Aula-10

Algoritmos de Grafos e

Patrulha Multiagente

Prof. Pablo Azevedo Sampaio Tópicos Avançados em Inteligência Artificial Universidade Federal Rural de Pernambuco

Objetivos

• Apresentar diversos problemas de grafos e seus algoritmos

• Foco naqueles que são (ou podem ser)

usados em soluções da Patrulha Temporal (MATP)

• Apresento algumas soluções da MATP da literatura

Técnicas Básicas

• Veremos dois algoritmos para percorrer o grafo

– Pesquisa em profundidade – para percorrer em uma ordem qualquer, com mínimo backtracking

– Pesquisa em extensão – para percorrer um “nível” por vez, partindo de um nó s

Pesquisa em Profundidade

• Cada vértice pode estar em um desses estados

– Branco: não-visitado

– Cinza: pesquisa iniciada – Preto: pesquisa terminada

• Vamos usar as seguintes variáveis

– cor[u] –explicado acima

Pesquisa em Profundidade

• Pseudo-código:

DFS-VISIT(grafo G, vértice u)

cor[u] = CINZA;

para cada v de Adj[u] if cor[v] = BRANCO ante[v] = u;

DFS-VISIT(G,v); cor[u] = PRETO;

Pesquisa em Profundidade

• Se o grafo for desconectado ou se não for

fortemente conectado, é necessário iniciar

várias vezes

DFS-START(grafo G, vértice s)

para todo vértice v cor[v] = BRANCO ante[v] = -1

Pesquisa em Profundidade

• Ao final, o array ante[ ] define uma floresta

– Pode variar, conforme a ordem de análise dos vizinhos

Pesquisa em Extensão

• Iniciada em um vértice s (start) qualquer

• Visita todos os vértices de distância k, depois todos os de distância k+1

• Visita todos vizinhos de s

– Depois todos os vizinhos desses vizinhos

Pesquisa em Extensão

(continuação..)

while ( !Empty(Q) ) u = Dequeue(Q);

para cada v na lista Adj[u] if (cor[v] == BRANCO) cor[v] = CINZA; ante[v] = u; d[v]=d[u]+1; Enqueue(v, Q); cor[u] = PRETO;

Pesquisa em Extensão

• O array ante[ ] define a árvore de caminhos mais

curtos (em quantidade de arestas) partindo de s

– O array d[u] guarda a menor distância de s até cada nó u

• Exemplo com s=1: 1 4 2 5 6 3 1 2 4 5 6 3

Principais Problemas e

Algoritmos

Motivação

• Google Maps

– Como achar o menor caminho entre dois endereços? – Tratando como um grafo

• Nós: início, fim e cruzamentos • Arestas: trechos de ruas

• Peso da aresta: distância

Caminhos Mais Curtos (ou

Menos Custosos)

• Problema análogo ao que é resolvido pela

Pesquisa em Extensão

• Porém, considera os custos/pesos das arestas

• Veremos dois algoritmos

– Dijkstra: caminhos de s a todos os outros nós – Floyd-Warshall: todos os menores caminhos

Algoritmo de Dijkstra

• É uma generalização da Pesquisa em

Extensão

• Porém, Q é uma fila de prioridade, onde as chaves são as distância de s até cada nó

– Array c[x]: custo do caminho de s a x

Algoritmo de Dijkstra

• Pseudo-código (loop principal)

– RELAX(x,vi,p) tenta reduzir o caminho (de s) para vi

• Testa se s...x + xvi é melhor que o caminho atual

(...)

while ( !Empty(Q) )

x = Remove-Min(Q);

para cada vizinho vi ligado com peso p

RELAX(x,vi,p)

Algoritmo de Floyd-Warshall

• Baseado em programação dinâmica • Laço principal:

para cada nó k //para cada intermediário

para cada nó i //para cada origem

para cada nó j //para cada destino

if ((c[i,k] + c[k,j]) < c[i,j]) c[i,j] = c[i,k] + c[k,j];

Motivação

• Projeto de Circuitos Eletrônicos

– Um conjunto de pinos podem ser ligados de diferentes maneiras

– As ligações têm custos distintos

– Como interligar os pinos com custo mínimo?

Árvores Espalhadas

• Definição: subgrafo conectado acíclico que interliga todos os vértices do grafo

• Em inglês: Spanning Tree

– Outras traduções: Árvores Geradoras, Árvores de Amplitude

• A árvore espalhada mínima de um grafo é a menos custosa das suas árvores espalhadas

Algoritmo de Prim

• Tem um vértice de início s

– Pouco interfere no resultado

• Muito parecido com o Dijkstra, mas, ao tomar um nó x e atualizar os custos dos

vizinhos v_i, ele usa só o custo da aresta x-v_i

– Não soma com o caminho anterior!

Árvore Espalhada Mínima

Motivação

• Cidade de Königsberg em 1736:

– É possível fazer um caminho que passe por cada ponte da cidade uma única vez?

Ciclo Euleriano

• Ciclo que atravessa exatamente uma vez cada aresta do grafo

• Condições necessárias e suficientes para um grafo não-direcionado G ser Euleriano:

– G é um grafo conectado – Todo nó tem grau par

• Existem algoritmos lineares para achar este ciclo!

Motivação

• Situação: um almoço em que nem todos os convidados se conhecem

– Modelar como um “grafo de amizades”

• É possível dispor todos ao redor de uma mesa de modo que cada pessoa fique

sentada ao lado de dois conhecidos (um em cada lado)?

Ciclo Hamiltoniano

• Ciclo que passa exatamente uma vez por cada vértice do grafo

• Problema NP-Completo!

• Vamos falar de um problema mais geral a seguir...

Motivação

• Há um conjunto de cidades, todas acessíveis entre si por rodovias

• Como um vendedor pode passar por todas elas uma única vez e voltar para a cidade inicial?

Caixeiro-Viajante (TSP)

• Problema de achar o ciclo hamiltoniano de custo mínimo em um grafo completo

• Também é NP-Completo!

• Vários algoritmos aproximados e heurísticos

Algoritmo Aproximado Baseado em

MST

• Descrição de alto nível:

– Constrói a árvore espalhada mínima (MST) – Faz uma DFS nela

– Cria atalhos para “saltar” nós já visitados

Algoritmo de Christofides

• Melhoria do anterior:

– Constrói a MST

– Adiciona arestas nos nós de grau ímpar (com o mínimo custo) – Constrói um ciclo euleriano

• No pior caso, a solução é 50% maior que a ótima

Outros

• Problema do Caixeiro-Viajante com Múltiplas

Visitas (TSPM)

– Permite passar mais de uma vez por nó – Podem ser aplicadas soluções do TSP

• Aplicar o Floyd-Warshal e usar os caminhos como se fossem arestas (vira um grafo completo)

• Problema do Carteiro Chinês

– Generalização do problema de achar um ciclo euleriano para grafos com pesos

– Permite atravessar mais de uma vez cada aresta, porém deseja-se minimizar o custo dessas repetições

Soluções da MATP

• Vamos falar de soluções (estratégias) da MATP que são fortemente dependentes de conceitos e algoritmos de grafos

Algoritmos Já Apresentados Revistos

• Abordagens swarm

– BaloonDFS

• Implementa uma pesquisa em profundidade (DFS) em tempo real – PVAW1, EVAW, EVAW+

• Convergem para um ciclo hamiltoniano (com repetição de nó, em alguns casos)

• Soluções baseadas em construir caminhos

– Almeida et. al – HPCC

Chevaleyre et al. (2003)

• Para 1 agente, provou que:

– O ciclo de solução do TSP é a solução ótima da MATP na métrica de intervalo máximo (Imax)

• Para n agentes, provou que:

– Dentre as soluções baseadas em partições disjuntas (pré-fixadas),

– A solução ótima (na métrica Imax) consiste em usar os

Chevaleyre et al. (2003)

• Para n agentes: solução Single Cycle (SC)

– Obtém uma solução para o TSP • Algoritmo de Christofides

– Distribui os agentes de forma eqüidistante no ciclo – Eles percorrem o ciclo em uma mesma direção

Elmaliach, Shiloni, Kaminka (2007)

• Basicamente, propôs algoritmos polinomiais baseados na mesma idéia da SC

• Porém, aplicam-se apenas a certo tipo simples de grafo

– Grids de dimensões pares, com pesos

• Algoritmos propostos

– Para calcular o ciclo (resolver o TSP) – Para distribuir os agentes rapidamente

Elmaliach, Shiloni, Kaminka (2007)

• Algoritmo para calcular o ciclo

– Calcula dois grids amplos

• Um com arestas no sentido horário e outro no sentido anti-horário

• Cada célula representa um quadrado 2x2 • Pesos definidos por uma conta esquisita – Depois, acha o MST do grid amplo

– Cria um ciclo no grid original meramente “contornando” a árvore espalhada

Portugal e Rocha (2011)

• Solução GMSP

– Calcula partições balanceadas do grafo

– Dentro da partição, cada agente segue um caminho

principal, que pode ser:

• Um ciclo ou caminho euleriano • Um ciclo ou caminho hamiltoniano

• Ciclo com mais da metade dos nós (alg. próprio) • Caminhos mais longo (alg. próprio)