Sistemas e Sinais (LEIC) Capítulo 10 Transformadas de Fourier

Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 –

Transformadas de Fourier

Carlos Cardeira

Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em

Sinais e Transformadas de Fourier

 SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para

tempo contínuo a definir)

 SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é

um sinal discreto)

 SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT

(tranformada de Fourier para tempo discreto a definir)

 SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é

CTFT

( )

1

, ( )

( )

2

,

( )

( )

x

SinaisContínuos

tempo

C

CTFT x

X

SinaisContínuos

frequência

C

t

tempo x t

X w e

dw

w

frequências X w

x t e

dt

O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundos O domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s

Sinais periódicos

0

2

(

)

( ),

( )

_k

jkw t

x t

p

x t w

p

x t

X e

Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento em série de Fourier

Se o período tender para infinito

2

,

0

( )

( )

p

w

p

x t

X e

X w e

dw

Se p tender para infinito, a série

de Fourier tende para a CTFT

-2p -p 0 p 2p -2w₀ -w₀ 0 w0 2w0 -p 0 p -4w₀ -3w₀ -2w₀ -w₀ 0 w₀ -2w₀ -3w₀ -4w₀ 0 0 2 , 0, ( ) _k jkw t ( ) jwt p w x t X e X w e dw p

Se p tender para infinito, a série

de Fourier tende para a CTFT

 Na CTFT todas as frequências estão representadas.  Os sinais normais terão um espectro da frequência.  Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o

espectro terá amplitude máxima na frequência da sinusoide.

 Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai.  Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a

CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa frequência.

 De um modo geral, o área definida pela CTFT entre

duas frequências está relacionada com a quantidade de energia do sinal nessa gama de frequências.

Exemplo: CTFT de uma

exponencial

, ( )

1

( )

( )

2

( )

2

(

)

t

tempo x t

e

x t

X w e

dw

e

X w

w w

Exemplo: CTFT de um coseno

, ( )

cos(

)

1

( )

( )

cos(

)

2

2

( )

(

)

(

)

t

tempo x t

w t

e

e

x t

X w e

dw

w t

X w

w w

w w

Exemplo: CTFT de um seno

, ( )

sin(

)

1

( )

( )

sin(

)

2

2

( )

(

)

(

)

t

tempo x t

w t

e

e

x t

X w e

dw

w t

j

X w

w w

w w

j

CTFT de sinais reais

Se o sinal é real :

X w X w Já era um resultado conhecido

Mudança de escala

Linearidade

1

2

1

2

( )

( )

( )

y

ax

bx

Y w

aX w

bX w

Reverse …

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

y t

x

t

y t

x

t

X w e

dw

Y w e

dw

u

w

Y w e

dw

X

u e du

X

u e du

Y w

X w

Delta no domínio do tempo

( )

( )

(

)

e se ( )

( ) ?

( )

( )

1

x t

e

X w

w w

x t

t

X w

x t e

dt

O delta de Dirac tem todas as frequências. Se

pegarmos em todas as sinusoides do mundo (ejwt₎

Delta de Dirac como entrada



Como o delta de Dirac representa todas

as frequências, quando se excita um

sistema com um delta de Dirac obtem-se

toda a informação sobre o sistema uma

vez que o excitámos com todas as

Sinais Periódicos



Relação entre a transformada de Fourier e a

Série de Fourier

Exemplo

0

0

( )

1

0

( )

( )

( )

( )

1

1

(1

)

1

t

u t

t

y t

e u t

Y w

e u t e

dt

e e

dt

e

dt

e

jw

jw

Exemplo

( )

(

)

(

)

1

( )

(

)

1

z t

y

t

e u

t

Z w

Y

w

jw

Se fizermos “reverse”, não é necessário recalcular a

Soma das duas …

( )

( )

(

)

1

1

(1

) (1

)

( )

(

)

( )

1

1

(1

)(1

)

2

1

z t

e

y t

y

t

jw

jw

Z w

Y

w

Y w

jw

jw

jw

jw

w

Resposta Impulsiva e Resposta

em Frequência

( )

( )

?

( )

( * )( )

( ) (

)

( )

( )

h t

H w

y t

h x t

h s x t

s ds

x t

e

H w e

h s e

( )

ds

A Resposta em Frequência é a

Tranformada de Fourier da Resposta

Impulsiva.

Exemplo

Calcular a resposta impulsiva de ( ) ( ) ( )

sabendo que a resposta em frequência é 1

( )

1 Resposta:

1 Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de ( )

1 é ( ) t ( ) y t y t x t H w jw H w jw h t e u t 

Exemplo

Calcular a resposta impulsiva de

( ) 3 ( ) 2 ( )

( )

y t

y t

y t

x t





Calculando a RF

Resposta:

( )

?

( )(

)

H w

H w jw

e

3 ( )

H w jw e

2

H w e

( )

e

1

1

( )

(

)

3

2

(2

)(1

)

H w

jw

jw

jw

jw

Factorizando …

(um polinómio do 2º grau pode sempre ser factorizado

em dois termos (ver apêndice B)).

1

( )

2

1

(2

)(1

)

(1

)

(2

) 1

2

1

2

1

0

1;

1

1

1

( )

1

2

A

B

H w

jw

jw

jw

jw

A

jw

B

jw

A

Ajw

B

Bjw

A

B

A B

A

B

B

A

H w

jw

jw

TF inversa …

2

Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de

1

1

( )

1

2

é

( )

( )

H w

jw

jw

h t

e

e

u t

Nota



Quando se resolvem equações

diferenciais sabemos que somos

conduzidos a uma resposta livre, a uma

resposta forçada, etc.



Este método permite resolver qualquer

equação diferencial desde que se saibam

factorizar polinómios, decompor em

Mais simetria

1

( )

( )

2

( )

( )

2

Mudanças de variável:

2

( )

( )

2

(

)

( )

2

(

)

( )

( )

( )

( )

2

(

)

x t

X w e

dw

x t

X w e

dw

x u

X s e ds

x

w

X s e

ds

x

w

X t e

dt

x t

X w

X t

x

w

Exemplos

-a _a /a

x(t)

Exemplo

Exemplo

sin(

)

( )

2

aw

X w

aw

Exemplo

>> plot (w,X) sin( ) ( ) 2 2 sinc sin( ) Nota: sinc( ) aw a X w w aw x x x

Função sinc

>> %% a função sinc(x) retorna

(sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico pode ser obtido por:

>>>> plot (w,2*pi*sinc(a/pi*w)) sin( ) ( ) 2 2 sinc sin( ) Nota: sinc( ) aw a X w w aw x x x

Analogamente

Se considerarmos que um sistema tem como resposta impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seria x(w) (a menos uma simetria e um factor 2pi), pelo que um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real

É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados de um ficheiro já seria possível)

Aproximação usando Delay

-a _a /a

x(w) X(w)

Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da resposta impulsiva para t<0, obtemos uma aproximação melhor.

Mas há casos em que não se pode fazer um delay, por exemplo, sempre que há feedback. -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 8

Exemplo

1 3

( )

1

1 2

jw

H w

jw

jw

Amplitude e fase

H w arctg w arctg w arctg w

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -1.5 -1 -0.5 0

Qual a equação diferencial que

descreve o sistema ?

1 3

1 3

( )

1

1 2

1 3

2

2 ( ) 3 ( )

( )

3 ( )

( )

jw

jw

H w

jw

jw

jw

w

y t

y t

y t

x t

x t







E a resposta impulsiva ?

1 3

( )

1

1 2

1

1 2

1 2

1

1 3

2

1 3

1

1

2

3

2

1

3

2;

1

1

( )

1

( )

2

( )

2

jw

A

B

H w

jw

jw

jw

jw

A

jw

B

jw

jw

A B

A B jw

jw

A B

B

A

A B

A

A

A

B

w

como

x at

X

a

a

h t

e

e

u t

E a resposta a um degrau ?

1

0

( )

0

0

1

( )

2

( )

2

( )

( ) (

)

( )

t

x t

t

h t

e

e

u t

y t

h s x t

s ds

h s ds

Como era de esperar uma vez que o degrau

corresponde ao integral de um impulso. Aplicando o integral da entrada obtemos o integral da saída, uma vez que o sistema é linear.

Exemplo simetria



Cálculo de integrais

que não se saberia

calcular

( )

( )

1

( )

1

1

( )

1

( )

2

(

)

1

2

(

)

1

x t

e u t

X w

jw

se

x t

jt

X w

e u

w

e

dt

e u

w

jt

Mais exemplos de simetria

Produto de sinais

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

(

)

x y t

X w Y w

x t y t

X Y

w

DTFT

: SinaisDiscretos

SinaisContínuosPeriódicos

: SinaisContínuosPeriódicos

SinaisDiscretos

( )

( )

R,

( )

( )

1

, ( )

( )

2

DTFT

InvDTFT

n

x n

w

X w

w

X w

x n e

t

N x n

X w e

dw

Exemplo

1

( )

( )

1

e

X w

x n e

e

e

Módulo

1

( )

1

e

X w

e

DTFT e Série de Fourier

A DTFT é portanto periódica. Se é periódica

pode ser representada por uma série de Fourier: ( ) ( ) jwn n j w n n jkw t k k jkw w jkw k k k k X w x n e X w x n e X w x t X e X w e e ( )

Por isso, se calcularmos os coeficientes da série de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal

pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem à DTFT a menos de uma inversão no tempo.

DFT

Exemplo

1

( )

( )

1

e

X w

x n e

e

e