Cap34

Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica

Jason Alfredo Carlson Gallas,

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica

Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

34 Propriedades Magn´eticas da Mat´eria 2 34.1 Quest˜oes . . . 2 34.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 2 34.2.1 O Magnetismo e o El´etron – (1/5) 2

34.2.2 A Lei de Gauss do Magnetismo – (6/9) . . . 2 34.2.3 O Magnetismo da Terra – (10/17) 3 34.2.4 Paramagnetismo – (18/25) . . . 5 34.2.5 Diamagnetismo – (26/27) . . . 6 34.2.6 Ferromagnetismo – (28/38) . . . 6 34.2.7 Problemas Extras . . . 8

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista4.tex)

34

Propriedades Magn´eticas da Mat´eria

34.1

Quest˜oes

Q 34-1. Duas barras de ferro tˆem aparˆencias exata-mente iguais. Uma delas est´a imantada e a outra n˜ao. Como identific´a-las? N˜ao ´e permitido suspender nenhu-ma delas como se fosse agulha de b´ussola, nem usar qualquer outro aparelho.

Segure com a m˜ao esquerda uma das barras numa direc¸˜ao horizontal (por exemplo, apoiando-a sobre uma mesa). Com a outra m˜ao, segure a outra barra numa posic¸˜ao ortogonal `a primeira. Coloque uma das extremi-dades da segunda barra encostada sobre a barra fixa na direc¸˜ao horizontal. A seguir, percorra com a extermida-de da segunda barra a periferia da primeira barra extermida-desextermida-de a extremidade at´e o meio desta primeira barra. Duas coi-sas podem ocorrer: (a) Se a barra fixa na m˜ao esquerda for o im˜a, vocˆe sentir´a uma atrac¸˜ao forte na extremida-de; por´em, esta atrac¸˜ao ir´a diminuir `a medida que a barra da m˜ao direita se aproximar do centro da barra da m˜ao esquerda (que supostamente ´e o im˜a). Portanto vocˆe po-deria identificar as duas barras neste caso. (b) Se a barra fixa na m˜ao esquerda n˜ao for o im˜a, vocˆe sentir´a sempre a mesma atrac¸˜ao, pois, neste caso, a barra da m˜ao direita ser´a o im˜a e, como vocˆe sabe, a extremidade de um im˜a atrai sempre com a mesma intensidade a barra de ferro (em qualquer posic¸˜ao).

34.2

Problemas e Exerc´ıcios

34.2.1 O Magnetismo e o El´etron – (1/5)

P 34-3. Uma barra imantada est´a suspensa por um fio como mostra a Fig. 34-19. Um campo magn´etico uni-forme  apontando horizontalmente para a direita ´e,

ent˜ao, estabelecido. Desenhe a orientac¸˜ao resultante do fio e do ´ım˜a.

O conjunto ´ım˜a+fio ir´a deslocar-se para a direita, per-manecendo inclinado num certo ˆangulo .

Para entender por que isto ocorre, basta calcular o torque

     

que atuar´a no ´ım˜a devido ao seu momento de dipolo magn´etico





.

Como se pode perceber da Fig. 34-3 (p´ag. 259), o mo-mento magn´etico do ´ım˜a ´e dado por um vetor centrado no centro de massa do ´ım˜a, apontando de Sul para Norte (isto ´e, para baixo, antes do campo ser ligado). O pro-duto vetorial nos diz que o torque magn´etico ´e um vetor que aponta para fora do plano da p´agian do livro e, por-tanto, que o ´ım˜a desloca-se um certo ˆangulo  para a

direita.

P 34-5. Uma carga est´a uniformemente distribu´ıda

em torno de um fino anel de raio . O anel gira com

ve-locidade angular em torno de um eixo central

ortogo-nal ao seu plano. (a) Mostre que o momento magn´etico devido `a carga em rotac¸˜ao ´e dado por:







 

(b) Quais s˜ao a direc¸˜ao e o sentido deste momento magn´etico, se a carga ´e positiva.

(a) No instante





 s corrente que passa no anel

´e:            

Donde se conclui que o m´odulo do momento magn´etico ´e dado por

   "! $# &% '  )( #   %   &  

(b) Pela regra da m˜ao direita, o vetor momento magn´etico 



´e paralelo ao vetor velocidade angular   .

34.2.2 A Lei de Gauss do Magnetismo – (6/9)

P 34-7. O fluxo magn´etico atrav´es de cinco faces de um dado vale *,+ .-/ Wb, onde  (  a 0 ) ´e

a quantidade dos pontos escuros [que representam os n´umeros] sobre cada face. O fluxo ´e positivo (para fora) para

par e negativo (para dentro) para

´ımpar. Qual ´e o fluxo atrav´es da sexta face do dado?

Como n˜ao se conhece monop ´olos magn´eticos, a soma alg´ebrica do fluxo sobre todo o dado dever ser ZERO. Portanto o fluxo*,1 pedido ´e

* 1  23# *54768*  69*,:,69*<;<68*,= %  23#>2  6  2@? 6BA 2 0 %  6 ? Wb

P 34-8. Uma superf´ıcie Gaussiana tem a forma de um cilindro circular reto, de raio igual a 



cm e compri-mento deCD cm. Atrav´es de uma de suas extremidades,

penetra um fluxo magn´etico de

0



Wb. Na outra ex-tremidade existe um campo magn´etico uniforme de

E

mT, normal `a superf´ıcie e orientado para fora dela. Qual ´e o fluxo magn´etico l´ıquido atrav´es da superf´ıcie lateral do cilindro?

Usando a lei de Gauss do magnetismo,FG9H"IKJ



D ,

podemos escreverFLMHKIKJ



* 4 6$*



6$*,N , onde * 4 ´e o fluxo magn´etico atrav´es da primeira extremidade

mencionada,*



´e o fluxo magn´etico atrav´es da segun-da extremisegun-dade mencionasegun-da, e* N ´e o fluxo magn´etico

atrav´es da superf´ıcie lateral (curva) do cilindro. Sobre a primeira extremidade existe um fluxo direcionado para dentro, de modo que*54

O2



0



Wb. Sobre a segunda extremidade o campo magn´etico ´e uniforme, normal `a superf´ıcie e direcionado para fora, de modo que o fluxo ´e*    !   #   % , onde !

´e a ´area da extremidade e ´e o raio do cilindro. Portanto,

*  $#  E  DQP : %  # DR   %   6TSQ  A  DUP = Wb

Como a soma dos trˆes fluxos deve ser zero, temos

* N V2 *54 2 *    0  2 S  A  $2 AQSWA  Wb

O sinal negativo indica que o fluxo est´a direcionado para dentro da superf´ıcie lateral.

Observe que o comprimento deCD cm ´e uma informac¸˜ao

totalmente sup´erflua para o c´alculo pedido no problema.

34.2.3 O Magnetismo da Terra – (10/17)

E 34-10. Em New Hampshire, a componente horizon-tal m´edia do campo magn´etico da Terra, em 1912, era de 

E



T e a inclinac¸˜ao m´edia era deS ?X

. Qual era o correspondente m´odulo do campo magn´etico da Terra?

Para situar-se, reveja o Exemplo 3 bem como a Fig. 34-10.

O m´odulo

do campo magn´etico da Terra e a sua com-ponente horizontalZY

est˜ao relacionados por

ZY



B[]\K^R_a`

onde_

´e a inclinac¸˜ao (veja Fig. 34-10). Portanto,

  /Y [b\c^R_a`  0AdeS  T

P 34-13. O campo magn´etico da Terra pode ser apro-ximado como o campo de um dipolo magn´etico, com componentes horizontal e vertical, num ponto distante

do centro da Terra, dadas por,

 Y   X  A  : []\c^dfRgGhi/j   X   : sen fRgkh onde f g

´e a latitude magn´etica (latitude medida a partir do equador magn´etico na direc¸˜ao do p´olo norte magn´etico ou do p´olo sul magn´etico). Suponha que o momento de dipolo magn´etico seja 

C  D l A Hm  .

(a) Mostre que, na latitude

fdg

, o m´odulo do campo magn´etico ´e dado por

   X  A  :m  6 ? sen f g 

(b) Mostre que a inclinac¸˜ao_ `

do campo magn´etico est´a relacionada com a latitude magn´eticafRg

por nlop _a`   nqop f g 

(a) O m´odulo do campo magn´etico ´e dado por

  r   Y 6   j  s '  X  A  : []\K^Rf g (  6 '  X   : sen f g (   ut] A  : m [b\c^  f g 6vA sen  f g  ut] A  : m  6 ? sen f g h

onde usamos o fato que

[b\c^  f gxw  2 sen f g . (b) nlop _a`   j  Y y  X   #  : %{z sen f g y  X   # A  : %"z []\K^Rfdg   nlop f g 

P 34-14. Use os resultados do Problema 13 para calcu-lar o campo magn´etico da Terra (m´odulo e inclinac¸˜ao):

(a) no equador magn´etico; (b) num ponto de latitude magn´etica igual aEcD

t

; (c) no p´olo norte magn´etico.

Como sugerido no exerc´ıcio anterior, suponha que o momento de dipolo magn´etico da Terra seja  

C  D l A Hm  .

(a) No equador magn´etico temosf g

 D t , portanto  eq w  X  A  :  # A   D Pa| % # CRD  D } % A  # ER ? S  D 1 % :  ?   D  D P = T A inclinac¸˜ao_d`

´e dada por

_a`  nlop P 4 #  nqop f g %  nlop P 4 D t  D t 

Observe que o coeficiente que aparece na frente da raiz quadrada ´e na verdade

eq. Portanto, uma vez

determi-nado, tal valor pode ser ‘reciclado’ em todos c´alculos posteriores. (b) Para f g  EcD t temos    eq m  6 ? sen f g  #~?   D  DUP = % m  6 ? sen ED t  0UE  D P = T A inclinac¸˜ao _ `

´e dada por

_ `  nlop P 4 #  nqop EcD t %  S&A t 

(c) No p´olo norte magn´etico temos

f g   D t :   #€?   D  D P = % m  6 ?R#  D %   EU  D  D P = T A inclinac¸˜ao_d`

´e dada por

_a`  nlop P 4 #  nqop  D t %   D t 

P 34-15. Calcule a altura acima da superf´ıcie da Terra onde o m´odulo do campo magn´etico da Terra cai `a meta-de do valor na superf´ıcie, na mesma latitumeta-de magn´etica. (Use a aproximac¸˜ao do campo do dipolo fornecida no Problema 13.)

Do Problema 13 temos que

   X A  :‚ ƒ h

onde, para abreviar, definimosƒ

w  6 ? sen f g . Na superf´ıcie da Terra  „

, onde R ´e o raio da Terra. A uma altura… , faremos

 „ 69… ; assim,  X A  #€„ 6… % :†‚ ƒ ‡   X A  „Z:a‚ ƒ 

Donde se conclui que

„ 69…   4}ˆ}: „x  EDcD km

P 34-16. Usando a aproximac¸˜ao do campo do dipolo para o campo magn´etico da Terra dada no Problema 13, calcule a intensidade m´axima do campo magn´etico na fronteira do revestimento do n´ucleo, que se encontra a





DcD km abaixo da superf´ıcie da Terra.

Usando a express˜ao obtida na parte (a) do proble-ma 13, observando que o m´aximo de

ocorre quando senfRg   , e que  E ? SD km 2   DcD km ‰? AQSD km, temos   utŠ A  : m  6 ? sen f g  # A   D P†| % # C  D l % A  #€? AWS  D 1 % : ‚  6 ?  ? C ?  D P ; T

P 34-17. Use os resultados do Problema 13 para cal-cular o m´odulo e o ˆangulo de inclinac¸˜ao do campo magn´etico da Terra no p´olo norte geogr´afico. (Sugest˜ao: o ˆangulo entre o eixo magn´etico e o eixo de rotac¸˜ao da Terra ´e igual a

0

t

.) Porque os valores calculados n˜ao concordam com os valores medidos?

Para entender o problema, comece por entender o que a Fig. 34-7 mostra.

´

E dado que o ˆangulo entre o eixo magn´etico e o ei-xo de rotac¸˜ao da Terra ´e c

e0 t , de modo que f g   D t 2 c e0 t  SCUe0 t

no p´olo norte geogr´afico da Terra. Portanto, com  „)‹Œ E ? SD km obtemos o campo   utŠ A  „ : ‹ m  6 ? sen fRg  # A   D Pa| % # C  D } % A  # ER ? S  D 1 % : m  6 ? sen SCUe0 t  EU   D P = Th e uma inlicnac¸˜ao _a` igual a _a`  tanP 4 #  tanSCUe0 t %  CAd  t 

Uma explicac¸˜ao plaus´ıvel para a discrepˆancia entre os valores calculado e medido do campo magn´etico terres-tre ´e que as f´ormulas obtidas no Problema 34-13 est˜ao baseadas na aproximac¸˜ao dipolar, que n˜ao representa adequadamente a distribuic¸˜ao real do campo terrestre perto da superf´ıcie. (A aproximac¸˜ao melhora signifi-cativamente quando calculamos o campo magn´etico ter-restre longe do seu centro.)

34.2.4 Paramagnetismo – (18/25)

E 34-18. Um campo magn´etico deDUe0 T ´e aplicado a

um g´as paramagn´etico cujos ´atomos tˆem um momento de dipolo magn´etico intr´ınseco de



D P†

:

J/T. A que temperatura a energia cin´etica m´edia de translac¸˜ao dos ´atomos do g´as ser´a igual `a energia necess´aria para inver-ter completamente este dipolo neste campo magn´etico?

A equac¸˜ao a ser satisfeita ´e a seguinte:

  ? ŽW V   H   28#‘2   H   %    ’h ondeŽ    ? C  D Pa :

J/K ´e a constante de Boltzmann. Desta express˜ao obtemos a temperatura

  A   ? Ž  A #   D P† : % # DR0D % ?R#   ? C  D P† : %  DRAKC t K

Perceba que como esta temperatura ´e muitissimo baixa (da ordem de2  S  h 0 t

C) vemos que ´e muito f´acil para a agitac¸˜ao t´ermica usual inverter os momentos de dipo-lo.

E 34-19. Uma barra magn´etica cil´ındrica tem compri-mento de0UD cm e um diˆametro de



D cm. Ela possui

uma magnetizac¸˜ao uniforma de0Q ?



D

:

A/m. Qual ´e o seu momento de dipolo magn´etico?

A relac¸˜ao entre a magnetizac¸˜ao “ e o momento

magn´etico ´e: “   ” onde”

´e o volume da barra. Portanto,

  “ ”  “ #   … %   DUC mJ/T

P 34-21. O sal paramagn´etico a que a curva de magnetizac¸˜ao da Fig. 34-11 se aplica deve ser testado

para verificar se obedece `a lei de Curie. A amostra ´e colocada num campo magn´etico de DUe0 T que

perma-nece constante durante toda a experiˆencia. A seguir, a magnetizac¸˜ao “ ´e medida na faixa de temperatura

de  D at´e

?

DD K. A lei de Curie ser´a obedecida nestas

condic¸˜oes?

Para as medidas sendo feitas a maior raz˜ao entre o campo magn´etico e a temperatura ´e #

DR0 T %  #  D K % 

DRDK0 T/K. Verifique na Fig. 34-11 se este valor est´a

na regi˜ao onde a magnetizac¸˜ao ´e uma func¸˜ao linear da raz˜ao 

 . Como se vˆe, o valor est´a bem perto da

ori-gem e, portanto, concluimos que a magnetizac¸˜ao obede-ce a lei de Curie.

P 34-24. Um el´etron com energia cin´etica•—–

desloca-se numa trajet´oria circular que ´e ortogonal a um campo magn´etico uniforme, submetido somente a ac¸˜ao do cam-po. (a) Mostre que o momento de dipolo magn´etico de-vido ao seu movimento orbital tem m´odulo



• –  

e sentido contr´ario ao de  . (b) Calcule o m´odulo, a

direc¸˜ao e o sentido do momento de dipolo magn´etico de um ´ıon positivo que tem energia cin´etica •

`

nas mes-mas circunstˆancias. (c) Um g´as ionizado tem0Q

?  D  4 el´etrons/m:

e o mesmo n´umero de ´ıons/m:

. Conside-re a energia cin´etica m´edia dos el´etrons igual a EU





D P†

X

J e a energia cin´etica m´edia dos ´ıons igual a

SQE



D P†

4

J. Calcule a magnetizac¸˜ao do g´as para um campo magn´etico de





T.

(a) Usando a Eq. 34-9 e a Eq. 30-17 (Cap. 30, pag. 165), obtemos:  ™˜c ›šœQ 'dž œ š  ( Ÿ  Š¡ ¢ raio  '   ž œ  (    •£– ¤

Um el´etron circula no sentido hor´ario em um campo magn´etico direcionado para dentro do papel, por exem-plo. O vetor velocidade angular resultante



 ´e tamb´em

direcionado para dentro do papel. Mas a carga do el´etron ´e negativa; assim,

  ´e antiparalelo a   e, por-tanto, antiparalelo a .

(b) O valor da carga cancela-se no c´alculo de

no item (a). Assim, para um ´ıon positivo, vale a mesma relac¸˜ao:

 

•

`

 

Um ´ıon positivo circula no sentido anti-hor´ario num campo magn´etico direcionado para dentro do papel. Portanto,



 tem sentido para fora do papel. Como o

´ıon tem carga positiva,





´e paralelo a



 e, portanto

(c) Os dipolos magn´eticos devidos aos el´etrons e, aos ´ıons possuem o mesmo sentido. Portanto,

 ¥ –  – 6  `  `    ˜ – • – 6  ` • `  onde  – e  `

s˜ao, respectivamente, o n´umero de el´etrons e o n´umero total de ´ıons. Como

–

¥

`

¥

, obtemos para a magnetizac¸˜ao:

“   ” ¦  '  ” ( # • – 6• ` % §? DWS A/m 34.2.5 Diamagnetismo – (26/27) P 34-26.

Uma substˆancia diamagn´etica ´e fracamente repelida por um p´olo de um ´ım˜a. A Fig. 34-22 apresenta um mo-delo para o estudo deste fen ˆomeno. A “substˆancia dia-magn´etica” ´e uma espira de corrente¨ , que est´a

colo-cada no eixo de um ´ım˜a e nas proximidades do seu p´olo norte. Como a substˆancia ´e diamagn´etica, o momento magn´etico





da espira se alinhar´a antiparalelamente ao campo do ´ım˜a. (a) Fac¸a um esboc¸o das linhas de

em virtude do ´ım˜a. (b) Mostre o sentido da corrente

na espira quando





estiver antiparelelo a . (c)

Usan-doIK©



Icª

 , mostre a partir de (a) e (b) que a

forc¸a resultante sobre¨ aponta no sentido que se afasta

do p´olo norte do ´ım˜a.

P 34-27«.

Um el´etron de massaž

e carga de m´oduloš se move

numa ´orbita circular de raio ao redor de um n´ucleo.

Um campo magn´etico ´e, ent˜ao, estabelecido

perpen-dicularmente ao plano da ´orbita. Supondo que o raio da ´orbita n˜ao varie e que a variac¸˜ao da velocidade escalar do el´etron em conseq ¨uˆencia do campo seja pequena,

determine uma express˜ao para a variac¸˜ao do momento magn´etico orbital do el´etron.

Um campo el´etrico com linhas de campo circulares ´e induzido quando o campo magn´etico ´e ligado. Supo-nhamos que o campo magn´etico aumente linearmente deD at´e

num tempo. De acordo com a Eq. 32-24 a

magnitude do campo el´etrico na ´orbita ´e dada por

   I  Ic     h

onde ´e o raio da ´orbita. O campo el´etrico induzido ´e

tangente `a ´orbita e muda a velocidade do el´etron, sendo tal mudanc¸a dada por

¬ œ §­   š ž    š ž '    (£  š   ž 

A corrente m´edia associada com cada volta do el´etron circulando na ´orbita ´e

  ¬ carga ¬ tempo  š #  %  œ  šœ 

de modo que o momento de dipolo correspondente ´e

 ¥ W! V# % ' šœ  ( #   %  ®š œ 

Portanto, variac¸˜ao do momento de dipolo ´e

¬   ®š ¬ œ  š ' š   ž (  š    A ž  34.2.6 Ferromagnetismo – (28/38)

E 34-28. Medic¸˜oes realizadas em minas e em furos de prospecc¸˜ao mostram que a temperatura na Terra au-menta com a profundidade na taxa m´edia de?

D

t

C/km. Supondo que a temperatura na superf´ıcie seja de 

D

t

C, a que profundidade o ferro deixaria de ser ferro-magn´etico? (A temperatura Curie do ferro varia muito pouco com a press˜ao.)

A temperatura de Curie do ferro ´eScSD

t

C. Se chamar-mos de ¯ a profundidade na qual a temperatura atinge

esta valor, ent˜ao 

D t C6 #~? D t C/km% ¯  ScSD t C, ou seja, isolando-se o valor de¯ ,

¯  ScSD t C2  D t C ? D t C/km  SE ?   0U ?c? km

E 34-29. O acoplamento de troca mencionado na secc¸˜ao 34-8 como respons´avel pelo ferromagnetismo n˜ao ´e a interac¸˜ao magn´etica m´utua entre dois dipolos magn´eticos elementares. Para mostrar isto, calcule: (a) o campo magn´etico a uma distˆancia de 

D nm ao longo

do eixo do dipolo de um ´atomo com momento de dipo-lo magn´etico igual a  0  D P† : J/T (cobalto) e (b) a energia m´ınima necess´aria para inverter um segundo di-polo idˆentico neste campo. Compare com o resultado do Exemplo 34-4. O que se pode concluir?

(a) O campo de um dipolo ao longo do seu eixo ´e dado pela Eq. 31-25:

   X   ° : h onde

´e o momento de dipolo e°

´e a distˆancia a partir do meio do dipolo. Portanto

  # A   D Pa| T Hm/A % #  e0  D P† : J/T%  #  D  D Pa± m % :  ?  D P 1 T

(b) A energia de um dipolo magn´etico 

 num campo magn´etico   ´e ²    H     B[]\K^R_ , onde _ ´e o ˆangulo entre o momento de dipolo e o campo. A ener-gia necess´aria para inverte-lo (de_

 D t at´e_   CcD t ) ´e ¬ ²       #  e0  D P† : J T% #~?  D P 1 T%    D Pal± J  0UE  D P 4 X eV

A energia cin´etica m´edia de translac¸˜ao a temperatura ambiente ´e da ordem deDUDA eV (veja o Exemplo 34-4).

Portanto se interac¸˜oes do tipo dipolo-dipolo fossem res-pons´aveis pelo alinhamento dos dipolos, colis˜oes iriam facilmente “randomizar” [id est, tornar aleat´orias] as direc¸˜oes dos momentos e eles n˜ao permaneceriam ali-nhados.

E 34-30. A magnetizac¸˜ao na saturac¸˜ao do n´ıquel vale

AR³S



D

=

A/m. Calcule o momento magn´etico de um ´unico ´atomo de n´ıquel. (A densidade do n´ıquel ´eCR



D

g/cm:

e sua massa molecular ´e0CU³S

 g/mol.)

A magnetizac¸˜ao de saturac¸˜ao corresponde ao comple-to alinhamencomple-to de comple-todos os dipolos, dado por

“ g5´Šµ    ”  Fazendo ”   m : , a massa do n´ıquel em 1 m: ´e # CR  D g/cm : % H #  D 1 m? %  CU  D  D 1 g; portanto, ¶  CR  D  D 1 0CU³S  g/mol   e0  0   D = mol

Atrav´es da Eq. 2 do Cap. 21, temos:

 ¶ k·¥    E  D l¸ ´atomos/m :  Assim,   “ g5´Šµ ”   0Q  0  D Pa ; AHm  

P 34-32. O momento de dipolo magn´etico da Terra ´e

C



D l J/T. (a) Se a origem deste magnetismo

fos-se uma esfera de ferro magnetizada, no centro da Terra, qual deveria ser o seu raio? (b) Que frac¸˜ao do volume da Terra esta esfera ocuparia? Suponha um alinhamento completo dos dipolos. A densidade do n´ucleo da Ter-ra ´e 

A g/cm

:

. O momento de dipolo magn´etico de um ´atomo de ferro ´e 

   D Pa : J/T. (Nota: considera-mos a regi˜ao mais interna do n´ucleo da Terra formada de partes l´ıquida e s´olida e parcialmente de ferro, por´em o hip´otese de um ´ım˜a permanente como fonte do magne-tismo da Terra foi completamente afastada por diversas raz˜oes. Uma delas ´e que a temperatura est´a certamente acima do ponto de Curie.)

(a) Se a magnetizac¸˜ao da esfera est´a saturada, o mo-mento de dipolo total ´e

total

  

, onde

´e o n´umero de ´atomos de ferro na esfera e

´e o momento de dipo-lo de um ´atomo de ferro. Desejamos determinar o raio de uma esfera de ferro contendo

´atomos de ferro. A massa de tal esfera ´e 

ž

, onde ž

´e a massa de um ´atomo de ferro. Ela tamb´em ´e dada porA

¹ „ :  ? , onde ¹

´e a densidade do ferro e„

´e o raio da esfera. Portanto

 ž  A ¹ „ :  ? e ‡ A ¹ „ : ? ž 

Substitua isto na relac¸˜ao

total

§ 

para assim obter

 total  A ¹ „ :  ? ž h ou seja, „º ' ? ž  total A ¹  ( 4}ˆ}: 

A massa de um ´atomo de ferro ´e

ž  0E»  # 0E» % #  EE  D P†}| kg/u %    ?  DUPa 1 kg

Com isto, obtemos

„  ' ?d#€  ?  D P† 1 % # C  D } % A  #  A  D : % #     D P† : % ( 4}ˆ}:   C  D = m

(b) O volume da esfera ´e

” –  A  ? „ :  A  ? #  C   D = m% :   e0 ?  D 4 1 m:

e o volume da Terra ´e ” ‹  A  ? # EU ? S  D 1 m% :   DcC  D  4 m: h

de modo que a frac¸˜ao do volume da Terra que ´e ocupado pela esfera ´e

” – ” ‹   0 ?  D 4 1 m:  DcC  D  4 m:    ?  D P = 

(a) Seja“ a massa do n´ucleo e o seu raio. A massa

de um ´ıon,ž

, e o n´umero de ´ıons no n´ucleo,

. Con-siderando que a esfera seja de ferro, temos¤

“  ž , mas“  ¹ ” ; assim,  “ ž  ¹ ” ž 

Como a massa atˆomica do ferro ´e0E ,

ž



0E» .

Por-tanto, se

´e o momento magn´etico de um ´ıon de ferro,



ser´a o momento magn´etico do n´ucleo, conseq ¨uen-temente C  Dc}  ¹ # A  :  ? % 0E» # % 

Donde se conclui que

  C  km. (b) A frac¸˜ao ser´a: ¼  ' „ ( :    ??  D P =  P 34-34.

Um anel de Rowland ´e formado de material ferro-magn´etico. Sua sec¸˜ao transversal ´e circular, com um raio interno de0 cm, um raio externo deE cm e seu

en-rolamento temAKDD espiras. (a) Que corrente deve ser

es-tabelecida no enrolamento para que o campo magn´etico no interior do tor´oide atinja o valor

X



DU



mT? (b) Uma bobina secund´aria de0D espiras e resistˆencia de C—½ ´e enrolada em torno do tor´oide. Sabendo-se que,

para este valor de

X , temos /¾  CcDD  X ,

determi-ne a quantidade de carga que se move atrav´es da bobina secund´aria quando a corrente no enrolamento ´e ligada/

(a) O campo de um tor´oide ´e À¿Á

`ÃÂ

lÄÅ

, onde

´e o n´umero total de espiras. Esse ´e um campo n˜ao unifor-me, mas podemos considerar o campo aproximadamen-te uniforme e igual ao valor do campo no meio do tubo do tor´oide. Portanto,  X   X    

Donde se conclui que a corrente

valeDU



A A.

(b) Com a presenc¸a do ferro no interior do tor´oide, o campo ´e  g 6  X  CD   X . Seja ! a ´area da sec¸˜ao transversal do tor´oide. Do Problema 17 do Cap. 32, a carga induzida em uma espira dekÆ

espiras e resistˆencia „ ´e:   kÆ y *,+ # final% 2 *,+ # inicial%{z „   Æ #  X 6 /g % ! „ Æ  SCUE  C 34.2.7 Problemas Extras

Coletamos aqui alguns problemas da3

´

edic¸˜ao do livro que n˜ao aparecem mais na 4

´

edic¸˜ao mas que podem ainda ser ´uteis.

P 34-??? Analise qualitativamente o aparecimento de momento de dipolos magn´eticos induzidos num mate-rial diamagn´etico sob o ponto de vista da Lei de Faraday da induc¸˜ao. (Sugest˜ao: Veja figura

DcÇ do Cap. 32. Note

tamb´em que, para el´etrons em ´orbita, os efeitos induti-vos (qualquer mudanc¸a na velocidade escalar) persistem ap´os o campo magn´etico ter parado de variar; estes efei-tos s´o terminam depois que o campo magn´etico ´e remo-vido.)

Nota: este problema tem muito a ver com o problema 34-27.

Um campo el´etrico com linhas de campo circulares ´e induzido quando se liga um campo magn´etico. Suponha que o campo magn´etico cresc¸a de D at´e

num tempo

. De acordo com a Eq. 32-24, a magnitude do campo

el´etrico na ´orbita ´e dada por

   I  I     h

onde ´e o raio da ´orbita. O campo el´etrico ´e

tangen-te `a orbita e muda a velocidade do el´etron, sendo tal mudanc¸a dada por

¬ œ  È   š ž    š ž      š   ž 

A corrente m´edia associada com o el´etron que circula na ´orbita ´e



šÉœ 

e o momento de dipolo ´e

  !Ê Ë#   % ' šœ  ( ‡ Zšœ 

Com isto tudo, a mudanc¸a no momento de dipolo ´e ¬  Ì ›š ¬ œ ‡ ›š š   ž  š    A ž 

Usando a Eq. 21 do Cap. 32, obtemos:

   I  Ic  AQUI FIGURA

Assim, os el´etrons sofrem a ac¸˜ao de uma forc¸a el´etrica representada na figura acima. Suponha que o campo magn´etico aumente de uma quantidade

num tempo

 . Portanto, cada el´etron tem uma mudanc¸a de

veloci-dade dada por

¬ œ ¥È   'uÍ ž (†  ' š  ž (d  š ž '    (a  š   ž

e as novas velocidades s˜ao:

œ  œ X -š   ž

(6 ) para ver o sentido hor´ario e (

2

) para o sentido anti-hor´ario. Dividindoœ por e supondo que n˜ao varie,

temos:    X -š   ž 

Essa nova velocidade angular permite fazer aumentar ou diminuir o momento magn´etico orbital. A existˆencia de um efeito diamagn´etico num campo magn´etico constante pode ser “explicada”, observando que os el´etrons circulantes continuam cortando as linhas de flu-xo magn´etico.