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Conceito de Simetria em Livros Didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental

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Conceito de Simetria em Livros Didáticos de Matemática para o

Ensino Fundamental

Cláudio Roberto Cavalcanti da Fonseca1

Resumo

O propósito deste trabalho é apresentar o projeto de pesquisa de mestrado cujo tema está ligado ao conceito de simetria. A investigação deste conceito dar-se-á nos livros didáticos de matemática aprovados no Programa Nacional do Livro Didático 2010, do 1º ao 5º ano do ensino fundamental, pelo fato de o livro didático ser uma importante fonte de consulta para professores e muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos.

Será considerado o conceito matemático e discussão do significado atribuído nos textos dos livros didáticos que serão investigados.

O percurso metodológico utilizado está de acordo com Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornecendo subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas: preparação das informações; categorização e análise.

Palavras chave: matemática, conceito, simetria, livro didático.

Justificativa

Este trabalho trata de alguns aspectos relativos ao conteúdo simetria nos livros didáticos de matemática. Algumas questões são abordadas, tais como: se o conceito de simetria ocupa um lugar privilegiado no conhecimento científico; se as recomendações curriculares nacionais referem-se ao conceito de simetria e de que modo; se as matrizes de avaliações institucionais, como o ENEM, o SAEB, a Prova Brasil ou o PISA, referem-se ao conceito de simetria e que papel os livros didáticos ocupam no ensino escolar atual.

Na Matemática, como se sabe, é reservado um lugar de inegável importância à geometria e não se concebe um bom ensino sem que se dedique uma atenção privilegiada a esse campo do saber matemático (Carvalho & Lima, 2010).

Ainda com a preocupação de contribuir para a melhoria do ensino da geometria na educação básica, por ser fundamental na construção dos saberes matemáticos. E considerando também que estamos inseridos num mundo de formas, as ideias geométricas aparecem ao nosso redor, seja na natureza, arquitetura, artes e em diversas áreas do conhecimento. A partir dessas considerações gerou-se um norte para o problema seguinte:

1

Mestrando em Educação Matemática e Tecnológica pela UFPE, Recife – PE. e-mail: claudiorcf@yahoo.com.br ou claudiorcf@hotmail.com

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Problema

Como é abordado o conceito de simetria nos livros didáticos de matemática para o ensino fundamental aprovados no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano do ensino fundamental.

Objetivos: Objetivo Geral

Investigar, nos livros didáticos de Matemática aprovados no PNLD 2010, a abordagem do conceito de simetria.

Objetivos Específicos

 Identificar que tipos de simetria são abordados nos livros citados.

 Investigar quais são e como são tratados os elementos constitutivos do conceito

matemático de simetria.

 Investigar como se distribuem, em cada livro e ao longo das coleções, os textos

que tratam do conceito de simetria.

Algumas ideias sobre livros didáticos

Considerando que o livro didático é uma importante fonte de consulta para muitos professores e, muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos, diversos pesquisadores, especialmente os que trabalham com instrumentos de ensino e aprendizagem, apontam várias concepções sobre esses recursos didáticos.

Segundo Molina (1988, p. 17), um livro didático é uma obra escrita (ou organizada, como acontece tantas vezes), com a finalidade específica de ser utilizada numa situação didática, o que a torna, em geral, anômala em outras situações. Parece que para esse pesquisador, o livro didático é um material único e exclusivamente usado em sala de aula.

Segundo Rojo (2005, p. 3), o conceito de livro didático proposto por Molina implica uma sala de aula regida basicamente pelo manual, pelo livro didático.

Goldberg (1983, p. 7) considera que o livro didático tem a intenção de fazer com que o aluno aprenda, razão pela qual apresenta conteúdos selecionados, simplificados e sequenciados.

Esses estudos, assim, apontam para a relevância do livro didático no ensino escolar, considerando evidentemente que a referência do Guia do Programa Nacional do Livro

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3 Didático (PNLD) é de suma importância, pois atendem a uma rigorosa avaliação para sua adequação como instrumento de ensino e aprendizagem.

De acordo Guia do PNLD:

O livro didático é um importante material de apoio ao processo de ensino e aprendizagem, pois contribui, ao mesmo tempo, para o trabalho do professor e para o estudo do aluno. Embora a prática pedagógica do professor envolva diversas dimensões, como sua pesquisa constante para o aprimoramento de seu trabalho em sala de aula, um livro didático com textos adequados, ilustrações pertinentes e informações atualizadas auxilia no planejamento de ensino. Para que suas possibilidades sejam aproveitadas ao máximo, o livro didático deve estar adequado às necessidades da escola, do aluno e do professor.

Convém acrescentar que no ensino fundamental em nosso país, em especial, a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (Brasil, 1997 e 1998), ganhou corpo a ideia de que os conceitos matemáticos são adquiridos ao longo de um extenso período de aprendizagem. Decorre dessa concepção, entre outras consequências, a de que o ensino deve adotar o que se convencionou chamar de “abordagem em espiral”, em que muitos tópicos matemáticos são estudados desde o início da escolaridade e retomados, nos anos seguintes, em graus crescentes de abrangência e de complexidade.

Conforme os PCN os conteúdos de natureza conceitual, que envolvem a abordagem de conceitos, fatos e princípios, referem-se à construção ativa das capacidades intelectuais para operar com símbolos, signos, ideias, imagens que permitem representar a realidade.

O Conceito de Simetria

A simetria é um dos princípios básicos na formulação de modelos matemáticos para os fenômenos naturais, além de sua ligação com as artes. A sua ideia é uma das mais ricas na matemática e está associada às transformações geométricas, designadamente às

isometrias2, fato que justifica o seu estudo já no ensino fundamental.

No ensino escolar atual o termo simetria, na maioria das vezes, é tomado como sinônimo de simetria de reflexão. Contudo, no plano há quatro tipos de transformações que preservam distâncias, isto é, há quatro tipos de isometrias: reflexão, translação, rotação e reflexão seguida de translação. Cada uma dessas isometrias gera figuras simétricas a outras figuras e também figuras simétricas a si mesmo.

2 Uma isometria entre os planos ∏ e ∏’ é uma função T: ∏ → ∏’ que preserva distâncias. Isto significa que, para quaisquer pontos , ∏, pondo e , tem-se (Lima, E.L., 1996, p. 13)

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Podemos demonstrar que toda isometria é uma bijeção, cuja inversa

é ainda uma isometria3

. Vejamos alguns exemplos de isometrias:

Reflexão em torno de uma reta – Seja uma reta no plano ∏. A reflexão em torno da

reta é a função assim definida: para todo e, ,

é tal que a mediatriz do segmento é a reta . ( é o pé da perpendicular baixada de sobre )

Translação – Sejam e pontos distintos do plano . A translação é a

função assim definida: dado , sua imagem é o quarto vértice do

paralelogramo que tem e como lados.

Esta definição de se aplica apenas quando , e não são colineares. Pois,

caso contrário, teremos uma isometria na reta.

Rotação – Sejam um ponto tomado no plano e um ângulo de vértice .

A rotação do ângulo em torno do ponto é a função assim definida:

e, para todo em , é o ponto do plano ∏ tal que

4, e o sentido de rotação de para é o mesmo para

. ( )

3

A prova encontra-se em Lima, E.L., 1996, p. 15. 4 Distância euclidiana.

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Reflexão seguida de translação (ou reflexão com deslizamento) – Sejam um

vetor não-nulo uma reta paralela a no plano .

A reflexão com deslizamento, determinada pelo vetor e pela reta , é a isometria

, obtida fazendo a translação seguida da reflexão . A reflexão

com deslizamento, como a translação não possui ponto fixo. Tanto faz transladarmos

e depois refletirmos a figura como refletirmos e depois transladarmos. O quadro a seguir resume de forma mais simples as isometrias:

Isometria Figura Pontos

Fixos

Orientação

do Plano5

Reflexão em torno de uma reta (produzir sua imagem no “espelho”)

Infinitos Inverte

Translação (mover sem girar ou

refletir) Nenhum Preserva

5

Para cada ponto da figura original existe um correspondente ponto na figura transformada. Considere que o ponto se movimente sobre a figura original. À medida que o ponto percorre a figura original, o seu correspondente , percorre a figura transformada. Dizemos que uma isometria preserva a orientação do plano quando o ponto percorre a figura transformada mantendo o mesmo sentido de percurso determinado pelo ponto , ao percorrer a figura original.

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Rotação (girar ao redor de um ponto) Um Preserva

Reflexão seguida de translação (combinar uma reflexão com uma translação)

Nenhum Inverte

A ação de uma isometria T sobre uma figura produz uma figura , que se

diz isométrica a (ou simétrica a ).

Por exemplo: Translação

Quando a figura obtida pela ação da isometria T sobre é igual a dizemos que

é simétrica a si mesma em relação à isometria .

Por exemplo: Rotação em torno de um ponto.

, e . E considerando que a figura

, temos que é invariante pela rotação de 90° em torno do ponto

. Obtemos então uma simetria de rotação. Verificamos também que a figura tem simetria relativa às rotações de

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7 Se considerarmos, analogamente, a rotação no sentido horário, representado pelo ângulo , a figura terá então, simetria em relação às rotações de

Concluímos que o conceito de simetria se fundamenta no conceito de:

 Isometria;

 Invariância de uma figura por isometrias.

Então, podemos dizer que uma figura é simétrica relativamente a uma transformação

isométrica , se a figura é invariante por , isto é, a transformação aplicada à figura tem como imagem a própria figura .

O conceito matemático de simetria aqui discutido será utilizado na investigação do significado atribuído nos textos dos livros que serão investigados.

Devemos tratar com cautela as atividades que apresentam inadequações conceituais e que podem dificultar a aprendizagem dos alunos.

Considerando as orientações sobre o ensino de simetria, destacamos nos PCN que:

Os estudos das transformações isométricas (transformações do plano euclidiano que conservam comprimento, ângulos e ordem de pontos alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções de congruência. As principais isometrias são: reflexão numa reta (ou simetria axial), translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria central), identidade. Desse modo as transformações que conservam propriedades métricas podem servir de apoio não apenas para o desenvolvimento do conceito de congruências de figuras planas, mas também para a compreensão das propriedades destas.

E, de acordo com Carvalho & Lima, (2011):

No ensino da simetria de reflexão nos anos iniciais da escolaridade tem sido propostas atividades apropriadas para a introdução do conceito de simetria. Elas incluem, entre outras:

 Produzir figuras simétricas por meio de dobraduras em papel. Uma das modalidades é dobrar uma folha, uma ou mais vezes, e efetuar cortes de papel dobrado. Ao desdobrá-lo teremos no papel uma figura, vazada, com simetria de reflexão em torno do eixo constituído pelo vinco no papel. Outra maneira é espalhar tinta num papel e dobrá-lo em dois. Ao desdobrá-lo teremos uma figura simétrica em relação ao vinco no papel;

 Fornecer uma parte de uma figura e um eixo de simetria em malha quadriculada e solicitar do aluno completar a figura por simetria;

 Identificar um ou mais eixos de simetria em figuras geométricas desenhadas. Algumas vezes, escolhem-se letras do alfabeto para estas atividades.

Percurso Metodológico

A metodologia descrita por Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornece subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas:

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 preparação das informações

Na preparação das informações, irei utilizar as coleções aprovadas no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano, como se segue:

Título Autoria Editora

A escola é nossa Vieira, F. & Pessoa K. Scipione

Projeto Buriti Gastaldi, M. R. & Gay, M. R. G. Moderna

Ler o Mundo Aidar, M. Scipione

Hoje é dia de Matemática

Tosatto, C. M. & Peracchi, E. F. & Tosatto,

C. C. Positivo

Projeto Conviver Milani, E. & Imenes, L. M & Lellis, M. Moderna

Ponto de partida Cerullo, M. I. & Shirahige, M. T. & Chacur,

R. Sarandi

Asas para voar Souza, M. H. & Spinelli, W. Ática

Pode contar comigo Bonjorno, J. R. & Azenha, R. & Gusmão, T. FTD

Fazendo e

compreendendo Sanchez, L. B. & Liberman, M. P. Saraiva

Linguagens da

Matemática Reame, E. & Montenegro, P. Saraiva

Projeto Pitanguá Barroso, J. M. & Corá, A. Moderna

Pendendo Sempre Luiz Roberto Dante Ática

Porta aberta Centurión, M. & Rodrigues, A & Neto, M. FTD

 categorização ou escolha das categorias de análise dos dados

As categorias de análise a serem obtidas se originarão pelo processo dinâmico entre o quadro teórico adotado na pesquisa e as coletas de dados nos livros didáticos.

 análise

Referências

ALBUQUERQUE, A. G. A ideia de semelhança nas associações da geometria em livros didáticos de matemática para o ensino fundamental, 2011.

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9 BALDY, R. DE L‟espace Du Dessin A Celui De L‟objet. Une A Activité De Mises Em Correspondences Entre Des Dessins Em Perspective Cavalière Et Des Objets Réels. Educational Studies in Mathematics. V. 19, 1998.

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________. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1998.

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Referências

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