CAPÍTULO 6 -
PIRÂMIDE
Definição 1:Sejam R uma região poligonal contida num plano e V um ponto não pertencente a .
A pirâmide de base R e vértice V é a união de todos os segmentos VQ com Q R. V
D C
Q
A B
Elementos de uma pirâmide:
Vértice: ponto V;
Base: polígono ABCD;
Arestas da base: são os segmentos
AB
,BC
,CD
,DA
;Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, VCD, VAD;
Arestas laterais: são os segmentos
VA
,VB
,VC
,VD
;Altura: é a distância do vértice V ao plano da base.
Classificação das pirâmides:
As pirâmides são classificadas segundo suas bases. Se a base é um triângulo a
pirâmide é dita triangular; se a base é um quadrilátero a pirâmide é dita quadrangular, e
assim por diante.
Pirâmide triangular Pirâmide quadrangular Pirâmide pentagonal
Definição 2:
Uma pirâmide é dita regular se sua base é um polígono regular e a projeção de seu
vértice é o cento do polígono da base. V
Apótema da pirâmide
D C H E
A B
Pirâmide quadrangular regular
É evidente que numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e que, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes (Prove isto).
A altura de cada face lateral de uma pirâmide regular, traçada de seu vértice, é
denominada apótema da pirâmide. Exemplo: Segmento
VE
na figura acima.O segmento
OE
é o apótema da base.A superfície lateral de uma pirâmide é a união das suas faces laterais; a área desta
superfície é denominada área lateralda pirâmide.
A superfície total é a união entre a superfície lateral e a base da pirâmide; sua área é
denominada áreatotal da pirâmide.
Exercício 1: Calcular a área total de uma pirâmide quadrangular regular cuja altura mede 4 metros e o lado da base 2 metros.
Solução: Como a pirâmide é regular suas faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Para calcularmos a área de sua superfície lateral, basta, pois determinarmos a área de uma das faces laterais e multiplicarmos o resultado pela quantidade delas.
Área de uma face lateral: Área ( VDC) =
2
.
VE
DC
=2
.
2
VE
=
2
17
.
2
=
17
.Cálculo de VE: No triângulo retângulo VHE temos:
VE 2 = VH 2 + HE 2 = 42 + 12 = 17 VE =
17
.Área lateral:
A
l
4
17
. Exercício 2: Determine a altura e o apótema de uma pirâmide regular hexagonal cuja
aresta da base mede 4 cm e a área total 96
3
cm2.
Solução: Cálculo do apótema VC:
B
A
A
t
l
96
3
=4 3 4 . 6 2 . 4 . 6
2
VC
16
3
= 2.VC +4
3
2.VC =
12
3
VC
6
3
cm (Resposta).Cálculo de OC: Observe que OC é altura do triângulo eqüilátero OAB. Portanto,
OC =
2
3
4
= 2
3
.Cálculo da altura VO: No triângulo retângulo VOC, temos:
VC 2 = VO 2 + OC 2
23
6
= VO 2 + (23
)2 36 x 3 = VO 2 + 12
VO 2 = 96 VO =
4
6
cm (Resposta). Exercício 3: A diagonal da base de uma pirâmide quadrangular regular mede
2
2
cm. Determine a área total dessa pirâmide sabendo-se que todas as suas arestas sãocongruentes.
Solução:
Cálculo do lado da base: No triângulo retângulo abaixo, temos:
2 2
2
) 2 2 (
l
l = 8 l2
d = 2
2
ll
Cálculo da área total: Como todas as arestas da pirâmide são congruentes, suas faces laterais são triângulos eqüiláteros. Desta forma,
B
A
A
t
l
= 4.4
3
2l
+
l
2 = 2 22
3
2
tA seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo ao plano da base.
Teorema 1:
i) Toda seção transversal de uma pirâmide triangular é um triângulo semelhante à base;
ii) Se h á a altura da pirâmide e d é a distância do vértice à seção transversal, então
2 2
)
(
)
(
h
d
base
Área
seção
Área
.V
d
A’ C’ h O’
B’
A C
O
B
Prova:VA’O’ VAO.
h
d
VA
VA
'
.
Analogamente, o VO’B’ VOB e VO’C’ VOC. Daí,
h
d
VB
VB
'
e
h
d
VC
VC
'
Destas igualdades concluímos que:
VA’B’ VAB, VB’C’ VBC e VA’C’ VAC, e como tal:
h
d
VB
VB
AB
B
A
'
'
'
;
h
d
VB
VB
BC
C
B
'
'
'
e
h
d
VC
VC
AC
C
A
'
'
'
Estas igualdades mostram que o A’B’C’ ABC. Portanto, 2 2 2
)
(
)
'
'
(
)
(
)
'
'
'
(
h
d
AB
B
A
ABC
Área
C
B
A
Área
.
▆
Não são apenas nas pirâmides triangulares que as áreas das seções transversais se
comportam desta maneira. Qualquer que seja o polígono da base a razão é sempre 2
2
h
d
,
como informa o teorema a seguir.
Teorema 2:
i) Toda seção transversal de uma pirâmide é um polígono semelhante à base.
ii) Se
h
á a altura da pirâmide e d é a distância do vértice à seção transversal, então2 2
)
(
)
(
h
d
base
Área
seção
Área
.Prova: Seja B a área da base e B’ a área da seção transversal. Decompondo-se
ordenadamente a seção e a base em triângulos S’1, S’2, . . . , S’n e S1, S2, . . . , Sn
respectivamente semelhantes e denotando-se por a’1, a’2, . . . , a’n e a1, a2, . . . , an suas
respectivas áreas obtemos:
B’ = a’1+ a’2+ . . . + a’n e
B = a1 + a2 + . . . + an
Pelo teorema anterior,
2 2 1 ' 1
h
d
a
a
2 1 2 '1
.
a
h
d
a
- - - 2 2 'h
d
a
a
nn
n
n
a
h
d
a
2.
2
'
B’ = (a’1+ a’2+ . . . + a’n) = 2
2
h
d
(a1 + a2 + . . . + an) = 2
2
h
d
. BPortanto,
2
2
'
h
d
B
B
.
▆
Corolário: Se duas pirâmide têm a mesma altura e as áreas de suas bases são iguais, então as seções transversais eqüidistante dos vértices têm a mesma área.
Prova: Sejam A’ e A, B’ e B as áreas das seções e das bases respectivamente. Por hipótese, A = B. Pelo teorema anterior,
B
B
h
d
A
A
'
'
2 2
A’ = B.▆
Exercício 4: Na pirâmide V-ABC abaixo, o ABC é eqüilátero. Um plano paralelo a sua base intercepta as arestas laterais nos pontos D, E e F, de modo que VE =
2
1
EB.
a) Qual a razão
VA
VD
?
b) O que se pode dizer acerca dos triângulos VDE e VAB? E acerca dos triângulos ABC
e DEF?
c) Qual a razão
AB
DE
?d) Se BC = 6, calcule a área do DEF.
Solução:(a) Pelo que vimos na demonstração do Teorema 1, o VDE VAB. Portanto,
3
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
EB
EB
EB
EB
EB
EB
VE
EB
VB
VE
VA
VD
(Resposta).
(b) Pelo que vimos na demonstração do Teorema 1, esses triângulos são semelhantes.
(c) Como os triângulos VDE e VAB são semelhantes (veja demonstração do Teorema 1),
AB
DE
=
VA
VD
=
3
1
(Resposta).
(d) Pelo Teorema 1, a seção transversal é um triângulo semelhante à base. Como a base é um triângulo eqüilátero então a seção transversal também será. Sendo ainda os triângulos VDE e VAB semelhantes, segue-se que
AB
DE
VA
VD
6
3
1
DE
DE = 2.Portanto,
Área ( DEF) =
3
4
3
2
2
(Resposta).EXERCÍCIOS
01. Uma aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular tem 10 cm de comprimento e
a altura da pirâmide tem 12 cm. Determine a área da superfície lateral da pirâmide.
02. Demonstre que as faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles
congruentes.
03. Determinar a área da superfície total de uma pirâmide hexagonal regular, se a aresta da
base vale 8 e a altura da pirâmide é 12.
04. Calcular a área da superfície total de um octaedro regular cuja aresta vale
a
.05. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base igual a 1 e a altura igual a
h. Secioná-la com um plano paralelo à base de modo que o prisma que tem por bases a seção da pirâmide com o plano considerado e a projeção ortogonal dessa seção sobre a
base da pirâmide tenha superfície lateral 4S2. Pede-se a distância da seção ao vértice
da pirâmide.
06. Uma pirâmide regular tem por base um quadrado com 24 m de perímetro e a soma das
07. Numa pirâmide regular, com 12 cm de altura e cuja base é um quadrado de lado 8 cm, está inscrito um cubo que tem uma face sobre a base da pirâmide e os outros quatro vértices sobre as suas arestas laterais. Calcular a aresta do cubo.
08. A aresta lateral de uma pirâmide pentagonal regular vale 5/6 da aresta da base e a soma
de todas as arestas é 165 cm. Calcular a área lateral da pirâmide.
09. Um retângulo com 34 dm de perímetro e cujas dimensões diferem de 3 dm é a base de
uma pirâmide que 12 dm de altura. Calcular a área lateral da pirâmide, sabendo que o pé da altura coincide com o ponto de interseção das diagonais da base.
10. Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado
a
e as suas arestas lateraisformam ângulos de 30o com o plano da base. Calcular a área lateral da pirâmide.
RESPOSTAS
01. 260 cm2 03. 288
3
04. S =2
a
23
05.
2
4
22
S
h
h
h
06. At = 12(
55
+ 3) m2; V = 1246
m307. a = 4,8 m 08.
