2019-25-RESUMO-ALGLIN

(1)

Autovalores e Autovetores

´ Algebra Linear MCTB001-17 UFABC Novembro, 2019 ´

Algebra Linear MCTB001-17 (UFABC) Autovalores e Autovetores Novembro, 2019 1 / 21

Primeira Aula

´

Autovalores e Autovetores

Pergunta

Seja T : V → V um operador linear

Quais vetores v ∈ V são levados por T num múltiplo escalar de v ? Ou seja, quais vetores v são tais que

T (v ) = λv para λ um escalar ?

Observa¸c˜

ao

1 Como T (0_V) = 0_V, ent˜ao T (0V) = λ · 0V, onde λ ´e um escalar.

2 Estamos interessados em determinar vetores v n˜ao-nulos tais que

(2)

Autovalores e Autovetores

Defini¸c˜ao

T : V → V operador linear

Dizemos que o escalar λ ´e umautovalor de T se existe um vetor v ∈ V n˜ao-nulo tal que

T (v ) = λv

O vetor n˜ao-nulo v ´e chamadoautovetorde T associado a λ.

O conjunto dos autovetores de T associados a λ, acrescidos do vetor nulo, ou seja

Eλ= { v ∈ V : T (v ) = λv }

´

e chamado autoespa¸co de λ.

Observa¸c˜ao: Eλ ´e um subespa¸co vetorial de V .

´

Exemplo

Seja T : R2 → R2 um operador linear definido por T (x , y ) = (x + 2y , 4x + 3y ) e seja o vetor v = (1, 2). Como T (v ) = T (1, 2) = (5, 10) = 5(1, 2) = 5v , ou seja, T (v ) = 5v

ent˜ao v = (1, 2) ´e um autovetor de T associado ao autovalor λ = 5.

´

Observa¸c˜

oes

1 _{O autovetor v associado ao autovalor λ n˜}_{ao ´}_{e ´}_unico

2 Qualquer múltiplo escalar de um autovetor, também é um autovetor. 3 Os autovalores e autovetores nos dão informa¸cões importantes sobre a

natureza do operador T .

´

Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Seja A ∈ M_n_{(R). Sabemos que a aplica¸c˜ao matricial} T_A_{: R}n _{→ R}n

definida por

T_A(v ) = A · v ´

e uma transforma¸c˜ao linear.

Se λ ´e um autovalor de T_A, ent˜_{ao existe um vetor v ∈ R}n n˜ao-nulo tal que

TA(v ) = λ v ,

ou seja,

A · v = λ · v

Dizemos então, que λ é um autovalor da matriz A, e que o vetor coluna não-nulo v é o autovetor de A associado a λ.

Assim, encontrando os autovalores e os autovetores da matriz A, encontramos os autovalores e os autovetores da transforma¸c˜ao T_A. ´

(3)

Encontrando autovalores e autovetores da matriz A

De

A · v = λ · v temos que

(A − λ I ) · v = 0, (1)

onde I é a matriz identidade e 0 é o vetor coluna nulo. I Se det (A − λ I ) 6= 0, o sistema (1) só tem a solu¸cão trivial.

I Se det (A − λ I ) = 0, o sistema (1) tem infinitas solu¸c˜oes.

Observemos que quando desenvolvemos det(A − λI ) obtemos um polinˆomio na vari´avel λ, ou seja,

p(λ) = det(A − λ I )

Este polinômio é chamadopolinômio caracter´ıstico da matriz A.

´

Encontrando as ra´ızes de p(λ)encontramos os autovalores de A.

Resolvendo (1) para cada λ encontrado, determinamos o autoespa¸co

E_λ, formado pelos vetores n˜ao-nulos que s˜ao autovetores de A associados a λ.

´

Usando o wolframalpha

1

Podemos usar o wolframalpha para encontrar autovalores e autovetores de uma matriz A.

Use o comando eigenvaluese descreva a matriz por linhas separando

cada entrada da linha da matriz por v´ırgula, como nos seguintes exemplos: A = −3 4 −1 2 eigenvalues {{−3, 4}, {−1, 2}} A =   4 0 1 2 3 2 1 0 4   eigenvalues {{4, 0, 1}, {2, 3, 2}, {1, 0, 4}} 1 www.wolframalpha.com

Exemplos

Encontre os autovalores e autovetores associadas das seguintes matrizes: (1) A = −3 4 −1 2 Autovalores: A − λ I = −3 4 −1 2 − λ 1 0 0 1 = −3 − λ 4 −1 2 − λ

polinˆomio caracter´ıstico:

p(λ) = det(A − λI ) = λ2+ λ − 2

ra´ızes de p(λ):

(4)

Autovetores: Resolvemos o sistema −3 − λ 4 −1 2 − λ x y = 0 0 (2) com λ = 1 e λ = −2 Caso λ = 1. E₁ = x y −4 4 −1 1 x y = 0 0 = x y x − y = 0 = α 1 1 Ent˜ao E₁ = ger 1 1

Observa¸cão: Um autovetor correspondente à λ = 1 é v = (1, 1)

´

Caso λ = −2 E−2 = x y −1 4 −1 4 x y = 0 0 = x y x − 4y = 0 = α 4 1 Ent˜ao E−2= ger 4 1

Observa¸cão: Um autovetor correspondente à λ = −2 é v = (4, 1)

´

(2) A =   4 0 1 2 3 2 1 0 4   Autovalores: A − λ I =   4 0 1 2 3 2 1 0 4  − λ   1 0 0 0 1 0 0 0 1  =   4 − λ 0 1 2 3 − λ 2 1 0 4 − λ  

polinˆomio caracter´ıstico:

det(A − λI ) = −(λ − 3)2(λ − 5) ra´ızes de p(λ) :

λ = 3 e λ = 5

´

Autovetores: Resolvemos o sistema   4 − λ 0 1 2 3 − λ 2 1 0 4 − λ     x y z  =   0 0 0   (3) com λ = 3 e λ = 5 Caso λ = 3 E3 =      x y z     1 0 1 2 0 2 1 0 1     x y z  =   0 0 0      =      x y z   x + z = 0    =      −β α β      =    α   0 1 0  + β   −1 0 1      ´

(5)

Ent˜ao E₃ = ger     0 1 0  ,   −1 0 1    

Observa¸cão: Os autovetores correspondentes à λ = 3 são v1 = (0, 1, 0) e v2 = (−1, 0, 1)

´

Caso λ = 5 E₅ =      x y z     −1 0 1 2 −2 2 1 0 −1     x y z  =   0 0 0      =      x y z   x − z = 0 y − 2z = 0    =      α 2α α      =    α   1 2 1      ´

Ent˜ao E₅ = ger   1 2 1  

Observa¸cão 1: Um autovetor correspondente à λ = 5 é v₃ = (1, 2, 1)

Observa¸c˜

oes ao Exemplo 2

1 _{Como p(λ) = −(λ − 3)}2_{(λ − 5) dizemos que}

I λ = 3 tem multiplicidade alg´ebrica 2.

I λ = 5 tem multiplicidade alg´ebrica 1.

2 Como dim E₃= 2 e dim E₅ = 1, dizemos que

I λ = 3 tem multiplicidade geom´etrica 2

(6)

Observa¸c˜

oes

A = (aij) ∈ Mn(R).

1 Se A é uma matriz triangular (inferior, superior ou diagonal), então os autovalores de A são as entradas da sua diagonal principal.

De fato, como det(A − λ I ) = (a11− λ) · · · (ann− λ) ent˜ao os

autovalores s˜ao

λ1= a11, λ2= a22, · · · , λn= ann.

2 _{Se λ ´}_{e um autovalor de A com autovetor associado v , ent˜}_{ao λ}k _´_{e um} autovalor de Ak _{(k inteiro > 0) com autovetor associado v}

De fato, como Av = λ v , multiplicando por A temos que A2_{(v ) = A(Av ) = A(λ v ) = λ Av = λ(λ v ) = λ}2_{v .}

Assim, usando indu¸c˜ao conclu´ımos a afirma¸c˜ao.

3 _{Sejam λ}₁_{, λ}₂_{, · · · , λ}_n _{os autovalores de A (alguns possivelmente} repetidos). Ent˜ao

(i) det(A) = λ1λ2· · · λn (ii) tr (A) = λ1+ λ2+ · · · + λn

´

Exerc´ıcios

1 _{Seja T : R}2 → R2 _{definida por T (x , y ) = (2x + 2y , x + 3y )}

(i) Encontre a matriz canˆonica de T , ou seja, [T ].

(ii) Econtre os autovalores e os autoespa¸cos correspondentes de [T ].

2 _{Para o Exemplo 1, encontre os autovalores de A}2_{. Quais os} autovalores de A10 ?

3 Seja T : R3 → R3 definida por T (x , y , z) = (x + z, y + z, x + y )

(i) Encontre a matriz canˆonica de T , ou seja, [T ].

(ii) Econtre os autovalores e os autoespa¸cos correspondentes de [T ].

4 Sem fazer contas, encontre os autovalores da matriz

A =     2 0 0 0 −1 −1 0 0 3 0 3 0 5 7 5 −2     ´