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Lista 1

Funções de Uma Variável

Derivadas: Definição e Regras de

Deriva-ção

1 — Ache o coeficiente angular da reta secante a

pará-bola

y=2x − x2

se as abscissas dos pontos de intersecção são iguais a: a) x1=1 x2=2

b) x1=1 x2=1.1

c) x1=1 x2=1.01

d) x1=1 x2=1 + h

2 — A que valor tende o limite da secante no último

caso quando h → 0?

3 — Ache a razão ∆y

∆x para a função y = 1 x a) no ponto 2 e ∆x = 1 b) no ponto 2 e ∆x = 0.1 c) no ponto 2 e ∆x = 0.01

4 — Quanto vale lim∆x→0∆y_∆x para a função y = 1_x?

5 — Para as seguintes funções calcule a derivada no

ponto indicado através do limite do quociente de New-ton: f′(a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h a) derivada de f(x) = x no ponto a = 0 b) derivada de f(x) = x2_{+1 no ponto a = 1} c) derivada de f(x) = x2_{no ponto a = 1} d) derivada de f(x) = 3x3_{− xno ponto a = 2} e) derivada de f(x) = x3_{no ponto a = −1} f) derivada de f(x) = x4_{no ponto a = 0} g) derivada de f(x) = √x no ponto a = 4 h) derivada de f(x) =√3_xno ponto a = 8 i) derivada de f(x) = 1 x no ponto a = 1 j) derivada de f(x) = 1 x no ponto a = −1

6 — Mostre que não existe a derivada de g(x) = |x| em

x=0. Calcule a derivada para x ̸= 0.

7 — Mostre a partir da definição de derivada que

a) d dxcos(x) = − sen(x). b) d dxsen(x) = cos(x). 8 — Mostre d dxa

x_=ln(a)ax_{. (Use que} d

dxe

x_{= e}x_).

9 — Escreva a equação da reta tangente as curvas y =

f(x)no ponto especificado. Esboce o gráfico de f(x) e da reta tangente. a) y = x3_{no ponto x = 3} b) y = x7_{+3x no ponto x = 1} c) y = 1 x−1 no ponto (−1, −12) d) y = sen(x) no ponto x = π e) y = 2xno ponto x = 2 f) y = cos(x) + x2_{no ponto x = 0} Use os limites fundamentais para o seno e cosseno.

10 — Encontre as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = 3x4_{+5x + 8} b) f(x) = x7_+6x6₊1 5x5+ x4+3x3+ x2+ π c) f(x) = ax2_{+ bx + c} d) f(x) = axm_{+ bx}m+n e) f(x) = π x2 + ln(4) x + √ 5x + ln(7) f) f(x) = 2 5x − 3− 1 x g) f(x) = x a 2 + x a+4 2 + axa−1 h) f(x) = √3a x2− b x√3x2

11 — Quantas retas tangentes a curva y = x

x+1 pas-sam pelo ponto (1, 2). Em quais pontos essas retas tan-gentes tocam a curva?

12 — Encontre as derivadas das seguintes funções:

a) f(x) = 5 sen(x) + 6 cos(x) b) f(x) = tg(x) − cotg(x)

c) f(x) = sen(x) + cos(x) sen(x) − cos(x) d) f(x) = x cotg(x)

e) f(x) = (x − 2) sen(x) + x2_{tg(x) + sen(x) cos(x)}

13 — Encontre as derivadas das seguintes funções:

a) f(x) = x7_ex b) f(x) = ex x2 c) f(x) = ex_cos(x) d) f(x) = xn ln(x) e) f(x) = x3_{ln(x) −}x3 3 f) f(x) = 2x₊₃x₊₄x₊₅x₊₆x₊₇x g) f(x) = πx₊₃x_x+4x_cos(x)

h) f(x) = log₂(x) +log₃(x) +log₄(x) i) f(x) = 2x_log 3(x) 14 — Seja cosh(x) := ex+ e−x 2 senh(x) := ex− e−x 2

Esboce os gráficos de senh(x) e de cosh(x) utilizando os gráficos de exe e−x. 15 — Mostre que: a) cosh2_{(x) −senh}2_{(x) =1} b) senh(−x) = − senh(x) c) cosh(−x) = cosh(x) d) (senh(x))′_=cosh(x) e) (cosh(x))′_=senh(x)

16 — Calcule as seguintes derivadas:

a) f(x) = (1 + 3x − 5x2₎30 b) f(x) =√1 − x2 c) f(x) = (3 − 2 sen(x))5 d) f(x) =√3 a+ bx3 e) f(x) =√3 _{sen2(x) +} 1 cos3_(x) f) f(x) = sen(5x) + cos(x 7) +tg( √ x g) f(x) = sen(x2_{−5x + 1) + tg(}a x) h) f(x) = log₁₀(sen(x)) i) f(x) = ln(ex_{+5 sen(x) − 4x}3₎ j) f(x) = a+ bxn a− bxn m k) f(x) = x4_{(a −2x}3₎2 l) f(x) = cosh(cotg ( 1 x ))

17 — Em que ponto a tangente a parábola y = x2₋

7x + 3 é paralela a reta 5x + y − 3 = 0.

18 — Achar a equação da tangente e da normal a curva

y= x3+2x2−4x − 3 no ponto (1, −4).

19 — Achar a equação da tangente e da normal a curva

y= x3+2x2−4x − 3 no ponto (−2, 5).

20 — Dado f(x) = 1

3x3−2x2+3x + 1. Encontre os pon-tos do gráfico de f nos quais a tangente é horizontal.

i) f(x) = 1 2x

Faça esse depois de 17-19.

Esse é depois de regra do quociente ou regra da cadeia.

15' -- Usando a regra do quociente, mostre que a derivada de f(x)=1/[g(x)] é dada por f'(x) = -g'(x)/[g(x)]². Chegue no mesmo resultado usando a regra da cadeia.

21 — Dado o polinômio p(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d.}

De-termine a, b, c, d se p(0) = p(1) = −2 p′_{(0) = −1 e}

p′′(0) = 10.

Funções Definidas por Partes

f(x) = {

x2se x ⩽ c ax+ bse x > c

Ache os valores de a, b em termos de c de modo que f′(c)exista.

23 — Seja f a função definida como:

f(x) = {

sen(x) se x⩽ c ax+ bse x > c

Ache os valores de a, b em termos de c de modo que f′(c)exista.

24 — Dado c > 0, seja f a função definida como:

f(x) =    1 |x|se |x| > c a+ bx2se |x| < c

Ache os valores de a, b em termos de c de modo que f′(c)exista.

25 — Mostre que a função

f(x) = {

x13 sen 1x sex ̸= 0

0 sex = 0

é contínua no 0 mas não diferenciável no 0

3

OBS: Para f'(c) existir é necessário que f seja contínua em c. Esboce para ter uma ideia.

Respostas dos Exercícios

1 a)-1 b) -0.1 c) d) - h 2 0

3 a) -1/6 b) -5/21 c) -50/201 5 a.) f′_{(a) = lim}

h→0 0 + h − 0 h =1. b.) 2. c.) 2. d.) f′(a) = lim h→0 3(2 + h)3_{−2 − h − 3 · 2}3₊₂ h = lim h→0 35h + 18h2_+3h3 h =35 e.) 3 f.) 0 g.) f′(a) = lim h→0 √ 4 + h −√4 h = lim h→0 √ 4 + h −√4 h · √ 4 + h +√4 √_{4 + h +}√ 4 = lim h→0 h h(√4 + h +√4) = 1/4 i.) -1

6 Dica: calcule as derivadas laterais pela direita e pela

esquerda. Se x > 0 então g′_{(x) =1. Se x < 0 então g}′_{(x) = −1.} Conclua 7 lim h→0 sen(x + h) − sen(x) h = = lim h→0 sen(h/2) h/2 cos ( x+ h 2 ) = = lim h→0 sen(h/2) h/2 hlim→0cos ( x+ h 2 ) = =1

8 Se y = axentão ln(y) = x ln a e logo y = exln a. Use

a regra da Cadeia e conclua.

9 a.) y = 27(x − 3) + 27 b.) y = 10(x − 1) + 4 c.) y =1 4(−x −1) −12d.) y = π − x 10 a.) 12x3₊₅ b.) 2x + 9x2_+4x3_{+ x}4_+36x5_+7x6 _{c.) 2ax + b d.)} amxm−1+ b(m + n)xm+n−1f.) 1₂xa2−1(ax2+ a +4x2)! 11 Dois pontos, (−2 ±√3, (1 ∓√3)/2) 12 b.) cossec(x)2_+sec(x)2

d.) cotg(x) − x cossec(x)2 _{e) (−2 + x) cos(x) + cos(x)}2₊ x2sec(x)2+sen(x) − sen(x)2+2x tg(x)

13 a)7ex_x6_{+ e}x_x7 b) (−2ex_)/x3_{+ e}x_/x2 f) 2x_{ln(2) +} 3x_{ln(3) + 4}x_{ln(4) + 5}x_{ln(5) + 6}x_{ln(6) + 7}x_{ln(7) h)} 1/(x ln(2)) + 1/(x ln(3)) + 1/(x ln(4)) i) 2x_{/(xln(3)) +} (2x_{ln(2) ln(x))/ ln(3)} 15 a.) cosh2(t) −senh2(t) = [1 2(et+ e−t)]2− [ 1 2(et+ e−t)]2=1 d.) Use que senh x = ex− e₂ −x e derive.

16 a) 30(1 + 3x − 5x2₎29_{(3 − 10x) b) √}−x 1 − x2 c) −10 cos(x)(3 − 2 sen(x))4 _d) bx2 3 √ (a + bx3)2 f) 5 sen(5x) − 1 7sen( x 7) + sec2(√x) 2√x h) cotg(x) log10e j) 2abmnxn−1(a + bxn)m−1 (a − bxn₎m+1 l) 4x3(a −2x3)(a −5x3) 17 1 2 ( 7 ±√41) 19 y − 5 = 0 x + 2 = 0 22 a = 2c, b = −c2

23 a = cos(c), b = −c cos(c + sen(c) 24 a = 3 2c b= − 1 2c3 x=1 ,

Lista 2

Funções de Uma Variável

Derivadas II

Derivadas de funções

exponenci-ais, logarítmicas e trigonométricas

1 — Calcule as seguintes derivadas

a) esen x b) ln(1 + x2₎ c) xx d) cos(x)x e) senh(x)tgh(x) f) xπ_{+ π}x g) (2x + 1)x h) ln(ln(ln(x))) i) ln(x)x j) xex k) xcosh(x) * l) xxx 2 — Prove que a) d

dx(cossec(x)) = − cossec(x) cotg(x) b) d dx(sec(x)) = sec(x) tg(x) c) d dx(cotg(x)) = − cossec 2_(x) d) d dx arcsen(x) = 1 √ 1− x2 e) d dx arccos(x) = − 1 √ 1− x2 f) d dx arctg(x) = 1 1+ x2 g) d dx arccossec(x) = − 1 x√x2_{− 1}

3 — Calcule as seguintes derivadas

a) tgh(4x) b) senh(x3_{+ 3x)} c) senh(x) tgh(x) d) ecosh x e) x2_senh(3x) f) arcsen(x3₎ g) arccos(sen(x)) h) arccossec(cos(x))

Aplicações da Derivada

4 — O deslocamento de uma partícula sobre uma

corda vibrante é dado pela equação y(t) = 10 +1

4sen(10πt)

a) Encontre a velocidade da partícula após t se-gundos

b) Em quais instantes de tempo a partícula está parada?

5 — O movimento de uma mola sujeita a uma

força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é

s(t) = 2e−2tsen(t)

onde s é medida em centímetros e t em segundos. a) Encontre a velocidade após t segundos. b) Encontre os instantes de tempo nos quais a

partícula se encontra em repouso e a respec-tiva posição nesses instantes.

c) Mostre que lim

t→∞s(t) = 0. Interprete o

signi-ficado desse limite.

OBS: x^x cresce mais rápido que 10^x? Do que 100^x? *

*

* *

6 — Uma escada com 10m de comprimento está

apoiada numa parede vertical. Seja θ o ângulo en-tre o topo da escada e a parede e x a distância da base da escada até a parede. Se a base da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez xvariará em relação a θ quando θ = π/3?

7 — Cristais de clorato de sódio são fáceis de

cres-cer no formato de cubos permitindo uma solu-ção de água e clorato de sódio evaporar vagarosa-mente. Se V for o volume de cada cubo com com-primento de lado x:

a) CalculedV

dx quando x = 3mm e explique seu significado.

b) Mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo em relação ao comprimento da aresta é igual a metade da área da superfí-cie do cubo.

8 — Uma pedra caiu dentro de um lago,

produ-zindo uma ondulação circular que cresce a uma ve-locidade radial de 60m/s. Encontre a taxa segundo conforme a qual a área dentro do círculo está cres-cendo depois de a) 1s b) 3s c) 5s. O que você pode concluir?

9 — A lei de Boyle estabelece que quando uma

amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão e do volume per-manece constante: PV = C

a) Encontre a taxa de variação do volume em relação a pressão.

b) Uma amostra de gás está em um recipiente a baixa pressão e é regularmente comprimida a temperatura constante por 10min. O vo-lume decresce mais rapidamente no início ou final dos 10 minutos. Explique.

10 — Em uma fazenda de piscicultura, uma

po-pulação de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:

dP dt = r0 ( 1−P(t) Pc ) P(t) − βP(t)

onde r0 é a taxa de nascimento dos peixes, Pc é a

população máxima que o pequeno lago pode man-ter (capacidade de suporte) e β é a percentagem da população que é colhida.

a) Qual o valor de dP

dt corresponde à popula-ção estável?

b) Se o pequeno lago pode manter 10000 pei-xes a taxa de nascimento é 5% e a taxa de colheita é de 4% encontre o nível estável da população.

c) O que acontece se β é elevado a 5%?

Derivação Implícita

11 — Encontre dy/dx diferenciando

implicita-mente

a) x2_{+ y}2 _{= 1}

b) x2_{y+ xy}2 _{= 3x}

c) √x + y + √xy = 6

d) x sen(y) + cos(2y) = cos(y) e) xy_{= y}x

f) y = ln(x2_{+ y}2₎

12 — Encontre uma equação da reta tangente à

curva no ponto dado a) x2 16− y2 9 = 1no ponto (−5, 9/4) b) x2 9 + y2 36 = 1no ponto (−1, 4 √ 2) c) y2_{= x}3_{(2 − x)no ponto (1, 1)}

13 — A função y = f(x), y > 0 é dada

implicita-mente por x2_{+ 4y}2 _{= 2. Determine a equação da}

reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de abs-cissa 1.

14 — Mostre, fazendo a diferenciação implícita,

que a tangente à elipse x2 a2+ y2 b2 = 1 no ponto (x0, y0)é x0x a2 + y0y b2 = 1

15 — Mostre que a soma dos interseptos x e y de

qualquer reta tangente à curva √x + √y = √c é igual a c.

16 — Encontre as equações das retas tangentes à

elipse x2_{+ 4y}2 _{= 36 que passa através do ponto}

(12, 3)

17 — A água flui a partir de um tanque cuja área

de secção transversal é constante e igual a 50m2_.

Localizado na parte inferior do tanque, existe um orifício cuja secção é sempre 14m2_{. Inicialmente, a}

altura da água no tanque era de 20m e t segundos mais tarde, era dada pela a equação

2√h+ 1 25t− 2

√

20= 0 0⩽ t ⩽ 50√20 Quão rápido a altura da água está diminuindo no instante em que ela vale 9m?

Respostas dos Exercícios

x2₊₁ c.) xx(1 +ln(x)) d.) ((cosx)x_{)∗ (ln(cos x) − x tg x)".} e.) senhtgh(x)(x) ( sech2_{(x)ln(senh(x)) + 1}) f.) πxπ−1_{+ π}xln(π) h.) 1 xln(x) ln(ln(x))

2 a.) Use a definição de cossec e a regra do quociente. b.) Use a definição de sec e a regra do quociente.

d.) Utilizando derivação implícita.

y=arcsen x ⇐⇒ sen y = x, −π 2 ⩽ y ⩽ π 2. Derivando implicitamente, cos ydy_dx = 1 ou dy dx = 1 cos y. Como 1 = cos2_y+sen2_y=cos2_{y− x}2.

Como cos y ⩾ 0 para −π/2 ⩽ y ⩽ π/2, concluímos que

arcsen′_{x= √} 1

1− x2.

e.) Análogo ao anterior.

f.) Se y = arctg x então tg y = x. Derivando

implici-tamente temos:

d

dxtg y = dxd x O lado esquerdo fica:

d dxtg y = dxd sen ycos y = dy dxcos2y+sen2ydydx cos2_y = dy dx ( 1+tg2y) Enquanto que o lado direito:

d dxx= 1 Assim dy dx(1 +tg2y) = 1 Substituindo x = tg y temos dy dx(1 + x2) = 1 dy dx = 1 1+ x2

3 a.) Usando a regra da Cadeia: 4sech2_{(4x). b.) Usando}

a regra da Cadeia:(3x2+ 3) cosh(x3+ 3x). c.) Usando a derivada do produto cosh(x) ∗ tgh(x) + sech2_(x)∗

senh(x) d.) Usando a regra da Cadeia: ecosh x_{senh x}

4 a.) Derivando: y′ _{= 5πcos(10πt) b.) Igualando a}

zero e resolvendo: ±1

20+ k5, com k ∈ Z

5 a.) 2e−t

2cos(t) − e−t2sen(t) b.) − arccos ( −√1 5 ) + kπ e cos−1(_√1 5 ) + kπ 6 5m/rad 9 a) dV dP = − V P b) No início. 11 a.) −x y b.) −2xy−y2₊₃ x(x+2y) c.) y(−√x+y)−√xy x√x+y+√xy

d.) sen y/(2 sen(2y) − sen y − x cos y) e.) y(yxy_−xyx_log(y))

x(xyx_−yxylog(x))

12 a.) Derivando implicitamente temos: y′ ₌

(9x)/(16y)logo o coeficiente angular é −5/4 e a equa-ção da reta é y = 15/4 − 5/4(x + 5)

b.) Derivando implicitamente temos: y′_{= −}26x 9y logo

o coeficiente angular é − 9 64√2

13 Derivando implicitamente temos y′ ₌

−(x/(4y)). Quando x = 1 temos que y = 1/2. Logo y′_{(1) = −1/2e a reta tangente é}

y= 1/2 − 1/2(x − 1)

15 Derivando implicitamente temos y′ _{= −}√_√y x.

Logo a reta tangente ao ponto (a, b) é b −√b(x−a) √_a

Logo a soma dos interseptos é 2√a√b+ a + b = c

17 Derivando implicitamente temos:

h′ = −₂₅1√h(t) e quando h = 9 temos h′ = −3/25

Lista 3

Funções de Uma Variável

Derivadas III

Taxas Relacionadas

1 — Se uma bola de neve derrete de tal forma

que sua área de superfície decresce a uma taxa de 1cm2/min, encontre a taxa segundo a qual o diâ-metro decresce quando o diâdiâ-metro é 10cm.

2 — Dois carros iniciam o movimento no mesmo

ponto. Um viaja para o sul a 60km/h e o outro para oeste a 25km/h. A que taxa está crescendo a distân-cia entre os carros duas horas depois?

3 — A água está vazando de um tanque cônico

in-vertido a uma taxa de 10.000cm3/min. Ao mesmo

tempo está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura e o diâmetro no topo é 4m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tan-que.

4 — Um tanque de água tem a forma de um cone

circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3_{/min, encontre a taxa na}

qual o nível da água está elevando quando a água está a 3m de profundidade.

5 — Uma esteira transportadora está

descarre-gando cascalho a uma taxa de 30m3_/min

for-mando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e da altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha, quando sua altura é de 10m.

6 — O ponteiro dos minutos de um relógio mede

8mm, enquanto o das horas tem 4mm de compri-mento. Quão rápido está variando a distância entre as pontas dos ponteiros quando o relógio está mar-cando 1 hora?

7 — Uma escada com 10m de comprimento está

apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velo-cidade de 2m/s. Quão rápido está variando o ân-gulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é π/4?.

8 — Circuito Elétrico A tensão V em volts (V) em

um circuito elétrico está relacionada com o a cor-rente em amperes (A) e a resistência R, em ohms pela equação de

Quando V= 12, I=2, V está aumentando a uma taxa de 2 V/seg, e I está crescendo a uma taxa de 12 A / seg, a que taxa a resistência está mudando?

Diferenciais e Aproximações

Diferenciais

9 — Ache a linearização de f(x) = √x+ 3 em a = 1 e use essa expressão para aproximar √3.9 e√4.1.

10 — Ache a linearização de f(x) = √3

1− x em a = 0 e use essa expressão para aproximar√0.95 e√1.05.

11 — O lado de um cubo é medido com um erro

máximo possível de 2%. Use diferenciais para es-timar o percentagem de erro máxima no volume computado.

12 — O período de um pêndulo simples é dado

por

T = 2π √

L g

sendo L o comprimento do pêndulo, g a aceleração de gravidade e T é medido em segundos. Suponha que o comprimento do pêndulo é medido com um erro máximo de 0.5%. Qual a percentagem de erro máximo no período?

Máximos e Mínimos

13 — Encontre os pontos críticos da função:

a) f(x) = 5x2_{+ 4} b) f(θ) = θ + sen(θ) c) f(x) = |2x + 3| d) f(x) = xe2x e) f(x) = x ln(x) f) f(t) =√t(1 − t) g) g(t) = 5t2/3 ₊ t5/3

14 — Suponha que f seja uma função contínua no

intervalo [a, b]

a) f possui máximos e mínimos globais nesse intervalo? Justifique?

b) Como podemos encontrar esses pontos?

15 — Encontre os valores máximos e mínimos

ab-solutos de f no intervalo dado: a) f(x) = x4₋₄

x2₊₁ no intervalo [−4, 4]

b) f(x) = x√4− x2no intervalo [−1, 2]

c) xe−x_{no intervalo [0, 2]}

d) ln(x)_x no intervalo [1, 3]

16 — Prove que a função f(x) = x101_{+ x}51_{+ x + 1}

não tem máximos nem mínimos locais.

17 — Encontre os valores máximos e mínimos globais de f no intervalo dado:

a) f(x) = x4_{− 4x}2_{+ 2no intervalo [−3, 2]}

b) g(x) = x

x+1 no intervalo [1, 2]

c) h(x) =√9− x2no intervalo [−1, 2]

d) f(t) = sen(t) + cos(t) no intervalo [0, π/3] e) f(x) = x − 3 ln(x) no intervalo [1, 4]

f) h(t) = ln(t)/t no intervalo [1, 3]

18 — Suponha que f seja uma função contínua no

intervalo (a, b)

a) Diga algumas condições para que f possua máximos e mínimos globais nesse intervalo? Justifique?

19 — Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:

a) f(x) = 1 + 1 x no intervalo (0, ∞) b) g(x) = √9+ x2no intervalo (−∞, ∞) c) h(x) = x5_{− 7x}2_{+ 2}no intervalo (−∞, ∞) d) k(x) = ln(x) − x no intervalo (0, ∞) e) m(x) = 1/(x − x2₎no intervalo (0, 1)

20 — Encontre o ponto da hipérbole y2_{− x}2 _{= 4}

que está mais próximo do ponto (2, 0).

21 — Encontre a área do maior retângulo que

pode ser inscrito na elipse x2_/a2_{+ y}2_/b2_{= 1.}

22 — Encontre o raio e a altura do cilindro

circu-lar reto de maior volume que pode ser inscrito num cone reto com 20cm de altura e 12 cm de raio.

23 — Um cilindro circular reto é inscrito em uma

esfera de raio r. Encontre o cilindro de maior vo-lume possível.

24 — Uma calha deve ser construída com uma

fo-lha de metal de largura 30cm dobrando-se para cima 1/3 da folha de cada lado, fazendo-se um ân-gulo θ com a horizontal. Como deve ser escolhido θde forma que a capacidade de carregar a água na calha seja máxima?

25 — Seja v1a velocidade da luz no ar e v2a

velo-cidade da luz na água. De acordo com o principio de Fermat um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto B na água por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto. Mostre que

sen θ1

sen θ2

= v1 v2

26 — Uma caixa sem tampa deve ser construída

a partir de um quadrado de 60cm de largura, cor-tando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa pode ter.

27 — Uma lata cilíndrica sem topo é feita para

re-ceber Vcm3_{de líquido. Encontre as dimensões que}

minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

28 — Uma caixa com tampa conforme a figura

abaixo é feita a partir de uma folha de papel de 12cmx12cm. Encontre a caixa que optimiza o vo-lume.

29 — Um recipiente cilíndrico para armazenar

re-síduos radioativos deve ser construído a partir de chumbo e têm um espessura de 6 cm. (veja a fi-gura). Se o volume do cilindro externo é de 16πm3_,

encontre o raio e a altura do cilindro interno que vai resultar em um recipiente de máxima capaci-dade de armazenamento.

Respostas dos Exercícios

1 Escreva o área em função do diâmetro.

De-rive implicitamente em função do tempo. Use que dA/dt= 1e d = 10.

d′ = 1/(20π)

2 Escreva as posições dos carros em função do

tempo. Calcule a distância em função do tempo. Taxa=65km/h

4 Sejam V, r e h o volume da água, o raio da

super-fície e a altura no instante t. Sabemos que dV dt = 2 queremos achar dh

dt quando h = 3. Temos que h e V estão relacionadas pela equação: V = 1

3πr

2_h.

Por semelhança de triângulos r h =

2

4 logo r = h/2. Substituindo na expressão para V, obtemos V =

1 3π h 2 2 h = π 12h

3. Agora, derivando com relação a

t, dV dt = πh2 4 dh dt =⇒ dhdt = 4 πh2 dV dt. Substituindo h = 3, dV_dt = 2, temos dh_dt = 8 9π. 7 Relação 102_{+ x}2_{+ y}2 9 Linearização x+7 4 em x = 0, 9√3.9 ≈ 1.975 10 Aproximação linear 1 − x/3. Para x = 0, 05 então √3_{1− 0}, 05 ≈ 0, 983333 13 a.) 0 b.) ±πr + 2πk c.) −3 2 d.) −12

14 a.) Leia o Teorema de Weierstrass. b.) Leia o

Teo-rema de Fermat.

15 a.) Ponto de máximo x = −4, valor máximo 252/17.

Ponto de Mínimo x = 0, valor mínimo −4.

b.) Ponto de máximo x = 2 e ponto de mínimo

x= −1.

d.) Ponto de máximo x = e e ponto de mínimo x = 1

16 Estude o sinal da derivada.

17 a.) Máximo x = −3. Valor Máximo 47.

Mínimo x = −√2. Valor Mínimo −2 b.) Máximo x= 2. Valor Máximo 2/3.

Mínimo x = 1. Valor Mínimo 1/2

d.) Máximo x = −2 tg−1(₁₋√₂).

Mínimo x = 0.

19 a.) Não tem máximo. Não tem mínimo b.) Mínimo x = 3 Não tem máximo.

d.) Máximo x = 1. Valor máximo −1 Não tem

mí-nimo

20 Como √x é monótona crescente. Minimizar a

distância d= √ (x − x0)2+ (y − y0)2 é equivalente a minimizar d2= (x − x0)2+ (y − y0)2 Mínimo em x = 1.

23 O volume do cilindro é dado por

V = πr2h

e por Pitágoras temos a seguinte relação entre o raio e a altura:

r2+ (h/2)2= R2

Logo a expressão do volume em função da altura é V(h) = πh(R2− (h/2)2) = −((h3π)/4) + hπR2 Como o cilindro está contido na esfera, temos que os valores de h estão no intervalo [0, R]. Assim, te-mos um problema de extrete-mos em um intervalo fe-chado, e consequentemente temos a existência de um máximo. Esse máximo ocorrerá ou nos pontos extremos do intervalo ou nos pontos críticos.

Como V(h) é diferenciável, os pontos críticos são os pontos de derivada iguais a 0. Derivando

V′(h) = −((h2π)/2) + π(−(h2/4) + R2) 5

Resolvendo V′_{(h) = 0temos:} h= √2R 3 Como r2+ (h/2)2= R2 temos que r= √ 2 3R e assim h r = √ 2

24 Neste caso, queremos maximizar o volume que

uma calha pode suportar. Primeiramente observa-mos que o volume de uma calha desta forma é a área de seção transversal vezes comprimento da ca-lha. Assim, para um determinado comprimento, a fim de maximizar o volume devemos maximizar a área da seção transversal.

Para obter uma fórmula para a área da seção transversal vamos refazer o desenho acima um pouco. θ θ 10 10 10 θ b h

A área seccional pode ser obtida somando a área do retângulo e as áreas dos triângulos. Como b = 10cos θ e h = 10 sen θ temos:

A= 10h + 2 (

1 2bh

)

= 100sen θ + (10 sen θ)(10 cos θ)

A= 100(sen +θ sen θ cos θ)

Podemos assumir que θ pertence ao intervalo 0⩽ θ ⩽ π/2.

Calculando a derivada temos:

A′(θ) = 100(cos θ + cos2θ−sen2θ) (1) = 100(cos θ + cos2_{θ− (1 −cos}2_{θ)) (2)}

= 100(2cos2θ+cos θ − 1) (3) = 100(2cos θ − 1)(cos θ + 1) (4) (5) E logo a derivada se anula quando: 2 cos θ − 1 = ou seja cos θ = 1/2 e logo θ = π/3. ou quando cos θ + 1 = 0, ou seja cos θ = −1 e θ = π.

Como A(0) = 0, A(π/3) ≈ 129.9 e A(π) = 100. Temos que a área seccional máxima ocorre quando θ= π/3.

Lista 4

Funções de Uma Variável

Derivadas de Ordem Superior

a) y = tgh(6x) b) y = senh(7x) c) y = cotgh(√1+ x2₎ d) y = cosh(x)x e) y = arctg(x2₎ f) y = cos(x)x g) y = ln(cos(x2₎₎ h) y = log₂(1 − 3x) i) y = log₅(3x3+sen(x)) j) y = log₁₀(a− x a+ x) k) y = log_a(a− x a+ x) l) y = arccos(x2_{+ 3x)} m) y = arcsen(cos(x)) n) y = cosh(x) cos(x) o) y = ln(cosh(x)) 2 — Encontre: a) d9 dx9x 8ln(x) b) d4 dx4 cosh(x) c) d5 dx5 ln(x) d) dn dxnln(x) e) dn dxncosh(2x) f) dn dxnsenh (x 2 ) 3 — Encontre y′′_{se y = ln(x}2_{+ y}2_). 4 — Encontre y′_{se y}x_{= x}y.

Teorema do Valor Médio

5 — Seja f(x) = |x − 1|. Mostre que não existe c tal que

f(3) − f(0) = f′(c)(3 − 0). Porque isso não contradiz o teorema do valor médio?

6 — Mostre que a equação 2x3_{+ 3x}2_{+ 6x + 1 = 0}tem

exatamente uma raiz real.

7 — Mostre que a equação 2x − 1 − sen(x) = 0 tem

exa-tamente uma raiz real.

8 — Mostre que um polinômio de grau 3 tem no

má-ximo três raízes reais.

9 — Use o teorema do valor médio para provar a

desi-gualdade: |sen(a) − sen(b)| ⩽ |a − b| 10 — Prove as identidades: a) arcsen(x− 1 x+ 1 ) = 2arctg(√x) − π 2 b) 2 arcsen(x) = arccos(1 − 2x2₎

L’Hopital

11 — Calcule os seguintes limites usando L’Hopital

quando possível a) lim x→−1 4x3+ x2_{+ 3} x5_{+ 1} b) lim x→1 x100− x2_{+ x − 1} x12_{− 3} c) lim x→0+xe 1 x d) lim x→∞ ex x5 e) lim x→∞ ex xn f) lim x→π/2 tg x tg 5x g) lim x→∞xsen a x h) lim x→1ln(x) ln(x − 1) i) lim x→∞x 1/x j) lim x→0+x sen(x) k) lim x→0 sec3_(x) 1−cos(x) l) lim x→∞ ( x x2_{+ 1} )x m) lim x→∞x 3_e−4x n) lim x→0+xln x o) lim x→0+ ( 1 x2 − 1 sen x )

Gráficos de Funções

12 — Prove que a função 2x5_{+ x}3_{+ 2x}é crescente em

todos os pontos.

13 — Determine os intervalos nos quais f(x) = ln x

x é crescente e nos quais é decrescente.

14 — Determine os intervalos nos quais f(x) = e−_x2_/2

é crescente e nos quais é decrescente.

15 — Encontre os valores de c tal que o gráfico de

f(x) = x4+ 2x3+ cx2+ 2x + 2 seja côncavo para cima em todos os pontos.

16 — Mostre que a função f(x) = x |x| tem um ponto

de inflexão em (0, 0) mas que f′′_{(0)não exista.}

17 — Nas figuras a seguir, a água é vertida para o vaso

a uma taxa constante (em unidades apropriadas). Es-boce o gráfico do nível da água em função do tempo, e explique a sua forma, indicando onde o gráfico é côn-cavo para cima e côncôn-cavo para baixo. Indique os pontos de inflexão no gráfico, e explique a sua significância.

a)

b)

18 — Para as próximas funções:

a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;

b)Encontre os valores de máximo e mínimo locais; c)Encontre os intervalos de concavidade e os pontos

de inflexão;

d)Encontre as assíntotas horizontais e verticais; e)Esboce o gráfico, utilizando as informações dos

itens anteriores a) (x2_{− 1)}3 b) 3x2/3_{− x} c) (x + 2)3 2+ 1 d) x + cos(x) e) x1/3_{(x + 4)} f) ln(x4_{+ 27)} g) ln(1 − ln(x))

h) e −1 x+ 1 i) ln(tg2_(x) j) ex x2_{− 9} k) x tg x −π/2 < x < π/2 l) ecos(x) m) 1 1−cos(x) −2π < x < 2π n) t√3 t2_{− 4}

19 — Para as seguintes funções, encontre as assíntotas

inclinadas e esboce o gráfico, e para isso:

a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;

b)Encontre os valores de máximo e mínimo locais; c)Encontre os intervalos de concavidade e os pontos

de inflexão;

d)Encontre as assíntotas horizontais e verticais e in-clinadas;

e)Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores a) x2 x+1 b) x2 (x+1)2 c) √1+ x2 d) √10+ 12x + 4x2

Polinômio de Taylor

20 — Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de

fem torno de x0 a) ln(x) em torno de 1 b) ex_{em torno de 0} c) sen(x) em torno de 0 d) cos(x) em torno de 0 e) senh(x) em torno de 0 f) cosh(x) em torno de 0 g) √3_xem torno de 1 h) √x em torno de 4 i) 1 1− x2 em torno de 0

21 — Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule

o valor aproximado e avalie o erro: a) ln(1.2)

b) √3.8 c) sen(0.1) d) sen(π/25)

e) e0.003

22 — Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de

fem torno de x0 a) ln(x) em torno de 1 b) exem torno de 0 c) sen(x) em torno de 0 d) cos(x) em torno de 0 e) senh(x) em torno de 0 f) cosh(x) em torno de 0 g) √x_xem torno de 1 h) √x em torno de 4 i) (1 + x)αem torno de 0

23 — Quantos termos do polinômio de Taylor são

ne-cessários para aproximar e com um erro inferior a 10−5?

24 — Usando polinômios de Taylor calcule cos(1) com

erro em módulo inferior a 10−4

25 — Use o polinômio de Taylor de ordem 4 de cos(2x)

para calcular o exato valor do limite lim

x→0

1−cos(2x) 3x2

Respostas dos Exercícios

3 y′′_{= −}2(2y(x)(xy′(x)+1)+x(x−2y′(x))−y(x)2) (x2_+y(x)2_−2y(x))2

4 y′₌ y(x)(xy(x)y(x)−xy(x)xln(y(x))) x(xy(x)x_−xy(x)_y(x)ln(x))

6 Seja f(x) = 2x3 _{+ 3x}2 _{+ 6x + 1. Como f(0) = 1 e}

f(−1) = −4e f contínua pelo Teorema do Valor Inter-mediário existe c tal que f(c) = 0.

Para provar a unicidade. Suponha que existissem mais de uma raiz. Sejam c1 e c2 duas raízes. Pelo

Teorema de Rolle, existiria d tal que f′_{(d) = 0. Mas}

f′(x) = 6x2_{+ 6x + 6}e logo f′_{(x) > 0para todo x.}

Ab-surdo

10 Dica derive a identidade. 11 a.) 2 b.) 0 c.) ∞ d.) ∞ f.) 5 g.) a i.) 1 j.) 1 n.) lim x→0+xln x = limx→0+ ln x 1/x = Utilizando L’Hopital temos

lim x→0+ ln x 1/x = x→0+lim 1/x −1/x2 = lim x→0+ −x2 x = lim x→0+−x = 0 o.) Dica: lim x→0+ 1 x2 ( 1− x 2 sen x ) e lim x→0+ x2 sen x = 0 13 Crescente se 0 < x < e 14 Crescente se x < 0 15 c > 3 2 18 a.) Crescente se 0 < x < 1 ou x > 1

Derivadas iguais a zero x = −1 ou x = 0 ou x = 1. Concava para cima se x < −1 ou −_√1

5 < x < 1 √

5ou x > 1

b.) Crescente se 0 < x < 8. Derivadas iguais a zero x = 8 Derivada não existe x = 0

Concavidade para baixo x < 0 ou x > 0.

d.)

Pontos Críticos π 2+ 2πk

Crescente Exceto nos pontos críticos. Concava para cima se cos(x) < 0.

f.) Crescente se x > 0

Concava para cima se −3 < x < 0 ou 0 < x < 3

g.)

Crescente nunca

Concava para cima se 0 < x < 1

j.) Domínio x ̸= ±3 Primeira derivada ex_(x2_−2x−9) (x2₋₉₎2 Crescente x <−3ou − 3 < x < 1 −√10ou x > 1 +√10 2ł Derivada muito complicada para ser analisada.

l.)

Primeira derivada sen(x)(−ecos(x)) Crescente se − sen(x) > 0

Ou seja se 2πk − π < x < 2πk.

Segunda derivada: ecos(x)(sen2_{(x) −}cos(x)) = ecos(x)(1−cos2(x) −cos(x))

Crescente se 2πk+arccos ( 1 2 (√ 5− 1))< x < < 2πk+ 2π −arccos ( 1 2 (√ 5− 1)) É útil a aproximação: arccos(1 2 (√ 5− 1))_{≈ 0.90455} m.) Crescente se −π < x < 0 ou π < x < 2π. Pontos Críticos x = −π ou x = π

Concava para baixo: nunca

Assíntotas verticais na origem. lim x→0 1 1−cos(x) =∞ n.) Derivada f′₌ 5t2−12 3(t2₋₄₎2/3.

Derivada não existe t = 2, t = −2. Decrescente se −2√3 5 < t < 2 √ 3 5. Derivada se anula t = −2√3 5ou t = 2 √ 3 5 Segunda derivada f′′₌ 2t(5t2−36) 9(t2₋₄₎5/3. Concava para cima se −_√6

5 < t <−2ou t > 6 √ 5 19 a.) f′′= 2/(1 + x)3 Assíntota inclinada y = x − 1. d.) Crescente se x > −3 2 f′′= √2 (2x2_+6x+5)3/2. Assíntotas inclinadas y = 2x + 3 e y = −2x + 3 5

20 a.) (x − 1) − 1/2(x − 1)2 b.) 1 + x + x2_/2

d.) 1 −x2 2

g.) 1 + 1/3(−1 + x) − 1/9(−1 + x)2

21 a.) Usando o polinômio calculado no exercício anterior temos: 0.18.

e.) Usando o polinômio calculado no exercício anterior te-mos: 1.003

22 a.) 1

5(x − 1)5−14(x − 1)4+13(x − 1)3−12(x − 1)2+ (x − 1) c.) x − x3_{/6+ x}5_/120

f.) 1 + x2_{/2+ x}4_/24

23 Usando a fórmula de Taylor com erro de Lagrange:

Suponhamos que a função f(x) seja (n + 1) vezes di-ferenciável no ao redor do ponto p. Então

En(x) = f n+1_(x)

(n + 1)!(x − a)n+1 para algum x entre x e p.

Queremos que En(1) < 10−5. Logo basta tomar n

tal que 3

(n + 1)! < 10−5, (pois e < 3) ou seja, tal que (n + 1)! > 3(105_{). Substituindo valores em (n + 1)!}

te-mos que n = 8.

24 Use a fórmula de Taylor com erro de Lagrange,