Raciocinio Lógico.

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Matemática e Raciocínio Lógico p/ SEFAZ/RS - Auditor Fiscal

Professor: Arthur Lima

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Prof. Arthur Lima Aula 01

AULA 01: PROPORÇÃO E PORCENTAGEM

SUMÁRIO PÁGINA

1. Teoria 01

2. Resolução de exercícios 18

3. Lista de exercícios resolvidos 113

4. Gabarito 150

Prezado aluno,

Em nossa primeira aula veremos os tópicos a seguir do seu edital:

Razões e Proporções; Regras de três simples e compostas; Porcentagem; Tenha uma boa aula, e me procure em caso de dúvida!

1. TEORIA:

Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que permanecem constantes. Ex.: quando estamos dizendo que as idades de duas pessoas, A e B, são proporcionais aos números 5 e 7, podemos criar a seguinte igualdade: 5 7 A B_ ou 5 7 A B 

Precisamos conhecer dois tipos de razões: aquelas com grandezas diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais.

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1.1 Grandezas diretamente proporcionais: dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra também cresce. Ex.: imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro empregado que já trabalhou pelo período T2, podemos dizer que:

1 2

S S

T T

Podemos ainda usar a regra de três simples para relacionar essas grandezas:

Tempo...Salário

T1 S1

T2 S2

As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, são diretamente proporcionais. Uma vez montada essa regra de três, basta usar a “multiplicação cruzada”, isto é, multiplicar os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade:

1 2 2 1

T S T S

Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra de três:

Tempo (anos)...Salário (reais)

5 1000

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Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000):

5 1500 1000 7500 1000 7500 7,5 1000 T T T       

Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.

1.2 Grandezas inversamente proporcionais: dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede. Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto mais pedreiros, menos tempo é necessário. Vamos montar a regra de três:

Número de pedreiros Tempo (hr)

2 6

3 T

Veja que neste caso as setas estão invertidas. Isto porque o número de pedreiros aumenta em ordem inversa ao tempo. Por isso, devemos inverter a ordem de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais. Vamos inverter a ordem do número de pedreiros:

Número de pedreiros Tempo (hr)

3 6

2 T

Veja que agora as setas apontam na mesma direção. Podemos, então, efetuar a multiplicação cruzada:

3 2 6 12 ₄ 3 T T     

Portanto, o aumento de número de pedreiros (de 2 para 3) reduz o tempo necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas.

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1.3 Regra de três composta: até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas. Ao trabalhar com 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos uma regra de três composta. Vamos entender como funciona através de um exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Temos, portanto, 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e tempo de construção. Veja o esquema abaixo:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção

2 4 1

5 X 7

A seguir, colocamos a seta na coluna onde está a grandeza que precisamos descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser):

2 4 1

5 X 7

Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X (número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto maior o número de paredes, mais pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no mesmo sentido (isto é, para baixo) na coluna do Número de pedreiros:

2 4 1

5 X 7

Da mesma forma, vemos que quanto maior o número de paredes, maior será o tempo de construção. Portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido:

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2 4 1

5 X 7

Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos exercícios tratando sobre isso.

Uma vez alinhadas as setas, podemos igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das duas outras razões, montando a seguinte proporção:

4 2 1 5 7 X   Feito isso, fica fácil obter o valor de X:

4 2 1 5 7 4 2 1 5 7 4 2 35 2 4 35 70 X X X X X         

Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses.

Resumindo os passos utilizados na resolução de exercícios de regra de três composta:

1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com as mesmas;

2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X)

3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto;

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Prof. Arthur Lima Aula 01 5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões.

6. Obter X.

Quanto ao passo 5, cabe uma observação: em alguns exercícios, o próprio enunciado já “monta a proporção”, dizendo qual razão é proporcional às demais, isto é, qual coluna deve ser igualada ao produto das demais. Veremos isso nos exercícios.

1.4 Diferenças de rendimento

Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para completar o serviço?

Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho.

Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre:

a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros);

b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas).

Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho.

Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam necessárias para resolver este exercício:

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1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos:

Horas de trabalho Livros guardados

3 600 1 P 3 1 600 200 P P livros   

2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos: P + M = 600

M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros

3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho: Horas de trabalho Livros guardados

1 400 T 600 1 600 400 600 _1,5 400 T T hora    

Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário. Por exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400).

Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria possível resolver o exercício. Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50% de M, ou seja, 0,5M livros

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no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos (M): 1,5M --- 600 livros M --- X livros 1,5 600 600 ₄₀₀ 1,5 M X M X     

Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos constatado no caso anterior.

Ao longo dos exercícios você se acostumará a tratar casos onde existem diferenças de rendimento.

1.5 Divisão em partes proporcionais

Uma propriedade importante das proporções pode ser enunciada assim:  Se a c b  , então d a a c b b d    , e também c a c d b d   

Esta propriedade é muito utilizada na resolução de questões de concursos que versam sobre divisão proporcional. Para você entender melhor, vamos trabalhar com um exemplo. Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz?

Chamando de a, b e c os valores recebidos por cada um, sabemos que os eles são proporcionais 200, 300 e 500 respectivamente, ou seja:

200 300 500

a _ b _ c

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Prof. Arthur Lima Aula 01 200 300 500 200 300 500 200 300 500 1000 a b c a b c a b c a b c            

Sabemos que o total recebido (ou seja, a + b + c) é de 40000 reais. Assim,

40000

200 300 500 1000

a _ b _ c _

Assim, podemos encontrar os valores de a, b e c:

40000 200a  1000 40000 200 8000 1000 a   reais 40000 300b  1000 40000 300 12000 1000 b   reais 40000 500c  1000 40000 500 20000 1000 c   reais

Note que, de fato, a soma dos valores recebidos por cada um é igual a 40000 reais. Ao longo dos exercícios de hoje veremos mais alguns exemplos como este.

Uma outra forma de efetuar divisões proporcionais consiste no uso de ‘constantes de proporcionalidade’. Acompanhe a resolução do exercício abaixo para entender como efetuar este tipo de divisão proporcional:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em partes diretamente

proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números.

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Prof. Arthur Lima Aula 01 (B) 160. (C) 180. (D) 200. (E) 240. RESOLUÇÃO:

Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma:

- 7

2

K (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2);

- 4

3

- 8

5

Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 números é igual a 772, ou seja:

7 4 8 772 2 3 5 K K K       105 40 48 772 30 K K K  23160 193K 120 K

Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são:

7 2 K = 120 x (7/2) = 420 4 3 K = 120 x (4/3) = 160 8 5 K = 120 x (8/5) = 192

Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160.

Resposta: B

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Imagine que eu e você resolvemos montar um negócio – uma banca de jornal. Como você ainda é concurseiro, decidimos que eu entraria com R$1.000,00 e você entraria com R$500,00 para iniciarmos o empreendimento. Com esse capital inicial de R$1.500,00 nós iniciamos as operações da nossa banca, e ao final do primeiro ano apuramos um lucro de R$3.000,00. Nada mal! A pergunta é: quanto desse lucro cabe a mim? E quanto cabe a você?

A regra de sociedade nos diz que o lucro deve ser distribuído proporcionalmente ao valor investido por cada um de nós. Assim, podemos escrever a seguinte relação entre lucros e investimentos iniciais para calcular a minha parcela de lucro:

Lucro total --- Investimento total Lucro Arthur --- Investimento Arthur

Colocando os valores:

3000 reais --- 1500 reais Lucro Arthur --- 1000 reais

Efetuando os cálculos:

3000 x 1000 = Lucro Arthur x 1500 3000 x 1000 / 1500 = Lucro Arthur

Lucro Arthur = 2000 reais

Quanto ao seu lucro, podemos montar uma regra de três similar: 3000 reais --- 1500 reais

Seu lucro --- 500 reais

Seu lucro = 1000 reais

Repare que, de fato, Lucro Arthur + Seu lucro = 3000 reais.

Assim, grave isso: na hora de repartir o lucro de uma sociedade, devemos fazê-lo de maneira proporcional ao valor investido por cada sócio! Trata-se de uma mera aplicação do conceito de divisão proporcional que estudamos anteriormente.

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1.7 Percentagem

A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia “doze por cento”) dos brasileiros são desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros exemplos:

- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência.

- _{“a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no} Brasil, 20 são analfabetos.

- _{“o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano} anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas.

- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década”: para cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95 fumantes.

Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão:

quantia de interesse

Porcentagem = 100%

total 

Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, temos:

quantia de interesse 3

Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%

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Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa “dividido por 100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75:

75

75% 0,75

100

 

Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%:

100

0,025 0,025 0,025 100% 2,5% 100

    

Por fim, se Porcentagem = quantia de interesse 100%

total  , então também podemos dizer que:

quantia de interesse = porcentagem total



(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal _100% 100 ₁ 100   )

Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300:

20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60

Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante.

Por ora, vejamos uma questão sobre o assunto:

1. FCC _{– MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo}

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está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de

a) 37% b) 36% c) 35% d) 34% e) 33% RESOLUÇÃO:

Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% ela está sendo vendida pelo preço promocional abaixo:

Preço Promocional = T – 12%T = T – 0,12T = 0,88T

Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço promocional, ele deve pagar:

Preço para Cláudio = Preço Promocional – 25% do Preço Promocional Preço para Cláudio = 0,88T – 25% x 0,88T

Preço para Cláudio = 0,88T – 0,25 x 0,88T = 0,66T

Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da televisão, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%.

Resposta: D

Ainda na questão acima, observe que uma redução de 12% corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,88, ou seja, por 88%. Da mesma forma, uma redução de 25% corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,75, ou 75%. Repare que, de fato, 0,88T x 0,75 é igual a 0,66T.

Em termos gerais:

- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%); - para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 _{– x%).}

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Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se na semana anterior à Black Friday elevarmos o preço em 25%, o novo preço será:

250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais

Se na Black Friday dermos um “mega desconto” de 30%, chegamos a: 312,50 x (1 – 30%) = 312,50 x 0,70 = 218,75 reais

(veja que podemos anunciar: de R$312,50 por R$218,75!!)

Veja que poderíamos ter feito as duas operações de uma vez, para chegar diretamente no preço final, assim:

250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais

Repare que, no fim das contas, vendemos por 0,875 vezes o preço inicial, ou 87,5% do preço inicial. Assim, o desconto real foi de apenas 12,5%.

Veja mais essa questão:

2. FCC _{– TCE/SP – 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido}

adicionando- se uma substância A a uma mistura homogênea W, composta de apenas duas substâncias X e Y. Sabe-se que:

- o teor de X em W é de 60%;

- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de W e substituindo-os por 5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homogênea.

Nessas condições, o teor de Y no medicamento assim obtido é de a) 52% b) 48% c) 45% d) 44% e) 42% RESOLUÇÃO:

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Se a mistura W contém apenas as substâncias X e Y, sendo 60% de X, temos então 100% - 60% = 40% de Y.

Retirando 15 litros de W, sobram 35 litros dessa mistura. Sabemos que X é 60% de W, portanto, temos:

Volume de X = 60% do Volume de W = 60% x 35 litros = 0,6 x 35 = 21 litros

Se ao todo temos 35 litros, o volume de Y será:

Volume de Y = Volume de W – Volume de X = 35 – 21 = 14 litros (você também poderia ter feito 40% x 35 litros = 14 litros)

Veja que ainda devemos adicionar 5 litros de A e 10 litros de Y. Ficamos, ao todo, com 21 litros de X, 14 + 10 = 24 litros de Y e 5 litros de A, totalizando 21 + 24 + 5 = 50 litros.

Deste total de 50 litros, temos 24 litros de Y, que representam a porcentagem: quantia de interesse Porcentagem = 100% total 24 Porcentagem = 100% 0,48 100% 48% 50      Resposta: B

1.7.1 Proporções e porcentagens em cálculos básicos de compra e venda de mercadorias

Além do que vimos até aqui, é interessante que você tenha uma noção básica sobre operações de compra e venda de mercadorias.

De maneira bem simples, para um comerciante que trabalha simplesmente comprando e vendendo mercadorias, chamamos de Lucro a diferença entre o valor que ele cobra por seus produtos e o custo que tivemos para adquiri-lo. Isto é,

Lucro na venda de um produto = Valor da venda – Custo de aquisição Simplificando,

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Prof. Arthur Lima Aula 01 L = V – C

Na maioria dos exercícios, o custo de aquisição é simplesmente o preço pago pelo comerciante ao adquirir aquele produto. Na vida real, o custo de um produto envolve diversas outras variáveis, pois neste custo deve ser incluído o custo direto de aquisição e os diversos custos indiretos (luz, energia, salário dos funcionários, aluguel da loja etc.), além dos tributos e outras despesas.

De qualquer forma, tendo a relação acima em mente, e sabendo trabalhar com porcentagens, você resolve uma vasta gama de questões, como essa a seguir:

3. VUNESP _{– TJ-SP – 2007) Um comerciante estabeleceu que o seu lucro bruto}

(diferença entre os preços de venda e compra) na venda de um determinado produto deverá ser igual a 40% do seu preço de venda. Assim, se o preço unitário de compra desse produto for R$ 750,00, ele deverá vender cada unidade por

(A) R$ 1.050,00. (B) R$ 1.100,00. (C) R$ 1.150,00. (D) R$ 1.200,00. (E) R$ 1.250,00. RESOLUÇÃO:

Sendo L o lucro bruto, V o preço de venda e C o preço de compra de um produto, o enunciado nos disse que L é igual a 40% de V, ou seja:

L = 40% x V L = 0,40V

O enunciado também diz que o preço de compra foi C = 750, e que “L é igual a V menos C”. Assim: L = V – C 0,40V = V _{– 750} 750 = V _{– 0,40V} 750 = 0,60V V = 750 / 0,60 = 1250 reais Resposta: E

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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

Caro aluno, propositalmente coloquei uma grande quantidade de questões nesta aula para que você possa exercitar bastante. Além de proporções e porcentagem serem assunto quase certo na prova, esses tópicos são a base para trabalharmos outros itens do seu edital, em especial aqueles de matemática financeira (juros, descontos etc). Na parte final desta lista você encontrará 31 questões da FUNDATEC, para sentir como a banca já cobrou esses assuntos.

4. FCC – TRT/19ª – 2011) Em uma campanha publicitária, foram encomendados,

em uma gráfica, quarenta e oito mil folhetos. O serviço foi realizado em seis dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. Dado o sucesso da campanha, uma nova encomenda foi feita, sendo desta vez de setenta e dois mil folhetos. Com uma das máquinas quebradas, a gráfica prontificou-se a trabalhar doze horas por dia, entregando a encomenda em:

a) 7 dias. b) 8 dias. c) 10 dias. d) 12 dias. e) 15 dias. RESOLUÇÃO:

Temos quatro grandezas em jogo nesta questão: número de folhetos produzidos, número de dias de trabalho, número de máquinas trabalhando e jornada diária de cada máquina. Veja abaixo:

Folhetos Dias Máquinas Jornada

48000 6 2 8

72000 X 1 12

Veja que já colocamos uma seta para cima (podia ter sido para baixo) na coluna onde está a variável que precisamos descobrir. O próximo passo é verificar se as outras grandezas são direta ou inversamente proporcionais ao número de Dias.

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Quanto mais folhetos, mais dias serão necessários. Logo, Folhetos e Dias são diretamente proporcionais. Devemos colocar a seta na coluna Folhetos na mesma direção que colocamos na coluna Dias.

Quanto mais máquinas, menos dias são necessários. São grandezas inversamente proporcionais. A seta será colocada em sentido contrário na coluna Máquinas.

Quanto maior a Jornada diária das máquinas, menos dias serão necessários. São também inversamente proporcionais, e a coluna Jornada terá seta em sentido contrário. Veja tudo isso abaixo:

48000 6 2 8

72000 X 1 12

O próximo passo é inverter as colunas cuja seta está no sentido contrário, para deixar todas as setas alinhadas:

48000 6 1 12

72000 X 2 8

Feito isso, podemos igualar a coluna onde está a variável X ao produto das outras colunas, montando a seguinte proporção:

6 48000 1 12 72000 2 8

X   

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Prof. Arthur Lima Aula 01 6 48 1 3 72 2 2 6 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 3 2 2 12 X X X X          

Portanto, serão necessários 12 dias para finalizar o trabalho.

Resposta: D.

5. FCC _{– TRT/4ª – 2011) Ultimamente tem havido muito interesse no}

aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que:

- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro quadrado de celular solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica;

- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5 m de largura e 8,4 m de comprimento.

Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão capazes de gerar em conjunto, em watts, é:

a) 294000 b) 38200 c) 29400 d) 3820 e) 2940 RESOLUÇÃO:

1 metro é igual a 100 centímetros. Portanto, 3,5m = 350cm e 8,4m = 840cm. Lembrando ainda que a área de um retângulo é dada pela multiplicação de sua

(22)

largura pelo seu comprimento, podemos dizer que a área da superfície de células solares é: 2 largura×comprimento 350 840 294000 Área Área cm cm Área cm    

Se _{1cm gera 0,01 watt, então com uma regra de três podemos descobrir}2

quantos watts serão gerados por _{294000cm :}2 2 1cm --- 0,01 watt 2 294000cm --- P Portanto, 1 294000 0,01 2940 P P     Resposta: E.

6. FCC _{– TRT/4ª – 2011) Ao saber que alguns processos deviam ser analisados,}

dois Analistas Judiciários do Tribunal Regional do Trabalho – Sebastião e Johnny – se incumbiram dessa tarefa. Sabe-se que:

- dividiram o total de processos entre si, em partes inversamente proporcionais a seus respectivos tempos de serviço no Tribunal: 15 e 5 anos

- Sebastião levou 4 horas para, sozinho, analisar todos os processos que lhe couberam, enquanto que, sozinho, Johnny analisou todos os seus em 6 horas. Se não tivessem dividido o total de processos entre si e trabalhassem simultaneamente em processos distintos, quanto tempo seria necessário até que todos os processos fossem analisados?

a) 5 horas e 20 minutos b) 5 horas

c) 4 horas e 40 minutos d) 4 horas e 30 minutos

(23)

e) 4 horas

RESOLUÇÃO:

Seja S o número de processos que ficaram para Sebastião e J os que ficaram para Johnny ao efetuarem a divisão dos processos. Sabemos que S e J são inversamente proporcionais a 15 e 5 anos. Ou seja:

5 15 S J 

Observe que, para montar a proporção acima, foi preciso inverter a ordem da coluna dos tempos de serviço. Da igualdade acima, podemos dizer que:

15 5 3 S J S J  

O total de processos é igual a S + J. Como 3S = J, então o total de processos é igual a S + 3S = 4S.

O enunciado diz que Sebastião levou 4 horas para analisar S processos. Vejamos quantos processos ele é capaz de analisar em 1 hora:

4 horas S processos 1 hora X processos 4 1 4 X S S X    

Logo, Sebastião é capaz de analisar 4 S

processos por hora.

Johnny levou 6 horas para analisar todos os seus 3S processos. É fácil obter quantos processos ele é capaz de analisar em 1 hora:

6 horas 3S processos 1 hora Y processos 6 1 3 2 Y S S Y    

(24)

Percebemos com isso que Johnny seria capaz de analisar 2 S

processos em 1 hora. Note que Johnny analisa o dobro de processos que Sebastião em 1 hora. Ou seja, Johnny é duas vezes mais eficiente que Sebastião. Esse é o detalhe mais importante dessa questão: em momento algum foi dito que os servidores tinham a mesma eficiência! Vamos continuar.

Juntos, Sebastião e Johnny são capazes de analisar 3 4 2 4 S S_ _ S

processos por hora. Vejamos quanto tempo eles precisam para analisar todos os 4S processos: 3 4 S processos 1 hora 4S processos T 3 ₄ ₁ 4 3 4 1 4 16 15 1 ₅ 1 3 3 3 3 S _T _S T T           

Portanto, o tempo total necessário é de 5 horas, mais 1

3 de hora (isto é, 20 minutos).

Resposta: A.

7. FCC _{– TRT/22ª – 2010) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional}

do Trabalho – Moisés e Nuno – foram incumbidos da manutenção de n equipamentos de informática. Sabe-se que, Moisés é capaz de executar essa tarefa sozinho em 4 horas de trabalho ininterrupto e que Nuno tem 80% da capacidade operacional de Moisés. Assim sendo, se, num mesmo instante, ambos iniciarem simultaneamente a manutenção dos n equipamentos, então, após um período de duas horas,

(25)

b) Ainda deverá ser feita a manutenção de 20% dos n equipamentos c) Ainda deverá ser feita a manutenção de 10% dos n equipamentos d) Terá sido executada a manutenção de 3

8 dos n equipamentos e) Terá sido executada a manutenção de 4

5 dos n equipamentos

RESOLUÇÃO:

Dado que Moisés executa a manutenção de n equipamentos em 4 horas, vejamos em quantos equipamentos ele executa o trabalho a cada 1 hora:

n equipamentos 4 horas X 1 hora 1 4 n   X 4 n X 

Sabemos que a capacidade operacional de Nuno é 80% da de Moisés. Ou seja, em 1 hora, Nuno executa a manutenção em 80% dos equipamentos que Moisés executa. Você deve gravar que “80% de ₄n ” pode ser escrito matematicamente como 0,8

4 n

 (basta multiplicar o “de” pela multiplicação).

Trabalhando juntos, Moisés irá executar a manutenção em 4

n _equipamentos

e Nuno em 0,8 4 n

 equipamentos em 1 hora. Ou seja, juntos eles atuam sobre

0,8 1,8

4 4 4

n_ _{ }n _{ equipamentos em 1 hora. Vejamos quantos equipamentos serão}n

tratados em 2 horas, conforme pede o exercício:

1 hora 1,8

4 n 

(26)

Prof. Arthur Lima Aula 01 1 2 1,8 4 2 1,8 3,6 0,9 4 4 n X n n X n           

Se 0,9n equipamentos (ou seja, 90% dos n equipamentos) já tiverem sido tratados, faltará executar a manutenção em 10% deles (isto é, n – 0,9n = 0,1n).

Resposta: C.

Atenção: para responder às duas próximas questões, use os dados do texto

seguinte.

Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos são Técnicos Judiciários de uma mesma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente.

8. FCC _{– TRT/4ª – 2011) Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar}

alguns documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a mesma capacidade operacional, então, se Julião levou 2 horas e 30 minutos para arquivar a sua parte, Cosme arquivou a sua em:

a) 2 horas e 40 minutos b) 2 horas e 10 minutos c) 1 hora e 50 minutos d) 1 hora e 40 minutos e) 1 hora e 30 minutos RESOLUÇÃO:

Imagine novamente que temos um total de P processos a serem arquivados, ficando J processos a cargo de Julião e C processos a cargo de Cosme. Assim, temos:

(27)

Prof. Arthur Lima Aula 01 Quantidade de processos Idade

J 30

C 45

No esquema acima já coloquei uma seta nas quantidades de processos. A divisão dos processos foi na razão inversa das idades. Portanto, devemos colocar uma seta no sentido inverso na coluna das idades:

Quantidade de processos Idade

J 30

C 45

Antes de efetuar a multiplicação cruzada, devemos inverter a coluna das idades:

Quantidade de processos Idade

J 45 C 30 Assim, temos: 30 45 30 2 45 3 J C C J J       

Ou seja, a quantidade de processos de Cosme é igual à quantidade de Julião, multiplicada por 2/3. Sabendo que Julião levou 2,5 horas para finalizar os seus processos, a regra de três abaixo nos permite obter o tempo gasto por Cosme:

Quantidade de processos Tempo de trabalho

(28)

2 3

J T

Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 2 2,5 3 2 _2,5 2 5 5 3 3 2 3 J T J T         

Ou seja, Cosme precisa de 5/3 horas para finalizar seu trabalho, ou seja, 1 hora e 40 minutos.

Resposta: D

9. FCC _{– TRT/4ª – 2011) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas}

por Julião e Cosme ao longo de certo mês eram diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles cumpriram o total de 28 horas extras, é correto afirmar que:

a) Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme b) Julião cumpriu 8 horas extras a mais do que Cosme

c) o número de horas extras cumpridas por Julião era 30% do de Cosme d) o número de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julião e) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras

RESOLUÇÃO:

Sendo J o número de horas extras cumpridas por Julião e C as cumpridas por Cosme, sabemos que J + C = 28.

Podemos montar ainda a regra de três abaixo, lembrando que as horas extras são diretamente proporcionais aos tempos de serviço:

Horas extras Tempo de serviço

J 6

C 15

(29)

Prof. Arthur Lima Aula 01 15 6 J   C ou seja, 15 6 15 5 6 2 J C C J J        Como 5 2

C  , podemos efetuar a substituição de C na primeira equação: J 28 5 ₂₈ 2 7 28 2 28 2 ₈ 7 J C J J J J          

Como Julião cumpriu 8 horas extras, e o total era de 28 horas extras, então Cosme cumpriu 20 horas extras. Podemos afirmar que Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme, como diz a letra A.

Resposta: A

10. FCC _{– TRF/4ª – 2010) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que}

x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. RESOLUÇÃO:

O exercício diz que o maior número (z) é igual à soma dos outros dois. Isto é: z x y 

(30)

1 6 x z

Substituindo esta última relação na primeira equação, podemos escrever y em termos de z: 1 6 1 5 6 6 z x y z z y y z z z       

Portanto, colocando os 3 números em ordem crescente, temos: x, y e z

ou melhor: 1 _,5 _e 6z 6z z

Observe que, ao dividir x por 1, obtém-se o mesmo resultado da divisão de y por 5, ou da divisão de z por 6:

1 1 6 x _ _z 5 1 6 = 5 5 6 z y _ _z 1 6 6 z z 

Ou seja, x, y e z são proporcionais a 1, 5 e 6:

1 5 6 x _ y _z

Resposta: C

11. FCC _{– TRF/4ª – 2010) Oito trabalhadores, trabalhando com desempenhos}

constantes e iguais, são contratados para realizar uma tarefa no prazo estabelecido de 10 dias. Decorridos 6 dias, como apenas 40% da tarefa havia sido concluída,

(31)

decidiu-se contratar mais trabalhadores a partir do 7o_{dia, com as mesmas} características dos anteriores, para concluir a tarefa no prazo inicialmente estabelecido. A quantidade de trabalhadores contratados a mais, a partir do 7o_dia, foi de (A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 18. RESOLUÇÃO:

Vamos imaginar que a tarefa completa a ser realizada seja T. Sabemos que 8 trabalhadores executaram em 6 dias 0,4T (40% da tarefa). Precisamos saber quantos homens serão necessários para, nos 4 dias restantes, executar 0,6T (isto é, completar a tarefa). Vamos preparar a regra de três com as grandezas dadas no exercício:

Homens trabalhando Tarefa Dias de trabalho

8 0,4T 6

X 0,6T 4

Uma vez montada a tabela acima, onde já coloquei uma seta na grandeza que queremos descobrir, precisamos avaliar se as demais grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

Quanto mais homens trabalhando, uma quantidade maior da tarefa pode ser concluída. Portanto, essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Vamos colocar uma seta no mesmo sentido (para baixo) na grandeza Tarefa.

Quanto mais homens trabalhando, menos dias de trabalho são necessários. Estamos diante de grandezas inversamente proporcionais. Vamos colocar uma seta no sentido contrário (para cima) na grandeza Dias de trabalho. Assim, temos:

(32)

X 0,6T 4

Invertendo a última coluna, temos as 3 setas alinhadas:

8 0,4T 4

X 0,6T 6

Feito isso, basta montar a proporção, igualando a razão onde se encontra a variável X ao produto das demais razões:

8 0,4 4 0,6 6

T X  T 

Podemos cortar a variável T, que não nos interessa, e isolar X, obtendo seu valor: 8 0,4 4 0,6 6 1 0,2 1 0,6 6 3,6 36 18 0,2 2 X X X       

Portanto, serão necessários 18 homens trabalhando nos 4 dias restantes para finalizar o trabalho. Como já tínhamos 8 homens trabalhando, será preciso contratar mais 10 pessoas.

Resposta: C

12. FCC _{– TRT/4ª – 2011) Certo dia, Jasão – Analista Judiciário do Tribunal}

Regional do Trabalho _{– recebeu um lote de processos, em cada um dos quais} deveria emitir seu parecer. Sabe-se que ele executou a tarefa em duas etapas: pela manhã, em que emitiu pareceres para 60% do total de processos e, à tarde, em que os emitiu para os processos restantes. Se, na execução dessa tarefa, a capacidade

(33)

operacional de Jasão no período da tarde foi 75% da do período da manhã, então, se pela manhã ele gastou 1 hora e 30 minutos na emissão dos pareceres, o tempo que gasto na emissão dos pareceres à tarde foi:

a) 1 hora e 20 minutos b) 1 hora e 30 minutos c) 1 hora e 40 minutos d) 2 horas e 20 minutos e) 2 horas e 30 minutos RESOLUÇÃO:

Sendo P o total de pareceres, sabemos que Jasão emitiu pareceres em 60% de P (ou 0,6P) em 90 minutos (1 hora e 30 minutos). Restaram 0,4P para o período vespertino.

À tarde a eficiência de Jasão caiu para 75% da eficiência da manhã, ou seja, nos mesmos 90 minutos Jasão não seria capaz de emitir pareceres em 0,6P, mas apenas em 75% desta quantidade, isto é, 0,75 (0,6 ) P , ou simplesmente 0,45P. Portanto, à tarde, Jasão é capaz de emitir pareceres em 0,45P em 90 minutos. Como restam 0,4P, podemos montar a seguinte regra de três:

Número de pareceres Tempo de trabalho 0,45P 90

0,40P T

Logo, 0,45P T 0,40P90. Simplificando para obter T, teremos: 0,45 0,40 90 0,40 90 0,45 40 90 40 2 ₈₀ 45 1 T T T          

Portanto, Jasão precisará de 80 minutos (1 hora e 20 minutos) para emitir pareceres nos 0,4P que ficaram para o período da tarde.

(34)

13. FCC _{– TRT/9ª – 2010) Certo dia, Zelda e Gandi, funcionários de certa unidade}

do Tribunal Regional do Trabalho, receberam alguns processos para emitir pareceres e os dividiram entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 28 e 42 anos. Considerando que, na execução dessa tarefa, a capacidade operacional de Gandi foi 80% da de Zelda e que ambos a iniciaram em um mesmo horário, trabalhando ininterruptamente até completá-la, então, se Gandi levou 2 horas e 10 minutos para terminar a sua parte, o tempo que Zelda levou para completar a dela foi de: a) 1 hora e 24 minutos b) 1 hora e 38 minutos c) 1 hora e 52 minutos d) 2 horas e 36 minutos e) 2 horas e 42 minutos RESOLUÇÃO:

Vamos resolver mais rápido, dado que você já deve ter pegado a prática até aqui. Sendo Z os processos de Zelda e G os de Gandi, temos:

42 3 28 2 3 2 Z G Z G   

Obtendo a quantidade de processos trabalhados por Gandi em 1 hora (60 minutos):

G processos 130 minutos (2 horas e 10 minutos) X processos 60 minutos 60 130 6 13 G X X G     

Seja N o número de processos que Zelda trabalha em 1 hora. Sabemos que X (processos de Gandi em 1 hora) é igual a 80% de N, ou seja:

(35)

Prof. Arthur Lima Aula 01 0,8 6 80 13 100 6 100 6 5 15 13 80 13 4 26 X N G N N G G G             

Portanto, Zelda trabalha 15 26

G processos em 1 hora. Calculemos então

quanto tempo será preciso para trabalhar todos os seus processos (3

2G , calculado acima): 15 26 G processos 60 minutos 3 2G processos T minutos 15 3 ₆₀ 26 2 15 3 60 26 2 3 26 3 13 3 13 60 60 4 156 2 15 1 15 1 1 G T G T T                 

Zelda precisará de 156 minutos, ou seja, 2 horas e 36 minutos.

Resposta: D.

14. FCC _{– TRF/2ª – 2012) Duas empresas X e Y têm, respectivamente, 60 e 90}

funcionários. Sabe-se que, certo dia, em virtude de uma greve dos motoristas de ônibus, apenas 42 funcionários de X compareceram ao trabalho e que, em Y, a frequência dos funcionários ocorreu na mesma razão. Nessas condições, quantos funcionários de Y faltaram ao trabalho nesse dia?

a) 36 b) 33 c) 30 d) 27

(36)

e) 20

RESOLUÇÃO:

Se 42 funcionários de X compareceram, então 18 faltaram. Chamando de Z o número de funcionários que faltaram na empresa Y, podemos montar a seguinte proporção:

Total de funcionários de X --- Número de faltantes em X Total de funcionários de Y --- Número de faltantes em Y

Colocando os valores que o enunciado forneceu, temos: 60 --- 18

90 --- Z

Logo, Z = 90 x 18 / 60 = 27. Isto é, 27 funcionários de Y faltaram ao trabalho.

Resposta: D

15. FCC _{– TRF/2ª – 2012) Suponha que, pelo consumo de energia elétrica de uma}

máquina, que durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o total de R$288,00. Se essa máquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa que ela acarretará em 6 dias de funcionamento ininterrupto será de:

a) R$36,00 b) R$36,80 c) R$40,00 d) R$42,60 e) R$42,80 RESOLUÇÃO:

Aqui temos 3 grandezas: dias de funcionamento, horas de funcionamento por dia, e valor da conta de energia. Assim, temos:

(37)

Prof. Arthur Lima Aula 01 30 dias --- 8 horas por dia --- 288 reais

6 dias --- 5 horas por dia --- X reais

Sabemos que, quanto maior o número de dias, maior a conta de energia. Essas grandezas são diretamente proporcionais. Da mesma forma, quanto maior o número de horas de funcionamento por dia, maior a conta de energia. Também são grandezas diretamente proporcionais. Assim, basta montar a proporção, igualando a razão da coluna onde está o X com a multiplicação das demais razões:

288 30 8 6 5 288 8 5 5 36 X X X reais      Resposta: A

16. FCC _{– MPE/PE – 2012) Um casal de idosos determinou, em testamento, que a}

quantia de R$ 4.950,00 fosse doada aos três filhos de seu sobrinho que os ajudara nos últimos anos. O casal determinou, também, que a quantia fosse distribuída em razão inversamente proporcional à idade de cada filho por ocasião da doação. Sabendo que as idades dos filhos eram 2, 5 e x anos respectivamente, e que o filho de x anos recebeu R$ 750,00, a idade desconhecida é, em anos,

(A) 4. (B) 6. (C) 7. (D) 9. (E) 8. RESOLUÇÃO:

Como os valores são inversamente proporcionais às idades, podemos também dizer que os valores recebidos são diretamente proporcionais aos inversos das idades, ou seja:

(38)

Prof. Arthur Lima Aula 01 4950 --- 1 1 1 2 5 x  750 --- 1 x Assim, temos: 1 750 1 1 1 4950 2 5 x x    1 750 10 5 2 4950 10 10 10 x x x x x x    1 750 10 7 4950 10 x x x  _ 750 1 10 4950 10 7 x x x    750 1 10 4950 1 10 7x x = 8 Resposta: E

17. FCC _{– MPE/PE – 2012) O dono de uma obra verificou que, com o ritmo de}

trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por dia, o restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de horas de trabalho por dia dos trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal reduzido, o número de horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Após três dias de trabalho nesmantendo-se novo ritmo de mais

(39)

horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono desistiu de manter fixa a previsão do prazo, mas manteve o número de horas de trabalho por dia conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o que faltava da obra em uma quantidade de dias igual a

(A) 42. (B) 36. (C) 24. (D) 12. (E) 8. RESOLUÇÃO:

Temos 3 grandezas envolvidas nesse exercício: número de trabalhadores, horas trabalhadas por dia, e tempo para finalizar a obra. Vejamos os dados fornecidos inicialmente:

Trabalhadores Horas/Dia Tempo restante

15 4 12

A seguir temos uma redução de 12 para 9 dias e uma redução de 15 para 10 trabalhadores. Vejamos qual passa a ser a jornada diária:

15 4 12

10 x 9

Observe que quanto mais horas por dia de trabalho, menos trabalhadores são necessários, e menor é o tempo restante da obra. Assim, temos grandezas inversamente proporcionais. Invertendo as colunas “trabalhadores” e “tempo restante”, temos:

(40)

10 4 9 15 x 12 4 10 9 15 12 x  x = 8 horas/dia

Durante os 3 primeiros dias, o trabalho foi feito por esses 10 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia. Sendo T o trabalho total a ser executado, vejamos quanto foi feito nestes primeiros dias. O que sabemos é que, em 9 dias, eles finalizariam o trabalho. Assim:

9 dias --- T 3 dias --- X

9X = 3T X = T/3

Portanto, 1/3 do trabalho foi executado nos primeiros 3 dias, restando 2/3. Neste momento mais 5 trabalhadores abandonaram o serviço, ficando apenas os outros 5. Vejamos em quanto tempo eles finalizam o trabalho:

Trabalhadores Tempo restante

10 6

(41)

Observe que quanto mais trabalhadores, menos tempo será necessário para acabar o serviço. Isto é, essas grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas temos:

Trabalhadores Tempo restante

10 x

5 6

10 x 6 = 5x x = 12 dias

Resposta: D

18. FCC – Banco do Brasil – 2006) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma

sociedade com a soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Após um ano, o lucro auferido de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial do sócio que entrou com maior valor é

(A) R$ 75 000,00 (B) R$ 60 000,00 (C) R$ 50 000,00 (D) R$ 40 000,00 (E) R$ 37 500,00 RESOLUÇÃO:

Sejam X, Y e Z os valores investidos por cada sócio. Vamos assumir que X é o menor valor, Y o valor intermediário e Z o maior valor. A soma é de 100000 reais:

(42)

X + Y + Z = 100000 X = 100000 – Y – Z

Se o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, o mesmo vale para os valores investidos. Ou seja, o menor valor investido (X) é igual à diferença Z – Y:

X = Z – Y

Como X = 100000 – Y – Z e também X = Z – Y, então: Z _{– Y = 100000 – Y – Z}

Z + Z = 100000 _{– Y + Y} 2Z = 100000 Z = 50000 reais

Portanto, o sócio que investiu o maior valor aplicou 50000 reais.

Resposta: C

19. FCC _{– Banco do Brasil – 2006) Em um determinado banco, o funcionário}

Antônio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando início ao trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antônio junta-se ao funcionário Bernardo e em 3 dias de trabalho concluíram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses funcionários para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em (A) 10 dias.

(B) 8 dias. (C) 6 dias. (D) 5 dias.

(43)

(E) 4 dias.

RESOLUÇÃO:

Seja T a tarefa total a ser executada. Veja que Antônio trabalhou sozinho por 2 dias, e com Bernardo por mais 3 dias, totalizando 5 dias. Vejamos quanto trabalho foi executado por Antônio neste período:

T --- 10 dias X --- 5 dias

X = T/2

Portanto, ao longo dos 5 dias que trabalhou, Antônio executou metade da tarefa. A outra metade (T/2) foi executada por Bernardo ao longo dos 3 dias que ele trabalhou. Vejamos quanto tempo Bernardo precisaria para, sozinho, executar toda a tarefa:

T/2 --- 3 dias T --- Y dias

Y = 6 dias

Assim, Bernardo executaria toda a tarefa sozinho em 6 dias.

Resposta: C

20. FCC _{– Banco do Brasil – 2010) Pesquisadores descobriram que o uso do}

fundo preto nas páginas de busca da internet produz um consumo menor de energia em relação à tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à energia gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos seria equivalente à energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante

(44)

Prof. Arthur Lima Aula 01 (B) 3 dias. (C) 5 dias. (D) 7 dias e meio. (E) 8 dias. RESOLUÇÃO:

Temos 3 grandezas no enunciado: tempo de buscas, número de geladeiras, tempo com geladeira ligada. Vejamos os dados fornecidos:

Tempo de buscas Nº de geladeiras Tempo c/ geladeira ligada 10 segundos 77.000.000 1 hora

30 minutos 77.000.000 X horas

30 minutos correspondem a 30 x 60 = 1800 segundos. Assim, temos: Tempo de buscas Nº de geladeiras Tempo c/ geladeira ligada 10 segundos 77.000.000 1 hora

1800 segundos 77.000.000 X horas

Quanto mais tempo de buscas, a energia economizada permite manter as geladeiras ligadas por mais tempo. São grandezas diretamente proporcionais. Assim, temos:

1 10 77000000

1800 77000000

X  

X = 180 horas

Como um dia tem 24 horas, 180 horas correspondem a 7,5 dias (sete dias e meio).

(45)

21. FCC _{– Banco do Brasil – 2011) Relativamente aos tempos de serviço de dois}

funcionários do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e 10 meses e que estão entre si na razão 3/2. Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos de serviço desses funcionários é de

(A) 2 anos e 8 meses. (B) 2 anos e 6 meses. (C) 2 anos e 3 meses. (D) 1 ano e 5 meses. (E) 1 ano e 2 meses.

RESOLUÇÃO:

Veja que 5 anos e 10 meses correspondem a 70 meses. Sendo X o tempo de serviço de um dos funcionários e Y o do outro, temos que:

X + Y = 70 meses

Como X e Y estão na razão de 3/2, podemos dizer que:

3 2 X Y  3 2 X Y Substituindo X por 3 2Y na equação X + Y = 70, temos: 3 70 2Y Y  5 70 2Y 28 Y meses

(46)

Logo, 3 328 42

2 2

X Y  meses.

A diferença entre estes tempos de serviço é de 42 – 28 = 14 meses = 1 ano e 2 meses.

Resposta: E

22. FCC _{– Banco do Brasil – 2011) Pretendendo fazer uma viagem à Europa,}

Mazza foi certo dia a uma Agência do Banco do Brasil comprar euros e dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6 132,00 para comprar € 2 800,00 e que, com R$ 4 200,00 comprou US$ 2 500,00. Com base nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do euro em relação ao dólar, era de 1 para

(A) 1,3036. (B) 1,3606. (C) 1,3844. (D) 1,4028. (E) 1,4204. RESOLUÇÃO:

6132 reais equivalem a 2800 euros. Vejamos a quantos euros corresponde 1 real:

6132 reais --- 2800 euros 1 real --- X euros

6132X = 2800 X = 0,456 euros

4200 reais equivalem a 2500 dólares. Vejamos a quantos dólares corresponde 1 real:

(47)

1 real --- Y dólares

4200Y = 2500 Y = 0,595 dólares

Assim, vemos que 1 real = 0,456 euros = 0,595 dólares. Vejamos a quantos dólares corresponde 1 euro:

0,456 euros --- 0,595 dólares 1 euro --- Z dólares

0,456Z = 0,595 Z = 1,30 dólares

Temos aproximadamente (devido aos arredondamentos) a alternativa A.

Resposta: A

23. FCC _{– BANESE – 2012) Atualmente, o reservatório de combustível de um posto}

de gasolina é abastecido por uma única tubulação. A bomba nela instalada bombeia combustível a uma vazão de X litros por hora, conseguindo encher totalmente o reservatório, inicialmente vazio, em 5 horas. O dono do posto vai construir outra tubulação que atenda o reservatório, instalando nela uma bomba que, trabalhando junto com a atual, possa encher totalmente o reservatório em 2 horas. Para que isso seja possível, o novo equipamento deverá bombear combustível a uma vazão, em litros por hora, de

(A) X. (B) 3X/2 (C) 2X (D) 5X/2 (E) 3X

(48)

Prof. Arthur Lima Aula 01 RESOLUÇÃO:

Seja Y a vazão da segunda bomba. Quando ela for instalada, a vazão total será de X + Y litros por hora. Assim, temos:

Vazão Tempo para encher

X 5 horas

X + Y 2 horas

Quanto maior a vazão, menos tempo é gasto para encher o reservatório. Logo, temos grandezas inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas, temos:

Vazão Tempo para encher

X 2 horas X + Y 5 horas 5X = 2X + 2Y 3X = 2Y Y = 3X/2 Resposta: B

24. FCC _{– SPPREV – 2012) Um pai dispõe de R$ 10.000,00 para dividir entre seus}

três filhos em partes diretamente proporcionais às suas idades: 5, 7 e 13 anos. Dessa forma, o filho

(A) mais novo irá receber R$ 2.000,00. (B) mais velho irá receber R$ 5.000,00. (C) do meio irá receber R$ 3.000,00.

(D) mais velho irá receber o dobro da quantia do filho mais novo.

(E) do meio irá receber a média aritmética das quantias que seus irmãos receberão.

(49)

Seja S o valor recebido pelo filho mais novo. Utilizando a propriedade que vimos ao estudar divisão proporcional, temos que:

5 10000 5 7 13 S _   2000 S reais Resposta: A

25. FCC _{– SPPREV – 2012) Uma empresa com 350 funcionários comprou refeições}

congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse 100 funcionários a menos, a quantidade de refeições adquiridas seria suficiente para (A) 28 dias. (B) 30 dias. (C) 35 dias. (D) 40 dias. (E) 45 dias. RESOLUÇÃO:

Nesta questão temos:

Número de funcionários Duração das refeições

350 25 dias

250 X dias

Quanto mais funcionários, menos tempo durarão as refeições. São grandezas inversamente proporcionais. Invertendo uma das colunas, temos:

Número de funcionários Duração das refeições

(50)

Prof. Arthur Lima Aula 01 350 X dias Assim, 250X = 350 x 25 X = 35 dias Resposta: C

26. FCC _{– TRT/1ª – 2013) Um site da internet que auxilia os usuários a calcularem}

a quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco considera que quatro homens consomem a mesma quantidade de carne que cinco mulheres. Se esse site aconselha que, para 11 homens, devem ser comprados 4.400 gramas de carnes, a quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um churrasco realizado para apenas sete mulheres é igual a

(A) 2.100. (B) 2.240. (C) 2.800. (D) 2.520. (E) 2.450. RESOLUÇÃO:

Inicialmente podemos verificar a quantos homens correspondem 7 mulheres: 4 homens --- 5 mulheres

X homens --- 7 mulheres X = 28/5 homens

Sabemos ainda que 11 homens consomem 4400g de carne. Vejamos quanto seria necessário para 28/5 homens (isto é, 7 mulheres):

11 homens --- 4400g 28/5 homens --- C C = (28/5) X 4400 / 11 = 2240g

(51)

Prof. Arthur Lima Aula 01 27. FCC _{– TRT/12ª – 2013) A partir de meio-dia um relógio de ponteiros começa a}

atrasar 2 segundos e 2 décimos de segundo a cada 1 minuto. Sendo assim, no horário correto das 16h desse mesmo dia, o ponteiro dos segundos desse relógio estará apontando para a marcação do mostrador correspondente ao número

(A) 12. (B) 43. (C) 34. (D) 48. (E) 17. RESOLUÇÃO:

Do meio dia (12h) às 16h temos um espaço de 4 horas, ou 4 x 60 minutos, isto é, 240 minutos. Se em 1 minuto o relógio atrasa 2,2 segundos, em 240 minutos o atraso do relógio é:

1 minuto --- 2,2 segundos 240 minutos --- T segundos

1 x T = 240 x 2,2 T = 528 segundos

Isto significa que quando a hora certa for 16h, o relógio estará 528 segundos atrás. Lembrando que 1 minuto contém 60 segundos, vemos que:

1 minuto --- 60 segundos N minutos ---528 segundos

1 x 528 = N x 60 N = 528 / 60 minutos

Dividindo 528 por 60, obtemos quociente 8 e resto 48. Assim, o relógio estará 8 minutos e 48 segundos atrás. Para isso, ao invés de marcar 16:00:00, ele estará marcando 15:51:12 (veja que, de fato, somando mais 8 minutos e 48 segundos, chegamos a 16h). Deste modo, o ponteiro dos segundos estará na posição 12.

(52)

Prof. Arthur Lima Aula 01 28. CESGRANRIO _{– FINEP – 2011) Pensando em aumentar as vendas, certo}

supermercado lançou uma promoção: o cliente comprava 5 kg de arroz e pagava o preço de 4 kg.

Quem aproveitou essa promoção recebeu um desconto, em relação ao preço normal do arroz, de a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 25% RESOLUÇÃO:

Seja P o preço de 5kg de arroz. Logo, o preço de 4kg de arroz seria: 5kg --- P

4kg --- X

5X = 4P X = 0,8P

Portanto, através da promoção foi possível pagar apenas 80% do valor de 5kg de arroz, de modo que houve um desconto de 20%.

Resposta: D

29. IBFC _{– Seplag/FHA – 2012) Paulo pagou R$ 15,62 por 4 kg de um produto A e}

R$ 19,53 por 5 kg de um produto B. Nessas condições, e sem arredondar as casas decimais, pode-se dizer que:

a) o valor de 10 kg do produto A é maior que o valor de 10 kg do produto B. b) o valor de 10 kg do produto A é igual ao valor de 10 kg do produto B. c) o valor de 10 kg do produto A é menor que o valor de 10 kg do produto B. d) só é possível resolver a questão se arredondarmos as casas decimais.

RESOLUÇÃO:

É possível obter o valor de 10kg de cada produto através de regras de três: 4kg de A --- 15,62 reais

(53)

Prof. Arthur Lima Aula 01 4R = 156,2 R = 39,05 reais 5kg de B --- 19,53 reais 10kg de B --- T reais 5T = 195,3 T = 39,06 reais

Assim, o valor de 10 kg do produto A é menor que o valor de 10 kg do produto B.

Resposta: C

30. IBFC _{– Pref. Campinas – 2012) Para completar uma obra foram necessários 12}

pedreiros trabalhando 6 horas por dia. Se a obra tivesse que ser feita com 3 pedreiros a menos então o total de horas necessárias para completar a obra seria de: a) 8 b) 9 c) 4,5 d) 10 RESOLUÇÃO: Aqui temos:

Pedreiros Horas por dia

12 6

9 H

Quanto MAIS pedreiros, MENOS horas por dia são necessárias. Assim, devemos inverter uma das colunas:

Pedreiros Horas por dia

9 6

12 H

(54)

9/12 = 6/H 12/9 = H/6 H = 8 horas por dia

Resposta: A

31. IBFC _{– MPE/SP – 2011) As sequências (1, 2, x) e (12, y, 3) são progressões,}

cujos termos são, respectivamente, grandezas inversamente proporcionais. Assim, o produto entre as razões dessas progressões vale:

a) (1/2) b) 1 c) 4 d) 6

RESOLUÇÃO:

Comparando termos equivalentes das duas sequências, temos:

Termo da 1ª sequência Termo da 2ª sequência

1 12

2 y

Como os termos são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas:

1 y

2 12

1 x 12 = 2y y = 6

Prosseguindo, podemos obter x de maneira análoga:

1 12