Dados: A fun¸c˜ ao g de per´ıodo 4 ´e determinada por g(t) =

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2016.2 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas q1 e q5

3 ^o EXERC´ICIO ESCOLAR v. 1.0 – 30/11/2016

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´e importante. Apenas solu¸ c˜ oes leg´ıveis e justificadas receber˜ ao pontos: escrever os passos, detalhes e propriedades relevantes. Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆ ametros e o n´ umero na tabela para cada regra no passo em que ´e utilizada. Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circundar as respostas! O valor de cada item est´a entre parˆenteses. Ex.: “1.a (1,0).” Dura¸ c˜ ao: 120 minutos.

Dados: A fun¸c˜ ao g de per´ıodo 4 ´e determinada por g(t) =

0, se − 2 < t ≤ 0;

3t, se 0 < t ≤ 2 Dica: SF

x ² (x) = 4 3 + 16

π ²

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

n ² cos n π x 2

em [−2, 2]

Quest˜ ao 1. Calcular e simplificar:

1.a (1,2). y(t), a solu¸c˜ ao expl´ıcita de y(t) − Z t

0

sen(v) y(t − v) dv = 1 1.b (1,3). L ^{− 1}

12 s (s ² + 9) ²

(t) 1.c (1,0).

∞

X

n=1

1

n ⁴ 1.d (1,0). G(s) Dica para 1.c: Usar a identidade de Parseval.

1.e (2,0). SF {g} (x), a s´erie de Fourier associada a g(x) em [−2, 2];

1.f (0,5). SF {g} (2), caso SF {g} (x) convirja em x = 2 (Justificar!);

Quest˜ ao 2 (3,0). Considere-se o problema formado pela EDP do calor com as condi¸c˜ oes dadas abaixo:







u t (x, t) = 9 u xx (x, t) para 0 < x < 2 e t > 0, u x (0, t) = 0 = u x (2, t) para t > 0,

u(x, 0) = x ² para 0 ≤ x ≤ 2.

2.a Usando o m´etodo de separa¸c˜ ao em produtos de Fourier, obter a solu¸c˜ao u(x, t) da EDP submetida apenas ` as condi¸c˜ oes homogˆeneas como uma s´erie formal (as dicas no verso podem ser usadas);

2.b. Calcular os coeficientes da s´erie impondo todas as condi¸c˜ oes dadas no pro-

blema e assumindo sua convergˆencia (As dicas nesta p´agina podem ser usada).

Dicas sobre problemas de contorno nas EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜ oes de Z ^′′ (z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor ´e −λ) subme- tidas ` as respectivas condi¸c˜ oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).

Caso Z ^′ (0) = 0 = Z ^′ (L): Z n (z) = cos n π z L

, λ n = n π L

2

para n > 0; e Z ₀ (z) = 1, λ ₀ = 0 (para n = 0);

Caso Z (0) = 0 = Z (L): Z _n (z) = sen n π z L

, λ _n = n π L

2

para n > 0.

Regra f (t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f (t)}(s)

01 e ^at a ∈ R (a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈ R (0, +∞) s/(s ² + ω ² )

03 sen(ωt) ω ∈ R (0, +∞) ω/(s ² + ω ² )

04 cosh (ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) s/(s ² − ω ² )

05 senh(ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) ω/(s ² − ω ² )

06 t ⁿ n ∈ N (0, +∞) n! / s ⁿ⁺¹

07 t ^r r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s ^r+1

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞) R e ^{− cs}

Regra f (t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e ^at f (t) a ∈ R F (s − a)

12 t ⁿ f (t) n ∈ N (−1) ⁿ F ⁽ⁿ⁾ (s)

13 f (t)

t se h´ a lim

t → 0

f (t) t

Z ₊ ∞ s

F (v) dv

14 f ^(k) (t) k ∈ N s ^k F (s) −

k − 1

X

=0

f ^() (0) s ^{k − 1 − }

15

Z t 0

f (u) du F(s)

s

16 u _c (t) f (t) c ∈ (0, +∞) e ^{− cs} L{f(t + c)}(s) 17 u _c (t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e ^{− cs} F (s) 18 Se f (t + P ) = f (t) P ∈ (0, +∞) 1

1 − e ^{− sP} Z P

0

e ^{− st} f (t) dt

19 (f ∗ g)(t) F (s) G(s)