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Programa de PósGraduação em Matemáti a

CICLOS LIMITES EM SISTEMAS LINEARES POR

PARTES COM DUAS ZONAS NO PLANO

Programa de PósGraduação em Matemáti a

CICLOS LIMITES EM SISTEMAS LINEARES POR

PARTES COM DUAS ZONAS NO PLANO

Luiz Fernando Gonçalves

Orientador: Prof. Dr. Luis Fernando de Osório Mello

DissertaçãosubmetidaaoProgramade PósGraduaçãoem

Matemáti a omo parte dos requisitos para obtenção do

Título de Mestre em Ciên iasemMatemáti a

Área de Con entração: Equações Diferen iais

Durante odesenvolvimentodeste trabalhoo autor re ebeu auxílionan eiro daCAPES

Programa de PósGraduação em Matemáti a

CICLOS LIMITES EM SISTEMAS LINEARES POR

PARTES COM DUAS ZONAS NO PLANO

Luiz Fernando Gonçalves

Dissertaçãoaprovadaporban aexaminadoraem16defevereirode

2016, onferindo ao autor o título de Mestre em Ciên ias em

Matemáti a.

Ban a Examinadora:

Prof. LuisFernando de OsórioMello(Orientador)

Prof. Fabio S al o Dias (Co-orientador)

Prof. Tiago de Carvalho

Prof. Lu as Ruiz dos Santos.

Aos meus amados pais José e Ilma;

Aos meus grandes amigos;

A Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI), emespe ial aoInstituto de Matemáti a e

Computação (IMC), pela oportunidadee realização deste trabalho.

Aosprofessores doIMC,pelaamizade,ensinamentos e onselhos queforammuito

impor-tantes paraminha formação.

Ameuorientador,LuisFernandode OsórioMello,pelograndeexemploprossional,

om-petên ia,dedi ação earte de ensinar.

A meus olegas doMestrado emMatemáti a daUNIFEI.

A minha amadamãe que sempre meapoiou e en orajou nesta aminhada.

A meu amado pai, pelo exemplode vida,força, in entivo e dedi ação.

Aos meus grandes amigose familiares pelo arinho eapoio.

O objetivo desta dissertação é abordar aspe tos qualitativos da teoria dos Sistemas

Diferen iaisSuavesporPartes,também onhe idos omoSistemasDes ontínuos.

Primei-ramenteapresentamos osobjetos fundamentaise propriedades gerais desta teoria,assim

omo umaversão daApli açãodePoin aréparasistemassuavesporpartes. Emseguida,

apresentamos o Método da Regularização de ampos vetoriais suaves por partes om o

propósito de investigar a regularização de poli-trajetórias fe hadas elementares.

Poste-riormente, partimos ao estudo de i los limites em ampos vetoriais suaves por partes

lineares.

The aim of this work is to dis uss qualitative features of the theory of Pie ewise

Dierential Systems, also known as dis ontinuous systems. First we present the main

obje ts and general properties of this theory, and a version of the Poin aré map for

pie ewise dierentialsystems. Thereafter wepresent the RegularizationMethodin order

toinvestigatetheregularizationofelementary losedpolytraje tories. Lastly,westarted

the study of limit y les in pie ewise linear dierentialsystems.

Agrade imentos ii

Resumo iv

Abstra t v

Índi e vi

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas x

Introdução 1

1 Fundamentos da Teoria Qualitativa 3

1.1 Resultados Clássi os . . . 3

2 Introdução aos Sistemas Suaves por Partes 13

2.1 Sistemassuaves porpartes . . . 13

2.2 Apli açãode Poin aré . . . 26

3 Regularização de ampos vetoriais suaves por partes 32

3.1 O métododa regularização . . . 32

4 Ci los limites em ampos vetoriais lineares por partes no plano 65

4.1 Resultados preliminares . . . 66

4.2 Ci los Limites . . . 79

Con lusões 99

1.1 Apli açãode Poin aré. . . 9 2.1 Ar ode ostura. . . 15 2.2 Ar ode es ape. . . 15 2.3 Ar ode deslize. . . 15 2.4 Campo de Filippov. . . 17 2.5 Sela de Filippov. . . 19 2.6 Sela de Filippov. . . 19 2.7 Nó de Filippov. . . 20 2.8 Nó de Filippov. . . 20

2.9 Exemplo de poli-trajetória. . . 21

2.10 Exemplo de poli-trajetóriafe hada dotipo I. . . 22

2.11 Exemplo de poli-trajetóriafe hada dotipo II. . . 22

2.12 Exemplo de poli-trajetóriafe hada dotipo III. . . 22

2.13 Retrato de fase do ampo

Z

1

dado em(2.6). . . 24

2.14 Retrato de fase do ampo

Z

2

dado em(2.7). . . 24

2.15 Retrato de fase do ampo

Z

3

dado em(2.8). . . 25

2.16 Retrato de fase do ampo

Z

4

dado em(2.9). . . 25

2.17 Divisão de uma poli-trajetóriafe hada

γ

. . . 31

3.1 Grá ode uma função de transição. . . 33

3.2 Faixade regularização . . . 34

3.4 Regularizaçãode uma

Σ

-dobra. . . 38

3.5 Interseção entre

ϕ

ε

e

g

. . . 40

3.6 Regularizaçãode um ponto singularhiperbóli o do ampode Filippov. . . 42

3.7 Poli-trajetória

γ

. . . 44

3.8 Seção transversal

Σ

0

. . . 45

3.9 Anel

B

ontendo

γ

. . . 45

3.10 Órbitaperiódi a

γ

ε

. . . 48

3.11 ÓrbitaPeriódi a

γ = Σ

. . . 51

3.12 Poli-trajetóriado tipoIII. . . 58

3.13 Anel ontendo

γ

. . . 59

3.14 Órbitade

Z

ε

entre asseções transversais. . . 61

3.15 Grá oda função

ψ

. . . 61

4.1 Involução

ψ

. . . 69

4.2 Função

∆

. . . 72

4.3 Ci lo limite estável. . . 76

4.4 Ci lo limite instável. . . 76

4.5 Órbitaperiódi a

γ

. . . 77

4.6 Solução

γ

e seus pontos de interse ção om areta de separação

Σ

. . . 81

4.7 Retrato de fase de

X

+

no aso (i).. . . 83 4.8 Retrato de fase de

X

+

no aso (ii). . . 84 4.9 Retrato de fase de

X

+

no aso (iii). . . 85 4.10 Retrato de fase de

X

+

no aso (iv). . . 87 4.11 Retrato de fase de

X

+

no aso (v). . . 88

4.12 Teorema de Rollepara urvasintegrais. . . 90

4.13 Curvas

C

f

e

C

F

om dois pontosde interseção em

S

. . . 92

4.14 Curvas

C

f

,

C

F

e

C

f

2

. . . 94

4.1 Tabela om expressões de

f

1

,

λ

e

δ

. . . 95 4.2 Tabela om expressões para

f

1

,

f

2

,

λ

e

δ

. . . 96 4.3 Expressões para

f

1

,

λ

e

δ

. . . 97

AsEquações Diferen iaisOrdinárias são a linguagem preferidados matemáti os para

investigar fenmenos da natureza. Todavia, sabemos que muitas delas não admitem

soluçõesexplí itas eisso motivougrandes matemáti osa bus ardiferentes alternativas.

Consequentemente, aforma omoasEquaçõesDiferen iaisOrdináriaseramestudadas

mudou drasti amente nonal dosé ulo

XIX

. Tal fato se deve a Henri Poin aré após a publi açãodeseutrabalhoMémoiresurles ourbes déniespar uneéquationdiérentielle

em que Poin aréintroduz uma té ni ainovadora paraoestudo das EDO'sque foiabase

do quehoje hamamosde Teoria Qualitativadas Equações Diferen iais Ordinárias.

Esta teorianos dáimportantes esigni ativosresultados eferramentasparao estudo

do omportamentodasórbitasdaequaçãodiferen ialeaanálisedeseuretratodefase,sem

onhe er as soluções explí itas da mesma, através de aspe tos geométri os, topológi os,

analíti os,dentre outros.

Atualmente, diversos modelos utilizados em problemas rela ionados à engenharia,

omo teoria de ontrole e ir uitos elétri os, e biologia são sistemas diferen iais não

di-feren iáveis em sua totalidade, mas em diferentes partes. Tais sistemas onsistem de

diferentes ampos vetoriais denidos em regiões distintas separados por uma urva de

des ontinuidade e são onhe idos omo sistemas suaves por partes ou sistemas

des ontí-nuos.

Estudos pioneiros ini iados por Andronov [1℄ e Filippov [5℄ onduziram a uma

fun-damentação teóri a para este tipo de problema e desenvolveram ertas onvenções para

a transição das órbitas entre as diferentes regiões, visando denir os objetos bási os da

Esta dissertação se baseia no estudo de ampos vetoriais suaves por partes no plano

om duas zonas e está organizada daseguintemaneira.

No Capítulo 1 re ordamos alguns teoremas fundamentais da Teoria Qualitativa das

EquaçõesDiferen iaisOrdinárias. Emseguida,noCapítulo2,partimosàdeniçãodeum

ampovetorial suave por partese de seus objetos fundamentais. OMétodo da

Regulari-zação de ampos vetoriais des ontínuos, introduzidoem[16℄ porSotomayor e Teixeira, é

apresentado no Capítulo 3. Tal método onsiste na aproximação de um ampo vetorial

suaveporpartes poruma famíliaaum parâmetro de amposvetoriaissuaves, donde

po-demosapli arateoria lássi a etentarobterinformaçõessobreo ampodes ontínuo. No

Capítulo4,partimosaoestudo dauni idadede i loslimitesem amposvetoriaissuaves

Fundamentos da Teoria Qualitativa

Neste apítuloapresentaremosalguns on eitosbási oseresultados lássi osdaTeoria

Qualitativadas EquaçõesDiferen iais queserão de grandeimportân ianode orrerdeste

trabalho. Este apítuloé baseado em [18℄.

1.1 Resultados Clássi os

Um ampovetorialde lasse

C

r

,

r

≥ 1

,denidoemumaberto

U

∈ R

n

éumaapli ação de lasse

C

r

,

F : U

−→ R

n

aqual podemos asso iar uma equação diferen ial

x

′

= F (x).

Denição 1.1.1. Um ponto

x

0

∈ R

n

é dito ponto singular do ampo

F

se

F (x

0

) = 0

. Se

F (x

0

)

6= 0

então dizemos que

x

0

é ponto regular de

F

.

As soluções desta equação diferen ialsão funções diferen iáveis

ϕ : I

∈ R −→ U

que satisfazem

d

dt

ϕ(t) = F (ϕ(t)),

para todo

t

∈ I

.

Essas soluções, dada uma ondição ini ial, são hamadas de trajetórias, urvas

ampo

F

podemosestudarimportantesaspe tosqualitativossobreoretratode fasedeste sistema, sem ne essariamenteen ontrar asolução explí ita daequação diferen ial.

Denição 1.1.2. Uma apli ação

f : Ω

⊂ R × R

n

_{−→ R}

n

é dita Lips hitziana em

Ω

om relação a segunda variável, se existe uma onstante

K > 0

tal que

|f(t, x) − f(t, y)| ≤ K|x − y|,

para todo

(t, x), (t, y)

∈ Ω

.

Teorema1.1.1(Existên iaeUni idadedePi ard). Seja

f : Ω

⊂ R×R

n

_{−→ R}

n

ontínua

e Lips hitziana om relaçãoà segunda variávelem

Ω = I

a

× B

b

om

I

a

=

{t : |t − t

0

| ≤ a}

e

B

b

=

{x : |x − x

0

| ≤ b}

. Se

|f| ≤ M

em

Ω

, existe uma úni a solução de







x

′

_{= f (t, x)}

x(t

0

) = x

0

denida em

I

α

, om

α = min

{a, b/M}

.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Denição 1.1.3. Uma solução

ϕ : I

−→ R

n

de

x

′

_{= f (t, x)}

é dita solução máxima se

nãoadmitenenhumaextensãoquetambémsejaumasolução,ou seja,dadaqualqueroutra

solução

ψ : J

−→ R

n

tal que

I

⊂ J

e

ϕ = ψ

|

I

então

I = J

. Dadoum sistema de

n

equações diferen iais



















x

′

1

= a

11

(t)x

1

+

· · · + a

1n

(t)x

n

+ b

1

(t)

. . . . . .

x

′

n

= a

n1

(t)x

1

+

· · · + a

nn

(t)x

n

+ b

n

(t)

(1.1)

om

a

ij

e

b

i

,

i, j = 1, . . . , n

funções ontínuas a valores reais ou omplexos denidas em um intervalo

I

, podemos rela ionáloa uma equação vetorial

X

′

= A(t)X + B(t),

(1.2)

emque

X = (x

1

, . . . , x

n

)

,

A(t) = (a

ij

(t))

éa matrizde ordem

n

ujoselementossão

a

ij

e

B(t) = (b

i

(t))

é ovetor oluna ujos elementos são

b

i

(t)

, daseguinteforma: Umafamília

Denição 1.1.4. Uma matriz

φ(t)

de ordem

n

é dita seruma matriz fundamental de

X

′

= A(t)X

(1.3)

se suas olunas formam uma base do espaço de soluções de (1.3).

Proposição 1.1.1 (Fórmula de Liouville). Seja

φ(t)

uma matriz fundamental de (1.3). Então, para todo

t

∈ I

e

t

0

∈ I

xado,

det φ(t) = det(φ(t

0

))exp

 Z

t

t

0

tr(A(s))ds



(1.4)

em que

tr(A)

é o traço da matriz

A

.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Denição 1.1.5. Uma apli ação

ϕ : R

× R

n

_{−→ R}

n

de lasse

C

1

é dita umuxo se:

(i)

ϕ(0, x) = x

;

(ii)

ϕ(t + s, x) = ϕ(t, ϕ(s, x))

, para todo

x

∈ R

n

e

t, s

∈ R

.

Opróximo teorema nos garante queas soluções de uma equação diferen ial possuem

a mesma lasse de diferen iabilidadedo ampovetorial quea dene.

Teorema 1.1.2. Seja

∆

aberto de

R

n

. Considere

F : ∆

−→ R

n

um ampo vetorial de lasse

C

r

,

r

≥ 1

e a equação diferen ial

X

′

= F (X).

(1.5) Então,

(i) Para ada

x

∈ ∆

existe um intervalo aberto

I

x

onde está denida a úni a solução máxima

ϕ

x

de (1.5) tal que

ϕ

x

(0) = x

.

(ii) Se

y = ϕ

x

(s)

om

s

∈ I

x

, então

I

y

=

{r − s : r ∈ I

x

}

,

ϕ

y

(0) = y

e

ϕ

y

(t) = ϕ

x

(t + s)

, para todo

t

∈ I

y

.

(iii) O onjunto

D =

{(t, x) : x ∈ ∆, t ∈ I

x

}

é aberto em

R

× R

n

e a apli ação

ϕ(t, x) =

ϕ

x

(t)

é de lasse

C

r

. Além disso,

D

1

D

2

ϕ(t, x) = DF (ϕ(t, x))D

2

ϕ(t, x),

para todo

(t, x)

∈ D

.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Denição 1.1.6. A apli ação

ϕ :

D

−→ ∆

(t, x)

_{7−→ ϕ(t, x) = ϕ}

x

(t)

é hamadauxo gerado ou uxo lo al.

Denição 1.1.7. Uma órbita

γ

p

=

{ϕ(t, p) : t ∈ I

p

}

, não reduzida a um ponto, é dita fe hada ou periódi a se para todo

x

∈ γ

p

existe

t

0

> 0

tal que

ϕ(t, x) = ϕ(t + t

0

, x).

Noteque, paraequações diferen iaisdenidas atravésde ampos vetoriais

diferen iá-veis, temos uni idade de soluções. Neste aso, dadas duas órbitas

γ

p

e

γ

q

, então elas oin idem ou são disjuntas. De fato,se

q

∈ γ

p

então pelapropriedade de grupopodemos es rever

q = ϕ(t

0

, p)

elogo

ϕ(t, q) = ϕ(t, ϕ(t

0

, p)) = ϕ(t + t

0

, p)

e assim

γ

p

= γ

q

.

Denição 1.1.8. Considere

∆

1

e

∆

2

abertos de

R

n

e os ampos vetoriais

F

1

: ∆

1

−→ R

n

e

F

2

: ∆

2

−→ R

n

asso iados respe tivamente às equações diferen iais

X

′

_{= F}

1

(X)

e

X

′

_{= F}

2

(X)

. Sejam

ϕ

1

: D

1

−→ R

n

e

ϕ

2

: D

2

−→ R

n

os uxos gerados pelos ampos

F

1

e

F

2

, respe tivamente. Dizemos que

F

1

é topologi amente onjugado a

F

2

quando existe um homeomorsmo

h : ∆

1

−→ ∆

2

tal que

h(ϕ

1

(t, x)) = ϕ

2

(t, h(x)),

para todo

(t, x)

∈ D

1

.

inva-Proposição 1.1.2. Considere os ampos vetoriais

F

1

: ∆

1

−→ R

n

e

F

2

: ∆

2

−→ R

n

de lasse

C

r

eseja

h : ∆

1

−→ ∆

2

umdifeomorsmode lasse

C

r

. Então

h

éuma onjugação entre

F

1

e

F

2

se, e somente se,

Dh(p)F

1

(p) = F

2

(h(p)),

para todo

p

∈ ∆

1

.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Partiremos agora para a denição de seção transversal e para o teorema do uxo

tubularquenosgarantequepodemosolharasórbitasdeumaequaçãodiferen ial,denida

através de um ampo vetorial diferen iável, lo almente omo um ampo onstante na

vizinhança de um pontoregular.

Denição 1.1.9. Sejam

∆

⊂ R

n

aberto,

F : ∆

−→ R

n

um ampo vetorial de lasse

C

r

,

r

_{≥ 1}

, e o aberto

A

⊂ R

n−1

. Uma apli ação

f : A

−→ ∆

de lasse

C

r

é hamada de

seção transversal lo al de

F

, quando, para todo

a

∈ A

,

Df (a)

· R

n−1

e

F (f (a))

geram o espaço

R

n

.

Seja

Σ = f (A)

munido da topologia induzida por

∆

. Se

f : A

−→ Σ

for um home o-morsmo, dizemos que

Σ

é uma seção transversal de

F

.

Teorema 1.1.3 (TeoremadoFluxoTubular). Seja

p

umpontoregular do ampovetorial

F : ∆

−→ R

n

de lasse

C

r

e onsidere

f : A

−→ Σ

uma seção transversal lo alde

F

om

f (0) = p

. Então existe uma vizinhança

V

de

p

em

∆

e umdifeomorsmo

h : V

_{−→ (−ε, ε) × B}

de lasse

C

r

, om

ε > 0

e

B

uma bolaaberta em

R

n−1

entrada na origem, tal que

(i)

h(Σ

∩ V ) = {0} × B

; (ii)

h

éuma

C

r

 onjugaçãoentre

F

|

V

eo ampo onstante

Y : (

−ε, ε)×B −→ R

n

dado

por

Y

≡ (1, 0, 0, . . . , 0) ∈ R

n

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

O teorema do uxo tubular nos garante um bom onhe imento da dinâmi a de um

ampovetorialnavizinhançade um pontoregular. Já paravizinhanças de pontos

singu-lares, ou pontosde equilíbrio,temos uma grandevariedade de onjugações.

Denição 1.1.10. Dizemos que um pontode equilíbrio

p

de um ampo vetorial

F :

∆

_{⊂ R}

n

_{−→ R}

n

x = (x

1

, . . . , x

n

)

7−→ F (x) = (F

1

(x), . . . , F

n

(x))

de lasse

C

r

,

r

≥ 1

, é hiperbóli o se todos os autovalores da matriz de linearização

DF (p) =











∂F

1

(p)

∂x

1

· · ·

∂F

1

(p)

∂x

n

. . . . . . . . .

∂F

n

(p)

∂x

1

· · ·

∂F

n

(p)

∂x

n











possuem partes reais diferentes de zero.

Veremos agora o teorema de HartmanGrobman que garante que a dinâmi a na

vi-zinhança de um ponto singular hiperbóli o é topologi amente onjugada à do sistema

linearizado naquele ponto.

Teorema 1.1.4 (Teoremade HartmanGrobman). Sejam

F : ∆

⊂ R

n

_{−→ R}

n

um ampo

vetorialde lasse

C

r

,

r

≥ 1

,e

p

umpontosingularhiperbóli o. Então,existemvizinhanças

W

de

p

em

∆

e

V

da origem do

R

n

tais que o ampo

F

|

W

é topologi amente onjugado a

DF (p)

|

V

.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[17℄.

Partiremosagoraparaadenição datransformaçãode Poin aré,outransformaçãode

primeiroretorno, num ampovetorialdiferen iável,aqualserá muitoútilnestetrabalho.

Esta apli açãodes reveo omportamentodeum ampovetorialnuma vizinhançadeuma

órbita fe hada.

Considere um ampo vetorial

F : ∆

⊂ R

2

_{−→ R}

2

de lasse

C

r

,

r

≥ 1

, e uma órbita periódi a

γ

de período

τ

0

. Seja

Σ

uma seção transversal de

F

em

p

∈ γ

. A ontinuidade douxo

ϕ

de

F

garantequeparatodoponto

q

su ientementepróximode

p

,atrajetória

ϕ

q

(t)

permane e próxima de

γ

, para

t

perten ente a um intervalo ompa to. Então, tomando

Σ

0

⊂ Σ

su ientemente pequeno, podemos denir

π : Σ

0

⊂ Σ −→ Σ

x

_{7−→ π(x)}

em que

π(x)

é a primeira interseção de

ϕ

x

(t)

om

Σ

para

t > 0

. Note que

p

∈ Σ

0

e

π(p) = p

. PSfrag repla ements

Σ

x π(x)

p

γ

Figura 1.1: Apli açãode Poin aré.

Proposição 1.1.3. Seja

ϕ

um uxo de lasse

C

r

,

r

≥ 1

. Então a transformação de Poin aré

π : Σ

0

−→ π(Σ

0

)

é um difeomorsmo de lasse

C

r

.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[17℄.

Denição 1.1.11. Dizemos que uma órbitafe hada

γ

é estável quando

lim

t→∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0,

para todo

q

numa vizinhança de

γ

, om

d(ϕ(t, q), γ) = inf

{|ϕ(t, q) − r| : r ∈ γ}

. Denição 1.1.12. Considere um ampo vetorial

F : ∆

⊂ R

2

_{−→ R}

2

de lasse

C

r

,

r

_{≥ 1}

, e uma órbita periódi a

γ

. Se

γ

é uma órbita periódi a isolada, isto é, existe uma vizinhança

V

de

γ

tal que

γ

é a úni a órbitaperiódi a, dizemos que

γ

é um i lo limite. Proposição1.1.4. Considereum ampovetorial

F : ∆

⊂ R

2

_{−→ R}

2

de lasse

C

r

,

r

≥ 1

, e um i lo limite

γ

. Então temos somente os seguintes tipos de i los limites:

(i) Estável, isto é, quando

lim

t→∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0,

para todo

q

numa vizinhança

V

de

γ

; (ii) Instável, quando

lim

t→−∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0,

para todo

q

∈ V

; (iii) Semi-estável, quando

lim

t→∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0,

para todo

q

∈ V ∩ Extγ

e

lim

t→−∞

d(ϕ(t, q), γ) = 0,

para todo

q

∈ V ∩ Intγ

; ou vi e-versa.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Podemos observarqueos i loslimitesrepresentam ospontosxosisoladosda

apli a-ção de Poin aré

π

.

Opróximoteoremaestabele eumaexpressãoparaaderivadadaapli açãodePoin aré

e ondições para que uma órbita periódi a

γ

seja um i lo limite hiperbóli o, ou seja, quando

π

′

_(p)

_{6= 1}

, paraalgum

p

∈ γ

.

Teorema 1.1.5. Considere um ampo vetorial

F = (F

1

, F

2

) : ∆

⊂ R

2

_{−→ R}

2

de lasse

C

1

euma órbitaperiódi a

γ

de

F

deperíodo

t

0

. Sejam

Σ

umaseção transversal em

p

∈ γ

e

π : Σ

0

−→ Σ

a apli ação de Poin aré. Então a derivada da apli ação de Poin aré é dada por

π

′

(p) = exp

 Z

t

0

0

divF (γ(t))dt



,

(1.6) em que

divF (x) = D

1

F

1

(x) + D

2

F

2

(x)

. Em parti ular, se

R

t

0

0

divF (γ(t))dt < 0

então

γ

é estável e se

R

t

0

0

divF (γ(t))dt > 0

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Partiremos agora à denição dos onjuntos limites das órbitas de um ampo vetorial

a m de estudaro omportamentoassintóti o das órbitas de amposvetoriais noplano.

Denição 1.1.13. Sejam

∆

⊂ R

n

um aberto e

F : ∆

−→ R

n

um ampo vetorial de lasse

C

r

,

r

≥ 1

. Considere

ϕ(t, p)

a órbita de

F

passando pelo ponto

p

denida em seu intervalo máximo

I

p

= (I

−

(p), I

+

(p))

. Se

I

+

(p) =

∞

dene-se o onjunto

ω(p) =

{q ∈ ∆ : ∃{t

n

}

om

t

n

→ ∞

e

ϕ(t

n

)

→ q,

quando

n

→ ∞}.

Analogamente, se

I

−

(p) =

−∞

podemos denir

α(p) =

_{{q ∈ ∆ : ∃{t}

n

}

om

t

n

→ −∞

e

ϕ(t

n

)

→ q,

quando

n

→ ∞}.

Os onjuntos

ω(p)

e

α(p)

são hamados,respe tivamente,de onjunto

ω

limitee onjunto

α

limitede

p

.

Teorema 1.1.6. Sejam

∆

⊂ R

n

um aberto e

F : ∆

−→ R

n

um ampo vetorial de lasse

C

r

,

r

≥ 1

. Considere a semiórbita positiva

γ

+

_{(p) =}

_{{ϕ(t, p) : t ≥ 0}}

do ampo

F

pelo ponto

p

. Se

γ

+

_(p)

está ontida num sub onjunto ompa to

K

⊂ ∆

, então: (a)

ω(p)

6= ∅

;

(b)

ω(p)

é ompa to;

( )

ω(p)

é invariante por

F

, isto é, se

q

∈ ω(p)

então a urva integral de

F

por

q

está ontida em

ω(p)

;

(d)

ω(p)

é onexo.

Demonstração: A demonstração pode ser en ontrada em[18℄.

Teorema 1.1.7 (Teorema de Poin aréBendixson). Sejam

∆

⊂ R

2

um onjunto aberto

e

F : ∆

−→ R

2

um ampo vetorial de lasse

C

r

,

r

≥ 1

. Seja

ϕ(t, p)

uma órbita de

F

denida para todo

t

≥ 0

e suponha que a semiórbita positiva

γ

+

_(p)

esteja ontida num

sub onjunto ompa to

K

⊂ ∆

. Ainda, suponha que o ampo

F

possui um número nito de singularidadesem

ω(p)

. Então tem-se as seguintes possibilidades:

(a) Se

ω(p)

ontém somente pontos regulares, então

ω(p)

é umaórbita periódi a; (b) Se

ω(p)

ontémpontosregulares esingulares,então

ω(p)

onsistedeum onjunto de

órbitas, ada uma das quais tende a um desses pontos singulares quando

t

→ ±∞

. ( ) Se

ω(p)

não ontém pontos regulares,então

ω(p)

é um ponto singular.

Introdução aos Sistemas Suaves por

Partes

Neste apítuloapresentaremosas noçõesbási as dos sistemassuavesporpartes edos

amposvetoriaisdes ontínuos. Partiremosini ialmenteadeniçãodosobjetos

fundamen-tais dateoria lássi a, omo trajetórias e singularidades,tendo omo pontode partida a

teoria lássi a das equaçõesdiferen iaise as onvençõesde Filippov.

2.1 Sistemas suaves por partes

Uma família de sistemas diferen iais que tem hamado a atenção atualmente são os

sistemasdiferen iaissuavesporpartes. Emparti ular,podemosdenirumsistemasuave

por partes no plano om duas zonas, o qual será o prin ipal objeto de estudo deste

trabalho.

Considere

X

e

Y

amposvetoriaissuaves, istoé,de lasse

C

r

,

r

≥ 1

,denidos emum aberto onexo

M

⊂ R

2

ontendo aorigemeseja

f : M

⊂ R

2

_{−→ R}

uma funçãosuavetal

que

0

é valorregular. Suponha que o onjunto

Σ = f

−1

₍₀₎

_{∩ M}

é onexo e divide

M

em duas omponentes onexas dadas por

Σ

+

₌

_{{(x, y) ∈ M : f(x, y) > 0};}

Denição 2.1.1. Dados

X

e

Y

ampos vetoriais suaves denidos em

M

⊂ R

2

e dada

f : M

⊂ R

2

_{−→ R}

omo a ima, dene-seum ampo vetorial suavepor partes

Z

omo

Z(x, y) =







X(x, y), f (x, y)

_{≥ 0;}

Y (x, y), f (x, y)

_{≤ 0.}

(2.1)

Denotaremos

Z = (X, Y )

am de es lare eras omponentes do ampovetoriale por

Ω

r

_{(M, f )}

o onjunto dos ampos vetoriais suaves por partes om duas zonas no plano

denidos em

M

om o auxílio da função

f

. Note que não há problema em onsiderar as regiões

Σ

+

e

Σ

−

om fronteira omum

Σ

, noqual

Z

pode ser onsiderado bi-valuado. O onjunto

Σ =

{(x, y) ∈ M : f(x, y) = 0}

é hamado urva de separação ou urva de des ontinuidade.

A m de estabele er uma denição para as trajetórias de um sistema suave por

par-tes no plano om duas zonas e estudar sua dinâmi a, pre isamos de um ritério para a

transição de órbitasentre

Σ

+

e

Σ

−

através da urvade separação

Σ

. Nas regiões

Σ

+

e

Σ

−

a trajetória lo al de um ponto

p

é dada pela trajetória usual dos amposvetoriais suaves

X

ou

Y

. Assim, restaestender adenição de trajetóriapara pontosem

Σ

. Para isso, pre isaremos das onvenções de Filippov.

Dadoum ponto

p

∈ R

2

eum ampo vetorial suave

X :

R

2

_{−→ R}

2

(x, y)

7−→ X(x, y) = (X

1

(x, y), X

2

(x, y))

denotaremos por

Xf (p) =

_{hX(p), ∇f(p)i = X}

1

(p)

∂f (p)

∂x

+ X

2

(p)

∂f (p)

∂y

(2.2)

aderivadadire ionalde

f

aolongodo ampovetorial

X

,também onhe ida omoderivada de Lie. Analogamente,

X

2

f (p) =

hX(p), ∇Xf(p)i = X

1

(p)

∂Xf (p)

∂x

+ X

2

(p)

∂Xf (p)

∂y

.

(2.3) Denição 2.1.2. Seja

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

. Então, a) Um onjunto

Σ

C

_{⊂ Σ}

é dito ser de ostura se, para todo

p

∈ Σ

C

Xf (p)Y f (p) > 0

. Veja Figura 2.1. PSfrag repla ements

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura 2.1: Ar ode ostura.

b) Um onjunto

Σ

E

_{⊂ Σ}

éditoserdees apese,paratodo

p

∈ Σ

E

, tivermos

Xf (p) > 0

e

Y f (p) < 0

. Veja Figura 2.2. PSfrag repla ements

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura2.2: Ar o de es ape.

) Um onjunto

Σ

D

_{⊂ Σ}

édito serdedeslizese,paratodo

p

∈ Σ

D

, tivermos

Xf (p) < 0

e

Y f (p) > 0

. Veja gura 2.3. PSfrag repla ements

Σ

+

Σ

Σ

−

Note que os ar os de ostura, es ape e deslize denem abertos em

Σ

. Essa denição ex lui os pontos

p

∈ Σ

tais que

Xf (p) = 0

ou

Y f (p) = 0

. Tais pontos são hamados pontos de tangên ia. Note que se

Xf (p) = 0

e

X(p)

6= 0

então a trajetória que passa por

p

é tangente a

Σ

. Além disso, ex lui os pontos de

Σ

que são singularidades de

X

ou de

Y

. Tais pontos o orrem nas fronteiras

∂Σ

C

,

∂Σ

E

e

∂Σ

D

dos ar os

Σ

C

,

Σ

E

e

Σ

D

, respe tivamente. Denição 2.1.3. Seja

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

. O ampo vetorial suave

X

possui uma dobra ou tangên ia quadráti a om

Σ

em

p

∈ Σ

se

Xf (p) = 0

e

X

2

_{f (p)}

_{6= 0}

. Dizemos

que

p

é uma dobra:

a) invisível de

Z

se

Xf (p) = 0

e

X

2

_{f (p) < 0}

. Denimos analogamente uma dobra

invisível de

Z

que seja tangên ia quadráti a de

Y

om

Σ

. b) visívelde

Z

se

Xf (p) = 0

e

X

2

_{f (p) > 0}

. Denimosanalogamenteumadobravisível

de

Z

que seja tangên ia quadráti a de

Y

om

Σ

.

Um ponto

p

∈ Σ

é dito uma

Σ

-dobra de Z se forponto de tangên ia quadráti a apenas do ampo

X

, ou apenas do ampo

Y

, om

Σ

.

Denição 2.1.4. Um ampo vetorial suave

X

possui uma tangên ia úbi a om

Σ

em

p

_{∈ Σ}

se

Xf (p) = X

2

_{f (p) = 0}

e

X

3

_{f (p)}

_{6= 0}

. Denição 2.1.5. Seja

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

. Dizemos que uma singularidade

p

de

X

é real se

p

∈ Σ

+

. Dizemos queuma singularidade

p

de

X

é virtual se

p

∈ Σ

−

.

Para denirmos astrajetóriaspassando porum pontode ostura, omoos ampos

X

e

Y

apontam namesma direção,é su iente justapor astrajetórias de

X

e

Y

poraquele ponto. Já nos ar os de deslize e es ape pre isamos denir um ampo vetorial auxiliar

onhe ido omo ampo de Filippov ou ampo deslizante.

Considere o ampo vetorial

F

Z

em que ada ponto

p

∈ Σ

E

_{∪ Σ}

D

é dado por uma

ombinaçãolinear onvexade

X(p)

e

Y (p)

demodoque

F

Z

(p)

sejatangentea

Σ

,ouseja,

PSfrag repla ements

p

F

Z

(p)

Σ

+

Σ

Σ

−

X(p)

Y (p)

Figura 2.4: Campo de Filippov.

Deste modo,

F

Z

(p) = (1

− α(p))X(p) + α(p)Y (p)

em que

α(p) =

Xf (p)

Xf (p)

_{− Y f(p)}

.

Logo temos que

F

Z

é dado por

F

Z

(p) =

Y f (p)X(p)

_{− Xf(p)Y (p)}

Y f (p)

_{− Xf(p)}

.

(2.4)

Para veri ar que

F

Z

é tangente a

Σ

basta mostrar que

F

Z

(p)

é ortogonal a

∇f(p)

. De fato,

hF

Z

(p),

∇f(p)i =



(1

_{− α(p))X(p) + α(p)Y (p),}



∂f (p)

∂x

,

∂f (p)

∂y



=



(1

_{− α(p))(X}

1

(p), X

2

(p)) + α(p)(Y

1

(p), Y

2

, (p))



,



∂f (p)

_∂x

,

∂f (p)

_∂y



= Xf (p)

_{− α(p)Xf(p) + α(p)Y f(p)}

=

Xf (p) (Xf (p)

− Y f(p)) − Xf(p)Xf(p) + Xf(p)Y f(p)

Xf (p)

_{− Y f(p)}

= 0.

Podemoses revero ampodeFilippovde outraforma. Lo almente,numavizinhança

de

p

∈ Σ

E

_{∪ Σ}

D

, podemos onsiderar oordenadas lo ais de forma que

Σ =

{y = 0}

,

(c(x, y), d(x, y))

, temosque o ampo de Filippov édado por

F

Z

(p) =



a(p)d(p)

_{− b(p)c(p)}

d(p)

_{− b(p)}

, 0



.

(2.5)

De fato, suponha, sem perda de generalidade,que

p

∈ Σ

E

. Considere a reta

r

que passa por

(a(p), b(p))

e

(c(p), d(p))

, istoé,

r : y =

d(p)

− b(p)

c(p)

_{− a(p)}

(x

− a(p)) + b(p).

Como a urva de separação oin ide lo almente om o eixo

x

temos que

F

Z

(p) = (x

0

, 0)

om

(x

0

, 0)

∈ r

. Logo, basta en ontrar o ponto de interseção entre

r

e oeixo

x

. Assim,

y =

d(p)

− b(p)

c(p)

− a(p)

(x

− a(p)) + b(p) = 0

impli a que

x =

a(p)d(p)

− b(p)c(p)

d(p)

− b(p)

.

Denição 2.1.6. Um ponto

p

∈ Σ

E

_{∪ Σ}

D

é ponto singular do ampo de Filippov

F

Z

se

F

Z

(p) = 0

, ou seja,

a(p)d(p)

− b(p)c(p) = 0

.

Ospontossingulares do ampode Filippovsão hamadosde pseudo-equilíbrios. Note

que

a(p)d(p)

_{− b(p)c(p) =}















a(p) b(p)

c(p) d(p)















= det(X, Y )(p).

Denição 2.1.7. Seja

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

e

F

Z

o ampo de Filippov gerado por

Z

. Seja

p

∈ Σ

E

_{∪ Σ}

D

um ponto singular de

F

Z

, isto é,

F

Z

(p) = 0

. O ponto

p

é dito ser um ponto singular hiperbóli o se

F

′

Z

6= 0

, ou seja,

d (det(X, Y )

|

Σ

) (p)

6= 0

.

Denição 2.1.8. Seja

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

e

F

Z

o ampo de Filippov gerado por

Z

. Seja

p

um ponto singular hiperbóli o de

F

Z

. Então,

a)

p

é uma sela de Filippov se: i)

p

∈ Σ

D

e é uma singularidade repulsora de

F

Z

, isto é,

F

′

Z

> 0

. Veja Figura 2.5. PSfrag repla ements

p

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura 2.5: Sela de Filippov.

ii)

p

∈ Σ

E

eé uma singularidadeatratora de

F

Z

, isto é,

F

′

Z

< 0

. VejaFigura 2.6. PSfrag repla ements

p

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura 2.6: Sela de Filippov.

b)

p

é um nó de Filippov se: i)

p

∈ Σ

D

e é umasingularidade atratora de

F

Z

, isto é,

F

′

PSfrag repla ements

p

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura2.7: Nó de Filippov. ii)

p

∈ Σ

E

e é uma singularidade repulsora de

F

Z

, isto é,

F

′

Z

> 0

. Veja Figura 2.8. PSfrag repla ements

p

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura2.8: Nó de Filippov.

Denição 2.1.9. Um ponto

p

é dito

Σ

regular de

Z

se:

• p

é pontode ostura;

• p ∈ Σ

E

_{∪ Σ}

D

não é ponto singular do ampo de Filippov, isto é,

F

Z

(p)

6= 0

. Denição 2.1.10. Um ponto

p

é dito ser uma

Σ

-singularidade elementar de

Z

se:

• p

é uma

Σ

dobra de

Z

;

• p

é pontosingular hiperbóli o de

F

Z

.

Denição 2.1.11. Seja

γ

uma urva em

R

2

omposta por ar os regulares de trajetórias

de

X

em

Σ

+

, e/ou

Y

em

Σ

−

, e/ou trajetórias de

F

Z

em

Σ

. Nessas ondições, dizemos que

γ

é uma poli-trajetória de

Z

se:

i)

γ

ontém ar os de trajetória de pelo menos dois entre os ampos

X

,

Y

e

F

Z

, ou é formado por um ar o de

F

Z

;

ii) A transiçãode ar osde trajetória de

X

paraar os de trajetóriade

Y

é feitaatravés de pontos de ostura;

iii) A transição de ar os de trajetória de

X

, ou de

Y

, para ar os de trajetória de

F

Z

é feita através de tangên ias ou pontos regulares do ar o de es ape, ou do ar o

deslizante, respeitando-seo sentido dos ar os de trajetória.

Note que não temos uni idade de soluções, pois os ar os de trajetória do ampo de

Filippovpodemperten erainnitaspoli-trajetórias. AFigura2.9apresentaum exemplo

de poli-trajetória. PSfrag repla ements

γ

Σ

+

Σ

Σ

−

Figura 2.9: Exemplo de poli-trajetória.

Partiremosagoraa ara terizaçãodasórbitasfe hadasde umsistemasuaveporpartes

om duas zonas no plano.

Denição 2.1.12. Seja

γ

uma poli-trajetória fe hada de

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

Dize-a)

γ

é uma poli-trajetória fe hada do tipo I se

γ

en ontra

Σ

somente em pontos de ostura. Veja Figura 2.10.

PSfrag repla ements

γ

Σ

Σ

−

Σ

+

Figura2.10: Exemplo de poli-trajetóriafe hada dotipo I.

b)

γ

é uma poli-trajetória fe hada do tipo II se

γ = Σ

. Veja Figura 2.11.

PSfrag repla ements

γ = Σ

Σ

−

Σ

+

Figura 2.11: Exemplode poli-trajetóriafe hada do tipoII.

)

γ

é uma poli-trajetória fe hada do tipo IIIse

γ

ontém pelo menosuma

Σ

dobra de

Z

. VejaFigura 2.12. PSfrag repla ements

γ

Σ

Σ

−

Σ

+

Daremos agoraalguns exemplos para ilustraras deniçõesa ima.

Exemplo 2.1.1. Considere o sistema asso iado ao ampo vetorial

Z

1

= (X

1

, Y

1

)

∈

Ω

r

_(R

2

_{, f )}

dado por

Z

1

(x, y) =







X

1

(x, y) = (1, x

2

), y

≥ 0;

Y

1

(x, y) = (1, 1),

y

≤ 0.

(2.6)

Considere o ponto

p = (0, 0)

. Podemos observar que: a)

Σ =

{(x, y) ∈ R

2

_{: y = 0}

_}

;

b)

p

não é singularidade de

X

1

ou

Y

1

;

)

p

é pontode tangên ia úbi a de

X

1

om

Σ

. Com efeito, temos que

X

1

f (x, y) =

hX

1

(x, y),

∇f(x, y)i = h(1, x

2

), (0, 1)

i = x

2

e logo

X

1

f (p) = 0

. Além disso,

X

1

2

f (x, y) =

hX

1

(x, y),

∇X

1

f (x, y)

i = h(1, x

2

), (2x, 0)

i = 2x

e assim

X

2

1

f (p) = 0

. Também,

X

₁

3

f (x, y) =

_hX

1

(x, y),

∇X

1

2

f (x, y)

i = h(1, x

2

), (2, 0)

i = 2

e portanto

X

3

1

f (p)

6= 0

.

d)

p

é o úni o ponto de tangên ia em

Σ

e todo ponto

(x, 0)

∈ Σ

om

x

6= 0

é ponto de ostura, ou seja,

p

∈ ∂Σ

C

.

Na Figura 2.13 apresentamos o retrato de fase do sistema asso iado ao ampo

Z

1

e a órbita

ϕ(t, p)

passando pelo ponto

p

.

p

Σ

Σ

−

Σ

+

Figura 2.13: Retrato de fase do ampo

Z

1

dadoem (2.6).

Note que em alguns asos é possível falar em tempo passado e tempo futuro devido a

uni idade de soluções. Mas em geral, isso não é possível.

Exemplo 2.1.2. Considere o sistema asso iado ao ampo vetorial

Z

2

= (X

2

, Y

2

)

dado por

Z

2

(x, y) =







X

2

(x, y) = (1, 2x),

y

≥ 0;

Y

2

(x, y) = (

−2, −7x), y ≤ 0.

(2.7)

Considere o ponto

p = (0, 0)

. Podemos observar que

p

não é singularidade de

X

2

ou

Y

2

, mas

p

é ponto de tangên ia quadráti a de

Σ

om

X

2

e om

Y

2

. Veja Figura 2.14. PSfrag repla ements

Σ

Σ

−

Σ

+

Figura 2.14: Retrato de fase do ampo

Z

2

dadoem (2.7).

Noteque, neste aso,

Σ

E

₌

_{{(x, y) ∈ R}

2

_{: y = 0}

e

x > 0

}

e

Σ

D

₌

_{{(x, y) ∈ R}

2

_{: y = 0}

e

x < 0

}

. Assim, parataispontos, podemos al ularexpli itamenteo ampode Filippov asso iado a

Z

2

, oqual édado por

F

Z

2

(q) =



1

3

, 0



.

Exemplo 2.1.3. Considere o sistema asso iado ao ampo vetorial

Z

3

= (X

3

, Y

3

)

dado por

Z

3

(x, y) =







X

3

(x, y) = (1,

−2x),

y

≥ 0;

Y

3

(x, y) = (

−1, −x + x

2

), y

≤ 0.

(2.8)

Considere os pontos

p = (0, 0)

e

q = (1, 0)

. Podemos observar que

p

e

q

não são singularidades de

X

3

ou

Y

3

, mas temos que

p

é ponto de tangên ia quadráti a om

X

3

e

Y

3

, e que

q

é ponto de tangên ia quadráti a om

Y

3

. VejaFigura 2.15. PSfrag repla ements

Σ

Σ

−

Σ

+

p

q

Figura 2.15: Retrato de fase do ampo

Z

3

dadoem (2.8). Podemosobservar que, neste aso,

Σ

D

₌

_{{(x, y) ∈ R}

2

_{: y = 0}

e

x > 1

}

Σ

C

=

_{{(x, y) ∈ R}

2

: y = 0, x < 1

e

x

6= p}.

Note que

ϕ(t, p) =

{p}

e que não temos uni idade de soluções em

q

.

Exemplo 2.1.4. Considere o sistema asso iado ao ampo vetorial

Z

4

= (X

4

, Y

4

)

dado por

Z

4

(x, y) =







X

4

(x, y) = (1, x),

y

≥ 0;

Y

4

(x, y) = (

−1, x), y ≤ 0.

(2.9)

Considere o ponto

p = (0, 0)

. Podemos observar que

p

não é singularidade de

X

4

ou

Y

4

, mas

p

é ponto de tangên ia quadráti a om

X

4

e om

Y

4

. VejaFigura 2.16. PSfrag repla ements

p

Σ

Σ

−

Σ

+

Figura 2.16: Retrato de fase do ampo

Z

4

dadoem (2.9).

Podemos observar que, neste aso, não é possível falar em tempo passado ou tempo

2.2 Apli ação de Poin aré

Caminharemos agora na direção da denição da Apli ação de Poin aré ou apli ação

de primeiroretornoem um sistemasuave porpartes om duas zonasno plano.

Dadosdois vetores

u, v

∈ R

n

, denotaremospor

(u

|v) =











u

1

v

1

. . . . . .

u

n

v

n











a matriz ujas olunassão osvetores

u

e

v

.

Teorema 2.2.1. Sejam

X

um ampo vetorial de lasse

C

1

em

R

2

,

p

0

∈ R

2

e

ϕ(t, p

0

)

a órbita de

X

tal que

ϕ(0, p

0

) = p

0

. Suponha um ponto

p

1

∈ R

2

e

t

0

∈ R

tais que

p

1

= ϕ(t

0

, p

0

)

. Sejam

Σ

0

e

Σ

1

seções transversais de

X

passando pelospontos

p

0

e

p

1

res-pe tivamente. Se

σ

0

: I

0

−→ R

2

e

σ

1

: I

1

−→ R

2

são respe tivamente as parametrizações

de

Σ

0

e

Σ

1

om

σ

0

(s

0

) = p

0

e

σ

1

(s

1

) = p

1

, então existe uma vizinhança

U

de

p

0

e duas funções diferen iáveis

τ : U

−→ R

e

ρ : U

−→ I

1

tais que

τ (p

0

) = t

0

,

ρ(p

0

) = s

1

e

ϕ(τ (p), p) = σ

1

(ρ(p)),

para todo

p

∈ U

. Demonstração: Dena

f : D

× I

1

⊂ R

4

_{−→ R}

2

dada por

f (t, p, s) = ϕ(t, p)

− σ

1

(s)

. Como

X

é de lasse

C

1

então, pelo teoremada dependên ia ontínua,

ϕ

é de lasse

C

1

.

Ainda, omo

Σ

1

éuma seção transversal então

f

é uma função diferen iável. Noteque

f (p

0

, t

0

, s

1

) = ϕ(t

0

, p

0

)

− σ

1

(s

1

) = p

1

− p

1

= 0;

∂

∂t

f (p

0

, t

0

, s

1

) =

∂

∂t

ϕ(t

0

, p

0

) = X(ϕ(t

0

, p

0

)) = X(p

1

);

∂

∂s

f (p

0

, t

0

, s

1

) =

−σ

′

1

(s

1

).

Ainda, temos que amatriz

D

(t,s)

f (p

0

, t

0

, s

1

) =



∂

∂t

f (p

0

, t

0

, s

1

)









_∂s

∂

f (p

0

, t

0

, s

1

)



é não singular, ou seja, det

D

(t,s)

f (p

0

, t

0

, s

1

)

6= 0

, pois

Σ

1

é uma seção transversal de

X

. Logo, pelo teorema da função implí ita, existem uma vizinhança

U

de

p

0

e funções diferen iáveis

τ : U

−→ R

e

ρ : U

−→ I

1

tais que

τ (p

0

) = t

0

,

ρ(p

0

) = s

1

e

f (p, τ (p), ρ(p)) = 0,

para todo

p

∈ U

. Portanto,

ϕ(τ (p), p) = σ

1

(ρ(p)),

para todo

p

∈ U

.



Notequeouxo de

X

levapontospróximosde

p

0

empontosdaseçãotransversal

Σ

1

. Assim, nas ondiçõesa ima, podemosdenir

π : Σ

0

∩ U −→ Σ

1

p

_{7−→ π(p) = ϕ(τ(p), p) = σ}

1

(ρ(p))

(2.10)

a apli açãode transição do ampode vetores

X

entre as seções transversais

Σ

0

e

Σ

1

. Deniremostambéma função

˜

τ : Σ

0

∩ U −→ R

p

_{7−→ ˜τ(p) = τ(p)}

(2.11)

aqualexprimeotempone essárioparaqueum pontode

Σ

0

heguea

Σ

1

atravésdouxo de

X

pela primeira vez. Note que ambas as apli ações são diferen iáveis devido ao fato de todas as funçõesenvolvidas o serem.

A m de obter a derivada da apli ação de transição, onsidere

W

0

⊂ I

0

e

W

1

⊂ I

1

vizinhanças dos pontos

s

0

e

s

1

respe tivamente. Então podemosdenir

Π : W

0

⊂ I

0

−→ W

1

⊂ I

1

s

_{7−→ Π(s) = σ}

₁

−1

(π(σ

0

(s))) = ρ(σ

0

(s)).

(2.12)

Logo, podemosestabele er oseguintediagrama

Σ

0

∩ U

π

−→

Σ

1

σ

0

x







σ

1

x







W

0

⊂ I

0

Π

−→ W

1

⊂ I

1

Como

Π

é diferen iável,temos que

Π

′

(s) =

d

ds

Π(s) =

∇ρ(σ

0

(s))σ

′

0

(s).

(2.13)

Analogamente, podemosdenir a apli açãodiferen iável

T : W

0

−→ R

s

_{7−→ T (s) = ˜τ(σ}

0

(s))

(2.14) e logo

T

′

(s) =

d

ds

T (s) =

∇˜τ(σ

0

(s))σ

′

0

(s).

(2.15) Dena asmatrizes

M

Σ

0

=



X(p

0

)







 − σ

0

′

(s

0

)



,

M

Σ

1

=



X(p

1

)







 − σ

1

′

(s

1

)



.

Lema 2.2.1. Nas ondições do Teorema

2.2.1

, se

A =





1 T

′

(s

0

)

0 Π

′

_(s

0

)





então

M

Σ

1

A = D

p

ϕ(t

0

, p

0

)M

Σ

0

.

Demonstração: Pelo Teorema2.2.1 e por (2.11)temos que

ϕ(˜

τ (p), p) = σ

1

(ρ(p)),

(2.16)

para todo

p

∈ U

. Derivando (2.16) om respeito a

p

, pelaregra da adeia,temos

∂

∂t

ϕ(˜

τ (p), p)

∇˜τ(p) + D

p

ϕ(˜

τ (p), p) = σ

′

1

(ρ(p))

∇ρ(p).

Assim, omo

∂

∂t

ϕ(˜

τ (p), p) = X(ϕ(˜

τ (p), p)),

tomando

p = p

0

temosque

ou seja,

X(p

1

)

∇˜τ(p

0

) + D

p

ϕ(t

0

, p

0

) = σ

1

′

(ρ(p

0

))

∇ρ(p

0

),

(2.17)

já que

τ (p

˜

0

) = t

0

e

ϕ(t

0

, p

0

) = p

1

. Multipli ando ambos os lados de (2.17) por

σ

′

0

(s

0

)

temos que

X(p

1

)

∇˜τ(p

0

)σ

0

′

(s

0

) + D

p

ϕ(t

0

, p

0

)σ

0

′

(s

0

) = σ

1

′

(ρ(p

0

))

∇ρ(p

0

)σ

0

′

(s

0

).

De (2.13) e (2.15)vemque

X(p

1

)T

′

(s

0

) + D

p

ϕ(t

0

, p

0

)σ

0

′

(s

0

) = σ

1

′

(s

1

)Π

′

(s

0

).

Logo, temos que

M

Σ

1

A =



X(p

1

)







 − σ

1

′

(s

1

)







1 T

′

(s

0

)

0 Π

′

_(s

0

)





=



X(p

1

)







X(p

1

)T

′

(s

0

)

− σ

1

′

(s

1

)Π

′

(s

0

)



=



X(p

1

)







 − D

p

ϕ(t

0

, p

0

)σ

0

′

(s

0

)



.

Utilizando aigualdade

X(p

1

) = D

p

ϕ(t

0

, p

0

)X(p

0

),

segue que

M

Σ

1

A =



D

p

ϕ(t

0

, p

0

)X(p

0

)







 − D

p

ϕ(t

0

, p

0

)σ

0

′

(s

0

)



= D

p

ϕ(t

0

, p

0

)



X(p

0

)







 − σ

0

′

(s

0

)



= D

p

ϕ(t

0

, p

0

)M

Σ

0

omo queríamos demonstrar.



Teorema 2.2.2. Sejam

X

um ampo vetorial de lasse

C

1

em

R

2

,

p

0

∈ R

2

e

ϕ(t, p

0

)

a órbita de

X

tal que

ϕ(0, p

0

) = p

0

. Suponha um ponto

p

1

∈ R

2

e

t

0

∈ R

tais que

p

1

= ϕ(t

0

, p

0

)

. Sejam

Σ

0

e

Σ

1

seções transversais de

X

passando pelospontos

p

0

e

p

1

res-pe tivamente. Se

σ

0

: I

0

−→ R

2

e

σ

1

: I

1

−→ R

2

de

Σ

0

e

Σ

1

om

σ

0

(s

0

) = p

0

e

σ

1

(s

1

) = p

1

, então a derivada da apli ação de transição

π : Σ

0

−→ Σ

1

, no ponto

p

0

, denida pelo uxo de

X

, é dada por

π

′

(p

0

) =

det



X(p

0

)







σ

′

0

(s

0

)



det



X(p

1

)







σ

′

1

(s

1

)

 exp

 Z

t

0

0

divX(ϕ(t, p

0

))dt



.

(2.18)

Demonstração: Pelo Lema 2.2.1 temosque



X(p

1

)







 − σ

′

1

(s

1

)







1 T

′

(s

0

)

0 Π

′

_(s

0

)



 = D

p

ϕ(t

0

, p

0

)



X(p

0

)







 − σ

′

0

(s

0

)



.

Cal ulando o determinanteem ambosos lados dessa igualdade, temos

det



X(p

1

)







 − σ

1

′

(s

1

)



Π

′

(s

0

) = det(D

p

ϕ(t

0

, p

0

)) det



X(p

0

)







 − σ

0

′

(s

0

)



.

Note que

D

p

ϕ(t, p

0

)

é uma matrizfundamental dosistema







X

′

_{= DX(ϕ(t, p}

0

))X

D

p

ϕ(0, p

0

) = Id.

Logo, pela Fórmulade Liouville,

det(D

p

ϕ(t

0

, p

0

)) = exp

 Z

t

0

0

tr(DX(ϕ(t, p

0

)))dt



= exp

 Z

t

0

0

divX(ϕ(t, p

0

))dt



.

Ainda, omo

Σ

1

éuma seção transversal, a matriz

M

Σ

1

é não singular. Portanto,

π

′

(p

0

) = Π

′

(s

0

) =

det



X(p

0

)







 − σ

0

′

(s

0

)



det



X(p

1

)







 − σ

1

′

(s

1

)

 exp

 Z

t

0

0

divX(ϕ(t, p

0

))dt



=

det



X(p

0

)







σ

0

′

(s

0

)



det



X(p

1

)







σ

1

′

(s

1

)

 exp

 Z

t

0

0

divX(ϕ(t, p

0

))dt



.

omo queríamos demonstrar.



Seja

γ

uma poli-trajetóriafe hada dotipo I de

Z = (X, Y )

∈ Ω

r

_{(M, f )}

talque

γ = γ

0

∪ γ

1

∪ · · · ∪ γ

n

om

γ

2j

sendo ar os de trajetórias de

X

em

Σ

+

e

γ

2j+1

sendo ar os de trajetórias de

Y

em

Σ

−

, para

j = 0, 1,

· · · , (n − 1)/2

. Para ada

j = 0, 1,

· · · , n

seja

γ

j

∩ Σ = {p

j

, p

j+1

}

om

p

0

= p

n+1

. Assim, podemos deniruma oleção de apli açõesde transição em

p

j

π

j

: (Σ, p

j

)

−→ (Σ, p

j+1

)

tal quea apli açãode primeiroretorno asso iada aórbita

γ

é dada por

π = π

n

◦ π

n−1

◦ · · · ◦ π

0

om

π(p

0

) = p

0

. Veja Figura 2.17. PSfrag repla ements

Σ

Σ

−

Σ

+

p

0

p

3

p

1

γ

1

p

2

γ

2

γ

3

γ

0

Regularização de ampos vetoriais

suaves por partes

Neste apítuloiremosapresentar ométododaregularizaçãode amposvetoriaissuaves

por partes, o qual foi introduzido por Sotomayor e Teixeira em [16℄. Este método

on-siste na aproximaçãode um ampo vetorialsuave porpartes por uma famíliade ampos

vetoriais suaves, àqual pode-se apli ar a teoria lássi a.

3.1 O método da regularização

O método da regularização onsiste na aproximação de sistemas suaves por partes

asso iados a amposvetoriais suaves por partes daforma

Z(x, y) =







X(x, y), f (x, y)

_{≥ 0;}

Y (x, y), f (x, y)

≤ 0,

(3.1)

porumafamíliaaumparâmetrode sistemassuaves, denida omoauxíliode umafunção

de transição.

Denição 3.1.1. Uma função de lasse

C

∞

_{ϕ : R}

_{−→ R}