SoluçõesLista1

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. . . Lista 1 . . . .

Elaborado por Tiago Miranda

1 Algebra

´

A

Produtos Not´aveis

Problema A.1 | O n ´umero 9999999+1999000 ´e primo ou composto? Problema A.2 | Qual o valor de√2004·2002·1998·1996+36?

Problema A.3 | Prove que a soma do produto de quatro n ´umeros ´ımpares consecutivos com 16 ´e um quadrado perfeito.

Problema A.4 | Mostre que −1−√3

6 é uma raiz da equação x3+3x2+3x+7=0. Problema A.5 | Responda o que se pede.

a) O n ´umero 4p4−2√3+p97−56√3 ´e inteiro?

b) Qual o valor dep17+4√13−p17−4√13?

Problema A.6 | Mostre que o n ´umero

n2−22014·2014n+42013(20142−1),

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2 Combinat ´oria

C

PFC

Problema C.1 | Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras. A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto A = {G, H, L, P, R}, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto B= {M, I, O} e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto C = {D, U, N, T}. Devido ao aumento no n úmero de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois dos conjuntos. Qual o maior n úmero de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?

Problema C.2 | A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condiç ões:

i) se o primeiro algarismo é ´ımpar, então o último algarismo também é ´ımpar; ii) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; iii) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.

Quantas combinaç ões diferentes atendem às condiç ões estabelecidas pelo Dr. Z?

Problema C.3 | Uma formiga se movimenta uma unidade por segundo sobre os pontos 0, 1 e 2 da figura 1, comec¸ando do ponto 0.

Figura 1

a) Quais s˜ao os poss´ıveis percursos da formiga at´e 3 segundos?

b) Quantos poss´ıveis percursos pode fazer a formiga at´e 10 segundos?

Problema C.4 | Um n úmero natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 (zero) e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos são os n úmeros de quatro algarismos que são estranhos ou belos?

Problema C.5 | Uma pessoa precisa ativar o alarme de sua residência cuja senha é formada por quatro algarismos distintos e ela lembra apenas que o primeiro algarismo é 5 e que o último é 3. A central do alarme permite apenas uma tentativa a cada 2 minutos. Na pior situação poss´ıvel, qual é a maior duração de tempo que ela poderá levar para ativar o alarme digitando senha ap ós senha?

Problema C.6 | Em um certo pa´ıs, os poss´ıveis n úmeros de telefones celulares eram formados por oito algarismos, utilizando-se d´ıgitos de 0 a 9, iniciados, obrigatoriamente, com 9, 8 ou 7. Com o crescimento da população, houve a necessidade de se criar novos n úmeros. Os n úmeros antigos foram mantidos, apenas recebendo um algarismo 9 em seu in´ıcio, passando assim a ter 9 algarismos. Já os n úmeros novos, formados também com nove algarismos, têm a única restrição de começar com o d´ıgito 9. Desta maneira, quantos n úmeros a mais foram criados?

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Respostas e Solu¸c ˜oes.

Problema A.1 | O n úmero 9999999+1999000 é primo ou composto? Solu¸cão do problema A.1. (Adaptado da Olimp´ıada da Ucrânia) Solu¸cão proposta por diversos autores.

Observe que podemos desenvolver a express˜ao da seguinte forma 9999999+1999000=107−1+ (2·103−1) ·103 =9·106+106−1+2·106−103 =9·106−3·103+3·103+3·106−103−1 =3·103(3·103−1) +3·103(103+1) − (103+1) =3·103(3·103−1) + (103+1)(3·103−1) = (3·103−1)(3·103+103+1) =2999·4001.

Observa¸c˜ao: Usando sites espec´ıficos, podemos calcular que: i) 9+1999000=19·105211;

ii) 99+1999000 ´e um n ´umero primo;

iii) 999+1999000=17·71·1657; iv) 9999+1999000=971·2069;

v) 99999+1999000=7·299857;

vi) 999999+1999000 ´e um n ´umero primo; vii) 9999999+1999000=2999·4001;

viii) 99999999+1999000 ´e um n ´umero primo;

ix) 999999999+1999000 ´e um n ´umero primo; x) 9999999999+1999000=31·577·559177.

. . . Problema(s) Correlato(s) . . . . a) Prove que o n úmero 3999991 não é primo.

b) Prove que o n úmero 1000343 não é primo.

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Problema A.2 | Qual o valor de√2004·2002·1998·1996+36? Solu¸c˜ao do problema A.2. (Adaptado da Olimp´ıada do Uruguai) Solu¸c˜ao proposta por diversos autores.

Vamos utilizar uma substituição para agilizar as contas. Seja x =2000, então ficamos com √ 2004·2002·1998·1996+36= q (x+4) · (x+2) · (x−2) · (x−4) +36 = q (x+4) · (x−4) · (x+2) · (x−2) +36 = q (x2₋₁₆_{) · (}_x2₋₄_{) +}₃₆ =px4₋_20x2₊₆₄₊₃₆ =px4₋_20x2₊₁₀₀ =px4₋₂_·_10x2₊₁₀2 = q (x2₋₁₀₎2 =x2−10=20002−10=3999990.

Outra solu¸c˜ao: (Proposta por Luan Leonardo Vieira, Manaus - (AM)) Para todo n∈ N, observamos que

n· (n+2) · (n+6) · (n+8) +36 = n· (n+8) · (n+2) · (n+6) +36, = (n2+8n) · (n2+8n+12) +36, = (n2+8n+12−12) · (n2+8n+12) +36, = (n2+8n+12)2−12(n2+8n+12) +36, = [(n2+8n+12) −6]2, = (n2+8n+6)2.

Em particular, para n=1996 temos √ 2004·2002·1998·1996+36=19962+8·1996+6. . . . Problema(s) Correlato(s) . . . . a) Qual o valor de √1234562₊₁₂₃₄₅₆₊_123457? b) Resolva a equac¸˜ao (x+1995)(x+1997)(x+1999)(x+2001) +16=0. (Respostas: a) 123457 b) S= {−1998±√5}.)

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Problema A.3 | Prove que a soma do produto de quatro n ´umeros ´ımpares consecutivos com 16 ´e um quadrado perfeito.

Solu¸c˜ao do problema A.3. (Extra´ıdo da Olimp´ıada da Alemanha)

Solu¸c˜ao proposta por diversos autores.

Podemos escrever os quatro ´ımpares consecutivos como(2n−3),(2n−1),(2n+1) e(2n+3), com n inteiro, e seu produto somado com 16 fica

(2n−3)(2n−1)(2n+1)(2n+3) +16= (2n−3)(2n+3)(2n−1)(2n+1) +16 = (4n2−9)(4n2−1) +16

=16n4−4n2−36n2+9+16 =16n4−40n2+25= (4n2−5)2.

Ent˜ao (2n−3)(2n−1)(2n+1)(2n+3) +16= (4n2−5)2.

Outra solu¸c˜ao: (Proposta por Luan Leonardo Vieira, Manaus - (AM))

Sejam n, n+2, n+4 e n+6 os quatro n ´umeros ´ımpares (pares) consecutivos, ent˜ao

n· (n+2) · (n+4) · (n+6) +16 = n· (n+6) · (n+2) · (n+4) +16, = (n2+6n) · (n2+6n+8) +16, = (n2+6n+8−8) · (n2+6n+8) +16, = (n2+6n+8)2−8· (n2+6n+8) +16, = [(n2+6n+8) −4]2 = (n2+6n+4)2. . . . Problema(s) Correlato(s) . . . . a) A soma de quatro inteiros positivos consecutivos pode ser um n úmero primo? Justifique sua resposta. b) A soma de três inteiros positivos consecutivos pode ser um n úmero primo? Justifique sua resposta.

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Problema A.4 | Mostre que −1−√3

6 é uma raiz da equação x3+3x2+3x+7=0.

Solu¸c˜ao do problema A.4. (Adaptado do Torneio Harvard-MIT) Solu¸c˜ao proposta por diversos autores.

Usaremos a identidade

(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 para reescrever a equac¸˜ao dada. Sendo assim, ficaremos com

x3+3x2+3x+7=0 x3+3x2+3x+1+6=0 (x+1)3+6=0 (x+1)3 = −6 x+1=√3 −6 x = −1+√3 −6 x = −1−√3 6.

Outra solu¸c˜ao: (Proposta por Luan Leonardo Vieira, Manaus - (AM)) Seja α= −1−√3 6, temos que

α3 = −(1+ 3 √ 6)3 = −[1+3√3 6+3(√3 6)2+6] = −{7+3[1+2√3 6+ (√3 6)2−1−√3 6]} = −{7+3[(−1−√3 6)2−1−√3 6]} = −3(−1−√3 6)2−3(−1−√3 6) −7 = −3α2−3α−7. . . . Problema(s) Correlato(s) . . . . a) (OBM) Se α é uma das ra´ızes da equação x2+x−1=0, determine o valor de α5−5α.

b) (PAPMEM) Sendo α é uma das ra´ızes do equação x3−3x+1=0, prove que a2−2 é outra raiz da mesma equação.

(Respostas: a)−3 b) Demonstração. Os passos são: substituir x=α2−2 e usar o fato que α3=3α−1. Por fim, deve-se observar que a questão enuncia α2−2 como outra raiz da equação inicial, mas se α2−2=α, ter´ıamos α=2 ou α= −1, mas nenhuma dessas é raiz de x3−3x+1.)

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Problema A.5 | Responda o que se pede.

a) O n ´umero 4p4−2√3+p97−56√3 ´e inteiro?

b) Qual o valor dep17+4√13−p17−4√13?

Solu¸c˜ao do problema A.5. Usaremos um artif´ıcio chamado “Radical Duplo”. a) (Extra´ıdo da Olimp´ıada Panafricana)

Como 4−2√3 =√32−2√3+1= (√3−1)2 e 97−56√3 =72−2·7·4√3+ (4√3)2 = (7−4√3)2, ficamos com 4 q 4−2√3+ q 97−56√3=4 q (√3−1)2₊ q (7−4√3)2 =4(√3−1) + (7−4√3) =4√3−4+7−4√3=3.

b) (Extra´ıdo da Olimp´ıada de Matem´atica de Singapura) q 17+4√13− q 17−4√13= q (√13+2)2₋ q (√13−2)2 =√13+2− (√13−2) = 4.

Outra solu¸c˜ao: (Proposta por Saulo Carvalho, Rio de Janeiro (RJ)) Para x=p17+4√13−p17−4√13 e fazendo 9√13=a, temos:

x =√17+a−√17−a x2 =17+a−2 q (17+a)(17−a) +17−a x2 =34−2p172₋_a2 x2 =34−2 q 172_{− (}₉√₁₃₎2 x2 =34−2√81 x2 =34−18 x = ±4.

E como x >0 ficamos com x =4.

. . . Problema(s) Correlato(s) . . . . (Torneio Harvard-MIT)Simplifique 2003p2√11−3√5· 4006p89+12√55

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Problema A.6 | Mostre que o n ´umero

n2−22014·2014n+42013(20142−1), com n natural, n˜ao pode ser primo.

Solu¸c˜ao do problema A.6. (Extra´ıdo da Olimp´ıada do Cone Sul−2014) Solu¸c˜ao proposta por diversos autores.

Sendo A=n2−22014·2014n+42013(20142−1), podemos desenvolver a seguinte fatorac¸˜ao

A =n2−22014·2014n+42013(20142−1) =n2−2·22013·2014n+ (22)2013·20142−42013 =n2−2·22013·2014n+ (22013·2014)2−42013 = (n−22013·2014)2−42013

= (n−22013·2014−42013) · (n−22013·2014+42013).

Falta provarmos que essa multiplicação não é (1×n úmero primo). Se n−22013·2014−42013 =1, então n =1+22013·2014+42013 e, substituindo em (n−22013·2014+42013), ficamos com

1+22013·2014+42013−22013·2014+42013 =1+222013 =13+213423,

que pode ser fatorado como a soma de dois cubos, ambos diferentes de 1 (verifique!), logo A não é n úmero primo. (Análogo para n−22013·2014+42013 =1. No final teremos diferença de cubos.) Problema C.1 | Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras. A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto A = {G, H, L, P, R}, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto B= {M, I, O} e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto C = {D, U, N, T}. Devido ao aumento no n úmero de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois dos conjuntos. Qual o maior n úmero de novas placas que podem ser feitos, quando se acrescentam as duas novas letras?

Solu¸c˜ao do problema C.1. (Extra´ıdo do Banco de Quest ˜oes da OBMEP −2011)

Inicialmente, é poss´ıvel fazer o emplacamento de 5×3×4 = 60 bicicletas. Vamos analisar as duas situaç ões poss´ıveis: Aumentamos duas letras num dos conjuntos. Com isso, podemos ter

A B C TOTAL

7 3 4 84

5 5 4 100

5 3 6 90

Assim, com a modificação mostrada, o n úmero de novas placas é no máximo 100−60=40. Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter

A B C TOTAL

6 4 4 96

6 3 5 90

5 4 5 100

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Problema C.2 | A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condiç ões:

i) se o primeiro algarismo é ´ımpar, então o último algarismo também é ´ımpar; ii) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; iii) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.

Quantas combinaç ões diferentes atendem às condiç ões estabelecidas pelo Dr. Z? Solu¸cão do problema C.2. (Extra´ıdo do vestibular da UFRJ)

Observe que a condição (iii) independe das anteriores. As opç ões de soma 5 são (2, 3), (3, 2), (1, 4), (4, 1), (5, 0) e(0, 5). Analisando cada caso temos:

i) 5×5=25 opç ões para começar e terminar o n úmero com algarismos ´ımpares, 6 para os segundo e terceiro d´ıgitos e 10 para o quarto algarismos, totalizando 25×6×10=1500; e

ii) 5×1=5 opç ões para começar e terminar no mesmo algarismo, 6 para os segundo e terceiro d´ıgitos e 10 para o quarto algarismos, totalizando 5×6×10=300.

O que resulta num total de 1500+300=1800.

Problema C.3 | Uma formiga se movimenta uma unidade por segundo sobre os pontos 0, 1 e 2 da figura 1, comec¸ando do ponto 0.

Figura 1

a) Quais s˜ao os poss´ıveis percursos da formiga at´e 3 segundos?

b) Quantos poss´ıveis percursos pode fazer a formiga at´e 10 segundos?

Solu¸c˜ao do problema C.3. (Extra´ıdo do Banco de Quest ˜oes da OBMEP −2011)

Observe que a formiga sempre est´a no 1 nos segundos ´ımpares.

a) At´e trˆes segundos temos dois poss´ıveis percursos: 0−1−0−1 ou 0−1−2−1.

b) Observemos que quando a formiga está nos pontos 0 e 2 ela somente tem uma possibilidade para caminhar no segundo seguinte, que é ir para 1. Quando está em 1 ela tem duas possibilidades no segundo seguinte, que é ir para 0 ou 2. Assim, nos segundos ´ımpares a formiga sempre está no 1, enquanto nos segundos pares ela está no 0 ou no 2. Portanto, o n úmero de caminhos poss´ıveis depois de 10 segundos é 1×2×1×2×1×2×1×2×1×2=32.

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Problema C.4 | Um n úmero natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 (zero) e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos são os n úmeros de quatro algarismos que são estranhos ou belos?

Solu¸c˜ao do problema C.4. (Extra´ıdo do exame da acesso do PROFMAT−2012)

(Adaptada da solu¸c˜ao proposta por M ´ormon Lima dos Santos, Campina Grande (PB))

Os n úmero “estranhos” devem ter quatro d´ıgitos de 1 até 9, sem repetição, o que gera 9·8·7·6=3024 n úmeros estranhos.Já os “belos” têm o primeiro algarismo diferente de zero, então s ó pode ser 2, 4, 6 ou 8. Os demais podem ser 0, 2, 4, 6, 8. Como pode haver repetição , então são 4·5·5·5=500 belos. Pede-se a quantidade de n úmeros de quatro algarismos belos ou estranhos. Se somarmos 3024 com 500 teremos somado duas vezes aqueles que são ao mesmo tempo belos e estranhos. Portanto temos que calcular quantos são e subtrair de 3524 a quantidade de n úmeros ao mesmo tempo belos e estranhos. Os que são belos e estranhos s ó usam os algarismos2, 4, 6 e 8 em cada uma das posiç ões (pois n úmeros estranhos não têm zero como algarismo) e ainda sem repetiç ões. Ficamos apenas com 4·3·2 = 24 possibilidades. Por fim, serão belos ou estranhos 3524−24=3500 n úmeros de quatro algarismos. Problema C.5 | Uma pessoa precisa ativar o alarme de sua residência cuja senha é formada por quatro algarismos distintos e ela lembra apenas que o primeiro algarismo é 5 e que o último é 3. A central do alarme permite apenas uma tentativa a cada 2 minutos. Na pior situação poss´ıvel, qual é a maior duração de tempo que ela poderá levar para ativar o alarme digitando senha ap ós senha?

Sabendo que a senha é formada por 4 algarismos distintos, cujo primeiro d´ıgito é 5 e o último é 3; do total de 10 algarismos restam 8 possibilidades de escolha para o segundo d´ıgito e 7 possibilidade de escolha para o terceiro d´ıgito. Assim, temos 8×7=56 combinaç ões poss´ıveis. Como não é necessário aguardar dois minutos para a primeira tentativa, mas temos que aguardar um intervalo de tempo de 2 minutos para as demais tentativas o tempo necessário levará para ativar o alarme será de 2× (56−1) = 110 minutos, ou seja, 1 hora e 50 minutos.

Problema C.6 | Em um certo pa´ıs, os poss´ıveis n úmeros de telefones celulares eram formados por oito algarismos, utilizando-se d´ıgitos de 0 a 9, iniciados, obrigatoriamente, com 9, 8 ou 7. Com o crescimento da população, houve a necessidade de se criar novos n úmeros. Os n úmeros antigos foram mantidos, apenas recebendo um algarismo 9 em seu in´ıcio, passando assim a ter 9 algarismos. Já os n úmeros novos, formados também com nove algarismos, têm a única restrição de começar com o d´ıgito 9. Desta maneira, quantos n úmeros a mais foram criados?

(Adaptada da solu¸c˜ao proposta por M ´ormon Lima dos Santos, Campina Grande (PB))

O total de n úmeros de nove algarismos tendo o d´ıgito 9 como primeiro é 108. Os n úmeros antigos de oito algarismos constam no total de 3·107 e, introduzindo o d´ıgito 9 como primeiro não altera o total desses n úmeros, apenas passam a ter nove algarismos. Portanto, a quantidade de n úmeros criados é igual a 108−3·107=10·107−3·107 =7·107=70 milh ões.

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Solu¸c ˜oes Enviadas

Enviaram soluc¸ ˜oes para os problemas da lista 1:

• Andr´e Lui Brodzinski, Maring´a (PR), problemas A2 e A3;

• Douglas de Araujo Smigly , São Caetano do Sul (SP), problemas A2, A3 e A5; • Fernando Neres de Oliveira, Cara úbas (RN), problemas A2, A4 e A5(b); • João Paulo, Fortaleza (CE), problemas A5 e A6;

• Luan Leonardo Vieira, Manaus (AM), problemas A1, A2, A3, A4, A5 e A6; • Matheus Henrique Carvalhaes, Rio de Janeiro (RJ), problema A5(b);

• Mormon Lima dos Santos, Campina Grande (PB), problemas A1, A2, A3, A5 e A6, C1, C2, C3, C4, C5 e C6; • Saulo Carvalho, Rio de Janeiro (RJ), problema A5(b) .