1. Ache o dom´ınio da fun¸c˜ ao (a) √

Universidade Fedral do ABC

BC0402 - Fun¸ c˜ oes de Uma Vari´ avel

1 ^o quadrimestre de 2013 Lista de Exerc´ıcios

0. Revis˜ ao da disciplina Bases Matem´ aticas

1. Ache o dom´ınio da fun¸c˜ ao (a) √

1 + x (b) √

³

1 + x (c) √

x ² − 2 (d) 1

4 − x ² (e) √

2 + x − x ²

(f) √ x − x ³ (g) arccos 2x

1 + x (h) √

sen 2x (i) √

cos x ²

(j) lg 2 + x 2 − x (k) lg x ² − 3x + 2

x + 1 (l) arcsen lg x

10 2. Ache f (0), f(−x), f(x + 1), f (x) + 1, f ( 1

x ), 1

f(x) se f (x) = 1 − x 1 + x 3. Ache f (x) se

(a) f (x + 1) = x ² − 3x + 2 (b) f

1 x

= x + √

1 + x ² , x > 0 (c) f

x x + 1

= x ² 4. Simplifique as express˜ oes alg´ ebricas:

(a)

x − y

√ x − √

y − x − y

√ x + √

√ y x − √

y x − y +

√ x + √ y x − y

· 2 √ xy

y − x (b)





1

(a ^1/2 + b ^1/2 ) ⁻² −

√ a − √ b a ^3/2 − b ^3/2

! ⁻¹ 

 (ab) ^−1/2

(c) a

√ a + √ b 2b √

a

! ⁻¹

+ b

√ a + √ b 2a √

b

! ⁻¹

(d) x ^1/2 + y ^1/2

x ^1/2 − y ^1/2 − x ^1/2 − y ^1/2 x ^1/2 + y ^1/2

!

(y ^−1/2 − x ^−1/2 ) (e)

√

4

a − √

⁴

b ⁻² + √

⁴

a + √

⁴

b ⁻²

:

√ a + √ b a − b

! ²

(f) (a ^1/m − a ^1/n ) ² + 4a ^(m+n)/mn (a ^2/m − a ^2/n ) √

^m

a ^m+1 + √

ⁿ

a ⁿ⁺¹

5. Simplifique as express˜ oes com fun¸c˜ ao valor absoluto:

(a) x |x − 3|

(x ² − x − 6) |x| (b) x |x − 3| + x ² − 9

2x ³ − 3x ² − 9x (c)

2 |y + 5| − y + 25 y 3y ² + 10y − 25 (d)

√ 4x + 4 + x ⁻¹

√ x |2x ² − x − 1| (e) |z − 1| · |z|

z ² − z + 1 − |z| (f)

√ a ² − 2ab + b ²

√

a ² + 2ab + b ² + 2a

a + b , se 0 < a < b 6. Reescreva a fun¸c˜ ao

f(x) =

( 0, x ≤ 0 x, x > 0

utilizando s´ o uma f´ ormula (use o sinal da fun¸c˜ ao valor absoluto).

7. Resolva as desigualdades:

(a) |x − 3| > −1 (b) |4 −3x| ≤ 1/2 (c) x ² + 2|x + 3| − 10 ≤ 0 (d) |x − 2| ≤ |x + 4|

8. Verifique se a fun¸c˜ ao ´ e par ou ´ımpar.

(a) x ⁴ + 3 (b) x ² + |x|

(c) √

8x ³ + 4 (d) 5x ³ + 7

(e)

√ 1 + sen x cos x (f) √

1 + x + x ² − √

1 − x + x ²

(g) ^q

³

(x + 1) ² + ^q

³

(x − 1) ² (h) 1

2 (a ^x + a ^−x ) (i) lg 1 + x

1 − x (j) lg(x + √

1 + x ² ) 9. Prove as identidades:

(a) sen ⁶ α + cos ⁶ α = 1 − 3

4 sen ² 2α (b) 1 + sen 2α + cos 2α

1 + sen 2α − cos 2α = cot α (c) (sen α + sen β) ² + (cos α + cos β) ² = 4 cos ² α − β

2 (d) 2sen α − sen 2α

2sen α + sen 2α = tan ² α 2 (e) sen α + 2sen 3α + sen 5α

sen 3α + 2sen 5α + sen 7α = sen 3α

sen 5α (f) 1

tan 3α − tan α − 1

cot 3α − cot α = cot 2α (g) cot ² α − cot ² β = cos ² α − cos ² β

sen ² α sen ² β 10. Simplifique as express˜ oes logar´ıtmicas:

(a) 81 ^{1/ log}

⁵

⁹ + 3 ^{3/ log}

^√6

³ 409

( √

7) ^{2/ log}

²⁵

⁷ − 125 ^log

²⁵

⁶ (b) a ^{1+2/ log}

^b

^a b − 2a ^log

^a

^b+1 b ^log

^b

^a+1 + ab ^{1+2/ log}

^a

^b

(c) 2 ^log

^√42

^a − 3 ^log

²⁷

^(a

²

⁺¹⁾

³

− 2a : (7 ^{4 log}

⁴⁹

^a − a − 1) (d) log ₃ 2 log ₄ 3 log ₅ 4 log ₆ 5 log ₇ 6 log ₈ 7

(e) log ₂ 2x ² + log ₂ x · x ^log

^x

^(log

²

^x+1) + 1

2 log ² ₂ x ² + 2 ^{−3 log}

^1/2

^log

²

^x (f) log _a b + log _a b

¹²

^log

^b

^a

²

log _a b − log _ab b · log _ab b log _a b b ^{2 log}

^b

^log

^a

^b − 1 (g) 5 ^log

^1/5

^(1/2) + log ^√ ₂ 4

√ 7 + √

3 + log _1/2 1 10 + 2 √

21 11. Resolva as equa¸c˜ oes exponenciais:

(a) √ 3 ^x · √

5 ^x = 225 (b) 2 ^3x · 5 ^x = 1600

(c) 9 ^3−5x · 7 ^5x−3 = 1 (d) 3 ^2x−1 · 5 ^3x+2 = 9

5 · 5 ^2x · 3 ^3x

(e) 3 · 4 ^x + 1

3 · 9 ^x+2 = 6 · 4 ^x+1 − 1 2 · 9 ^x+1 (f) 7

^2x

2−5x−9

2

= ( √

2) ^{3 log}

²

⁷

(g) 4 · 3 ^x+2 + 5 · 3 ^x − 7 · 3 ^x+1 = 40

12. Sejam f (x) = sen x, g(x) = x ² , h(x) = cos x. Determine a f´ ormula para cada fun¸c˜ ao abaixo (a) f ◦ g

(b) g ◦ f

(c) g ◦ g (d) g ◦ (f + h)

(e) g ◦ (f /h) (f) (f /h) ◦ (h/f )

(g) f ◦ (g ◦ h) (h) (f ◦ g ) ◦ h 13. Sejam f (x) = 4x, g(x) = x − 3, h(x) = √

x. Expresse cada uma das fun¸c˜ oes abaixo atrav´ es das composi¸c˜ oes de fun¸c˜ oes escolhidas entre f, g e h.

(a) 4 √

x (b) √

x − 3 (c) 4x − 12 (d) x − 6 (e) √ 4x 14. Ache f [f (x)] e f {f[f (x)]} se f(x) = 1

1 − x . 15. Ache f _n (x) = f (f(. . . f (x)))

| {z }

n vezes

se f (x) = x

√ 1 + x ² .

16. Para cada fun¸c˜ ao abaixo determine a fun¸c˜ ao inversa (n˜ ao esque¸ca indicar o dom´ınio dela) (a) 7x − 13

(b) x ² − 3 (c) 2x − 3

3x − 2

(d) √

³

1 − x ³ (e) arctan 3x (f) lg x

2

(g) y =

( x, x ≤ 0 x ² , x > 0

17. Resolve as desigualdades:

(a) arcsen x ≤ 5 (b) arcsen x ≥ −2

(c) arccos x ≤ arccos 1 4

(d) arccos x > π 6 (e) arctan x > − π

3 (f) arccot x > 2

(g) arcsen x < arccos x (h) arccos x > arccos x ²

(i) arctan x > arccot x (j) tan ² (arcsen x) > 1 18. Calcule os valores das fun¸c˜ oes trigonom´ etricas:

(a) sen

2 arccos 1 4

(b) cos

arcsen

− 1 2

(c) sen

arcsen 3

5 + arcsen 8 17

(d) tan

2 arcsen 2 3

(e) arcsen (sen 2) (f) tan

arcsen 1

3 + arccos 1 4

(g) sen (arctan 2 + arctan 3) (h) cos

arcsen 1

3 − arccos 2 3

19. Prove as identidades:

(a) arcsen x ± arcsen y = arcsen (x √

1 − y ² ± y √

1 − x ² ) (b) arccos x ± arccos y = arccos(xy ∓ √

1 − y ² √

1 − x ² ) (c) arctan x ± arctan y = arctan x ± y

1 ∓ xy

Respostas

1. a. [−1, ∞); b. (−∞, ∞); c. (−∞, − √ 2] ∪ [ √

2, ∞); d. (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞); e.

−1 ≤ x ≤ 2, f. −∞ < x ≤ −1, 0 ≤ x ≤ 1; g. [− 1

3 , 1]; h. kπ ≤ x ≤ kπ+ π

2 (k = 0, ±1, ±2, . . .);

i. |x| ≤ r π

2 , r π

2 (4k − 1) ≤ |x| ≤ r π

2 (4k + 1) (k = 1, 2, . . .); j. −2 < x < 2; k. −1 < x < 1, 2 < x < +∞; l. 1 ≤ x ≤ 100.

2. 1, 1 + x 1 − x , −x

2 + x , 2

1 + x , x − 1

x + 1 , 1 + x 1 − x 3. a. x ² − 5x + 6 b. 1 + √

x ² + 1

x c.

x x − 1

2

4. a. −2y b. 1 c. 2ab d. 4

√ x + √

y e. 2( √ a + √

b) f. 1

a(a ^1/m − a ^1/n ) 5. a. 1

x + 2 em (−∞, 0) ∪ (3, ∞), − 1

x + 2 em (0, 3) b. 1

x em (3, ∞), 3

x(2x + 3) em (−∞, − 3 2 ) ∪ (− 3

2 , 0) ∪ (0, 3) c. − 1

y em (−∞, −5), y + 5

y(3y − 5) em (−5, 0) ∪ (0, 5 3 ) ∪ ( 5

3 , ∞) d. 1 x − x ² em (0, 1), 1

x ² − x em (1, ∞) e. z ² − z

z ² + 1 em (−∞, 0), z

1 − z em (0,1), z

z − 1 em (1, ∞) f. 1.

6. x + |x|

2

7. a. R b.

7 6 , 3

2

c. [1 − √ 17, √

5 − 1] d. [−1, ∞)

8. a. par b. par c. n˜ ao d. n˜ ao e. n˜ ao f. ´ımpar g. par h. par i. ´ımpar j. ´ımpar 9.

10. a. 1; b. ab(a − b) ² ; c. a ² + a + 1; d. 1/3; e. (log ₂ x + 1) ³ ; f. 1/(log _a b − 1); g. 6 11. a. 4; b. 2; c. 3/5; d. −3; e. −1/2; f. −3/2, 4; g. log ₃ 2

12. a. sen x ² b. sen ² x c. x ⁴ d. (sen x + cos x) ² e. tan ² x f. tan (cot x) g. sen (cos ² x) h. sen (cos ² x)

13. a. f ◦ h b. h ◦ g c. f ◦ g d. g ◦ g e. h ◦ f 14. x − 1

x , x

15. x

√

1 + nx ²

16. a. (x + 13)/7, R b. √

x + 3, x ≥ −3 c. (2x − 3)/(3x − 2), x 6= 2/3 d. √

³

1 − x ³ , R e. 1

3 tan x, − π

2 < x < π

2 f. 2 · 10 ^x , R g. x em x ≤ 0, √

x em x > 0 17. a. [−1, 1] b. [−1, 1] c. [1/4, 1] d. [−1, √

3/2) e. (− √

3, ∞) f. (−∞, cot 2) g. [−1, 1/ √

2) h. [−1, 0) i. (1, ∞) j. (−1, − √

2/2) e ( √ 2/2, 1) 18. a. √

15/8 b. √

3/2 c. 77/85 d. 4 √

5 e. π − 2 (Dica: sen 2 = sen (π − 2), π − 2 ∈ [− π

2 , π

2 ]) f. 1 + 2 √ 30 2 √

2 − √

15 g. √

2/2 h. 4 √ 2 + √

5

9

1. Limites e continuidade

1. Calcule limites de fun¸c˜ oes racionais:

(a) lim

x→0

x ² − 1 2x ² − x − 1 (b) lim

x→1

x ² − 1 2x ² − x − 1 (c) lim

x→−1

x ³ + 1 x ² + 1 (d) lim

x→5

x ² − 5x + 10 x ² − 25 (e) lim

x→−1

x ² − 1 x ² + 3x + 2 (f) lim

x→2

x ² − 2x x ² − 4x + 4

(g) lim

x→3

x ² − 5x + 6 x ² − 8x + 15 (h) lim

x→−1

x ³ − 2x − 1 x ⁵ − 2x − 1 (i) lim

x→0

(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 x

(j) lim

x→0

(1 + x) ⁵ − (1 + 5x) x ² + x ⁵ (k) lim

x→1

x ^m − 1

x ⁿ − 1 (m e n s˜ ao inteiros positivos) 2. Calcule limites de fun¸ c˜ oes alg´ ebricas:

(a) lim

x→0

√ 1 + x − √ 1 − x x

(b) lim

x→4

√ 1 + 2x − 3

√ x − 2 (c) lim

x→3

√ x + 13 − 2 √ x + 1 x ² − 9 (d) lim

x→3

√

x ² − 2x + 6 − √

x ² + 2x − 6 x ² − 4x + 3

(e) lim

x→8

x − 8

√

3

x − 2 (f) lim

x→−2

√

3

x − 6 + 2 x ³ + 8 (g) lim

x→−8

√ 1 − x − 3 2 + √

³

x (h) lim

x→0

√ 1 + x − √ 1 − x

√

3

1 + x − √

³

1 − x 3. Calcule limites trigonom´ etricos usando o primeiro limite fundamental lim

x→0

sen x x = 1:

(a) lim

x→0

sen 5x 2x (b) lim

x→0 x cot 3x (c) lim

x→0

sen 5x − sen 3x sen x (d) lim

x→a

sen x − sen a x − a (e) lim

x→a

cos x − cos a x − a

(f) lim

x→1

sen πx sen 3πx (g) lim

x→−2

tan πx x + 2 (h) lim

x→π/4

sen x − cos x 1 − tan x (i) lim

x→0

arcsen x x

(j) lim

x→0

arctan 2x sen 3x (k) lim

x→0

x − sen 2x x + sen 3x (l) lim

x→0

√ 1 + sen x − √

1 − sen x x

(m) lim

x→π/6

2 sen ² x + sen x − 1 2 sen ² x − 3 sen x + 1 4. Calcule limites no infinito:

(a) lim

x→∞

(x + 1) ² x ² + 1 (b) lim

x→∞

1000x x ² − 1 (c) lim

x→∞

x ² − 5x + 1 3x + 7

(d) lim

x→∞

2x ² − x + 3 x ³ − 8x + 5 (e) lim

x→∞

(2x + 3) ³ (3x − 2) ² x ⁵ + 5 (f) lim

x→∞

2x ² − 3x − 4

√

x ⁴ + 1

(g) lim

x→∞

2x + 3 x + √

³

x (h) lim

x→∞

√

3

x ² + 1 x + 1 (i) lim

x→+∞

r

x + ^q x + √ x

√ x + 1

(j) lim

x→+∞ ( ^p x ² − 5x + 6 − x) (k) lim

x→+∞

q (x + a)(x + b) − x (l) lim

x→+∞

r

x + q

x + √ x − √

x

(m) lim

x→∞ (x + ^p

³

1 − x ³ ) 5. Calcule limites usando (se for necess´ ario) o segundo limite fundamental lim

x→0 (1 + x) ^1/x =e (a) lim

x→0

2 + x 3 − x

x

(b) lim

x→1

x − 1 x ² − 1

x+1

(c) lim

x→∞

1 x ²

2x/x+1

(d) lim

x→0

x ² − 2x + 3 x ² − 3x + 2

! sen x/x

(e) lim

x→∞

x ² + 2 2x ² + 1

! x

²

(f) lim

n→∞

1 − 1

n n

(g) lim

x→∞

1 + 2

x x

(h) lim

x→∞

x x + 1

x

(i) lim

x→∞

x − 1 x + 3

x+2

(j) lim

n→∞

1 + x

n n

(k) lim

x→0 (1 + sen x) ^1/x (l) lim

x→0 (cos x) ^1/x (m) lim

x→0 (cos x) ^1/x

²

6. Calcule limites de fun¸c˜ oes logar´ıtmicas e exponenciais (pode usar o segundo limite fundamental na forma lim

x→0

ln(1 + x) x = 1):

(a) lim

x→∞ [ln(2x + 1) − ln(x + 2)]

(b) lim

x→0

lg(1 + 10x) x (c) lim

x→0



 1 x ln

s 1 + x 1 − x





(d) lim

x→+∞ x[ln(x + 1) − ln x]

(e) lim

x→0

ln(cos x) x ² (f) lim

x→0

e ^x − 1 x

(g) lim

x→0

a ^x − 1

x , a > 0 (h) lim

n→∞ n( √

ⁿ

a − 1), a > 0 (i) lim

x→0

e ^ax − e ^bx x (j) lim

x→0

1 − e ^−x sen x (k) lim

x→0

senh x x (l) lim

x→0

cosh x − 1 x ² 7. Calcule limites laterais

(a) lim

x→−∞

√ x x ² + 1 (b) lim

x→+∞

√ x x ² + 1 (c) lim

x→−∞ tanh x (d) lim

x→+∞ tanh x

(e) lim

x→0

⁻

1 1 + e ^1/x (f) lim

x→0

⁺

1 1 + e ^1/x (g) lim

x→−∞

ln(1 + e ^x ) x (h) lim

x→+∞

ln(1 + e ^x ) x

(i) lim

x→0

⁻

|sen x|

x

(j) lim

x→0

⁺

|sen x|

x (k) lim

x→1

⁻

x − 1

|x − 1|

(l) lim

x→1

⁺

x − 1

|x − 1|

(m) lim

x→2

⁻

x x − 2 (n) lim

x→2

⁺

x x − 2

8. Fa¸ ca gr´ aficos de fun¸ c˜ oes : (a) y = lim

n→∞ (cos ²ⁿ x) (b) y = lim

n→∞

x

1 + x ⁿ , x ≥ 0 (c) y = lim

n→∞ (arctan nx)

9. O que acontece com as ra´ızes da equa¸ c˜ ao quadr´ atica ax ² + bx + c = 0 quando o valor do coeficiente a se aproxima a zero, os coeficientes b e c s˜ ao constantes e b 6= 0?

10. Determine as constantes a e b nas equa¸ c˜ oes (a) lim

x→∞ ax + b − x ³ + 1 x ² + 1

!

= 0 (b) lim

x→∞ ( ^p x ² − x + 1 − ax − b) = 0 11. Uma fun¸ c˜ ao ´ e definida como

f (x) =







x ² − 4

x − 2 , x 6= 2 A, x = 2

Escolha o valor A = f (2) de tal maneira que a fun¸ c˜ ao f(x) seja cont´ınua em x = 2. Fa¸ ca o gr´ afico de f (x).

12. A f´ ormula f(x) = 1 − x sen 1

x n˜ ao tem sentido em x = 0. Como escolher o valor f (0) para que f (x) seja cont´ınua em x = 0?

13. A fun¸ c˜ ao f (x) = arctan 1

x − 2 n˜ ao est´ a definida em x = 2. ´ E poss´ıvel determinar o valor f (2) de tal maneira que f (x) seja cont´ınua em x = 2?

14. A fun¸ c˜ ao f (x) n˜ ao est´ a definida em x = 0. Determine f (0) de tal forma que f (x) seja cont´ınua em x = 0.

(a) (1 + x) ⁿ − 1

x , n ∈ N

(b) 1 − cos x x ²

(c) ln(1 + x) − ln(1 − x) x

(d) e ^x − e ^−x x

(e) x ² sen 1 x

(f) x cot x

15. Determine os pontos de descontinuidade das fun¸ c˜ oes abaixo e diga qual ´ e o tipo de cada ponto de descontinuidade.

(a) x ² x − 2 (b) 1 + x ³

1 + x (c)

√ 7 + x − 3 x ² − 4 (d) x sen π

x

(e) ln | cos x|

(f) ln

tan x 2 (g) e ^1/(x+1) (h) e ^−1/x

²

(i) 1

1 + e ^1/(1−x)

(j) arctan 1 x

(k) (1 + x) arctan 1 1 − x ² (l)

( x ² , x ≤ 3 2x + 1, x > 3

Respostas

1. a. 1 b. 2/3 c. 0 d. ∞ e. −2 f. ∞ g. −1/2 h. 1/3 i. 6 j. 10 k. m/n 2. a. 1 b. 4/3 c. −1/16 d. −1/3 e. 12 f. 1/144 g. −2 h. 3/2

3. a. 5/2 b. 1/3 c. 2 d. cos a e. −sen a f. 1/3 g. π h. − √

2/2 i. 1 j. 2/3 k. −1/4 l. 1 m. −3

4. a. 1 b. 0 c. ∞ d. 0 e. 72 f. 2 g. 2 h. 0 i. 1 j. −5/2 k. (a + b)/2 l. 1/2 m. 0

5. a. 1 b. 1/4 c. 0 d. 3/2 e. 0 f. 1/e g. e ² h. 1/e i. e ⁻⁴ j. e ^x k. e l. 1 m. 1/ √ e 6. a. ln 2 b. 10 lg e c. 1 d. 1 e. −1/2 f. 1 g. ln a h. ln a i. a − b j. 1 k. 1 l. 1/2 7. a. −1 b. 1 c. −1 d. 1 e. 1 f. 0 g. 0 h. 1 i. −1 j. 1 k. −1 l. 1 m. −∞ n. +∞

8. a. y = 0 se x 6= kπ, y = 1 se x = kπ b. y = x se 0 ≤ x < 1, y = 1/2 se x = 1, y = 0 se x > 1 c. y = −π/2 se x < 0, y = 0 se x = 0, y = π/2 se x > 0

9. x ₁ → −c/b, x ₂ → ∞

10. a. a = 1, b = 0 b. a = ±1, b = ∓1/2 11. A = 4

12. f (0) = 1 13. N˜ ao

14. a. n b. 1/2 c. 2 d. 2 e. 0 f. 1

15. a. x = 2 infinita b. x = −1 remov´ıvel c. x = −2 infinita, x = 2 remov´ıvel d. x = 0 remov´ıvel e. x = π

2 + πk, k ∈ Z infinitas f. x = πk, k ∈ Z infinitas g. x = −1 infinita h. x = 0 remov´ıvel

i. x = 1 em salto j. x = 0 em salto k. x = 1 em salto, x = −1 remov´ıvel l. x = 3 em salto

2. Derivada

1. Determine o incremento da fun¸c˜ ao y = x ² que corresponde ao incremento do argumento x:

(a) de x = 1 a x 1 = 2 (b) de x = 1 a x 1 = 1, 1 (c) de x = 1 a x 1 = 1 + h 2. Ache ∆y para a fun¸ c˜ ao y = √

³

x se

(a) x = 0, ∆x = 0, 001 (b) x = 8, ∆x = −9 (c) x = a, ∆x = h

3. Qual ´ e a taxa m´ edia de crescimento da fun¸ c˜ ao y = x ³ no intervalo 1 ≤ x ≤ 4?

4. A lei de movimento de um ponto ´ e s = 2t ² + 3t + 5, onde s se mede em centimeros e t em segundos.

Qual ´ e a velocidade m´ edia do ponto no intervalo de t = 1 a t = 5?

5. Ache a raz˜ ao ∆y

∆x para a fun¸ c˜ ao y = 1

x no ponto x = 2, se (a) ∆x = 1; (b) ∆x = 0, 1; (c)

∆x = 0, 01. Qual ´ e o valor da derivada y ⁰ em x = 2?

6. Dˆ e uma defini¸ c˜ ao de (a) velocidade m´ edia de rota¸ c˜ ao ; (b) velocidade instantˆ anea de rota¸ c˜ ao.

7. Um corpo aquecido at´ e temperatura T est´ a se esfriando. Dˆ e uma defini¸ c˜ ao de (a) taxa m´ edia de esfriamento; (b) taxa instantˆ anea de esfriamento.

8. Em uma rea¸ c˜ ao qu´ımica, as mol´ eculas de uma substˆ ancia A se decomp˜ oem em mol´ eculas de uma outra substˆ ancia B . Dˆ e uma defini¸ c˜ ao de (a) taxa m´ edia de rea¸c˜ ao qu´ımica; (b) taxa instantˆ anea de rea¸c˜ ao qu´ımica.

9. Calcule a derivada da fun¸ c˜ ao diretamente da defini¸ c˜ ao (a) √

³

x (b) tan x (c) 1 + x

1 − x (d) √ 1 − x ²

10. Calcule usando a defini¸ c˜ ao da derivada como limite f ⁰ (a) = lim

∆x→0

∆f(a)

∆x (a) f ⁰ (2), se f (x) = x ² sen (x − 2)

(b) f ⁰ (1), se f (x) = x + (x − 1) arcsen r x

x + 1 (c) f ⁰ (0), f ⁰ (1) e f ⁰ (2), se f (x) = x(x − 1) ² (x − 2) ³ 11. Calcule as derivadas das fun¸ c˜ oes alg´ ebricas:

(a) y = x ⁵ − 4x ³ + 2x − 3 (b) y = 1

4 − 1

3 x + x ² − 0, 5x ⁴ (c) y = − 5x ³

a

(d) y = at ^m + bt ^m+n

(e) y = ax ⁶ + b

√ a ² + b ²

(f) y = 3x ^2/3 − 2x ^5/2 + x ⁻³ (g) y = x ² √

³

x ² (h) y = a

√

3

x ² − b x √

³

x

(i) y = a + bx c + dx (j) y = 2x + 3

x ² − 5x + 5 (k) y = 2

2x − 1 − 1 x (l) y = 1 + √

z 1 − √

z

12. Calcule as derivadas das fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas

(a) y = 5 sen x + 3 cos x (b) y = tan x − cot x

(c) y = sen x + cos x sen x − cos x

(d) y = 2t sen t − (t ² − 2) cos t

(e) y = arctan x + arccot x (f) y = x cot x

(g) y = xarcsen x

(h) y = (1 + x ² ) arctan x − x 2

13. Determine as derivadas de fun¸ c˜ oes exponenciais e logar´ıtmicas (a) y = x ⁷ e ^x

(b) y = (x − 1)e ^x (c) y = e ^x

x ² (d) y = x ⁵ e ^x (e) y = e ^x cos x

(f) y = (x ² − 2x + 2) e ^x (g) y = e ^x arcsen x (h) y = x ²

ln x

(i) y = x ³ ln x − x ³ 3 (j) y = 1

x + 2 ln x − ln x x

(k) y = ln x · lg x − ln a · log _a x (l) y = x senh x

(m) y = x ² cosh x (n) y = tanh x − x (o) y = 3 coth x

ln x 14. Calcule derivadas de fun¸ c˜ oes compostas

(a) y =

ax + b c

3

(b) y = (3 + 2x ² ) ⁴

(c) y = 3

56(2x − 1) ⁷ − 1

24(2x − 1) ⁶ − 1

40(2x − 1) ⁵ (d) y = √

1 − x ² (e) y = √

³

a + bx ³ (f) y = (a ^2/3 − x ^2/3 ) ^3/2 (g) y = (3 − 2sen x) ⁵ (h) y = tan x − 1

3 tan ³ x + 1 5 tan ⁵ x (i) y = √

cot x − √ cot α (j) y = 2x + 5 cos ³ x

(k) y = − 1

6(1 − 3 cos x) ² (l) y = 1

3 cos ³ x − 1 cos x (m) y =

r 3sen x − 2 cos x 5

(n) y = sen 3x + cos x

5 + tan √ x (o) y = sen (x ² − 5x + 1) + tan a

x (p) y = 1 + cos 2x

1 − cos 2x (q) y = a cot x

a (r) y = − 1

20 cos(5x ² ) − 1 4 cos x ² (s) y = arcsen 1

x ² (t) y = arccos √

x (u) y = arctan 1

x (v) y = arctan 1 + x

1 − x (w) y = arctan x

1 + √ 1 − x ² (x) y = 2 √

1 − x ² arcsen x − 2x + x(arcsen x) ² (y) y = arccot

sen x + cos x sen x − cos x

(z) y = 3 − x 2

p 1 − 2x − x ² + 2arcsen 1 + x

√ 2

15. Calcule derivadas de fun¸ c˜ oes compostas

(a) y = √

xe ^x + x (b) y = √

³

2e ^x − 2 ^x + 1 + ln ⁵ x (c) y = 5e ^−x

²

(d) y = 1 5 ^x

²

(e) y = x ² 10 ^2x (f) f (t) = tsen 2 ^t (g) y = arccos e ^x (h) y = ln(2x + 7)

(i) y = lg sen x (j) y = ln(1 − x ² ) (k) y = ln ² x − ln(ln x)

(l) y = arctan(ln x) + ln(arctan x) (m) y = √

ln x + 1 + ln( √ x + 1) (n) y = √

^x

x

(o) y = (sen x) ^{cos x} + (cos x) ^{sen x} (p) y = log _x e

(q) y = ln( cosh x) + 1 2 cosh ² x (r) y = cosh x

senh ² x − ln( coth x 2 ) (s) y = ln(arccos 1

√ x ) (t) y = 1

6 ln (x + 1) ² x ² − x + 1 + 1

√ 3 arctan 2x − 1

√ 3 (u) y = 1

4 √

2 ln x ² + x √ 2 + 1 x ² − x √

2 + 1 − 1 2 √

2 arctan x √ 2 x ² − 1 (v) y = arcsen x

√

1 − x ² + 1

2 ln 1 − x 1 + x (w) y = ln(e ^x + ^p 1 + e ^2x )

(x) y = arctan e ^x − ln s

e ^2x e ^2x + 1 16. Calcule as segundas derivadas das fun¸ c˜ oes

(a) y = x ⁸ + 7x ⁶ − 5x + 4 (b) y = sen ² x

(c) y = (1 + x ² ) arctan x

(d) y = (arcsen x) ² (e) y = e ^x

²

(f) y = ln √

³

1 + x ²

(g) y = ln(x + √

a ² + x ² ) (h) y = a cosh x

a 17. Calcule as derivadas da ordem indicada

(a) y = x(2x − 1) ² (x + 3) ³ , y ⁽⁶⁾ e y ⁽⁷⁾ (b) y = √

x, y ⁽¹⁰⁾ (c) y = xsen x, y ⁽⁵⁰⁾ 18. Escreva a equa¸ c˜ ao da reta tangente ao gr´ afico da fun¸ c˜ ao no ponto indicado

(a) y = tan 2x, na origem (b) y = arcsen x − 1

2 , no ponto de interse¸ c˜ ao com o eixo OX (c) y = arccos 3x, no ponto de interse¸ c˜ ao com o eixo OY (d) y = √

³

x − 1, no ponto (1; 0) (e) y = (x + 1) √

³

3 − x, no ponto (2; 3)

(f) y = ln x, no ponto de interse¸c˜ ao com o eixo OX (g) y = e ^1−x

²

, nos pontos de interse¸ c˜ ao com a reta y = 1 19. Com qual ˆ angulo se interseptam os gr´ aficos das fun¸ c˜ oes

(a) y ₁ = x ² , y ₂ = √

x, (b) y ₁ = sen x, y ₂ = cos x 20. Determine derivadas de fun¸ c˜ oes inversas x ⁰ _y = dx

dy , se

(a) y = 2x + x ² (b) y = x − 1

2 sen x (c) y = 0, 1x + e ^x/2 21. Determine derivadas y ⁰ = dy

dx das fun¸ c˜ oes impl´ıcitas determinadas pelas equa¸c˜ oes:

(a) 2x − 5y + 10 = 0 (b) x ²

a ² + y ² b ² = 1 (c) x ³ + y ³ = a ³ (d) x ³ + x ² y + y ² = 0

(e) √ x + √

y = √ a (f) √

³

x ² + ^p

³

y ² = √

³

a ²

(g) y ³ = x − y x + y (h) y − 0, 3sen y = x

(i) a cos ² (x + y) = b (j) tan y = xy (k) xy = arctan x

y (l) arctan(x + y) = x (m) e ^y = x + y

(n) ln x + e ^−y/x = C (o) ln y + x

y = C (p) arctan y

x = 1

2 ln(x ² + y ² ) (q) ^p x ² + y ² = C arctan y

x (r) x ^y = y ^x

22. Determine o coeficiente angular da tangente ao gr´ afico da equa¸ c˜ ao no ponto P

(a) xy + 16 = 0, P (−2; 8) (b) y ² − 4x ² = 0, P (−1; 3) (c) x ² y + sen y = 2π, P (1; 2π) 23. Admitindo que a equa¸ c˜ ao defina uma fun¸ c˜ ao impl´ıcita y = f (x), calcule y ⁰⁰ se existir

(a) 3x ² + 4y ² = 4 (b) sen y + y = x (c) cos x + sen y = 1

Respostas

1. a. 3 b. 0, 21 c. 2h + h ² 2. a. 0, 1 b. −3 c. √

³

a + h − √

³

a 3. 21

4. 15 cm/seg 5. a. − 1

6 ≈ −0, 16; b. − 5

21 ≈ −0, 238; c. − 50

201 ≈ −0, 249; y ⁰ (2) = −0, 25.

6. a. α(t ₂ ) − α(t ₁ ) t 2 − t 1

, b. dα

dt , α(t) ´ e o ˆ angulo 7. a. T (t ₂ ) − T (t ₁ )

t ₂ − t ₁ , b. dT dt 8. a. A(t 2 ) − A(t 1 )

t ₂ − t ₁ , b. dA

dt , A(t) ´ e a quantidade da substˆ ancia A 9. a. 1

3

³

√

x ² b. 1

cos ² x c. 2

(1 − x) ² d. − x

√ 1 − x ² 10. a. 4 b. 1 + π

4 c. -8; 0; 0 11. a. 5x ⁴ − 12x ² + 2 b. − 1

3 + 2x − 2x ³ c. − 15x ²

a d. mat ^m−1 + b(m + n)t ^m+n−1 e. 6ax ⁵

√ a ² + b ² f. 2x ^−1/3 − 5x ^3/2 − 3x ⁻⁴ g. 8

3 x ^5/3 h. 4b 3x ² √

³

x − 2a 3x √

³

x ² i. bc − ad

(c + dx) ² j. −2x ² − 6x + 25 (x ² − 5x + 5) ² k. 1 − 4x

x ² (2x − 1) ² l. 1

√ z(1 − √

z) ²

12. a. 5 cos x−3sen x b. 4

sen ² 2x c. − 2

(sen x − cos x) ² d. t ² sen t e. 0 f. cot x− x

sen ² x g. arcsen x+

√ x

1 − x ² h. x arctan x

13. a. x ⁶ e ^x (7 + x) b. xe ^x c. e ^x (x − 2)

x ³ d. 5x ⁴ − x ⁵

e ^x e. e ^x (cos x − sen x) f. x ² e ^x g. e ^x

arcsen x + 1

√ 1 − x ²

h. x(2 ln x − 1)

ln ² x i. 3x ² ln x j. 2 x + ln x

x ² − 2

x ² k. 2 ln x x ln 10 − 1

x l. senh x+

x cosh x m. 2x cosh x − x ² senh x

cosh ² x n. − tanh ² x o. − 3(x ln x + senh x cosh x) x ln ² x senh ² x 14. a. 3a

c

ax + b c

2

b. 16x(3+2x ² ) ³ c. x ² − 1

(2x − 1) ⁸ d. −x

√

1 − x ² e. bx ² p

3

(a + bx ³ ) ² f. − s

a x

2/3

− 1 g. −10 cos x(3 − 2sen x) ⁴ h. 1 − tan ² x + tan ⁴ x

cos ² x i. −1

2sen ² x √

cot x j. 2 − 15 cos ² xsen x k. sen x

(1 − 3 cos x) ³ l. sen ³ x

cos ⁴ x m. 3 cos x + 2sen x 2 √

15sen x − 10 cos x n. 3 cos 3x− 1 5 sen x

5 + 1

2 √

x cos ² √

x o. (2x−

5) cos(x ² − 5x + 1) − a

x ² cos ² (a/x) p. −2 cos x

sen ³ x q. −1

sen ² (x/a) r. xsen 3x ² cos 2x ² s. −2 x √

x ⁴ − 1

t. −1

2 √

x − x ² u. −1

1 + x ² v. 1

1 + x ² w. 1 2 √

1 − x ² x. (arcsen x) ² y. 1, x 6= π

4 +πn z. x ²

√

1 − 2x − x ² 15. a. e ^x + xe ^x + 1

2 √

xe ^x + x b. 2e ^x − 2 ^x ln 2

3 ^p

³

(2e ^x − 2 ^x + 1) ² + 5 ln ⁴ x

x c. −10xe ^−x

²

d. −2x ·5 ^−x

²

ln 5 e. 2x·10 ^2x (1+

x ln 10) f. sen 2 ^t +t cos 2 ^t ·2 ^t ln 2 g. −e ^x

√

1 − e ^2x h. 2

2x + 7 i. cot x

ln 10 j. −2x

1 − x ² k. 2 ln x x − 1

x ln x

l. 1

x(1 + ln ² x) + 1

arctan x(1 + x ² ) m. 1 2x √

ln x + 1 + 1 2(x + √

x) n. x ^1/x−2 (1 − ln x), x > 0 o. (sen x) ^{1+cos x} (cot ² x − ln sen x) − (cos x) ^{1+sen x} (tan ² x − ln cos x) p. − 1

x (log _x e) ² , x > 0, x 6= 1 q. tanh ³ x r. − 2

senh ³ x , x > 0 s. 1 2x √

x − 1 arccos(1/ √

x) , x > 1 t. 1 x ³ + 1 u. 1

x ⁴ + 1 , |x| 6= 1 v. xarcsen x

(1 − x ² ) ^3/2 , |x| < 1 w. e ^x

√

1 + e ^2x x. e ^x − 1 e ^2x + 1 16. a. 56x ⁶ + 210x ⁴ b. 2 cos 2x c. 2 arctan x + 2x

1 + x ² d. 2

1 − x ² + 2xarcsen x

(1 − x ² ) ^3/2 e. e ^x

²

(4x ² + 2) f. 2(1 − x ² )

3(1 + x ² ) ² g. − x/

q

(a ² + x ² ) ³ h. 1

a cosh x a

17. a. y ⁽⁶⁾ = 4 · 6!, y ⁽⁷⁾ = 0 b. − 3 · 5 · 7 · 9 · 11 · 13 · 15 · 17 2 ¹⁰ x ⁹ √

x c. 50 cos x − xsen x

18. a. y = 2x b. x−2y −1 = 0 c. 6x+2y −π = 0 d. x = 1 e. y = 3 f. y = x −1 g. 2x −y +3 = 0 em (−1; 1), 2x + y − 3 em (1; 1)

19. a. π

2 ; arctan 3

4 b. arctan 2 √ 2 20. a. 1

2(1 + x) b. 2

2 − cos x c. 10

1 + 5e ^x/2

21. a. 2

5 b. − b ² x

a ² y c. − x ²

y ² d. − x(3x + 2y) x ² + 2y e. −

r y

x f. −

³

r y

x g. 2y ²

3(x ² − y ² ) + 2xy = 1 − y ³ 1 + 3xy ² + 4y ³

h. 10

10 − 3 cos y i. −1 j. y cos ² y

1 − x cos ² y k. y x

1 − x ² − y ²

1 + x ² + y ² l. (x + y) ² m. 1

x + y − 1 n. y x + e ^y/x o. y

x − y p. x + y

x − y q. Cy + x ^p x ² + y ²

Cx − y ^p x ² + y ² r. y(x ln y − y) x(y ln x − x) 22. a. 4 b. −4/3 c. −2π

23. a. − 3

4y ³ b. sen y

(1 + cos y) ³ c. 1 − cos x sen y

cos ³ y

3. Aplicac ¸ ˜ oes da Derivada

1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das fun¸ c˜ oes (a) y = 1 − 4x − x ²

(b) y = (x − 2) ² (c) y = (x + 4) ³ (d) y = x ² (x − 3)

(e) y = x x − 2

(f) y = 1 (x − 1) ²

(g) y = x

x ² − 6x − 16 (h) y = (x − 3) √

x (i) y = x

3 − √

³

x (j) y = x + sen x

(k) y = arcsen (1 + x) (l) y = x ln x

(m) y = 2 e ^x

²

^−4x (n) y = 2 ^1/(x−a) (o) y = e ^x

x 2. Determine os extremos locais das fun¸ c˜ oes

(a) y = 2 + x − x ²

(b) y = x ³ − 3x ² + 3x + 2 (c) y = 2x ³ + 3x ² − 12x + 5 (d) y = x ² (x − 12) ²

(e) y = x(x − 1) ² (x − 2) ³ (f) y = x ³

x ² + 3 (g) y = x ² − 2x + 2

x − 1

(h) y = (x − 2)(8 − x) x ² (i) y = 16

x(4 − x ² ) (j) y = 4

√ x ² + 8 (k) y = x

√

3

x ² − 4 (l) y = ^p

³

(x ² − 1) ² (m) y = x − arctan x

(n) y = x − ln(1 + x) (o) y = x ln x

(p) y = x ln ² x (q) y = cosh x

(r) y = xe ^x (s) y = x ² e ^−x (t) y = e ^x

x

3. Determine os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baixo e os pontos de inflex˜ ao dos gr´ aficos:

(a) y = x ³ − 6x ² + 12x + 4 (b) y = (x + 1) ⁴

(c) y = 1 x + 3

(d) y = x ³ x ² + 12 (e) y = √

³

4x ³ − 12x

(f) y = arctan x − x (g) y = x ² ln x (h) y = (1 + x ² ) e ^x 4. Determine ass´ıntotas dos gr´ aficos:

(a) y = 1 (x − 2) ²

(b) y = x

x ² − 4x + 3 (c) y = x ²

x ² − 4 (d) y = x ³

x ² + 9

(e) y = √ x ² − 1 (f) y = x

√ x ² + 3 (g) y = x ² + 1

√ x ² − 1 (h) y = x − 2 + x ²

√ x ² + 9

(i) y = e ^−x

²

+ 2 (j) y = 1

1 − e ^x (k) y = e ^1/x

(l) y = ln(1 + x)

5. Fa¸ ca os gr´ aficos, determinando para cada fun¸ c˜ ao: dom´ınio, pontos de descontinuidade, extremos

locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflex˜ ao e ass´ıntotas.

(a) y = x ³ − 3x ² (b) y = 6x ² − x ⁴

(c) y = (x − 1) ² (x + 2) (d) y = (x ² − 5) ³

125 (e) y = x ² − 2x + 2

x − 1 (f) y = x ⁴ − 3

x (g) y = x ⁴ + 3

x (h) y = √

x + √ 4 − x

(i) y = √

8 + x − √ 8 − x (j) y = x √

x + 3

(k) y = 2x + 2 − 3 ^p

³

(x + 1) ² (l) y = 2|x| − x ²

(m) y = 4

√ 4 − x ² (n) y = x

√

3

x ² − 1 (o) y = xe ^−x (p) y = a + x ²

a

! e ^x/a

(q) y = e ^8x−x

²

⁻¹⁴

(r) y = ln x

√ x (s) y = x

ln x

(t) y = ln(1 + e ^−x ) (u) y = arcsen x

√ 1 − x ² (v) y = x arctan x (w) y = x + 2 arctan x

(x) y = e ^{arctan x} (y) y = arctan(ln x)

(z) y = x ^x

=== Fim da materia para a primeira prova ===

6. Determine os extremos absolutos da fun¸ c˜ ao no intervalo indicado (se intervalo n˜ ao est´ a indicado, considere o dom´ınio inteiro da fun¸ c˜ ao)

(a) y = x 1 + x ² (b) y = ^p x(10 − x)

(c) y = sen ⁴ x + cos ⁴ x (d) y = arccos x

(e) y = x ³ em [−1, 3]

(f) y = 2x ³ + 3x ² − 12x + 1 em [−1, 5]

(g) y = 2x ³ + 3x ² − 12x + 1 em [−10, 12]

7. Problemas de otimiza¸ c˜ ao:

(a) Dentre todos os retˆ angulos com uma dada ´ area, qual tem o menor per´ımetro?

(b) Uma caixa da base quadrada, sem tampa, deve ter 1 m ³ de volume. Determine as dimens˜ oes que exigem o m´ınimo de material.

(c) Como cortar um setor circular de uma folha redonda para fazer um funil de m´ aximo volume?

(d) O texto deve ocupar 384 cm ² da p´ agina. As margens superiores e inferiores devem ser de 3 cm, e as margens esquerdas e direitas de 2 cm. Quais s˜ ao os tramanhos da p´ agina que permitem economizar melhor o papel?

(e) O pre¸co de qualquer brilhante ´ e proporcional ao quadrado da massa. Um brilhante foi que- brado em duas partes. Quais s˜ ao os tamanhos das partes, se aconteceu a perda m´ axima do pre¸co?

(f) Um hotel que cobra R$ 80,00 di´ aria, d´ a descontos especiais a grupos. Se s˜ ao reservados mais de 30 quartos, o pre¸ co de cada quarto ´ e reduzido de uma quantia igual a R$ 1,00 vezes o n´ umero de quartos reservados. Cada quarto alugado acarreta uma despesa di´ aria de R$ 6,00 de limpeza e manuten¸ c˜ ao. Quantos quartos devem ser alugados para produzir a receita di´ aria m´ axima?

(g) Os gastos de combust´ıvel de um navio s˜ ao proporcionais ao cubo da velocidade. Sabe-se que

com a velocidade de 10 km/h gastam-se R$30 por hora. Outros gastos, que n˜ ao dependem

da velocidade, s˜ ao R$480 por hora. Com qual velocidade os gastos para 1 km de distˆ ancia

ser˜ ao m´ınimos?

(h) Uma est´ atua com 4 m de altura est´ a em cima de uma coluna de 5,6 m de altura. Em qual distˆ ancia da coluna deve estar uma pessoa com 1,6 de altura para ver a est´ atua com o maior ˆ

angulo poss´ıvel?

(i) Determine a distˆ ancia mais curta entre o ponto (0, b) e a par´ abola y = x ² .

(j) Uma bateria de voltagem V e resistˆ encia interna r est´ a ligada a um circuito de resistˆ encia R.

Pela lei de Ohm, V = I(R + r), I ´ e a corrente no circuito. Qual deve ser a resistˆ encia R para que a potˆ encia P = I ² R seja m´ axima?

8. Calcule limites usando a regra de L’Hopital (a) lim

x→1

x ³ − 2x ² − x + 2 x ³ − 7x + 6 (b) lim

x→0

x cos x − sen x x ³ (c) lim

x→1

1 − x 1 − sen (πx/2) (d) lim

x→0

tan x − sen x x − sen x (e) lim

x→π/4

sec ² x − 2 tan x 1 + cos 4x (f) lim

x→π/2

tan x tan 5x (g) lim

x→∞

e ^x x ⁵ (h) lim

x→∞

ln x

√

3

x (i) lim

x→0

π/x cot(πx/2) (j) lim

x→0

ln(sen mx) ln sen x (k) lim

x→0 (1 − cos x) cot x (l) lim

x→1 (1 − x) tan πx 2 (m) lim

x→0 arcsen x cot x

(n) lim

x→∞ xsen a x (o) lim

x→1 ln x ln(x − 1) (p) lim

x→1

x

x − 1 − 1 ln x

(q) lim

x→3

1

x − 3 − 5 x ² − x − 6

(r) lim

x→1

1 2(1 − √

x) − 1 3(1 − √

³

x)

(s) lim

x→π/2

x

cot x − π 2 cos x

(t) lim

x→0 x ^x (u) lim

x→+∞ x ^1/x (v) lim

x→0 x ^{3/(4+ln x)} (w) lim

x→1 (1 − x) ^cos(πx/2) (x) lim

x→0 (1 + x ² ) ^1/x (y) lim

x→1 x ^1/(1−x) (z) lim

x→0 (cot x) ^{sen x}

Respostas

1. a. (−∞, −2) cresce, (−2, ∞) desrcesce; b. (−∞, 2) descresce, (2, ∞) cresce; c. (−∞, ∞) cresce;

d. (−∞, 0) e (2, ∞) cresce, (0, 2) decresce; e. (−∞, 2) e (2, ∞) decresce; f. (−∞, 1) cresce, (1, ∞) decresce; g. (−∞, 2), (−2, 8) e (8, ∞) decresce; h. (0, 1) decresce, (1, ∞) cresce; i. (−∞, −1) e (1, ∞) cresce, (−1, 1) decresce; j. (−∞, ∞) cresce; k. (−2, 0) cresce; l. (0, 1/e) decresce, (1/e, ∞) cresce; m. (−∞, 2) decresce, (2, ∞) cresce; n. (−∞, a) e (a, ∞) decresce; o. (−∞, 0) e (0, 1) decresce, (1, ∞) cresce.

2. a. y _max = 9/4 em x = 1/2; b. n˜ ao h´ a; c. y _max = 25 em x = −2, y _min = −2 em x = 1;

d. y min = 0 em x = 0, y min = 0 em x = 12, y max = 1296 em x = 6; e. y min ≈ −0, 76 em x ≈ 0, 23,

y max = 0 em x = 1, y min ≈ −0, 05 em x ≈ 1, 43; f. n˜ ao h´ a; g. y max = −2 em x = 0, y min = 2 em x = 2; h. y _max = 9/16 em x = 3, 2; i. y _max = −3 √

3 em x = −2/ √

3, y _min = 3 √

3 em x = 2/ √ 3;

j. y max = √

2 em x = 0; k. y max = − √

3 em x = −2 √

3, y min = √

3 em x = 2 √

3; l. y min = 0 em x = ±1, y max = 1 em x = 0; m. n˜ ao h´ a; n. y min = 0 em x = 0; o. y min = −1/e em x = 1/e;

p. y _min = 0 em x = 1, y _max = 4/e ² em x = 1/e ² ; q. y _min = 1 em x = 0; r. y _min = −1/e em x = −1; s. y min = 0 em x = 0, y max = 4/e ² em x = 2; t. y min = e em x = 1

3. a. (−∞, 2) para baixo, (2, ∞) para cima, p. de inflex˜ ao (2, 12); b. (−∞, ∞) para cima; c. (−∞, −3) para baixo, (−3, ∞) para cima, n˜ ao h´ a pontos de inflex˜ ao; d. (−∞, −6) e (0, 6) para cima, (−6, 0) e (6, ∞) para baixo, p. de inflex˜ ao (−6, −9/2), (0, 0), (6, 9/2); e. (−∞, − √

3) e (0, √

3) para cima, ( √

3, ∞) para baixo, p. de inflex˜ ao (± √

3, 0), (0, 0); f. (−∞, 0) para cima, (0, ∞) para baixo, p. de inflex˜ ao (0, 0); g. (0, 1/ √

e ³ ) para baixo, (1/ √

e ³ , ∞) para cima, p. de inflex˜ ao (1/ √

e ³ , −3/2e ³ );

h. (−∞, −3) e (−1, ∞) para cima, (−3, −1) para baixo, p. de inflex˜ ao (−3, 10/e ³ ), (−1, 2/e).

4. a. x = 2, y = 0; b. x = 1, x = 3, y = 0; c. x = ±2, y = 1; d. y = x; e. y = −x (esquerda), y = x (direita); f. y = −1 (esquerda), y = 1 (direita); g. x = ±1, y = −x (esquerda), y = x (direita); h. y = −2 (esquerda), y = 2x − 2 (direita); i. y = 2; j. y = 1 (esquerda), y = 0 (direita); k. x = 0, y = 1; l. x = −1.

5. Para ver os gr´ aficos, utilize www.wolframalpha.com → Examples → Plotting and Graphics.

a. y max = 0 em x = 0, y min = −4 em x = 2, p. de inflex˜ ao (1, −2); b. y max = 1 em x = ± √ 3, y min = 0 em x = 0, p. de inflex˜ ao (±1, 5/9); c. y max = 4 em x = −1, y min = 0 em x = 1, p.

de inflex˜ ao (0, 2); d. y _min = −1 em x = 0, p. de inflex˜ ao (±5, 0), (±1, 64/125); e. y _max = −2 em x = 0, y min = 2 em x = 2, ass´ıntotas x = 1, y = x − 1; f. p. de inflex˜ ao (±1, ±2), ass´ıntota x = 0; g. y max = −4 em x = −1, y min = 4 em x = 1, ass´ıntota x = 0; h. dom´ınio [0, 4], y _max = 2 √

2 em x = 2; i. dom´ınio [−8, 8], p. de inflex˜ ao (0, 0); j. dom´ınio [−3, ∞), y min = −2 em x = −2; k. y max = 0 em x = −1, y min = −1 em x = 0; l. y max = 1 em x = ±1, y min = 0 em x = 0; m. dom´ınio (−2, 2), y min = 2 em x = 0, ass´ıntotas x = ±2; n. dom´ınio (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞), y _max = − √

3/ √

³

2 em x = − √

3, y _min = √ 3/ √

³

2 em x = √

3, p. de inflex˜ ao (±3, ±3/2), (0, 0), ass´ıntotas x = ±1; o. y max = 1/e em x = 1, p. de inflex˜ ao (2, 2/e ² ), ass´ıntota y = 0; p. p. de inflex˜ ao (−3a, 10a/e ³ ), (−a, 2a/e), ass´ıntota y = 0; q. y max = e ² em x = 4, p. de inflex˜ ao ((8 ± 2 √

2)/2, e ^3/2 ), ass´ıntota y = 0; r. dom´ınio (0, ∞), y _max = 0, 74 em x = e ² , p. de inflex˜ ao (e ^8/3 ; 0, 7), ass´ıntotas x = 0, y = 0; s. dom´ınio (0, 1) ∪ (1, ∞), y _min = e em x = e, p. de inflex˜ ao (e ² , e ² /2), ass´ıntota x = 0, y → 0 quando x → 0; t. ass´ıntotas y = 0 (direita) e y = −x (esquerda); u. dom´ınio (−1, 1), p. de inflex˜ ao (0, 0), ass´ıntotas x = ±1; v. y _min = 0 em x = 0, ass´ıntotas y = (πx/2) − 1 (direita) e y = −(πx/2) − 1 (esquerda); w. y _max = 3π/2 − 1 em x = −1, y min = 1 + π/2 em x = 1 p. de inflex˜ ao (0, π), ass´ıntotas y = x + 2π (esquerda) e y = x (direita); x. p. de inflex˜ ao (0, 5; 1, 59), ass´ıntotas y ≈ 0, 21 (esquerda) e y ≈ 4, 81 (direita); y. dom´ınio (0, ∞), ass´ıntota y ≈ 1, 57, y → −π/2 quando x → 0; z. dom´ınio (0, ∞), y min = (1/e) ^1/e ≈ 0, 69 em x = 1/e ≈ 0, 37, y → 1 quando x → 0 ⁺ .

6. a. m = −1/2 em x = −1, M = 1/2 em x = 1; b. m = 0 em x = 0 e x = 10, M = 5 em x = 5;

c. m = 1/2 em x = (2k + 1)π/4, M = 1 em x = kπ/2, k = 0, ±1, ±2, . . .; d. m = 0 em x = 1, M = π em x = −1; e. m = −1 em x = −1, M = 27 em x = 3; f. m = −6 em x = 1, M = 266 em x = 5; g. m = −1579 em x = −10, M = 3745 em x = 12;

7. a. quadrado; b. √

³

2 × √

³

2 × 1

√

3

4 m; c. φ = 2π ^p 2/3; d. 20 × 30 cm; e. em duas metades iguais; f. 37 quartos; g. 20 km/h; h. 4 √

2 m; i. b se b < ¹ ₂ ; ^q b − ¹ ₄ se b > ¹ ₂ ; j. R = r.

8. a. 1/2 b. −1/3 c. ∞ d. 3 e. 1/2 f. 5 g. ∞ h. 0 i. π ² /2 j. 1 k. 0 l. 2/π m. 1 n. a

o. 0 p. 1/2 q. 1/5 r. 1/12 s. −1 t. 1 u. 1 v. e ³ w. 1 x. 1 y. 1/e z. e

4. Integral Indefinida

1. Ache o incremento ∆y e a diferencial dy da fun¸ c˜ ao y = 5x + x ² para x = 2 e ∆x = 0, 001.

2. A ´ area de um quadrado com o lado x ´ e dada pela fun¸c˜ ao S = x ² . Ache o icremento e a diferencial desta fun¸c˜ ao e dˆ e uma interpreta¸c˜ ao geom´ etrica deles.

3. Ache a diferencial da fun¸ c˜ ao para x e ∆x dados (a) y = cos x, x = π

6 , ∆x = π 36 (b) y = 2

√ x , x = 9, ∆x = −0, 01

(c) y = tan x, x = π

3 , ∆x = π 180

4. Ache dy em termos de x e dx (a) y = 1

x ^m (b) y = x

1 − x (c) y = arcsen x

a (d) y = arctan x a

5. Use as regras b´ asicas de antidiferencia¸ c˜ ao para calcular as integrais indefenidas (a)

Z

5a ² x ⁶ dx (b)

Z

(6x ² + 8x + 3) dx (c)

Z

x(x + a)(x + b) dx (d)

Z

(a + bx ³ ) ² dx (e)

Z

p 2px dx (f)

Z dx

√

n

x

(g) Z

(nx) ^(1−n)/n dx (h)

Z

(a ^2/3 − x ^2/3 ) ³ dx (i)

Z ( √

x + 1)(x − √

x + 1) dx (j)

Z (x ² + 1)(x ² − 2)

√

3

x ² dx (k)

Z (x ^m − x ⁿ ) ²

√ x dx (l)

Z ( √ a − √

x) ⁴

√ ax dx

(m)

Z dx x ² + 7 (n)

Z dx

√ 8 − x ² (o)

Z

tan ² x dx (p)

Z

cot ² x dx (q)

Z x ² x ² + 2 dx 6. Calcule as integrais usando mudan¸ ca de vari´ avel

(a)

Z b dy

√ 1 − y (b)

Z √

a − bx dx (c)

Z x

√ x ² + 1 dx (d)

Z dx 3x ² + 5 (e)

Z dx

√ 7 − 5x ² (f)

Z x dx

√ a ⁴ − x ⁴ (g)

Z x ² 1 + x ⁶ dx

(h)

Z r arcsen x 1 − x ² dx (i)

Z arctan ^x ₂ 4 + x ² dx (j)

Z

sen (a + bx) dx (k)

Z cos x

√ 2 dx (l)

Z

(cos ax + sen ax) ² dx (m)

Z cos √

x · dx

√ x (n)

Z

sec ² (ax + b) dx

(o) Z

cot ² ax dx (p)

Z x dx cos ² (x ² ) (q)

Z

xsen (1 − x ² ) dx (r)

Z cos x

a sen x a dx (s)

Z

sen ³ 6x cos 6x dx (t)

Z cos ax sen ⁵ ax dx (u)

Z sen x cos x

√

cos ² x − sen ² x dx

(v) Z p

1 + 3 cos ² x sen 2x dx (w)

Z

tan ³ x 3 sec ² x

3 dx

(x) Z

√ tan x cos ² x dx (y)

Z cot ^2/3 x sen ² x dx

(z)

Z 1 + sen 3x cos ² 3x dx

7. Calcule as integrais (a)

Z

x ^p

⁵

5 − x ² dx (b)

Z x ³ x ⁸ + 5 dx (c)

Z

2 + x

2x ² + 1

dx 2x ² + 1 (d)

Z x ²

√

3

x ³ + 1 dx (e)

Z x dx

√ 1 − x ⁴ (f)

Z sen ² x

2 dx

(g)

Z sec ² x dx

√

4 − tan ² x (h)

Z 5 − 3x

√

4 − 3x ² dx (i)

Z dx

(a + b) + (a − b)x ² (0 < b < a)

(j) Z

sen 2πt

T + ϕ 0

dt

(k)

Z sen x cos x

√ 2 − sen ⁴ x dx

(l)

Z dx sen ² x cos ² x (m)

Z arcsen x + x

√

1 − x ² dx (n)

Z dx 1 + cos ² x (o)

Z x ² dx

√

1 − x ² (x = sen t) (p)

Z x ³ dx

√

2 − x ² (x = √ 2sen t) (q)

Z dx x √

x ² − 1 (x = 1/t) 8. Calcule as integrais usando a f´ ormula

Z u ⁰ (x) u(x) dx =

Z d(u(x))

u(x) = ln u(x) + C (a)

Z a dx a − x (b)

Z 2x + 3 2x + 1 dx,

(use ^2x+3 _2x+1 = 1 + _2x+1 ² ) (c)

Z 1 − 3x 3 + 2x dx (d)

Z xdx a + bx (e)

Z ax + b αx + β dx (f)

Z x ² + 1 x − 1 dx

(g)

Z x ² + 5x + 7 x + 3 dx (h)

Z x ⁴ + x ² + 1 x − 1 dx (i)

Z

a + b x − a

2

dx (j)

Z x (x + 1) ² dx

(use xdx = ¹ ₂ d(x ² + 1)) (k)

Z √

x + ln x

x dx

(l)

Z x ³ a ² − x ² dx

(m)

Z x ² − 5x + 6 x ² + 4 dx (n)

Z 3 − 2x 5x ² + 7 dx (o)

Z xdx x ² − 5 (p)

Z xdx 2x ² + 3 (q)

Z ax + b a ² x ² + b ² dx (r)

Z x − √

arctan 2x 1 + 4x ² dx (s)

Z

sen (lg x) dx x

9. Calcule as integrais de fun¸ c˜ oes exponenciais (a)

Z

3 ^x e ^x dx (b)

Z

ae ^−mx dx (c)

Z

4 ^2−3x dx (d)

Z

(e ^t − e ^−t ) dt

(e) Z

(e ^x/a + e ^−x/a ) ² dx

(f)

Z (a ^x − b ^x ) ² a ^x b ^x dx

(g)

Z a ^2x − 1

√ a ^x dx

(h) Z

x e ^−(x

²

⁺¹⁾ dx (i)

Z

x · 7 ^x

²

dx (j)

Z e ^1/x x ² dx (k)

Z 5

√ x dx

√ x (l)

Z e ^x e ^x − 1 dx (m)

Z e ^x √

a − be ^x dx

(n) Z

(e ^x/a + 1) ^1/3 e ^x/a dx (o)

Z dx

2 ^x + 3 (use ₂

x

¹ +3 = ¹ ₃ 1 − ₂

x

² +3

^x

) (p)

Z a ^x dx 1 + a ^2x

(q)

Z e ^t dt

√ 1 − e ^2t (r)

Z

(2 senh 5x − 3 cosh 5x) dx (s)

Z

senh ² x dx (t)

Z

tanh x dx (u)

Z

coth x dx (v)

Z

x ² cosh (x ³ + 3) dx (w)

Z 3 ^{tanh x} cosh ² x dx (x)

Z dx

√ e ^x − 1 (use u = √ e ^x − 1) (y)

Z e ^2x

√ e ^x + 1 dx 10. Calcule usando integra¸c˜ ao por partes

(a) Z

arcsen x dx (b)

Z

x cos 3x dx (c)

Z x e ^x dx (d)

Z

x · 2 ^−x dx (e)

Z

x ² e ^3x dx

(f) Z

xsen x cos x dx (g)

Z

x ² ln x dx (h)

Z

ln ² x dx (i)

Z ln x x ³ dx (j)

Z ln x

√ x dx

(k) Z

x arctan x dx (l)

Z

ln(x + ^p 1 + x ² ) dx (m)

Z

e ^ax sen bx dx (n)

Z

sen (ln x) dx 11. Calcule integrais completando quadrado

(a)

Z dx x ² + 2x + 5 (b)

Z dx x ² + 2x (c)

Z dx 3x ² − x + 1

(d)

Z xdx x ² − 7x + 13 (e)

Z 3x − 2 x ² − 4x + 5 dx (f)

Z (x − 1) ² x ² + 3x + 4 dx

(g)

Z x ² dx x ² − 6x + 10 (h)

Z xdx x ⁴ − 2x ² − 1

12. Calcule integrais pelo m´ etodo de fra¸ c˜ oes parciais (a)

Z 2x + 3 (x − 2)(x + 5) dx (b)

Z x dx

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

(c)

Z x ³ + 1 x ³ − 5x ² + 6x dx (d)

Z x ² + 1

(x + 1) ² (x − 1) dx

(e)

Z x dx

(x − 1) ² (x ² + 2x + 2) (f)

Z x ⁴ dx

x ⁴ − 1