Instituto de F
sica Gleb Wataghin
Tese de Doutorado
Acelerac~ao e Fluxos Potenciais em Relatividade
Geral: Resultados Analticos e Numericos
Aluno: Maximiliano Ujevic Tonino
Primeiro,aminhafamliaeaoapoioquesempretivedeles: meupaiAlejandro, minham~ae
Flora,meu irm~aoAlexe emespecial a meuirm~aoSebastian quesempreacompanhoude perto
todas asminhas batalhas.
A meu orientador Patricio pela paci^encia ededicac~ao comque orientou meu trabalho.
Ameus amigos de sempre: Alexis, Jorge, Carlose suas famlias. A Miguel Angel eGabriel
que de longe sempre me zeram sentir perto deles.
A Andres, Jose, Pepe e Betty, pelas cervejinhas e companhias nos nais de semana, e
tambem, pelos momentos emque mostrei aalegria Jamaicana4-0.
AmeusamigosdesalaAdilson,Eduardo, AndreeRafaelqueaguentaramasminhaspiadas
e pelas discuss~oes cient cas :), agradecimentos especiais a Adilson, Eduardo e Andre pelas
leituras ecorrec~oes daTese.
A meus amigos Tomas, Valeria, Raul, Maruja, Juan Carlos, Richard, Marcelo, a todos os
Unanis e os Matis, por fazerdoBrasil um pasainda mais agradavel.
AJo~ao,Jacare, Edson,e todos meus amigosque zeramdas sextas feirasdias t~aogostosos
e esperados.
A todos meus profesores de escola e das universidades que ajudaram naminha formac~ao.
A CAPES e especialmente a FAPESP pelo auxlio nanceiro, sem o qual, esta tese n~ao
Resumo 3
Abstract 5
Introduc~ao 7
1 Fluidos Relativsticos 9
1.1 FluidoIncoerente (ou Poeira) . . . 11
1.2 FluidoPerfeito Relativstico . . . 12
1.3 FluidoImperfeito Relativstico . . . 15
1.4 Fluxos Potenciais . . . 18
2 Metricas com Simetria Axial 23 2.1 Soluc~aoMultipolar . . . 25
2.2 Metrica C . . . 30
3 Soluc~oes Exatas 35 3.1 Esfera Rgidade Schwarzschild e p= . . . 35
2 SUMARIO
4 Metodo Computacional 39
5 Aplicac~oes 45
5.1 Nucleo Massivo com SimetriaAxial e p=. . . 45
5.2 Esfera Rgidae Buraco Negro de Schwarzschild Acelerado (Metrica C) ep= . 46
5.3 Esfera Rgidae Buraco Negro de Schwarzschild com Halo Dipolare p= . . . . 46
5.4 Esfera Rgidae Buraco Negro de Schwarzschild com Halo Dipolare p=( 1) 47
6 Conclus~oes 49
A Codigo Computacional para o Calculo das EDP 53
B Acceleration, Streamlines and Potential Flows in General
Relativity: Analytical and Numerical Results 63
C Potential Flows in a Core-Dipole-Shell System: Numerical
S~ao apresentadas soluc~oes numericas e analticas para as curvas integrais do campo de
velocidades(linhasde uxo)deum uidoidealestacionariocomequac~aodeestadop=( 1).
Quando =2, as linhas de uxo associadas a um buraco negro e esfera rgida aceleradas s~ao
estudadas em detalhe, assim como o campo de velocidade de um buraco negro e esfera rgida
em um campo dipolar externo (campo de acelerac~ao constante). No ultimo caso, o campo
dipolar pode ser produzido porum halo ou casca de materia. Para cada caso a densidade do
uidoeestudadausandolinhasdecontorno. Para1< <2estudamosocasonucleocomhalo
dipolar. Encontramos quea contribuic~aon~aolinear queaparece naequac~aodiferencialparcial
para o potencial do campo da velocidade afeta levemente as formas das linhas de uxo e de
densidade constante, mas pode ser notada nos valoresda densidade. O estudo de varios casos
indicam que isto parece ser a situac~ao geral. A acrec~ao foi tambem calculada para os casos
de buracos negros e comparamos os resultados para varios valores de . Encontramos que a
acrec~ao aumenta ao diminuir a constante . Pelo que sabemos, esta e a primeira vez que as
curvas integraisdo campo de velocidadepara objetosacelerados e espaco-temposrelacionados
Analyticaland numericalsolutionsfor the integralcurves ofthe velocity eld(streamlines)
of asteady-state owofanideal uid withp=( 1) equationofstate are presented. When
=2, the streamlines associated with an accelerate black hole and a rigid sphere are studied
in some detail, as well as, the velocity elds of a black hole and a rigid sphere in an external
dipolar eld (constant acceleration eld). In the latter case the dipole eld may be produced
byanaxiallysymmetrichaloorshellof matter. Foreach casethe uiddensity isstudiedusing
contour lines. We found that the presence of acceleration is detected by these contour lines.
For 1 < <2 we study the case of the core-dipole-shell model, we found that the non-linear
contribution appearing in the partial di erential equation for the velocity potential has little
e ect intheformofthestreamlinesanddensitycontourlines,butcanbenoticedinthedensity
values. The study of several cases indicatesthat this appears to be the general situation. The
accretion rate was also calculated in the black holes cases and we compared the results for
several values of , we found it toincrease when the constant decreases. As far as we know
this is the rst time that the integral curves of the velocity eld for accelerate objects and
O estudo dos uxos potenciais e relevante para o entendimento de varios fen^omenos de
interessenaastrofsicataiscomo: uidosavelocidadesrelativsticasnapresencadeumaestrela
de n^eutrons [1, 2], aglomerados de estrelas movimentando-se em um meio gasoso [1], uxo
nas proximidades de uma corda cosmica [1], acrec~ao em sistemas binarios ou buracos negros
[3], e outros [4, 5, 6, 7]. Tambem, soluc~oes numericas das equac~oes gerais da termodin^amica
relativstica podem simular, e modelam, colapsos gravitacionais e a evoluc~ao de estrelas de
n^eutrons. Nesta tese fazemos aplicac~oes aos casos de esfera rgida e buraco negro acelerado,
objetosmassivoscommultipolosinternosesistemasnucleo-halos. Oobjetivodatesee estudar
ocomportamentodeum uxo potencial,napresencadoscasosmencionados,medianteoestudo
dassuaslinhasde uxo ededensidadeconstantedebarions. Paraesse m,eprecisodeterminar
a 4-velocidade do uido. No caso de uxos potenciais existe uma forma de determinar a
4-velocidadepormeiodeumaequac~aodiferencialparcial(EDP)paraopotencialda4-velocidade.
Esta equac~aoe,em geral, n~aolinear edepende daequac~aode estadodo uidoassim como das
metricas aserem utilizadas.
A tese pode ser dividida em duas partes: a primeira constituda pelos captulos 1-6 onde
apresentamos a base teorica da pesquisa; a segunda, formada pelos ap^endices A, B e C onde
reproduzimosocodigo computacionalusado nos calculosdas EDP's eosartigos publicadosou
No captulo 1 temos uma breve introduc~ao aos uidos relativsticos, vemos os uidos mais
conhecidos e algumas das suas propriedades. Damos ^enfase aos uxos potenciais que s~ao os
utilizados ao longo da tese. Neste caso mostramos a forma da EDP que precisamos resolver
para aobtenc~aoda4-velocidade. Tambem, introduzimosalgunsconceitos termodin^amicosque
ajudar~aoa determinara densidade de barions (partculas) do uido e asua entalpia.
No captulo 2 vemos algumas situac~oes fsicas representadas por soluc~oes particulares da
metrica com simetria axial. Entre elas: as soluc~oes mediante series de multipolos internos e
externos. Com isto podem-semodelar, entre outros,esfera rgida e buraconegro acelerados, e
sistemas nucleo-halos.
No captulo 3 resolvemos dois problemas que possuem soluc~oes exatas do potencial da
4-velocidade: esfera rgidaeburaconegro,comacondic~aoquenoin nitoo uidosejauniformee
constante. Tudoistocomuma equac~aode estadobarotropica,p=p(),para o uidodaforma
p=, ondep e apress~ao do uido e asua densidade total de energia.
No captulo 4 apresentamos as noc~oes basicas para discretizar EDP's. Como exemplo
mostramos o caso quando p= encontrado nocaptulo 1.
No captulo 5 vemos algumas soluc~oes da EDP do captulo 1 com as situac~oes descritas
pelas metricas do captulo 2. Resolvemos os casos de objeto massivo com multipolosinternos
e uma equac~aode estado p=, tambemresolvemos com a mesma equac~ao de estado a esfera
rgida eburaco negroacelerados, ea esfera rgida eburaconegro com halo dipolarde materia.
Para os casos napresenca dohalo dipolartambemfoi resolvido o problema com uma equac~ao
de estado p= ( 1). Estes resultados foram objetos de artigos, um publicado e outro
sub-metido, osquais encontram-se nos ap^endices B e C, respectivamente. Finalmente, no captulo
Fluidos Relativsticos
Comecamos o captulo com uma breve introduc~ao aos diferentes tipos de uido. Este
captuloencontra-sebaseadofundamentalmentenasrefer^encias[8,9,10,11]. Existemtr^estipos
de uidos relativsticos ques~aoos maiscomuns ouutilizados. S~aoeles: o uidoincoerente (ou
poeira),o uidoperfeitoe o uido imperfeito. Estes uidos sediferenciamuns dos outrospelo
seu tensor energia-momento(T
). O tensor energia-momento desempenha dois papeis muito
importantes dentrode nosso contexto. Oprimeiroeque elecontemaspropriedadesmec^anicas
da materia tais como o estresse e a densidade. O segundo e que ele determina os campos
gravitacionais quandos~ao introduzidosnas equac~oes de Einstein 1 G g = T : (1.1) 1
Osndicesgregos ter~aovalores0,1,2,3;enquantoosndiceslatinos assumir~aovalores1,2,3. Ametrica
(g
)temsignatura+2,i.e. localmenteredutvelamatrizdiagonal
=(-1,1,1,1). Tambemutilizamosaregra
dequedoisndicesrepetidosnumaequac~aosigni casomasobreeles,ousejaa
b = P 3 =0 a b . Trabalharemos
emunidades ondeavelocidadedaluzec=1eG=1=8. Denotamospor(;)aderivada covarianteepor(,)a
Assumimos tambem que possui quatro autovalores reais
( )
que correspondem aos quatro
autovetores reais ( ) ,ou seja T ( ) = ( ) ; (1.2) onde os autovetores ( )
s~ao ortogonais e formam uma tetrada ortonormal (TO), e ondice
contravariantee( )eondicequediferenciacadaumdos vetores. Ascomponentes covariantes
da mesmaTO s~ao dadas por
( ) =g ( ) : (1.3)
As componentes dos quatro vetores
( )
formam uma matriz 44, e denotamos por ( )
os
elementosdamatriz inversa taisque
( ) ( ) =Æ ; (1.4) ( ) ( ) =Æ : (1.5)
Alem disso, sabemos que as equac~oes que descrevem o movimento de um uido relativstico
s~aocinco equac~oes tipoconservac~ao. Quatrodelas s~aofornecidaspela\conservac~ao" dotensor
energia-momento
T
;
=0; (1.6)
e a outrapelaequac~ao de continuidade
(nU
)
;
=0; (1.7)
onde n e a densidade de barions (partculas) e U
a 4-velocidade. De nimos ent~ao o vetor
4-velocidadecomo o vetor tipo-tempo
(0) =U
e seu correspondente autovalor talque
T U = U ; (1.8)
a 4-velocidade U nadirec~ao de (0) temos que U U = 1; U U ; =0: (1.9)
O tensor simetrico S
, de nido como T =U U S ; (1.10)
e chamado tensorde estresse. Com esta de nic~ao,S
satisfaz S U =0; (1.11) tal que S
tem apenas seis componentes independentes. Os tipos de uidos relativsticos
se diferenciam pelo tensor S
, ou seja, pelos autovalores do tensor energia-momento. Na
continuac~ao fazemos uma breve descric~ao destes uidos.
1.1 Fluido Incoerente (ou Poeira)
Este e o mais simples de todos os uidos, e se de ne pela condic~ao de que seu tensor de
estresse seja zero (S
=0). Neste caso obtemos que
T =U U : (1.12)
Para estudar as linhas de uxo deste uido calculamos (1.6) com o tensor (1.12), com o qual
obtemos (U ) ; U +U ; U =0: (1.13)
Fazendo aprojec~aoao longoda 4-velocidade U
, eusando (1.9), vemos que
(U
)
;
Pelaequac~ao (1.13) temos nalmente que DU =U ; U =0; (1.15)
onde D =Æ=Æs e o operador de diferenciac~ao absolutaao longo de uma linha de uxo. Daqui
pode-severumapropriedademuito importantedestetipode uido: assuas linhasde uxo s~ao
geodesicas.
1.2 Fluido Perfeito Relativstico
Aprincipaldiferencaentreum uidoperfeitoeum uidoimperfeitoequenoprimeiroolivre
caminhomedioentre ascolis~oesdaspartculasepequenocomparadocomaescalade dist^ancias
utilizadaspelo observador, ouseja asquantidadestermodin^amicas (comoa press~ao,densidade
e velocidade) n~ao variam em dist^ancias da ordem do livre caminho medio; no segundo, as
quantidadestermodin^amicasvariammuitonaescaladocaminholivremedio,neste ultimotipo
de uido,oequilbriotermicon~aoemantido eo uidoperdeenergiacineticapormeiodocalor
dissipado.
Um uidoperfeitoede nido comotendoemcadapontodo uidoumavelocidadevtalque
um observador movimentando-se com esta mesma velocidade (o chamado sistema de Lorentz
co-movente\comovingLorentz frame"(CLF))v^eo uidoisotropico,portantootensor
energia-momentotem a forma 2 ~ T ij =pÆ ij ; (1.16) ~ T 0i = ~ T i0 =0; (1.17) ~ T 00 =; (1.18)
onde peapress~aoe adensidade de energiapropria. Outraformadedizer istoequeotensor
T
possui tr^esautovalores iguais correspondentes a autovalores de tipoespaco.
2
Todososresultadosobtidosparaum uidoperfeitoeimperfeitos~aofeitosemumespacodemetricaplana
,estesresultadospodemserlevadosaumespacocurvopeloprincpiodeequival^encia,trocandoasderivadas
A conex~ao entre um CLF e um sistema emrepouso com relac~ao aosistema do laboratorio
(o chamado\generalLorentz frame"(GLF) )no qualo uidose movimentacom velocidadev
e x = ~ x ; (1.19) onde 0 0 = ; i 0 = 0 i = v i ; (1.20) i j =Æ ij +v i v j ( 1) v 2 ; (1 v 2 ) 1=2 :
O tensor de energia-momentum emum GLF e dado por
T = (v) Æ (v) ~ T Æ ; (1.21)
calculando explicitamenteas componentes obtemos
T ij =pÆ ij +(p+) v i v j 1 v 2 ; (1.22) T i0 =(p+) v i 1 v 2 ; (1.23) T 00 = (+pv 2 ) 1 v 2 : (1.24)
Estas equac~oes podem ser escritas em uma so equac~ao dada por
T =p +(p+)U U ; (1.25) onde U = dx d =(1 v 2 ) 1=2 v; (1.26) U 0 = dt =(1 v 2 ) 1=2 : (1.27)
Alem daenergia e do momento,o uido pode ter outras quantidades que se conservam, como
porexemplo onumerode partculas. Neste caso temosquepara um CLFo4-vetorcorrente de
partculasnum ponto doespacoe
~ N i =0; ~ N 0 =n; (1.28)
onde n ea densidade donumero de partculas. NumGLF ent~ao temos que
N i = i (v) ~ N =(1 v 2 ) 1=2 v i n; (1.29) N 0 = 0 (v) ~ N =(1 v 2 ) 1=2 n; (1.30) ou seja, N =nU : (1.31)
Das equac~oes de conservac~ao dotensor de energia-momentum (1.6) obtemos
T ; =0=p ; +[(+p)U U ] ; ; (1.32)
e daconservac~aodo numerode partculas (1.7)
N ; =0= @ @t [n(1 v 2 ) 1=2 ]+r[nv(1 v 2 ) 1=2 ]: (1.33)
Fazendo aprojec~aoao longoda 4-velocidade U
,e tendo emvista(1.9) encontramos que
0=U T ; =U p ; [(p+)U ] ; ; (1.34)
que combinadacom a equac~ao de continuidade fornece
0= nU " p 1 n ; + n ; # : (1.35)
Esta equac~aoesta relacionadacom a entropia mediantea segunda lei datermodin^amica
Td =pd 1 +d ; (1.36)
onde=neaentropiaporpartcula,1=neovolumeporpartculaeT atemperatura. Portanto
a equac~ao (1.35)pode ser escritacomo
0=U n ; d(=n) ds : (1.37)
Esta relac~aonos dizqueo uidoeadiabatico,ouseja,aentropiasemantemconstanteaolongo
dalinhade uxo doelementode uidoconsiderado. Seem uminstantedeterminadoaentropia
econstanteem todoo uidoent~ao,porser o uidoadiabatico,aentropiasemantemconstante
no tempo. Nesse caso o uidoechamado de isentropico.
1.3 Fluido Imperfeito Relativstico
Vamossuporqueemum uidoimperfeitoapresencadeumfracogradientenoespaco-tempo
se manifeste naforma de termos adicionais T
e N
no tensor de energia-momentoe no
numero de partculas, respectivamente, de modoque agorapossuema forma
T =p +(p+)U U +T ; N =nU +N : (1.38)
Neste caso de nimos tambem a densidade total de energia ea densidade de partculas em um
referencial movimentando-se com o uido como sendo
T 00 ; N 0 n; (1.39)
com a caracterstica de queem qualquer ponto desse referencialo 4-vetor velocidade satisfaz
U i 0; U 0 1: (1.40)
uxo decalor,ade nic~aodavelocidadeemtermosdadensidadedo uxode massan~aotemum
signi cado direto.
E necessario em uidos relativsticos especi car se U
e a 4-velocidade do
transporte de energiaou dotransporte de partculas. Na formulac~aode Landaue Lifshitz [8],
U
e a velocidade dotransporte de energia, pela qualT i0
=0 em um CLF. Na formulac~ao de
Eckart [12], U
e a4-velocidade dotransporte de partculas,pelaqual N i
=0 noCLF.Ambas
formulac~oes s~aoequivalentes, mas nesta sec~aousamos a formulac~aode Eckart.
Comparando as equac~oes (1.39)-(1.40) com (1.38) pode-se mostrar que em um CLF os
termos T
eN
est~ao sujeitos as condic~oes
T 00 =N 0 =N i =0; (1.41)
e, por conseguinte, para um GLF veri cam-se asrelac~oes
U U T =0; (1.42) N =0: (1.43)
Todos osefeitos de dissipac~aos~aodevidos aT
,por istoepreciso encontrar uma express~ao
geral para T
permitidapor (1.42) epelasegunda lei datermodin^amica. Como nocaso do
uido perfeito fazemos a projec~ao de (1.6) aolongo da 4-velocidade, obtemos
0=U T ; : (1.44)
Seguindoosmesmosprocedimentosusadosnocasodo uidoperfeitoparadeduzir(1.37),vemos
que emgeral U [p +(p+)U U ] ; = T(U ) ; ; (1.45)
e (1.44) pode ser escrita como
(U ) ; = 1 T U (T ) ; ; (1.46) ou S ; = 1 U ; T + 1 2 T ; U T ; (1.47)
onde S U T 1 U T : (1.48)
Aqui podemos interpretar S
como o 4-vetor uxo de entropia, e (1.47) como a produc~ao de
entropia por unidade de volume. Pela segunda lei da termodin^amica se exige que T
seja
uma combinac~ao linear dos gradientes de velocidade e temperatura tal que o lado direito de
(1.47) seja sempre de nido positivo para todas as possveis combinac~oes do uido . Note-se
que istoso e possvel por haver colocado o segundo termo do lado direito de (1.48), sem este
termo S
;
n~ao poderia ser simplesmente quadratico nas suas primeiras derivadas e ent~ao n~ao
seria sempre positivo de nido. De (1.47) notamos que T
permite ter gradientes em T e
U
, e n~ao em p, e n, porque sen~ao poderamos ter produtos de gradientes que n~ao seriam
positivos para todas as combinac~oes do uido. Para resolver (1.47),e conveniente ir para um
CLF onde (1.40)e satisfeito,nesse caso (1.47) ca como
S ; = 1 T _ U i + 1 T 2 T ;i T i0 1 T U i;j T ij : (1.49)
Para que esta quantidade sejasempre positivade nimos T i0 e T ij por T i0 = T ;i +T _ U i ; T ij = U i;j +U j;i 2 3 rUÆ ij rUÆ ij ; (1.50) onde 0; 0; 0; (1.51) tal que S ; = T 2 (rT +T _ U) 2 + 2T U i;j +U j;i 2 3 rUÆ ij 2 + (rU) 2 0; (1.52)
seja sempre positivo. Comparando (1.50) com as equac~oes de um uido imperfeito n~ao
rela-tivstico, veri camos que neste ultimo caso o termo T _
U n~ao aparece, e e possvel identi car
os coe cientes , e como os coe cientes de tranporte de calor, viscosidade de estresse e
viscosidadede volume\bulk". Para expressar osresultados (1.50),validosemum CLF,em um
GLF de nimos as quantidades: a) Tensor de Estresse ( ) 2 =(U ; +U ; )h h 2 3 h ; (1.53) onde =U ; eh
e otensor de projec~aono hiperplanonormala U de nido como h (i) (i) = +U U : (1.54)
b) Vetor Fluxo de Calor (Q
) Q T ; +TU ; U : (1.55)
Com estas de nic~oes podemos escrever T como T = 2 (h U +h U )Q h ; (1.56)
pode-se veri car que as equac~oes (1.50) s~ao satisfeitas por (1.56), como esta equac~ao e um
invariante de Lorentz e alem disso e valida num CLF, ent~ao e valida num GLF. Portanto
encontramos uma soluc~ao geral dada por (1.56) que ecompatvel com o segundo princpioda
termodin^amica.
1.4 Fluxos Potenciais
Para poder fazer um estudo das linhas de uxo e de densidades constantes de um uido
e preciso deteminar primeiro a 4-velocidade do uido. Para esse m, retomamos parte da
Fazendo a projec~ao de (1.32) perpendicular a 4-velocidade, usando o tensor projec~ao (1.54), vemos que T ; +U U T ; =0; (1.57)
a express~aoda esquerdatorna-seidenticamentenulaaoser multiplicadapor U
. Substituindo
o tensor de energia momentum de um uido perfeito (1.25)em (1.57)obtemos arelac~ao
p ; +U U p ; = (+p)U U ; : (1.58)
As tr^es componentes espaciais desta equac~ao formam a equac~ao de Euler relativstica. A
componente temporalestaimplcita nas outras tr^es. Asequac~oes do movimento(1.58)podem
ser escritas de formamais simples considerando que o uido e isentropico. Neste caso =n =
constante ,edaequac~aodatermodin^amicaquerelacionaaentalpiaporpartcula,h=(+p)=n,
com a entropia porpartcula ea press~ao,dh =Td(=n)+dp=n, obtemos que
p ; =n +p n ; nh ; : (1.59)
Com isto, a equac~ao (1.58) pode ser escrita como
U w =0; (1.60) onde w
e otensor de vorticidade relativsticode nido como
w =(hU ) ; (hU ) ; : (1.61)
A equac~ao (1.60) tem por soluc~ao
HU = ; ; (1.62) onde H =h=h 1
e a entalpia por partcula normalizada por seu valor assintotico. Isto e feito
de (1.62) que para obter a 4-velocidade de nosso uido e necessario conseguir uma forma de
calcularocampoescalar. Daequac~aodecontinuidade(1.7)ede (1.62)obtemosumaequac~ao
diferencial parcialpara dada por
n H ; ; =0; (1.63)
queeuma equac~ao n~aolinear ja quedepende daequac~aode estadodo uido. Devidoas
difer-entes aplicac~oes na fsica, consideramosuma equac~ao de estado de tipo barotropica, p=p(),
da forma p= ( 1). Para cada equac~ao de estado barotropica existe a sua correspondente
equac~aode estadode tipopolitropica,p=p(n), viaprimeira esegunda leidatermodin^amica
d n +pd 1 n =0=Td n : (1.64)
Substituindo p=( 1) em(1.64) eintegrando obtemosa conhecidaequac~aopolitropica
p=Kn
: (1.65)
Com istoa relac~ao entre a entalpia,H, e adensidade de partculas, n,edada por
n =n 1 H 1=( 1) ; (1.66) onde n 1
e ovalorassintotico da densidade de partculas.
Voltando aocontexto de relatividadegeral esubstituindo (1.66) em(1.63) obtemos
+ 2 1 ; (lnH) ; =0; (1.67) onde ( p gg ; ) ; = p g e H = p ; ;
. Para o caso particular em que = 2
(p = ), a equac~ao diferencial se torna linear. Nesse caso a velocidade do som no uido,
de nida como c 2
s
= dp=d, e igual a velocidade da luz. Devido a este fato, a situac~ao fsica
descrita por =2 n~aoe muito comum, mas existem situac~oes, como o caso de uma estrela de
n^eutrons avelocidade relativstica, quepodem ser modeladapor esta equac~ao de estado. Este
mas nessecaso aequac~aodiferencialen~aolinear. Nesta sec~aoobtivemos(1.67)nocontextoda
relatividade restrita e depois passamos ao contexto da relatividade geral. Em [13] a equac~ao
(1.67) e obtidano contexto darelatividadegeral em formadireta.
Tendouma formade calculara4-velocidadedo uido medianteaobtenc~aode em(1.67),
o proximo passo sera modelar diferentes situac~oes fsicas mediante as metricas a serem
us-adas.
E importante destacar que em nossos problemas o uido sera um uido de teste (ou
n~ao autogravitante), em que a metrica g
e dada a priori e n~ao esta relacionada com o
ten-sor energia-momento diretamente por (1.1), isto e visto como uma primeira aproximac~ao ao
Metricas com Simetria Axial
Nestecaptulovamosestudaraformageral dametricadoespaco-tempopara sistemascom
simetria axialassim como algumassituac~oes particulares.
Na fsica Newtoniana, um campo gravitacional com simetria axial e de nido como sendo
independente do ^angulo azimutal '. Levando esta mesma ideia para a Relatividade Geral
consideramos que o tensor g
e independente da coordenada '. Com apenas esta hipotese e
impossvel obter qualquer resultado de interesse em uma situac~ao t~ao geral em que temos 10
func~oes detr^escoordenadas. Se alemdacondic~aode simetriaaxialintroduzimosuma condic~ao
estacionariafazemoscomqueg
sejaindependentetantode'comodet. Tambemassumiremos
que ' e t s~ao reversveis no sentido que a metrica se mantem invariante ao substituir ' por
' ou t por t. Fisicamente isto signi ca que estamos em um meio onde a fonte e estatica.
Matematicamentesigni caqueametricacontemd'edtsocomoformasquadraticas. Portanto,
a formageral seria 1 ds 2 =g 00 (dx 0 ) 2 +g 11 (dx 1 ) 2 +2g 12 dx 1 dx 2 +g 22 (dx 2 ) 2 +g 33 (dx 3 ) 2 : (2.1) 1
Estametricadoespaco-tempo,comassimetrias especi cadas acima, pode serobtidaatravesdaequac~ao
E possvelusar coordenadas (x 1 ;x 2 ) para asquais ds 2 possui aforma ds 2 = 2 (dx 0 ) 2 + 2 [(dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 ]+ 2 (dx 3 ) 2 ; (2.2)
onde ( ; ; )s~ao func~oes de (x 1
;x 2
). De nimos, por conveni^encia, as variaveis (x 0 ;x 1 ;x 2 ;x 3 )
como (t;R ;z;') respectivamente, onde t e o tempo e (R ;z;') s~ao as coordenadas cilndricas.
Tambemde nimos asfunc~oes ( ; ; )como =e , =re e =e , onde =(R ;z)e
= (R ;z). Resolvendo, com estas de nic~oes, as equac~oes de Einstein no vacuo encontra-se
que ds 2 = e 2 dt 2 +e 2( ) (dR 2 +dz 2 )+e 2 R 2 d' 2 ; (2.3)
onde e s~aodadas por
r 2 = ;RR + 1 R ;R + ;zz =0; (2.4) ;R =R [ ;R 2 ;z 2 ]; (2.5) ;z =2R ;R ;z : (2.6)
As equac~oes (2.3)-(2.6)determinam aforma geral de uma metrica estatica com simetria axial.
Na aproximac~aoNewtoniana acomponenteg
00
dametricaencontra-serelacionadacom afonte
demateria. Alemdisso, satisfaz(2.4)queeaequac~aodeLaplaceemcoordenadascilndricas,
o que nos leva a pensar em como um potencialgravitacional que se assemelha aopotencial
gravitacional Newtoniano. Com o nalidade de resolver (2.4) usando um desenvolvimento
multipolar, e conveniente expressar (2.3)-(2.6) em coordenadas esferoidais prolatas (u,v,').
Estas coordenadas est~ao relacionadascom as coordenadas (R ,z,') na forma
u= 1 2m (R 1 +R 2 ); v = 1 2m (R 1 R 2 ); '='; (2.7) onde R 2 1 =R 2 +(z+m) 2 ; R 2 2 =R 2 +(z m) 2 ; (2.8)
Asquaispossuemcomosuperfciescoordenadasespaciais: elipsoides(u=cte),hiperboloidesde
duas folhas (v =cte) eplanos ('=cte). Estas novascoordenadas est~ao de nidas nos seguintes
intervalos: u1; 1v 1; 0'2.
Eimportantenotar quenolimite quando u!1o
elipsoide se converte em uma barra de comprimento2m. Com estas coordenadas as equac~oes
(2.3)-(2.6) podem ser escritas doseguinte modo
ds 2 = e 2 dt 2 +m 2 e 2( ) (u 2 v 2 ) du 2 u 2 1 + dv 2 1 v 2 +m 2 e 2 (u 2 1)(1 v 2 )d' 2 ; (2.9) com [(u 2 1) ;u ] ;u +[(1 v 2 ) ;v ] ;v =0; (2.10) ;u = 1 v 2 u 2 v 2 [u(u 2 1) ;u 2 u(1 v 2 ) ;v 2 2v(u 2 1) ;u ;v ]; (2.11) ;v = u 2 1 u 2 v 2 [v(u 2 1) ;u 2 v(1 v 2 ) ;v 2 +2u(1 v 2 ) ;u ;v ]: (2.12)
Paraencontrarumametricadeumaparticulardistribuic~aodemateriadeve-se primeiroresolver
(2.10) como se fosse o potencial newtoniano. Depois mediantes as equac~oes (2.11) e (2.12)
calcula-se a func~ao medianteo metodode quadraturas. Umavez obtidas assoluc~oes para
e , estas s~ao colocadasna metrica(2.9).
2.1 Soluc~ao Multipolar
Paraencontrarumasoluc~aomultipolarde(2.10)usamosometododeseparac~aodevariaveis
[14]. Fazendo =A(u)B(v) esubstituindo em(2.10) obtemoso sistema de equac~oes
[(u 2 1)A ;u ] ;u KA=0; (2.13) [(1 v 2 )B ;v ] ;v +KB =0;
onde K e uma constante. A soluc~aogeral destas equac~oes e
= 1 X [a n Q n (u)+b n P n (u)][c n Q n (v)+d n P n (v)]: (2.14)
Polin^omios Internos
Nestasec~aofazemosum resumodotrabalhode Quevedo [15]. Queremos modelaroespa
co-tempo compreendido entre um nucleo massivo, que pode n~ao ter simetria esferica mas sem
quebrarasimetriaaxial,eoin nito(Minkowski). Para obteroelementodelinhadeMinkowski
de (2.9), asfunc~oes (u;v)e (u;v)devem ser assintoticamentenulas
lim
u!1
(u;v)=0= lim
u!1
(u;v); (2.15)
no limite m !0. Se restringimos a soluc~ao(2.14) a esta condic~aodevemos ter que b
n =0, ja que no in nito P n (u)/ u n
, o qual diverge. Se queremos que asoluc~aoseja regular no eixo de
simetria devemos evitar as singularidades logartmicas em v = 1, e portanto c
n
= 0. Com
estas condic~oes a soluc~ao gerale
= 1 X n=0 q n Q n (u)P n (v): (2.16)
Com dadopor(2.16)easequac~oes(2.11,2.12)obtemos comoqualcompletamosoelemento
delinha(2.9).
Einteressanteverocasoquandoconsideramosem(2.16)q
0 =1eq n =0(n 1). Com isso = 1 2 ln u 1 u+1 ; (2.17) e edada por = 1 2 ln u 2 1 u 2 v 2 : (2.18)
Substituindo(2.17) e(2.18)em(2.9), efazendo umatransformac~aode coordenadasesferoidais
prolatas (u;v;') emcoordenadas esfericas (r;;') dadaspor
u= r
m
1; v =cos; '='; (2.19)
chega-seaoelementode linha
ds 2 = 1 2m dt 2 + 1 2m 1 dr 2 +r 2 (d 2 +sin 2 d' 2 ); (2.20)
que correspondente a metrica de Schwarzschild. Ou seja, a metrica de Schwarzschild
corres-pondeaordemzero (monopolo)daexpans~aomultipolarepodemosde niraconstantemcomo
sendo a massa da estrela (ou buraco negro). OspotenciaisNewtonianos ( ) podem ser
calcu-lados usando ade nic~ao (invariantede coordenadas) de Ehlers [16], dada por
=lim !0 1 (R ;z;); (2.21) onde = c 2
(c denota a velocidade da luz). A depend^encia em da func~ao se obtem
substituindo m ! mG. Como exemplo e facil ver que este processo nos leva, no caso de
Schwarzschild, ao potencial Newtoniano de uma distribuic~ao esferica simetrica de massa =
Gm=( 2 +z 2 ) 1=2
. Por outro lado sabemos tambem [17] que a serie (2.16) representa uma
soma de potenciais associados a barras de comprimento 2m de densidades lineares dadas por
P
n
(z=m)=2. Vemos na continuac~ao algumas formas exatas das func~oes e para os casos
Monopolo + Dipolo, Monopolo + Quadrupolo e Monopolo + Octopolo. Estas func~oes s~ao
usadas para modelar nucleos massivos que se afastam da forma esferica. Denotaremos por
D;Qe O os valores dos camposdipolar, quadrupolar eoctopolarrespectivamente.
a) Monopolo +Dipolo
Partindo daserie (2.16) econsiderando ostermos n =0 en =1com u! u, obtemos
(u;v)= 1 2 log u 1 u+1 Dv 1+ 1 2 ulog u 1 u+1 ; (2.22) e de (2.11)-(2.12) com (2.22) (u;v)= v 2 D 2 8 (u 2 1)log 2 u 1 u+1 +4log u 1 u+1 u+4 (2.23) vDlog u 1 u+1 +D 2 1 2 log(u 2 v 2 ) 1 8 log 2 u 1 u+1 (u 2 1) 1 2 log u 1 u+1 (u+1)+log(u 1) +Dlog u v u+v 1 2 log(u 2 v 2 )+ 1 2 log(u 2 1) D 2 2 :
b) Monopolo +Quadrupolo
Paraesta situac~aoconsideramosostermosn=0en=2comu! udaserie (2.16). Com
istoe seguindo o procedimentodo caso anterior obtemos
(u;v)= 1 2 log u 1 u+1 + 1 2 Q(3v 2 1) 3u 2 + 1 4 (3u 2 1)log u 1 u+1 ; (u;v)= 9 64 v 4 Q 2 (u 2 1)(9u 2 1)log 2 u 1 u+1 (2.24) +(36u 3 28u)log u 1 u+1 +36u 2 16 +v 2 9 32 Q 2 (u 2 1)(1 5u 2 )log 2 u 1 u+1 + 3 2 Qu + 9 32 Q 2 20u 3 + 52 3 u log u 1 u+1 +3Q+3Q 2 45 8 Q 2 u 2 + 9 64 Q 2 (u 2 1) 2 log 2 u 1 u+1 + 1 2 (Q+1) 2 log u 2 1 u 2 v 2 + 1 16 Q 2 (9u 3 15u) 3 2 Qu log u 1 u+1 + 9 16 Q 2 u 2 3Q 3 4 Q 2 ;
onde jafoi imposta a condic~ao de que sejamassintoticamentenulas.
c) Monopolo +Octopolo
Nesta situac~ao os termos de interesse na serie (2.16) s~ao n =0 e n = 3 fazendo u ! u.
As func~oes e neste caso s~ao
(u;v)= 1 2 log u 1 u+1 (2.25) + O 2 (5v 3 3v) 3 4 u 5 4 u 3 log u 1 u+1 5 2 u 2 + 2 3 ;
(u;v)= 25 384 v 6 O 2 log 2 u 1 u+1 (225u 6 351u 4 +135u 2 9) (2.26) +log u 1 u+1 (900u 5 1104u 3 +252u)+900u 4 804u 2 +64 + 15 384 v 4 O 2 log 2 u 1 u+1 ( 585u 6 +945u 4 387u 2 +27) +log u 1 u+1 ( 2340u 5 +3000u 3 756u) 2340u 4 +2220u 2 224]+ 160 128 v 3 O log u 1 u+1 ( 3u 2 +1) 6u + 3 384 v 2 O 2 log 2 u 1 u+1 (1125u 6 1935u 4 +891u 2 81) +log u 1 u+1 (4500u 5 6240u 3 +1884u)+4500u 4 4740u 2 +704]+ 96 128 vO log u 1 u+1 (5u 2 3)+10u + O 2 128 log 2 u 1 u+1 ( 75u 6 +135u 4 81u 2 +21) +log u 1 u+1 ( 300u 5 +440u 3 204u 64) 64log(u 2 v 2 ) +128log(u 1) 300u 4 +340u 2 +Olog u v u+v + 1 2 log u 2 1 u 2 v 2 11 12 O 2 ;
onde a condic~aode que sejam assintoticamentenulas ja foi considerada.
Polin^omios Externos
Partindo novamente da soluc~ao geral procuramos uma soluc~ao particular da metrica que
modele o espaco-tempo compreendido entre um nucleo massivo monopolare uma distribuic~ao
externa de materia [18]. Neste caso e necessaria aintroduc~aode multipolosexternos, ouseja,
usamos em (2.14) os polin^omios de Legendre que aumentam com a dist^ancia. Guiados pelo
caso newtoniano, a formadafunc~ao ate termos octopolarese
2 =2 0 2Q o (u)+2DP 1 (u)P 1 (v)+ 4 QP 2 (u)P 2 (v)+ 4 OP 3 (u)P 3 (v); (2.27)
onde
0
eumaconstantede integrac~aoeQ
0
descreveonucleomonopolarque, comojafoivisto
anteriormente, pode descrever uma estrela ou buraco negro de Schwarzschild. A constante
pode ter osvalores 1ou0,sedesejamoster oun~aoum nucleomonopolar, respectivamente. As
func~oes e nesse caso s~ao dadasexplicitamente por
2 =log u 1 u+1 +P(u;v) P =2 0 +2Duv+ 1 3 Q(3u 2 1)(3v 2 1)+ 1 5 Ouv(5u 2 3)(5v 2 3); (2.28) e 2 = 2 log u 2 1 u 2 v 2 +F(u;v); (2.29) F =2 0 + D + Q + O + DQ + DO + QO ; D =4Dv D 2 [u 2 (1 v 2 )+v 2 ]; Q = 4Qu(1 v 2 )+ 1 2 Q 2 [u 4 (1 v 2 )(1 9v 2 ) 2u 2 (1 v 2 )(1 5v 2 ) v 2 (2 v 2 )]; O = 2 5 Ov[5(3u 2 1)(1 v 2 ) 4]+ 3 100 O 2 [ 25u 6 (1 v 2 )(5v 2 +2v 1)(5v 2 2v 1) +15u 4 (1 v 2 )(65v 4 40v 2 +3) 3u 2 (1 v 2 )(25v 2 3)(5v 2 3) v 2 (25v 4 45v 2 +27)]; DQ = 4DQuv(u 2 1)(1 v 2 ); DO = 3 10 DO[u 2 (5u 2 6)(1 v 2 )(1 5v 2 )+v 2 (5v 2 6)]; QO = 6 5 QOuv(u 2 1)(1 v 2 )[(5u 2 1)(3v 2 1)+2(1 v 2 )]:
Estas func~oes s~ao usadas para modelar sistemas de interesse na astrofsica tais como
super-novas, nebulosas e galaxias, ja que nas suas estruturas apresentam um nucleo massivo e uma
distribuic~aoexterna de materia quepodem ser vistas como uma expans~aomultipolar.
2.2 Metrica C
A metrica C e um membroda famliade metricas com simetriaaxial,com a forma[19, 20]
ds 2 = 1 2 2 K 2 F(q)dt 2 + dp 2 + dq 2 + G(p) 2 d' 2 : (2.30)
As func~oes G(p) e F(q) s~aopolin^omios cubicos dados por F(q)= 1+q 2 2mAq 3 ; G(p) =1 p 2 2mAp 3 ; (2.31)
ondeascoordenadast, p,q,'eK s~aoadimensionaiseAtemdimens~aode L 1
. Acoordenadat
tem osseusvalores entre 1e1,enquanto'tem valoresentre 0e2. Ointervalode valores
das coordenadas p e q depende das razes de F e G. Usualmente a condic~ao m 2
A 2
< 1=27
e aplicada para assegurar que as func~oes F e G tenham tr^es razes reais mas esta condic~ao e
devida somenteas coordenadasutilizadas[21]e n~aoeumarestric~aofsica. Parao casoemque
m 2 A 2 <1=27,as tr^esrazes de G(p) s~ao[22] p = 1 6Am 2cos 3 + 2 3 +1 ; p 0 = 1 6Am 2cos 3 + 4 3 +1 ; p u = 1 6Am 2cos 3 +1 ; (2.32) onde cos=1 54A 2 m 2 : (2.33)
Da mesma forma,as tr^es razes de F(q) s~aodadas por
q S = 1 6Am 2cos Æ 3 + 2 3 1 ; q R = 1 6Am 2cos Æ 3 + 4 3 1 ; q u = 1 6Am 2cos Æ 3 1 ; (2.34) onde cosÆ = (1 54A 2 m 2 ): (2.35)
Em nosso trabalho as func~oes [F(q);G(p)] s~ao limitadas pelas razes (q
R ;q S ) e (p 0 ;p ). Nesse
massa e acelerac~ao de um buraco negro respectivamente. As fontes de materia s~ao dadas por
uma barra e uma linha semi-in nita, ambas de densidade 1/2 ecolocadas ao longo de um dos
eixos do referencial [23]. Estas fontes de materia s~ao interpretadas como uma partcula ou
buraco negro (abarra) emum referencialacelerado (a linha semi-in nita),e portanto
associa-dos a espaco-tempos de Schwarzschild e Rindler. Estas fontes se mant^em separadas devido a
singularidade c^onica que existe entre elas. Dependendo dos intervalosescolhidos para (p,q), a
metrica C pode, alem da interpretac~ao de um buraco negro acelerado, ser associada a outros
espaco-tempos. Umresumodestesespaco-temposealgumasdassuaspropiedadesencontram-se
em [21].
Notamos que ao fazer A ! 0 em (2.30) a metrica diverge e n~ao obtemos o limite correto
que corresponderia a metrica de Schwarzschild. Para um melhor entendimento do problema e
portanto,necessariofazerumatransformac~aodecoordenadastalquenospermita,nestasnovas
coordenadas, obter o limitecorreto de (2.30). Umatransformac~aoadequadaedada por [22]
r = 1
A(q+p)
; t !At; (2.36)
com isto, a metrica (2.30)se transformaem
ds 2 = Hdt 2 + 1 H dr 2 + 2Ar 2 H drdp+r 2 1 F + 1 G dp 2 +r 2 Gd' 2 ; (2.37) onde H =A 2 r 2 F = A 2 r 2 G(p A 1 r 1 ) = 1 2m r +6Amp+ArG ;p A 2 r 2 G: (2.38)
Vemos que a metrica (2.37) toma a forma de Schwarzschild se, ao fazer o limite A ! 0, a
coordenada angularp estiver relacionada a coordenada angular esferica por meio de G(p)=
1 p
2
= sin 2
. Alem disso, se fazemos m ! 0, o espaco se torna Euclideano e a metrica
Quando A6=0,acoordenada angular pe est~ao relacionadaspelafunc~ao G(p)=1 p 2 2Amp 3 =sin 2
. Neste caso omapeamento corretoentre elas e[22]
p= 8 > > > < > > > : 1 6Am h 2cos () 3 + 4 3 +1 i for0 2 ; 1 6Am h 2cos () 3 + 2 3 +1 i for 2 0; (2.39) onde cos()=1 54A 2 m 2 cos 2 : (2.40)
Com este mapeamento, o horizonte do buraco negro e deformado quando se aumenta a sua
acelerac~ao(mantendo acondic~ao m 2
A 2
<1=27). A forma exata dohorizontee obtidaem [22]
ee dada por r Sch = 8 > > > > > > > < > > > > > > > : 3m cos () 3 + 4 3 +cos Æ 3 + 2 3 for0 2 ; 3m cos () 3 + 2 3 +cos Æ 3 + 2 3 for 2 : (2.41)
Comasmetricasestudadasnestasec~ao,serapossvelestudarosdiferentescasos
substituindo-as na EDP do potencial davelocidade (1.67), e assim obter a 4-velocidade do uido. Isto
de-pende tambem daequac~ao de estado considerada. No proximo captulo vemos dois casos com
Soluc~oes Exatas
Neste captulo vemos dois casos nos quais e conhecida uma soluc~ao exata do problema de
calcular (1.67) com a metrica de Schwarzschild vista no captulo 2. O estudo destes casos
ajudam aentenderamec^anicadonosso estudoem uidos. Outromotivoimportantee ques~ao
testes obrigatorios para qualquer codigo computacional.
3.1 Esfera Rgida de Schwarzschild e p =
Seguimos neste caso o trabalho feito por Shapiro [1]. No seu estudo Shapiro utiliza para
resolver (1.67) a metrica de Schwarzschild em coordenadas esfericas (2.20) e uma equac~ao de
estado p = ( = 2). Como ja vimos na Sec~ao 2.1, esta metrica corresponde a expans~ao
multipolarexterna com n =0. Escrevendo (1.67)em formaexplcita
1 2M r 1 @ 2 @t 2 + 1 r 2 @ @r 1 2M r r 2 @ @r + 1 r 2 1 sin @ @ sin @ @ + 1 sin 2 @ 2 @' 2 =0; (3.1)
onde M eamassadaestrelaoudoburaconegro. Seagora impomosacondic~aode queo uido
sejatambem estacionario,a4-velocidaden~aopode dependerexplicitamentedotempo. Poresse
componente zero da4-velocidade. Assim, a equac~ao (3.1) pode ser escrita como 1 r 2 @ @r 1 2M r r 2 @ @r + 1 r 2 1 sin @ @ sin @ @ + 1 sin 2 @ 2 @' 2 =0: (3.2)
Utilizando ometodode separac~ao de variaveispara resolveresta equac~aoobtemos asoluc~ao
= at+ X l ;m [A l m P l ()+B l m Q l ()]Y l m (;'); (3.3) ondeA l m eB l m
s~aoconstantesaseremdeterminadaspelas condic~oes decontorno,=r=M 1.
easfunc~oesY
l m
(v;')s~aoosharm^onicosesfericos. Ascomponentesda4-velocidade(1.62),tendo
em vistaque neste caso H =n, s~ao
nU t = a; (3.4) nU r = 1 M X l ;m [A l m P 0 l ()+B l m Q 0 l ()]Y l m (;'); (3.5) nU = X l ;m [A l m P l ()+B l m Q l ()]Y l m (;') ; ; (3.6) nU ' = X l ;m [A l m P l ()+B l m Q l ()]Y l m (;') ;' ; (3.7)
onde as linhas representam derivadas com respeito ao argumento.
Restaagoraimporascondic~oes decontorno aonosso problema. Acondic~aodecontornona
superfciedaesferargidaequeacomponentenormaldavelocidadesejanula,matematicamente
istoquer dizer
U r =0= ;r ; em r=R ; (3.8) o queimplica B l m = A l m P 0 l ( R ) Q 0 l ( R ) : (3.9) onde R
=R =M 1. Esta condic~aode contornopode ser usada,porexemplo,paraumaestrela
gasosa en~aodura. A outracondic~aoedada noin nitocom aexig^enciade quea velocidadedo
uido seja constante, ou seja
r!1: = at+brcos: (3.10)
Comparando (3.3) com (3.10) vemos quetodas as constantes A's e B's s~aonulas com excec~ao
de A 10 = p 4=3Mb e B 10
dado por (3.9). Substituindo estes valores em(3.3) encontramos a
soluc~ao nal = at+Mbcos Q 1 () Q 0 1 ( R ) ; (3.11)
com a 4-velocidadedada por
nU t = a; nU r =bcos 1 Q 0 1 () Q 0 1 ( R ) ; nU = bsinM Q 1 () Q 0 1 ( R ) ; nU ' =0; (3.12) com Q 1 = 1 2 ln +1 1 1; (3.13)
onde as linhas denotam derivadas com relac~aoa . A densidade de partculas emunidades de
n
1
e obtidasubstituindo (3.12) em(1.66).
3.2 Buraco Negro de Schwarzschild e p =
Nestecaso,usamososresultados obtidosem[3]. Aprincipaldiferencaentreocasodaesfera
rgida e o buraco negro encontra-se na condic~ao de contorno na superfcie do buraco negro
(horizonte). As condic~oes de fronteira que devemos impor s~ao: (i) A densidade de partculas
Vejamosprimeirocomoimplementaracondic~ao(i). Calculandoadensidadendepartculas, n 2 = ; ; ,temos que n 2 = 1 2M r 1 (nU t ) 2 1 2M r (nU r ) 2 1 r 2 (nU ) 2 1 r 2 sin 2 (nU ' ) 2 : (3.14)
Paraeste casoafunc~aogeral para(3.3)eamesmaquenocaso daesfera rgida. Inicialmente
a equac~ao (3.14) parece divergente no horizonte, mas essa diverg^encia pode ser eliminada se
uma das velocidades espaciaisdiverge apropriadamente. Levando emconsiderac~ao os
compor-tamentosdas func~oes de Legendre perto do horizonte, =1, encontramos que
n 2 ! 1 2M r 1 2 4 b 2 1 4M X l ;m B l m Y l m (;') ! 2 3 5 : (3.15)
Esta relac~ao nos proporciona uma condic~ao para as constantes B's, ja que se queremos que n
seja nito em =1, devemos ter B
00 Y
00
=4Ma e zero para os demaisB's. Escolhemos ent~ao
B
00
positivo o que indica que o nosso uido entra no buraco negro. Dessa forma, podemos
escrever (3.3) como = at 2Maln 1 2M r + X l ;m A l m P l (u)Y l m (v;'): (3.16)
Impondoagoraacondic~ao(ii)noin nitovemosquetodososA'sdevemseriguaisazero,exceto
o termo A
10
. Assimobtemos nalmentecomo soluc~ao
= at 2Maln 1 2M r +bM(r M)cos: (3.17)
As linhasde uxo do uidocorrespondentes aeste potencials~aoapresentadasnarefer^encia [3].
Outroimportanteresultado quepode ser obtidocom asoluc~ao(3.17)eaacrec~aode partculas
ao buraconegro _ N = Z S nU i p gdS i ; (3.18)
onde asuperfciede integrac~ao,S,euma 2-superfcieesfericacom centronoburaconegro. Em
nosso caso o valore
_ N =16M 2 n 1 b: (3.19)
Metodo Computacional
Neste captulo apresentamos as noc~oes basicas para poder discretizar nossa EDP (1.67) e
assim poder obter uma soluc~aonumerica. Vemos ocaso emque =2 por ser o mais simples.
O caso em que 1< <2 pode ser estudado de formasimilar.
Eimportantenotarqueaequac~aodiferencial(1.67)paraopotencialcomumametricado
tipo(2.9)eindependentedas func~oes e . Estas func~oes soaparecemnocalculodadensidade
departculas(1.66). Comacondic~aoqueeestacionarioeindependentede'aequac~ao(1.67)
pode ser escrita
[(u 2 1) ;u ] ;u +[(1 v 2 ) ;v ] ;v =0: (4.1)
Para discretizar esta equac~ao usamoso metodo de diferencas nitas. Este metodoconsiste em
dividirodomniodasoluc~aoemumarede de pontos nodais. Emcada pontodaredeaequac~ao
diferencial e aproximada substituindo as derivadas parciais por aproximac~oes em termos dos
valores de nos nodos. O resultado e uma equac~ao algebrica por nodo, onde os valores dos
's no nodoenos nodos vizinhosaparecem como incognitas. Para aproximarasderivadas das
func~oes usamos uma expans~ao em serie de Taylor para cada nodo. Na Figura 4.1 temos um
dendices, em nosso caso (i;j). Os nodos vizinhos s~ao de nidos somando ou subtraindo uma
unidade em um dosndices.
Figura4.1: Exemplode redeortogonalde nodosque pode ser usadaparadiscretizar odomnio
de uma EDP.
Aproximac~ao das Derivadas
Para aproximar as derivadas e discretizar nosso problema consideramos na Figura 4.1que
os eixos i e j representam os eixos das variaveis u e v respectivamente, e que as diferencas
(i) (i 1)=(i+1) (i)=u, (j) (j 1)=(j+1) (i)=v s~aoconstantes em todaa
rede.
Qualquerfunc~aodiferenciavel(u;v)podeser expressada 1
navizinhancade (i;j)mediante
1
Norestodasec~aodenotamosafunc~ao(u;v)calculadaem(i;j)por(u
i ;v
j
uma serie de Taylor. Para (i 1;j)na vizinhancade (i;j) temos
(i 1;j)=(i;j) u
;u + (u) 2 2! ;uu (u) 3 3! ;uuu + ; (4.2)
com o qual podemos expressara primeiraderivada como
;u = (i;j) (i 1;j) u +O[u]: (4.3)
Poroutrolado,considerandoaserie deTaylorpara(i+1;j)navizinhancade(i;j)obtemos
;u = (i+1;j) (i;j) u O[u]: (4.4)
As express~oes (4.3) e (4.4) que descrevem a primeira derivada de uma func~ao n~ao s~ao muito
precisas jaque estamosdesprezando termosdaordem u. Umamelhor aproximac~aopode ser
obtida somando as equac~oes (4.3) e (4.4),
;u = (i+1;j) (i 1;j) 2u +O[(u) 2 ]: (4.5)
Por outro lado e facil obter uma express~ao para a segunda derivada de eliminando
;u da serie de Taylor ;uu =
(i+1;j) 2(i;j)+(i 1;j)
(u) 2
+O[(u) 2
]: (4.6)
Relac~oes similares as vistas podem ser obtidas para a coordenada v, assim como derivadas
mistas. Para aproximar ostermos daequac~ao (4.1) fazemos
f[ (u;v) ;u ] ;u g i;j [ (u;v) ;u ] i+1=2;j [ (u;v) ;u ] i 1=2;j u (4.7) (u;v) i+1=2;j
[(i+1;j) (i)] (u;v)
i 1=2;j
[(i;j) (i 1;j)]
(u) 2
;
onde empregamosduas vezes (4.5) calculada nos pontosmedios entre osnodos. Esta formade
discretizar o problemapossuimaior precis~aojaques~ao usadoscinco pontosde refer^encia para
o calculo. Desta forma,a equac~ao(4.1) pode ser discretizadacomo
com C1(i;j)= v 2 j+1=2 +v 2 j 1=2 2 (v) 2 u 2 i+1=2 +u 2 i 1=2 2 (u) 2 ; C2(i;j)= u 2 i+1=2 1 (u) 2 ; C3(i;j)= u 2 i 1=2 1 (u) 2 ; (4.9) C4(i;j)= 1 v 2 j+1=2 (v) 2 ; C5(i;j)= 1 v 2 j 1=2 (v) 2 ; onde (u i ;v j
) s~ao os valores de u e v na coordenada (i;j). De (4.8) sempre e possvel escrever
uma das variaveis emfunc~aodas outras.
Condic~oes de Contorno
(i) Dirichlet: a condic~ao (u;v)=f(u;v) pode ser escrita naforma(u
i ;v j )=f(u i ;v j ).
(ii)Neumann: acondic~aodeNeumann
;u
=f(u;v)pode serdiscretizadamediante(4.5)como
(i+1;j) (i 1;j) 2u =f(u i ;v j ): (4.10)
(iii) Condic~aodo Buraco Negro: a condic~ao de contorno que tinhamospara o caso doburaco
negro era que o numero de partculas n fosse nito no horizonte. Numericamente isto se
consegue fazendo[2] @ @r ;r ;t u 1 =0; (4.11) onde r = (u+1)+2ln u 1 2
e a coordenada tartaruga [24]. A equac~ao (4.11) pode ser
discretizada usando osmetodos ja apresentados.
(iv)Dirichletemumasuperfciecurva: estecason~aoserausadonestatese. Para umadescric~ao
(v)Neumannem umasuperfciecurva: nestetipodesituac~aoexistemvariasformasdeabordar
oproblema. Nosvemosapenasumadelas. Primeirosesubstituiasuperfciecurva(C)poroutra
superfciefeitadepequenostracos(Figura4.2). Para calcularacondic~aode velocidadenormal
Figura 4.2: Esquema para o calculo da condic~ao de Neumann U
n
=0. A normal a curva pode
atravessar o segmentoAF ouFE.
U
n
= 0 no ponto H, tracamos a perpendicular a curva C que passa por H. Dependendo do
tamanhoda rede, aperpendicular poderia atravessar o segmento AFpor B ouo segmento FE
porD.Vejamos com detalheocaso quandoatravessa osegmentoAF.A condic~aoU
n
=0pode
ser escritaem termosde diferencas nitas na forma
U n =0) (B) (H) l =0)(H)=(B): (4.12)
E possveleliminar(B) fazendo uma interpolac~aolinear com dados dos pontosA e F,
(B)= AB (F)+ 1 AB (A): (4.13)
Da gura vemos tambem queos segmentosAB e AFpodem ser escritos como
AB=utan ; AF=v: (4.14)
Substituindo (4.14)e (4.13) em (4.12) obtemos nalmente ovalorde noponto H
(H) = u v tan (F)+ 1 u v tan (A): (4.15)
Operando da mesmaforma se encontra, para o caso em quea normal corta o segmento EF, a
relac~ao (H) = v u 1 tan (F)+ 1 v u 1 tan (E): (4.16)
Este metodo vaiser usado naSec~ao 5.1.
Existem varios metodos computacionais para resolver a equac~ao (4.8). Um resumo dos
metodos podem ser encontradosem[25, 26]. Osresultados dosAp^endicesB e Cforamobtidos
comometodo\StabilizedErrorVectorPropagation"[27,28]. Ocodigocomputacional
Aplicac~oes
Na continuac~ao, vemos algumas soluc~oes numericas e analticas de (1.67) com as metricas
vistas noCaptulo 2.
5.1 Nucleo Massivo com Simetria Axial e p =
A seguir, vemos os casos em que nosso corpo rgido e composto por monopolo + dipolo,
monopolo+ quadrupoloemonopolo+octopolo. Nestes casos temosasseguintes condic~oes de
contorno para o uido:
(i) velocidade normal do uido nasuperfciedo objeto igual azero (U
n =0).
(ii)longe do objeto avelocidade do uidoe constante.
Oprimeiroproblemanestetipode situac~aoedeterminarasuperfciedoobjetonaqualsera
aplicadaacondic~ao(i). Umaformadefazeristoeencontrar assuperfcies equipotenciais
New-tonianas para depois poder utilizar uma delas como superfcie do objeto rgido. Sabemos que
no limitede campos fracos o potencial Newtoniano esta relacionado com a metrica doespa
co-tempo atraves da componente g
00
. Portantoe natural supor que as superfcies equipotenciais
s~ao dadaspelarelac~ao
g
00 = e
2
No caso de Schwarzschild, por exemplo, temos que as superfcies equipotenciaiss~ao esferas de
raio r > 2m. Nos casos do dipolo, quadrupolo e octopolo, devemos ter mais cuidado com a
relac~ao(5.1), ja que para alguns valores de D, Æ e v e impossvel achar valores reais de u que
satisfacam (5.1),e portanton~aoteramos uma superfciefechada para t^e-lacomo superfcie de
nosso objetorgido.
Pode-se ver que, em geral, este tipo de deformac~ao na estrutura de uma estrela n~ao
mo-di ca em forma signi cativa as linhas de uxo nem as linhas de densidade constante. Isto e,
devido ao fato que os polin^omios de Legendre usados no calculo decarem com a dist^ancia (o
termo monopolarnas func~oes e eodominante). Perto dasuper cieas linhasde densidade
constantepossuemaformadasuperfcieconsiderada,longedoobjetoestaslinhasv~ao-se
defor-mando ate tornar-se quase esferas. Para o caso com octopolo, a equac~ao (5.1) possui soluc~oes
que se afastam pouco do caso esferico. Podemos ver na Figura 5.1 o caso oblato (Q < 0),
onde ocompartamentodo uidon~aodifere muitodocaso de simetriaesferica. Nocasoprolato
(Q >0) o comportamentoe semelhante.
5.2 Esfera Rgida e Buraco Negro de Schwarzschild
Acel-erado (Metrica C) e p =
Aslinhasde uxo ededensidadeconstantes paraoscasosde umaesferargidaeumburaco
negro acelerado com p = est~ao resolvidas no Ap^endice B. No primeiro caso encontramos
uma soluc~ao numerica do problema e no segundo uma soluc~ao analtica usando um metodo
perturbativo.
5.3 Esfera Rgida e Buraco Negro de Schwarzschild com
Halo Dipolar e p =
Aslinhasde uxo e de densidadeconstantepara oscasos de umaesfera rgidae umburaco
Figura 5.1: Resultados numericos para aslinhas de uxo e de densidade constante nocaso de
uma estrela com deformac~ao oblata ep=. Na gura Q= 2, Æ=0:3, e os valores de a e b,
dacondic~aonoin nito(3.10), s~ao1.25 e0.75 respectivamente. Osvaloresdas constantes (a;b)
correspondem a um uido movimentando-se uniformemente, longe do nucleo, com velocidade
0:6c (c a velocidadeda luz), ver [3].
5.4 Esfera Rgida e Buraco Negro de Schwarzschild com
Halo Dipolar e p = ( 1)
As linhas de uxo e de densidade constantepara oscasos de uma esfera rgida e um
numerica. Tambemcalculamos aacrec~aodos diferentes casos possveise comparamosos
Conclus~oes
Neste trabalho resolvemos os problemas de buraco negro e esfera rgida aceleradas, como
tambem os problemas de esfera rgida e buraco negro com halo dipolar. Um dos principais
problemas foi encontrar as condic~oes de contorno apropriadas para os casos com halo dipolar,
em particular achamos(B.47) como condic~ao de contorno valida.
Descobrimos que uma forma de detetar a acelerac~ao em um uido potencial e mediante
as linhas de densidade constante, ja que as linhas de uxo n~ao diferem muito dos casos n~ao
acelerados [1, 3].
Poroutrolado,obtivemosqueotermon~aolinearqueaparece naequac~aodiferencialparcial
para o caso quando 1 < < 2 afeta levemente as linhas de uxo e de densidade constante.
Devido aofator daentalpia em(C.4), os valores das linhas de densidade s~ao afetados.
Tambem, nos casos dos buracos negros, calculamos a acrec~ao para diferentes valores da
constante . Vemos que,emgeral,paraocaso de densidadeconstantenoin nito(n
1
), ovalor
da acrec~ao aumenta ao diminuir o valor da constante , sendo maior no caso com dipolo do
que nocaso sem dipolo.
A variac~ao do potencial da velocidade entre o caso linear e n~ao linear e, em media, de
No contexto computacional, foram desenvolvidos codigos e cientes para resolver equac~oes
diferenciais parciaiscom condic~oes de contorno de Neumann eDirichlet. Ocodigo baseado no
metodoStabilized Error Vector Propagation [27, 28]encontra-se comentado noAp^endice A.
Comoalgumasdasperspectivasdotrabalhopodemosdizerque,ometodode halos
multipo-lares pode ser usado para modelar outras estruturas douniverso, de pequena e grande escala,
tais como galaxias e nebulosas. Estas estruturas podem ser vistas, aproximadamente, como
constitudas por um nucleo e um halo de materia ao redor dele. A incorporac~ao de rotac~ao
nos casos com 1 < < 2 tratados nesta tese e um tema importante, ja que incorpora novos
elementosa seremdiscutidos e,tambem, poderia-secon rmaroscomportamentosencontrados
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Codigo Computacional para o Calculo das EDP
Par^ametros do programa
nmaxi= numerototal de nodos noeixo i. Seu valorvemdado por
nmaxi=nblocos*numi-(nbloc os-1 ),
com nbloques o numero de blocos que foi dividido o domnio e numi o numero de nodos no
eixo i porbloco, ver [27, 28].
nmaxj= numerototal de nodos noeixo j.
raio= raiodasuperfcieda esfera, pode ser tambemo horizontedo buraconegro.
du= intervaloentre osnodos noeixo i.
dv= intervaloentre osnodos noeixo j.
Comentarios do Programa
Nossoprogramal^easinformac~oesdas matrizes(4.9)obtidasdadiscretizac~aodaEDP(4.1),
e logo resolve o problema para condic~oes de contorno dadas. A soluc~ao nal e apresentada no
arquivo\solucao.dat".
O domnio do problema e dividido usando uma rede ortogonal de nodos como na Figura
4.1. Os dados das matrizes C's devem ser colocados em um arquivo \cs.dat"em 5 colunas
(C1;C2;C3;C4;C5) deixando primeiro xo ondice i e fazendo variar o ndice j, uma vez
completado repete-se o procedimento com ondice i+1, e assim ate nalizar com os dados.
Para ocaso de condic~oes de contorno de Neumann,epreferveldiscretizar asderivadasusando
os puntos medios entre os nodos, ver (4.7). Com isto, os nodos localizados em (i = 1;N
i )
ou (j = 1;N
j
), dependendo de onde esteja localizada a condic~ao de Neumann, encontram-se
de contorno de Dirichlet, e prefervel usar a discretizac~ao (4.5), ja que nesse caso os pontos
(i = 1;N
i
) ou (j =1;N
j
), dependendo de onde esteja a condic~ao de Dirichlet, est~ao sobre as
bordas(L1;L2;L3;L4)(ver Figura4.1).
Para esclarecer o procedimento vejamos, como exemplo, o caso daesfera rgida + p= e
uidouniformeeconstantenoin nito. Fazemosoeixoioeixodavariavelueoeixoj oeixoda
variavelv, de talforma que: L1 representa oraio daesfera, L2 representa a linha v = 1,L3
representa a linha v =1e L4 representa a borda noin nito. As condic~oes de contorno para o
programas~ao: (i)queo uidon~aoatravesseaslinhasL1,L2,L3(condic~oesdeNeumann),e(ii)
queemL4o uidosejauniformeecomvelocidadeconstante(condic~aode Dirichlet). Portanto,
usando adiscretizac~ao(4.7), temosque oponto j =1 encontra-se emv = 1 v=2,oponto
j = N
j
encontra-se em v = 1+v=2 e o ponto i = 1 equivale ao valor u = raio u=2.
Para todos aqueles pontos que se encontram fora do domnio devemos fazer as constantes C's
de (4.9) iguais a zero. Para uma condic~ao de Dirichlet os C's n~ao s~ao zero. Os pontos fora e
dentrododomniodevem ser consideradosnonumerodenodosnos par^ametrosnmaxienmaxj.
Nosso programa esta feito para que em N
j
sempre tenhamos condic~oes de contorno de
Dirichlet, obviamente isto n~aoe problema na maioria das aplicac~oes ja que sempre e possvel
colocar os eixos de talforma que uma das bordas satisfaca essa condic~aoem N
j
. Os dadosna
borda L4 devem ser colocada no arquivo \bordeL4.dat"em forma de columna comecando por
i=1. Nocaso de ter condic~oes de Dirichlet nas bordas(L1;L2;L3), devemser descomentadas
as linhas correspondentes na sec~ao Bordas no programa. Na borda L1 sempre e necessario
ingressar dados, seja qual for a condic~ao de contorno, devido a que o metodo SEVP precisa
desses dados para comecar os calculos no primeiro bloco [27]. Tambem, no programa, est~ao
especi cados os lugares onde e preciso colocar outras condic~oes de contorno para as bordas
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
c Programa para o calculo da EDP com p= mediante o metodo SEVP (Esfera Rgida) c
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc integer numi,nmaxi,nmaxj,nmaxR,nblocos doubleprecision raio,du,dv,vinf parameter (numi=5,nmaxR=nmaxj-2,nmaxj=102,nblocos=15 +,nmaxi=nblocos*numi-(nblocos-1),raio=1.5d0 +,du=0.7d0,dv=2.d0/(nmaxR.)) integer comeco,fim,n,iter,i,j doubleprecision pos(nblocos+1),error(nmaxR,nblocos) +,dado(nmaxR,nblocos+1),phih(3,nmaxj) +,dado2(nmaxR,nblocos+1) +,phip(nmaxi,nmaxj) +,QI(nmaxR,nmaxR,nblocos-1),RI(nmaxR,nmaxR,nblocos) +,val1,val2,val3,val4,val5 +,c1(nmaxi,nmaxj),c2(nmaxi,nmaxj),c3(nmaxi,nmaxj) +,c4(nmaxi,nmaxj),c5(nmaxi,nmaxj),hold(nmaxi,nmaxj) ccccccccc c Dados c ccccccccc open(unit=8,file='cs.dat') do 605 i=1,nmaxi do 605 j=1,nmaxj read(8,*) val1,val2,val3,val4,val5 c1(i,j)=val1 c2(i,j)=val2 c3(i,j)=val3 c4(i,j)=val4 605 c5(i,j)=val5 close(8) cccccccccc c Bordas c cccccccccc open(unit=8,file='bordeL1.dat') do 610 j=1,nmaxj c read(8,*) val1 c 610 phip(1,j)=val1 610 phip(1,j)=10.d0 close(8) c open(unit=8,file='bordeL2.dat') c do 615 i=1,nmaxi c read(8,*) val1 c 615 phip(i,1)=val1 c close(8) c open(unit=8,file='bordeL3.dat') c do 620 i=1,nmaxi c read(8,*) val1 c 620 phip(i,nmaxj)=val1 c close(8) open(unit=8,file='bordeL4.dat') do 625 j=1,nmaxj
625 phip(nmaxi,j)=val1 close(8) do 635 j=1,nmaxR 635 dado(j,nblocos+1)=phip(nmaxi,j+1) do 637 j=1,nmaxR 637 dado(j,1)=phip(1,j+1) do 640 n=2,nblocos do 640 j=1,nmaxR 640 dado(j,n)=0 ccccccccccc c Avancar c ccccccccccc pos(1)=1 do 170 n=1,nblocos 170 pos(n+1)=n*numi-(n-1) call matriz(RI,QI,c1,c2,c3,c4,c5,pos) do 300 n=1,nblocos iter=0 if (n .eq. 1) then comeco=pos(n)+1 fim=pos(n+1)-1 do 180 j=1,nmaxR 180 phip(comeco,j+1)=dado(j,n)
else if (n .le. nblocos) then
comeco=pos(n) fim=pos(n+1)-1 do 185 j=1,nmaxR 185 phip(comeco,j+1)=dado(j,n) end if 190 continue call calculo(comeco,fim,phip,c1,c2,c3,c4,c5) do 210 j=1,nmaxR 210 error(j,n)=dado(j,n+1)-phip(pos(n+1),j+1) do 220 i=1,2 do 220 j=1,nmaxj 220 phih(i,j)=0 if (n .eq. 1) then do 230 j=1,nmaxR do 230 k=1,nmaxR 230 phih(2,j+1)=phih(2,j+1)+error(k,n)*RI(k,j,n)
else if (n .le. nblocos) then
do 245 j=1,nmaxR do 245 k=1,nmaxR 245 phih(2,j+1)=phih(2,j+1)+error(k,n)*RI(k,j,n) do 250 j=1,nmaxR do 250 k=1,nmaxR 250 phih(1,j+1)=phih(1,j+1)+phih(2,k+1)*QI(k,j,n-1) end if
if (iter .eq. 5) goto 270
if (n .eq. 1) then
do 255 j=1,nmaxj
c CONDICAO L1 NEUMANN phip(1,j)=phip(2,j) c CONDICAO L1 DIRICHLET c phip(1,j)=phip(1,j) cccccccccccccccccccccccccccccc 255 continue
else if (n .le. nblocos) then
do 260 j=2,nmaxj-1 phip(pos(n),j)=phip(pos(n),j)+phih(2,j) 260 phip(pos(n)-1,j)=phip(pos(n)-1,j)+phih(1,j) end if iter=iter+1 goto 190 270 continue 300 continue cccccccccccccc c Retroceder c cccccccccccccc do 500 n=nblocos-1,1,-1 if (n .eq. 1) then comeco=pos(n)+1 fim=pos(n+1)-1 else comeco=pos(n) fim=pos(n+1)-1 end if iter=0 do 305 j=1,nmaxR dado2(j,n+1)=phip(fim+1,j+1) 305 error(j,n)=dado2(j,n+1)-dado(j,n+1) 310 do 320 i=1,2 do 320 j=1,nmaxj 320 phih(i,j)=0 if (n .eq. 1) then do 330 j=1,nmaxR do 330 k=1,nmaxR 330 phih(2,j+1)=phih(2,j+1)+error(k,n)*RI(k,j,n)
else if (n .le. nblocos-1) then
do 340 j=1,nmaxR do 340 k=1,nmaxR 340 phih(2,j+1)=phih(2,j+1)+error(k,n)*RI(k,j,n) do 345 j=1,nmaxR do 345 k=1,nmaxj 345 phih(1,j+1)=phih(1,j+1)+phih(2,k+1)*QI(k,j,n-1) end if if (n .eq. 1) then do 350 j=1,nmaxj phip(2,j)=phip(2,j)+phih(2,j) cccccccccccccccccccccccccccccccccc c CONDICAO L1 NEUMANN phip(1,j)=phip(2,j) c CONDICAO L1 DIRICHLET c phip(1,j)=phip(1,j)
cccccccccccccccccccccccccccccccccc
350 continue
else if (n .le. nblocos-1) then
do 360 j=2,nmaxj-1 phip(pos(n),j)=phip(pos(n),j)+phih(2,j) 360 phip(pos(n)-1,j)=phip(pos(n)-1,j)+phih(1,j) end if call calculo(comeco,fim,phip,c1,c2,c3,c4,c5) do 370 j=1,nmaxR 370 error(j,n)=dado2(j,n+1)-phip(fim+1,j+1) iter=iter+1
if (iter .eq. 5) goto 390
goto 310 390 continue 500 continue open(unit=9, file='solucao.dat') write(9,*) 'numi=',numi write(9,*) 'nmaxi=',nmaxi write(9,*) 'nmaxj=',nmaxj write(9,*) 'nblocos=',nblocos write(9,*) 'du=',du write(9,*) 'dv=',dv write(9,*) 'raio=',raio do 565 i=1,nmaxi do 565 j=1,nmaxj 565 write(9,*) i,j,phip(i,j) close(9) end cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
c Subrotina para o calculo dos pontos da rede particular c
cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc subroutine calculo(comeco,fim,phip,c1,c2,c3,c4,c5) integer numi,nmaxj,nblocos,nmaxR parameter (numi=5,nmaxR=nmaxj-2,nmaxj=102,nblocos=15 +,nmaxi=nblocos*numi-(nblocos-1)) integer comeco,fim,i,j doubleprecision phip(nblocos*numi-(nblocos-1),nmaxj) +,c1(nmaxi,nmaxj),c2(nmaxi,nmaxj),c3(nmaxi,nmaxj) +,c4(nmaxi,nmaxj),c5(nmaxi,nmaxj) do 202 i=comeco,fim ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc c CONDICAO L2 NEUMANN phip(i,1)=phip(i,2) c CONDICAO L2 DIRICHLET c phip(i,1)=phip(i,1) c CONDICAO L3 NEUMANN phip(i,nmaxj)=phip(i,nmaxj-1) c CONDICAO L3 DIRICHLET c phip(i,nmaxj)=phip(i,nmaxj) ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc do 200 j=2,nmaxj-1 200 phip(i+1,j)=c2(i,j)**(-1)*(-c1(i,j)*phip(i,j)-c3(i,j)*phip(i-1,j) +-c4(i,j)*phip(i,j+1)-c5(i,j)*phip(i,j-1))
202 continue
return
end
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
c Subrotina para o calculo das matrizes que relacionam os erros c
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc subroutine matriz(RI,QI,c1,c2,c3,c4,c5,pos) integer numi,nmaxj,nblocos,nmaxR parameter (numi=5,nmaxR=nmaxj-2,nmaxj=102,nblocos=15 +,nmaxi=nblocos*numi-(nblocos-1)) integer comeco,fim,n,i,j,k doubleprecision sum,phih(3,nmaxj),Rmomen1(nmaxR,nmaxR) +,Rmomen2(nmaxR,nmaxR),QI(nmaxR,nmaxR,nblocos) +,RI(nmaxR,nmaxR,nblocos),pos(nblocos+1) +,c1(nmaxi,nmaxj),c2(nmaxi,nmaxj),c3(nmaxi,nmaxj) +,c4(nmaxi,nmaxj),c5(nmaxi,nmaxj) do 100 n=1,nblocos if (n .eq. 1) then comeco=pos(n)+1 fim=pos(n+1)-1 else comeco=pos(n) fim=pos(n+1)-1 end if do 40 k=2,nmaxj-1 do 15 i=1,3 do 15 j=1,nmaxj 15 phih(i,j)=0 phih(2,k)=1 if (n .eq. 1) then phih(1,k)=1 end if if (n .gt. 1) then do 18 j=1,nmaxR 18 phih(1,j+1)=QI(k-1,j,n-1) end if do 30 i=comeco,fim phih(1,1)=phih(1,2) phih(2,1)=phih(2,2) phih(1,nmaxj)=phih(1,nmaxj-1) phih(2,nmaxj)=phih(2,nmaxj-1) do 20 j=2,nmaxj-1 20 phih(3,j)=c2(i,j)**(-1)*(-c1(i,j)*phih(2,j)-c3(i,j)*phih(1,j) +-c4(i,j)*phih(2,j+1)-c5(i,j)*phih(2,j-1)) do 25 j=2,nmaxj-1 phih(1,j)=phih(2,j) 25 phih(2,j)=phih(3,j) 30 continue
if (n .eq. nblocos) then
do 33 m=2,nmaxj-1
33 Rmomen2(k-1,m-1)=phih(2,m)
else
Rmomen1(k-1,m-1)=phih(1,m)
35 Rmomen2(k-1,m-1)=phih(2,m)
end if
40 continue
if (n .eq. nblocos) then
call inver(Rmomen2) do 45 i=1,nmaxR do 45 j=1,nmaxR 45 RI(i,j,n)=Rmomen2(i,j) goto 100 end if call inver(Rmomen2) do 50 i=1,nmaxR do 50 j=1,nmaxR RI(i,j,n)=Rmomen2(i,j) sum=0 do 55 k=1,nmaxR 55 sum=sum+Rmomen2(i,k)*Rmomen1(k,j) 50 QI(i,j,n)=sum 100 continue return end ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc
c Subrotina para o calculo da inversa de uma matriz c
ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc subroutine inver(mat) integer nmaxj,nmaxR parameter (nmaxR=nmaxj-2,nmaxj=102) doubleprecision mat(nmaxR,nmaxR),mat1(nmaxR),mat2(nmaxR) integer i1,ii1,i2,i,j i1=nmaxR-1 do 110 i=1,i1 mat1(1)=1./mat(i,i) mat(i,i)=1. do 112 j=1,nmaxR 112 mat(i,j)=mat(i,j)*mat1(1) ip1=i+1 do 120 i1=ip1,nmaxR 120 mat1(i1)=mat(i1,i) do 125 i1=ip1,nmaxR 125 mat(i1,i)=0. do 127 j=1,nmaxR 127 mat2(j)=mat(i,j) do 135 i1=ip1,nmaxR do 135 j=1,nmaxR 135 mat(i1,j)=mat(i1,j)-mat1(i1)*mat2(j) 110 continue mat1(1)=1./mat(nmaxR,nmaxR) mat(nmaxR,nmaxR)=1. do 140 j=1,nmaxR 140 mat(nmaxR,j)=mat(nmaxR,j)*mat1(1) do 150 i=2,nmaxR do 155 i2=1,i
