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Conceito de Simetria em Livros Didáticos de Matemática para o
Ensino Fundamental
Cláudio Roberto Cavalcanti da Fonseca1
Resumo
O propósito deste trabalho é apresentar o projeto de pesquisa de mestrado cujo tema está ligado ao conceito de simetria. A investigação deste conceito dar-se-á nos livros didáticos de matemática aprovados no Programa Nacional do Livro Didático 2010, do 1º ao 5º ano do ensino fundamental, pelo fato de o livro didático ser uma importante fonte de consulta para professores e muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos.
Será considerado o conceito matemático e discussão do significado atribuído nos textos dos livros didáticos que serão investigados.
O percurso metodológico utilizado está de acordo com Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornecendo subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas: preparação das informações; categorização e análise.
Palavras chave: matemática, conceito, simetria, livro didático.
Justificativa
Este trabalho trata de alguns aspectos relativos ao conteúdo simetria nos livros didáticos de matemática. Algumas questões são abordadas, tais como: se o conceito de simetria ocupa um lugar privilegiado no conhecimento científico; se as recomendações curriculares nacionais referem-se ao conceito de simetria e de que modo; se as matrizes de avaliações institucionais, como o ENEM, o SAEB, a Prova Brasil ou o PISA, referem-se ao conceito de simetria e que papel os livros didáticos ocupam no ensino escolar atual.
Na Matemática, como se sabe, é reservado um lugar de inegável importância à geometria e não se concebe um bom ensino sem que se dedique uma atenção privilegiada a esse campo do saber matemático (Carvalho & Lima, 2010).
Ainda com a preocupação de contribuir para a melhoria do ensino da geometria na educação básica, por ser fundamental na construção dos saberes matemáticos. E considerando também que estamos inseridos num mundo de formas, as ideias geométricas aparecem ao nosso redor, seja na natureza, arquitetura, artes e em diversas áreas do conhecimento. A partir dessas considerações gerou-se um norte para o problema seguinte:
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Mestrando em Educação Matemática e Tecnológica pela UFPE, Recife – PE. e-mail: claudiorcf@yahoo.com.br ou claudiorcf@hotmail.com
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Problema
Como é abordado o conceito de simetria nos livros didáticos de matemática para o ensino fundamental aprovados no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano do ensino fundamental.
Objetivos: Objetivo Geral
Investigar, nos livros didáticos de Matemática aprovados no PNLD 2010, a abordagem do conceito de simetria.
Objetivos Específicos
Identificar que tipos de simetria são abordados nos livros citados.
Investigar quais são e como são tratados os elementos constitutivos do conceito
matemático de simetria.
Investigar como se distribuem, em cada livro e ao longo das coleções, os textos
que tratam do conceito de simetria.
Algumas ideias sobre livros didáticos
Considerando que o livro didático é uma importante fonte de consulta para muitos professores e, muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos, diversos pesquisadores, especialmente os que trabalham com instrumentos de ensino e aprendizagem, apontam várias concepções sobre esses recursos didáticos.
Segundo Molina (1988, p. 17), um livro didático é uma obra escrita (ou organizada, como acontece tantas vezes), com a finalidade específica de ser utilizada numa situação didática, o que a torna, em geral, anômala em outras situações. Parece que para esse pesquisador, o livro didático é um material único e exclusivamente usado em sala de aula.
Segundo Rojo (2005, p. 3), o conceito de livro didático proposto por Molina implica uma sala de aula regida basicamente pelo manual, pelo livro didático.
Goldberg (1983, p. 7) considera que o livro didático tem a intenção de fazer com que o aluno aprenda, razão pela qual apresenta conteúdos selecionados, simplificados e sequenciados.
Esses estudos, assim, apontam para a relevância do livro didático no ensino escolar, considerando evidentemente que a referência do Guia do Programa Nacional do Livro
3 Didático (PNLD) é de suma importância, pois atendem a uma rigorosa avaliação para sua adequação como instrumento de ensino e aprendizagem.
De acordo Guia do PNLD:
O livro didático é um importante material de apoio ao processo de ensino e aprendizagem, pois contribui, ao mesmo tempo, para o trabalho do professor e para o estudo do aluno. Embora a prática pedagógica do professor envolva diversas dimensões, como sua pesquisa constante para o aprimoramento de seu trabalho em sala de aula, um livro didático com textos adequados, ilustrações pertinentes e informações atualizadas auxilia no planejamento de ensino. Para que suas possibilidades sejam aproveitadas ao máximo, o livro didático deve estar adequado às necessidades da escola, do aluno e do professor.
Convém acrescentar que no ensino fundamental em nosso país, em especial, a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (Brasil, 1997 e 1998), ganhou corpo a ideia de que os conceitos matemáticos são adquiridos ao longo de um extenso período de aprendizagem. Decorre dessa concepção, entre outras consequências, a de que o ensino deve adotar o que se convencionou chamar de “abordagem em espiral”, em que muitos tópicos matemáticos são estudados desde o início da escolaridade e retomados, nos anos seguintes, em graus crescentes de abrangência e de complexidade.
Conforme os PCN os conteúdos de natureza conceitual, que envolvem a abordagem de conceitos, fatos e princípios, referem-se à construção ativa das capacidades intelectuais para operar com símbolos, signos, ideias, imagens que permitem representar a realidade.
O Conceito de Simetria
A simetria é um dos princípios básicos na formulação de modelos matemáticos para os fenômenos naturais, além de sua ligação com as artes. A sua ideia é uma das mais ricas na matemática e está associada às transformações geométricas, designadamente às
isometrias2, fato que justifica o seu estudo já no ensino fundamental.
No ensino escolar atual o termo simetria, na maioria das vezes, é tomado como sinônimo de simetria de reflexão. Contudo, no plano há quatro tipos de transformações que preservam distâncias, isto é, há quatro tipos de isometrias: reflexão, translação, rotação e reflexão seguida de translação. Cada uma dessas isometrias gera figuras simétricas a outras figuras e também figuras simétricas a si mesmo.
2 Uma isometria entre os planos ∏ e ∏’ é uma função T: ∏ → ∏’ que preserva distâncias. Isto significa que, para quaisquer pontos , ∏, pondo e , tem-se (Lima, E.L., 1996, p. 13)
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Podemos demonstrar que toda isometria é uma bijeção, cuja inversa
é ainda uma isometria3
. Vejamos alguns exemplos de isometrias:
Reflexão em torno de uma reta – Seja uma reta no plano ∏. A reflexão em torno da
reta é a função assim definida: para todo e, ,
é tal que a mediatriz do segmento é a reta . ( é o pé da perpendicular baixada de sobre )
Translação – Sejam e pontos distintos do plano . A translação é a
função assim definida: dado , sua imagem é o quarto vértice do
paralelogramo que tem e como lados.
Esta definição de se aplica apenas quando , e não são colineares. Pois,
caso contrário, teremos uma isometria na reta.
Rotação – Sejam um ponto tomado no plano e um ângulo de vértice .
A rotação do ângulo em torno do ponto é a função assim definida:
e, para todo em , é o ponto do plano ∏ tal que
4, e o sentido de rotação de para é o mesmo para
. ( )
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A prova encontra-se em Lima, E.L., 1996, p. 15. 4 Distância euclidiana.
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Reflexão seguida de translação (ou reflexão com deslizamento) – Sejam um
vetor não-nulo uma reta paralela a no plano .
A reflexão com deslizamento, determinada pelo vetor e pela reta , é a isometria
, obtida fazendo a translação seguida da reflexão . A reflexão
com deslizamento, como a translação não possui ponto fixo. Tanto faz transladarmos
e depois refletirmos a figura como refletirmos e depois transladarmos. O quadro a seguir resume de forma mais simples as isometrias:
Isometria Figura Pontos
Fixos
Orientação
do Plano5
Reflexão em torno de uma reta (produzir sua imagem no “espelho”)
Infinitos Inverte
Translação (mover sem girar ou
refletir) Nenhum Preserva
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Para cada ponto da figura original existe um correspondente ponto na figura transformada. Considere que o ponto se movimente sobre a figura original. À medida que o ponto percorre a figura original, o seu correspondente , percorre a figura transformada. Dizemos que uma isometria preserva a orientação do plano quando o ponto percorre a figura transformada mantendo o mesmo sentido de percurso determinado pelo ponto , ao percorrer a figura original.
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Rotação (girar ao redor de um ponto) Um Preserva
Reflexão seguida de translação (combinar uma reflexão com uma translação)
Nenhum Inverte
A ação de uma isometria T sobre uma figura produz uma figura , que se
diz isométrica a (ou simétrica a ).
Por exemplo: Translação
Quando a figura obtida pela ação da isometria T sobre é igual a dizemos que
é simétrica a si mesma em relação à isometria .
Por exemplo: Rotação em torno de um ponto.
, e . E considerando que a figura
, temos que é invariante pela rotação de 90° em torno do ponto
. Obtemos então uma simetria de rotação. Verificamos também que a figura tem simetria relativa às rotações de
7 Se considerarmos, analogamente, a rotação no sentido horário, representado pelo ângulo , a figura terá então, simetria em relação às rotações de
Concluímos que o conceito de simetria se fundamenta no conceito de:
Isometria;
Invariância de uma figura por isometrias.
Então, podemos dizer que uma figura é simétrica relativamente a uma transformação
isométrica , se a figura é invariante por , isto é, a transformação aplicada à figura tem como imagem a própria figura .
O conceito matemático de simetria aqui discutido será utilizado na investigação do significado atribuído nos textos dos livros que serão investigados.
Devemos tratar com cautela as atividades que apresentam inadequações conceituais e que podem dificultar a aprendizagem dos alunos.
Considerando as orientações sobre o ensino de simetria, destacamos nos PCN que:
Os estudos das transformações isométricas (transformações do plano euclidiano que conservam comprimento, ângulos e ordem de pontos alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções de congruência. As principais isometrias são: reflexão numa reta (ou simetria axial), translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria central), identidade. Desse modo as transformações que conservam propriedades métricas podem servir de apoio não apenas para o desenvolvimento do conceito de congruências de figuras planas, mas também para a compreensão das propriedades destas.
E, de acordo com Carvalho & Lima, (2011):
No ensino da simetria de reflexão nos anos iniciais da escolaridade tem sido propostas atividades apropriadas para a introdução do conceito de simetria. Elas incluem, entre outras:
Produzir figuras simétricas por meio de dobraduras em papel. Uma das modalidades é dobrar uma folha, uma ou mais vezes, e efetuar cortes de papel dobrado. Ao desdobrá-lo teremos no papel uma figura, vazada, com simetria de reflexão em torno do eixo constituído pelo vinco no papel. Outra maneira é espalhar tinta num papel e dobrá-lo em dois. Ao desdobrá-lo teremos uma figura simétrica em relação ao vinco no papel;
Fornecer uma parte de uma figura e um eixo de simetria em malha quadriculada e solicitar do aluno completar a figura por simetria;
Identificar um ou mais eixos de simetria em figuras geométricas desenhadas. Algumas vezes, escolhem-se letras do alfabeto para estas atividades.
Percurso Metodológico
A metodologia descrita por Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornece subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas:
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preparação das informações
Na preparação das informações, irei utilizar as coleções aprovadas no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano, como se segue:
Título Autoria Editora
A escola é nossa Vieira, F. & Pessoa K. Scipione
Projeto Buriti Gastaldi, M. R. & Gay, M. R. G. Moderna
Ler o Mundo Aidar, M. Scipione
Hoje é dia de Matemática
Tosatto, C. M. & Peracchi, E. F. & Tosatto,
C. C. Positivo
Projeto Conviver Milani, E. & Imenes, L. M & Lellis, M. Moderna
Ponto de partida Cerullo, M. I. & Shirahige, M. T. & Chacur,
R. Sarandi
Asas para voar Souza, M. H. & Spinelli, W. Ática
Pode contar comigo Bonjorno, J. R. & Azenha, R. & Gusmão, T. FTD
Fazendo e
compreendendo Sanchez, L. B. & Liberman, M. P. Saraiva
Linguagens da
Matemática Reame, E. & Montenegro, P. Saraiva
Projeto Pitanguá Barroso, J. M. & Corá, A. Moderna
Pendendo Sempre Luiz Roberto Dante Ática
Porta aberta Centurión, M. & Rodrigues, A & Neto, M. FTD
categorização ou escolha das categorias de análise dos dados
As categorias de análise a serem obtidas se originarão pelo processo dinâmico entre o quadro teórico adotado na pesquisa e as coletas de dados nos livros didáticos.
análise
Referências
ALBUQUERQUE, A. G. A ideia de semelhança nas associações da geometria em livros didáticos de matemática para o ensino fundamental, 2011.
9 BALDY, R. DE L‟espace Du Dessin A Celui De L‟objet. Une A Activité De Mises Em Correspondences Entre Des Dessins Em Perspective Cavalière Et Des Objets Réels. Educational Studies in Mathematics. V. 19, 1998.
BARRETO, A C. Modelos matemáticos nas não-exatas. Rio de Janeiro: PUC, texto mímeo, 1998.
BISHOP, A., Space and Geometry. In Acqusition of mathematics concepts and processes, New York: Academic Press, 1983.
BRASIL, SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Ensino e 1ª a 4ª série. Brasília, MEC/SEF, 1997.
________. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, MEC/SEF, 1998.
CARVAHO, J. B.; Lima, P. F. (a) O conceito de simetria no ensino fundamental. CARVALHO. J. B.; Lima, P. F. (b) Matemática, v. 17, Brasília. 2010.
DOMOLEN, J. VAN. Textual Analysis, 141-171, In Christiansen, B. & Howson, A. G., Otte, M., D. Reidel. Perspectives on Mathematics Education, Publishing Company, pp141-171, 1986.
FISCHBEIN, E. The Theory of figural concepts Educational Studies In: Mathematics v. 24, 163-176, 1993.
GERARD, F. M. & ROEGIERS, X. Conceber e Avaliar Manuais Escolares. Coleção Ciências da Educação. Portugal: Porto Editora, 2002.
GOLDBERG, M. A. A.; SOUZA, C. P. Avaliação de programas educacionais. São Paulo: Ed. EPU, p.38-45, 1983.
LABORD C.; CAPPONI, B. Cabri-Géomètre constituant d‟un milieu pour I‟apprentissage de la notion de figure géométrique, Rechrches em didatique dês Mathématiques, v 14 (1.2), p 65-210, 1994.
LIMA, E. L. Isometrias. Publicação da SBM. 1996.
LOVE, E. & PIMM, D., „This is so‟ a text on texts. In Bishop, A. J. et al (eds), International Hanbook of Mathematics Education, 371-409, The Netherlands Kluwer Academic Publisher, 1996.
10 Ministério da Educação. Departamento de Políticas de Ensino Fundamental. PNLD, 2010.
Molina, O. Quem engana quem? Professor x livro didático. Vol. 2. ed. Campinas, SP: Ed. Papirus, 1988.
MORAES, R. Análise do conteúdo. Educação, 22(37):7-31, 1999.
PARZYSZ, B. “Knowing” vs “seeing”: problems of the plane representartion of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, v. 19, n. 1, p 79-92, 1988.
ROJO, R. Recomendações para uma política e materiais didáticos. MEC: Brasil, 2005.
