7 COMPONENTES REATIVOS.

62

7 – COMPONENTES REATIVOS.

Campo elétrico

Vamos supor que se introduz uma diferença de potencial V entre duas chapas condutoras. Ver fig. 7-1.

V ε

Fig. 7-1

Em todo ponto, situado no espaço entre essas duas chapas, passa uma linha invisível chamada de linha de campo elétrico. A fig. 7-1 mostra algumas dessas linhas. Se for colocada, sobre uma destas linhas, uma partícula carregada com carga negativa, esta partícula se desloca, ao longo da linha, no sentido da flecha, até atingir a chapa positiva. Se a partícula estiver carregada positivamente, o deslocamento é em sentido contrário. Por isto essas linhas são também chamadas de linhas de força.

A chapa ligada ao potencial negativo se chama catodo e a outra tem o nome de anodo. Podemos dar, como exemplo de partícula com carga negativa, um elétron. Dentro de um tubo de um televisor, por exemplo, tem-se o deslocamento de um feixe de elétrons que saem, continuamente, do catodo e atingem o anodo.

Outros exemplos de partículas carregadas negativamente ou positivamente são os íons. Íon é um átomo ou uma molécula que perdeu ou ganhou elétrons. No primeiro caso esse elemento se transformou em um íon positivo e no segundo caso tornou-se um íon negativo. As principais aplicações do deslocamento de íons, entre catodo e anodo, são a eletrólise e a galvanoplastia.

A entidade física que provoca o deslocamento dessas partículas é chamada de “campo elétrico”. Em cada ponto, situado entre as duas chapas, existe um campo elétrico. As velocidades e acelerações, daquelas partículas, dependem dos valores, desse campo elétrico, ao longo das linhas de força.

O valor do campo elétrico, presente em cada ponto, pode ser determinado por meio de expressões matemáticas. Sua unidade física é volt por metro e seu símbolo matemático, mais usual, é a letra grega .ε

Por exemplo, quando a distância entre as placas é muito menor do que suas dimensões, o campo elétrico é, aproximadamente constante, e tem o valor:

d V ≈

ε

onde V é a diferença de potencial entre as chapas e d é a distância entre elas..

Exemplo: Sejam duas chapas quadradas com 1 metro de lado, distantes, entre si, de 2 cm. Se introduzirmos uma diferença de potencial de 5 volt, entre elas, teremos em qualquer ponto, situado no espaço compreendido entre essas chapas, o campo elétrico:

63 m v m v d V 250 02 , 0 5 = = ≈ ε

Na realidade, para que haja formação de campos elétricos, não é necessário que o anodo e o catodo tenham o formato, das chapas, descrito. Quaisquer dois condutores, com uma diferença de potencial entre si, geram campos elétricos. A fig. 7-2.a mostra o caso em que o catodo e o anodo são fios condutores. A fig. 7-2.b mostra as linhas de força em um plano transversal a esses condutores.

V

V

(a)

_(b)

Fig. 7-2 Capacitor

Quando se tem um dispositivo na forma de duas chapas colocadas a uma pequena distância entre si, tem-se um capacitor. Portanto o dispositivo mostrado na fig. 7-1 é um capacitor.

Quando se coloca entre as chapas, por meio de uma bateria, uma diferença de potencial V, esta diferença de potencial permanece, mesmo depois que a bateria for retirada. Ver fig.7-3.

Diz-se que este capacitor ficou carregado com a tensão V. O capacitor é um componente elétrico muito usado em circuitos de corrente alternada.

64 V

ε

⇒

ε

V Fig. 7-3 Construção do capacitor

Um capacitor pode ser construído usando-se duas placas condutoras, isoladas entre si, cuja distância, uma da outra, é muito menor do que as dimensões das placas. A fig. 7-4.a mostra este dispositivo em perspectiva. A fig. 7-4.b mostra o corte na posição BB da primeira figura. B _B (a) (b) d A B B Fig. 7-4

Nessa fig.7-4, o parâmetro A representa a área de cada placa e d é a distância entre essas placas. Estão mostrados, ainda, os terminais condutores que são conectados individualmente a cada placa. Estes terminais são necessários para que se possa intercalar este dispositivo em circuitos elétricos. A fig. 7-5, mostra como um capacitor é representado no esquema de um circuito elétrico.

C

65

No capacitor da fig. 7-4 as placas estão isoladas apenas pela presença de ar entre elas. Entretanto, o mais comum é ter um material não condutor (isolante) separando essas placas. Este material recebe o nome de dielétrico. A fig. 7-6 mostra o corte, ainda na posição BB, de um capacitor contendo dielétrico entre as placas.

r

ε

B B

Fig. 7-6

O material isolante possui um parâmetro denominado constante dielétrica relativa. Seu símbolo matemático é εr. O capacitor construído, conforme mostrado nas figuras 7-4

e 7-6, possui a o valor da capacitância, na unidade Farad,. Esse valor é calculado pela fórmula: d A C = × − × _r× ε 12 10 85 , 8

[

Farad

]

Nesta expressão, ε_r é um número adimensional, d deve ser dado em metro e A, em

metro quadrado.

A tabela 7-1 mostra os valores de εr para alguns dielétricos.

Tabela 7-1

Dielétrico Const. Dielétrica

( )

εr

Ar 1,00 Baquelite 5 Vidro 6 Mica 5 Óleo 4 Papel 2,5 Borracha 3 Teflon 2 --- Exercício 7-1

66

Um capacitor de 200×10−12F (200 pF), deve ser construído conforme as figuras 7-4 e 7-6, utilizando chapas quadradas. Sabendo que a distância entre as placas é

m

d =1×10−4 , determinar a medida de cada lado dessas placas, para os seguintes casos: a) Dielétrico ar

b) Dielétrico mica. Solução:

a) Para o ar, tem-se ε_r =1,00

d A C = × × r× −12 _ε 10 85 , 8 = 12 A₄ 200 10 12F 10 00 , 1 10 85 , 8 − − − × = × × × 2 3 12 4 12 10 26 , 2 10 85 , 8 10 10 200 m A ₋ − − − × = × × × = 2 l l l A= × = m A l= = 2,26×10−3 =4,75×10−2 = 4,75 cm b) Para a mica, tem-se εr =5

d A C = × − × _r× ε 12 10 85 , 8 =C 12 A₄ 200 10 12F 10 5 10 85 , 8 − − − × = × × × = 2 4 12 4 12 10 5 , 4 10 85 , 8 5 10 10 200 m A ₋ − − − × = × × × × = m l= 4,5×10−4 =2,13×10−2 = 2,13 cm

Conclusão: a presença do dielétrico faz diminuir o tamanho do capacitor.

--- Campo magnético

Um ímã, com seus pólos norte e sul, também pode produzir movimentos em partículas, devido ao seu magnetismo. Contudo, essas partículas, para sofrerem esses

deslocamentos, têm que ter propriedades magnéticas, como por exemplo, o ferro. Na região, onde se encontra o ímã, tem-se a presença de linhas de campo magnético. O conjunto dessas linhas se chama fluxo magnético.

Entretanto, temos aqui, uma característica básica diferente em relação ao campo elétrico. As linhas de fluxo magnético são sempre fechadas. Ver fig. 7-7

67

S

N

Fig. 7-7

Essas linhas partem do pólo norte para o pólo sul na parte externa do material, e do pólo sul para o pólo norte na região do material.

Linhas de campo magnético produzidas pela corrente elétrica.

Nas primeiras experiências históricas, com a eletricidade, notou-se que quando a corrente elétrica percorria um fio condutor, a agulha magnética de uma bússola, situada perto do condutor, sofria um desvio. Portanto, a corrente elétrica, de alguma forma, provocava o fenômeno do magnetismo. Este fenômeno ficou conhecido como eletromagnetismo.

A fig. 7-8.a mostra, em perspectiva, algumas linhas de campo magnético provocadas pela corrente elétrica no fio condutor. A fig. 7-8.b, mostra essas mesmas linhas em um plano transversal ao fio condutor. Supõe-se que o sentido da corrente é do papel para o leitor. Podemos observar que cada linha forma um círculo perfeito.

I

(a) (b)

Fig. 7-8

68

Exemplo: Seja um fio condutor de 1 metro de comprimento percorrido por uma corrente elétrica de 1 ampere. O campo magnético em um ponto, distante 1 cm deste fio, resulta:

m A m A r I H 15,9 01 , 0 2 1 2 × = × ≈ ≈ π π

Campos magnéticos resultantes de uma corrente elétrica que percorre uma espira. A fig. 7-9 mostra a configuração das linhas, de campo magnético, provocadas por uma corrente elétrica ao percorrer um condutor com a forma de uma espira circular.

I

Fig. 7-9

Indutor

Quando o fio condutor tem a forma de um conjunto de espiras, como mostrado na fig. 7-10, temos um indutor ou bobina.

I

69

Podemos observar que as linhas de fluxo possuem configuração semelhante àquelas de um ímã. Portanto, neste caso temos a produção de um dispositivo com o comportamento de um ímã. Entretanto, para correntes elétricas, de valores moderados, a intensidade do campo magnético é muito mais fraca do que a de um ímã que possuísse a mesma configuração de linhas de fluxo magnético.

Além disto, ao contrário do que acontece com o campo elétrico, ao se desligar a corrente elétrica, as linhas de fluxo magnético desaparecem.

Indutor com núcleo de ferro

A fig. 7-11 mostra um indutor que contém, internamente, um núcleo de ferro doce. Este núcleo, isoladamente, não é um ímã. Entretanto, quando a corrente elétrica percorre as espiras, as linhas de fluxo magnético se concentram dentro desse núcleo. Desta maneira o sistema se converte em um dispositivo chamado eletro ímã. Mesmo para correntes elétricas moderadas, a presença desse núcleo, torna os campos magnéticos muito mais intensos. Esses campos magnéticos podem se tornar tão intensos como os de um ímã propriamente dito.

A principal diferença entre um ímã e um eletro ímã é que este último deixa de se comportar como ímã quando a corrente elétrica é desligada.

I

Fig. 7-11 Principais aplicações do eletro magnetismo

Os indutores, com ou sem núcleo de ferro, são muito empregados em circuitos de corrente alternada e aparelhos eletrônicos.

Também, a produção da faísca elétrica, nos motores de combustão dos automóveis, é provocada por um circuito elétrico cujo principal elemento é um indutor.

Outra aplicação importante, do eletromagnetismo, é na construção de motores elétricos. Podemos mencionar, ainda, os eletro ímãs propriamente ditos. São usados,

principalmente, para transportar sucata de ferro de um lugar para outro. O eletro ímã é agregado a guindaste. Quando a corrente elétrica é ligada, ele atrai e segura a sucata de ferro. Dessa maneira, essa sucata é transportada até outro local onde é liberada por meio da interrupção daquela corrente elétrica.

70

Construção do indutor utilizado em circuitos elétricos.

Vimos que um indutor vem a ser um fio condutor formando uma determinada

quantidade de espiras. Quando uma corrente percorre esse condutor são geradas linhas de campo magnético de tal maneira que o dispositivo se comporta como um ímã. Ver Fig. 7-12.

I

Fig. 7-12

Vimos, também, que o efeito eletro-magnético se torna mais intenso quando se tem um material ferroso colocado no interior das espiras. Diz-se que o indutor contém um núcleo ferroso. Este material concentra as linhas de campo magnético existentes no interior dessas espiras.Ver fig, 7-13.

I

Fig. 7-13

O núcleo fica magnetizado apenas durante a presença da corrente elétrica. Quando esta corrente cessa, a imantação desaparece. Se a corrente elétrica for alternada, o sentido das linhas magnéticas também se alterna. Neste caso dizemos que temos um campo magnético alternado. Isto significa que os pólos norte e sul do eletro-imã se alternam acompanhando a alternância da corrente.

Na fig. 7-13 nota-se que o percurso das linhas de fluxo acontece uma parte no núcleo e outra parte no ar.

Indutor com núcleo fechado

A intensidade do campo magnético fica ainda bem maior quando se consegue fazer com que o percurso total, das linhas de fluxo, seja dentro do material ferroso. Isto se

71

consegue, usando um núcleo fechado tendo, por exemplo, o formato mostrado na fig. 7-14.

Linha do fluxo magnético I

Fig. 7-14

A intensidade do campo magnético, além de depender da intensidade da corrente elétrica, depende, também, de uma grandeza física chamada de permeabilidade relativa do núcleo. Este parâmetro tem como símbolo µr. Quando não se usa núcleo no indutor

(núcleo de ar), tem-se µ_r =1. Quando se usa núcleo fechado como na fig. 7-14, o

parâmetro µ possui um valor que é específico do material ferroso: r µ . Entretanto, rm

muitos indutores são do tipo de núcleo aberto, como mostrado na fig. 7-13. Neste arranjo, como já vimos, uma parte do percurso das linhas magnéticas acontece no núcleo ferroso e outra parte no ar. Neste caso tem-se uma permeabilidade equivalente cujo valor é intermediário entre 1 eµ : _rm

1<µre <µrm

Os núcleos dos indutores são ligas metálicas onde se tem, em maior porcentagem, o elemento ferro. Em eletro-técnica o material mais empregado é uma liga ferro-silício,

onde se tem 4 % de silício e 96 % ferro. Neste caso, µ_rm ≈ 900.

A unidade mks, para a indutância, é o Henry. O valor de um indutor, construído com

núcleo fechado, como mostrado na Fig. 7-14, obedece à fórmula matemática:

l N S L _rm 2 7 10 4 × × = π − µ

[

Henry

]

7-1

Nesta expressão tem-se:

l = comprimento do trajeto total, das linhas do fluxo, no núcleo fechado. Sua unidade

deve ser dada em metro.

S = área da secção do núcleo em m2.

72

--- Exercício 7-4

Um indutor, construído em núcleo fechado, como mostrado fig. 7-14, foi enrolado com

200 espiras. Seu núcleo possui µ_rm =900. O comprimento do trajeto das linhas do

fluxo magnético, nesse núcleo, é l=0,1 m. A área de sua secção é S =4×10−4m2.

Determinar o valor desse indutor.

1 , 0 200 10 4 900 10 4 2 4 7 × × × × = − − π L =0,181 H --- Quando o núcleo é aberto, as formulas para o projeto são muito complexas e pouco confiáveis. O mesmo acontece para os indutores com núcleo de ar

73

8 - GERAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

Gerador simples de tensão alternada.

A fig. 8-1 mostra um gerador de tensão alternada simples. Anel deslizante escova carga Anel deslizante a b rotação

N

_S

φ

Fig. 8-1

Ele é formado por uma espira condutora situada entre os pólos norte e sul de um ímã tipo ferradura. Portanto, a espira se situa em uma região onde existe um fluxo de linhas de campo magnético. Esta espira gira com velocidade de rotação constante igual a ω rd/s. Durante a rotação, é induzida uma diferença de potencial nos terminais dessa espira. Esta diferença de potencial se alterna positiva e negativamente conforme a posição da espira em relação às linhas do fluxo magnético. Cada um dos terminais da espira desliza em contato com um anel fixo. O elemento que faz o contacto é

denominado escova. Deste modo, a tensão alternada gerada pode ser aproveitada para alimentar uma carga fixa. A tensão induzida segue a expressão matemática:

e=kAωcosωt

Nesta expressão, k é uma constante que depende da intensidade do campo magnético

produzido pelo ímã. O parâmetro A vem a se a área compreendida no plano interior da

espira. Como já mencionamos, ω é a velocidade angular de rotação na unidade radiano por segundo.

Podemos substituir ω por

T

π 2

, onde T é o período de rotação na unidade segundos.

Resulta: t T T kA e= ×2π cos2π

74

Tambem podemos substituir T por

f 1

, onde f representa a quantidade de voltas que

acontece a cada segundo. Resulta:

e=kA×2πf cos2πft

Ou e=2πkAf cos2πft 8-1

Pode-se observar, pela expressão 8-1, que quando a espira cessa a rotação (f =0), a

tensão induzida deixa de existir.

Por essa mesma expressão 8-1, vemos que a tensão gerada tem a forma senoidal com

freqüência, em Hz, igual à velocidade de rotação da bobina em voltas completas por

segundo.

A amplitude, da tensão gerada, é proporcional à área da espira e à sua velocidade de rotação.

O valor instantâneo da tensão gerada depende da posição da espira nos instantes considerados. A fig. 8-2 mostra as polaridades da tensão gerada, em nove posições instantâneas da espira. Supõe-se que essa espira gira no sentido anti-horário.

No instante em que o plano da espira fica perpendicular às linhas do fluxo magnético, a diferença de potencial gerada passa por zero volt.

Em contra partida, quando o plano da espira fica paralelo às linhas de fluxo magnético, o módulo da diferença de potencial atinge seu maior valor. O valor desse módulo máximo da tensão gerada é: E_M =2πkAf

a a a a a a a a a b b b b _b b b b b + + + ₊ + + ₊ --

-N

S

N

N

N

N

N

N

N

N

S

S

S

S

S

S

S

S

(1) (5) (7) (6) (8) (4) (3) (2) (9) Fig. 8-2

A fig. 8-3 mostra a curva da variação da diferença de potencial entre o terminal a e o

terminal b. Nessa curva estão assinaladas as tensões nos instantes das posições da

75 1 Tempo e 8 6 3 4 2 9 5 7 M E − 0, 7EM 0, 7E_M − M E 0 Fig. 8-3

Normalmente se usa N espiras, no lugar de uma única. O dispositivo rotativo passaria a ter a forma de uma bobina achatada. Ver fig. 8-4.

Fig. 8-4

Neste caso, a tensão alternada gerada segue a expressão matemática: e=2πkANfcos2πft 8-2

Neste caso resulta: E_M =2πkANf

Nota-se que a amplitude da tensão induzida fica proporcional ao número N de espiras daquela bobina..

Reação do gerador contra a corrente elétrica em uma resistência de carga.

Quando a corrente elétrica percorre as espiras da bobina forma-se um campo magnético que se opõe ao campo magnético do ímã. Isto causa o aparecimento de uma força que tende a impedir o movimento rotatório da bobina. Neste caso, gasta-se energia para produzir esse movimento rotatório. Se o gerador fosse ideal, esta energia mecânica, seria a mesma energia que é consumida na resistência elétrica de carga. Na realidade a energia consumida, nessa resistência elétrica, costuma ser um pouco menor do que a energia mecânica fornecida ao dispositivo rotatório. Isto se deve ao fato de que o gerador nunca é ideal. Sempre uma pequena parte da energia é dissipada em outros lugares que não a resistência elétrica de carga. Entre outros lugares onde a energia é consumida, podemos citar o atrito mecânico, que também se opõe ao movimento de rotação, e a resistividade existente no próprio fio com que foi construída a bobina. Esta

76

perda na bobina se deve ao fato de que não existe na natureza um condutor perfeito de corrente elétrica.

A qualidade do gerador fica, parcialmente, estabelecida pelo parâmetro rendimento energético, que segue a definição:

rotor ao fornecida mecânica Energia a c de elétrica resisência na consumida Energia arg = η

Existem geradores com técnica de construção extremamente aprimorada cujo rendimento energético pode atingir 95 %.

Reciprocidade e motores elétricos

O mesmo gerador mostrado na fig. 8-1 pode trabalhar como motor elétrico devida a reciprocidade do fenômeno eletro-magnético. Ver fig. 8- 5. Neste caso, fornece-se uma tensão alternada, na bobina, que produz a corrente alternada i nessa bobina. O campo magnético alternado, produzido por esta corrente i, interage com o campo magnético fixo do ímã de maneira a resultar uma força que provoca movimento de rotação na bobina. A quantidade de ciclos por segundo, produzido nessa rotação, é numericamente igual à frequência em Hertz da tensão alternada fornecida. Tem-se assim um motor elétrico do tipo que é alimentado por corrente alternada.

Anel deslizante Anel deslizante rotação

N

S

φ

i Fig. 8-5 Gerador de campo magnético girante

. As escovas têm os seguintes inconvenientes:

- Normalmente o contacto é feito com carvão que se desgasta após um determinado tempo de funcionamento.

- Durante o movimento de rotação da bobina podem acontecer mal-contactos. - A passagem por um mal-contacto pode produzir faíscas que, além de desgastar

77

No gerador da fig. 8-1, o efeito seria o mesmo se a bobina ficasse parada e o ímã girasse. Neste caso não seriam necessárias as escovas para transferir a tensão gerada, na bobina, para a resistência de carga elétrica fixa. Os geradores, de tensão alternada, construídos com esse arranjo se classificam do tipo de campo magnético girante. Eles são tecnicamente mais robustos e, praticamente, não produzem as interferências mencionadas.

O nome geral da parte mecânica girante é rotor do gerador. A parte fixa é denominada estator do gerador. A tensão produzida obedece, também a expressão:

e=2πkANf cos2πft

A fig. 8-6 mostra, com mais detalhes da construção mecânica, um gerador deste tipo. Repare-se que a bobina está enrolada em núcleo ferroso. Istro produz aumento no valor do parâmetro k. núcleo ferroso

N

S

Íman rotativo V Fig. 8-6 --- Exercício 8-1

Um gerador de tensão alternada possui os parâmetros: Rotação: 3600 rotações por minuto.

78 K = 37,52 ₂ m s v_× A = 100 2 cm N = 50 espiras

a) Determinar o valor da frequência gerada b) Determinar o valor da tensão eficaz gerada. Solução: a) s ciclos s ciclos s rotações f 60 60 600 . 3 60 600 . 3 = = = Ou

b) Amplitude da tensão gerada: V =2πkANf

(

_{1 10} 2

)

2 _{1 10} 2 2 100 m m A= × × − = × − v V =2 ×37,52×1×10−2×50×60=7,072×103 π V_eficaz V 5.000 v 2 10 072 , 7 2 3 ≈ × = = --- Geradores comerciais de energia elétrica

O local, onde são instalados os conversores, da energia mecânica para a energia elétrica, se chama usina geradora de eletricidade.

Quando a energia mecânica é fornecida pela queda da água de uma represa, tem-se uma usina hidrelétrica. A água desce por dutos onde no final, de cada um deles, se

encontra uma turbina. Esta adquire movimento rotatório com a passagem da água. Como a turbina está acoplada ao rotor do gerador, é produzida tensão alternada que, por sua vez, produz corrente alternada na carga elétrica fornecida pelo conjunto de consumidores. Existem as grandes usinas hidrelétricas como, por exemplo, a de Cubatão e a de Itaipu. Também se têm usinas hidrelétricas de pequena capacidade. Estas são conhecidas como PCH (Pequenas Centrais Hidrelétricas).

v

V

_eficaz

≈

5

.

000

Hz

f

=

60

79

Energia mecânica fornecida por uma queda d’água.

Vamos supor que uma massa m de água cai de uma altura A para outra altura inferior ₁

0

A . Neste caso é fornecida a energia mecânica:

(

A A

)

g m E_nm = × ₁− ₀ Onde 9,81 ₂ s m

g= é a aceleração provocada pela força da gravidade. No sistema mks a unidade da energia é joules.

Potência mecânica é a energia mecânica fornecida pela queda dágua dividida pelo tempo que durou o seu fornecimento:

(

)

t g A A m P_m = × 1− 2 × Na unidade mks, sua unidade é watt.

O fluxo de água que escorre pelos dutos é ajustado em função da demanda de energia elétrica do momento. A noite, por exxemplo, que o consumo de energia elétrica é menor, a massa de água, que flui pelos dutos, é diminuida por meio de válvulas de controle da vazão. Este ajuste é realizado automaticamente pelo próprio sistema. --- Exercício 8-2

Uma determinada usina hidrelétrica, de alta capacidade, na situação de maior vazão, descarrega 153 toneladas de água a cada segundo, pelos dutos que levam essa água até as turbinas que estão 700 metros abaixo da represa. Determinar:

a) Essa potência mecânica máxima fornecida para as turbinas.

b) Supondo que o rendimento da conversão para energia elétrica seja 85 %, determinar o máximo valor da potência elétrica fornecida por essa usina. Solução: a)

(

)

t g A A m P_m = × 1− 2 × 6watt 3 10 1051 1 81 , 9 700 10 153 × = × × × = P_m =1051 Megawatt b) Pe =η×Pm onde η =0,85 P_e =0,85×1051×106 =893×106watt P_e =893 Megawatt

80

--- Exercício 8-3

Os usuários de São Paulo consomem uma média mensal de 100 kWh por residência. Considere que o período médio diário, em que essa energia é consumida, é 14 horas.. Supondo que a cidade tem um milhão de residências, determinar a potência elétrica média necessária para ser fornecida a sua população.

Solução:

Quantidade de horas de consumo, por residência, em um mês de 30 dias: Q_h =30×14=420 h

Potência média fornecida a cada residência:

resid W h resid Wh P_resd 238 / 420 / 000 . 100 = = W resid W resid P N P_T = × _resid =1×106 ×238 / =238×106 P_T =238 Megawatt --- Outros tipos de usinas geradoras de eletricidade

Um outro tipo de usina geradora é a usina termoelétrica. Neste caso uma máquina rotativa a vapor dágua aciona o rotor do gerador. O combustível, normalmente, é o carvão mineral ou algum derivado do petróleo.

Quando o calor, que produz o vapor é proveniente, de fissão de núcleos atômicos, têm-se as controvertidas usinas nucleares.

A figura 8-7 mostra a distribuição dos tipos de fontes de energia utilizados no mundo para a produção de eletricidade. Os dados são do final ano de 2014. Esta figura foi extraída do livro: Energia Renovável, editado pela Empresa de Pesquisa Energética. 1 TWh = 1×1012Wh.

81

Fig. 8-7

Podemos notar que, no mundo, quase 80 % da energia elétrica é produzida usando combustível não renovável pela natureza, como carvão mineral ou derivados do petróleo. Estes combustíveis são denominados “combustíveis fósseis” uma vez que foram produzidos pela naureza há dezenas de milhões de anos atrás. Já as hidrelétricas geram eletricidade por meio de escoamento de água das represas. A água consumida é continuamente renovada pelas chuvas.

Também, como renováveis, tem-se as eólicas (força do vento); a solar; a que sua energia mecânica é produzida pela queima de bio massa, ou seja, madeira, bagaço de cana, álcool, etc.

Também, no gráfico mostrado na fig. 8-7, podemos ver que na fase atual, entre as renováveis, as hidrelétricas ainda são dominantes.

82

O gráfico da fig. 8-8, mostra a capacidade de produção de energia elétrica, no Brasil, no final do ano 2014. Nota-se que nessa época era gerada, em nosso país, a potência elétrica total de 132.878 MW. Este mesmo gráfico mostra a distribuição dos processos de geração dessa energia naquela época. Nota-se que 62 % da energia era gerada por usinas hidrelétricas.

Perspectivas de crescimento da geração de energia elétrica de 2015 até 2024 no Brasil (10 anos).

No final do ano de 2014, foi planejado aumentar a produção de eletricade, até o final do ano de 2024, para 206.447 MW. Se isto realmente ocorrer, teremos, até lá, um aumento do fornecimento , da potência elétrica, de 73.569 MW . Isto corresponde a um aumento de 55 % da energia elétrica fornecida, pelo nosso país, aos seus consumidores. O gráfico da fig. 8-9 mostra a previsão da distribuição, ao longo dos anos, dos diversos processos a serem utilizados para esse aumento da produção de energia elétrica em nosso país.

Fig. 8-9

A fig. 8-10 informa os aumentos das potências elétricas, fornecidas pelos diversos processos de geração, planejados para ocorrerem a partir do ano de 2015 até o final de 2024. Podemos notar que 84 % da energia elétrica a ser gerada, nesses 10 anos em nosso país, deverão ser do tipo renovável.

83

Fig. 8-10

Finalmente, o gráfico da fig. 10-11, mostra como está prevista a capacidade total de fornecimento de energia elétrica, no país, ao final do ano 2024. Mostra também a participação individual de cada processo no total da energia a ser fornecida. Continuaremos a ter mais da metade da energia elétrica sendo gerada por usinas hidrelétricas de grande porte.

Os gráficos da figura 8-8, 8-9, 8-10 e 8-11, também foram extraídos do livro Energia Renovável publicado pela Empresa de Pesquisa Energética

84

9 – REVISÃO DAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS

Número real e número imaginário.

No século 18, o matemático inglês, de ascendência francesa, Abraham Moivre, introduziu, na matemática, um número, que ele chamou de imaginário, cujo símbolo universal é i. Este número obedece a seguinte igualdade:

i= −1

Como sabemos, a raiz quadrada de um número negativo não existe fisicamente. Esta é a razão de ser chamado de número imaginário. Quando este número é usado em

eletricidade, muda-se seu símbolo para j. Isto se faz para que não haja confusão com o símbolo da corrente elétrica que também é i. Portanto, adotaremos como número imaginário, o elemento:

j= −1

Quando este número é multiplicado por um número real, o resultado se torna

imaginário. Assim, por exemplo, embora o número 3 seja um número real, o número 3

×

j é imaginário.

Um número complexo é aquele que pode ter uma parte real, além da parte imaginária. Exemplo:

Z =5,3+ j3,5

Neste exemplo, a parte real é representada pelo número 5,3 e a imaginária pelo número j3,5.

O número complexo pode ser representado graficamente. Existem duas representações gráficas. Uma delas é chamada de representação na forma retangular ou cartesiana. A outra é a representação na forma polar.

Representação do número complexo na forma cartesiana.

Na forma cartesiana, a parte real é representada no eixo x e a parte imaginária no eixo y. Isto acarreta um ponto P, no plano xy, que representa o número complexo. A fig. 9-1.a mostra esta representação cartesiana para o número complexo Z =5,3+ j3,5. Parte real Parte im aginária 3 , 5 5 , 3 j 3,5 3 , 5 Z θ (a) (b) x 5 , 3 3 , 5 j Z= + jy 5 , 3 y x 0 0 Z Z= ,

θ

P P Fig. 9-1

85

Representação do número complexo na forma polar.

A forma polar, deste mesmo número, está representada na fig. 8-1.b. Neste caso o número complexo é representado pelo módulo e ângulo de um vetor. O módulo é o comprimento do seguimento que liga a origem ao ponto P. O ângulo é aquele existente entre esse segmento e o eixo x. Portanto, a forma polar é representada pelo par de parâmetros: Z e

θ

.

O ângulo θ costuma ser chamado de argumento do número complexo.

Portanto, um número complexo, na forma cartesiana, possui uma parte real e outra imaginária. Na forma polar, o número complexo possui módulo e argumento.

Transformação da forma cartesiana para a forma polar

Usando o teorema de Pitágoras para o desenho da figura 8-9.b, tem-se:

35 , 6 34 , 40 34 , 40 5 , 3 3 , 5 2 2 2 ≈ = = + = Z Z

Usando fórmulas trigonométricas tem-se:

0,66 3 , 5 5 , 3 = = θ tg 1_{0,66 33,4}0 ≈ = − tg θ ou θ =0,58 rd

Generalização da transformação da forma cartesiana para a forma polar Seja Z =REAL+ j×IMAG

Então

(

)

2

(

)

2 IMAG REAL Z = + e REAL IMAG tg−1 = θ

Portanto, dado o número complexo Z = A+ jB, tem-se:

2 2 B A Z = + A B tg−1 = θ --- Exercício 9-1

Passar para a forma polar o número complexo Z =3+ j0

Solução: 32 0 3 = + = Z

86 0 0 3 0 1 1 = = = − − tg tg θ --- Exercício 9-2

Passar para a forma polar o número complexo Z =3− j4

Solução: 32

( )

4 2 9 16 5 = + = − + = Z 1 1

(

_1,33

)

_53,10 3 4 − = − = − = − − tg tg θ ou θ =−0,93 rd --- Transformação da forma polar para a forma cartesiana

Seja a representação, na forma polar, do número Z mostrada na fig. 8-2. Vemos que a parte real tem o valor A e a parte imaginária possui o valor B.

B Z θ A B Fig. 9-2 Notamos que Z A =

θ

cos e Z B =

θ

sen Portanto: A= Z cos

θ

B= Z sen

θ

A+ jB= Zcos

θ

+ jZ sen

θ

ou A+ jB= Z.

(

cos

θ

+ jsen

θ

)

9-1 --- Exercício 9-3

Dado um número complexo em que Z =30 e θ =450, determinar sua

representação na forma A+ jB. Solução: A= Z cos

θ

=30cos450 =30×0,707=21,2 B= Zsen

θ

=30sen450 =30×0,707=21,2= A+ jB=21,2+ j21,2 ---

87

Número neperiano

O número neperiano é uma constante matemática altamente empregada em diversos ramos da ciência, especialmente na engenharia elétrica e eletrônica.

Esta constante é representada, universalmente, pela letra e. Seu valor é: e≈2,7183

O número neperiano nasceu a partir dos estudos do matemático escocês John Neper que viveu no século XVI. Ele foi, também, o inventor dos logaritmos.

Fórmulas de Euler

O matemático suíço-alemão Leonard Euler, que viveu no século XVII, demonstrou as seguintes fórmulas: θ θ θ _{cos sen} j ej = +

θ

θ

θ _{cos sen} j e−j = −

Aplicando estas fórmulas na expressão 9-1, resulta:

(

_θ

_θ

)

jθ e Z j Z jB A+ = cos + sen = Portanto: jθ e Z jB A+ = 9-2 onde 2 2 B A Z = + e A B tg−1 = θ

Com relação à igualdade 9-2, o lado esquerdo, desta igualdade, é a expressão de um número complexo na forma cartesiana. O lado direito é a expressão matemática, do mesmo número complexo, na forma polar.

Observação importante: - Na igualdade 9-2, é obrigatório que o ângulo

θ

seja explícito em radianos e não em graus. Seja, por exemplo, o número complexo Z que

possui Z =30 e θ =450. Como rd

4

450 ₌π _{, expressa-se este número na forma}

abaixo: ₃₀ 4 π j e Z = --- Exercício 9-4 Demonstrar que a) ej2 = j π b) 0 1 = j e Solução:

88 a) 2 sen 2 cos 2 π π π j ej = + Mas cos90 0 2 cos 0 = = π _e 1 90 sen 2 sen 0 = =      π Portanto ej2 =0+ j×1= j π b) 0 cos0 sen0 j ej = +

Mas cos = e 0 1 sen = 0 0 Portanto 0 1

=

j

e

--- Exercício 9-5: Demonstrar que j

j =− 1 e j j = − 1 j j j j j j j j j × = − =− × = × = 1 1 1 1

( )

j j j j j j j j j j − × = − = − − = = × = × − = − 1 1 1 1 1 1 1 2 --- Conjugado de um número complexo

Dado um número Z = A + jB, o conjugado desse número é _Z*_{=A – jB}

Exemplo:

Se Z = 3 + j5 , então é Z* =3 – j5. Conjugados na forma polar

Se Z = A+ jB tem-se Z*=A− jB Neste caso A B jtg e B A Z 1 2 2 − + = e

(

)

A B jtg e B A Z − − − + = 1 2 2 * A B jtg e B A 1 2 2 − − + =

Portanto, os números complexos conjugados, na forma polar, possuem o mesmo modulo e ângulos com sinais contrários, ou seja:

Se jθ e Z Z = então jθ e Z Z* = −

89

Usam-se as mesmas regras da soma algébrica de polinômios. Considera-se a parte real como se fosse um termo do polinômio e a parte imaginária como outro termo do polinômio. Desta maneira, a soma de dois números complexos é igual a outro número complexo onde a parte real resultante é a soma das partes reais e a parte imaginária, também é a soma das partes imaginárias daqueles números:

(

A+ jB

) (

+ C+ jD

) (

= A+C

)

+ j

(

B+D

)

A mesma regra se aplica para diferenças entre números complexos:

(

A+ jB

) (

− C+ jD

) (

= A−C

)

+ j

(

B−D

)

Multiplicação de números complexos

a) Os números complexos estão expressos na forma cartesiana.

Usam-se as mesmas regras da multiplicação de polinômios, onde cada polinômio possui um termo real e outro imaginário. Não se pode esquecer, ao se realizar esta operação algébrica, que 2 1 − = j . --- Exercício 9-6. Multiplicar os números 2 + j3 e 4 + j5 Solução:

a) Os números complexos estão na forma cartesiana:

(

2+ _j3

)(

4+ _j5

)

=2×4+2× _j5+ _j3×4+ _j23×5= 22 7 15 12 10 8+ j + j − =− + j =

b) Os números complexos estão expressos na forma polar.

Neste caso a operação multiplicação se torna mais fácil: - Multiplica-se os módulos e somam-se os expoentes. Sejam os números:

1 1 1 θ j

e

Z

Z

=

2 2 2 θ j

e

Z

Z

=

(1 2) 2 2 1 2 1 1 2 1 θ θ θ θ +

×

=

×

=

×

j j j

e

Z

Z

e

Z

e

Z

Z

Z

--- Exercício 9-7 Multiplicar ₃₀ 6 π j e por 5 6 π j e Solução: 3 6 1 6 1 6 6 6 6 _{5 30 5 150 150} 30 π π π π π π j j j j j e e e e e × = × × = =       +       + ---

90 Multiplicação de um número pelo seu conjugado

Quando se multiplica um número complexo pelo seu conjugado, resulta um número real cujo valor é igual ao quadrado do módulo do referido número complexo.

Demonstração: Seja Z = A+ jB e Z* = A− jB

(

)(

)

2 2 2 2 2 * B A B j jAB jAB A jB A jB A Z Z× = + − = − + − = + Portanto 2 2 2 * _{A B Z} Z Z× = + =

Vamos repetir a demonstração, utilizando a fórmula polar:

Seja jθ e Z Z = e jθ e Z Z* = − 2 2 0 2 * ₁ Z Z e Z e Z e Z Z Z_{× =} jθ _× −jθ ₌ j _{= × =}

Divisão de números complexos

a) Os números complexos estão expressos na forma cartesiana.

Seja a divisão: jD C jB A Z + + =

Multiplica-se o denominador e numerador pelo conjugado do denominador. Desta maneira chega-se ao resultado

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2 2 _D C AD BC j BD AC jD C jD C jD C jB A Z + − + + = − + − + = ou _{2 2 2 2} D C AD BC j D C BD AC Z + − + + + = 8-7 --- Exercício 9-8 Dividir os números 2 + j3 e 4 + j5 Solução:

a) Os números complexos estão na forma cartesiana:

Aplicando a expressão 8-7, resulta:

2 2 2 2 _{4 5} 5 2 4 3 5 4 5 3 4 2 5 4 3 2 + × − × + + × + × = + + = j j j Z 41 2 41 23 j + =

91 ou Z =0,561+ j0,0488

b) Os números complexos estão expressos na forma polar.

Neste caso, também aqui, a operação divisão se torna mais fácil: - Divide-se os módulos e subtrai-se os expoentes. Sejam os números:

1 1 1 θ j

e

Z

Z

=

2 2 2 θ j

e

Z

Z

=

( 1 2) 2 1 2 1 2 1 2 1 θ θ θ θ −

=

=

j j j

e

Z

Z

e

Z

e

Z

Z

Z

--- Exercício 9-9 Dividir ₃₀ 3 π j e por 5 6 π j e Solução: 6 6 1 3 1 6 3 6 3 6 6 5 30 5 30 π π _π π π π j j j j j e e e e e = = =      −       − --- Teorema

Quando se divide um número complexo por outro, resulta um número complexo em que o módulo é o quociente dos módulos e o argumento é a diferença ente os argumentos Demonstração: Seja

A

₁

+

jB

₁= 1 1 θ j

e

Z

A

₂

+

jB

₂= 2 2 θ j

e

Z

Dividindo membro a membro, resulta: ( 1 2) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 θ θ θ θ −

=

=

+

+

j j j

e

Z

Z

e

Z

e

Z

jB

A

jB

A

--- Exercício 8-10 – Calcular o módulo e fase do número complexo

5

2

3

4

j

j

Z

+

+

=

92

5

3

4

2 2 1

=

+

=

Z

1

=

tg

1

₅

3

=

0

,

54

rd

−

θ

38

,

5

5

2

2 2 2

=

+

=

Z

tg

1

,

19

rd

2

5

1 2

=

=

−

θ

93

,

0

38

,

5

5

=

=

Z

_θ

₌

₍

₀

_,

₅₄

₋

₁

_,

₁₉

₎

_rd

₌

₋

₀

_,

₆₅

_rd

---

93

10 - DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES E CORRENTES EM

CIRCUITOS CONTENDO RESISTORES, INDUTORES E

CAPACITORES.

Expressões matemáticas da corrente e da tensão na forma complexa

Para o cálculo das tensões e das correntes em circuitos de corrente alternada, costuma-se expressar essas grandezas na forma complexa polar.

Desta maneira, a corrente i

( )

t = cosI

(

ω

t+

θ

I

)

se expressa por:

_i=IejθI

Neste caso, a amplitude i

( )

t é igual ao módulo de i

A fase inicial de i

( )

t é igual ao argumento de i

Da mesma forma, se tivermos a tensão v

( )

t =Vcos

(

ω

t+

θ

V

)

,

Então, _v=VejθV

Amplitude de v(t) = v =V

Fase inicial de v(t) = arg

( )

v =

θ

_V

Impedâncias

Impedâncias são os parâmetros que substituem as resistências nos cálculos de circuitos de corrente alternada. São, também, grandezas que são expressas com números

complexos. Seu símbolo matemático é a letra Z. Quando se utiliza a forma polar, as

expressões matemáticas das impedâncias dos componentes R, L e C, são mostradas a

seguir. Impedância de um resistor: R ZR = 0 j e Impedância de um indutor: 2 π ω j L L e Z = Impedância de um capacitor: 2 1 π ω j C e C Z = −

94

Tensão provocada por uma corrente que percorre uma impedância, Ver Fig. 10-1

Z Z v i Fig. 10-1 Seja i

( )

t = cosI

(

ω

t+

θ

I

)

Neste caso: _i=_IejθI

Para o cálculo da tensão, usa-se a mesma lei de Ohm do caso de corrente continua. Entretanto, as três grandezas envolvidas são representadas por números complexos na forma polar.

v_Z =Z×i

Amplitude de v_Z

( )

t = v_Z = Z×i

Fase inicial de v_Z

( )

t =arg

( )

v_Z =arg

(

Z×i

)

Portanto Exemplo 10-1: resistor _i=_IejθI e _{Z R} R = 0 j e I I j j j R i R e Ie R Ie Z × = 0× θ = × θ I R i Z_R× = ×

(

Z_R×i

)

=

θ

_i arg Portanto

( )

t Z i

[

t

(

Z i

)

]

v_Z = × cos

ω

+arg ×

( )

[

I

]

R t R I t v = × cos

ω

+

θ

95 Nota-se que a tensão fica em fase com a corrente

Exemplo 10-2: indutor _i=IejθI e 2 π ω j L L e Z =       + × = × = × 2 2 π θ θ π

ω

ω

I I j j j L i L e Ie L Ie Z I L i Z_L× =

ω

×

(

)

2 arg Z_L×i =θ_i+π Portanto

Nota-se que a tensão fica com uma diferença de fase de + 90 grau em relação a corrente.

Exemplo 10-3: capacitor _i=_IejθI e 1 2 π

ω

j C e C Z = −       − − = × = × 1 2 2 π θ θ π

ω

ω

I I j j j C e C I Ie e C i Z ω C I i Z_C× =

(

)

2 arg Z_C×i =θ_i −π Portanto

Nota-se que a tensão fica com uma diferença de fase de - 90 grau em relação a corrente.

( )

= _ + − _ 2 cos ω θ π ω I C t C I t v

( )

= × _ + + _ 2 cos ω θ π ω _I L t L I t v

96

--- Exercício 10-1

No indutor L=200 mH passa a corrente

( )



     + = 3 100 cos 2 t π t i_L . Determinar a tensão

( )

t

vL sobre esse indutor.

L v i L Solução: A I =2 ; ω=100 rd/s; _I rd 3 π θ =       + = × = 2 3 2 3 π π π π

ω

ω

j j L L e Ie L Ie v Amplitude de v_L

( )

t = v_L =L

ω

I 200 10 2 100 2 40 = × × × = − _volt Fase inicial de v_L

( )

t

( )

v_L rd 6 5 2 3 arg =π +π = π = Portanto: --- Reatância de indutor e de capacitor

No caso de indutor e de capacitor, a reatância vem a ser o módulo da impedância desses componentes. Seu símbolo matemático é a letra “X”. O valor mks da reatância é dado na unidade ohm. A tabela 10-1 mostra a relação entre as impedâncias e as reatâncias desses componentes.

( )

      + = 6 5 100 cos 40 t π t v_L

97 Tabela 10-1 2 π ω j L L e Z = X_L =L_ω 2 1 π ω j C e C Z = − XC _Cω 1 = --- Exercício 10-2

Determinar as reatâncias na frequência de 200 rd/s dos componentes:

a) Indutor de 0,5 H b) Capacitor de 10 µ F Solução: a) X_L =L

ω

=0,5×200=100 Ω b) = Ω × × = = ₋ 500 200 10 10 1 1 6 ω C X_C --- Forma cartesiana das impedâncias do resistor, do indutor e do capacitor.

Impedância do resistor

(

jsen

)

R

(

j

)

R R Z_R =Rej0 = × cos0+ 0 = × 1+ ×0 = Impedância do indutor

(

)

ω

ω

π

π

ω

ω

π jL j L jsen L e L Z_L j = × + × =      + × = = 0 1 2 2 cos 2 Impedância de um capacitor

(

)

ω

ω

π

π

ω

ω

π C j j C jsen C e C Z_C j = × − × = −      − × = = − 1 0 1 2 2 cos 1 1 ₂

98 Tabela– 10-2 IMPEDÂNCIAS INDUTOR FORMA POLAR FORMA CARTESIANA 2 π ω j L L e Z = _{Z jLω} L = L R RESISTOR C CAPACITOR 2 1 π ω j C e C Z = − ω C j Z_C = − 0 Rej R Z = Z_R =R

Associação de impedâncias em série. Ver fig. 10-2

3 Z 2 Z 1 Z i 1 v 2 v 3 v Z v Fig. 10-2

Neste caso, também vale a lei de Kirchhoff das tensões, ou seja: v_Z =v₁+v₂+v₃

ou v_Z =Z₁×i+Z₂×i+Z₃×i=

(

Z₁+Z₂+Z₃

)

×i

ou v_Z =Z×i

onde

Conclusão: - Impedâncias em série se somam.

3 2 1 Z Z

Z

99 Amplitude de v_Z

( )

t = Z×i

Fase inicial de v_Z

( )

t = arg(Z×I

Associação de indutores em série Seja o circuito da fig. 10-3

1

L L2 Ln

Fig. 10-3

Dada uma frequência

ω

, a impedância total fica:

Z =Z1+Z2+...Z_n = jL1

ω

+ jL2

ω

+...+ jL_n

ω

ou

Z= j

(

L₁+L₂+...L_n

)

ω

= jLω 10-1 onde L=L1+L2 +...Ln 10-2

As expressões 10-1 e 10-2 mostram que n indutores em série equivalem a um único indutor cujo valor é a soma dos valores dos indutores individuais.

Capacitores em série Seja o circuito da fig. 10-4

n C 3 C 2 C 1 C Fig. 10-4

Dada uma frequência

ω

, a impedância total fica:

Z =Z1+Z2 +Z3+...+Zn ou _      + + + + − = − + + − + − + − = n n C C C C j C j C j C j C j Z . ... 1 1 1 ... 1 3 2 1 3 2 1

ω

ω

ω

ω

ω

100 ou C j C j Z ω ω − = × − = 1 onde n C C C C C 1 ... 1 1 1 1 3 2 1 + + + + = 10-3

Esta expressão 10-3 mostra que n capacitores em série equivalem a um único capacitor cujo inverso de seu valor é igual à soma dos inversos dos valores dos capacitores individuais. Portanto n C C C C C 1 ... 1 1 1 1 3 2 1 + + + + = 10-4

No caso da associação de apenas dois capacitores em série resulta: 2 2 2 1 C C C C C + = 10-5 --- Exercício 10-3

Os circuitos (a) e (b) são equivalentes. Determinar L e C.

F 6 10 30 − × F 6 10 20 − × H 30 H 10 C L (a) (b) Solução: H L L L= ₁+ ₂ =10+30=40 F C C C C C _{6 6} 6 6 6 2 1 2 1 _{12 10} 10 20 10 30 10 20 10 30 − − − − − × = × + × × × × = + = --- Exercício 10-5 Associação de R, L, e C em série

101

Uma associação de um resistor R, em série com um indutor L e um capacitor C é percorrida pela corrente i

( )

t = cosI

(

ω

t+

θ

I

)

. Determinar a tensão vZ indicada na figura abaixo. R i Z v _L C

Vimos, em capítulo anterior que a soma de números complexos é menos trabalhosa quando esses números estão na forma cartesiana,

ω ω C j jL R Z Z Z Z = ₁+ ₂ + ₃ = + − ou       − + = ω ω C L j R Z 1

A expressão de Z na forma polar fica:

2 2 1 _      − + = ω ω C L R Z             − = − R C L tg Z ω ω θ 1 1 Resulta ( I z) t Z j j j Z Ze Ie Z Ie v = θ × θ = × θ +θ Amplitude de v_z

( )

t = v_z = Z ×I Fase inicial de vz

( )

t =θ +i θZ Resulta:

( )

(

I Z

)

Z t Z I t v = × cos100 +θ +θ

102 onde e --- Exercício 10-6

Uma associação série de impedâncias contém o resistor R = 60 ohm, o indutor

mH

L=200 e capacitor C =200 µF. Essa associação de componentes é percorrida

pela corrente

( )

      + = 3 100 cos 2 t π t

i . Determinar a tensão v_Z

( )

t sobre essa associação.

Solução: A I =2 ; ω =100 rd/s; _I rd 3 π θ = 2 6 3 2 100 10 200 1 100 10 200 60       × × − × × + = − ₋ Z =63,2 Ω

(

)

rd tg tg Z ₆₀ 0,5 0,46 100 10 200 1 100 10 200 1 6 3 1 − = − =             × × − × × = − − − − θ Portanto

( )

0,46 126,4cos

(

100 0,58

)

3 100 cos 2 2 , 63 = +      − + × = t t t v_Z π ---

Corrente provocada por uma tensão aplicada a uma impedância, Ver Fig. 10-5

Z v Z i Fig. 10-5 Seja v

( )

t =Vcos

(

ω +t θV

)

2 2 1 _      − + = ω ω C L R Z             − = − R C L tg Z ω ω θ 1 1

( )

t

(

t rd

)

v_Z =126,4cos100 +0,58

103 Então _v=VejθV

Neste caso, aplicando a lei de ohm como nos casos anteriores, resulta: Z v i_Z = Amplitude de

( )

Z v i t i_Z = _Z = Fase inicial de

( )

( )

      = = Z v i t i_Z arg _Z arg Portanto Corrente em um resistor _v=VejθV e _{Z R} R = 0 j e V V j j j e R V e R Ve Z v θ θ = = ₀ R V Z v R = V R Z v θ =       arg Portanto

Nota-se que a corrente fica em fase com a tensão

Corrente em um indutor _v=VejθV e 2 π ω j L L e Z =

( )

            + = Z v t Z v t i_Z cos ω arg

( )

[

V

]

R t R V t i = cosω +θ

104       − = = 2 2 π θ π θ ω ω V V j j j L e L V e L Ve Z v ω L V Z v L = 2 arg _=θ −π      V L Z v Portanto

Nota-se que a corrente fica com uma diferença de fase de - 90 grau em relação a tensão. Corrente em um capacitor _v=VejθV e 1 2 π ω j C e C Z = −       + − = = 2 2 1 π θ π θ ω ω V V j j C Ve C e C Ve Z v V C Z v C ω = 2 arg _=θ +π      V C Z v Portanto

Nota-se que a corrente fica com uma diferença de fase de + 90 grau em relação à tensão. ---

( )

= _ + + _ 2 cos ω θ π ω _V C t C V t i

( )

= _ + − _ 2 cos ω θ π ω V L t L V t i

105 Exercício 10-5

Sobre o indutor L=200 mH tem-se a tensão

( )

      + = 6 5 100 cos 40 t π t v . Determinar a

corrente iL

( )

t que percorre esse indutor.

v L i L Solução: volt V =40 ; ω =100 rd/s; V rd 6 5π θ =       − = = 6 2 5 2 6 5 π π π π ω ω j j L e L V e L Ve i Amplitude de

( )

ω L V i t i_L = _L = 2 100 10 200 40 3 = × × = ₋ ampere Fase inicial de i_L

( )

t

( )

i_L rd 3 2 6 5 arg = π −π =π = Portanto: --- Definição de admitância

Admitância é o inverso da impedância. Seu símbolo matemático é a letra Y. Portanto

Z Y = 1

Desta maneira, para a resistência fica:

Re 0 1 j R Y = ou YR R 1 =

Para a indutância fica

( )

      + = 3 100 cos 2 t π t i_L

106 2 2 1 1 π π _ω ω j j L e L e L Y = = − ou ω Lω j jL Y_L = 1 = −

Para a capacitância fica

2 2 1 1 π π ω ω j j C C e e C Y = = − ou

ω

ω

jC C j Y_C = − = 1

A tabela 9-3 ilustra esses resultados

Tabela 10-3 ADMITÂNCIAS INDUTOR FORMA POLAR FORMA CARTESIANA 2 1 π ω j L e L Y = − ω L j YL − = L R RESISTOR C CAPACITOR 2 π ω j C C e Y = × YC = jCω R YR 1 = 0 1 j R e R Y =

Associação de impedâncias em paralelo. Ver fig. 10-6

Fig. 10-6

Neste caso, também vale a lei de Kirchhoff das correntes, ou seja: iZ =i1+i2+i3+...in ou n Z Z v Z v Z v Z v i = + + +...+ 3 2 1

107 ou _      + + + + × = n Z Z Z Z Z v i 1 1 1 ... 1 3 2 1 ou Z v i_Z = × 1 onde ou Y =Y1+Y2 +Y3+...+Yn onde Z Y = 1 e i i Z Y = 1

Conclusão: - Em paralelo, os inversos das impedâncias se somam e resultam o inverso de uma única impedância equivalente.

Podemos, também, dizer que, no arranjo paralelo, a admitância equivalente é igual a soma das admitâncias individuais.

Portanto podemos concluir que

v Y Z v i_Z = = × onde Y =Y₁+Y₂ +Y₃+...+Y_n Amplitude de i_Z

( )

t = Y×v

Fase inicial de i_Z

( )

t = arg

(

Y×v

)

Associação de capacitores em paralelo

Seja um circuito formado por n capacitores em paralelo. Ver Fig. 10-7.

1 C C2 C3 C_n Fig. 10-7 n Z Z Z Z Z 1 ... 1 1 1 1 3 2 1 + + + + =