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Existência de ações livres e o anel de cohomologia de
espaços de órbitas para variedades de Dold
Ana Maria Mathias Morita
Tese de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat)
Data de Depósito:
Assinatura: ______________________
Ana Maria Mathias Morita
Existência de ações livres e o anel de cohomologia de
espaços de órbitas para variedades de Dold
Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutora em Ciências – Matemática. VERSÃO REVISADA
Área de Concentração: Matemática Orientadora: Profa. Dra. Denise de Mattos
USP – São Carlos Abril de 2018
Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/4938
Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/6176
M862e
Mathias Morita, Ana Maria
Existência de ações livres e o anel de
cohomologia de espaços de órbitas para variedades de Dold / Ana Maria Mathias Morita; orientadora Denise de Mattos. -- São Carlos, 2018.
117 p.
Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2018.
1. Ação livre. 2. Espaço de órbitas. 3. Sequência espectral. 4. Variedade de Dold. I. de Mattos, Denise, orient. II. Título.
Existence of free actions and the cohomology ring of orbit
spaces for Dold manifolds
Doctoral dissertation submitted to the Institute of Mathematics and Computer Sciences – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Doctorate Program in Mathematics. FINAL VERSION
Concentration Area: Mathematics Advisor: Profa. Dra. Denise de Mattos
USP – São Carlos April 2018
Ao relembrar todos os momentos que marcaram minha caminhada até o presente mo-mento, prevalece o sentimento de gratidão.
Quando reflito sobre minha vida, enxergo como sou abençoada e por isso agradeço primeiramente à Deus, por me dar a vida, me guiar nas escolhas corretas e colocar em meu caminho pessoas muito especiais, que ajudaram a tornar esse sonho possível.
À minha amada mãe, Dalva, símbolo de força e ternura, que me permitiu sonhar, me ensinou a lutar e com seu amor incondicional representa o alicerce de minha vida. À minha irmã Mariana, minha melhor amiga e cúmplice em todos os momentos. Obrigada, mana, por todo amor, cuidado, companheirismo e principalmente por depositar em mim tamanha fé.
Ao meu noivo, Ricardo, pelo carinho, apoio e principalmente pela compreensão nos inúmeros momentos em que estive ausente.
À minha orientadora, Denise, pelos valiosos ensinamentos, pela confiança, otimismo e acima de tudo, pela acolhida carinhosa. Não poderia deixar de agradecer ao Edivaldo, pela presença constante e por compartilhar generosamente seus conhecimentos.
Ao professor Pedro Pergher, pela valiosa colaboração neste trabalho.
À minha orientadora de mestrado, Maria Gorete, que me guiou nos primeiros passos da vida acadêmica e sempre acreditou em mim, mesmo quando eu perdia a fé.
Aos meus amigos Pedro (Bolota), Amanda, Matheus, (Zé)Wilker, Fernando, Paty, Carol e Angelito, a família que São Carlos me deu, por todos os momentos que passamos juntos. Em especial, à irmã que meu coração escolheu, Rafaella, pela doçura com que cuida de mim.
Aos professores e funcionários do ICMC, pela competência. À CAPES, pelo apoio financeiro.
Mas o mar seria menor se lhe faltasse uma gota.” (Madre Teresa de Calcutá)
MORITA, A. M. M. Existência de ações livres e o anel de cohomologia de espaços de órbitas para variedades de Dold. 2018. 117p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2018.
Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Existe uma questão natural associada ao par (G, X ) sobre a existência de ações livres e contínuas de G em X . Se tal ação existe, outra questão natural é o estudo de propriedades do espaço de órbitas X /G e, nesse contexto, temos o problema usualmente difícil de se calcular o anel de cohomologia de X /G. Este trabalho é dedicado a essas questões quando X são variedades de Dold P(m, n) especiais e G = Z2. A
variedade fechada e suave P(m, n), de dimensão m + 2n, é o espaço de órbitas da involução livre T: Sm× CPn→ Sm× CPn
(x, [z]) ↦→ (−x, [¯z])
e foi introduzida por Albrecht Dold em 1956, sendo bastante estudada na literatura e desem-penhando papel fundamental na teoria de cobordismo. A principal ferramenta utilizada nesse estudo foi a sequência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel
X ,→ XG−→ BG,
onde XG= (X × EG)/G é a construção de Borel associada ao G-fibrado universal EG−→ BG.
MORITA, A. M. M. Existence of free actions and the cohomology ring of orbit spaces for Dold manifolds. 2018. 117 p. Tese (Doutorado em Ciências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos – SP, 2018.
Let G be a topological group and X be a topological space. There is a natural question associated with the pair (G, X ) about the existence of a continuous free action of G on X . If such an action exists, other natural question is the study of properties of the orbit space X /G and, in this setting, the study of the cohomology ring of X /G. This thesis is devoted to these questions when X are special Dold manifolds P(m, n) and G = Z2. The closed smooth (m + 2n)-dimensional manifold,
P(m, n), is the orbit space of the free involution
T: Sm× CPn→ Sm× CPn (x, [z]) ↦→ (−x, [¯z])
and was introduced by Albrecht Dold in 1956, being well studied in literature and playing a fundamental role in cobordism theory. The main tool used in this study was the Leray-Serre spectral sequence associated with the Borel fibration
X ,→ XG−→ BG,
where XG= (X × EG)/G is the Borel construction associated with the universal G-bundle
EG−→ BG.
Introdução . . . 17
1 PRELIMINARES . . . 21
1.1 Fibrações . . . 21
1.2 (Co)homologia com coeficientes locais em um fibrado de grupos . 24 1.3 Sequências Espectrais . . . 27
1.3.1 Definições básicas . . . 27
1.3.2 A sequência espectral de Leray-Serre . . . 32
2 AS VARIEDADES DE DOLD P(m, n) . . . 35 2.1 Caso P(1, n) . . . 36 2.2 Caso P(2n, n) . . . 37 3 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2.2 . . . 41 3.1 d30,1(1 ⊗ c) = 0 e d30,2(1 ⊗ d) ̸= 0 . . . 42 3.2 d20,1(1 ⊗ c) ̸= 0 e d20,2(1 ⊗ d) = 0 . . . 46 3.3 d20,1(1 ⊗ c) = 0 e d20,2(1 ⊗ d) ̸= 0 . . . 48 3.3.1 d40,3(1 ⊗ (cd)) ̸= 0 . . . 51 3.3.2 d40,3(1 ⊗ (cd)) = 0 . . . 53 4 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2.6 . . . 65 4.1 d30,1(1 ⊗ c) = 0 e d30,2(1 ⊗ d) ̸= 0 . . . 66 4.2 d20,1(1 ⊗ c) ̸= 0 e d20,2(1 ⊗ d) = 0 . . . 74 4.3 d20,1(1 ⊗ c) = 0 e d20,2(1 ⊗ d) ̸= 0 . . . 78 4.3.1 d50,4(1 ⊗ d2) ̸= 0 . . . 85 4.3.1.1 n≡ 3 (mod 4) . . . 87 4.3.1.2 n≡ 1 (mod 4) . . . 96 4.3.2 d50,4(1 ⊗ d2) = 0 . . . 99 REFERÊNCIAS . . . 115 Índice . . . 117
INTRODUÇÃO
Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Existe uma questão natural relacionada ao par (G, X ), a qual se refere à possibilidade da existência de ações contínuas e livres de G em X . Na literatura, existe uma gama considerável de trabalhos dessa natureza e destacamos a seguinte consequência dos resultados de J. Milnor em (MILNOR,1957): o grupo de permutações a 3 elementos, S3, não atua livremente nas esferas.
No caso de G atuar livremente sobre X , uma outra questão natural é o estudo das propriedades do espaço de órbitas X /G e, neste contexto, temos em particular a questão relevante e usualmente difícil de se calcular o anel de cohomologia de X /G, o qual é uma ferramenta muito útil. Por exemplo, as conhecidas estruturas dos anéis de cohomologia dos espaços projetivos real, complexo e quaterniônico, RPn, CPne KPn, são essenciais na resposta de muitas questões interessantes envolvendo variedades. Neste caso, tais espaços são espaços de órbitas de certas ações padrões de Z2, S1 e S3 nas esferas n-dimensional, (2n + 1)-dimensional e (4n +
3)-dimensional, respectivamente.
L. W. Cusick mostrou que o único grupo finito que pode agir livremente sobre CPné Z2e n deve ser ímpar (CUSICK,1989). Posteriormente, H. K. Singh e T. B. Singh calcularam
o anel de cohomologia H*(CPn/Z2; Z2) (SINGH; SINGH, 2008). Em (DOTZEL; SINGH;
TRIPATHI,2000), os autores determinaram todas as possibilidades para o anel de cohomologia H*(X /Zp; Zp), com p um número primo e Zp agindo livremente sobre o espaço finitístico X ∼pSm× Sn(X tem a mesma cohomologia módulo p que o produto de esferas Sm× Sn). Mais tarde, D. Davis estudou o caso X = Sn1× · · · × Snr, munido da involução antipodal diagonal, sem
restrição sobre r (DAVIS,2010), onde Sni denota a esfera n
i-dimensional.
Tais questões também foram consideradas para G = Z2, G = S1 e X um espaço do
tipo (a, b). Esses espaços foram inicialmente estudados por I. James (JAMES, 1957) e H. Toda (TODA,1963) e correspondem aos CW-complexos finitos simplesmente conexos que satisfazem as seguintes condições: Hj(X ; Z) ∼= Z, se j = 0, n, 2n, 3n (n > 1), e Hj(X ; Z) = {0}, caso contrário. Ainda, se uigera Hin(X ; Z), para i = 0, 1, 2, 3, então u21= au2e u1u2= bu3. Por
exemplo, S3× S6é do tipo (0, 1).
Em (PERGHER; SINGH; SINGH,2010), foi mostrado que Z2não pode atuar livremente
em um espaço do tipo (a, b) se a é ímpar e b é par, assim como S1também não o pode fazer se a é não nulo. Além disso, são computadas as possíveis estruturas para os anéis de Z2-cohomologia
dos espaços de órbitas de ações de Z2sobre espaços do tipo (a, b), com a e b ambos pares, e de
Contribuindo nessa linha de pesquisa, esta tese trata o problema quando G = Z2e X
é uma variedade de Dold. Tal variedade fechada e suave, denotada por P(m, n), é o espaço de órbitas da involução livre T : Sm× CPn−→ Sm× CPn, dada por T (x, [z]) = (−x, [¯z]). Esta
variedade foi introduzida por A. Dold (DOLD,1956) e já foi bastante estudada na literatura, desempenhando papel fundamental na teoria de cobordismo. Baseado em (BREDON,1972) e (MCCLEARY,2001), utilizamos a sequência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel como principal ferramenta para a abordagem do problema.
No Capítulo1descrevemos resumidamente os conceitos e resultados necessários para a compreensão e aplicação das técnicas empregadas neste trabalho. Em termos gerais, se G for um grupo de Lie compacto atuando em um espaço de Hausdorff paracompacto X , então é possível associar a tal ação a fibração de Borel, X ,→ XG→ BG, com fibra X e base BG, o
espaço classificante de G (BOREL,1960). Associada a tal fibração, temos a conhecida sequência espectral de Leray-Serre que converge para a cohomologia de XG. Quando a ação é livre, XGtem
o mesmo tipo de homotopia do espaço de órbitas X /G. Além disso, se π1(BG) age trivialmente
na cohomologia de X , o termo E2da sequência assume uma forma simples, descrita em termos
das cohomologias de X e BG. Assim, se G age livremente sobre X , se o grupo fundamental de
BGage trivialmente na cohomologia de X e se as cohomologias de X e BGsão conhecidas, temos
uma situação adequada no que se refere a estudar a possível cohomologia de X /G usando tal sequência.
No Capítulo2temos algumas informações adicionais sobre a variedade P(m, n), como a estrutura do seu anel de cohomologia e a garantia da existência da ação livre de Z2quando n é
ímpar. Portanto, segundo o procedimento descrito no parágrafo anterior, faz sentido estudar o espaço de órbitas P(m, n)/Z2, quando n é ímpar. Ainda assim, é preciso assegurar que π1(BZ2) =
Z2age trivialmente sobre a cohomologia de P(m, n), o que, em geral, não é uma tarefa fácil.
Para m = 1, temos Hq(P(1, n); Z2) ∼= Z2, se q = 0, 1, . . . , 2n + 1, e Hq(P(1, n); Z2) = {0},
caso contrário. Logo, a condição de Z2 agir trivialmente sobre a cohomologia de P(1, n) é
automaticamente satisfeita. Enunciamos no Capítulo2e demonstramos no Capítulo3o resultado a seguir, o qual está contido no artigo The cohomology ring of orbit spaces of free Z2-actions on
some Dold manifolds(MORITA; MATTOS; PERGHER,2018),
Teorema2.2: Seja n um número natural ímpar e suponhamos que Z2age livremente sobre a
variedade de Dold P(1, n). Então, H*(P(1, n)/Z2; Z2) é isomorfo a uma das seguintes álgebras
graduadas:
(i) Z2[x, y, z]/⟨x3, y2+ ax2+ bxy, z
n+1
2 ⟩, com (a, b) ∈ Z2× Z2, deg(x) = deg(y) = 1 e deg(z) = 4.
(ii) Z2[x, z]/⟨x2, zn+1⟩, com deg(x) = 1 e deg(z) = 2.
(iii) Z2[x, y, z]/⟨x4, x2y, y2+ ax2+ bxy, z
n+1
2 ⟩, com (a, b) ∈ Z2× Z2, deg(x) = deg(y) = 1 e
(iv) Z2[x, y, z, w, v]/φ (x, y, z, w, v), onde
φ (x, y, z, w, v) = ⟨x5, y2+ a1x2+ b1xy, x2y+ a2x3+ b2z, yz + a3x4+ b3xz, x2w, v
n+1 4 ,
z2+ a4x3z+ b4xw, yw + a5x3z+ b5xw, w2+ a6x2v+ b6xyv, zw⟩,
com (ak, bk) ∈ Z2× Z2, para todo k = 1, . . . , 6, deg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 3, deg(w) = 5,
deg(v) = 8 e, necessariamente, n ≡ 3 (mod 4).
Para m > 1, não é imediato que Z2 age trivialmente sobre H2(P(m, n); Z2) ∼= Z2⊕ Z2,
mas utilizando um importante teorema sobre involuções provado por G. E. Bredon (BREDON,
1972, Teorema 7.4) conseguimos provar que isso ocorre quando m = 2n (vide Corolário2.5). Dessa forma, obtemos o seguinte teorema, enunciado no Capítulo2e provado no Capítulo4. Teorema2.6: Seja n um número natural ímpar e suponhamos que Z2age livremente sobre a
variedade de Dold P(2n, n). Existem 2n−12 + φ possibilidades para H*(P(2n, n)/Z2; Z2), onde
φ = 1, se n ≡ 1 (mod 4), ou φ = 2, se n ≡ 3 (mod 4). Dentre os casos possíveis, temos (i) Z2[x, y, z]/⟨R1, R2, R3⟩, onde R1 = x3, R2 = y2n+1+ β0xy2n+ γ0x2y2n−1+
∑
1≤ j≤n−12 (αjy2n+1−4 jzj+ βjxy2n−4 jzj+ γjx2y2n−1−4 jzj), R3 = z n+1 2 + ζ0x2y2n+∑
1≤ j≤n−12 (δjy2n+2−4 jzj+ εjxy2n+1−4 jzj+ ζjx2y2n−4 jzj),com deg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 4 e αj, βj, γj, δj, εj, ζj∈ Z2, para todo j.
(ii) Z2[x, y, z, w, v]/⟨R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9⟩, onde R1 = x5, R2 = x2y+ α1y3+ α2xy2+ α3x3, R3 = x2z+ β1y7+ β2y2z+ β3xy6+ β4xyz, R4 = z2+ y2w+ γ1y10+ γ2y5z+ γ3y2w+ γ4xy9+ γ5xy4z+ γ6xyw+ γ7x2w, R5 = y2n+1+ δ10y2n−4z+ ε00xy2n+ ε10xy2n−5z+ +
∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 δs jy2n+1−(5s+8 j)zswj+ εs jxy2n−(5s+8 j)zswj , R6 = v2, R7 = wn+14 + ζ1v+ η10y2n−3z+ θ10xy2n−4z+ +∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 ηs jy2n+2−(5s+8 j)zswj+ θs jxy2n+1−(5s+8 j)zswj ,R8 = yv + ζ2xv+ λ10y2n−2z+ µ10xy2n−3z+ +
∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 λs jy2n+3−(5s+8 j)zswj+ µs jxy2n+2−(5s+8 j)zswj , R9 = zv+∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 σs jy2n+7−(5s+8 j)zswj+ τs jxy2n+6−(5s+8 j)zswj , n > 3, zv, n = 3, com deg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 5, deg(w) = 8, deg(v) = 2n + 2,αi, βi, γi, δs j, εs j, ζi, ηs j, θs j, λs j, µs j, σs j, τs j∈ Z2, para todo i, j, s,
e, necessariamente, n ≡ 3 (mod 4).
Vale ressaltar aqui uma dificuldade adicional para os cálculos dos anéis de cohomologia dos espaços de órbitas apresentados nos Teoremas2.2e2.6desta tese, em relação aos resultados existentes na literatura. Embora a técnica utilizada seja a mesma (sequência espectral de Leray-Serre), a complexidade adicional é que as variedades de Dold P(m, n) possuem cohomologia não nula em todos os níveis i, tais que 0 ≤ i ≤ m + 2n, e distinta de Z2em muitos níveis (por
exemplo, H2(P(2n, n)) ∼= Z2⊕ Z2), diferentemente do que ocorre com os resultados conhecidos na literatura, nos quais os espaços em questão possuem cohomologia não nula nos níveis de sua dimensão e em apenas alguns níveis intermediários. Para exemplificar, citamos os casos em que os espaços são espaços projetivos (SINGH; SINGH,2008), produtos de esferas (DOTZEL; SINGH; TRIPATHI,2000) e espaços do tipo (a, b) (PERGHER; SINGH; SINGH,2010).
Tal distinção faz com que a verificação da hipótese de que Z2 atua trivialmente sobre
a cohomologia de P(2n, n) seja mais sofisticada. Além disso, para ambos os casos P(1, n) e P(2n, n), todas as linhas do E2-termo da sequência espectral de Leray-Serre são não triviais até o
CAPÍTULO
1
PRELIMINARES
Neste capítulo, descrevemos a principal ferramenta utilizada no cálculo do anel de cohomologia dos espaços considerados neste trabalho: a sequência espectral de Leray-Serre. Tal sequência é um objeto algébrico definido para fibrações F ,→ X → B, que relaciona as cohomologias de F, X e B.
1.1
Fibrações
Definição 1.1. Uma aplicação p : E → B tem a propriedade de levantamento de homotopia (PLH) com respeito ao espaço X se, dadas uma homotopia H : X × I → B e uma aplicação g: X → E tais que p ∘ g(x) = H ∘ i(x), onde i(x) = (x, 0), existir uma homotopia eH: X × I → E que comuta o diagrama abaixo
X g // i E p X× I H // e H << B. Ou seja, p ∘ eH= H e eH∘ i = g.
Definição 1.2. Uma aplicação que possui a PLH com respeito a todos os espaços é chamada de fibração de Hurewicz ou simplesmente de fibração.
Exemplo 1.3. A projeção no primeiro fator π1: B × F −→ B é uma fibração. De fato, dado um
espaço X , sejam g(x) = (g1(x), g2(x)) e uma homotopia H : X × I −→ B tais que π1∘ g = H ∘ i.
Esta condição implica g1(x) = H(x, 0) e basta definirmos eH(x,t) = (H(x,t), g2(x)).
Se p : E → B é uma fibração, então nos referimos ao espaço B como espaço base e ao espaço E como espaço total da fibração. Se b ∈ B, então Fb= p−1(b) é chamado de fibra de
p sobre b. Embora Fb possa variar para diferentes escolhas de b, a PLH restringe o tipo de
Seja
BI = {α : I → B | α é contínua}
o espaço de caminhos em B munido com a topologia compacto-aberto. A função avaliação a0: BI → B, dada por a0(α) = α(0), é contínua (DIECK,2008, p. 37). Denotemos por
Up= {(α, e) ∈ BI× E | α(0) = p(e)} o pullback de p : E → B sobre a0: Up π2 // π1 E p BI a 0 //B.
A homotopia H : Up× I → B, dada por H((α, e),t) = α(t), induz o problema de levantamento
de homotopia: Up π2 // i E p Up× I H // << B.
Quando p : E → B é uma fibração, obtemos uma solução eH: Up× I → E, ou seja, p ∘He= H e e
H∘ i = π2.
Seja Λ : Up→ EI a função adjunta de eH, dada por Λ(α, e)(t) = eH((α, e),t). Esta função
é contínua (DIECK,2008, p. 38) e satisfaz
p∘ Λ(α, e) = α e Λ(α, e)(0) = e.
Λ é chamada uma função de levantamento para p .
Suponhamos que λ : I → B seja um caminho com λ (0) = b0e λ (1) = b1. Consideremos
a composição
Φλ : Fb0 −→ Up
Λ
−→ EI −→a1 E x ↦−→ (λ , x) ↦−→ Λ(λ , x) ↦−→ Λ(λ , x)(1).
Uma vez que p ∘ Λ(λ , x) = λ , então Λ(λ , x)(1) ∈ Fb1. Logo, Φλ determina uma função contínua Fb0 → Fb1.
Proposição 1.4. (MCCLEARY, 2001, p. 110) Se p : E → B é uma fibração, com B conexo por caminhos, então a função Φλ : Fb0 → Fb1 definida anteriormente é uma equivalência de
homotopia, para quaisquer b0, b1∈ B.
Com a Proposição1.4, podemos falar da fibra F de uma fibração sobre um espaço base conexo por caminhos como um representante do tipo de homotopia de qualquer fibra Fb.
A função de levantamento fornece uma estrutura adicional. Sejam b ∈ B e F = Fb. Denote por ΩB = Ω(B, b) o conjunto dos laços em B baseados em b. Então ΩB × F ⊂ Upe a composição
ΩB × F −→Λ EI −→a1 E (λ , x) ↦−→ Λ(λ , x) ↦−→ Λ(λ , x)(1) tem sua imagem em F. Dessa forma, temos uma ação
µ = a1∘ Λ : ΩB × F → F.
Proposição 1.5. (MCCLEARY,2001, p. 111) Dada a ação µ : ΩB × F → F e um laço λ ∈ ΩB, considere a função hλ = µ(λ−1, −) : F → F, onde λ−1(t) = λ (1 − t). Então
1. Se λ é homotópico a α, então hλ é homotópica a hα.
2. Se λ é homotópico ao caminho constante, então hλ é homotópica a idF.
3. hλ *α é homotópica a hλ∘ hα.
Corolário 1.6. (MCCLEARY,2001, p. 111) Seja G um grupo abeliano. Se p : E → B é uma fibração, com B conexo por caminhos, então existe uma ação do grupo fundamental π1(B, b)
sobre H*(F; G) e H*(F; G), induzida por [λ ] ↦→ (hλ)*e[λ ] ↦→ (hλ) *.
Agora, descrevemos resumidamente a construção de Borel sobre os espaços classificantes de um grupo de Lie compacto. Para maiores detalhes ver (BOREL,1960).
Em (MILNOR,1956), o autor mostrou que dado qualquer grupo topológico G, existe um G-fibrado universal ωG= (EG, BG, pG, G), onde
EG= G ? G ? G ? · · ·
é o join de uma quantidade infinita e enumerável de cópias de G, BG= EG/G é o espaço de
órbitas e pG: EG−→ BGé a aplicação quociente.
Seja X um G-espaço. Uma vez que EGé um G-espaço livre, a ação diagonal de G sobre
X× EG,
(x, e) · g = (x · g, e · g),
também é livre. Denotamos por XG o espaço de órbitas (X × EG)/G e por πG a aplicação
quociente X × EG−→ XG.
Já que a projeção no segundo fator
π2: X × EG−→ EG
é uma função G-equivariante, ela induz uma aplicação contínua nos espaços de órbitas π : XG−→ BG.
Se G é um grupo de Lie compacto e X é um G-espaço de Hausdorff paracompacto, então a aplicação π : XG−→ BGé uma fibração com fibra X e espaço base BG, chamada fibração de
Borel associada ao G-espaço X .
Observação1.7. Se G age livremente sobre X , então a aplicação XG−→ X/G,
induzida pela projeção no primeiro fator X × EG−→ X, é uma fibração com fibra contrátil EGe
portanto, uma equivalência de homotopia (mais detalhes em (BARTSCH,1993, p. 56)).
Proposição 1.8. (BREDON,1972, p. 374) Se G = Z2age livremente sobre um espaço finitístico1
X , com Hj(X ; Z2) = {0}, para j > N, então Hj(XG; Z2) = {0}, para j > N.
1.2
(Co)homologia com coeficientes locais em um fibrado
de grupos
Dado um espaço topológico B, denotemos por Ω(B, a, b) o conjunto dos caminhos em B unindo a e b, ou seja,
Ω(B, a, b) = {λ : I → B | λ é contínua, λ (0) = a e λ (1) = b}.
Definição 1.9. Um fibrado de grupos sobre B, denotado por G , é uma coleção de grupos {Gb| b ∈ B}, junto com uma coleção de homomorfismos h[λ ] : Gb1 → Gb0, para cada elemento
λ ∈ Ω(B, b0, b1). Esta coleção de homomorfismos deve satisfazer:
1. Se cbdenota o caminho constante em Ω(B, b), então h[cb] = id : Gb→ Gb.
2. Se λ e λ′ satisfazem λ (0) = λ′(0), λ (1) = λ′(1) e λ é homotópico a λ′, então h[λ ] = h[λ′].
3. Se λ ∈ Ω(B, b0, b1), α ∈ Ω(B, b1, b2) e λ * α é o caminho produto de λ e α, então
h[λ * α] = h[λ ] ∘ h[α] : Gb2 → Gb0.
O fibradoG também é conhecido como um sistema de coeficientes locais sobre B.
Observação1.10. As condições 1, 2 e 3 da Definição1.9implicam que cada h[λ ] é um isomor-fismo. De fato, se λ−1(t) = λ (1 − t), então λ * λ−1∼ cb0 ∈ Ω(B, b0) e assim
h[λ * λ−1] = h[λ ] ∘ h[λ−1] = id.
Exemplo 1.11. Dado qualquer grupo G, existe o fibrado trivial de grupos sobre B, também denotado por G, com Gb= G, para todo b ∈ B, e h[λ ] = id, para todo λ ∈ Ω(B, b0, b1).
1 Um espaço X é dito finitístico se toda cobertura aberta de X possui um refinamento aberto de ordem finita (BREDON,1972).
Exemplo 1.12. Suponhamos que F ,→ E −→ B seja uma fibração, com B conexo por cami-p nhos. Dado um anel R, para cada natural n ≥ 0 podemos construir um fibrado de R-módulos, G = H n(F; R), como segue: definimos G
b= Hn(Fb; R), com Fb= p−1(b). Seja Λ : Up→ EI
uma função de levantamento para p. Dado um caminho λ : I → B, com λ (0) = b0e λ (1) = b1,
consideremos a equivalência de homotopia descrita na Seção1.1: Φλ : Fb0 → Fb1 x ↦→ Λ(λ , x)(1). Definindo h[λ ] = (Φλ) *: Hn(F b1; R) → H n(F b0; R),
segue das propriedades da função de levantamento que G = Hn(F; R), juntamente com a coleção de homomorfismos h[λ ], é um fibrado de R-módulos.
Observação1.13. Pelos mesmos argumentos do Exemplo1.12, concluímos queG = Hn(F; R),
juntamente com a coleção de homomorfismos
h[λ ] = (Φλ−1)*: Hn(Fb1; R) → Hn(Fb0; R),
também é um fibrado de R-módulos.
Definição 1.14. Um morfismo de fibrados de grupos, Θ :G1→G2, é uma coleção de
homomor-fismos Θb: (G1)b→ (G2)b, para cada b ∈ B, satisfazendo a propriedade que o diagrama
(G1)b1 h1[λ ]// Θb1 (G1)b0 Θb0 (G2)b1 h2[λ ] //(G2)b 0
comuta, para todo λ ∈ Ω(B, b0, b1). Um morfismo Θ :G1→G2 é um isomorfismo se cada Θb
for um isomofismo.
Definição 1.15. Um sistema de coeficientes locais,G , é chamado simples se existe um fibrado trivial de grupos G e um isomorfismo Θ :G → G.
Exemplo 1.16. Seja F ,→ E −→ B uma fibração, com B conexo por caminhos. Se πp 1(B) age
trivialmente sobre H*(F; R) (vide Corolário1.6), então o sistema de coeficientes locaisH n(F; R) é simples, para cada n ≥ 0.
De fato, mostraremos que existe um isomorfismo Θ :Hn(F; R) → Hn(F; R), com Hn(F; R) o fibrado trivial sobre B. Se F é a fibra de p, então F = Fb, para algum b ∈ B fi-xado. Sejam b0, b1∈ B e λ ∈ Ω(B, b0, b1). Como B é conexo por caminhos, existem caminhos
α ∈ Ω(B, b, b1) e β ∈ Ω(B, b, b0). Consideremos os homomorfismos
h[α] : Hn(Fb1; R) → Hn(Fb; R), h[β ] : Hn(Fb0; R) → Hn(Fb; R), h[λ ] : Hn(Fb1; R) → Hn(Fb0; R),
definidos no Exemplo1.12, os quais são isomorfimos. Uma vez que o produto de caminhos γ = β * λ * α−1 é um laço em B baseado em b e π1(B, b) age trivilmente em H*(F; R), temos
id = (hγ) *
: Hn(Fb; R) → Hn(Fb; R),
onde hγ(x) = Λ(γ−1, x)(1), para todo x ∈ Fb. Observemos que (hγ)*= h[γ−1].
Dado que γ * γ−1 ∼ cb, temos h[γ] ∘ h[γ−1] = id. Assim, h[γ] = id. Por outro lado, h[γ] = h[β * λ * α−1] = h[β ] ∘ h[λ ] ∘ h[α]−1. Portanto, obtemos o diagrama comutativo
Hn(Bb1; R) h[λ ] // Θb1=h[α] Hn(Bb0; R) Θb0=h[β ] Hn(Fb; R) id //H n(F b; R) para todo λ ∈ Ω(B, b0, b1).
Fixemos um fibrado de grupos abelianosG sobre B. Sejam ∆po p-simplexo padrão em
Rp+1 e Sp(B) = {σ : ∆p→ B | σ é contínua} a coleção de todos os p-simplexos singulares de
B. O conjunto de p-cadeias singulares com coeficientes no fibradoG , denotado por Cp(B;G ), é
composto pelas funções
f : Sp(B) →
[
b∈B
Gb que satisfazem as seguintes propriedades:
1. Para todo σ ∈ Sp(B), f (σ ) ∈ Gσ (v0), com v0= (1, 0, . . . , 0) ∈ ∆p.
2. O conjunto de p-simplexos singulares σ tais que f (σ ) ̸= 0 é finito.
Uma p-cadeia típica de Cp(B;G ) pode ser escrita como uma soma formal finita
f =
∑
gi· σi, com gi∈ Gσi(v0).Para definir o operador bordo em Cp(B;G ), observemos, primeiramente, que dado
σ ∈ Sp(B), temos
∂iσ (v0) =
(
σ (v0) se i ̸= 0,
σ (v1) se i = 0,
onde ∂i é o operador face usual e v1= (0, 1, 0, . . . , 0). Consideremos o caminho λσ : I → B
definido por
λσ(t) = σ (tv0+ (1 − t)v1),
que une σ (v1) a σ (v0). O operador bordo ∂ : Cp(B;G ) → Cp−1(B;G ) é definido sobre a base
por ∂ (g · σ ) = h[λσ](g) · ∂0σ + p
∑
i=1 (−1)pg· ∂iσe satisfaz ∂ ∘ ∂ = 0.
Assim, o grupo graduado C*(B;G ) é um complexo de cadeias e seus grupos de homologia
Hp(B;G ) = Hp(C*(B;G ),∂)
são chamados grupos de homologia de B com coeficientes no fibradoG , também conhecidos como grupos de homologia com coeficientes locais emG .
Similarmente, obtemos os grupos de cohomologia de B com coeficientes locais emG . O conjunto de p-cocadeias singulares com coeficientes emG é definido por
Cp(B;G ) = ( f : Sp(B) → [ b∈B Gb| f (σ ) ∈ Gσ (v0) ) . O operador cobordo δ : Cp(B;G ) → Cp+1(B;G ) é definido por
(−1)pδ f (σ ) = h[λσ]−1f(∂0σ ) + p+1
∑
i=1(−1)if(∂iσ ),
para cada (p + 1)-simplexo singular σ : ∆p+1→ B. Então δ é um homomorfismo tal que δ ∘ δ .
Portanto, C*(B;G ) é um complexo de cocadeias e definimos Hp(B;G ) = Hp(C*(B;G ),δ).
Proposição 1.17. (MCCLEARY,2001, p. 166) Se o sistema de coeficientes locais sobre B,G , é simples, então
H*(B;G ) ∼= H*(B; G) (respectivamente, H*(B;G ) ∼= H*(B; G)),
com G= Gb, para qualquer b∈ B.
Para mais detalhes sobre homologia e cohomologia com coeficientes locais, consultar (MCCLEARY,2001, 5.3) e (WHITEHEAD,1978, Capítulo VI, Seção 2).
1.3
Sequências Espectrais
1.3.1
Definições básicas
Definição 1.18. Um módulo bigraduado sobre um anel R é uma família de R-módulos indexada em Z × Z,
M= {Mp,q| (p, q) ∈ Z × Z}.
Se M = {Mp,q} e N = {Np,q} são módulos bigraduados e (a, b) é um par de inteiros fixado, então a família de R-homomorfismos,
f = { fp,q: Mp,q−→ Np+a,q+b}, é um R-homomorfismo de bigrau (a, b) e escrevemos f : M −→ N.
Definição 1.19. Um módulo bigraduado diferencial sobre um anel R é um módulo bigraduado sobre R, E = {Ep,q}, junto com um R-homomorfismo d : E −→ E, o diferencial, de bigrau (s, 1 − s) ou (−s, s − 1), para algum inteiro s, satisfazendo d ∘ d = 0.
Observação1.20. Com o diferencial, podemos tomar a homologia de um módulo bigraduado diferencial:
Hp,q(E, d) = ker(d
p,q: Ep,q−→ Ep+a,q+b)
im(dp−a,q−b: Ep−a,q−b−→ Ep,q),
onde (a, b) = (s, 1 − s) ou (a, b) = (−s, s − 1), para algum inteiro s.
Definição 1.21. Uma sequência espectral é uma coleção de R-módulos bigraduados diferenciais {Er, dr}, onde r = 1, 2, . . ., com Er+1p,q isomorfo a Hp,q(Er, dr).
∙ Se o diferencial dr é de bigrau (−r, r − 1), para todo r, dizemos que a sequência é do tipo
homológica.
∙ Se dr é de bigrau (r, 1 − r), para todo r, dizemos que a sequência é de tipo cohomológica. ∙ Para todo r, se Erp,q= {0} sempre que p < 0 ou q < 0, dizemos que a sequência é do
primeiro quadrante.
Observação1.22. Embora a sequência espectral seja indexada por r = 1, 2, . . ., essa indexação pode começar em qualquer natural e, frequentemente, a sequência começa em r = 2, onde E2
é algo calculável. Neste trabalho, a menos que especifiquemos o contrário, sempre que nos referirmos a uma sequência espectral significará de tipo cohomológica.
Consideremos a sequência espectral {Er, dr}, com r ≥ 2. Denotemos
Z2p,q = ker(d2p,q) e B2p,q= im(d2p−2,q+1). A condição d2∘ d2= 0 implica B2p,q⊂ Z2p,q ⊂ E2p,qe, por definição,
E3p,q ∼= Hp,q(E2, d2) =
Z2p,q B2p,q. Vamos escrever
Z3p,q = ker(d3p,q) e B3p,q= im(d3p−3,q+2).
Visto que Z3p,q e B3p,q são submódulos de E3p,q, existem submódulos Z3p,q e B3p,q de Z2p,q, que contêm B2p,qtais que
Z3p,q∼=Z p,q 3 B2p,q e B p,q 3 ∼= B3p,q B2p,q. Assim, E4p,q∼= Hp,q(E3, d3) = Z3p,q B3p,q ∼ = Z3p,q B2pq B3p,q B2p,q ∼ =Z p,q 3 B3p,q,
e temos,
B2p,q⊂ B3p,q⊂ Z3p,q⊂ Z2p,q⊂ E2p,q.
Iterando esse processo, apresentamos a sequência espectral como uma cadeia de submó-dulos de E2p,q:
B2p,q⊂ B3p,q ⊂ · · · ⊂ Bnp,q⊂ · · · ⊂ Znp,q ⊂ · · · ⊂ Z3p,q⊂ Z2p,q⊂ E2p,q,
com a propriedade que En+1p,q ∼= Z
p,q n
Bnp,q, para todo n ≥ 2. Considere os seguintes submódulos de E2p,q: Z∞p,q= ∞ \ n=2 Znp,q e B∞p,q = ∞ [ n=2 Bnp,q. Pela cadeia de submódulos concluímos que B∞p,q⊂ Z
p,q ∞ .
Definição 1.23. O módulo bigraduado,
E∞p,q= Z
p,q ∞
B∞p,q,
é chamado de termo limite da sequência espectral {Er, dr}. Um elemento em Z∞p,q é chamado de
cociclo permanente (uma vez que pertence ao núcleo de todos os diferenciais).
Definição 1.24. Uma sequência espectral {Er, dr} colapsa no N-ésimo termo se dr = 0, para
todo r ≥ N.
Observação1.25. Uma consequência imediata de colapsar no N-ésimo termo é que EN∼= EN+1∼= · · · ∼= E∞.
Definição 1.26. Uma filtração F sobre um R-módulo A é uma família de submódulos, {FpA| p ∈ Z},
tal que
· · · ⊂ Fp+1A⊂ FpA⊂ · · · ⊂ A (filtração decrescente) ou
· · · ⊂ Fp−1A⊂ FpA⊂ · · · ⊂ A (filtração crescente).
Exemplo 1.27. O conjunto dos números inteiros, Z, é um exemplo de Z-módulo filtrado, com a filtração decrescente FpZ = ( Z se p ≤ 0 2pZ se p > 0 · · · ⊂ 4Z ⊂ 2Z ⊂ Z ⊂ · · · ⊂ Z.
Definição 1.28. Dada uma filtração F sobre um R-módulo A, o módulo associado a F, E0(A), é dado por: E0p(A) = FpA Fp+1A, quando F é decrescente, FpA Fp−1A, quando F é crescente. Exemplo 1.29. No Exemplo1.27, E0p(Z) = {0} se p < 0 e E0p(Z) ∼= Z 2Z se p ≥ 0.
Definição 1.30. Se A é um R-módulo graduado e F é uma filtração sobre A, então FpAn = FpA∩ Ane o módulo associado a F é bigraduado e definido por
E0p,q(A) = FpAp+q Fp+1Ap+q, quando F é decrescente, FpAp+q Fp−1Ap+q, quando F é crescente. Definição 1.31. Um R-módulo A é um módulo graduado diferencial se:
1. A é uma soma direta de submódulos, A=
∞
M
n=0
An.
2. Existe um homomorfismo R-linear, d : A → A, de grau 1 (d : An→ An+1) ou grau −1
(d : An→ An−1), satisfazendo d ∘ d = 0.
Além disso, se A tem uma filtração F e d respeita a filtração, isto é, d : FpA→ FpA, então A é
chamado módulo graduado diferencial filtrado.
Definição 1.32. Uma álgebra graduada A é chamada comutativa se
a· b = (−1)pqb· a, para quaisquer a ∈ Ap e b ∈ Aq.
Definição 1.33. Uma álgebra graduada diferencial sobre R é um R-módulo graduado diferencial (A, d), junto com um morfismo de módulos graduados diferenciais, ψ : A ⊗RA−→ A, chamado
produto, tal que para todo p e q temos
ψ : Ap⊗RAq −→ Ap+q
a⊗ b ↦−→ ψ(a ⊗ b) := a · b.
O morfismo ψ satisfaz o seguinte diagrama comutativo, que expressa a associatividade do produto em A: A⊗RA⊗RA ψ ⊗id// id⊗ψ A⊗RA ψ A⊗RA ψ //A.
Também, d satisfaz a regra de Leibniz:
d(a · b) = d(a) · b + (−1)deg(a)a· d(b). Definição 1.34. Uma álgebra bigraduada E é chamada comutativa se
e· e′= (−1)(p+q)(r+s)e′· e, para quaisquer e ∈ Ep,q e e′∈ Er,s.
Definição 1.35. Uma álgebra bigraduada diferencial sobre R é um R-módulo bigraduado dife-rencial (E, d), junto com um morfismo, ψ : E ⊗RE −→ E, chamado produto, tal que:
ψ : Ep,q⊗REr,s −→ Ep+r,q+s
e⊗ e′ ↦−→ ψ(e ⊗ e′) := e · e′. O produto em E é associativo e d satisfaz a regra de Leibniz:
d(e · e′) = d(e) · e′+ (−1)p+qe· d(e′), onde e ∈ Ep,q e e′∈ Er,s.
Definição 1.36. Uma sequência espectral de álgebras sobre R é uma sequência espectral {Er, dr},
junto com estruturas de álgebra ψr: Er⊗REr−→ Er, para cada r, tal que ψr+1pode ser escrito
como a composição ψr+1: Er+1⊗REr+1 ∼ = −→ H(Er) ⊗RH(Er) p −→ H(Er⊗REr) H(ψr) −−−→ H(Er) ∼ = −→ Er+1,
onde o homomorfismo p é dado por p([u] ⊗ [v]) = [u ⊗ v].
Definição 1.37. Seja F uma filtração de H, uma álgebra graduada com produto ψ. Dizemos que a filtração é estável com relação ao produto se
ψ (FrH⊗RFsH) ⊂ Fr+sH.
Observação1.38. Uma filtração F sobre H que é estável com relação ao produto induz uma estrutura de álgebra bigraduada sobre o módulo associado E0(H).
Definição 1.39. Dizemos que uma sequência espectral de álgebras {Er, dr} converge para H,
como uma álgebra graduada, se existe uma filtração estável sobre H tal que E∞p,q∼= E0p,q(H),
como álgebras bigraduadas.
Observação1.40. Consideremos o funtor
Tot : AlgBigraduadas −→ AlgGraduadas
E ↦−→ Tot(E)
da categoria de álgebras bigraduadas com morfismos de bigrau (0, 0) na categoria de álgebras graduadas com morfismo de grau 0, dado por
Tot(E)n= M
n=p+q
Ep,q,
1.3.2
A sequência espectral de Leray-Serre
Teorema 1.41. (MCCLEARY, 2001, p. 135) Seja R um anel comutativo com unidade. Se F ,→ E −→ B é uma fibração, com B conexo por caminhos e F conexo, então existe umaπ sequência espectral de álgebras do primeiro quadrante,{Er, dr}, convergindo para H*(E; R)
como uma álgebra, com
E2p,q∼= Hp(B;Hq(F; R)),
a cohomologia de B com coeficientes locais na cohomologia da fibra de π. Além disso, u· v = (−1)qru^ v, onde u ∈ E2p,q e v∈ E2r,s.
Observação 1.42. Se π1(B) age trivialmente sobre H*(F; R), segue do Exemplo 1.16 que o
sistema de coeficientes locais é simples e o E2-termo tem a forma mais simples
E2p,q∼= Hp(B; Hq(F; R)).
Proposição 1.43. (MCCLEARY,2001, p. 140) Quando restrita às subálgebras E2*,0 e E20,*, a estrutura de produto na sequência espectral em E2*,* coincide com a estrutura de produto cup em H*(B; R) e H*(F; R), respectivamente. Além disso, se Hp(B; R) e Hq(F; R) são R-módulos livres de tipo finito, para todo p e q, e o sistema de coeficientes locais sobre B é simples, então
E2*,*∼= H*(B; R) ⊗RH*(F; R)
como uma álgebra bigraduada.
Observação1.44. Seja r ≥ 2. Se u ⊗ v ∈ Erp,q= E2p,q∼= Hp(B; R) ⊗RHq(F; R), então:
u⊗ v = (u ^ 1) ⊗ (1 ^ v) = (u ⊗ 1) ^ (1 ⊗ v) = (u ⊗ 1) · (1 ⊗ v) e drp,q(u ⊗ v) = drp,q((u ⊗ 1) · (1 ⊗ v)) = drp,0(u ⊗ 1) | {z } 0 ·(1 ⊗ v) + (−1)p(u ⊗ 1) · d0,q r (1 ⊗ v) = (−1)p(u ⊗ 1) · dr0,q(1 ⊗ v). Consequentemente, se dr0,q= 0, então drp,q= 0.
Observação1.45. Nos capítulos seguintes, para simplificar a notação, indicaremos o produto cup u ^ v simplesmente por uv.
Teorema 1.46. (MCCLEARY,2001, p. 147) Se F ,→ Ei −→ B é uma fibração, com B conexoπ por caminhos e F conexo, para qual o sistema de coeficientes locais sobre B é simples, então as composições Hp(B; R) ∼= E2p,0 E3p,0 · · · E p,0 p+1∼= E p,0 ∞ ,→ H p(E; R)
e Hq(E; R) E∞0,q∼= Eq+20,q ,→ Eq+10,q ,→ . . . ,→ E20,q∼= Hq(F; R) são os homomorfismos π*: Hp(B; R) −→ Hp(E; R) e i*: Hq(E; R) −→ Hq(F; R), respectivamente.
Proposição 1.47. (BREDON,1972, p. 374) Se G = Z2 age sobre um espaço finitístico X e
∑ rk Hj(X ; Z2)2< ∞, então as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) G age trivialmente sobre H*(X ; Z2) e a sequência espectral da fibração X i
,→ XG−→ Bπ G
colapsa no E2-termo.
(b) ∑ rk Hj(X ; Z2) = ∑ rk Hj(XG; Z2), onde XGdenota o conjunto de pontos fixos da ação de G
em X .
2 rk Hj(X ; Z
CAPÍTULO
2
AS VARIEDADES DE DOLD P(m, n)
Em (DOLD,1956), o autor definiu a variedade P(m, n) a fim de exibir representantes para os geradores nas dimensões ímpares do anel de cobordismo não orientável. A variedade fechada e suave P(m, n), de dimensão m + 2n, é o espaço de órbitas da involução livre
T: Sm× CPn→ Sm× CPn (x, [z]) ↦→ (−x, [¯z])
(z)
A. Dold também descreveu a estrutura do anel de cohomologia H*(P(m, n); Z2), dada por
H*(P(m, n); Z2) ∼= Z2[c, d] ⟨cm+1, dn+1⟩,
onde c é o elemento não nulo de H1(P(m, n); Z2) = ⟨c⟩ ∼= Z2e d é um elemento não nulo de
H2(P(m, n); Z2). Observemos que H2(P(1, n); Z2) = ⟨d⟩ ∼= Z2, e para m > 1, H2(P(m, n); Z2) =
⟨c2, d⟩ ∼
= Z2⊕ Z2.
S. S. Khare encontrou condições, em termos de m e n, sob as quais a variedade de Dold P(m, n) borda, a saber:
Teorema 2.1. (KHARE,1989) Seja P(m, n) uma variedade de Dold. Temos o seguinte: (a) Se n é ímpar, então P(m, n) borda, para todo natural m.
(b) Se m e n são ambos pares, então P(m, n) não borda.
(c) Se m é ímpar e n é par, então P(m, n) borda se, e somente se, m > n e 2adivide m− (n + 1), para algum a, com2a> n.
É conhecido da Teoria de Cobordismo Equivariante que as variedades suaves e fechadas que não bordam não admitem involuções livres de pontos fixos. Por outro lado, as que bordam podem ou não admitir tais involuções. Então, o objetivo é desvendar quais variedades de
Dold bordantes admitem involuções livres de pontos fixos e, nos casos afirmativos, calcular as estruturas dos anéis de cohomologia dos correspondentes espaços de órbitas.
Ainda em (KHARE,1989), o autor exibiu uma involução livre de pontos fixos para as variedades P(m, n), com n ímpar. Especificamente, a involução
S: Sm× CPn −→ Sm× CPn
(x, [z]) ↦−→ (x, [−¯z1, ¯z0, . . . , −¯zn, ¯zn−1])
induz uma involução livre de pontos fixos ¯ S: P(m, n) =S n × CPn T −→ P(m, n) = Sn× CPn T ,
onde T é como em (z), uma vez que S também é livre de pontos fixos e comuta com T , isto é, S∘ T = T ∘ S. Notemos que a involução ¯Sdefine uma ação livre de Z2em P(m, n), pois podemos identificar o grupo {id, ¯S}, com a operação de composição, com o grupo Z2.
Assim, a questão de determinar o anel de cohomologia do espaço de órbitas faz sentido quando n é ímpar. Nas Seções2.1e2.2apresentamos os teoremas para as variedades P(1, n) e P(2n, n), respectivamente, cujas demonstrações serão feitas nos Capítulos3e4. Denotando por X a variedade P(m, n), a principal ferramenta que será utilizada é a sequência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel
X ,→ XZ2 −→ BZ2.
Lembremos que é preciso verificar que π1(BZ2) = Z2age trivialmente sobre H
*(X ; Z
2) para que
o E2-termo assuma uma forma apropriada para os cálculos.
Por simplicidade, no restante do trabalho denotaremos apenas por H*(X ) a cohomologia de X com coeficientes em Z2.
2.1
Caso P(1, n)
Neste caso, segundo (DOLD,1956), temos
H*(P(1, n)) ∼= Z2[c, d] ⟨c2, dn+1⟩, onde c ∈ H1(P(1, n)) e d ∈ H2(P(1, n)). Logo, Hq(P(1, n)) = ⟨dq2⟩ ∼= Z2, se q ≡ 0 (mod 2) e 0 ≤ q < 2n + 1, ⟨cdq−12 ⟩ ∼= Z2, se q ≡ 1 (mod 2) e 0 < q ≤ 2n + 1, {0}, se q > 2n + 1.
Aqui, a condição de Z2agir trivialmente sobre H*(P(1, n)) é automaticamente satisfeita e temos
Teorema 2.2. (MORITA; MATTOS; PERGHER, 2018) Seja n um número natural ímpar e suponhamos que Z2age livremente sobre a variedade de Dold P(1, n). Então, H*(P(1, n)/Z2) é
isomorfo a uma das seguintes álgebras graduadas: (i) Z2[x, y, z]/⟨x3, y2+ ax2+ bxy, z
n+1
2 ⟩, com (a, b) ∈ Z2× Z2,deg(x) = deg(y) = 1 e deg(z) = 4.
(ii) Z2[x, z]/⟨x2, zn+1⟩, com deg(x) = 1 e deg(z) = 2.
(iii) Z2[x, y, z]/⟨x4, x2y, y2+ ax2+ bxy, z
n+1
2 ⟩, com (a, b) ∈ Z2× Z2, deg(x) = deg(y) = 1 e
deg(z) = 4. (iv) Z2[x, y, z, w, v]/φ (x, y, z, w, v), onde φ (x, y, z, w, v) = ⟨x5, y2+ a1x2+ b1xy, x2y+ a2x3+ b2z, yz + a3x4+ b3xz, x2w, v n+1 4 , z2+ a4x3z+ b4xw, yw + a5x3z+ b5xw, w2+ a6x2v+ b6xyv, zw⟩,
com (ak, bk) ∈ Z2× Z2, para todo k= 1, . . . , 6, deg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 3, deg(w) = 5,
deg(v) = 8 e, necessariamente, n ≡ 3 (mod 4).
2.2
Caso P(2n, n)
Por (DOLD,1956), temosH*(P(2n, n)) ∼= Z2[c, d] ⟨c2n+1, dn+1⟩,
onde c ∈ H1(P(2n, n)) e d ∈ H2(P(2n, n)). Assim, para X = P(2n, n), H0(X ) = ⟨1⟩ = Z2, H1(X ) = ⟨c⟩ = Z2, H2(X ) = ⟨c2, d⟩ = Z22, H3(X ) = ⟨c3, cd⟩ = Z22, H4(X ) = ⟨c4, c2d, d2⟩ = Z32, .. . H2n−1(X ) = ⟨c2n−1, c2n−3d, . . . , cdn−1⟩ = Zn2, H2n(X ) = ⟨c2n, c2n−2d, c2n−4d2, . . . , c2dn−1, dn⟩ = Zn+12 , H2n+1(X ) = ⟨c2n−1d, c2n−3d2, . . . , cdn⟩ = Zn2, .. . H4n−3(X ) = ⟨c2n−1dn−1, c2n−3dn⟩ = Z22, H4n−2(X ) = ⟨c2ndn−1, c2n−2dn⟩ = Z22, H4n−1(X ) = ⟨c2n−1dn⟩ = Z2, H4n(X ) = ⟨c2ndn⟩ = Z2.
De maneira geral, Hq(X ) = ⟨cq, cq−2d, . . . , c2dq−22 , dq2⟩ = Zq+22 2 , se q ≡ 0 (mod 2) e 0 ≤ q ≤ 2n, ⟨c2ndq−2n2 , c2n−2dq−2n2 +1, . . . , cq−2ndn⟩ = Z4n+2−q2 2 , se q ≡ 0 (mod 2) e 2n ≤ q ≤ 4n, ⟨cq, cq−2d, . . . , cdq−12 ⟩ = Z q+1 2 2 , se q ≡ 1 (mod 2) e 0 < q < 2n, ⟨c2n−1dq−2n+12 , . . . , cq−2ndn⟩ = Z4n+1−q2 2 , se q ≡ 1 (mod 2) e 2n < q < 4n, 0, se q > 4n.
Neste caso, não é imediato que Z2age trivialmente sobre H*(P(2n, n)). Para provarmos
este fato, precisamos do seguinte importante teorema sobre involuções:
Teorema 2.3. (BREDON,1972, Teorema 7.4) Seja T uma involução sobre um espaço finitístico X e, para algum s, suponhamos que Hi(X ) = {0}, se i > 2s, e que T* seja a identidade em H2s(X ). Se a ∈ Hs(X ) é um elemento tal que aT*(a) ̸= 0, então o conjunto de pontos fixos de T é não vazio.
Observemos que uma ação livre de Z2= {¯0, ¯1} em um espaço X determina uma involução
T : X → X livre de pontos fixos, dada por T (x) = ¯1 · x. Assim, a ação de Z2 sobre o anel de
cohomologia de X é dada por
T*: H*(X ) −→ H*(X ).
Proposição 2.4. Seja T uma involução sobre a variedade de Dold P(2n, n). Se T*̸= id sobre H2(P(2n, n)), então o conjunto dos pontos fixos de T é não vazio.
Demonstração. Se T*̸= id sobre H2(P(2n, n)) = ⟨c2, d⟩ e como T*= id em H1(P(2n, n)) = ⟨c⟩, então d ̸= T*(d) = c2+ d. Consideremos o elemento dn∈ H2n(P(2n, n)). Temos
dnT*(dn) = dnT*(d)n= dn(c2+ d)n= dn(c2n+ parcelas onde aparece d) = c2ndn̸= 0, pois c2ndné o gerador de H4n(P(2n, n)) ∼= Z2. Assim, tomando a = dne s = 2n no Teorema2.3,
concluímos que o conjunto dos pontos fixos de T é não vazio. Como consequência da Proposição2.4, temos o seguinte.
Corolário 2.5. Se Z2 age livremente sobre P(2n, n), então Z2 age trivialmente sobre
H*(P(2n, n)).
Demonstração. Seja T a involução livre de pontos fixos determinada pela ação livre de Z2.
Como o conjunto dos pontos fixos de T é vazio, segue da Proposição2.4que T*= id, ou seja, Z2age trivialmente sobre H*(P(2n, n)).
Teorema 2.6. Seja n um número natural ímpar e suponhamos que Z2age livremente sobre a
variedade de Dold P(2n, n). Existem 2n−12 + φ possibilidades para H*(P(2n, n)/Z2), onde φ = 1,
se n≡ 1 (mod 4), ou φ = 2, se n ≡ 3 (mod 4). Dentre os casos possíveis, temos (i) Z2[x, y, z]/⟨R1, R2, R3⟩, onde R1 = x3, R2 = y2n+1+ β0xy2n+ γ0x2y2n−1+
∑
1≤ j≤n−12 (αjy2n+1−4 jzj+ βjxy2n−4 jzj+ γjx2y2n−1−4 jzj), R3 = z n+1 2 + ζ0x2y2n+∑
1≤ j≤n−12 (δjy2n+2−4 jzj+ εjxy2n+1−4 jzj+ ζjx2y2n−4 jzj),comdeg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 4 e αj, βj, γj, δj, εj, ζj∈ Z2, para todo j.
(ii) Z2[x, y, z, w, v]/⟨R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9⟩, onde R1 = x5, R2 = x2y+ α1y3+ α2xy2+ α3x3, R3 = x2z+ β1y7+ β2y2z+ β3xy6+ β4xyz, R4 = z2+ y2w+ γ1y10+ γ2y5z+ γ3y2w+ γ4xy9+ γ5xy4z+ γ6xyw+ γ7x2w, R5 = y2n+1+ δ10y2n−4z+ ε00xy2n+ ε10xy2n−5z+ +
∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 δs jy2n+1−(5s+8 j)zswj+ εs jxy2n−(5s+8 j)zswj , R6 = v2, R7 = wn+14 + ζ1v+ η10y2n−3z+ θ10xy2n−4z+ +∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 ηs jy2n+2−(5s+8 j)zswj+ θs jxy2n+1−(5s+8 j)zswj , R8 = yv + ζ2xv+ λ10y2n−2z+ µ10xy2n−3z+ +∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 λs jy2n+3−(5s+8 j)zswj+ µs jxy2n+2−(5s+8 j)zswj , R9 = zv+∑
0≤s≤1 1≤ j≤ n−34 σs jy2n+7−(5s+8 j)zswj+ τs jxy2n+6−(5s+8 j)zswj , n > 3, zv, n = 3, comdeg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 5, deg(w) = 8, deg(v) = 2n + 2,αi, βi, γi, δs j, εs j, ζi, ηs j, θs j, λs j, µs j, σs j, τs j∈ Z2, para todo i, j, s,
CAPÍTULO
3
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA
2.2
Consideremos a sequência espectral cohomológica de Leray-Serre (Teorema1.41) asso-ciada à fibração de Borel
P(1, n),→ P(1, n)i Z2 −→ Bπ Z2. Uma vez que π1(BZ2) = Z2age trivialmente sobre H
*(P(1, n)), segue da Proposição1.43que
E2p,q= Hp(BZ2) ⊗Z2Hq(P(1, n))
e a Proposição1.47nos garante que a sequência espectral não colapsa no E2-termo, já que a
ação de Z2sobre P(1, n) é livre. Seja r ≥ 2 o menor inteiro tal que
drp,q: Erp,q−→ Erp+r,q+1−r
é não trivial. Se r > 2 então para todo 2 ≤ s ≤ r − 1 temos ds= 0 e assim,
Es+1p,q = ker(d p,q s ) im(dsp−s,q−1+s) = E p,q s {0} = E p,q s .
Logo, E2 = · · · = Er. Nossa estratégia será estudar as possíveis ações dos diferenciais não
triviais sobre os elementos não nulos de Er. Visto que c ∈ H1(P(1, n)) e d ∈ H2(P(1, n)) são os
geradores de H*(P(1, n)), segue da Observação1.44que dr0,1(1 ⊗ c) ̸= 0 ou dr0,2(1 ⊗ d) ̸= 0.
Uma vez que
dr0,1(1 ⊗ c) ∈ Err,2−r e dr0,2(1 ⊗ d) ∈ Err,3−r,
então dr pode ser não trivial apenas quando r = 2 ou r = 3, pois a sequência espectral é do
primeiro quadrante. Assim, o problema fica dividido nos seguintes casos: ∙ d30,1(1 ⊗ c) = 0 e d30,2(1 ⊗ d) ̸= 0 (Seção3.1),
∙ d20,1(1 ⊗ c) = 0 e d20,2(1 ⊗ d) ̸= 0 (Seção3.3).
A hipótese d0,12 (1 ⊗ c) ̸= 0 e d20,2(1 ⊗ d) ̸= 0 não pode ocorrer. Se t ∈ H1(BZ2) é o gerador e d20,1(1 ⊗ c) = t2⊗ 1 e d0,22 (1 ⊗ d) = t2⊗ c, então os diferenciais
d20,2: E20,2= {0, 1 ⊗ d} −→ E22,1= {0,t2⊗ c} e
d22,1: E22,1= {0,t2⊗ c} −→ E24,0= {0,t4⊗ 1} são isomorfismos e, dessa forma,
im(d20,2) * ker(d22,1), o que é um absurdo.
Observação3.1. Os lemas enunciados ao longo de cada seção serão demonstrados por recorrência ao final da mesma.
3.1
d
30,1(1 ⊗ c) = 0 e d
30,2(1 ⊗ d) ̸= 0
Lema 3.2. Se d30,2(1 ⊗ d) = t3⊗ 1, então para todo ` ∈ {0, 1, . . . , n},
d30,2`(1 ⊗ d`) = ( t3⊗ d`−1, se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2). Consequentemente, d30,2`+1(1 ⊗ (cd`)) = d30,2`+1((1 ⊗ c) · (1 ⊗ d`)) = d30,1(1 ⊗ c) | {z } 0 ·(1 ⊗ d`) + (1 ⊗ c) · d0,2`3 (1 ⊗ d`) = ( t3⊗ (cd`−1), se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2). Logo, para todo p ≥ 0 e ` ∈ {0, 1, . . . , n}, temos
d3p,2`(tp⊗ d`) = d3p,2`((tp⊗ 1) · (1 ⊗ d`)) = ( tp+3⊗ d`−1, se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2), e d3p,2`+1(tp⊗ (cd`)) = d3p,2`+1((tp⊗ 1) · (1 ⊗ (cd`))) = ( tp+3⊗ (cd`−1), se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2),
onde tp⊗ d`∈ Ep,2`
3 e tp⊗ (cd`) ∈ E p,2`+1
3 são os elementos não nulos. Em síntese,
d3p,q : E3p,q −→ E3p+3,q−2
é um isomorfismo se q ≡ 2 (mod 4) ou q ≡ 3 (mod 4), e é trivial se q ≡ 0 (mod 4) ou q≡ 1 (mod 4). Dessa forma,
E4p,q= ker(d p,q 3 ) im(d3p−3,q+2) = ( E3p,q, p< 3, {0}, p ≥ 3, se q ≡ 0 (mod 4) ou q ≡ 1 (mod 4), {0}, se q ≡ 2 (mod 4) ou q ≡ 3 (mod 4). Os módulos do E4-termo estão representados abaixo:
E40,2n−1 E41,2n−1 E42,2n−1 0 0 . . . E40,2n−2 E41,2n−2 E42,2n−2 0 0 . . . . . . ... ... ... ... E40,5 E41,5 E42,5 0 0 . . . E40,4 E41,4 E42,4 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . E40,1 E41,1 E42,1 0 0 . . . E40,0 E41,0 E42,0 0 0 . . .
Seja s ≥ 4 e suponhamos Es= E4. Como p + s > 2, Esp+s,q+1−s= {0}, e por isso,
dsp,q: Esp,q −→ Esp+s,q+1−s é trivial, para todo q ∈ {0, 1, . . . , 2n + 1}.
Portanto, a sequência colapsa no E4-termo, ou seja, E∞∼= E4. Temos:
Hj(P(1, n)Z2) ∼= Tot(E∞) j= M j=p+q E∞p,q = Z2⊕ Z2, j< 2n + 1 e j ≡ 1 ou 2 (mod 4), Z2, j≤ 2n + 1 e j ≡ 0 ou 3 (mod 4), {0}, j> 2n + 1.
Determinemos a estrutura do anel de cohomologia H*(P(1, n)Z2). Seja x = π*(t) ∈ H1(P(1, n)Z2), onde a expressão de π*é dada pelo Teorema1.46:
π*: Hp(BZ2) ∼= E2p,0 E3p,0 · · · Ep+1p,0 ∼= E∞p,0,→ Hp(P(1, n)Z2). Então,
x∈ E∞1,0, x3∈ E∞3,0= {0} e xp= π*(tp) ̸= 0, para p = 1, 2.
Os elementos 1 ⊗ c ∈ E20,1e 1 ⊗ d2∈ E20,4são cociclos permanentes e determinam os elementos não nulos y ∈ E∞0,1 e z ∈ E∞0,4, respectivamente. Temos
y2∈ E∞0,2= {0} e zn+12 ∈ E0,2n+2
∞ = {0}.
Assim, concluímos que
Tot(E∞) ∼=
Z2[x, y, z]
⟨x3, y2, zn+12 ⟩
como uma álgebra graduada comutativa, com deg(x) = deg(y) = 1 e deg(z) = 4. Ainda pelo Teorema1.46, temos
i*: Hq(P(1, n)Z2) E∞0,q∼= Eq+20,q ,→ Eq+10,q ,→ · · · ,→ E20,q∼= Hq(P(1, n)). Como E3= E2, o homomorfismo
i*: H1(P(1, n)Z2) −→ H1(P(1, n))
é sobrejetor, ou seja, existe um elemento não nulo y ∈ H1(P(1, n)Z2) tal que i*(y) = c. Observe-mos que y ̸= x, pois i*∘ π*= 0. Então, y representa y e satisfaz
y2= ax2+ bxy, para algum (a, b) ∈ Z2× Z2.
Uma vez que H4(P(1, n)Z2) ∼= E∞0,4∼= · · · ∼= E20,4, o homomorfismo i*: H4(P(1, n)Z2) −→ H4(P(1, n))
é um isomorfismo. Logo, existe um único elemento z ∈ H4(P(1, n)Z2) tal que i*(z) = d2. Assim, zrepresenta z e satisfaz zn+12 ∈ H2n+2(P(1, n) Z2) = {0}. Para 0 ≤ j ≤ n−1 2 , temos i*(zj) = i*(z)j= d2 j̸= 0, i*(yzj) = i*(y)i*(z)j= cd2 j ̸= 0. Portanto, H*(P(1, n)Z2) ∼= Z2[x, y, z] ⟨x3, y2+ ax2+ bxy, zn+12 ⟩ ,
com deg(x) = deg(y) = 1, deg(z) = 4 e (a, b) ∈ Z2× Z2.
Em particular, quando n = 1, temos z = 0, pois H4(P(1, 1)Z2) = {0}. Assim, H*(P(1, 1)Z2) ∼= Z2[x, y]
⟨x3, y2+ ax2+ bxy⟩,
com deg(x) = deg(y) = 1 e (a, b) ∈ Z2× Z2.
Como Z2 age livremente sobre P(1, n), H*(P(1, n)/Z2) é isomorfo a H*(P(1, n)Z2)
como um anel e obtemos o item (i) do Teorema2.2.
Demonstração do Lema3.2.Se ` = 0, então d30,0= 0, pois im(d30,0) ⊂ E33,−2= {0}. Por hipótese, d30,2(1 ⊗ d) = t3⊗ 1. Para ` = 2, temos d30,4(1 ⊗ d2) = d30,4((1 ⊗ d) · (1 ⊗ d)) = d30,2(1 ⊗ d) · (1 ⊗ d) + (1 ⊗ d) · d30,2(1 ⊗ d) = (t3⊗ 1) · (1 ⊗ d) + (1 ⊗ d) · (t3⊗ 1) = 2t3⊗ d = 0. Se ` = 3, então d30,6(1 ⊗ d3) = d30,6((1 ⊗ d) · (1 ⊗ d2)) = d30,2(1 ⊗ d) · (1 ⊗ d2) + (1 ⊗ d) · d30,4(1 ⊗ d2) | {z } 0 = (t3⊗ 1) · (1 ⊗ d2) = t3⊗ d2.
Vamos supor que
d30,2`(1 ⊗ d`) = ( t3⊗ d`−1, se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2), (♣) com 0 ≤ ` < n. Para ` + 1, temos: d30,2(`+1)(1 ⊗ d`+1) = d30,2(`+1)((1 ⊗ d) · (1 ⊗ d`)) = d30,2(1 ⊗ d) · (1 ⊗ d`) + (1 ⊗ d) · d30,2`(1 ⊗ d`). Se ` ≡ 0 (mod 2), então ` + 1 ≡ 1 (mod 2) e
d30,2(`+1)(1 ⊗ d`+1) = (t3⊗ 1) · (1 ⊗ d`) = t3⊗ d`. Se ` ≡ 1 (mod 2), então ` + 1 ≡ 0 (mod 2) e
d30,2(`+1)(1 ⊗ d`+1) = (t3⊗ 1) · (1 ⊗ d`) + (1 ⊗ d) · (t3⊗ d`−1)
= t3⊗ d`+ t3⊗ d`
= 2t3⊗ cd`
Portanto, (♣) vale para todo ` ∈ {0, 1, . . . , n}.
3.2
d
20,1(1 ⊗ c) ̸= 0 e d
20,2(1 ⊗ d) = 0
Neste caso, d20,2`(1 ⊗ d`) = 0, para todo ` ∈ {0, 1, . . . , n}. Se d20,1(1 ⊗ c) = t2⊗ 1, então d0,2`+12 (1 ⊗ (cd`)) = d20,2`+1((1 ⊗ c) · (1 ⊗ d`)) = d20,1(1 ⊗ c) · (1 ⊗ d`) + (1 ⊗ c) · d20,2`(1 ⊗ d`) | {z } 0 = (t2⊗ 1) · (1 ⊗ d`) = t2⊗ d`.Logo, para todo p ≥ 0 e ` ∈ {0, 1, . . . , n}, temos
d2p,2`(tp⊗ d`) = d2p,2`((tp⊗ 1) · (1 ⊗ d`)) = 0
e
d2p,2`+1(tp⊗ (cd`)) = d2p,2`+1((tp⊗ 1) · (1 ⊗ (cd`))) = tp+2⊗ d`̸= 0,
onde tp⊗ d`∈ E2p,2` e tp⊗ (cd`) ∈ E2p,2`+1 são os elementos não nulos. Dessa forma,
d2p,q: E2p,q−→ E2p+2,q−1
é trivial, se q ≡ 0 (mod 2), e um isomorfismo, se q ≡ 1 (mod 2). Sendo assim, E3p,q= ker(d p,q 2 ) im(d2p−2,q+1) = ( E2p,q, se q ≡ 0 (mod 2) e p < 2, {0}, caso contrário.
E30,2n E31,2n 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . E30,2n−2 E1,2n−23 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . E30,2 E1,23 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . E30,0 E1,03 0 0 . . .
Seja s ≥ 3 e suponhamos Es= E3. Como p + s > 1, Esp+s,q+1−s= {0} e, por isso,
dsp,q: Esp,q −→ Esp+s,q+1−s é trivial, para todo q ∈ {0, 1, . . . , 2n + 1}.
Portanto, a sequência colapsa no E3-termo, ou seja, E∞∼= E3. Temos:
Hj(P(1, n)Z2) ∼= Tot(E∞)j= M j=p+q E∞p,q= ( Z2, se 0 ≤ j ≤ 2n + 1, {0}, se j > 2n + 1.
Agora, vamos determinar a estrutura do anel de cohomologia H*(P(1, n)Z2). Seja x= π*(t) ∈ H1(P(1, n)Z2) como na Seção3.1. Então
x̸= 0, x ∈ E∞1,0 e x2∈ E∞2,0= {0}.
O elemento 1 ⊗ d ∈ E20,2 é um cociclo permanente e determina um elemento não nulo z ∈ E∞0,2, que satisfaz
zn+1∈ E∞0,2n+2= {0}. Assim, concluímos que
Tot(E∞) ∼=
Z2[x, z]
⟨x2, zn+1⟩
como uma álgebra graduada comutativa, com deg(x) = 1 e deg(z) = 2. Pelo Teorema1.46, temos
Como H2(P(1, n)Z2) ∼= E∞0,2∼= · · · ∼= E20,2, o homomorfismo i*é um isomorfismo, ou seja, existe um único elemento não nulo z ∈ H2(P(1, n)Z2) tal que i*(z) = d. Dessa forma, z representa z e satisfaz zn+1∈ H2n+2= {0}. Para 1 ≤ j ≤ n, temos
i*(zj) = i*(z)j= dj̸= 0.
Portanto,
H*(P(1, n)Z2) ∼= Z2[x, z] ⟨x2, zn+1⟩,
com deg(x) = 1 e deg(z) = 2. Como Z2age livremente sobre P(1, n), H*(P(1, n)/Z2) é isomorfo
a H*(P(1, n)Z2) como um anel e obtemos o item (ii) do Teorema2.2.
3.3
d
20,1(1 ⊗ c) = 0 e d
20,2(1 ⊗ d) ̸= 0
Lema 3.3. Se d20,2(1 ⊗ d) = t2⊗ c, então para todo ` ∈ {0, 1, . . . , n},
d20,2`(1 ⊗ d`) = ( t2⊗ (cd`−1), se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2). Temos: d20,2`+1(1 ⊗ (cd`)) = d20,2`+1((1 ⊗ c) · (1 ⊗ d`)) = d20,1(1 ⊗ c) | {z } 0 ·(1 ⊗ d`) + (1 ⊗ c) · d0,2`2 (1 ⊗ d`) = (1 ⊗ c) · d20,2`(1 ⊗ d`).
Quando ` ≡ 0 (mod 2), é imediato que d20,2`+1(1 ⊗ (cd`)) = 0, pois d20,2`(1 ⊗ d`) = 0. Se ` ≡ 1 (mod 2), então d0,2`2 (1 ⊗ d`) = t2⊗ (cd`−1) e, consequentemente,
d20,2`+1(1 ⊗ (cd`)) = t2⊗ (c2d`−1) = 0, pois c2= 0 em H*(P(1, n)).
Logo, para todo p ≥ 0 e ` ∈ {0, 1, . . . , n}, temos d2p,2`(tp⊗ d`) = d2p,2`((tp⊗ 1) · (1 ⊗ d`)) = ( tp+2⊗ (cd`−1), se ` ≡ 1 (mod 2), 0, se ` ≡ 0 (mod 2), e d2p,2`+1(tp⊗ (cd`)) = d2p,2`+1((tp⊗ 1) · (1 ⊗ (cd`))) = 0,
onde tp⊗ d`∈ E2p,2` e tp⊗ (cd`) ∈ E2p,2`+1 são os elementos não nulos. Resumidamente, d2p,q: E2p,q−→ E2p+2,q−1
é um isomorfismo, se q ≡ 2 (mod 4), e trivial no restante dos casos. Sendo assim, E3p,q= ker(d p,q 2 ) im(d2p−2,q+1) = ( E2p,q, p< 2, {0}, p ≥ 2, se q ≡ 1 (mod 4), E2p,q, se q ≡ 0 (mod 4) ou q ≡ 3 (mod 4), {0}, se q ≡ 2 (mod 4). Representamos os módulos do E3-termo abaixo:
E0,2n+13 E31,2n+1 E32,2n+1 E33,2n+1 E34,2n+1 . . . 0 0 0 0 0 . . . E0,2n−13 E31,2n−1 0 0 0 . . . E0,2n−23 E31,2n−2 E32,2n−2 E33,2n−2 E34,2n−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . E0,33 E31,3 E32,3 E33,3 E34,3 . . . 0 0 0 0 0 . . . E0,13 E31,1 0 0 0 . . . E0,03 E31,0 E32,0 E33,0 E34,0 . . .
Provaremos que o diferencial
d3p,q : E3p,q −→ E3p+3,q−2
é trivial, para todo q ∈ {0, 1, . . . , 2n + 1}. Os diferenciais d3p,0 e d3p,1 são triviais, por razões dimensionais.
Consideremos q > 1. Então,
q≡ 2 (mod 4) =⇒ E3p,q= {0}, q≡ 0 (mod 4) ou q ≡ 3 (mod 4) =⇒ E3p+3,q−2= {0}.
Diante disso, concluímos que d3p,q= 0, para q ≡ 0 (mod 4), q ≡ 2 (mod 4) e q ≡ 3 (mod 4). Se q ≡ 1 (mod 4), então E3p,q̸= {0}, para p = 0, 1, e E3p+3,q−2̸= {0}, para todo p. Logo, nada podemos afirmar de imediato sobre d3p,q, quando p = 0, 1. Neste caso, é preciso investigar a ação do diferencial sobre o gerador 1 ⊗ (cdq−12 ) ∈ E0,q
3 . Temos: d30,q(1 ⊗ (cdq−12 )) = d0,q 3 ((1 ⊗ c) · (1 ⊗ d q−1 2 )) = d30,1(1 ⊗ c) | {z } 0 ·(1 ⊗ dq−12 ) + (1 ⊗ c) · d0,q−1 3 (1 ⊗ d q−1 2 ) | {z } 0 = 0.
Assim, d30,q= 0, o que implica que d31,q= 0. Portanto, d3= 0 e, consequentemente, E4= E3.
Vamos analisar o que pode ocorrer com o diferencial d4p,q: E4p,q−→ E4p+4,q−3.
Os diferenciais d4p,0, d4p,1e d4p,2 são triviais, por razões dimensionais. Consideremos q > 2. Então,
q≡ 2 (mod 4) =⇒ E4p,q = {0}, q≡ 0 (mod 4) ou q ≡ 1 (mod 4) =⇒ E4p+4,q−3= {0}. Logo, d4p,q= 0, se q ≡ 0 (mod 4), q ≡ 1 (mod 4) e q ≡ 2 (mod 4).
No entanto, quando q ≡ 3 (mod 4), E4p,q ̸= {0} e E4p+4,q−3 ̸= {0}. Em vista disso, devemos avaliar a imagem do diferencial sobre o gerador 1 ⊗ (cdq−12 ) ∈ E0,q
4 .
Em E4não podemos fazer a decomposição
1 ⊗ (cdq−12 ) = (1 ⊗ c) · (1 ⊗ d q−1
2 ),
pois E40,q−1= {0} (q − 1 ≡ 2 (mod 4)). Mas podemos escrever 1 ⊗ (cdq−12 ) = (1 ⊗ (cd)) · (1 ⊗ d
q−3 2 ),
onde 1 ⊗ (cd) ∈ E40,3e 1 ⊗ dq−32 ∈ E0,q−3
4 são os elementos não nulos. Dessa forma,
d40,q(1 ⊗ (cdq−12 )) = d0,3 4 (1 ⊗ (cd)) · (1 ⊗ d q−3 2 ) + (1 ⊗ (cd)) · d0,q−3 4 (1 ⊗ d q−3 2 ) | {z } 0 = d40,3(1 ⊗ (cd)) · (1 ⊗ dq−32 ).
O elemento 1 ⊗ (cd) não se decompõe em E4 e não é possivel determinar o valor de
d0,34 (1 ⊗ (cd)) ∈ E44,0= ⟨t4⊗ 1⟩. Neste caso, devemos considerar as duas possibilidades:
∙ d40,3(1 ⊗ (cd)) ̸= 0 (Subseção3.3.1) ∙ d40,3(1 ⊗ (cd)) = 0 (Subseção3.3.2)
