(a,b,c) P.G. b c. b ac. b ac. a.a.a...a. P a.(a.q).(a.q )...[a.q ] P a.q. P a.q. P a.q. P a.q. P a.a. a + b 2 ³ ab a + b ³ 2 ab.

(1)

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A AULA 22 01) 2 2

(a,b,c)

P.G

b

c

a

b

ac

b

ac

b

ac





02)

 





n 1 2 3 n 2 (n 1) n 1 1 1 1 n _{1 2 ... (n 1)} n 1 (1 n 1)(n 1) n ₂ n 1 n n 1 n 2 n 1 n 2 _{(n 1)} ₂ n 1 n (n 1) ₂ n 1 1 n 2 n 1 n

P

a .a .a ...a

P

a .(a .q).(a .q )...[a .q

]

P

a

.q

P

a

.q

P

a

.q

P

a

.q

P

a .(a ).q

P

a .a

          







 







 





03)

a

+

b

2 ³

ab

a

+

b

³

2 ab

a

+

b

( )

2

³

( )

2 ab

2 a2_{+ 2ab + b}2_{≥ 4ab} a2_{– 2ab + b}2_{≥ 0} Se a = b  (a – b)2_{= 0} se a ≠ b  (a – b)2_{> 0} AULA 23

(2)

01)

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

Sn = a1 + a1 q + a1  q2 + … + a1  q(n – 1)

Multiplicando a expressão por q:

q  Sn = a1 q + a1  q2 + a1  q3 + … + a1  qn

Considerando as duas equações:

 n 1 2 n 1 1 1 1 2 3 n n 1 1 1 1

S

a

a .q a .q

... a .q

q.S

a q a q

a q

... a q





_

_

_{ }









 



`

Subtraindo uma da outra, tem-se:





















n n n 1 1 n n 1 n n 1 n 1 n n 1 1 n n 1 1 1 n n 1 n

S

q.S

a

a q

S 1 q

a 1 q

S q 1

a q

1 a q

1 S

q 1

a q

a

S

q 1

a q .q a

S

q 1

a q a

S

q 1











 



















02) 1 2 3 63 n 1 63 64

S

1 2

2

2 ... 2

a q a

S

q 1

2 .2 1

S

2 1

S

2 1 grãos

 



 















03)

(3)









n n 1 n n n n

1 3

9 27 ... a

3 280

a q

1 3 280

q 1

1 3

1 3 280

3 1

3 1 6 560

3 6 561

3

38 n

8   

 













 



04)

3

4

9

8

27

16 E

...

4

9

16

27

64

81

3

9

27

4

8

16 E

...

4

16

64

9

27

81   











 





_



_{ }





_



 



Tem-se então, duas somas de PGs infinitas. Assim:

4

3

9

4 E

3

2

1

4

3

4 E

3

5 E

3 

















_

_

_{ }

_







_



_



 



 



(4)

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B AULA 22 01)

8

8 2x

7 x

3 2x

7 x

3 x

4 ou

(2x

7) (x

3)

8 x

6 

 







_

 

_





 



    







  

02)

Considerando Taxas Complementares, temos que:

m

p

m p

m

55 p

  





  

_



  



 



 

 

Pela Relação de Stiefel, temos:

m 1

m

p 1

p





 

  







_

 

  



 

  

Então:

m 1

10

55 p

m 1

45 p









_

_























03) 3 4 5 10 10 10 10 10

N



C



C



C

 

... C

Pela soma da linha do Triângulo de Pascal, temos que:

10 0 1 2 10 10 10

N

2 C

C

N

1 024 1 10

45 N

968 polígonos







 





AULA 23 01)

(5)





 





3 ₀ ₀ 3 ₁ ₁ 2 ₂ ₂ 1 ₃ ₃ 0 3 3 3 3 3 ₃ ₂ ₂ ₃

3x

y

C

y

3x

C

y

3x

C

y

3x

C

y

3x

y

27x

27x y

9xy

y









 



















Cálculo da soma dos Coeficientes: Substituir as incógnitas por 1. Assim:



 

3



3

3x



y



3.1 1





8

02)

 

p p (n p) p 1 n o (7 2) 2 2 3 7 5 5 3 5 5

T

C .a .x

3 termo : p

2 T

C .1 . kx

T

21k x

Coeficiente

672 21k

672 k

32 k

2

  



03) Perceber que: 3 2 2 3 3

a

6a b 12ab

8b

8 (a

2b)

8 a

2b

2 













E também que: 3 2 2 3 3

8a

12a b

6ab

b

1 (2a b)

1 2a b

1 





 



 

  

Montamos então o sistema:

a

2b

2 2a b

1 a

2b

2 4a

2b

2 a

0 e b

1 Logo

a b

1 







_{  }











_

_{ }





 

(6)

AULA 24 01)

 

p p (n p) p 1 n o 6 _{(8 6)} 6 6 1 8 3 2 7 5 7

T

C .a .x

7 termo : p

6 T

C .

x

. 2x

T

28.x .4x

T

112x

   







02)

a) FALSO – Possui 8 termos b) FALSO – O Termo Geral é:

 

p p (n p) p 1 n p (7 p) p 2 p 1 7 p p (14 3p) p 1 7

T

C .a .x

3 T

C .

. x

x

T

C .

3 .x

     









_



_









Para possuir o Termo Independente, teríamos:

14 3p



  

0 p

c) FALSO – Soma dos coeficientes: Substituir incógnitas por 1. Assim 7 2

3

1

128

1 

_



_{ }









d) FALSO – Coeficientes distintos

 

0 0 (14 3.0) 14 0 1 7 1 7 7 7 (14 3.7) 7 7 1 7 8

Primeiro Termo : T

C .

3 .x

T

1.x

Último Termo : T

C .

3 .x

T

3 .x

    













 

e) VERDAEIRO – Para o cálculo do coeficiente do x2_{, temos:}

 

o 4 4 (14 3.4) 2 4 1 7 5

14 3p

2 p

4(5 termo)

Logo,

T

_

C .

3 .x



T

2 835.x



  









(7)

03)

















5 5 2 2 5 ₁₀ 2 p p (n p) p 1 n p p (10 p) p 1 10 4 6 6 (10 6) 6 1 10 4 7

x

2x 1

x 1

x

2x 1

x 1

Termo Geral :

T

C .a .x

T

C .( 1) .x

Termo em x :

10 p

4 p

6 T

C .( 1) .x

T

210.x

     











_



_













   







Coeficiente é 210

(8)

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D AULA 22

01)

Sendo “a”, a aresta do cubo, os 192 litros de água colocados formarão um

paralelepípedo cuja base é um quadrado de lado igual à aresta do cubo e a altura é igual a 30 cm (3 dm). Assim: 2 2

a.a.3

192 3a

192 a

64 a

8dm



A capacidade do cubo é o seu volume, então: 3 3

V

a

V

8 V

512litros



02)

Dimensões proporcionais a 2, 3 e 5, ou seja, as dimensões são: 2k, 3k e 5k. Logo:

3 3

V

240 2k.3k.5k

240 30k

240 k

8 k

2 



Então, as dimensões são: 4m, 6m e 10m e a área total é:

2

St

2(4.6

4.10 6.10)

St

248m







03) cubo paralelepípedo 3 3

V

a

3.18.4 a

216 a

6cm



04) Na figura, temos:

AB

CD

a 2

AD

BC

a



(9)

Do enunciado, tem-se:











 



Perímetro

8 1

2 2a

2a 2

8 1

2 2a 1

2 8 1

2 2a

8 a

4cm















Cálculo do volume do cubo: 3 3 3

V

a

V

4 V

64cm



AULA 23 01) Cilindro Equilátero: H = 2R 2 2 b 2 2 3

S

36 cm

2 RH

36 R.2R

18 R

9 R

3cm

H

6cm

V

S .H

V

R .H

V

.3 .6

V

54 cm





 



Temos então:

1 V

54 

 

02)

O líquido determina outro cilindro com mesmo raio do reservatório e altura igual a 2/3 da altura do reservatório. Assim:

(10)

líquido 2

V

75 360

2 .30 . H

75 360

3 600 H

75 360

H

600.3,14

H

40dm

H

4m





03)

Cálculo do volume do reservatório: 2

V

.10 .30

V

3 000 litros





Cálculo do número de dias:

3 000

N

3 N

1 000 dias

N

3 140 dias

N

8,6 anos





04) 1 1 1 1 2 1 1

VELA 1

2 R

20

10 R

cm

Então

C

k.V

10 C

k.

10 1 000

C

k.













_

_









(11)

2 2 2 2 2 2 2

VELA 2

2 R

10

5 R

cm

Então

C

k.V

5 C

k.

20

500 C

k.





 





_{ }



 



1 2

Conclusão :

C



2.C

AULA 24 01) p face face p p b p

.a

S

2 S

n.S

.a

S

n

2 n

S

a

2 S

p

a



 









02)

Como a circunferência inscrita na base tem raio 3 cm, então, a = 6cm. Tem-se que H = 4 cm.

(12)

Aplicando Teorema de Pitágoras, temos: 2 2 2 p p

a

4

3 a

5cm







Cálculo da Área Total:

2 2

St

Sb

S

4.6 St

6

5

2 St

96cm













03)

A base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem metade da aresta do cubo, ou seja, medem 3cm;

A altura da pirâmide é igual a aresta do cubo, ou seja, é igual a 6cm Cálculo do Volume da Pirâmide:

3

1 V

Sb H

3 1 3.3

V

6

3

2 V

9cm

 



 





(13)

04)

Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo KCJ (catetos iguais a 3 cm e hipotenusa igual ao lado do hexágono regular igual a b), temos:

2 2 2

b

3

3 b

3 2cm







Aplicando Teorema de Pitágoras agora no triângulo retângulo JDH (catetos iguais a 3cm e 6cm e hipotenusa igual à aresta lateral da pirâmide igual a c), temos:

2 2 2

c

3

6 c

3 5cm







Temos também a altura h do hexágono regular que liga o vértice H ao centro O do hexágono, tal que, aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo HOJ (sabendo que NJ é igual ao lado do hexágono, ou seja, é igual a

3 2cm

), temos:

   

2 2 2 2

3 5

3 2

h

27 h

h

3 3cm







(14)

 

2 2 3

1 V

Sb h

3

1 b

3 V

6 h

3

4 3 2

3 V

3 3

2 V

81cm

 



 









(15)

EXTENSIVO – APOSTILA 08 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E AULA 22 01)

 

n 4k r n 4k r k n 4 r k n 3 r k n 2 r k n r n r

Se

n

4k

r

Então

i

1 i

i



















 









02) 0 1 2 3 109 0 1 2 3 0 1 2 3

m

i

i ... i

Sabe se :

i

1 i ( 1) ( i)

i

0    





        

   

Assim, em 110 números, é possível formarmos 27 grupos com 4 termos cada fazendo sobrar ainda 2 termos. Se formarmos esses grupos a partir do primeiro, teremos:

(16)

03) 2 2 2 2 2 2

1 (1 i)

z

1 i (1 i)

1 i

z

1 i

z

2 1 i

z

2 1 2i i

z

4

1 z

i

2 





















 

_



_

 



 

Parte Real = 0 Parte Imaginária =

1

2 

AULA 23 01) Cálculo do Módulo

 

2 ₂

2

2 2 2











Cálculo do Argumento

Parte real Negativa E Parte Imaginária Positiva: 2º Quadrante

o o

2 tg

1 2 Quadrante

135 







  

 

(17)

02)









2 A

A

2 cos 0 isen0

0

3 B

B

3 cos

isen

4 C

C

4 cos

isen

2

5

3

3 D

₃

D

5 cos

isen

2

2 







 









_

















_







 



 









_{ }



_





_



_



_









_{ }



_





_



_



_



03) Módulo de z = a + bi 2 2 1

a

b







Módulo de z = a – bi

 

2 2 2 2 2 2

a

b

a

b





 





Logo,



₁





₂ 04)

z

 

2 2 3i

Parte Real = 2 (positivo)

Parte Imaginária =



2 3

(negativo)

Então, Argumento pertence ao 4º Quadrante. Cálculo do Módulo





2 2

2 2 3

4 





 



(18)

Cálculo do Argumento o

2 3

tg

2

5 tg

3 4 Quadrante

3 









 



 

Forma Trigonométrica





z

cos

isen

5

5 z

4 cos

isen

3

3 















_



_





05)

















2 2 2 2 2 2 2 2 2

z

2i

3 a bi 2i

3 a

b

2 i

3 a

b

2

3 a

b

2

3 a

b

2

3 



 

















_

_



_















Lugar Geométrico: Circunferência com centro no ponto (0,3) e raio igual a 3.

AULA 24 01) 2 2

k

i (3 i)

z

3 i (3 i)

3k

ki 3i i

z

9 i

3k 1

( 3 k)

z

i

10

10 











  





 





Módulo igual a

5

(19)

2 2 2 ₂ 2 2 2 2 2

5

5 3k 1

3 k

5

10

5 3k 1

3 k

5

10

5 9k

6k 1

9 6k

k

5

100

25 10k

10

20 k

1 ou k

1  



 





_





_



















_

_

_

_

_{ }

_



_

_



_

_



_

_



_{ }

_













_

_









_



_





 

02)

























o o o o o o o o o o

1

3 A

2 cos 60

isen60

A

2 i

A

1 3i

2

2 B

4 cos90

isen90

B

4 0 1.i

B

4i

AB

2.4 cos 60

90 isen 60

90

3

1 AB

8 cos150

isen150

AB

8 i

AB

4 3

4i

2

2 











_



_



 









 



 







_



_















_







_



 







03)

(20)





A

12

11

3

11

3 cos

isen

B

10

8

8 A

6 cos

isen

B

5 A

6 B

5 

















_

_



_



_



_

_

















 

04)

z.w

u iv

5

5 z.w cos

isen

u iv

12

3

12

3

3 10 cos

isen

u iv

4

2

10 i

u iv

2

2 5 2

i 5 2

u iv

Assim :

u

5 2

v

5 2

 



 





_



_



_





_{ }











_

_

_

_









_



_{ }















 

 











 

 

 

