03. Constantes de Tempo

1.

1. UmcapacitordeUmcapacitorde

8 µ8 µ

 ,i ,inicialmentenicialmentedescarregado,descarregado, ééconectadoconectadoememsériesérieaaumumresistorresistor dede

1 Ω1 Ω

eambosaumaeambosauma  fontedealimentaçãode

 fontedealimentaçãode

20 20 

.Pergunta-se:.Pergunta-se: a)

a) Quaissãoacorrenteetensãonocapacitorimediatamenteapósaconexãoàfontedealimentação?Quaissãoacorrenteetensãonocapacitorimediatamenteapósaconexãoàfontedealimentação? b)

b) QuaissãoacorrenteetensãonocapacitorQuaissãoacorrenteetensãonocapacitor

4 4 

apósaconexão?apósaconexão? c)

c) QualéatensãonocapacitorapósQualéatensãonocapacitorapós

11

minuto?minuto?

çã

çã

Como todos os elementos estão ligados em série, eles formam uma malha fechada. Assim, de acordo com a

Como todos os elementos estão ligados em série, eles formam uma malha fechada. Assim, de acordo com a

segunda lei de Kirchhoff:

segunda lei de Kirchhoff:





++



==

⇒+

⇒+



==

⇒⇒

_{+}



+

_

==

⇒⇒

_{ ++ 11}



_

== 11

⇒⇒((





//

))== 

//

⇒∫

⇒∫





//

==∫∫

//



⇒⇒

_⇒⇒





_

_{=+}

//

_=+

==

//

_{−/}

_{−/}

++



Como sabemos que

Como sabemos que





00==0 V0 V

, obtemos

, obtemos

=

=

. Logo, tomando a

. Logo, tomando a constante de tempo

constante de tempo

=

=

::





=(1

=(1

−/−/

))





==

 ==



−/−/

Substituindo os valores, resultamos com:

Substituindo os valores, resultamos com:





=20(1

=20(1

−/−/

) V) V





=0,02×10

=0,02×10

−−



−/−/

 A A ⇒⇒

  



00==202011



==0 0 VV





00=0,02×10

=0,02×10

−−





==220 0 µµAA

  

_



_

44=20(1

_{44=0,02×10}

=20(1

_=0,02×10

−/−/

_−−

_

))≈≈77,,887 7 VV

_{−/−/}

_{≈≈1122,,1 1 µµAA}

  



6060=20(1

=20(1

−/

−/

))≈≈1199,,999 9 VV

2. Umcapacitorde

1000 µ

emsériecomumresistorde

1 Ω

foitotalmentecarregadoporumafontedetensão.  Atensãodealimentaçãofoientão desconectadaeocapacitorsedescarregousobreoresistor.Após

5

minutos,a

tensãomedidasobreocapacitorfoide

22,22 

.Pergunta-se: a) Qualeraatensãodafontedealimentação?

b) Qualeraatensãonoresistor

10

minutosapósafonteserdesconectada? c) Estimeemquantotemposedaráadescargadocapacitor.

çã

Para responder tais perguntas, precisamos primeiramente conhecer a tensão no capacitor. Similarmente ao

exercício anterior, temos:





+



=0

⇒+



=0

⇒

_{+}



_

=0

⇒

_

_



=1

⇒∫1

_⇒ln|







=∫1



|= +



⇒



=

−/

Sabemos que se





0=

, então

=

. Logo, tomando a constante de tempo

=

:





=

−/

a) Assim, como





5×60 s=22,22 V

, temos:

= 22,22

_

−×/



≈30 V

b) Quando

=10×60 s

, temos:





600≈30

−/



≈16,46 V

c) Admitindo uma descarga eficaz do capacitor quando





≈0,05

, teremos decorrido um tempo

3.  Aequaçãodecargadeumcapacitorde

2 µ

édadapor:

=1001

−.

 

Pede-se: a) QualovalordaconstantedetempodocircuitoRC? b) Qualéaexpressãodacorrentedecargadocapacitor? c) Qualéaexpressãodavariaçãodetensãonosterminaisdocapacitor?

çã

Utilizando como base a solução genérica da tensão no capacitor do exercício 1:





=(1

−/

)

como

=/



, temos que:

=(1

−/

)

a) Comparando a equação genérica com a equação do enunciado, obtemos:

= 150.000=20 µs

b) Como





=/

, temos que:





= 10050.000

−.

=0,002

−.

 A

c) A tensão de carga no capacitor é dada pela equação do início, onde

=100/

:

4. Nafigura1estãorepresentadasasformasdeondadetensãonocapacitorde

50 µ

enoresistordocircuitoRC, quandoachavedocircuitoéfechada,comdoisvaloresdiferentesderesistência.

Pede-se:

a) Determine as constantes de tempo correspondentes a cada caso. Avalie as incertezas associadas a estes valores,deacordocomométodoutilizadoparaobtê-los.

b) Determineosvaloresdatensãoedacorrentenocapacitorpara

=10 

 ,emambososcasos.

c) Forneça a expressãoda variação da tensãono capacitor para o caso emque o circuito tem constante de tempomaior(respostamaislenta)

Figura1.Formasdeondaregistradasaosefecharachavedocircuito,paraastensõesnocapacitorenoresistor paradoisvaloresdiferentesderesistência.

çã

a) Quando a chave é fechada, o capacitor é carregado. Portanto, no gráfico ilustrado na figura 1, a forma de

onda do capacitor é vermelha, enquanto que do resistor é azul. Sabemos também a solução para a equação

diferencial da tensão no capacitor em carga:





=(1

−/

)

Com isso, podemos isolar a constante de tempo:

= 

_ln1

_

_{}

e utilizar quaisquer pontos legíveis das curvas vermelhas do gráfico para encontrar seu respectivo valor

médio como, por ex., o ponto

2,8 s;4 V

  para a curva superior (1) e o ponto

5,6 s;4 V

  para a curva





=±√ 







+

_













⇒



=± 







+ 

_(

_

_{)ln1}





_

 





∴





≈±2,459 s 0,2 s2,8 s



+ 0,2 V

6 V4 Vln14 V6 V 



≈±⌈0,285 s⌉=±0,3 s

∴





≈±5,097 s 0,2 s5,6 s



+ 0,2 V

6 V4 Vln14 V6 V 



≈±⌈0,498 s⌉=±0,5 s

resultando com:





=2,5±0,3 s





=5,1±0,5 s

b) De acordo com o gráfico, como





=



/=



/

, temos que:



_



_

10 s≈5,8 V

_{10 s≈50×10}

−

_{2,5 ≈4,0 mA }

·65,8



_



_

10 s≈5,2 V

_{10 s≈50×10}

−

_{5,1 ≈7,8 mA}

·65,2

c) De acordo com a expressão de tensão acima e com a expressão para corrente:





=

 =



−/

temos que:



_

_



_{=0,12 }

=6 (1

_{−/,}

−/,

)

_

_

_



_{=0,0588 }

=6 (1

_{−/,}

−/,

)

5. Umalunomediucomummultímetro,acada

25

segundos,ovalordatensãonumcapacitorde

1000 µ

sendo carregado,obtendoosresultadosdatabela1.Noentanto,oalunoseesqueceudemedirovalordaresistênciado circuitoRCeovalordatensãodafontedealimentação. Determine,apartirdosdadosexperimentais,essesvaloresquefaltavamnorelatóriodoalunoesquecido. Tabela1.MedidasdeTensão×Tempoemperíododecargadecapacitor Tempo ( 

:

 ) Tensão( 



 )

0

0

25

1,101

50

1,976

1:15

2,636

1:40

3,174

2:05

3,595

2:30

3,926

2:55

4,179

3:20

4,385

3:45

4,549

4:10

4,678

4:35

4,777

5:00

4,861

çã

De acordo com a expressão para a tensão de um capacitor sendo carregada:





=(1

−/

)

temos que:



ln1



=

⇒{

_

_



/

_/



_

=

_=

⇒







=







⇒



ln1







=



ln1









⇒ln[1













]=ln[1













]

11,976=11,101

/

=11,101



⇒11,976=12,202+1,101







⇒1,101

_





2,202+1,976=0

⇒1,101



+1,9762,202=0

⇒= 1,101

_{2,2021,976≈5,36 V}



É válido notar que esse valor é apenas uma aproximação, pois o mesmo pode mudar para combinações de

pontos diferentes (dentro das

156

 combinações possíveis) devido às aproximações adotadas na aquisição. Para

o último par ordenado, por exemplo,

275 s; 4,777 V

 e

300 s; 4,861 V

, temos:

14,861=14,777

_{⇒≈5,18 V}

/

o que é um valor mais exato (pode ser verificado se encontrar o





  da reta que relaciona a linearidade da

equação logarítmica com a constante de tempo

 _{– neste caso, obtém-se um}





=0,9999

).

O valor da resistência pode ser encontrado pela relação com a constante de tempo:

=

onde a constante é dada por:

= 

_ln1

_

_{}

com valor médio de cada ponto da tabela:

≈106,11 s

Logo:

≈ 106,11

_1000×10

−

=106,11 kΩ

6.  As formas de ondas da figura 2 representam a variação de carga e corrente no capacitor para duas posições diferentesdachavenocircuito Pede-se: a) Relacioneasfiguras(a)e(b)comasrespectivasposiçõesdachavenocircuito:1ou2.Explique. b) Determineovalordaresistência



. c) Determineovalordatensãodealimentação. d) Qualseriaatensãoindicadanovoltímetroem

=5

 ,nascondiçõesdafigura2(a)? (a) (b) Figura2.Formasdeondaregistradasparaascargasecorrentesnocapacitoremduasposiçõesdiferentesda chavenocircuito.

çã

a) Inicialmente, quando a chave está na posição 2, o capacitor está carregando. Logo, a carga cresce

exponencialmente atém estabilizar em seu valor máximo, que o mesmo que o fornecido pela bateria

=300 µC / 50 µF=6 V

, assim como ilustrado na figura 2a. O contrário acontece com a corrente: ela

inicia em seu valor máximo (



á

=120 µA

) e começa a decair até se tornar nula. Isso acontece porque,

quando a tensão chega ao valor máximo, não há mais diferença de potencial entre o terminal positivo do

capacitor e da bateria, o que faz com que não haja mais corrente.

Por outro lado, quando a chave está na posição 1, o capacitor não está mais ligado com a bateria e o curto o

faz descarregar com o resistor. A forma de onda possui formato como o da figura 2b: a carga máxima decai

exponencialmente até se anular, pois a energia armazenada é dissipada pelo resistor; a corrente mesmo

módulo que a corrente de carga neste caso, no tanto, possui sentido contrário, pois agora a polaridade do

capacitor que indica o sentido da corrente; seu módulo também decai exponencialmente até se anular.

b) O valor da resistência



 pode ser encontrado pela relação:

=



=

_{ = |}





_á

_{|= 6 V120 µA=50 kΩ}

Ele também pode ser encontrado pela relação com a constante de tempo:

==2,5 s50 µF=50 kΩ

c) Como ressaltado no item a), o valor da tensão de alimentação (bateria) pode ser encontrado pela seguinte

relação:

==300 µC50 µF=6 V

d) Durante a carga (figura 2a), vimos que a equação que rege a tensão no capacitor é dada por:





= (1

−/

)=6 (1

−/,

)

Logo, em

=5 s

, obtém-se:





5=6 (1

−/,

)≈5,19 V

valor esse que coincide com o gráfico da figura: