RESEE 2009/2010 Análise de Curto-Circuitos Simétricos

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RESEE 2009/2010

Análise de Curto-Circuitos Simétricos

(2)

Curto-Circuitos

Conceitos gerais

 Um Curto-Circuito (CC) corresponde a uma alteração estrutural abrupta num Sistema Eléctrico de Energia (SEE), caracterizada pelo estabelecimento de um contacto eléctrico fortuito através de um circuito de baixa impedância entre dois pontos a potenciais

diferentes.  Ocorrem em:

 Barramentos das Subestações, PT, quadros eléctricos, geralmente devido à acção de elementos externos;

 _{Linhas aéreas}_{, devido a sobre-tensões de descargas atmosféricas ou acção de}

elementos externos (aves, ramos de árvores, etc.), ruptura de condutores, isoladores e apoios;

 Cabos subterrâneos, transformadores e máquinas rotativas e aparelhagem de corte, devidos a falhas de isolamento (aquecimento, efeitos mecânicos, envelhecimento, campos eléctricos elevados).

 Tem como consequências:

 Correntes elevadas (substancialmente superiores ás correntes de carga verificadas em condições normais), que se durarem demasiado tempo provocam o

aquecimento dos condutores e a deterioração irreversível do equipamento;

 Correntes elevadas, que provocam esforços electrodinâmicos entre fases dos elementos condutores dos equipamentos (barramentos, enrolamentos, etc.);

 Variações de tensão, com quedas de tensão muito elevadas em algumas fases e por vezes com elevações de tensão em outras.

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Curto-Circuitos

Conceitos gerais

 _{O cálculo de CC é necessário para efeitos de dimensionamento dos} equipamentos da rede:

 Os condutores, isoladores e cabos, devem suportar o aquecimento causado

pela corrente máxima do CC, durante o tempo de actuação das protecções.

 Os suportes, barramentos e enrolamentos, devem suportar os esforços electrodinâmicos para a corrente máxima do CC.

 Os disjuntores, devem ter poder de corte para a corrente máxima do CC.  Os relés, são ajustados para correntes de CC calculadas em diversos

pontos da rede e para diversos tipos de CC.

 Existem vários tipos de CC:

 CC simétricos, envolvendo as três fases com uma impedância de defeito igual em todas as fases. Se a impedância for nula designa-se um CC franco.

 CC assimétricos, são os CC que envolvem apenas uma fase (fase-terra) ou duas fases (fase-fase e fase-fase-terra).

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Curto-Circuitos

Correntes de Curto-circuito: Definições e Características

 _Define-se_{Corrente de Curto-Circuito} _{como a corrente que flui através do} defeito enquanto este persiste.

 Os SEE são projectados de forma a ser possível a limitação dos CC à área mais restrita possível, mediante a utilização de equipamento apropriado que pode ser operado em condições de CC sem sofrer degradação das suas condições físicas.

 A forma de onda da corrente de CC depende do valor da onda de tensão no instante em que ocorre o defeito  ilustração…

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'' _'' _'' _''

arg( )

Z



Z





R



j L



c c c Z  R  j L

   

'' 2 2 '' '' k U I R L



 

Corrente de CC inicial simétrica

 

L

''_´´

X

_''''

tg

R







i(0) Pode desprezar-se

Corrente inicial muito pequena, por ser Z’’ << Z_c

i_DC componente contínua da corrente de CC, tende para zero ao fim de t=5L’’/R’’ (s)

componente estacionária da

corrente de CC, é uma componente periódica simétrica

Esfasamento da tensão

relativamente ao instante do CC

Existe um instante mais desfavorável para ocorrer o CC, em que a corrente i(t) é máxima

Carga

Curto-Circuitos

 



_''



´´´´ _''

( )

0

2 (

)

2 (

)

R t L k k

i t



i



 

I sen

 





e

 



 

I sen

  

t

 

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Curto-Circuitos

i(t)

u(t)

Situação mais desfavorável:

onda de tensão passa por zero no momento de ocorrência do cc (valor máximo da componente contínua)  possível duplicação da corrente de pico em relação à corrente de CC inicial simétrica

Situação mais favorável:

onda de tensão passa pelo valor de pico (max. ou min.) no momento de ocorrência do cc (componente contínua é nula).

A corrente de CC não apresenta componente contínua.

i(t)

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Curto-Circuitos

 _{A presença de uma componente DC na corrente de curto-circuito faz com} que esta apresente características de assimetria nos instantes que se

seguem ao aparecimento do CC.

 No exemplo anterior, a impedância foi considerada como invariante no

tempo. No entanto, as máquinas sincronas e cargas do tipo motor (sincrono ou assíncrono), sendo as principais fontes das correntes de CC,

apresentam um comportamento diferenciado no que respeita à sua indutância interna em diferentes momentos do tempo

 Não se pode assumir uma impedância constante na análise de CC

 Definem-se então três períodos relativos à variação no tempo da componente fundamental da corrente de curto-circuito:

 Período sub-transitório: período inicial durante o qual a corrente de cc diminui rapidamente de valor;

 Período transitório: período seguinte, correspondendo a uma diminuição mais lenta da corrente de cc, até ser atingido o valor permanente desta corrente;

 Período permanente: período em que a corrente de curto-circuito apresenta o seu valor estacionário. Obviamente, este período não será atingido, dado que o tempo total de isolamento do defeito é muito inferior.

(8)

 Para cada um dos três períodos identificados, é decisiva a

contribuição dos alternadores (geradores síncronos) e motores, em resultado das variações das respectivas reactâncias:

 Período sub-transitório: reactância sub-transitória X_k’’  para I_k’’

 Período transitório: reactância transitória X_k’  Período permanente: reactância síncrona X_sk

Sub-transitório (0,02s a 0,05s)

Transitório

(0,05s a 3s) Permanente

Curto-Circuitos

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I_k’’ – Corrente de CC inicial simétrica: valor eficaz da corrente de curto-circuito simétrica

no instante em que ocorre o curto-circuito. À parte dos restantes compontes da rede, o seu valor

édeterminado tendo em consideração as reactâncias sub-trânsitórias das máquinas presentes no sistema.

i_p – Valor de pico da corrente de CC: valor máximo

instantâneo da corrente de cc (depende do instante do ciclo da onda de tensão em que ocorre o cc)

i_dc – Componente contínua da corrente de CC

I_k – Corrente de CC permanente S_k’’ – Potência de CC inicial simétrica S_k´´  3U_n I_k''

Valor eficaz da corrente de cc simétrica que permanece após o desaparecimento da fase trânsitória do fenómeno

2 

I

_k '' 22 k I  (S.I.)

Curto-Circuitos

(10)

CC próximo do alternador

CC afastado do alternador

A corrente de CC inicial simétrica I’’_k é praticamente constante durante o cc. Tal deve-se ao pequeno peso relativo que as máquinas síncronas têm no valor da impedância equivalente.

A componente alternada simétrica da corrente de CC vai diminuindo desde a corrente inicial simétrica de cc até à corrente de cc permanente. Este decrescimento deve-se à variação no tempo da reactância das máquinas síncronas e sua influência na

variação da impedância vista do local de defeito.

Curto-Circuitos

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Curto-Circuitos

Variação no tempo da Corrente de CC

 Para determinar o valor de pico da corrente de cc i_p, multiplica-se o valor máximo da corrente da corrente de cc inicial simétrica por um factor empírico associado à

máxima percentagem de componente contínua previsível:

 Este factor traduz a maior ou menor rapidez de decaimento da componente

contínua e é função da razão R/X vista do local de defeito: ''

2

p k

i



 

I



'' '' 3 1, 02 0,98 R X e      

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Curto-Circuitos Simétricos

Modelo dos componentes do sistema



Componentes que alimentam o CC:



Máquinas síncronas



Máquinas assíncronas



Componentes que limitam os valores das correntes

de CC:



Transformadores



Linhas e cabos



Os modelos de transformadores, linhas, cabos e

cargas são semelhantes aos utilizados nos trânsitos

de potência.

(13)

Curto-Circuitos Simétricos

 As cargas, se passivas, podem ser representadas por impedâncias constantes

 As impedâncias das cargas são muito elevadas em comparação com as impedâncias dos restantes componentes, em alguns modelos de CC

desprezam-se assumindo erros da ordem de 5% (-5% que o valor com carga). Se desprezar apenas a parte activa das cargas os erros serão inferiores a (-1%)

 As cargas reactivas, não passivas (motores de indução), podem contribuir para alimentar o CC no período sub-transitório

S

 

P

jQ

* * * 2 * 2 P jQ S V I VY V V Y Y V      

V

Modelos de cargas 1 Z Y 

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Curto-Circuitos Simétricos

Modelos de máquina síncrona

~

'' '

ou

_s

Z



jX

'' 0 '' ' 0 ' 0 =V =V =V i i i i i i E Z I E Z I E Z I      

• Despreza-se a resistência dos enrolamentos (se não for conhecida)

• Considera-se apenas a frequência fundamental , desprezando-se a freq. dupla • Usa-se um factor empírico  para ter em conta a componente contínua

• Considera-se um regime quase estacionário (admite-se que a corrente simétrica não decresce em amplitude) em cada período (sub-transitório, transitório e simétrico)

• Para disjuntores rápidos (RNT: 1,5 a 2 ciclos) usa-se a reactância sub-transitória • Para disjuntores lentos (Distribuição: 4 a 5 ciclos) usa-se a reactância transitória • Para cálculo de esforços electrodinâmicos usa-se a reactância sub-transitória

p.u. X'' 0,1 - 0,2

X' 0,2 - 0,4 Xs 1,0 - 1,3

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Curto-Circuitos Simétricos

Equivalentes de rede

Alguns comentários:

• Consiste no equivalente de Thévenin que representa a rede para montante • Caracterizado por uma potência de curto circuito S_cc ou corrente de cc I_cc

• S_ccmáximo da rede quando: as cargas são máximas (pontas; Z_carga mínimo), as contribuições de produção são máximas, tensões iniciais mais elevadas, configurações de rede mais emalhadas • S_ccmínima da rede quando : as cargas são mínimas (vazio; Z_carga máximo), o número de grupos ligados é menor, tensões iniciais mais baixas, configurações de rede pouco emalhadas

I_k’’ k k '' k Z '' '' 3 k nk k S  V I '' '' (SI) 3 nk k k c V I Z    '' '' '' '' (pu) (pu) k k k k c I Z c Z S   '' '' (pu) k k S  I Icc_max Icc_min BT (<1 kV) 1,0 0,95 MT (< 35 kV) 1,1 1,0 AT e MAT 1,1 1,0

Valores iniciais da tensão a considerar (parâmetro c) : , 3 b b nk b b nk Bases S V V S I V    Dividindo por S_b Dividindo por I_b

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Curto-Circuitos Simétricos

Linhas, Cabos e transformadores

2 12 12 _ C j Y_sh   12 _ sh Y 12 12 12 1 jX R Y  

• Usa-se o modelo em PI, tal como nos estudos de trânsitos de potência

• Nas linhas aéreas de MT AT e MAT pode desprezar-se R e Y_sh, com erros inferiores a 1% (obtêm-se +1% que com os modelos completos). Em BT ou em redes com cabos já tem importância (fundamental se R>>X, que é o caso da BT).

• Usualmente os cabos limitam menos as CC que as linhas, por terem reactância X mais baixa (mas depende do tipo de montagem dos cabos)

• Nos transformadores existem componentes longitudinais que são uma componente de

reactância de fugas X_f e uma resistência pequena que pode ser desprezada. As componentes transversais são a resistências de perdas no ferro (desprezável) e reactância de magnetização que é na maior parte dos transformadores muito elevada.

• Para CC assimétricos é necessário ter em conta a configuração de enrolamentos do transformador, como veremos mais tarde.

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Curto-Circuitos Simétricos

Modelo de máquina assíncrona

• Funciona geralmente como motor, mas nos instantes iniciais do CC passa a funcionar como gerador.

• Durante o CC deixa de receber a energia reactiva da rede, que necessita para a excitação, diminuindo rapidamente o fluxo magnético, contribuindo para o CC

apenas durante o período sub-transitório (2 a 4 ciclos).

• A contribuição de corrente para o CC é praticamente igual à corrente de arranque como motor

~

''

jX

'' 0 '' =V i i E Z I

(18)

Curto-Circuitos Simétricos

Metodologia de geral de cálculo

 _Objectivo:

 _{Cálculo da corrente de CC inicial simétrica no nó de defeito}  Cálculo das tensões pós defeito em todos os nós

 _{Cálculo das correntes pós-defeito em todos os ramos}

 _{Pressupostos:}

 _{A rede é equilibrada e simétrica, antes e após o defeito, as fontes}

geram sistemas trifásicos equilibrados de f.e.m., e os defeito é também simétrico, pelo que se pode fazer uma análise por fase

 Os parâmetros dos componentes são constantes, correspondendo ao

período sub-transitório

 _{A simulação de defeito consiste na introdução de uma impedância de}

defeito Z_d entre o nó de CC e a referência do circuito

 Assim, a análise de CC resume-se ao estudo em regime permanente

(19)

Curto-Circuitos Simétricos

Metodologia geral cálculo

Exemplo ilustrativo

~

50 MVA 10 kV X '' 20% 10% f x  45 j  10 MVA cos 0,8 ind 30 MVA cos 0,8 ind 1 2 50 MVA b S  10 kV bG V  Re 150 kV b de V 

Converter para sistema pu

CC trifásico simétrico franco no barramento 2 2 150 kV V  2 1 . . V  p u

(20)

Curto-Circuitos Simétricos

~

0 0, 79/ 36.2º G I   0,1 j 1 2

Passo 1 – Cálculo dos valores pré-defeito de tensões e correntes usando um trânsito de potências

0 1 1, 037/ 2, 7º V  0 1 0,19/ 34.2º C I   IC02 0, 60/ 36.9º 0 2 1, 000/ 0º V  0 12 0, 60/ 36.9º I  

(21)

Curto-Circuitos Simétricos

Passo 2 – Construção do diagrama unifilar da rede

~

0,1 j 1 2 1 4,32 3, 24 C Z   j Z_C₂ 1,34 j1, 00 '' 0, 2 jX  j 0,1 f jX  j G E 2 0 1 1 1 1 C C C V Z P jQ  

(22)

Curto-Circuitos Simétricos

Passo 3 – Aplicar o teorema de Thévenin no nó de defeito, para simular a introdução de um novo ramo no circuito (“o ramo do CC”)

0,1 j 1 2 1 C Z

0

d

Z



'' 0, 2 jX  j 0,1 f jX  j 2 C Z

~

0 2 1, 000/ 0º T E V 

1. Aplicar uma f.e.m. de Thévenin E_T no nó de CC,

correspondente ao valor pré-defeito da tensão nesse ponto 2. Colocar em série com a f.e.m. a impedância de defeito Zd 3. As restantes fontes de tensão são curto-circuitadas, sendo

substituídas pela respectiva impedância interna

1

2 3

(23)

Curto-Circuitos Simétricos

0,1 j 1 1 C Z d

Z

'' jX f jX 2 C Z

~

0 2 1, 000/ 0º T E V 

Passo 4 – Com base no teorema de Thévenin, resolver o circuito

calculando as variações de tensão e variações de corrente devidas à introdução do ramo de CC. 1 0, 743/179,3º T V  1 0,14/142.4º T C I  '' 2 2 T T d V  E Z I 2 0, 60/143,1º T C I  '' 2 2,97/ 79, 6º I   2, 48/ 269.3º T G I  12 2,56/ 88, 7º T I   0 '' ₂ 2 eq d

V

I

Z





A corrente de CC inicial simétrica fica calculada neste passo, porque a variação é igual ao valor final (não existia corrente inicial por não existir o ramo de CC).

'' 2 2 T eq V  Z I

(24)

Curto-Circuitos Simétricos

0,1 j 1

d

Z

Passo 5 – Segundo o teorema da sobreposição, o valor das correntes e tensões finais pode ser obtida pela soma algébrica dos valores pré-defeito com os valores de variação causada pela f.e.m. E_T do ramo do CC.

1 0, 298/11º f V  3, 01/ 78,3º f G I   2 0, 000/ 0º f V  '' 2 2,97/ 79, 6º I   1 0, 06/ 25, 6º f C I   12 2,97/ 79, 6º f I  

~

2 0, 0/ 0, 0º f C I  1 C Z Z_C₂ 0 f T

I



I



I

0 f T

V



V



V

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Curto-Circuitos Simétricos

 Análise de resultados do exemplo radial

 As tensões pós-defeito são muito baixas no ponto de CC,

aumentando para nós próximos dos geradores

 As correntes pós-defeito são predominantemente indutivas, em

atraso cerca de 90º relativamente às tensões (trânsitos de reactiva dos geradores para o defeito)

 A corrente das cargas pós-defeito diminui muito, especialmente

junto do ponto de CC, pelo que é aceitável desprezar as cargas já que estas pouco significam no cálculo do equivalente te Thévenin.

 A corrente nos ramos aumenta muito relativamente ao valor inicial,

pelo que é aceitável considerar o sistema inicial em vazio, evitando o cálculo do trânsito de potências inicial.

(26)

Curto-Circuitos Simétricos

Metodologia sistemática para cálculo computacional

 _{SEE genérico com n nós, sendo k o nó onde se pretende simular a}

ocorrência de um cc trifásico simétrico

(27)

Curto-Circuitos Simétricos

 Vectores (dimensão: n) referentes aos valores das tensões nodais:  Vector das tensões nodais pré-defeito: obtido mediante a resolução de um problema

de trânsito de potências para as condições de exploração do sistema antes da ocorrência do defeito

 Vector das variações das tensões nodais (tensões de Thévenin): calculado por aplicação do Teorema de Thévenin. Para tal considera-se o esquema unifilar da rede, utilizando os modelos dos diversos componentes referentes aos estudos de cc, com todas as fontes de tensão curto-circuitadas e substituidas pelas respectivas impedâncias internas.

Em série com a impedância de defeito Z_d ligada entre o nó k e o nó de referência, considera-se uma fonte de tensão com f.e.m

1 T T T k T n V V V V                    0 1 0 0 0 k n V V _V V                    Zd ~ ET_=V k0 k ET_=V k0

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Curto-Circuitos Simétricos

 Vectores (dimensão: n) referentes aos valores das tensões nodais:  Vector das tensões nodais pós-defeito: por aplicação do teorema da sobreposição,

pode calcular-se o vector das tensões nodais pós-defeito

1 f f f k f n V V _V V                   

0 f

T

V



V



V

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Curto-Circuitos Simétricos

Formulação matricial usando a matriz das impedâncias do diagrama unifilar da rede de Thévenin: cálculo das tensões de Thévenin (variação da tensão nos nós) 1 ₁ ₁ ₁ 1 1 0 0 T k k n T '' k kk kn k k T _n _nk _nn n V _Z _Z _Z Z Z Z V I Z Z Z V   _ _ _ _   _ _ _ _   _ _ _ _   _ _ _ _ _    _ _ _ _   _ _ _ _   _ _ _ _  _{ } _{ } _   Zd ~ ET_=V k0 kk Z VTk  Zkk I''k Na diagonal i:

Impedância equivalente Z_eq a montante do nó i

Fora da diagonal ik:

Impedância que relaciona o efeito da corrente

injectada no nó k com a variação da tensão no nó i

'' k I '' k I Zd k '' k I T T '' k kk k kk k '' k V V Z I Z I       T T '' i ik k ik i _'' k V V Z I Z I      

(30)

Curto-Circuitos Simétricos

0 0 0 1 1 1 1 1 1 ₁ 0 0 0 0 0

0

f T '' k k k f T '' kk _kk k k k k k k T f _nk n n n n

V

_Z

V

Z

I

Z

V

Z

V

I

Z

V



 



_

_

_

_

_

_



 



_

_

_

_



 



_

_

_

_



 

_

 

_

 

_



_

_

_

_

_

_









 



_

_

_

_



 



_

_

_

_



 



_

_

_

_



 

_

 

_{ }

 

_{ }

_{ }

_

_{ }

_





0 '' k '' nk k n

I

V

Z

I































_

_







Cálculo das tensões pós-defeito

0 '' k k kk d

V

I

Z





Tensões pré-defeito Tensões de Thévenin

(variações das tensões nodais) Tensões pós-defeito Corrente de CC Inicial simétrica Só a coluna do nó de defeito Zd k '' k I f '' k d k V  Z I

(31)

Curto-Circuitos Simétricos

Etapa 1: Condições de operação pré-defeito (p.u.)

0

i

V

1) Resolução do trânsito de potências: Etapa 2: Variações provocadas pelo defeito (p.u.)

   

Y  Z

2.1) Construção do esquema unifilar do equivalente de Thévenin (em p.u.) 2.2) Construção da matriz das impedâncias nodais:

2.3) Cálculo da corrente de defeito: '' 0





k k kk

I V Z Zd

Etapa 3: Condições de operação pós-defeito (p.u.)

0 0 f T '' ik k i i i i V V V V Z .I f '' d k k V Z .I







2



f f f f sh _ ij ij i j ij i I  V V z V  Y /



0



0 0 0 f T i i f T i g g g g _'' g _'' g g V V V I I I I I jx jx        

3.1) Cálculo da tensão nos nós:

3.2) Cálculo da corrente nos ramos:

3.3) Cálculo das contribuições de geradores e equivalentes de rede:

(32)

Curto-Circuitos Simétricos

Exemplo

~

X_g '' fT x 12 12 12 z  r  jx 2 2 P  jQ 1 2

Converter para sistema pu

CC trifásico simétrico franco no barramento 2 cc S _12 sh

y

2 2 P  jQ

(33)

Curto-Circuitos Simétricos

~

0

R

I

Passo 1 – Cálculo dos valores pré-defeito de tensões e correntes usando um trânsito de potências

0 1

V

0 1 C

I

0C2 0 2

V

0 12

I

021 0 g I

(34)

Curto-Circuitos Simétricos

Construção do diagrama unifilar da rede

~

1 2 '' g

jX

fT jX G E 1 1 1 2 0 1 C C C P jQ Y V   '' 1,1 1,1 R CC CC jX j j S Q   2 2 2 ₀ 2 2 C C C P jQ Y V   12 _12 ₂ sh j C y   12 12 12 1 y r jx   12 _12 ₂ sh j C y  

~

1,1 (p.u.)

(35)

Curto-Circuitos Simétricos

1 1 1 ₀2 1 C C C P jQ Y V  

Diagrama unifilar equivalente de Thévenin

Construção da matriz [Y] equivalente de Thévenin

'' g

jX

fT jX '' R jX

 

j B

j



























12 12 1 _12 2 '' ₀ 2 2 1 1 _C sh g fT Q x y X X _V r x       12 _12 ₂ sh j C y   _{_12} 12 2 sh j C y   12 12 2 2 '' ₀ _{_12} 2 2 2 1 _C sh R Q x y X _V r x      12 12 2 2 x r x 12 12 2 2 x r  x

     

Y



G



j B

2 2 2 2 12 12 12 12 12 r x y j r x r jx     2 2 2 ₀ 2 2 C C C P jQ Y V  

(36)

Curto-Circuitos Simétricos

Diagrama unifilar equivalente de Thévenin

'' g

jX

fT jX '' R jX

 

G



























12 12 1 12 2 2 2 0 1 C P r r x V   12 _12 ₂ sh j C y   _{_12} 12 2 sh j C y   12 12 2 2 2 2 0 1 C P r r x V   12 12 2 2 r r x   12 12 2 2 r r x  

     

Y



G



j B

Geralmente é possível desprezar [G] (erros inferiores a 1%) 1 1 1 ₀2 1 C C C P jQ Y V   2 2 2 2 12 12 12 12 12 r x y j r x r jx     2 2 2 ₀ 2 2 C C C P jQ Y V  

(37)

Curto-Circuitos Simétricos

 Pode ser obtida por inversão de [Y], trabalhando com complexos.

 Ou mais fácil: invertendo matrizes reais:

 Pode ser obtida por construção directa adicionando sistematicamente os nós e ramos da rede

Inversão da matriz [Y] para obter a matriz [Z]

   

1 G B B G    _   

 

Re Im Im Re Z Z Z Z   _   

     

Y



G



j B

(38)

Curto-Circuitos Simétricos

0 0 1 1 1 1 ₁ 0 0 0 0 0 0 f '' k k k f '' '' kk _kk _k k k k k '' f _nk nk k n n n V V _Z V Z I Z V V Z I V I Z V V Z I V     _ _ _ _  _ _      _ _ _ _       _ _ _ _     _  _ _ _ _ _ _          _ _ _ _       _ _ _ _       _ _ _ _     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   d Z 1 f V 2 f V '' 2

I

~

1 C Z ZC2 Tensões pós-defeito 0 '' k k kk d V I Z Z   Corrente de CC

(39)

Curto-Circuitos Simétricos

1 d Z 1 f V f G I 2 f V '' 2

I

1 f C I 12 f I

~

2 f C I 1 C Z ZC2 Correntes Pós-defeito f R I 12 f I



1 2



₁₂ 12 1 12 2 f f sh _ f V V f y I V z  _ _   _ _   0 0 1 1 f f g g _'' g fT V V I I jX jX     Cálculo da corrente nos ramos:

Cálculo das contribuições do gerador e rede (é necessário usar valores iniciais de corrente)

Cálculo das correntes nas cargas 0 0 2 2 f f R R _'' R V V I I jX    0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 f T f C C C C C V V V I I I Z Z      



2 1



₁₂ 21 2 12 2 f f sh _ f V V f y I V z  _ _   _ _   12 12 12 z  r  jx

(40)

Curto-Circuitos Simétricos

Construção da matriz das impedâncias

Construção da matriz das impedâncias a partir da matriz de admitâncias

1 11 1 1 1 1 k n k kk kn n nk nn Y Y Y Y Y Y Y Y Y                  _ _ arg _ arg _ 2 '' _ ₀ _ _ _ _ _ _ 1 1 2 sh linha ik c a i c a i ii _{linha ik}

k k eq gerador i f transformador i eq rede i i y _P _jQ Y y jX jX Z V       



Fora da diagonal (linhas e transformadores):

(

)

ik _ik

Y

 

y

i



k

Na diagonal principal: Linhas e transformadores ligadas ao nó Cargas

Grupos geradores Equivalentes de rede

Invertendo complexas com matrizes reais:

     

Y  G  j B 11 1 1 1 1 k n k kk kn n nk nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z                                1 Re Z Im Z G B Im Z Re Z B G       _  _         

(41)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{Construção directa da matriz das impedâncias}

 _{Em sistemas de grandes dimensões (milhares de nós), o processo de}

inversão de uma matriz é numericamente ineficiente

 _{Por cada alteração topológica no sistema, é necessário repetir o}

processo de inversão da matriz de admitâncias

1 V 2 V 3 V 1 I



2 I  3 I  1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 1 2 3

(42)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{Algoritmo de construção directa da matriz Z}

 Passo 1: considerar apenas os ramos da rede estabelecidos entre

qualquer um dos seus nós e o nó de referência (terra)  No exemplo apresentado, têm-se os ramos com Z₄ e Z₅

1 V 2 V 3 V 1 I



2 I  3 I  1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 1 2 3

 Para os ramos identificados, podem-se escrever as seguintes equações:

5 1 5 1 1 1 4 4 2 2 2 2 Z V Z I V Z 0 I V 0 Z V Z I I            _ _{  } _{  }       

 Regra: identificados os k ramos do

sistema estabelecidos entre qualquer um dos seus nós e o nó de referência,

construir matriz diagonal de dimensão (kxk), tendo em cada posição da

respectiva diagonal principal a impedância de cada um dos ramos

(43)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{Passo 2}_{: identificar o ramo da rede que se estabelece entre um dos}

nós presentes na equação matricial do Passo 1 e outro nó ainda não considerado

 _{A impedância Z}₂ _{liga o nó 2 a um novo nó (nó 3)}

1 V 2 V 3 V 1 I



2 I  3 I  1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 1 2 3

 Para esta situação, podem-se escrever as seguintes equações:



2 3



3 2 4 2 3 2 5 1 1 V V Z I V Z I I V Z I     _ _   _ 

 O conjunto de equações do Passo 1 completa-se da seguinte forma

  5 1 1 1 5 1 4 2 3 4 4 2 2 2 4 2 4 3 3 2 3 3 2 V Z I V Z 0 0 I V Z I I V 0 Z Z I V 0 Z Z Z I V V Z I   _{  } _{  }  _ _ _   _     _{  } _{  }  _ _ _{  }_{  } _ _{  }_{  } 

(44)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{De uma forma geral, a ligação de um ramo de impedância}

Z

_r _{entre o}

nó k+1 (nó novo)e o nó j (já existente) conduz à seguinte equação:

 Genericamente

 Substituindo na equação anterior:



r jj



k 1 k 1 j V _ V  Z  Z I _ j SEE k+1 Z_r k 1 I _  j1 1 jj j jk k j V  Z I  ... Z I  ... Z I





j1 1 jj j jk k r jj k 1 k 1 V _  Z I  ... Z I  ... Z I  Z  Z I _ j V jj Z r Z k 1 I _ Equivalente de Thévenin no nó j k 1 V _

(45)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{Actualização do valor da tensão no nó i pertencente ao grupo de nós}

1…k já existentes j SEE k+1 Z_r k 1 I _  i j SEE k 1 I _  i Equivalente de Norton

O SEE fica então reduzido ao sistema já existente, onde

aparece uma nova injecção de corrente no nó k: Ik 1 11 1i 1 j 1k 1 1 i1 ii ij ik i i j1 ji jj jk j k 1 j k 1 ki kj kk k k Z Z Z Z V I Z Z Z Z V I Z Z Z Z V I I Z Z Z Z V I                              _ _             _                  _ _    

(46)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{Actualização da matriz de impedâncias para incluir o nó k+1}

j SEE k+1 Z_r k 1 I _ 

 

1 j 1 1 old kj k k j1 jk r jj k 1 k 1 Z V I Z Z V I Z Z Z Z V _ I _                 _ _            _    _{ } _    

(47)

Curto-Circuitos Simétricos

 _{Passo 3}_{: identificar o ramo da rede que se estabelece entre dois nós}

já incluídos na estrutura topológica da rede (ou seja, já incluídos na matriz de impedâncias)

 _{A impedância Z}₃ _{liga o nó 1 ao nó 3: criação de uma malha com} corrente de circulação I_L 1 V 2 V 3 V 1 I



2 I  3 I  1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 1 2 3 I_L

(48)

Curto-Circuitos Simétricos

i SEE Z_r j I_L 1i 1 j 1 1 1 1 ii ij i L i i i old old j L j j j k k k k Z Z V I V I Z Z V I I V I Z Z Z V I I V I V I V I     _   _ _     _ _     _ _     _ _     _ _     _ _     _ _      _ _            _ _  _    _ _     _ _     _ _     _ _     _ _     _ _     _ _         _ _   _{ }   _ _   _ _     _{ }

      

L ji jj ki kj A L old I Z Z Z V Z I A I          _               r L i j

V



V



Z I



0

(49)

Curto-Circuitos Simétricos



 





 





i1 ik ii ij L i j1 jk ji jj L j V Z Z I Z Z I V Z Z I Z Z I       _ _   i V

 Da equação matricial podem ser derivados os valores da tensões e

 A equação da malha definida pela introdução do novo ramo de

impedância Z_rpode ser reescrita, de forma a poder calcular a corrente de circulação nessa mesma malha:

j V   





 





 





    r L i j i1 ik ii ij L j1 jk ji jj L r L i1 j1 ik jk ij ii jj r L L i1 j1 ik jk ij ii jj r B V V Z I 0 Z Z I Z Z I Z Z I Z Z I Z I 0 Z Z Z Z I 2Z Z Z Z I 0 1 I Z Z Z Z I 2Z Z Z Z        _ _                    _   _   

(50)

Curto-Circuitos Simétricos

 Modificações sobre a matriz de impedâncias

      

        

      

 

  

L old old ij ii jj r old ij ii jj r V Z I A I 1 V Z I A B I 2Z Z Z Z 1 V Z A B I 2Z Z Z Z A k 1 B 1 k A B k k           __  __           

 

1i 1 j ii ij ji jj ki kj Z Z Z Z A Z Z Z Z             _              B Zi1Zj1 Zik Zjk