Apostila de Teoria das Filas v.022012 (1).pdf

(1)

33 3 34 2 35 2 36 3 37 2 38 3 39 3 40 2 41 1 42 6 43 0 44 2 45 3 46 7 47 0 48 2 49 2 50 0 51 4 52 1 53 1 54 1 55 1 56 8 57 4 58 3 59 1 60 4 Total de Veículos 120 3 9 0,1500 0,1804 4 4 0,0667 0,0902 5 1 0,0167 0,0361 6 1 0,0167 0,0120 7 1 0,0167 0,0034 8 1 0,0167 0,0009 9 0 0,0000 0,0002 10 0 0,0000 0,0000 xemplo

Em uma fábrica chegam em média 7 pedidos por semana (segundo a distribuição de Poisson). Qual a probabilidade de ocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo em uma mesma semana?

a) zero pedido 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F r e q u ê n c i a R e l a t i v a Ritmo

Ritmo Versus Frequência Relativa

(2)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Tempo entre Chegadas

Função Densidade da Distribuição Exponencial

Média 2

0,6 0,8 1 1,2

Função Cumulativa Distribuição Exponencial com Média 2

b) 7 pedidos c) até 7 pedidos d) Acima de 7 pedidos

Processo de Atendimento

FUNÇÃO DENSIDADE FUNÇÃO CUMULATIVA

X f(x) F(x) X f(x) 0 2 0 0 3 0,2 1,34064 0,32968 0,2 1,646435 0,4 0,898658 0,550671 0,4 0,903583 0,6 0,602388 0,698806 0,6 0,495897 0,8 0,403793 0,798103 0,8 0,272154 1 0,270671 0,864665 1 0,149361 1,2 0,181436 0,909282 1,2 0,081971 1,4 0,12162 0,93919 1,4 0,044987 1,6 0,081524 0,959238 1,6 0,024689 1,8 0,054647 0,972676 1,8 0,01355

( ) 1

x

F x

= −

e

−λ

( )

x

f x

λ

e

−λ =

(3)

2 0,036631 0,981684 2 0,007436 2,2 0,024555 0,987723 2,2 0,004081 2,4 0,016459 0,99177 2,4 0,00224 2,6 0,011033 0,994483 2,6 0,001229 2,8 0,007396 0,996302 2,8 0,000675 3 0,004958 0,997521 3 0,00037 3,2 0,003323 0,998338 3,2 0,000203 3,4 0,002228 0,998886 3,4 0,000112 3,6 0,001493 0,999253 3,6 6,12E-05 3,8 0,001001 0,9995 3,8 3,36E-05 4 0,000671 0,999665 4 1,84E-05 4,2 0,00045 0,999775 4,2 1,01E-05 4,4 0,000301 0,999849 4,4 5,55E-06 4,6 0,000202 0,999899 4,6 3,05E-06 4,8 0,000135 0,999932 4,8 1,67E-06 5 9,08E-05 0,999955 5 9,18E-07 5,2 6,09E-05 0,99997 5,2 5,04E-07 5,4 4,08E-05 0,99998 5,4 2,76E-07 5,6 2,73E-05 0,999986 5,6 1,52E-07 5,8 1,83E-05 0,999991 5,8 8,33E-08

(4)

Considere um posto de pedágio, onde λ = 2 chegadas por minuto ou 0,033

chega-das por segundo ou IC = 30 segundos.

A) Calcule a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja de até 30 segundos (0,5 min).

Solução: F(0,5) = 0,632

b) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja maior que 30 segundos. Solução:

1-F(0,5) = 0,368

c) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas esteja compreendido entre 12 e 24 segundos (isto é, entre 0,2 minutos e 0,4 minutos) Solução: F(0,4) - F(0,5) = 0,221 = 22,1% Fórmulas do Modelo M/M/1 6 1,23E-05 0,999994 6 4,57E-08 6,2 8,24E-06 0,999996 6,2 2,51E-08 6,4 5,52E-06 0,999997 6,4 1,38E-08 0 1 P λ µ = − 0 n n P P λ µ   = _{ }   1 ( ) k P n k λ µ +   > =_{ }   L λ µ λ = − 2 ( ) q L λ µ µ λ = − 1 W µ λ = − ( ) q W λ µ µ λ = − ρ λ µ = (1 ) ( ) t P T t e− µ −ρ > = Fórmulas de Little 1 1 q q q q q q L L W L L W L W W L W W λ λ µ λ λ µ µ λ µ λ = − = = + = = − = = + =

(5)

Exemplos M/M/1 Exemplo 1

Em uma fábrica observou-se o funcionamento de um dado setor, em que λ = 20 clientes por hora,µ = 25 clientes por hora e tempo médio

de permanência no sistema igual a 0,3 hora. Pede-se o tamanho médio da fila.

Dados de Entrada Unidade de Tempo

Taxa de Chegada λ 20 por hora

Taxa de Atendimento µ 25 por hora

Medidas de Desempenho

Taxa de utilização ρ 80,00%

Probabilidade de não haver cliente no sistema P0 20,00%

Número médio de Clientes na Fila Lq 3,20 Clientes Número médio de Clientes no Sistema L 4,00 Clientes Tempo médio de espera no Sistema W 0,20 horas

Tempo médio de espera na Fila Wq 0,16 horas

t 0,25 horas

(6)

Exemplo 2

Para o mesmo sistema acima, calcular o número médio de clientes no sistema e o número médio de clientes que estão sendo atendidos.

t 0,25 horas

(7)

Exemplo 3

Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com uma duração média entre chegadas de 20 minutos. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada

cliente.

a) Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido ? b) Qual o número esperado de clientes no salão de barbeiro? E na fila ? c) Quanto tempo, em média, um cliente permanece no salão?

d) Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila?

e) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no salão?

f) O barbeiro está estudando a possibilidade de colocar outro barbeiro desde que o tempo de permanência médio de cada cliente no salão passe a 1,25 horas. Para quanto deve aumentar a taxa de chegada de modo que este segundo barbeiro fique justificado? Solução λ = 3/hr



= 4/hr a) P ₀ 1 =1 3 4 λ µ = − − b) ₂ 3 = 3 4 3 2,25 ( ) q L fregueses L fregueses λ µ λ µ µ λ

λ

= = − − = = − c) W 1 1 hora µ λ = = − d) 0,75 horas ( ) q W = λ = �� (�� (�� (��

(8)

e) 3 4( )0,5 (1 ) 4 ( 0,5) t 0,61 61% PT e µ ρ e − − − > = = = =

f) Queremosλ de modo que W = 1,25 horas

1

1,25 3, 2 /

4 λ λ fregueses hora

= ⇒ =

−

t 0,50 horas

(9)

Exemplo 4

Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada pessoa gasta em média 20 segundos para comprar um ingresso.

a) Se uma determinada pessoa chega 2 minutos antes do jogo começar e se ela gasta exatamente 1,5 minutos para chegar ao seu lugar após comprar o seu ingresso, ela estará sentada antes do jogo começar?

b) Qual a probabilidade da pessoa do item a estar sentada antes do jogo começar?

c) Com que antecedência deve a pessoa chegar para ter 99% de certeza de estar sentada antes do jogo começar? Solução

λ = 1/min



= 3/min

a) W= 1 =0,5minutos

µ-λ

Logo o tempo médio para comprar o ingresso e achar o lugar é 0,5 + 1,5 = 2 minutos, ou seja, a pessoa deverá estar sentada antes do jogo começar.

b) É igual à probabilidade do ingresso ser comprado em tempo menor ou igual a 0,5 minutos.

1 3(1 )0,5 (1 ) 3 ( 0,5) 1 ( 0,5) 1 1 ( 0,5) 0,63 63% t PT PT e e P T µ ρ − − − − ≤ = − > = − = − ≤ = =

b) Queremos achart de modo que:

1 3(1 ) (1 ) 3 ( ) 0,1 2,3minutos t t P T t e e t µ ρ − − − − > = ⇒ = Logo: (PT >2,3) 0,1 ( = PT≤ 2,3) 0,99 =

(10)

Importante

Como já foi dito anteriormente, a taxa de ocupação (λ /µ), tem que ser sempre menor que 1 pois, em caso contrário, a fila tende ao infinito.

?Vamos aproveitar este exemplo para mostrar que, mesmo sendo menor que 1, se ela se aproxima de 1 a fila já tende ao infinito. No quadro a seguir, para um µ fixo igual a 3/min, mostramos os valores de L, Lq, W (em minutos) e Wq (em minutos) para valores crescentes de λ , e

conse-qüentemente deρ.

Podemos ver que, a medida queρ vai se aproximando de 1, a fila se torna inviável.

Taxa de Chegada λ 1 por minuto

Taxa de Atendimento µ 3 por minuto

Número médio de Clientes na Fila Lq 0,17 Clientes Número médio de Clientes no Sistema L 0,50 Clientes Tempo médio de espera no Sistema W 0,50 minutos Tempo médio de espera na Fila Wq 0,17 minutos

t 0,50 minutos

(11)

Exemplo 5

Fregueses chegam aleatoriamente a uma padaria à taxa média de 12/hora. O único empregado da padaria pode servir fregueses à taxa mé-dia de 20/hora. O empregado recebe $3/hora enquanto que o tempo que os fregueses “perdem” na padaria está estimado em $8/hora. O dono da padaria está considerando a instalação de um equipamento de auto-serviço que fará com que a taxa de atendimento aos fregueses passe para 42 fregueses/hora. O custo do equipamento de auto-serviço é de $30/dia.

Considerando que a padaria funciona 12 horas/dia, justifique economicamente se o equipamento de auto-serviço deve ou não ser compra-do?

Solução

λ = 12/hora

Situação Atual µ = 20/hora

Custo do empregado=$3/hr x 12 hr/dia = $36/dia ⇒ Custo do serviço W = tempo médio que um freguês permanece na padaria.

W= 0,125 horas

Custo = 0,125 horas x 8/hr = $1

Custo da fila = $1 x 12 fregueses/hr x 12hr/dia = $144

Custo total = $36 + $144 = $144 = $180/dia

(12)

W= 0,0333 horas

Custo = 0,0333 horas x 8/hr = $0,266

Custo da fila = $0,266 x 12 fregueses/hr x 12hr/dia = $38,40/dia Custo do Serviço = $36 + $30 = $66/dia

Custo total = $66 + $38,40 = $104,40/dia

Resposta: A situação proposta é melhor.

(13)

t 0,50 horas

P(T > t) 0,00%

Exemplo 6

Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponhamos que siga a distribuição exponencial. Pede-se:

a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar? b) Qual o número médio de pessoas na fila?

c) Qual o número médio de pessoas no sistema? d) Qual o número médio de clientes usando o telefone? e) Qual o tempo na fila?

f) Para qual ritmo de chegadas teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila seria de 3 minutos? g) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?

Respostas: a) 0,70 b) 0,128 c) 0,428 d) 0,30 e) 1,28 minutos f) 10 chegadas/hora g) 30%

(14)

t 0,50 horas

(15)

Exemplo 7

Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determi-nada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 1 chegada/min) e o ritmo de atendimento (µ = 1,2 atendimentos por minuto) seguem o

mo-delo marcoviano M/M/1. A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 ao operário. Pede-s e: a) O custo horário do sistema.

b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. Respostas:

a) $99,00

b) P0 = 1 -λ / µ = 0,16

Taxa de Chegada λ 1 por minuto

Taxa de Atendimento µ 1,2 por minuto

Número médio de Clientes na Fila Lq 4,167 Clientes Número médio de Clientes no Sistema L 5,00 Clientes Tempo médio de espera no Sistema W 5,000 minutos Tempo médio de espera na Fila Wq 4,167 minutos

t 0,50 minutos

(16)

Exercício 2- Contratação de um reparador

Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui 2 opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um ritmo de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é de $3,00 e o do reparador rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetua-da para que o custo total (reparador mais máquinas paraefetua-das) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina paraefetua-da implica um custo horário de $5,00.

(17)

Modelo M/M/s (s>1)

Neste tipo de modelo, considera-se que as estações de serviço são equivalentes e prestam serviço, individualmente, a mesma taxa média µ.

Taxa de chegadas descrita por processo POISSON. Taxa de aterndimento descrita por processo POISSON. S servidores. População infinita.

s

λ

ρ

= 0 1 0

1

1 !

!(1

)

n s s n P n s

λ

µ

ρ µ

− = =



_

_



_

_

+



_

_



_

_

 

−

 







∑



1 0 2

!(1

)

s q P L s s λ µ ρ +

 

 

 

= × − q

L L

= +

λ

_W

L

λ

= q q

L

W

λ

= 1 0 0 1 1 !(1 ) 1 ( ) se 1 0 1 se 1 0 !(1 ) s t s t s t P e e s s PT t s P e t s s λ µ µ µ µ λ µ λ ρ µ _λ µ λ µ λ µ ρ µ   − _− − _   − −   _{ }     _{ } _ − _     _ _ __ +        ₋ _{− −}     _ _ _ _    __ __ > =_ _ − − _ ≠    _ _{ } _  _ _{ } _        + − − =    ₋  _ _       _ _  0 0

1 ,se

!

1 ,se

!

n n _n n s

P

n s

n

P

n s

s s

λ

µ

λ

µ

−



_{ }

<



_{ }



 

=



 



≥

 



 



(18)

Exemplo 1

Um escritório tem 3 datilógrafas e cada uma pode datilografar, em média, 6 cartas por hora. As cartas chegam para serem datilografadas a taxa média de 15 por hora.

a) Qual o número médio de cartas esperando para serem datilografadas? b) Quanto tempo, em média, uma carta demora para ficar pronta?

c) Qual a probabilidade de que uma carta demore mais de 20 minutos para ficar pronta?

d) Vamos supor que cada datilógrafa receba individualmente 5 cartas por hora, em média, para datilografar. Quanto tempo em média uma carta demora para ficar pronta?

Dados de Entrada

Taxa de Chegada λ 15 hora

Taxa de Atendimento µ 6 hora Cálculos Intermediários

Número de servidores s 3 n fatorial(n)

0 1 1

Medidas de Desempenho 1 1 2,5

Taxa de utilização ρ 83,33% s-1 2 2 3,125

Probabilidade de não haver cliente no

(19)

Número médio de Clientes na Fila Lq 3,51

Número médio de Clientes no Sistema L 6,01

Tempo médio de espera no Sistema W 0,40

Tempo médio de espera na Fila Wq 0,23

t 20 0,33 P(T > t) se (s-1-λ / µ)≠0 46,19% P(T > t) se (s-1-λ / µ)≠0 0,461942 P(T > t) se (s-1-λ / µ)=0 - P(T > t) se (s-1-λ / µ)=0 0,33 i a) Lq = 3,511 cartas b) W = 0,40 horas c) P(T > 0,333 h) = 0,461 = 46,1% d) Modelo I λ = 5/h, logo W = 1 hora

(20)

Este exemplo serve para mostrar a vantagem em se ter uma fila única quando temos várias estações de serviço prestando o mesmo tipo de atendimento. Com uma única fila, cada carta demora, em média, 0,40 horas para ficar pronta. Com fila individual demorará, em média, 1 hora. Exemplo 2

Deseja-se determinar o número ótimo de caixas em uma agência bancária. O tempo que cada cliente "perde" dentro da agência está esti-mado em $5/hora e o custo de funcionamento de uma caixa bancária é de $4/hora.

Os clientes chegam a taxa média de 40 por hora e as caixas podem atender, em média, 30 clientes por hora.

Dados de Entrada

Taxa de Chegada λ 40 hora

Número de servidores s 1 n fatorial(n)

0 1 1

Medidas de Desempenho 1 1 2,5

Taxa de utilização ρ 1,333333333 A Fila tende

ao infinito!!!! s-1 2 2 3,125 Probabilidade de não haver cliente no

sistema P0 - Soma 6,625 #VALOR!

(21)

-Número médio de Clientes no Sistema L -Tempo médio de espera no Sistema W -Tempo médio de espera na Fila Wq

-t 20

-P(T > t) se (s-1-λ / µ)≠0 - P(T > t) se (s-1-λ / µ)≠0 #VALOR!

P(T > t) se (s-1-λ / µ)=0 - P(T > t) se (s-1-λ / µ)=0 #VALOR!

Solução

λ = 40/hr



= 30/\hr

s = 1⇒ ρ = 1,333 > 1, a fila tenderia ao infinito

Para se resolver este tipo de problema tem que se ir por tentativa, incrementando o número de estações de serviço de 1. Como já vimos, a curva de custo total vem diminuindo, passa por um mínimo e volta a crescer.

(22)

1 0 1 se 1 1 se 1 M P M λ µ λ λ µ µ λ µ +  −      =  −_{ } ≠     =   +

L

W

λ

=

q q

L

W

=

_ρ

₌

λ

ef

Modelo M/M/1: Fila Finita

Esta é a situação na qual a fila pode acomodar somente um número finito de unidades, ou seja, se uma unidade chega e a fila está cheia, ela vai embora sem esperar o atendimento.

Deve ser observado que neste caso a taxa de chegada (λ ) não precisa ser menor que a taxa de serviço (µ) pois a fila tem tamanho fixo.

Neste tipo de modelo aparece uma nova variável (M), que é o número máximo de unidades que podem estar no sistema, sendo M -1 o número máximo permitido na fila.

As fórmulas para este modelo são:

A taxa de chegada das unidades no sistema é λ . No entanto, algumas unidades chegam e encontram a fila cheia, ou seja, vão embora. A

taxa de chegada efetiva (λ ef) dá a taxa média das unidades que realmente permanecem no sistema, ou seja, (λ ef) é a taxa média de entrada no

sistema.

As demais fórmulas ficam então:

0 0

se

n n

P

λ

λ µ

µ

λ µ

 

≠

 

=

 



=



1 1 ( 1) se 1 se 2 M M M L M λ µ λ λ µ µ λ _λ µ λ µ + +  _{ } +  _{ }    ₋ _≠  ₋ _{ } =_ ₋        = 

0

(1

)

(1

)

ef

P

M

λ

=

µ

−

=

λ

−

(23)

Exemplo 1

Uma barbearia com 1 barbeiro tem 6 cadeiras para acomodar fregueses esperando atendimento. Os fregueses que chegam quando as 6 ca-deiras estão cheias, vão embora sem esperar. Os fregueses chegam a taxa média de 3/hora e ficam em média 15 minutos na cadeira do barbeiro.

a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro? b) Qual o número médio de fregueses esperando por atendimento?

c) Qual a taxa de chegada efetiva?

d) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia?

e) Que percentual dos fregueses potenciais vai embora sem esperar atendimento?

Dados de Entrada Unidade de

Tempo hora Entidades Clientes

Número máximo de entidades no sistema M 7

Taxa de Chegada Efetiva λ ef 2,89 2,89 Clientes por hora

(24)

Número médio de Clientes no Sistema L 2,11 Clientes Tempo médio de espera no Sistema W 0,730 horas Tempo médio de espera na Fila Wq 0,480 horas Número de entidades n 7 Clientes Probabilidade de haver n clientes no sistema Pn 3,71%

Solução M = 7 λ = 3/hr µ=4/hr a) P0 = 0,2778 = 27,78% b) L = 2,11 fregueses Lq = 1,39 fregueses c)

λ

ef =

2, 89

frergueses hr

/

d) W = 0,73 horas e)

2,89

0, 963

Percentual de fregueses atendidos.

3

ef

λ

= =

⇒

(25)

Exemplo 2

Em uma barbearia de um único barbeiro a taxa média de chegadas é de 3 fregueses por hora. A barbearia só tem lugar para acomodar 2 pessoas esperando e os eventuais fregueses que chegam quando o salão está cheio, tem de ir embora. O barbeiro é capaz de atender em média 2 fregueses por hora e cobra $7 por cada corte de cabelo. Como muitos fregueses estão indo embora sem poder serem atendidos, o barbeiro está pensando em mudar o seu método de trabalho. Após alguns estudos ele identificou 2 alternativas:

a) Trabalhar um pouco mais rápido do que atualmente, diminuindo um pouco a qualidade do corte de cabelo mas diminuindo o preço do corte para $6 para evitar reclamações. Com esta alternativa a sua taxa de serviço média iria para 3 fregueses por hora.

b) Trabalhar bem mais rápido do que atualmente, cobrando somente $5 por corte de cabelo pois haveria uma queda acentuada na qualida-de. Neste caso, sua taxa de serviço média passaria a 4 fregueses por hora.

O barbeiro deseja fazer uma avaliação econômica entre a situação atual e as 2 alternativas estudadas. O tempo perdido pelos fregueses na fila de espera está estimado em $2/hora e como o serviço feito pelo barbeiro é muito cansativo, ao tempo que ele pode descansar (por não ter ne-nhum freguês esperando) foi atribuído o valor de $4/hora, ou seja, cada hora que ele descansa é como se tivesse ganho $4.

Considerando que o dia tem 8 horas de trabalho, faça a análise econômica para o barbeiro.

Dados de Entrada Unidade de

Tempo hora Entidades Clientes

Número máximo de entidades no sistema M 7

(26)

Número médio de Clientes na Fila Lq 4,345 Clientes Número médio de Clientes no Sistema L 5,32 Clientes Tempo médio de espera no Sistema W 2,718 horas Tempo médio de espera na Fila Wq 2,218 horas Número de entidades n 7 Clientes Probabilidade de haver n clientes no sistema Pn 34,69%

Solução Situação atual

λ = 3/hr µ=2/hr M = 3

Receita com os cortes = Nº médio de fregueses atendidos/dia x $7/corte

ef

8hr/dia

$7 = 98,21/dia

λ

× ×

$ Equivalente do tempo ocioso =

P

0 8× hr dia / × $4 = 3, 94 / dia

(27)

Rendimento líquido = $98,21 + $3,94 - $17,73 = $84,42/dia

Alternativa A

λ = 3/hr µ=3/hr M = 3

0= 0,250 Wq = 0,333 hr ef = 2,25 fregueses/hr

P

λ

Rendimento Líquido = $104/dia.

Alternativa B

λ = 3/hr µ=4/hr M = 3

0= 0,3657 Wq = 0,20209 hr ef = 2,537 fregueses/hr

P

λ

Rendimento Líquido = $104,96/dia.

(28)

Modelo M/M/s: Fila Finita (s>1)

Vamos definir 2 variáveis (a e c) ressaltando que elas não tem nenhum significado e são usadas apenas para simplificar as fórmulas:

Exemplo 1

Uma barbearia com 2 barbeiros tem 5 cadeiras de espera. Os fregueses que chegam quando as 5 cadeiras estão ocupadas, vão embora. Os fregueses chegam a uma taxa média de 6/hora e ficam em média 15 minutos na cadeira de barbeiro.

a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira de barbeiro? b) Qual o número médio de fregueses esperando para serem atendidos?

c) Qual a taxa de chegada efetiva?

d) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia? e) Que percentual de fregueses vai embora?

e

a

c

s

λ

µ

= = ₀ 0 1

1

1 !

!

s M n s n s n n s

P

a

c

n

s

− = = + =









+

_

_







∑





∑



0 2

1 (

)

(1

)

!(1

)

s M s M s q P a c L c M s c c s c − −





=

_

− − − −

_

− 0 0

1 se

!

se

!

0 se

n n n n s a P n s n a P P s n M s s n M −



≤



=



< ≤



>





1 0

(

)

s q n n L L s s n P − = = + −

∑

− ef

L

W

λ

= q q ef

L

W

λ

= ef

s

λ

ρ

µ

=

(29)

Dados de Entrada Unidade

de Tempohora EntidadesFregueses Taxa de Chegada λ 6 hora

Número de servidores s 2 n fatorial(n) a^n (1/n!)*a^n c^(n-s) Pn (s-n)*Pn Número máximo de entidades no

siste-ma M 7 0 1 1 1 1,7778 16,13% 0,3226277 s-1 1 1 1,5 1,5 1,3333 24,20% 0,2419707 a λ / µ 1,5 s 2 2 2,25 1,125 1 18,15% c λ /sµ 0,75 s+1 3 6 3,375 0,5625 0,75 13,61% s+1 3 4 24 5,0625 0,210938 0,5625 10,21% s-1 1 5 120 7,59375 0,063281 0,4219 7,66% 6 720 11,3906 0,01582 0,3164 5,74% Medidas de Desempenho 7 5040 17,0859 0,00339 0,2373 4,31% Probabilidade de não haver cliente no

sistema P0 16,13% 8 40320 25,6289 0,000636 0,178 0,00% Número de Clientes no Sistema n 1 9 362880 38,4434 0,000106 0,1335 0,00% Probabilidade de haver n clientes no

sistema Pn 24,20% M 10 3628800 57,665 1,59E-05 0,1001 0,00% Número médio de Clientes na Fila Lq 1,0150 Fregueses 11 39916800 86,4976 2,17E-06 0,0751 0,00%

(30)

Número médio de Clientes no Sistema L 2,4504 Fregueses 12 4,79E+08 129,746 2,71E-07 0,0563 0,00% Taxa de Chegada Efetiva λ ef 5,7416 por hora 13 6,23E+09 194,62 3,13E-08 0,0422 0,00%

Tempo médio de espera no Sistema W 0,4268 hora 14 8,72E+10 291,929 3,35E-09 0,0317 0,00%

Tempo médio de espera na Fila Wq 0,1768 hora 3,625 2,2881 0,5645984

Taxa de utilização ρ 0,7177 2,5741

Percentual de fregueses atendidos λ ef/ λ 95,693%

Percentual de fregueses que vão embora1-λ ef/ λ 4,307%

Solução M = 7 λ = 6/hr µ=4/hr

s

= 2 a) P0 + P1 = 0,4232 = 40,32% b) Lq = 1,014 fregueses

c)

λ

ef

_{= 5,741 fregueses/hr}

d) W = 0,426 horas

e)

1 λ ef 0,0431 4,31% λ − = =

(31)

Exemplo 2

Uma oficina mecânica tem 4 mecânicos sendo que cada carro necessitando conserto é atendido por um único mecânico.

Além dos carros sendo consertados só cabem mais 6 automóveis no pátio da oficina e quando ele está cheio os fregueses tem que procurar outra oficina. A taxa média de chegadas de carros para conserto é de 3 por dia. Cada mecânico conserta, em média, 1 carro por dia.

a) Qual a probabilidade da oficina estar vazia?

b) Qual o número médio de carros esperando conserto? c) Qual o número médio de carros na oficina?

d) Dos automóveis que procuram a oficina, quantos em média ficam? e) Quanto tempo em média um carro espera na fila?

f) Quanto tempo em média um carro fica na oficina?

g) Qual a probabilidade de um carro chegar e ter vaga na oficina?

Dados de Entrada Unidade_{de Tempo}dia EntidadesCarros Taxa de Chegada λ 3 dia

Taxa de Atendimento µ 1 dia Cálculos Intermediários

Número de servidores s 4 n fatorial(n) a^n (1/n!)*a^nc^(n-s) Pn (s-n)*Pn Número máximo de entidades no

siste-ma M 10 0 1 1 1 3,1605 4,05% 0,1619566 1 1 3 3 2,3704 12,15% 0,3644025 a λ / µ 3 2 2 9 4,5 1,7778 18,22% 0,3644025 c λ /sµ 0,75 s-1 3 6 27 4,5 1,3333 18,22% 0,1822012 s+1 5 s 4 24 81 3,375 1 13,67% 0 s-1 1 s+1 5 120 243 2,025 0,75 10,25% -0,1024882

(32)

6 720 729 1,0125 0,5625 7,69% -0,1537323 Medidas de Desempenho 7 5040 2187 0,433929 0,4219 5,76% -0,1729488 Probabilidade de não haver cliente no

sistema P0 4,05% 8 40320 6561 0,162723 0,3164 4,32% -0,1729488 Número de Clientes no Sistema n 10 9 362880 19683 0,054241 0,2373 3,24% -0,1621395 Probabilidade de haver n clientes no

sistema Pn 2,43% M 10 3628800 59049 0,016272 0,178 2,43% -0,1459256 Número médio de Clientes na Fila Lq 0,9102 Carros 11 39916800 177147 0,004438 0,1335 0,00% 0

Número médio de Clientes no Sistema L 3,8372 Carros 12 4,79E+08 531441 0,001109 0,1001 0,00% 0 Taxa de Chegada Efetiva λ ef 2,9270 por dia 13 6,23E+09 1594323 0,000256 0,0751 0,00% 0

Tempo médio de espera no Sistema W 1,3110 dia 14 8,72E+10 4782969 5,49E-05 0,0563 0,00% 0

Tempo médio de espera na Fila Wq 0,3110 dia 16,375 2,4661 1,0729628

Taxa de utilização ρ 0,7318 8,323

Percentual de fregueses atendidos λ ef/ λ 97,6%

Percentual de fregueses que vão embora1-λ ef/ λ 2,432%

Solução

M = 10 λ = 3/dia µ=1/dia

s

= 4

(33)

c) L = 3,83 Carros

d)

λ

ef

= 2,92 carros/dia

W

q

= 0,31 dias

W = 1,31 dias

Pvaga

= 1 –

P10

= 1 – 0,02 = 0,98 = 98%

(34)

ef

L

=

λ

W

Em muitos problemas práticos a consideração de que a população é de tamanho infinito leva a resultados distorcidos porque na verdade a população é pequena para ser considerada de tamanho infinito. Quando isto ocorre, a presença de uma ou mais unidades no sistema tem um forte efeito na distribuição das chegadas futuras e o uso de um modelo com população infinita conduz a resultados errados. Um exemplo típico é de um pequeno grupo de máquinas que quebram de tempos em tempos necessitando conserto. Um outro exemplo, é o caso de um pequeno grupo de mecânicos que vão a determinado balcão pegar peças ou ferramentas. No caso extremo, por exemplo, se todas as máquinas estão quebradas, ne-nhuma chegada pode ocorrer. Isto contrasta com os modelos de população infinita nos quais a taxa de chegada é independente do número de uni-dades que já estão no sistema. Neste tipo de modelo, a taxa de chegada λ , é a taxa de chegada de cada unidade, ou seja, 1/ λ é o tempo médio entre

chegadas de cada unidade. No caso das máquinas, por exemplo, seria o tempo médio entre quebra de cada máquina. A taxa de chegada efetivaλ _ef

dá a taxa média de chegada, considerando todas as unidades. As fórmulas para este tipo de modelo são bastante complexas e por causa disso tem sido calculadas e tabeladas para facilitar o seu uso.

Para entrar nas tabelas abaixo precisamos de 3 informações:

Da tabela obtemos a seguinte medida: F = Fator de Eficiência

Temos então:

Suponha agora que o único desvio do modelo M/M/s seja a fonte de entradas seja limitada, ou seja, o tamanho da população solicitante é finito (N).

Fator de Serviço

X

λ

λ µ

=

⇒

+

número de estações de serviço

s

⇒

Tamanho da população

M

⇒

(1

)

q

L

=

M

−

F

λ

ef

=

FX

µ

W W

= _q +

1

q q ef

L

W

λ

=

MFX

s

ρ

= 0 1 0

1 !

!

(

)! !

(

)! !

n n s M n s P M M M n n M n s s

λ

µ

− − =



_

_



_

_

+



_

_



_

_

−

_

_

−

_

_







∑



∑

0 0 ! _{se 1} ( )! ! ! _se ( )! ! 0 se n n n n s M P n s M n n M P P s n M M n s s n M λ µ λ µ −  _{ } ≤ <  _{ } − _{ }      = _ _{ } ≤ ≤ − _{ }   _>  

(35)

A aplicação mais importante desse modelo foi a do problema do conserto de máquinas, no qual um ou mais técnicos de manutenção recebem o encargo de manter em operação certo grupo de N máquinas reparando cada uma que quebrar. A equipe de manutenção é considerada como atendentes individuais no sistema de filas se eles trabalharem individualmente em diferentes tipos de máquinas, ao passo que toda a equipe é considerada um único atendente se os membros da equipe trabalharem juntos em cada máquina. As máquinas constituem a população solicitante. Cada uma delas é considerada um cliente no siste-ma de filas quando se encontrar quebrada aguardando ser reparada, ao passo que ela se encontra fora do sistesiste-ma de filas enquanto ela estiver operacional.

Formulário sem o uso da tabela:

! para 0,1,2,..., ( )! ! ! para , 1,..., ( )! ! 0 para n n n n s N n s N n n N C n s s N N n s s n N λ µ λ µ −  _{ } =  _{ } − _{ }      = _ _{ } = + − _{ }   >    Portanto, 0 0 ! para 0,1,2,..., ( )! ! ! para , 1,..., ( )! ! 0 para n n n n s N P n s N n n N P P n s s N N n s s n N λ µ λ µ −  _{ } =  _{ } − _{ }      = _ _{ } = + − _{ }   _>   

(36)

Em que 0 1 0 1 ! ! ( )! ! ( )! ! n n s N n s n n s P N N N n n N n s s λ λ µ µ − − = = =  _ _ _ _  +  _ _ _ _  − _ _ − _ _   

∑

 Finalmente, ( ) N q n n s L n s P = =

∑

− e 1 1 0 0 1 s s n q n n n L nP L s P − − = =   = + + _ − _  

∑

. Assim, L W λ = e q q L W λ = . Em que: 0 0 ( ) ( ) N n n n n n P N n P N L λ λ λ λ ∞ = = =

∑

=

∑

− = −

Todos os exemplos relativos ao modelo M/M/s população finita podem ser realizados pela planilha do Excel sem o uso das tabelas.

Exemplo 1

Uma companhia pesqueira tem 2 estaleiros para conserto de seus barcos. Cada barco quebra, em média, de 4 em 4 semanas. Cada estalei-ro gasta, em média, 1 semana para consertar cada barco. A festalei-rota atual da companhia é de 10 barcos.

a) Qual a probabilidade do estaleiro estar vazio?

b) Em média quantos barcos quebrados ficam aguardando conserto? c) Em média, quantos barcos estão parados no estaleiro?

d) Qual a taxa de chegada de barcos no estaleiro?

e) Quanto tempo, em média, um barco aguarda para começar a ser consertado? f) Quanto tempo, em média, um barco fica parado?

(37)

Dados de Entrada Unidade de Tempo semana Clientes Barcos Taxa de Chegada λ 0,25 semana

Taxa de Atendimento µ 1 semana n

(M!/(M-n)!n!)*(λ / µ)^n (M!/(M-n)!s!s^(n-s))*(λ / µ)^n Número de servidores s 2 0 1 2 Tamanho da População M 10 s-1 1 2,5 2,5 s 2 2,8125 2,8125 X λ /(λ +µ) 0,2 3 1,875 2,8125 Fator de Eficiência F 0,854 4 0,8203125 2,4609375 s-1 1 5 0,24609375 1,845703125 6 0,051269531 1,153564453 7 0,007324219 0,576782227 Medidas de Desempenho 8 0,000686646 0,216293335 Lq 1,46 Barcos 9 3,8147E-05 0,054073334

λ ef 1,708 Barcos por semana M 10 9,53674E-07 0,006759167

Wq 0,855 semana 3,5 11,93911314

W 1,85 semana L 3,17 Barcos

(38)

P0 6,48% n 5 Pn 11,95% Solução M = 10 λ = 0,25/Semana µ=1/Semana

s

= 2 0,25 X= =0,2 0,25+1 F= 0,854 => (tabela página 232) a) P0 = 0,065 = 6,5% b) Lq = 1,46 barcos c) L = 3,16 barcos d) λ ef =

1,708

barcos/semana

W

q

= 0,85 semanas

W = 1,85 semanas

Exemplo 2

Dois mecânicos tem a tarefa de consertar 5 máquinas. Cada máquina quebra a uma taxa média de uma vez a cada hora. Cada mecânico pode reparar as máquinas a taxa média de 4/hora.

a) Qual o número médio de máquinas esperando reparo? b) Qual o número médio de máquinas que estão fora de serviço? c) Qual a taxa de chegada quando consideramos as 5 máquinas? d) Quanto tempo, em média, uma máquina quebrada espera na fila? e) E no sistema?

(39)

Dados de Entrada Unidade de Tempo hora Clientes máquinas Taxa de Chegada λ 1 hora

Taxa de Atendimento µ 4 hora n

(M!/(M-n)!n!)*(λ / µ)^n (M!/(M-n)!s!s^(n-s))*(λ / µ)^n Número de servidores s 2 0 1 2 Tamanho da População M 5 s-1 1 2,5 2,5 s 2 2,8125 2,8125 X λ /(λ +µ) 0,2 3 1,875 2,8125 Fator de Eficiência F 0,976 4 0,8203125 2,4609375 s-1 1 M 5 0,24609375 1,845703125 6 0,051269531 1,153564453 7 0,007324219 0,576782227 Medidas de Desempenho 8 0,000686646 0,216293335 Lq 0,12 máquinas 9 3,8147E-05 0,054073334

λ ef 3,904 máquinas por hora 10 9,53674E-07 0,006759167

Wq 0,031 hora 3,5 9,931640625

W 0,28 hora L 1,096 máquinas

(40)

P0 7,45% n 5 Pn 13,74% Solução M = 5 λ = 1/hr µ=4/hr

s

= 2 1 X= = 0,2 1+4 Da tabela () F = 0, 976 a) Lq = 0,12 máquinas b) L = 1, 093 máquinas c)

λ

ef

= 3, 904 máquinas/hr

d)

W

q

= 0,03 hr

W = 0,28 hs

Exemplo 3

Uma empresa de frete aéreo tem 20 terminais (buferizados) em uma linha de comunicação. Os terminais são usados para entrada de dados no sistema central de computação. O tempo médio necesário para digitar uma entrada no buffer do terminal é 80 segundos e este tempo de digita-ção é exponencialmente distribuído. Cada mensagem enviada de um terminal, consome, em média 2 segundos de CPU (exponencial).

Calcule quantas requisições dos terminais são enviadas para a CPU e qual tempo de resposta médio para cada requisição.

(41)

Taxa de Chegada λ 0,75 minuto

Taxa de Atendimento µ 30 minuto n

(M!/(M-n)!n!)*(λ / µ)^n (M!/(M-n)!s!s^(n-s))*(λ / µ)^n Número de servidores s 1 s-1 0 1 1 Tamanho da População M 20 s 1 0,5 0,5 2 0,11875 0,2375 X λ /(λ +µ) 0,02439024 3 0,0178125 0,106875 Fator de Eficiência F 0,982 4 0,001892578 0,045421875 s-1 0 5 0,000151406 0,01816875 6 9,46289E-06 0,006813281 7 4,73145E-07 0,002384648

Medidas de Desempenho 8 1,92215E-08 0,000775011

Lq 0,36 máquinas 9 6,40717E-10 0,000232503

λ ef 14,371 máquinas por minuto 10 1,76197E-11 6,39384E-05

Wq 0,025 minuto 11 4,00448E-13 1,59846E-05 W 0,0584 minuto 12 7,5084E-15 3,59653E-06 L 0,839 máquinas 13 1,15514E-16 7,19307E-07

ρ 0,48 14 1,44392E-18 1,25879E-07

(42)

n 1 16 1,12806E-22 2,36023E-09 Pn 26,07% 17 6,63567E-25 2,36023E-10 18 2,76486E-27 1,77017E-11 19 7,27596E-30 8,85085E-13 M 20 9,09495E-33 2,21271E-14 1 0,918255455 Solução M = 20 λ = 0,75/min µ=30/min

s

= 1 0,75 X= = 0,244 0,024 0,75+30 ≅ Da tabela => F = 0,982

Requisições enviadas para a CPU:

λ

eff

= MFX = (20)(0,982)(0,024)(30) = 14,14/min.

λ

_eff µ Tempo de Resposta: (W)F = 0, 976 Lq= M (1-F)= 20 (1 - 0,982) = 0,36 0,36 0,0255 min . 14,14 q W = =

W = W

q

+ 1/µ = 0,0255 + 1/30 = 0,0558 min. = 3,53 segundos

Exemplo 4

Considere um sistema detime sharing com 20 terminais ativos. Cada terminal submete um job ao processador a cada 3 segundos

(43)

(ex-Determine quantos jobs, em média, estão no processador central e qual o tempo médio de resposta para cada job submetido.

Dados de Entrada Unidade de Tempo minuto Clientes máquinas Taxa de Chegada λ 20 minuto

Taxa de Atendimento µ 300 minuto n

(M!/(M-n)!n!)*(λ / µ)^n (M!/(M-n)!s!s^(n-s))*(λ / µ)^n Número de servidores s 1 s-1 0 1 1 Tamanho da População M 20 s 1 1,333333333 1,333333333 2 0,844444444 1,688888889 X λ /(λ +µ) 0,0625 3 0,337777778 2,026666667 Fator de Eficiência F 0,768 4 0,095703704 2,296888889 s-1 0 5 0,02041679 2,450014815 6 0,003402798 2,450014815 7 0,000453706 2,286680494

Medidas de Desempenho 8 4,91515E-05 1,981789761

Lq 4,64 máquinas 9 4,36903E-06 1,585431809

λ ef 288,000 máquinas por minuto 10 3,20395E-07 1,162649993

Wq 0,016 minuto 11 1,94179E-08 0,775099996 W 0,0194 minuto 12 9,70894E-10 0,465059997 L 5,600 máquinas 13 3,98316E-11 0,248031999

(44)

ρ 0,96 14 1,32772E-12 0,115748266 P0 4,56% 15 3,54058E-14 0,046299306 n 1 16 7,37622E-16 0,015433102 Pn 6,08% 17 1,15705E-17 0,004115494 18 1,28562E-19 0,000823099 19 9,02186E-22 0,000109747 20 3,00729E-24 7,31643E-06 1 20,93308779 Solução

M = 20 λ = 20/min µ=500.000/1000.000 = 0,2/Segundo = 300/min

s

= 1

20 X= = 0,0625 0,062 320 ≃ Da tabela => F = 0,768 ef f = MFX = (20)(0,768)(0,062)(300) = 285,196/min = 4, 7533/segundo

λ

µ q L = M (1-F)= 20 (1 - 0,768) = 4,64 4,64 0,0163min. 285,196 q q L W eff λ = =

Tempo de resposta médio: (W)

W = W

q

+ 1/µ = 0, 0196 min. = 1,1762 segundos

Jobs no processador: (L)

eff

(45)

As tabelas a seguir 1 tem como objetivo facilitar os cálculos para modelos de filas com população de tamanho finito.

As tabelas aqui contidas, por problema de espaço, só abrangem os modelos com população igual a 5, 10, 20 e 30 elementos. Sendo assim, os exercícios apresentados só tratam modelos com populações de um daqueles tamanhos.

No acesso a tabela, deve-se observar que, em cada página, existem 3 colunas, cada uma com 4 valores: X, S, D e F.

A seqüência dos valores é por coluna. Sendo assim, iniciamos na 1ª coluna, descemos até embaixo na página e, ao chegar ao final, subi-mos para a 2ª coluna. Quando esta acaba, embaixo na página, subisubi-mos para a 3ª coluna e quando chegasubi-mos ao final, mudasubi-mos para a próxima página onde a seqüência é a mesma.

Na própria tabela está impresso onde ela começa a valer para uma determinada população. Assim, após encontrar impresso População 10, por exemplo, passam a valer os valores para esta população.

Modelo M/G/1

Como já citamos, a análise matemática de modelos de filas com distribuições diferentes da Poisson (Exponencial) é muito difícil e poucos modelos têm solução analítica.

A distribuição das chegadas segue a Poisson, mas a distribuição do serviço segue uma distribuição qualquer (Geral) da qual se conhece a média 1/ µ e a variânciaσ2.

As fórmulas para o modelo são:

Exemplo 1

λ

ρ

=

0

1 P

= −

2 2 2

2(1

)

q

L

=

λ σ

+

ρ

−

L L

q

ρ

=

+

q q

L

W

λ

=

W W q

1 µ

= +

(46)

Pessoas chegam a um pequeno posto do correio a taxa de 30 por hora. O serviço é executado por apenas um funcionário e o tempo de ser-viço é normalmente distribuído, ou seja, segue uma distribuição normal com média de 1 minuto e σ = 0,30 minutos.

a) Quanto tempo, em média, uma pessoa espera na fila?

b) Quanto tempo, em média, uma pessoa fica no posto do correio? c) Qual o número médio de pessoas na fila?

d) Qual o número médio de pessoas no posto de serviço? e) Qual a probabilidade do funcionário estar ocioso?

Dados de Entrada Unidade de Tempo minuto Clientes pessoas Taxa de Chegada λ 0,5 por minuto

Desvio-padrão σ 0,30 por minuto

(47)

Número médio de Clientes na Fila Lq 0,2725 pessoas Número médio de Clientes no Sistema L 0,7725 pessoas Tempo médio de espera no Sistema W 1,5450 minutos Tempo médio de espera na Fila Wq 0,5450 minutos

P0 50,00% Solução λ = 0,5/min µ=1/min

σ

2 = (0,30)2=0,09M = 20

0,09

ρ

= 0,5

0,75 X= = 0,244 0,024 0,75+30 ≃ Tempo de Resposta: (W)F = 0, 976 Lq= M (1-F)= 20 (1 - 0,982) = 0,36 0,36 _{0,0255 min .} 14,14 q W = =

W = W

q

+ 1/µ = 0,0255 + 1/30 = 0,0558 min.

= 3,53

se-gundos

Exemplo 2

(48)

Dados de Entrada Unidade de Tempo minuto Clientes pessoas Taxa de Chegada λ 0,5 por minuto

Desvio-padrão σ 0,00 por minuto

Número médio de Clientes na Fila Lq 0,2500 pessoas Número médio de Clientes no Sistema L 0,75 pessoas Tempo médio de espera no Sistema W 1,50 minutos Tempo médio de espera na Fila Wq 0,50 minutos

P0 50,00%

Solução

ρ= 0,5 P0= 0,5 = 50% (e) Lq = 0,25 pessoas (c)

(49)

Modelo M/E

k

/1

Neste tipo de modelo, a distribuição da duração do serviço segue uma distribuição de Erlang com parâmetro k. No último exemplo do modelo anterior, supomos uma variação igual a zero para a duração do serviço (σ = 0) enquanto que a distribuição exponencial tem um alto grau

de variabilidade (σ = 1/ µ). Entre estes 2 casos extremos temos uma área intermediária (0 <σ < 1/ µ) onde cai uma boa parte das distribuições reais

da duração do serviço.

Uma distribuição que "preenche" este intervalo é chamada distribuição de Erlang. Sua média e desvio-padrão são:

Pode-se ver que k é o parâmetro que especifica o grau de variabilidade das durações de serviço em relação à média. Na verdade para cada k temos uma distribuição e por isto vamos considerar a distribuição de Erlang como uma família de distribuições. Assim a constante (σ = 0) e a

exponencial (σ = 1/ µ) são elementos desta família com k =∞ e k = 1, respectivamente.

A distibuição de Erlang tmabém é muito importante em teoria das filas pela seguinte propriedade: Suponha que T₁, T₂, ..., T_k são k variáveis aleatórias independentes com uma distribuição exponencial idêntica cuja média é 1/kµ.

Então a soma T = T₁ + T₂ + ... + T_k segue uma distribuição de Erlang com parâmetrosµ e k.

É muito comum que o serviço prestado a uma unidade em um sistema de filas seja constituído de k tarefas consecutivas onde a duração de cada uma delas segue a mesma distribuição exponencial, com média 1/kµ. Então a duração total (ou seja, a execução das k tarefas) segue uma

distribuição de Erlang com parâmetros k eµ.

Para este modelo temos:

1 x

=

1 1

, onde

k

0 e inteiro

k

σ

µ

= ≥ 2 (1 ) 2 ( ) q k L k λ µ µ λ + = − (1 ) 2 ( ) q k W k λ µ µ λ + = − 1 q W W µ = +

(50)

Exemplo 1

Uma oficina de manutenção de uma linha aérea só tem meios para fazer a manutenção de um motor de cada vez. Por isso, para fazer com que os aviões regressem ao serviço tão logo seja possível, a política adotada tem sido de alternar a manutenção dos 4 motores de cada avião, ou seja, só se faz a manutenção de 1 dos motores cada vez que o avião vai para oficina.

Sob esta política os aviões tem chegado segundo um Processo de Poisson a taxa média de 1 por dia. O tempo necessário para reparar um motor (uma vez que se tenha iniciado o trabalho) tem uma distribuição exponencial com média de 0,5 dias. Existe uma proposição de se trocar a política de maneira que se reparem os 4 motores, consecutivamente, cada vez que o avião for a oficina. Embora isto quadruplique o tempo espe-rado de serviço, a freqüência com que os aviões necessitariam ir a oficina seria 1/4 da atual. Deve-se implantar a nova proposta?

Dados de Entrada

Taxa de Chegada λ 0,25 por dia

Taxa de Atendimento µ 0,5 por dia

Parâmetro k k 4

Número médio de Clientes na Fila Lq 0,31 Número médio de Clientes no Sistema L 0,81 Tempo médio de espera no Sistema W 3,25 dias Tempo médio de espera na Fila Wq 1,25 dias

(51)

Solução Situação atual

Modelo I:λ = 1/dia µ = 2/dia

W = 1/(µ -λ ) = 1 dia

Como temos 4 motores para cada avião temos: W = 4 x 1 = 4 dias Situação proposta

Modelo VII:λ = 0,25/dia T = T1 + T2 + T3 + T4 => Erlang com k = 4

1/kµ= 0,5 1/4µ= 0,5 µ = 0,5/dia

Wq= 1,25 dias W = 3,25 dias A situação proposta é melhor (3,25 < 4).

Exemplo 2

Um alfaiate faz ternos sob medida. Cada terno, para ser feito, implica na execução de 4 tarefas distintas. O alfaiate faz as 4 tarefas de cada terno antes de começar outro. O tempo para executar cada tarefa segue uma distribuição exponencial com média de 2 horas. Os pedidos chegam a taxa média de 5,5 por semana (8 horas por dia, 6 dias por semana). Quanto tempo em média um terno demora para ficar pronto?

(52)

Taxa de Chegada λ 0,114583 por semana

Parâmetro k k 4

Número médio de Clientes na Fila Lq 0,00 Número médio de Clientes no Sistema L 0,06

Tempo médio de espera no Sistema W 0,52 dias Tempo médio de espera na Fila Wq0,02 dias

Solução K= 4 = 7 λ = 3/hr µ=4/hr 1/4µ = 2 µ= 0,125/hr λ = 5,5/semana = 0,11458/hr Wq55 hs W =Wq+ 1/µ = 63hr

(53)

�� O �� . E�� : � �� (χ 2) � � �� K��S�� (K�S), �� . O� �� , �� , �� . A �� . O �� K�S � �� Q�� , �� . E� �� , �� Q�� . G��, � �� 100 ��, �� (PEDGEN, 1990; LA�, 1991). J� � �� K�S, � �� . �� , �� , �� . �� O �� Q�� (�� ) �� . E� �� k (k = 1, 2, ...,K ), �� E , �� (k O ), � � �� k �� (T ) �� :k 2 ( ) , 1,2,..., k k k k O T E k K T − = = A �� E �� , �� K �� , �� E, �� k �� K-1-n �� , �� : 1 K k k E E = =

∑

(54)

E�� 100(α )% � K-1-n �� , ��, �� , � �� E crítico. S� E �� E crítico, �� . �� : � �� E �� 5. C�� , �� . E�� , K-1-n ��, �� , � �� K ��. �� 1� ��, �� χ 2(��), �� , �� , � �� P�� λ = 2/��. ��/��. (��) �� 0 39 1 91 2 67 3 59 4 28 5 10 6 4 7 2 300

(55)

M�� λ = 2/��. P�� , �� . N�� , � �� : o Probabilidade(n de observações )= ! k e k k λ λ − = �� : 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 F r e q u ê n c i a a b s o l u t a

Chegadas por minuto

Frequência da amostra x Frequência teórica

(56)

�� / / ��. ��. �(�� (�� ) �) �� 0 0 0,135 0,135 300�0,135=40,5300�0,135=40,5 1 1 0,270 0,270 300�0,270=81300�0,270=81 2 2 0,270 0,270 8181 3 3 0,180 0,180 5454 4 4 0,090 0,090 2727 5 5 0,036 0,036 10,810,8 6 6 0,012 0,012 3,63,6 7 7 0,003 0,003 0,90,9 N� �� χ N� �� χ 22, �� , �� 5, �� 5, �� 5.� 5. N�� , � �� (=4) � N�� , � �� (=4) � �� (=2) �� (=2) �� 6. O�� 6. O �� . L��,�� . L��, 22 22 (Frequência observada-Frequência esperada)(Frequência observada-Frequência esperada)

Frequência esperada Frequência esperada calculado calculado χ χ ==

∑

N� �� , ��: N� �� , ��: 22 22 22 22 22 22 22 22 ((3399 4400,,55)) ((9911 8811)) ((6677 8811)) ((5599 5544)) ((2288 2277)) ((1100 1100,,88)) ((66 44,,55)) _4,76_4,76 4400,,55 8811 8811 5544 2277 1100,,88 44,,55 calculado calculado χ χ == −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− ++ −− == �� H��: �� H��: H H00: A �� P�� : A �� P�� λ λ ==22 H H��: A �� P��: A �� P��λ λ ==22.. �� S� S� χ χ c ac allc u22c ul al ad o d o >>χ χ t ab et a22b el al ad od o, , �� (H(H00) �� P) �� P�� λ λ ==22..

(57)

P��

P�� χ χ tabeladotabelado22 , , �� ((vv) �� :) �� :

Núm

Número de ero de parpares(es(FreFreq. Obsq. Observervada / Fada / Freqreq. Espe. Esperadarada)) 11 NúmeNúmero de paro de parâmrâmetretros estos estimadimados pelos pela amoa amostrastra

vv = = − − −− N� P��, � �� N� P��, � �� λ λ . . L��, L��, vv= = − − =7 1 1 57 1 1 5− − = _.. O��

O�� χ χ _tabelado_tabelado22 � � � � �� α α , �� , �� . N� �� , �

�� . N� �� , � �� 5% �� 5% �� . C�� . C�� vv ��α α �� Q�I�Q�I� Q�ADRADO �� 97, ��

Q�ADRADO �� 97, �� χ χ tabeladotabelado22 ==11,0711,07..

A �� Q�I�Q�ADRADO � �� , �� A �� Q�I�Q�ADRADO � �� , �� , � �� P��.��, � �� P��. �� 2� �� 2� ��, �� χ ��, �� χ 22, �� , �� , �� , �� , � �� , � �� 11 2020 µ µ == ��, ��, �� , ��, � � �� µ µ ==33 // miminunutoto.. �� (��) (��) �� 0 0 � � 30 30 480480 30 30 � � 60 60 3333 60 60 � � 90 90 1919 90 90 � � 120 120 77 120 120 � � 150 150 11 540 540 C�� C�� , ��:�� , ��: 22 11 22 11 11 22