AnaliseVerao NA8

(1)

An´

alise na Reta

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Nota de Aula 8 – Derivadas

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Introdu¸

c˜

ao

Essa nota de aula é baseada em Lima (2008), cap´ıtulo 8. Lima (2013), cap´ıtulo VIII, também discute esse tópico, de maneira mais aprofundada. Outras referências são: Apostol (1991), cap´ıtulo 4 (Differential Calculus); Rudin (1976), cap´ıtulo 5 (Differentiation); Ávila (1993), cap´ıtulo 6 (O Cálculo Diferencial ), Figueiredo (2013), cap´ıtulo 3 (Fun¸cões Deriváveis).

1.1 Derivadas

Defini¸c˜_{ao: Derivada de f em a. Sejam X ⊂ R, f : X → R e a ∈ X ∩ X}0. A derivada de f no ponto a ´e definida pelo limite:

lim x→a f (x) − f (a) x − a = limh→0 f (a + h) − f (a) h ,

caso esse limite exista. Nesse caso, dizemos que f é derivável no ponto a. Se o limite não existir, dizemos que f não é derivável no ponto a.

Se f ´e deriv´avel em a, denotamos a sua derivada por f0(a), ou (df /dx)(a), ou (df /dx)|x=a, ou

Df (a). Pela defini¸cão acima, temos que a fun¸cão f é derivável em a se, e somente se, lim

x→a

f (x) − f (a) x − a ∈ R ,

onde f0(x) ´e igual a esse limite. Vamos denotar por qf,a(x) o quociente que define a derivada

da fun¸c˜ao f no ponto a, ou seja,

qf,a(x) =

f (x) − f (a) x − a

Logo, f ´e deriv´avel em a se, e somente se, existe limx→aqf,a(x).

Se existir a derivada de f em todos os pontos x ∈ X ∩ X0_{, dizemos que f : X → R é derivável} no conjunto X e obtemos uma nova fun¸cão f0 : X ∩ X0 _{→ R, tal que x 7→ f}0(x) (f0 mapeia cada ponto x ∈ X ∩ X0 na derivada f0(x) de f no ponto x).

Observe que se X é um intervalo, então X ∩ X0 = X. Neste caso, f0 possui dom´ınio igual ao de f , ou seja, a derivada de f está definida nos mesmos pontos em que f está definida.

Considere f : [a, b] → R. Se f0 ∈ C[a, b] (f0 _´_{e cont´ınua em todo o intervalo [a, b]), dizemos que}

f é continuamente diferenciável. A classe das fun¸cões reais continuamente diferenciáveis em [a, b] é denotada por C1[a, b]. Denotamos por C1[a, ∞) o conjunto das fun¸cões f tal que f |[a,b]

´

e diferenci´avel para todo b > a. De modo similar definimos os conjuntos C1_{(−∞, a] e C}1_(R).

Dizemos que f : [a, b] → R ´e duas vezes continuamente diferenci´avel se f0 ∈ C1_{[a, b]. Para}

qual-quer k ∈ N, definimos o conjunto Ck_{[a, b], das fun¸c˜}_{oes k-vezes continuamente diferenci´}_aveis,

(2)

Teorema 1. f : X → R ´e deriv´avel em a ∈ X ∩ X0 se, e somente se, existir c ∈ R tal que a + h ∈ X ⇒ f (a + h) = f (a) + ch + r(h), onde limh→0r(h)/h = 0. Neste caso, temos que

c = f0(a).

Observe para qualquer fun¸c˜ao f , podemos sempre escrever f (a + h) = f (a) + ch + r(h) (basta definir r(h) = f (a + h) − f (a) − ch). O Teorema 1 afirma que existe no m´_{aximo um c ∈ R tal} que limh→0r(h)/h = 0. Se existirem c e r(h) que satisfazem essa propriedade, ent˜ao f0(a) = c.

Além disso, como f (a+h) = f (a)+ch+r(h), o teorema garante que para toda fun¸cão derivável em a, o acréscimo f (a + h) − f (a) é composto por uma parte linear em h (c · h) e outra (r(h)) que se torna insignificante em rela¸cão a h, quando h é muito pequeno (limh→0r(h)/h = 0).

Corolário. Uma fun¸cão é cont´ınua nos pontos em que é deriv´_{avel. Logo, se f : [a, b] → R é} derivável, então f é cont´ınua.

1.2 Derivadas Laterais

Defini¸c˜_{ao: Derivada Lateral de f em a. Sejam X ⊂ R, f : X → R e suponha que} a ∈ X ∩ X₊0 e b ∈ X ∩ X₋0 .

• A derivada à direita de f no ponto a é definida pelo seguinte limite à direita: f₊0(a) = lim x→a+ f (x) − f (a) x − a = limh→0+ f (a + h) − f (a) h ,

caso esse limite exista.

• A derivada à esquerda de f no ponto b é definida pelo seguinte limite à esquerda: f₋0(b) = lim x→b− f (x) − f (b) x − b = limh→0− f (b + h) − f (b) h ,

caso esse limite exista.

Proposi¸c˜_{ao. Sejam f : X → R e a ∈ X ∩ X}₊0 ∩ X0

−. Então f é derivável no ponto a se, e

somente se, as derivadas laterais de f em a existem e s˜ao iguais, com f₊0(a) = f−0(a) = f0(a).

O Teorema 1, com limh→0+r(h)/h = 0 e limh→0−r(h)/h = 0, vale para derivadas `a direita e

`

a esquerda. O mesmo para o corolário desse teorema: se existir f₊0(a), então f é cont´ınua à direita no ponto a, no sentido que f (a) = limh→0+f (a + h). Similar para f−0(a). Mais ainda, se

a ∈ X ∩X₊0 ∩X0

− e existirem f+0(a) e f 0

−(a), ent˜ao f ´e cont´ınua em a, mesmo que f+0(a) 6= f 0 −(a).

Exemplo 1. Toda fun¸cão constante é derivável, com derivada igual a zero em todo ponto. Se f : R → R é definida por f (x) = cx + b, então f0(x) = c, para todo x ∈ R. Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn, é derivável em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1_.

Exemplo 2. f : R → R definida por f (x) = x sin(1/x) se x 6= 0 e f (0) = 0 ´e cont´ınua e possui derivada em todo x 6= 0. No ponto 0, temos:

f (0 + h) − f (0)

h =

h sin(1/h)

h = sin(1/h) ,

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g(x) = x2sin(1/x) se x 6= 0 e g(0) = 0 ´e cont´ınua e possui derivada em todo x, em particular, em 0, pois: g(0 + h) − g(0) h = h2sin(1/h) h = h sin(1/h) ,

que possui limite 0 quando h → 0. Logo g0(0) = 0. Se x 6= 0, então g0(x) = 2x · sin(1/x) − cos(1/x). Como limx→0g0(x) não existe, a fun¸cão derivada g0 : R → R não é cont´ınua em todo

ponto e, portanto, g não é uma fun¸cão classe C1_(R).

Exemplo 3. A fun¸c˜_{ao φ : R → R definida por φ(x) = |x| é derivável em todo ponto x 6= 0.} No ponto 0, as derivadas laterais de φ são φ₊0(0) = 1 e φ₋0(0) = −1. Como φ₊0 (0) 6= φ₋0(0), φ não é derivável em 0. No Exemplo 7 do Cap´ıtulo 7, definimos a fun¸cão parte inteira de um n´_{umero, I : R → R, dada por I(x) = [x] = n, se n ≤ x < n + 1, n ∈ Z. Então I}0(x) = 0 se x 6∈ Z, I+0 (n) = 0, para todo n ∈ Z, mas I

0

−(n) n˜ao existe, para todo n ∈ Z.

Exemplo 4 (Regra de L’Hˆ_{opital). Suponha f, g : R → R tais que lim}x→af (x) = f (a) =

0 = g(a) = limx→ag(x), e f, g s˜ao deriv´aveis no ponto a. Supondo que g0(a) 6= 0, a regra de

L’Hˆopital garante que:

lim x→a f (x) g(x) = f0(a) g0_(a)

Usando essa regra, obtemos, por exemplo, que limx→0sin(x)/x = 1 e limx→0(ex− 1)/x = 1.

2 Regras Operacionais

Teorema 2. Sejam f, g : X → R deriváveis em a ∈ X ∩ X0. As fun¸cões f ± g, f · g e f /g (g(a) 6= 0) são também deriváveis no ponto a, e as derivadas dessas fun¸cões são:

(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)

(f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f (a) · g0(a) f

g 0

(a) = f

0_{(a) · g(a) − f (a)g}0_(a)

g(a)2

Teorema 3 (Regra da Cadeia). Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X ∩ X0, b ∈ Y ∩ Y0, F (x) ⊂ Y e f (a) = b. Se f é derivável no ponto a e g é derivável no ponto b, então h = g ◦ f : X → R é derivável no ponto a e:

h0(a) = (g ◦ f )0(a) = g0(f (a)) · f0(a) .

Corolário (Teorema da Fun¸c˜_{ao Inversa em R). Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma} bije¸cão com inversa f−1 : Y → X. Se f é derivável no ponto a ∈ X ∩ X0 e f−1 é cont´ınua no ponto b = f (a), então f−1 é derivável no ponto b se, e somente se, f0(a) 6= 0. Nesse caso, temos que (f−1)0(b) = 1/f0(a).

Exemplo 5. Dada f : R → R deriv´avel, considere as fun¸c˜oes g, h : R → R definidas por g(x) = f (x2) e h(x) = f (x)2_{. Para todo x ∈ R, a regra da cadeia implica que g}0(x) = f0(x2) · 2x e h0(x) = 2f (x) · f0(x).

Exemplo 6. Dado n ∈ N fixo, g : [0, +∞) → [0, +∞), definida por g(x) = √n_{x ´}_{e deriv´}_{avel no}

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3 Derivada e Crescimento Local

Os resultados abaixo são todos estabelecidos para derivadas à direita. Podemos obter resultados análogos para derivadas à esquerda. Nesse caso, a desigualdade inverte.

Teorema 4. Se f : X → R é derivável à direita no ponto a ∈ X ∩ X+0 , com f 0

+(a) > 0, ent˜ao

existe δ > 0 tal que para x ∈ X, com a < x < a + δ, temos que f (a) < f (x).

Corol´_{ario 1. Se f : X → R é monótona não-decrescente então suas derivadas laterais, onde} existirem, são não-negativas (≥ 0).

Corol´ario 2. Seja a ∈ X ∩ X₊0 ∩ X0

−. Se f : X → R ´e deriv´avel no ponto a, com f0(a) > 0,

ent˜ao existe δ > 0 tal que para x, y ∈ X com a − δ < x < a < y < a + δ, temos que f (x) < f (a) < f (y).

Defini¸c˜ao: M´_{aximo e M´ınimo. Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:}

• M´aximo local de f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X).

• M´aximo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X \ {a}).

• M´ınimo local de f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X).

• M´ınimo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X \ {a}).

• Máximo global (ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X. Dizemos que a é um máximo global estrito de f se f (x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.

• M´ınimo global (ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f (a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.

Corol´_{ario 3. Se f : X → R é derivável à direita em a ∈ X ∩ X}₊0 (à esquerda em a ∈ X ∩ X₋0 ) e a é um ponto de máximo (m´ınimo) local, então f₊0(a) ≤ 0 (f₋0(a) ≥ 0).

Corol´ario 4. Seja a ∈ X ∩ X₊0 ∩ X0

−. Se f : X → R é derivável em a, a ponto ou de máximo

ou de m´ınimo local, então f0_{(a) = 0. Seja f : [a, b] → R derivável no intervalo aberto limitado} (a, b) e suponha que f assume um máximo (ou m´ınimo) em algum x ∈ (a, b). Então f0(x) = 0. Exemplo 7. O Teorema 4 e seu Corolário 2 não implicam que uma fun¸cão com derivada positiva num ponto a será crescente numa vizinhan¸ca de a (a menos que f0 seja cont´ınua em a). Podemos apenas garantir que f (x) < f (a) para x < a, x suficientemente próximo de a, e que f (x) > f (a) para x > a, x suficientemente próximo de a. Mas isso não necessariamente implica que f é monótona. Um exemplo é a fun¸c˜_{ao f : R → R, definida por f (x) = x}2_{sin(1/x) + x/2}

se x 6= 0 e f (0) = 0. Temos que f0(0) = 1/2 e f0(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) + 1/2, para x 6= 0. N˜ao existe vizinhan¸ca de 0 para o qual f seja mon´otona nessa vizinhan¸ca.

Exemplo 8. Mesmo que f seja crescente e derivável, não podemos garantir que a sua derivada será positiva em todos os pontos. Um exemplo ´_{e f : R → R, f (x) = x}3.

(5)

Exemplo 9. Se f : X → R tem um m´ınimo (ou máximo) local em a ∈ X, não necessariamente f0(a) = 0. Primeiro, f0(a) pode n˜_{ao existir (por exemplo, f : R → R, f (x) = |x|, x = 0 é} m´ınimo local e f0(0) não existe). E mesmo que f0(a) exista, caso a não seja um ponto de acumula¸cão bilateral, então podemos ter f0_{(a) 6= 0 (por exemplo, para f : [0, 1] → R dada por} f (x) = x, 0 e 1 são pontos de m´ınimo e máximo, respectivamente, mas f0(x) = 1 para todo x ∈ [0, 1]).

Defini¸cão: Ponto Cr´ıtico. Dizemos que c ∈ X é um ponto cr´ıtico da fun¸cão derivável f : X → R quando f0(c) = 0.

Todo ponto c ∈ X ∩ X₊0 ∩ X0

− que é ponto de máximo ou m´ınimo local é um ponto cr´ıtico

(ou seja, estamos assumindo que f é diferenciável em c). Porém nem todo ponto cr´ıtico é um ponto de máximo ou m´ınimo local, mesmo que ele seja interior ao conjunto X. Por exemplo, para f : R → R dada por f (x) = x3_{, x = 0 ´}_{e um ponto cr´ıtico de f , mas n˜}_{ao ´}_{e nem m´ınimo}

nem m´aximo local de f .

4 Fun¸

c˜

oes Deriv´

aveis num Intervalo

Observe que não assumimos que f0é cont´ınua no Teorema 5. Se f0 for cont´ınua em [a, b], então o resultado segue do Teorema do Valor Intermediário.

Teorema 5 (Teorema de Darboux). Seja f : [a, b] → R deriv´avel. Se f0(a) < d < f0(b), ent˜ao existe c ∈ (a, b) tal que f0(c) = d.

Exemplo 10. Seja g : [−1, 1] → R definida por g(x) = −1, se x ∈ [−1, 0) e g(x) = 1, se x ∈ [0, 1]. Então g0(x) = 0, para todo x ∈ [−1, 1] \ {0} e o Teorema de Darboux é obviamente válido. Por´_{em para todo d ∈ R com g(−1) = −1 < d < 1 = g(1), não existe c ∈ [−1, 1]} tal que f (c) = d. O Teorema do Valor Intermediário falha exatamente pelo fato de g não ser cont´ınua. É fácil notar que não existe fun¸cão deriv´_{avel f : [−1, 1] → R tal que f}0 = g. O Teorema Fundamental do C´_{alculo garante que se g : I → R, I um intervalo qualquer, for} cont´ınua, então existir´_{a f : I → R tal que f}0 = g (dizemos que f é uma primitiva de g. Logo esse resultado pode ser lido como toda fun¸cão cont´ınua possui uma primitiva).

Teorema 6 (Teorema de Rolle). Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Se f é derivável em (a, b) e f (a) = f (b), então f0(c) = 0, para algum c ∈ (a, b).

Teorema 7 (Teorema do Valor Intermediário de Lagrange). _{Seja f : [a, b] → R} cont´ınua. Se f é derivável em (a, b), então existe c ∈ (a, b) tal que:

f0(c) = f (b) − f (a)

b − a (ou f (b) − f (a) = f

0

(c)(b − a) )

Logo, se f : [a, a + h] → R cont´ınua é derivável em (a, a + h), então existe θ ∈ (0, 1) tal que f (a + h) = f (a) + f0(a + θh) · h.

Corol´_{ario 1. Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f}0(x) = 0 para todo x ∈ int I, então f é fun¸cão constante.

Corol´_{ario 2. Se f, g : I → R cont´ınuas no intervalo I s˜ao deriv´aveis em int I com f}0(x) = g0(x), para todo x ∈ int I, ent˜_{ao existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I.}

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Corol´_{ario 3. Considere f : I → R deriv´avel no intervalo I ⊂ R. Se existir k ∈ R tal que} |f0_{(x)| ≤ k, ∀ x ∈ I, ent˜}_{ao para todo par x, y ∈ I, temos que |f (x) − f (y)| ≤ k |x − y|.}

Exemplo 11. O corolário 3 serve para gerar fun¸cões Lipschitzianas. Também podemos utilizar esse corolário para mostrarmos que uma determinada fun¸cão é Lipschitziana, ao mostrarmos que a sua derivada é uma fun¸cão limitada.

Corolário 4. A fun¸cão deriv´_{avel f : I → R é monótona decrescente (monótona} não-crescente) no intervalo I ⊂ R se, e somente se, f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) para todo x ∈ I. Se f0(x) > 0 (f0(x) < 0) para todo x ∈ I, então f é uma bije¸cão crescente (decrescente) sobre um intervalo J e sua inversa f−1 : J → I é derivável, com (f−1)0(y) = 1/f0(x), para todo y = f (x) ∈ J .

Referˆ

encias

Apostol, T. (1991). Calculus, vol. i: One-variable calculus, with an introduction to linear algebra (2nd edition). Wiley.

´

Avila, G. (1993). Introdu¸cão à análise matemática. Editora Edgard Blücher Ltda. Figueiredo, D. G. (2013). Análise i (2a edi¸cão). Editora LTC.

Lima, E. L. (2008). Análise real, vol. 1: Fun¸cões de uma variável. Cole¸cão Matemática Universitária, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).

Lima, E. L. (2013). Curso de an´alise vol. 1. Projeto Euclides, Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada (IMPA).

Rudin, W. (1976). Principles of mathematical analysis (3rd edition). McGraw-Hill International Editions.