aula2 cap5

V. EQUAÇÕES DO

MOVIMENTO PLANO

Equações do Movimento Plano

V

⃗⃗ = 𝑢𝑒

_𝑥

+ 𝑤𝑒

_𝑧

,

𝑑𝑢

𝑑𝑡

= 𝜔𝜃̇ +

𝑇

_𝑥

𝑀

+ 𝑔

𝑥

+

𝑋

_𝑎

𝑀

𝑑𝜔

𝑑𝑡

= −𝑢𝜃̇ +

𝑇

_𝑧

𝑀

+ 𝑔

𝑧

+

𝑍

_𝑎

𝑀

𝐼_𝑦𝑦𝜃̈ = −𝜃̇ (𝑑𝐼𝑦𝑦 𝑑𝑡 + 𝑚𝑥𝑒2) + 𝑥𝑒𝑇𝑧 − 𝑧𝑒𝑇𝑥 − 𝑀′ 𝑀 = 𝑀₀ − ∫ 𝑚 𝑑𝑡 𝑡 0

sendo

𝑀

₀

a massa do foguete no instante do

lançamento.

𝑔_𝑥 = −𝑔𝑐𝑜𝑠 𝜎_𝑉 𝑔_𝑧 = 𝑔 sin 𝜎_𝑉 𝑋_𝑎 = −𝑇_𝑎 𝑌_𝑎 = −𝑁 𝑇_𝑥 = 𝑇 cos 𝜎 𝑇_𝑧 = 𝑇 sin 𝜎 Substituindo nas equações do movimento anteriores: 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝜔𝜃̇ + 𝑇 𝑀cos 𝜎 − 𝑇_𝑎 𝑀 − 𝑔 cos 𝜎𝑉 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = −𝑢𝜃̇ + 𝑇 𝑀sin 𝜎 − 𝑁 𝑀 + 𝑔 sin 𝜎𝑉 𝐼_𝑌𝑌𝜃̈ = −𝜃̇ (𝑑𝐼𝑦𝑦 𝑑𝑡 + 𝑚𝑥𝑒2) + 𝑥𝑒𝑇𝑧 − 𝑧𝑒𝑇𝑥 − 𝑀′

𝑀 = 𝑀₀ − ∫ 𝑚 𝑑𝑡 tan 𝛼 = 𝑤

𝑢

Para 𝜎 = 0 tem-se 𝑇

_𝑧

= 0 e 𝑧

_𝑒

= 0

Desprezando

forças

aerodinâmicas,

com

resultados superestimados em 10%:

𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑤𝜃̇ + 𝑇 𝑀 − 𝑔 cos 𝜎𝑉 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = −𝑢𝜃̇ + 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜎𝑉 𝐼_𝑦𝑦𝜃̈ = −𝜃̇ (𝑑𝐼𝑦𝑦 𝑑𝑡 + 𝑚 𝑥𝑒2) 𝑀 = 𝑀₀ − ∫ 𝑚 𝑑𝑡 𝑡 0 tan 𝛼 = 𝑤 𝑢 , 𝑞 = 𝜃̇

Equações do Movimento no Espaço Livre

Movimento do foguete não está sujeito às forças aerodinâmicas e gravitacionais.

Como estamos considerando o voo no vácuo, a atração é dada por:

𝑇 = 𝑚𝑉_𝑒 + 𝑃_𝑒𝐴_𝑒

E podemos adotar uma expressão mais simples para a tração:

𝑇 = 𝑚𝑔₀𝐼_𝑠𝑝

𝑚 – fluxo de massa através do bocal da tubeira, ou

seja consumo de massa de combustível do foguete,

𝐼_𝑠𝑝 - impulso específico, considerado constante, 𝑔₀ – aceleração da gravidade na superfície da Terra, Sendo que: 𝒄 = 𝒈_𝟎𝑰_𝒔𝒑 é chamado de velocidade de escape efetiva. E T= mc

Consideraremos, 𝜃̇ = 0 , o que é válido para a

Pelas equações do movimento 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑤𝜃̇ + 𝑇 𝑀 − 𝑔 cos 𝜎𝑉 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = −𝑢𝜃̇ + 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜎𝑉 𝐼_𝑦𝑦𝜃̈ = −𝜃̇ (𝑑𝐼𝑦𝑦 𝑑𝑡 + 𝑚 𝑥𝑒2) Tem se: 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑚𝑐 𝑀 (∗) 𝑚 = −𝑑𝑀 𝑑𝑡 (∗∗) Substituindo (**) em (*) temos: 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = − 𝑐 𝑀 𝑑𝑀 𝑑𝑡

Com as condições iniciais: 𝑡 = 0 , 𝑢(0) = 𝑢₀ , 𝑀(0) = 𝑀₀:

𝑑𝑢 = −𝑐𝑑𝑀 𝑀

𝑢 − 𝑢₀ = 𝑐 ln𝑀0 𝑀

∆𝑢 = 𝑐 ln𝑀0

𝑀 (∗∗∗)

A equação (***) é chamada de equação de

TSIOLKOVSKY, (1857-1935) sendo que 𝑀(𝑡) é dada:

𝑀(𝑡) = 𝑀₀ − ∫ 𝑚 𝑑𝑡𝑡

0

Portanto temos a velocidade e a massa do foguete dependendo do tempo e do consumo de combustível.

Se:

𝑴_𝒄 - massa de combustível total consumida pelo foguete a

𝑴_𝒃 − massa no fim da queima (burnout):

𝑀_𝑏 = 𝑀₀ − 𝑀_𝑐 O tempo de fim de queima

t

b é determinado por:

𝑀_𝑐 = ∫ 𝑚 𝑑𝑡𝑡𝑏

0

Definindo a razão de massa, 𝜆, por: 𝜆 = 𝑀0

O incremento de velocidade no instante de fim de

queima, 𝑡 = 𝑡_𝑏, pode ser obtido por:

Δ𝑢_𝑖𝑑 = 𝑔₀𝐼_𝑠𝑝ln 𝜆

chamado de velocidade ideal do foguete, observa

se que para um mesmo 𝐼_𝑠𝑝, quanto maior a razão de massa maior o incremento de velocidade obtido.

No gráfico Δ𝑢_𝑖𝑑 vs 𝜆, para vários valores do impulso específico.

Quanto maior o impulso específico, menor a razão de massa para se obter um mesmo incremento de velocidade.

Mas é importante salientar que o impulso específico

geralmente não ultrapassa 300 seg, sendo que para certos

combustíveis líquidos pode-se obter um impulso

𝚫𝒖

_𝒊𝒅

= 𝒈

_𝟎

𝑰

_𝒔𝒑

𝐥𝐧 𝝀

Aumento

de

𝝀

nos

leva

à

correspondentes

pequenos aumentos na

velocidade.

No entanto, a

razão

𝝀 = 𝟏𝟎

é o limite

prático para veículos de um só estágio,

sendo que para valores de

𝝀 > 𝟏𝟎 deve-se

Ascensão Vertical

Neste caso temos 𝜃̇ = 0, ou seja, 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Ou seja:

 A direção da velocidade coincide com a direção do eixo longitudinal do foguete, portanto o ângulo de ataque é nulo (𝛼 = 0).

 A força aerodinâmica atua apenas na direção oposta à velocidade, tal que a força tangencial coincide com a força de arrasto, não havendo o aparecimento de momento aerodinâmico.

 A tração e a força de gravidade, também atuam na direção do eixo longitudinal do foguete, isto é 𝜎 = 𝜎_𝑣 = 0.

Para efeito de integração analítica, faremos ainda as seguintes considerações:

 O Arrasto atmosférico será desprezado;

 A aceleração da gravidade será admitida constante, o que é válido até altitudes não muito grande (aproximadamente 150 km), ou quando a fase de propulsão não envolve grandes variações de altitude;

 A tração será constante, tal que o consumo de massa de combustível é constante, e a massa do foguete à cada instante é dada por:

𝑀(𝑡) = 𝑀₀− ∫ 𝑚 𝑑𝑡𝑡

0

𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑤𝜃̇ + 𝑇 𝑀 − 𝑔 cos 𝜎𝑉 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = −𝑢𝜃̇ + 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜎𝑉 𝐼_𝑦𝑦𝜃̈ = −𝜃̇ (𝑑𝐼𝑦𝑦 𝑑𝑡 + 𝑚 𝑥𝑒2) tan 𝛼 = 𝑤 𝑢

Com estas considerações temos que as equações do movimento se reduzem à: 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑇 𝑀₀ − 𝑚𝑡 − 𝑔 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = 0 , 𝑤 = 0 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 0 , 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Integrando com 𝑢(0) = 0, temos: 𝑢 = 𝑇 ∫ 𝑑𝑡 𝑀₀ − 𝑚𝑡 𝑡 0 − 𝑔𝑡 𝑢 = 𝑇 𝑚ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡 − 𝑔𝑡

QUE FORNECE a velocidade do CM do foguete com relação ao sistema inercial, expressa no

sistema do veículo, sendo que 𝑢 nos determina a

variação da altitude ℎ com o tempo.

Considerando: 𝑉_𝐶𝑀 = 𝑋̇𝑒 _𝑋 + 𝑍̇𝑒 _𝑍 e utilizando a matriz de transformação 𝐿_𝑃𝐼: 𝐿_𝑃𝐼 = [ cos 𝜃0 0 sin 𝜃1 0 − sin 𝜃 0 cos 𝜃 ] 𝑋̇ = (𝑇 𝑚ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡 − 𝑔𝑡) cos 𝜃 𝑌̇ = 0 𝑍̇ = (𝑇 𝑚ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡 − 𝑔𝑡) sin 𝜃

A posição do veículo com relação ao sistema inercial é obtida integrando as equações ANTERIORES, COM 𝜃 constante: 𝑋 − 𝑋₀ = _𝑚𝑇 cos 𝜃 ∫ ln 𝑀0 𝑀₀−𝑚𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 − 𝑔 𝑡2 2 cos 𝜃 𝑌 = 0 𝑍 − 𝑍₀ = 𝑇 sin 𝜃 𝑚 ∫ ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 − 𝑔 sin 𝜃𝑡2 2

Fazendo uma integração por partes da parcela

∫ ln

_𝑀𝑀0 0−𝑚𝑡

𝑑𝑡

𝑡 0

temos:

𝑢 = ln

𝑀

0

𝑀

₀

− 𝑚𝑡

𝑑𝑣 = 𝑑𝑡

Tal que:

∫ ln

𝑀

0

𝑀

₀

− 𝑚𝑡

𝑑𝑡

𝑡 0

= ∫ 𝑢 𝑑𝑣

𝑡 0

= 𝑢𝑣|

₀𝑡

− ∫ 𝑣 𝑑𝑢

𝑡 0

Mas:

𝑑(ln 𝐴) =

1

𝐴

𝑑𝐴

∫

𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑥 + 𝑏

= −

𝑏

𝑎

2

ln(𝑎𝑥 + 𝑏) +

𝑥

𝑎

Então: 𝑑𝑢 = _𝑀 𝑚 0−𝑚𝑡𝑑𝑡 ∫ 𝑣 𝑑𝑢𝑡 0 = + ∫ 𝑡𝑚 𝑀₀ − 𝑚𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = 𝑡 0 + 𝑀₀ 𝑚 ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡 − 𝑡 𝑢𝑣|₀𝑡 = 𝑡 ln 𝑀0 𝑀₀ − 𝑚𝑡 Portanto: ∫ ln 𝑀0 𝑀₀ − 𝑚𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 = 𝑡 + (𝑡 − 𝑀0 𝑚 ) ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡 (23) Substituindo (23) em (22) temos a posição do CM do veículo com relação ao sistema inercial dado por:

𝑋 = 𝑋₀ + 𝑇 𝑚cos 𝜃 {𝑡 + (𝑡 − 𝑀₀ 𝑚) ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡} − 𝑔𝑡2 2 cos 𝜃 (24. 𝑎) 𝑌 = 0 (24. 𝑏) 𝑍 = 𝑍₀ + 𝑇 sin 𝜃 𝑚 {𝑡 + (𝑡 − 𝑀₀ 𝑚) ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡} − 𝑔𝑡 2 2 sin 𝜃 (24. 𝑐)

A posição inicial no instante de lançamento do foguete, 𝑡 = 0, com o foguete na superfície da Terra será:

𝑋₀ = 𝑅₀ cos 𝜃 𝑍₀ = 𝑅₀ sin 𝜃 Onde 𝑅₀ é o raio da Terra esférica.

Neste caso, para simplificar um pouco mais poderíamos ter escolhido um sistema inercial tal que o eixo 𝑋 coincidissee com a posição da base de lançamento do foguete, o eixo Z no plano do horizonte apontado para o leste, tal que 𝜃 = 0. Deste modo teríamos:

𝑋 = 𝑅₀ + 𝑇 𝑚{𝑡 + (𝑡 − 𝑀₀ 𝑚) ln 𝑀₀ 𝑀₀𝑚} − 𝑔 𝑡2 2 𝑌 = 0 𝑍 = 0

Sendo que 𝑑𝑋_𝑑𝑡 nos daria a variação da altura (ℎ) com o tempo, pois 𝑋 = 𝑅₀ + ℎ.

As soluções apresentadas são superestimadas

devido as hipóteses adotadas, sendo da ordem de

10% à 15% do comportamento real dos foguetes.

As equações até aqui desenvolvidas, nos determinam a velocidade e altitude como função do tempo e da massa do foguete. A velocidade e altitude no final da queima (𝑡_𝑏), que para um consumo de massa constante é dado por:

𝑡_𝑏 = 𝑀𝑐

𝑚 Sendo, 𝑀_𝑐 a massa de combustível consumida.

A aceleração, velocidade e altitude no fim de queima, podem também ser obtidos em termos de fatores estruturais e do consumo de massa do combustível.

Seja:

𝑀₀ = 𝑀_𝑐 + 𝑀_𝑠 + 𝑀_𝑝 𝑀_𝑠 = 𝑀_𝑠𝑜 + 𝐵𝑀_𝑐

Onde:

𝑀_𝑠 - Massa estrutural

𝑀

_𝑝

- Massa da carga útil

𝑀

_𝑠𝑜

- Massa estrutural propriamente dita

𝐵 - Fator de massa do tanque de combustível,

que corresponde à fração de combustível que não é

queimado e permanece como peso morto no tanque,

é da ordem de 0,01 à 0,02.

No instante de decolagem a equação do

movimento, considerando 𝜃 = 0, é escrita como:

𝑋̈₀ = 𝑇

𝑀₀ − 𝑔0

e

Ou

𝑀_𝑐 = [ 𝑇

𝑋₀̈ + 𝑔₀ − 𝑀𝑝 − 𝑀𝑠𝑜] 1

1 + 𝐵

Como a tração pode ser dada por 𝑇 = 𝑚𝑔

₀

𝐼

_𝑠𝑝

,

temos que:

𝑀_𝑐 = [𝑚𝑔0𝐼𝑠𝑝

𝑋̈₀ + 𝑔₀ − 𝑀𝑝 − 𝑀𝑠𝑜] 1

1 + 𝐵

E o tempo de fim de queima:

𝑡_𝑏 = [𝑚𝑔0𝐼𝑠𝑝

𝑋̈ + 𝑔₀ − 𝑀𝑝 − 𝑀𝑠𝑜]

1

(1 + 𝐵)𝑚

Podemos, então, obter a altitude, a velocidade e

aceleração do foguete no fim de queima,

substituindo o valor de

𝑡

_𝑏

, nas soluções

considerando 𝜃 = 0, ou seja:

𝑋̈ =

𝑇

𝑀

₀

− 𝑚𝑡

_𝑏

− 𝑔

𝑋̇ = ℎ̇ = 𝑇 𝑚ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡_𝑏 − 𝑔𝑡𝑏 ℎ = 𝑋 − 𝑅₀ = 𝑇 𝑚{𝑡𝑏 + (𝑡𝑏 − 𝑀₀ 𝑚) ln 𝑀₀ 𝑀₀ − 𝑚𝑡} − 𝑔 𝑡_𝑏2 2