Sec¸ ˜ao de choque

•

_{No DIS, 2M}

protonν e Q2 são maiores que M_proton2

•

_{Processos em que pártons macios são importantes não possuem boa descrição}

pelo modelo de pártons

•

_{Próton com alto momentum P}

•

_{Próton apresenta contração de Lorentz na direção longitudinal}

•

_{Seção de choque inclusiva é a média em spin no DIS lépton-hádron −→ σ}lh

•

_{Expressa em termos de duas funções invariantes de gauge −→ caracteriza a}

estrutura do alvo

•

_{Funções de estrutura F}

1 e F2

•

_{Espalhamento de léptons carregados −→ processo mediado por um fóton virtual}

trocado no limite em que Q2 ≪ M2

d2σlh 2 = 4πα2 2 ˆ xy2F1(x, Q2) + (1 − y)F2(x, Q2)˜ ,

Energias

•

_{Constante de acoplamento eletrofaco α e y é a inelasticidade}

•

_{Inelasticidade no sistema de repouso do alvo próton y = 1 − E}′_{/E onde E e E}′

são as energias dos estados inicial e final

•

_{Léptons −→ estuda a estrutura do hádron}

e− k, E e− k′, E′ q2, ν N pX p, E_N

•

_{Transferência de energia −→ E}′ − E

•

_{Caso covariante geral −→ ν =} (k′−k)·p

M = p·q

M

•

_{Escala de energia de um fóton virtual é maior do que o próton}

Vari ´aveis de Mandelstam

•

_{Canal s: s = (p + k)}2 _{= (p}′ _{+ k}′₎2

•

_{Canal t: t = (p − p}′₎2 _{= (k − k}′₎2

•

_{Canal u: u = (k}′ _{− p)}2 _{= (k − p}′₎2

•

_{s é o quadrado da energia CM −→ p e k são os momenta das partículas colidindo}

•

_{t é o quadrado da energia CM −→ k e k}′ _{são os momenta das partículas}

colidindo

•

_{u é o quadrado da energia CM −→ k e p}′

são os momenta das partículas colidindo

Tensor Lept ˆonico e Hadr ˆonico

•

_{Momentum hádron −→ p} x = p + q M_X2 = M2 + q2 + 2M ν = (M + ν)2

•

_{Caso elástico −→ M = M} X

•

_{Caso inelástico −→ M 6= M} X

•

_{Seção de choque para o processo}

dσ = 1 |Ve − VN| m E M E_N |Mf i| 2_(2π)4_δ4_(k′ _{+ p} X − k − p) m (2π)3 d3K′ E′ Y X M_Xd3p_X (2π)3_E X

•

_{Sistema de repouso do alvo}

M

Tensor lept ˆonico e hadr ˆonico

•

_{Usando as variáveis naturais −→ c = ~ = 1}

dσ = m 2 EE′ |Mf i| 2_2πδ4_(k′ _{+ p} X − k − p)d3k ′ Y X M_Xd3p_X (2π)3_E X

•

_{Feixe incidente, não existe detecção de spin no estado final}

dˆσ = π 2 m2 EE′ d 3_k′ X s X s′ X sN X X Z _Y X MXd3pX (2π)3_E X δ(4)(k′ − k + p_X − p)|M_{f i}|2

onde σˆ é a seção de choque inclusiva e |M_{f i}| é o elemento da matriz de transição

dado por M_{f i} = ie 2 q2 u(k¯ ′ , s′)γµu(k, s) < x|ϑu(0)|N >

Tensor lept ˆonico e hadr ˆonico

•

_Assim dˆσ = e 4 8π2 m2 EE′ d 3_k′ 1 q4 L µν_W µν

•

_Lµν _{−→ tensor leptônico −→ QED −→ vértice primário}

Lµν = X

s

X

s′

[¯u(k′, s′)γµu(k, s)][¯u(k′, s′)γνu(k, s)]†

•

_W

µν −→ tensor hadrônico −→ ignorância sobre a estrutura do próton −→ vértice

sedundário Wµν = 4π3 X sN X X Z _Y X M_Xd3p_X (2π)3E_X δ (4)_(p X − p − q) < N |ϑ†u(0)|X >< X|ϑu(0)|N >

Tensor lept ˆonico e hadr ˆonico

•

_{Propriedades das γs u¯ = u}†_γ0 γ0† = γ0 㵆 = γ0γµγ0 (γ0)2 = γ0 / A = γµAµ

[¯u(k′)γνu(k)]† = [¯u(k)γνu(k′)] γ5 = ıγ0γ1γ2γ3

•

_{Usando as propriedades, o tensor leptônico é dado por}

Lµν = X

spins

[¯u(k′)γµu(k)][¯u(k)γνu(k′)]

= X s′ ¯ us′ α (k ′ )γ_(αβ)µ X s u(s)_β (k)u(s)_γ¯ (k)γν(γξ)u(s ′ ) ξ (k ′ )

Tensor lept ˆonico

•

_Então X s u(s)_β (k)¯u(s)_γ (k) = (k + m/ 2m )αβ X s′ u(s ′ ) γ (k ′ )¯u(s ′ ) α (k ′ ) = (k/ ′ + m 2m )γα

•

_Assim Lµν = X s′ u(s ′ ) ξ (k ′ )¯us ′ α (k ′ )γ_(αβ)µ X S u(s)_β (k)¯u(s)γ (k)γ_(γξ)ν = (k/ ′ + m 2m )ξαγ µ (αβ)( / k + m 2m )βγγ ν (γξ) = 1 4m2(/k ′ + m)_(ξα)γ_(αβ)µ (/k + m)_(βγ)γ_(γξ)ν = (/k ′ + m 2m )(ξα)γ µ (αβ)( / k + m 2m )βγγ ν (γξ)

Tensor lept ˆonico

•

_{Usando a definição do traço}

(/k ′ + m 2m )ξαγ µ (αβ)( / k + m 2m )βγγ ν (γξ) = T r( / k′ + m 2m γ µk + m/ 2m γ ν₎ temos Lµν = T r(k/ ′ + m 2m γ µk + m/ 2m γ ν₎ = 1 4m2 T r[(/k ′ + m)γµ(/k + m)γν] = 1 4m2 T r(/k ′ γµkγ/ ν + /k′γµmγν + mγµkγ/ ν + m2γµγν) = 1 4m2 [T r(/k ′ γµkγ/ ν) + T r(/k′γµmγν) + T r(mγµkγ/ ν) + T r(m2γµγν)]

Tensor lept ˆonico

•

_{Além disso} T r[/k′γµγν] = T r[γβ ′_βγµγν] = 0 T r[γβk_β′ γµγν] = k_β′ T r[γβγµγν] = 0 T r[γαγβ...γργξ = 0(odd − γ) T r(mγµkγ/ ν) = mk_βT r(γµγβγν) = 0 T r(γµγν) = 1 2T r(γ µ_γν_{) +} 1 2(γ ν_γµ₎

•

_Usando T r(AB) = T r(BA)

e {γµ, γν} sendo o anticomutador da matriz γµ, γν

2gµν ≡ {γµ, γν} 1 2T r{γ µ_{, γ}ν_{}) =} 1 2T r(2g µν₎ T r(gµν) = 4gµν

Tensor lept ˆonico

•

_{Voltando ao tensor leptônico}

Lµν = 1 4m2 {T r(/k ′ γµkγ/ ν) + m2T r(gµν)} = 1 4m2 {T r(/k ′ γµkγ/ ν) + 4m2gµν} = 1 4m2 {T r[γ α_k′ αγµγβkβγν] + 4m2gµν} = 1 4m2 {k ′ αkβT r(γαγµγβγν) + 4m2gµν}

•

_{Usando T r(γ}α_γβ_γρ_γξ_{) = 4(g}αβ_gρξ _{− g}αρ_gβξ _{+ g}αξ_gβρ_{), finalmente} Lµν = 1 4m2 {k ′ αkβ[4(gαµgβν − gαβgµν + gανgµβ)] + 4m2gµν}

Tensor lept ˆonico

Lµν = 1 4m2 {4k ′ αkβgαµgβν − 4k ′ αkβgαβgµν + 4k ′ αkβgανgµβ + 4m2gµν} = 1 4m2 {4k ′_µ kν − 4k′βk_βgµν + 4k′_νkµ + 4m2gµν} = 1 m2 {k ′_µ kν + k′νkµ − gµν(k′ · k) + m2gµν} = 1 m2 {k ′_µ kν + k′νkµ − (k′ · k − m2)gµν}

•

_{Desprezando a massa do elétron (m → 0)}

Lµν ≈ 1

m2 {k ′_µ

Tensor hadr ˆonico

•

_{Sendo W}

µν simétrico e função do vértice hadrônico

•

_{A forma geral é construída por g}µν_{, p}µ _{e q}µ _{−→ invariantes de Lorentz}

Wµν = −W1gµν + W2 M2 pµpν + W3( pµqν + pνqµ M2 ) + qµqν M2 W4

•

_W

1, W2, W3 e W4 −→ funções escalares, dependendo de (q2, ν)

Wi = Wi(q2, ν)

•

_{Conservação da corrente no vértice hadrônico}

JµJµ = 0 −→ qµ < X|Jµ|N >= 0

Tensor hadr ˆonico

•

_Então − qµgµνW1 + W2 M2q µ_p µpν + W3 M2(q µ_p µqν + qµpνqµ) + qµqµqν W4 M2 = 0 −qνW1 + W2 M2 q · ppν + W3 M2(q · pqν + q 2_p ν) + q 2 _{· q} ν M2 W4 = 0

•

_{Para os coeficientes q} ν − W1 + q · p M2 W3 + q2 M2 W4 = 0

•

_{Para os coeficientes p} ν q · p M2 W2 + q2W3 M2 = 0

Tensor hadr ˆonico

•

_Portanto W3 = q · p M2 M2 q2 W2 = q · p q2 W2 = − p · q q2 W2 W4 = M 2 q2 (W1 − q · p M2 W3) = M2 q2 [W1 − (− (p · q)2 M2_q2 W2)] = M 2 q2 [W1 + (p · q)2 M2q2 W2] W4 = M2 q2 W1 + (p · q)2 q4 W2

Tensor hadr ˆonico

Wµν = −gµνW1 + pµpν M2 W2 + pµqν + pνqµ M2 (− p · q q2 W2) + qµqν M2 ( M2W1 q2 + (p · q)2 q4 W2) = (−gµνW1 + pµpν M2 W2 + pµqν(−q · p) M2q2 W2 + pνqµ M2q2(−p · q)W2 + qµqν M2q2M 2_W 1 + qµqν M2 (p · q)2 q4 W2) = (−gµν + qµqν q2 )W1 + [pµpν + qµqν q4 (p · q) 2 ₋ (pµqν + pνqµ) q2 (p · q)] W2 M2

•

_Finalmente = (−gµν + q µ_qν q2 )W1(q 2_{, ν) + (p}µ ₋ p · q q2 q µ_)(pν ₋ p · q q2 q ν₎W2 M2(q 2_{, ν)}

Propriedades da QCD

•

_{Cromodinâmica Quântica (QCD) → interação forte}

•

_{Lagrangiano da QCD} L_QCD = −1 4F A αβFAαβ + X f lavor ¯ qa(i ˆD − m)abqb + Lf ix + Lghost

•

_FA

αβ = ∂αGAβ − ∂βGAα + gfργA GραGγβ −→ tensor campo de glúons

•

_fA

ργ são as constantes de estrutura SU(3)

•

_{Quarks → férmions → carga cor (q}

aqb)

•

_{Glúons → cor}

•

_{Liberdade assintótica → altas energias}

•

_{Confinamento → baixas energias (g)}

•

_L

f ix termo fixa-gauge

•

_{L introduz os fantasmas de Faddeev-Popov}

QCD O(α ) 251 MeV 178 MeV Λ (5)_{MS α (Μ )} s Z 0.1215 0.1153 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 α_s (Q) Heavy Quarkonia Hadron Collisions e+e- Annihilation Deep Inelastic Scattering

NLO NNLO Theory Data Lattice 213 MeV 0.1184 s 4

{

B ´asico da QCD

•

_{QCD é uma Teoria de Gauge que obedece o grupo de cor SU(3)}

•

_{Geradores que são descritos nas representações fundamentais (t}a_{) e adjunta}

(Ta)

•

_{Propriedades (N} c é o número de cores) h ta, tbi = ifabc tc → Tr(tatb) = 1 2δ ab h Ta, Tbi = ifabc Tc → Tr(TaTb) = facdfbcd = N_cδab

•

_{Propriedades das constantes de estrutura f}abc

◦

Antisimétrica sob uma mudançe. dois indíces quaisquer

fabc = −fbac

◦

_{Satisfazem a Identidade de Jacobi}

REgras de Feynman para QCD

•

_{Propagador do glúon} − i „ gµν k2 + iǫ «

•

_{Vértice quark-glúon} g„ t a 2 « µ (γν)βγ

•

_{Vértice três-glúon} [ l] [ l]

DIS neutrino-nucleon

•

_{Seção de choque ∝ |M|}2 _{−→ contém o centro da interac¸ ˜ao}

•

_{Possíveis interações}

◦

_{Corrente carregada (CC) ⇒ envolvendo troca do bóson W}

◦

_{Corrente neutra (NC) ⇒ envolvendo troca do bóson Z}

•

_{Caso CC} dσ |M|2 = 2G 2 F (1 + Q2_/M2 W)2 L_αβWαβ,

onde G_F é a constante de acoplamento de Fermi, L_αβ e Wαβ são dois tensores

decrevendo os vértices hadrônico e leptônico M_W é a massa do bóson W.

•

_{Tensor leptônico é dado por}

L_αβ = [¯u(k)γα(1 − γ5)u(k′)][¯u(k′)γβ(1 − γ5)u(k)] =

8[k_α′ k_β + k_β′ kα − (k.k′) − m2_e]gαβ ∓ iǫαβγδkγk′δ,

DIS neutrino-nucleon

•

_{Nucleon com composição desconhecida −→ construção do tensor hadrônico da}

mesma forma para DIS ep

•

_{Introdução das funções para descrever as estruturas no interior do nucleon}

•

_{Tensor hadrônico possui duas variáveis independentes no vértice hadrônico - p e q}

•

_{Introdução da função de estrutura do espalhamento neutrino-nucleon W}

Wαβ = −gαβW1 + p α_pβ

M_N2 W2 −

iǫαβγδpγqδ

DIS neutrino-nucleon

•

_{Função de estrutura W}

3 é específica para interações fracas −→ sem análogo no

eletromagnetism

•

_{Funções de duas variáveis −→ ν e Q}2_.

•

_W

i −→ funções de estrutura adimensionais

M W1(ν, Q2) → F1(x, Q2)

νW₂(ν, Q2) → F₂(x, Q2) νW3(ν, Q2) → F3(x, Q2)

•

_{Seção de choque diferencial do espalhamento profundamente inelástico CC}

neutrino-nucleon pode ser escrita em termos x, y e Q2 como

d2σν(¯ν) dxdy = G2_FM_NEν π(1 + Q2/M_W2 )2 × » 1 2y 2 _{· 2xF} 1 + (1 − y − MNxy 2Eν )F2 ± (y − 1 2y 2_)xF 3 – ,

onde +(-) é a seção de choque do espalhamento neutrino(antineutrino) −→

helicidade

•

_{Funções de estrutura podem ser medidas em espalhamento em DIS}

Func¸ ˜ao de estrutura

xF

₃

νN

•

_{Referencial de momentum infinito −→ fusão W}±_{-glúon, W}± _{+ g → c¯s(¯cs)}

•

_{Contribuição da excitação charm/strange para a seção de choque de absorção (W}

de mão-esquerda (L), mão-direita (R) e virtualidade Q2)

σ_L,R(x, Q2) = Z d2r Z ₁ 0 dz X λ₁,λ₂ |Ψλ1,λ2 L,R (z, r, Q2)|2σdip(x, r), onde Ψλ1,λ2

L,R (z, r, Q2 é a função de onda do cone de luz para o estado c¯s

Func¸ ˜ao de estrutura

xF

₃

νN

•

_{Helicidade de c e s −→ λ¯}

1 = ±1/2 e λ2 = ±1/2

•

_{Elementos diagonais da densidade de matriz}

X λ₁,λ₂ Ψλ1,λ2 L (Ψ λ₁,λ₂ L )∗ = 4Nc (2π)2 z 2_[m2 qK02(ǫr) + ǫ2K12(ǫr)],

•

_K

0 e K1 são as funções de Bessel, z é a fração de momentum de q, 1 − z é a

fração de momentum de q¯e r é a separação dos quarks (representação de

dipolos) X λ₁,λ₂ Ψλ1,λ2 R (Ψ λ₁,λ₂ R ) ∗ ₌ 4Nc (2π)2 (1 − z) 2_[m2 qK02(ǫr) + ǫ2K12(ǫr)].

•

_ǫ2 _{= z(1 − z)Q}2 _{+ (1 − z)m}2

q + zm2q¯, onde mq e mq¯ são as massas do quark e

Func¸ ˜ao de estrutura

xF

₃

νN

•

_{Expressões para o bóson W}− _{são obtidas substituindo m}

q ↔ mq¯

•

_{Funções de estrutura de DIS neutrino-nucleon xF}

3 pode ser escrita em termos de

σ_R e σ_L xF₃νN(x, Q2) = Q 2 4π2 [σL(x, Q 2_{) − σ} R(x, Q2)]

onde xF₃ é interpretada como a componente de quarks mar

•

_{Para valores não muito pequenos de x −→ xF}

3 importante contribuição dos

quarks de valência

•

_{Termo de valência xq}

val −→ o mesmo para as funções de estrutura νN e νN¯

•

_{Termos de mar xq}

sea em xF₃νN tem sinais opostos para xF₃νN¯

•

_{Assim xF}ν(¯ν)N

Modelo de p ´artons

•

_{Seção de choque para DIS → proporcional ao tensor leptônico L}µν

dσ ∝ LµνWµν

onde Lµν é dado pela QED

Lµν = 1 m2 [k

′µ_kν _{+ k}′ν_kµ _{− (k.k}′_)gµν_].

e Wµν descreve o vértice hadrônico (estrutura do próton)

•

_{DIS −→ tensor hadrônico pode ser escrito como}

Wµν = (−gµν + qµqν q2 )W1(ν, Q 2_{) + (p} µ − p.q q2 qµ)(pν − p.q q2 qν) 1 M2W2(ν, Q 2_).

•

_W′

Modelo de p ´artons

•

_{Resultados experimentais no SLAC −→ limite de Bjorken}

ν → ∞, Q2 → ∞ , x ≡ Q

2

2M ν,

•

_{Funções de estrutura são independentes de Q}2 _{e ν −→ funções da variável x}

lim Q2_,ν→∞ M W1(ν, Q 2_{) ≈ F} 1(x), lim Q2_,ν→∞ν W2(ν, Q 2_{) ≈ F} 2(x).

•

_{Escalamento de Bjorken −→ espalhamento elástico entre o fóton e partículas} puntuais (férmions) dentro do próton

Modelo de p ´artons

•

_{DIS considerado como um espalhamento elástico entre partículas puntuais}

(pártons).

e

(k

µ

)

xp

xp

+ q

p

_X

γ

∗

(q

µ

₎

e(k

′µ

)

P

(p

µ

)

Modelo de p ´artons

•

_{Seção de choque para DIS}

d2σ dxdQ2 ˛ ˛ ˛ ˛ ep→eX = X i Z ₁ 0 dx f_i(x) | {z } exp. d2σ dxdQ2 | {z } QED ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ eq→eq ,

onde fi(x) é a função de distribuição partônica

•

_{Número de pártons de sabor i no interior do próton}

Ni = Z 1 0 fi(xi)dxi.

•

_{Conservação do momentum} XZ 1 x f (x )dx = 1,

Modelo de p ´artons

•

_{Funções de estrutura F}

1 e F2 definidas no limite de Bjorken −→

F2 = 2xF1 = X i e2_ixfi(x).

•

_Experimental X i Z ₁ 0 xifi(xi)dxi ≈ 0.5,

•

_{Pártons carregam aproximadamente 50% do momentum total}

•

_{Glúons −→ mediadores da interação forte}

•

_{Teoria de Gauge −→ descreve a interação forte na QCD}

•

_{Carga −→ cor (vermelho, azul, verde)}

•

_{Constante de acoplamento forte (α}

s) −→ comportamento Q ∝ 1/r

Modelo de p ´artons

fi(x) → fi(x, Q2), Q2 ⇒ 8 < : Resolução Variável

•

_{Equações de evolução DGLAP (Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi)}

dq_i(x, Q2) d ln Q2 = αs(Q2) 2π Z 1 x dy y » Pqq „ x y « qi(y, Q2) + Pqg „ x y « g(y, Q2) – ,

d

dlogQ

2

q

_i

(x, Q

2

)

(

)

⇒ q

i

(y, Q

2

₎

P

_qq

(

x

)

+

g(y, Q

2

₎

P

_qg

(

x

)

Equac¸ ˜ao DGLAP

dg(x, Q2) d ln Q2 = αs(Q2) 2π Z ₁ x dy y " X i Pgq „ x y « q_i(y, Q2) + Pgg „ x y « g(y, Q2) # ,

d

dlogQ

2

g(x, Q

2

)

(

)

⇒ q

i

(y, Q

2

₎

g(x, Q

2

)

P

_gq

(

x_y

)

+

g

(y, Q

2

₎

g(x, Q

2

)

P

_gg

(

x_y

)

Equac¸ ˜ao DGLAP - Ordem dominante

•

_{Em ordem dominante (LO), introduzindo a variável z =} x

ω = Q2 2p.q = Q2 ˆ s+Q2, Pij é dada por Pqq(z) = 4 3 » (1 + z2₎ (1 − z)+ + 3 2δ(1 − z) – , Pqg(z) = 1 2[z 2 _{+ (1 − z)}2_], Pgg(z) = 6» (1 − z) z + z (1 − z)+ + z(1 − z) + „ 11 12 − n_f 18 « δ(1 − z) – , Pgq(z) = 4 3 » 1 + (1 − z)2 z – ,

⇒

γ

∗

x

q

γ

∗

x

q

k

T

+

γ

∗

g

q

¯

q

Distribuic¸ ˜oes de gl ´uons

-10 0 10 20 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 xg(x,Q 2 ) Q2=2 GeV2 NNLO (average) NNLO (extremes) NLO LO 0 10 20 30 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 Q2=5 GeV2 0 10 20 30 40 50 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 x xg(x,Q 2 ) Q2=20 GeV2 0 10 20 30 40 50 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 x Q2=100 GeV2

Equac¸ ˜ao DGLAP - Func¸ ˜oes de estrutura

•

_{Como obter predições para as funções de estrutura de DIS através da QCD?}

•

_{Calculando as contribuições para cada ordem no acoplamento −→ regras de}

Feynman p ν µ a q

•

_{LO → somente o espalhamento elástico próton-quark contribui → γ}∗_{q → q}′

•

_{Funções de estrutura} 2F1(x, Q2) = 1 xF2(x, Q 2_{) =} X q e2_q Z dω q(ω)δ(x − ω) = X q e2_qq(x) ,

Equac¸ ˜ao DGLAP - Func¸ ˜ao de estrutura

F

1

•

_{Existe somente dependência em x −→ escala de Bjorken}

•

_{Relação entre as funções de estrutura −→ Callan-Gross}

Equac¸ ˜ao DGLAP - radiac¸ ˜ao de gl ´uons

•

_{Como a presença da radiação de glúons determina a violação da escala de}

Bjorken?

•

_{Próxima ordem em expansão perturbativa −→ emissão de glúons}

γ∗(q) + q(P ) → q(p′) + g(k) a b µ q p p µ q ( ) ( ) ν a=g a ν b b

•

_{Considerando o acoplamento de glúons −→ SU (3)}

•

_{Quando as funções de estrutura do tensor hadrônico são extraídas, encontra-se}

Equac¸ ˜ao DGLAP -

F

2

•

_F 2 6= 2xF1 1 xF2(x, Q 2_{) =} X q e2_qαs 2π Z ₁ x dz z q “ x z ” Z Q2/z 0 d(−ˆt) 4 3 » 1 −ˆt 1 + z2 1 − z − z2(ˆt + 2Q2) (1 − z)Q4 – .

•

_{Variáveis de Mandelstam sˆe t −→ˆ processo em nível partônico}

•

_{Função desdobramento quark-quark P}

qq −→ dependência em z na forma Pqq = 4 3 „ 1 − z2 1 − z « . a b ( ) ( )

•

_{Universal para diferentes processos onde o quark aparece com radiações de}

Equac¸ ˜ao DGLAP - func¸ ˜ao desdobramento

•

_{Introduzindo vértices de baixa ordem com diagramas de glúons virtuais}

•

_{Contribuições de glúons virtuais}

1 xF2(x, Q 2_{) =} X q e2_q Z ₁ x q“ x z ” » δ(1 − z) + αs(µ 2₎ 2π Pqq(z) » ln„ Q 2 µ2 « − 1 ε – + αs(µ2)f (z) – . Pqq(z) = 4 3 1 − z2 (1 − z)+ + 2δ(1 − z) , onde + é Z ₁ 0 dz g(z) (1 − z)+ ≡ Z ₁ 0 dz g(z) − g(1) 1 − z . q(x) + Z _{1 dz} q“ x” »αs(µ2)f (z) − αs(µ 2₎ Pqq(z)1 – .

Equac¸ ˜ao DGLAP - distribuic¸ ˜oes de quarks

•

_{Combinando os resultados e redefinindo a distribuição de quarks em grande Q}2

p k kn q k 1 2 1 xF2(x, Q 2_{) =} X q e2_q q(x, Q2) = X q e2_q [q(x) + δq(x, Q2)] , onde αs(µ2) „ Q2« Z dω “ x”

Equac¸ ˜ao DGLAP - Evoluc¸ ˜ao para quarks

•

_{Evolução para quarks torna-se}

∂qi(x, Q2) ∂ ln Q2 = αs(Q2) 2π Z ₁ x dω ω h q_i(ω, Q2)Pqq “ x ω ” + g(ω, Q2)Pqg “ x ω ”i ,

•

_{Válida para qualquer quark ou antiquark q}

i com massa pequena

•

_{Contribuições adicionais das equações Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi}

(DGLAP) −→ expressão correspondente distribuições de glúons

∂g(x, Q2) ∂ ln Q2 = αs(µ2) 2π Z ₁ x dω ω " X i q_i(ω, Q2)Pgq “ x ω ” + g(ω, Q2)Pgg “ x ω ”# ,

soma sobre todos os quarks e antiquarks

Equac¸ ˜ao DGLAP -

qg

e

gg

•

_{Funções desdobramento quark-glúon e glúon-glúon}

Pgq(z) = 4 3 1 + (1 − z)2 z , Pgg(z) = 6 » z (1 − z)+ + 1 − z z + z(1 − z) + „ 11 12 − n_f 18 « δ(1 − z) – ,

onde n_f é o número de sabores de quarks

•

_{Função desdobramento P}

gq −→ probabilidade de um quark inicial emitir um glúon

•

_{Função desdobramento P}

gg −→ probabilidade de um glúon no estado inicial

emitir um glúon

Equac¸ ˜ao DGLAP - ordem dominante

•

_{Derivação em ordem dominante (LO) para o formalismo DGLAP}

•

_{Funções desdobramento podem ser obtidas como expansão perturbativa em α}

s

P_ab(x, Q2) = P_abLO(x) + αs(Q2)P_abN LO(x) + . . . .

•

_{Truncada após os dois primeiros termos −→ evolução DGLAP em próxima ordem}

dominante (NLO)

•

_{Próxima ordem dominante (NLO) −→ relação de Callan-Gross inválida −→}

função estrutura longitudinal

FL(x, Q2) = „ 1 + 4M 2_x2 Q2 « F2(x, Q2) − 2xF1(x, Q2) , M é a massa do próton

•

_F L = F2 − 2xF1 −→ Q2 → ∞

Soluc¸ ˜ao DGLAP

•

_{Equações DGLAP} dqi(x, t) dt = αs(t) 2π [Pqq ⊗ qi + Pqg ⊗ g] , dgi(x, t) dt = αs(t) 2π [Pgq ⊗ X i qi + Pgg ⊗ g] .

•

_{Simplificando esta equação −→ combinação de simetria de sabor SU (n}

f)

singleto e não-singleto das distribuições partônicas

•

_{Singleto → q}S_{(x, t) =} P

i[qi(x, t) + ¯qi(x, t)]

•

_{Combinações não-singleto q}N S_{(x, t) → u − ¯u, d − ¯d, d − ¯d, ...}

•

_{Combinações satisfazem as equações}

dqN S(x, t) dt = αs(t) 2π Pqq ⊗ q N S _, dqS(x, t) dt = αs(t) 2π [Pqq ⊗ q S _{+ 2n} fPqg ⊗ g] , dg(x, t) dt = αs(t) 2π [Pgq ⊗ q S _{+ P} gg ⊗ g] ,

F

2

(x, Q

2

)

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 1 10 102 103 F2 p(x,Q 2 ) + constant Q2 (GeV2) x=7.8 10-5 x=2.1X10 -4 x=8X10-4 x=2X10-3 x=5X10-3 x=1.3X10-2 x=3.2 -2 x=8 10-2 NLO fit NLO fit (x 0.005) small x resum. fit

H1 96/97+98/99 ZEUS 96/97 NMC E665 > X X 10 X

Soluc¸ ˜ao DGLAP – import ˆancia

•

_{Para extrair as distribuições partônicas dos dados −→ considerar uma}

parametrização inicial com comportamento da função x variável para diferentes

distribuições partônicas em baixo Q2₀

•

_{Usando DGLAP pode se obter as distribuições partônicas para qualquer Q}2

grande, onde os observáveis são medidos.

•

_{Ajuste (escolha) dos parâmetros usados na parametrização das condições iniciais}

•

_{Distribuições partônicas são dadas na escala Q}2 _{= 10 GeV}2

•

_{x grande −→ domínio de quarks u e d}

•

_{Contribuição dos quarks de mar (originados por pares quark-antiquark produzidos}

em um desdobramento gluônico) g → q ¯q −→ crescimento em x

Soluc¸ ˜ao DGLAP

Soluc¸ ˜ao DGLAP

•

_{Em pequeno x −→ distribuição de glúons domina}

•

_{Divergência na função desdobramento P}

gq e Pgg

•

_{DGLAP no limite de x} dqi(x, Q2) d ln Q2 ≈ αs(Q2) 2π Z ₁ x dz z Pqg(z)g “ x z , Q 2” _≡ αs(Q2) 2π Pqg ⊗ g dg(x, Q2) d ln Q2 ≈ αs(Q2) 2π Z ₁ x dz z Pgg(z)g “ x z , Q 2” _≡ αs(Q2) 2π Pgg ⊗ g

DGLAP em pequeno-

x

•

_{Existe um aumento nas distribuições de quarks e glúons}

•

_{Compreendimento das interações no regime de pequeno x −→ desafio na QCD}

•

_{Funções de estrutura na região de pequeno x e estudo d transição entre regime}

perturbativo e não-perturbativo → DIS

•

_{Equações DGLAP para distribuições partônicas possuem boa descrição na escala}

de violação

•

_{Algumas questões ainda permanecem}

◦

_{Onde começa o regime de pequeno x?}

◦

_{Para quais valores de fração de momentum x o formalismo DGLAP para}

evolução das funções de estrutura tornam-se apropriados

•

_{Com os dados atuais −→ F}

2 crescimento no limite de x − − > 0

•

_{Maior com o aumento de Q}2

DGLAP em pequeno-

x

•

_{Razão entre funções de estrutura nuclear e nucleon normalizada para A −→}

modificações da função de estrutura nuclear → European Muon Collider (EMC)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 F2 A /AF 2 D F₂C/F₂D F₂Cu/F₂D F₂Sn/f₂D

•

_{Arneodo PR240, 301 (1994)}

DGLAP em pequeno-

x

•

_{O que está errado no modelo de pártons?}

•

_{Expectativa teórica} F₂A(x, Q2) = AF₂p(x, Q2)

•

_Então R = F A 2 (x, Q2) AF₂p(x, Q2) = 1

Conclus ˜ao

•

_{Espalhamento Profundamente Inelástico}

•

_{Cromodinâmica Quântica}

•

_{Modelo de Pártons}

•

_DGLAP

•

_{Problemas em pequeno-x}

•

_{Efeitos de recombinação}

•

_{Novas equações}

References

•

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Sov. Journ. Of Nucl. Phys. v 15 438-449 (1971)

•

_{ALTARELLI, G.; PARISI, G. Asymptotic freedom in parton language Nucl. Phys. B v}

126 298-318 (1977)

•

_{DOKSHITZER, Yu.L.; Sov. Phys. JETP 46, 641 (1977)}

•

_{MUELLER, A. H. Small-x behavior and parton saturation: a QCD model Nuclear}

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description of deep inelastic scattering arXiv:hep-ph/9706455 v1 (1997)

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- a DGLAP analysis arXiv:hep-ph/9906484 v1 (1999)

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model: DGLAP evolution arXiv:hep-ph/0203258 v2 (2002)

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logarithms for the non-singlet spin structure function g₁ arXiv:hep-ph/0506302 v1