CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MILLANE CARINE DA SILVA NATÁLIA WIEDMER FACHINI
ANÁLISE NÃO LINEAR DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
CURITIBA 2019
MILLANE CARINE DA SILVA NATÁLIA WIEDMER FACHINI
ANÁLISE NÃO LINEAR DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS
Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso de Engenharia Civil do Departamento Acadêmico de Construção Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Civil.
Orientadora: Prof.ª Drª. Renata Sá Brito Stramandinoli
CURITIBA 2019
UTFPR – Rua Deputado Heitor de Alencar Furtado, 5000 - Curitiba - PR Brasil - CEP 81280-340 Campus Curitiba Sede Ecoville Telefone Geral +55 41 3279 4500
Campus Curitiba – Sede Ecoville
Departamento Acadêmico de Construção Civil Curso de Engenharia Civil
FOLHA DE APROVAÇÃO
ANÁLISE NÃO LINEAR DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO SOBRE
ESTACAS
Por
MILLANE CARINE DA SILVA
NATÁLIA WIEDMER FACHINI
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, defendido no segundo semestre de 2019 e aprovado pela seguinte banca de avaliação presente:
_______________________________________________ Orientadora – Prof.ª Renata Sá Brito Stramandinoli, Dra.
UTFPR
_______________________________________________ Prof.ª Erica Fernanda Aiko Kimura, Dra.
UTFPR
_______________________________________________ Prof. Rogério Francisco Kuster Puppi, Dr.
UTFPR
AGRADECIMENTOS
Finalizando essa etapa de nossa vida acadêmica, não podemos deixar de agradecer aos nossos pais por toda base e incentivo que nos foram dados; à nossa orientadora Prof.ª Dr.ª Renata Sá Brito Stramandinoli, por todo conhecimento transmitido e confiança em nosso trabalho; agradecemos também aos responsáveis por toda a estrutura da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, a qual nos permitiu o desenvolvimento deste trabalho.
RESUMO
SILVA, Millane C., FACHINI, Natália W. ANÁLISE NÃO LINEAR DE BLOCO DE CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS. 2019. 94f. TCC – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2019.
Este trabalho teve como base o estudo do comportamento de um bloco de concreto armado sobre estacas sujeito à força axial centrada, através de análise numérica e analítica. As dimensões, carregamento e demais parâmetros adotados foram baseados no estudo de Delalibera (2006), do qual também foram utilizados os resultados de deslocamento, carga máxima aplicada, fluxo de tensões e diagramas força-deslocamento obtidos nos ensaios experimentais e análise numérica. As análises numéricas tridimensionais linear e não linear foram realizadas no software ABAQUS, das quais foram obtidos os fluxos de tensões, deslocamentos e diagramas carga-deslocamento. O estudo analítico teve como objetivo a obtenção da carga máxima segundo quatro métodos disponíveis na literatura, a qual foi comparada com a carga máxima experimental. Os resultados numéricos possibilitaram a visualização da formação das bielas de compressão, conforme sugerido pelo Método das Bielas e Tirantes, em diagonal em direção às estacas. As cargas máximas admitidas para os quatro métodos analíticos se aproximaram, de maneira geral, à carga obtida experimentalmente. Os ângulos de formação das bielas nos modelos analíticos foram distintos, porém comparados aos fluxos de tensões, puderam ser considerados próximos. Por meio deste estudo, foi possível entender o funcionamento do software ABAQUS e a importância da utilização da análise não linear, visto que os resultados diferem das análises lineares.
Palavras-chave: Blocos sobre estacas, concreto armado, não linearidade, Método das Bielas e Tirantes.
ABSTRACT
SILVA, Millane C., FACHINI, Natália W. NON LINEAR ANALYSYS OF TWO PILES CAP IN REINFORCED CONCRETE. 2019. 94f. TCC – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2019.
This job was based on study of the behavior of a two piles cap in reinforced concrete submitted to centered axial force, through numerical and analytical analysis. The dimensions, loading and other parameters adopted in this study were based on Delalibera (2006), as well as the results of displacement, maximum applied load, tension flow and displacement force diagrams obtained on experimental tests and numerical analysis. The linear versus nonlinear three-dimensional numerical analysys were performed in the ABAQUS software, from which stress flows, displacements and load-displacement diagrams were obtained. The analytical study aimed at the knowledge of the maximum load according to four methods available in the literature, which were compared with the maximum experimental load. The linear and nonlinear numerical analyzes allowed the visualization of the connecting strut formation, as sugested by the strut-and-tie method, diagonally towards the piles. The maximum loads allowed for the four analytical methods approach the experimental load. The angles of the struts in the analog models were different, but compared to the stress flows, they could be considered close. Through this study, it was possible to understand the functioning of ABAQUS software and the importance of using nonlinear analysis, visualized as different results from linear analysis.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Padrão para definição do tipo de bloco ... 15
Figura 2 - Diagrama tensão-deformação do concreto comprimido ... 18
Figura 3 - Diagrama tensão-deformação do concreto Model Code 2010 ... 19
Figura 4 - Diagrama tensão-deformação para o concreto tracionado ... 20
Figura 5 - Diagrama trilinear tensão-deformação do aço ... 21
Figura 6 - Diagrama bilinear tensão-deformação do aço ... 22
Figura 7 - Bielas de compressão em bloco sobre duas estacas ... 23
Figura 8 - Esquema para blocos sobre duas estacas- Blevot e Frémy ... 25
Figura 9 - Modelo biela-tirante ... 26
Figura 10 - Geometria das bielas ... 27
Figura 11 - Disposição das armaduras em planta ... 29
Figura 12 - Tensões nos planos horizontais do bloco ... 30
Figura 13 - Ampliação da seção resistente – Seções quadradas ... 31
Figura 14 - Ampliação da seção resistente - Seções retangulares ... 32
Figura 15 - Ampliação da seção resistente - Seções muito alongadas ... 32
Figura 16 - Esquema estrutural de bloco sobre duas estacas... 35
Figura 17 - Modelo biela-tirante para bloco sobre estacas ... 37
Figura 18 - Geometria dos blocos rígidos ... 41
Figura 19 - Posição da primeira fissura junto à estaca ... 46
Figura 20 - Início do esmagamento do concreto junto ao pilar ... 47
Figura 21 - Vista frontal do modelo B45P25E25e0Asw0 ... 47
Figura 22 - Posição dos transdutores para medição do deslocamento no ensaio experimental ... 48
Figura 23 - Detalhamento geométrico bloco B45P25E25e0Asw0 ... 50
Figura 24 - Armadura discretizada ... 52
Figura 25 - Modelo numérico completo ... 52
Figura 26 - Curva tensão-deformação experimental do aço 20mm ... 53
Figura 27 - Curva tensão-deformação do aço 20mm ... 54
Figura 28 - Curva tensão-deformação experimental do aço 12,5mm ... 54
Figura 29 - Curva tensão-deformação do aço 12,5mm ... 54
Figura 30 - Curva tensão-deformação experimental aço 6,3mm... 55
Figura 32 - Comportamento do concreto à tração ... 57
Figura 33 - Comportamento do concreto à compressão ... 57
Figura 34 - Seção transversal desviatória da superfície de falha no CDP ... 58
Figura 35 - Curva experimental tensão-deformação à compressão C20 - Bloco ... 59
Figura 36 - Curva tensão-deformação à compressão C20 - Bloco ... 59
Figura 37 - Curva tensão-deformação à compressão C20 (Model Code 2010) ... 60
Figura 38 - Parâmetro do dano à compressão x deformação C20 - Bloco ... 60
Figura 39 - Curva tensão-deformação à compressão C50 - Estacas ... 61
Figura 40 - Parâmetro do dano à compressão x deformação C50 - Estacas ... 62
Figura 41 - Curva tensão-deformação à compressão C50 - Pilar ... 63
Figura 42 - Parâmetro do dano à compressão x deformação C50 - Pilar ... 63
Figura 43 - Curva tensão-deformação à tração C20 - Bloco ... 64
Figura 44 - Parâmetro do dano à tração-deformação C20 - Bloco ... 64
Figura 45 - Curva tensão-deformação à tração C50 - Estacas ... 65
Figura 46 - Parâmetro do dano à tração-deformação C50 - Estacas ... 65
Figura 47 - Curva tensão-deformação à tração C50 - Pilar ... 66
Figura 48 - Parâmetro do dano à tração-deformação C50 - Pilar ... 66
Figura 49 - Função linear e hiperbólica de Drucker-Prager ... 67
Figura 50 - Superfícies de ruptura no estado plano de tensões ... 68
Figura 51 - Malha de elementos finitos discretizada ... 70
Figura 52- Tensões no concreto - Análise linear ... 72
Figura 53 – Tensões no concreto - Análise não linear ... 73
Figura 54 - Fluxo de tensões principais de compressão - Análise linear ... 73
Figura 55 - Fluxo de tensões principais de compressão - Análise não linear ... 74
Figura 56 - Fluxo de tensões principais de tração - Análise linear ... 75
Figura 57 - Fluxo de tensões principais de tração - Análise não linear ... 75
Figura 58 - Tensões máximas principais nas armaduras - Análise linear ... 76
Figura 59 - Tensões máximas principais nas armaduras - Análise não linear ... 76
Figura 60 - Posição dos pontos P1, P2 e P3 ... 77
Figura 61 - Carga-deslocamento vertical para o ponto P1 ... 78
Figura 62 – Localização dos primeiros elementos com dano à tração ... 78
Figura 63 – Propagação do dano à tração – carga 666 kN ... 79
Figura 64 – Propagação do dano à tração - carga 1118 kN ... 79
Figura 66 – Localização dos primeiros elementos com dano à compressão ... 80
Figura 67 - Propagação do dano à compressão – carga 1600 kN ... 80
Figura 68 - Propagação do dano à compressão – carga 1900 kN ... 81
Figura 69 – Perfil das bielas ... 82
Figura 70 - Curva carga-deslocamento para o ponto P1 ... 83
Figura 71 – Comparação das bielas de compressão do modelo numérico com os de Araújo (2014), Santos (2013), Fusco (1994) e Blevot e Frémy (1967) ... 84
Figura 72 - Parâmetros de elasticidade e plasticidade para diferentes classes de concreto ... 90
Figura 73 - Tensões de compressão - Análise não linear - Parte 1 ... 91
Figura 74 - Tensões de compressão - Análise não linear - Parte 2 ... 92
Figura 75 - Tensões máximas principais - Análise linear ... 93
Figura 76 - Tensões máximas principais - Análise não linear ... 93
Figura 77 - Tensões mínimas principais - Análise linear ... 94
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ... 12 1.1. OBJETIVO GERAL ... 13 1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 13 1.3. JUSTIFICATIVA ... 14 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 15 2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS... 15
2.2. NÃO LINEARIDADE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ... 16
2.2.1. Concreto ... 17
2.2.2. Aço... 21
2.3. ESTUDOS EXPERIMENTAIS ... 22
2.4. MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES ... 22
2.4.1. Histórico ... 22
2.4.2. Blevot e Frémy (1967) ... 24
2.4.2.1.Inclinação das Bielas ... 25
2.4.2.2.Equilíbrio das Forças nos Nós ... 26
2.4.2.3.Área das Seções Transversais ... 27
2.4.2.4.Segurança do Modo de Ruptura por Esmagamento... 27
2.4.2.5.Área de Armadura (As) ... 28
2.4.3. Fusco (1994) ... 29
2.4.3.1.Inclinação das Bielas ... 30
2.4.3.2.Segurança das Bielas Comprimidas ... 30
2.4.3.3.Área de Armadura (𝐴𝑠) ... 34
2.4.3.4.Considerações para Blocos Sobre Duas Estacas ... 34
2.4.4. Santos (2013) ... 36
2.4.4.1.Inclinação das Bielas ... 37
2.4.4.2.Equilíbrio das Forças nos Nós ... 37
2.4.5. Araújo (2014) ... 41
2.4.5.1.Considerações para Blocos Sobre Duas Estacas ... 43
2.5. MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS ... 44
3. ANÁLISE ... 46 3.2. MODELAGEM COMPUTACIONAL ... 48 3.2.1. Generalidades ... 48 3.2.2. Unidades ... 49 3.2.3. Geometria ... 49 3.2.4. Elementos ... 51 3.2.5. Modelos Constitutivos ... 52 3.2.5.1.Aço ... 52 3.2.5.2.Concreto ... 55 3.2.6. Carregamento ... 69 3.2.7. Interações ... 69 3.2.8. Condições de contorno ... 70
3.2.9. Malha de Elementos Finitos ... 70
3.3. CÁLCULO DOS MODELOS ... 71
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 72 4.1. RESULTADOS NUMÉRICOS ... 72 4.2. RESULTADOS ANALÍTICOS ... 81 4.3. DISCUSSÕES ... 83 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 85 REFERÊNCIAS ... 87 ANEXO A ... 90 APÊNDICE A ... 91 APÊNDICE B ... 93
1. INTRODUÇÃO
Os blocos sobre estacas são elementos estruturais de concreto armado cuja função é transmitir os esforços provindos da superestrutura para a infraestrutura das edificações. Como estes elementos são essenciais para a estabilidade e segurança das construções e a inspeção visual nem sempre é possível, é necessário que haja um real conhecimento sobre o seu comportamento estrutural na fase de projetos.
A NBR 6118:2014 classifica os blocos sobre estacas como elementos especiais pois apresentam descontinuidade na sua estrutura, o que afeta o comportamento do elemento estrutural como um todo.
A escolha do método de dimensionamento para os blocos de concreto necessita cautela, pois estes possuem análise complexa devido à concentração de tensão tanto na parte superior quanto na inferior, por ação das ligações bloco-pilares e bloco-estacas.
Existem dois principais métodos analíticos de dimensionamento de blocos sobre estacas. O primeiro método considera a Teoria de Bielas e Tirantes, a qual representa um fluxo de tensão seguindo um modelo de treliça dentro do bloco. O segundo é baseado na teoria da flexão das vigas, o qual verifica a resistência ao momento fletor e força cortante em seções de referência.
Segundo Delalibera (2006), o modelo mais utilizado e indicado para o dimensionamento de blocos de fundação é o elaborado por Blevot, em 1967, o qual baseia-se no conceito de bielas e tirantes atuantes na estrutura, isto é, considera a aplicação de treliças tridimensionais submetidas à tração e compressão, de maneira que as barras tracionadas são consideradas tirantes e as comprimidas, bielas.
O concreto é um material cujo comportamento pode ser considerado não linear pois apresenta alteração de propriedades em função da carga aplicada. Esta não linearidade é relacionada às características físicas dos materiais, porém a não linearidade também pode ser do tipo geométrica, a qual está relacionada à mudança de geometria da estrutura deformada.
Grande parte das pesquisas são focadas na análise linear e investigação experimental, porém, no caso dos blocos, a análise não linear física é mais indicada, pois permite que sejam obtidas informações mais precisas de seu comportamento.
Alguns softwares são capazes de analisar os blocos considerando esta característica, o que gera um resultado mais preciso pois são levadas em conta as
deformações, fissuras causadas pelas tensões, redução da rigidez, perda da aderência entre armadura e o concreto, dentre outras variáveis que afetam a análise e dimensionamento.
O método de análise comumente utilizado nos softwares é o Método dos Elementos Finitos, o qual consiste em subdividir uma estrutura complexa em um número de elementos e dimensões finitas, chamada de malha, sendo que esses novos elementos possuem uma geometria simplificada com comportamento estrutural conhecido e podem ser representados por modelos matemáticos mais simples.
O trabalho em questão tem como base uma análise não linear de blocos de concreto armado sobre estacas, modelado computacionalmente no software ABAQUS, o qual realiza a análise estrutural por meio do Método dos Elementos Finitos e a análise de modelos de dimensionamento propostos na literatura que possuem como base a Teoria de Bielas e Tirantes.
1.1. OBJETIVO GERAL
O objetivo geral deste trabalho é estudar blocos rígidos de concreto armado sobre duas estacas com carga centrada, através de análise numérica não linear, considerando a não linearidade física dos materiais e através de modelos baseados na Teoria das Bielas e Tirantes.
1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Obtenção da carga máxima para um modelo de bloco sobre duas estacas através de quatro diferentes modelos de cálculo;
Modelagem numérica não linear do bloco com utilização do Método dos Elementos Finitos via software;
Avaliação dos resultados de distribuição de tensões e deslocamentos obtidos com relação à análise numérica linear e resultado experimental já realizado;
1.3. JUSTIFICATIVA
Embora exista um consenso entre os autores de que o método das bielas e tirantes é o mais adequado para a representação do comportamento de blocos rígidos sobre estacas, ainda existem divergências sobre qual o melhor modelo analítico para o dimensionamento (BUTTIGNOL, 2011).
A NBR 6118:2014 não especifica qual modelo deve ser adotado, apenas indica a preferência pelo modelo biela-tirante. De acordo com Delalibera (2006), ainda não há um consenso sobre a forma geométrica mais adequada para representar o fluxo de distribuições de tensões que formam a biela de compressão.
O software ABAQUS é considerado uma das plataformas atuais mais completas pois possibilita executar análises de estruturas com maior complexidade e apresenta resultados excepcionais para os mais variados problemas.
Neste contexto, este trabalho busca fornecer mais resultados que possam colaborar com o conhecimento do comportamento de blocos rígidos sobre estacas, levando em conta a não linearidade do concreto armado.
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Os blocos de concreto são elementos estruturais que têm como objetivo transmitir as cargas de fundação às estacas, ou seja, transmitem todos os esforços provindos da superestrutura para a infraestrutura da edificação.
Segundo a NBR 6118:2014, blocos de concreto armado são estruturas tridimensionais e consideradas especiais pois seu comportamento não respeita a hipótese de seções planas, devido ao fato de que não são estruturas suficientemente longas para que possam dissipar as eventuais perturbações localizadas (ASSOCIAÇÃO..., 2014).
Estes elementos podem ser considerados rígidos ou flexíveis, o que afeta a análise e dimensionamento a ser realizado. Blocos rígidos possuem altura (h) do bloco entre dois terços e duas vezes a distância entre a face do pilar até o eixo da estaca mais afastada (lc), conforme a figura 1 (OLIVEIRA, 2009).
Figura 1 - Padrão para definição do tipo de bloco
Fonte: Oliveira (2009).
Para os blocos rígidos, o método de dimensionamento deve ser tridimensional, podendo ser linear ou não, ou pode ser empregado o método das bielas-tirantes tridimensional, sendo este o que melhor define a distribuição de
forças no bloco de concreto armado. Para blocos flexíveis, é necessária uma análise mais aprofundada, a qual deve levar em conta a distribuição dos esforços nas estacas e tirantes. Além disto, devem ser atendidos requisitos relativos ao dimensionamento de lajes e efeitos de punção (ASSOCIAÇÃO..., 2014).
Para os blocos rígidos, a altura deve ser suficiente para permitir a transmissão direta da carga da base do pilar até o topo das estacas por meio das bielas comprimidas. Para que isso ocorra corretamente, o ângulo em relação à horizontal para a biela com menor inclinação não deve ser inferior a 40° ou 45° (ALVA, 2007).
Existem diversas geometrias para os blocos, cujo número de estacas empregado é calculado no dimensionamento e leva em conta a capacidade de carga de cada estaca e as características do solo. Para pequenas edificações geralmente são empregados blocos sobre uma ou duas estacas, já para obras de médio e grande porte, a quantidade geralmente é superior a duas (BASTOS, 2017).
2.2. NÃO LINEARIDADE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
A linearidade das estruturas está relacionada ao deslocamento obtido em relação à carga aplicada. Esta relação pode ser linear ou não linear, o que depende das características físicas e geométricas das estruturas.
A não linearidade geométrica está relacionada aos deslocamentos da estrutura, tornando necessária a consideração da mesma em seu estágio final deslocado na análise. A não linearidade física está relacionada ao fato de que os materiais utilizados na concepção da estrutura podem possuir relação tensão-deformação específica, relacionada a fissuras, heterogeneidade e diminuição da rigidez conforme o carregamento aplicado (PINTO; RAMALHO, 2002).
A não linearidade física do concreto armado está relacionada aos efeitos de fissuração, fluência, escoamento das armaduras e outros fatores que em conjunto conferem esta característica ao material (PINTO; RAMALHO, 2002).
Segundo Pinto (1997), a consideração desta característica em estruturas de grande porte pode ser difícil e trabalhosa, pois o procedimento é iterativo e incremental, no qual, para cada nível de carregamento da estrutura, a rigidez dos elementos, definida pelo parâmetro EI, é reestabelecida considerando a disposição das armaduras e as relações constitutivas dos materiais. Portanto, para cada seção
é obtido um coeficiente EI diferente, dependendo do carregamento e da quantidade e disposição das armaduras.
Hoje em dia, alguns softwares de modelagem estrutural já consideram a não linearidade física e geométrica. O software a ser utilizado no presente trabalho possui opção de consideração dessas características.
2.2.1. Concreto
O concreto é um material heterogêneo composto por duas fases, agregados graúdos e a pasta, formada por areia, água e cimento. Cada uma destas fases possui, isoladamente, comportamento linear na relação tensão-deformação, ou seja, com o aumento da tensão aplicada, o aumento da deformação ocorre de maneira proporcional. Como no concreto há interação entre as duas fases, o comportamento torna-se não linear e caracteriza-se como dúctil (BUCHAIM, 2001).
O concreto apresenta, mesmo antes da aplicação de carregamento, microfissuras resultantes do fenômeno de retração e da liberação de calor que ocorre na fase inicial da cura. Com a aplicação do carregamento, essas microfissuras se propagam devido à alteração de tensões entre as duas fases e à perda progressiva da aderência nas zonas de contato. Isto confere ao concreto, mesmo em baixos níveis de tensão, comportamento não linear (BUCHAIM, 2001; STRAMANDINOLI, 2007).
A curva tensão-deformação do concreto à compressão simples para classes de resistências variadas está apresentada na figura 2.
Segundo Alvim (1997), podem ser identificadas quatro fases distintas no diagrama:
1. De 0% a 30% da resistência: O comportamento do concreto é elástico, com a curva tensão-deformação linear.
2. De 30% a 70% da resistência: Há uma redução gradual da rigidez, com propagação de fissuras considerada estável, o comprimento das fissuras mantém-se inalterado para níveis de tensão constantes.
3. De 75% a 100% da resistência: A propagação das fissuras pode ser considerada instável, o comprimento das fissuras aumenta até seu valor final mesmo com níveis de tensão constantes.
4. Amolecimento: Representado pelo ramo descendente na parte final da curva, estado no qual a propagação das fissuras torna-se macroscópica.
Figura 2 - Diagrama tensão-deformação do concreto comprimido
Fonte: Alvim (1997).
Segundo Stramandinoli (2007), existem na literatura diversos diagramas que representam o comportamento do concreto sob compressão uniaxial, porém não há um consenso principalmente em relação ao ramo descendente da curva, pois os resultados são influenciados pelo tamanho do corpo de prova ensaiado. Dentre os modelos existentes citados no trabalho estão os de Hognestad (1951), Saenz (1964), Popovics (1970), Wang et al (1978), Tsai (1988) e Balan et al (1997).
Um modelo amplamente usado é o modelo apresentado no Model Code 2010 (fib-Bulletin 65, 2012), no qual o diagrama tensão-deformação pode ser representado conforme a figura 3.
Figura 3 - Diagrama tensão-deformação do concreto Model Code 2010
Fonte: Dehn (2012).
Neste modelo, a relação entre a tensão (σc) e a deformação específica (εc)
segue a equação (1). 𝜎 𝑓 = − (k ∙ η − η ) (1 + (k − 2) ∙ η) (1) Onde,
fcm: máxima tensão de compressão (MPa);
η = ε ε⁄
εc1: deformação específica correspondente à máxima tensão de compressão;
k: número que representa a plasticidade de acordo com a classe do concreto.
Os valores de εc1,εc e k são tabelados conforme a classe do concreto, vide
Anexo A, ou podem ser determinados experimentalmente.
Segundo Alvim (1997), para concreto solicitado à tração, em nível microscópico observa-se uma relação entre o aparecimento de fissuras e o início do comportamento não linear. Isto ocorre para uma tensão aplicada de aproximadamente 75% da resistência característica à tração do concreto, como pode ser notado na figura 4. Após a tensão máxima ser atingida, a microfissuração acentua-se, o que reduz muito a resistência do material.
Figura 4 - Diagrama tensão-deformação para o concreto tracionado
Fonte: Alvim (1997).
O ramo descendente do diagrama apresenta uma inclinação muito mais acentuada quando comparado ao comportamento do concreto à compressão, o que significa que o concreto possui comportamento muito mais frágil à tração.
Para o concreto armado o comportamento é diferente. Após o início da fissuração, o concreto tracionado entre fissuras colabora na resistência do elemento. Isso se deve à ocorrência do efeito conhecido como conhecido como tension-stiffening, o qual se dá pela transferência de tensões devido à aderência entre o aço e o concreto (STRAMANDINOLI, 2007).
Existem diversos modelos na literatura para representar o efeito de tension-stiffening, alguns mais simples, outros com grande grau de complexidade (STRAMANDINOLI, 2007).
Um modelo simples, mas muito utilizado, é o modelo de Collins e Vecchio (1986) apud Stramandinoli (2007), que considera a curva tensão-deformação do concreto elástica-linear até o momento de fissuração, e após, segue a relação (2).
𝜎 = 𝑓𝑐𝑡
1 + √500εc1 (2)
Onde:
σct: tensão principal máxima;
εc1: deformação principal máxima.
2.2.2. Aço
As propriedades das barras de aço utilizadas nas estruturas dependem do processo de fabricação, que pode ser a quente ou a frio. Para os aços obtidos por laminação a quente, o diagrama tensão-deformação apresenta patamar de escoamento bem definido, já para aços obtidos por tratamento a frio, o patamar de escoamento não pode ser considerado convencional. As principais propriedades do aço são obtidas a partir de ensaios uniaxiais de tração (STRAMANDINOLI, 2007).
O diagrama tensão-deformação do aço pode ser representado simplificadamente da forma trilinear, com a fase inicial elástica, em seguida uma fase inclinada de suavização de tensão e por fim uma fase de deformação plástica, como representado na figura 5 (DONNADIEU; FÜLÖP, 2015).
Figura 5 - Diagrama trilinear tensão-deformação do aço
Fonte: Donnadieu e Fülöp (2015).
A NBR 6118:2014 permite a utilização do diagrama bilinear para o cálculo nos estados-limites de serviço e último, conforme representado na figura 6 (ASSOCIAÇÃO..., 2014).
Figura 6 - Diagrama bilinear tensão-deformação do aço
Fonte: ASSOCIAÇÃO... (2014)
2.3. ESTUDOS EXPERIMENTAIS
Inicialmente os blocos de concreto eram tratados como vigas, Hoobs e Stein (1957) foram os pioneiros no estudo de blocos de concreto por meio de análise numérica e experimental. Foram ensaiados 70 modelos em escala reduzida, desenvolvendo, a partir dos resultados obtidos, uma solução analítica (DELALIBERA, 2006).
Posteriormente, vários pesquisadores desenvolveram estudos sobre blocos com o auxílio da análise experimental.
Delalibera (2006), ensaiou diferentes modelos de bloco, variando as seções das estacas e do pilar, a altura do bloco e a excentricidade da força aplicada. O ensaio foi realizado com aplicação de carregamento crescente em etapas até o colapso.
2.4. MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES
2.4.1. Histórico
A analogia que utiliza o comportamento de treliças para dimensionamento de vigas de concreto armado teve início no ano de 1899, com o estudo realizado pelo engenheiro alemão Wilhelm Ritter (CARVALHO, 2018).
A teoria baseia-se na estrutura de viga onde os montantes tracionados são considerados na vertical e os comprimidos posicionados na diagonal, semelhante à estrutura de treliças. As barras são ligadas por nós que transferem os esforços entre as bielas e tirantes, os quais são aplicados em regiões de mudança na direção dos esforços, como nos apoios, locais de aplicação de cargas externas ou encontro entre bielas (CARVALHO, 2018; OLIVEIRA, 2009).
No modelo de bielas e tirantes, a biela é a representação do concreto comprimido e o tirante das armaduras tracionadas. As bielas podem ser observadas na figura 7.
Figura 7 - Bielas de compressão em bloco sobre duas estacas
Fonte: Bastos (2017).
Os estudos foram aprimorados por Mörsch no início do século XX, quando ensaios experimentais com vigas montadas com estribos verticais levaram à resultados de ruptura no sentido das ações de tração, próximo aos apoios e inclinadas. A conclusão obtida foi que os estribos reduzem as tensões diagonais em uma distância considerável próxima aos apoios. O modelo continuou sem grandes modificações e continua sendo utilizado para o dimensionamento de vigas de concreto armado (CARVALHO, 2018).
Segundo Santos e Giongo (2008) houve uma grande evolução no método na década de 80, quando Schlaich at al. (1988) publicaram um conjunto de regras para que o modelo de bielas e tirantes pudesse ser aplicado em outras estruturas, como
vigas-parede, consolos, sapatas, blocos de fundação, ligações entre viga e pilar, aberturas em vigas e apoios em dente.
Posteriormente, outros autores como Cook e Mitchell (1988) e Macgregor (1988) estudaram mais afundo modelos de utilização do método das bielas e tirantes para elementos especiais como vigas-parede, consolos e estruturas com descontinuidades (CARVALHO, 2018).
Modelos de cálculo para blocos sobre estacas foram desenvolvidos por Blevot e Frémy (1967), Fusco (1994), Santos (2013) e Araújo (2014), dentre outros diversos autores. Estes modelos são baseados no Método das Bielas e Tirantes e propostos para blocos com duas, três e quatro estacas submetidos a esforços centrados.
No Brasil, os modelos de cálculo mais empregados para dimensionamento de blocos de concreto sobre estacas são o Método das Bielas, proposto por Blevot, o método do CEB-70 e mais recentemente os modelos tridimensionais de bielas e tirantes. Os dois primeiros métodos devem ser aplicados apenas nos blocos rígidos. No caso de blocos flexíveis, deverão ser aplicados métodos clássicos de dimensionamento de vigas ou lajes (BASTOS, 2017).
A NBR 6118:2014 permite a utilização de métodos baseados na teoria das bielas e tirantes para cálculo de estruturas especiais, lineares ou não, desde que seja feito tridimensionalmente (ASSOCIAÇÃO..., 2014).
2.4.2. Blevot e Frémy (1967)
Desenvolvido em 1967 por pesquisadores franceses, é um método baseado no modelo de bielas para dimensionamento de blocos de concreto sobre estacas. O esquema estrutural utilizado para o dimensionamento de blocos sobre duas estacas neste método está representado na figura 8 (CARVALHO, 2018).
Figura 8 - Esquema para blocos sobre duas estacas- Blevot e Frémy
Fonte: Carvalho (2018).
A inclinação das bielas deve estar restringida no intervalo 45° ≤ 𝜃 ≤ 55° . Carvalho (2018) ainda comenta que outra recomendação dos pesquisadores é utilizar ganchos de armaduras nas extremidades para evitar escorregamento dos tirantes mais relevantes.
2.4.2.1. Inclinação das Bielas
Conforme mostrado na figura 8, a origem das bielas com relação ao pilar é determinada por a 4⁄ do centro do pilar, sendo a a largura do pilar. Desta forma, a inclinação das bielas (θ ) é dada pela equação (3) (CARVALHO, 2018).
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐻 − 𝑑′ 𝐿 2− 𝑎 4 (3) Onde,
𝐻: altura total do bloco de fundação; 𝐿: Vão teórico do bloco de fundação;
𝑑′: Distância média entre a face inferior do bloco e o centro de gravidade das armaduras dos tirantes;
𝑎 : largura do pilar.
2.4.2.2. Equilíbrio das Forças nos Nós
As forças aplicadas nos nós, conforme mostrado na figura 9, devem estar em equilíbrio. A partir disso, são estabelecidas as equações (4) e (5) (CARVALHO, 2018).
Figura 9 - Modelo biela-tirante
Fonte: Carvalho (2018). 𝑅 , = 𝑁 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (4) 𝑅 , = 𝑁 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃 (5) Onde,
𝑁𝑑 = 𝛾 . 𝑁 : força de cálculo atuante no bloco; 𝑁 : força característica atuante no bloco; 𝛾 : coeficiente ponderador das ações; 𝑅 , : força de cálculo atuante na biela; 𝑅 , : força de cálculo atuante no tirante.
2.4.2.3. Área das Seções Transversais
As áreas de ligações com o pilar e estacas são definidas através das projeções das seções transversais do pilar e estaca respectivamente perpendicularmente à força atuante nas bielas, conforme ilustrado na figura 10 (CARVALHO, 2018).
Figura 10 - Geometria das bielas
Fonte: Carvalho (2018).
Desta forma, têm-se as equações (6) e (7).
𝐴 , =
𝐴
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (6)
𝐴 , = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (7)
𝐴 , : área de ligação junto ao pilar; 𝐴 , : área de ligação junto à estaca.
2.4.2.4. Segurança do Modo de Ruptura por Esmagamento
Após obter as forças e suas respectivas áreas de atuação é possível determinar as tensões atuantes determinadas pela razão entre elas. Para que a segurança no modo de ruptura por esmagamento seja garantida, as tensões atuantes devem respeitar as condições (8) e (9) (CARVALHO, 2018).
𝜎 , = 𝑅 , 𝐴 , = 𝑁 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 𝜎 , , (8) 𝜎 , = 𝑅 , 𝐴 , = 𝑁 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 𝜎 , , (9) Sendo,
𝜎 , : tensão normal atuante na base do pilar;
𝜎 , : tensão normal atuante na base da estaca.
No método de Blevot e Frémy, o valor limite adotado para a resistência das bielas de compressão próximas ao pilar e às estacas são iguais, porém, na prática isso não ocorre, pois na área do pilar existe um efeito favorável gerado pelo confinamento do concreto (CARVALHO, 2018).
2.4.2.5. Área de Armadura (A )
Área de armadura para o tirante é dada pela equação (10) (CARVALHO, 2018). 𝐴 =𝑅 , 𝑓 = 𝑁 2𝑓 𝑡𝑔𝜃 (10) Sendo:
𝑓 = : tensão de cálculo de escoamento do aço; 𝑓 : tensão característica de escoamento do aço; 𝛾 : coeficiente de ponderação da resistência do aço.
Segundo Carvalho (2018), através de ensaios realizados com blocos de concreto sobre duas estacas notou-se que os resultados obtidos através da equação (10) possuem um déficit em torno de 15% da armadura realmente necessária. Desta forma, foi imposta essa diferença na fórmula e a área de armadura deve ser adotada
conforme equação (11) e sua disposição na seção transversal do bloco está representada pela figura 11.
𝐴 = 1,15 𝑁
2𝑓 𝑡𝑔𝜃 (11)
Figura 11 - Disposição das armaduras em planta
Fonte: Carvalho (2018).
Em resumo, a carga admissível para o bloco (𝑁 , ) é dada pelo menor valor das três verificações de segurança determinadas no sistema de equações (12).
𝑁 , ≤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝜎, , 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝜎, , 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝐴 𝑓 𝑡𝑔𝜃 1,15 (12) 2.4.3. Fusco (1994)
Para a utilização de blocos sobre estacas em fundação, esses elementos devem ser suficientemente rígidos, pois suas deformações não devem afetar a superestrutura e até mesmo o próprio terreno em que é aplicado. Para isso é necessário que sua altura permita a transmissão direta entre pilar e estaca através das bielas (FUSCO, 1994). O processo de dimensionamento proposto por Fusco (1994) está descrito a seguir.
2.4.3.1. Inclinação das Bielas
Fusco (1994) propõe um método para ser aplicado em blocos considerados rígidos, para que isso seja possível, o ângulo de inclinação das bielas mais afastadas deve estar entre 34º e 45º.
2.4.3.2. Segurança das Bielas Comprimidas
Segundo Fusco (1994), a tensão atuante 𝜎 no concreto no topo do bloco se limita ao valor máximo de 0,85𝑓 , isso se deve ao procedimento de dimensionamento do pilar. É possível que em alguns casos a seção do pilar junto ao bloco não resista à força normal 𝑁 aplicada ao pilar sem sua própria armadura.
A tensão de compressão atuante 𝜎 nos planos horizontais do bloco com uma distância 𝑥 do topo é dada pela equação (13).
𝜎 = 𝑁
𝐴 ,
= 𝑁
(𝑎 + 4𝑥)(𝑏 + 4𝑥) (13)
Sendo,
𝐴 , : área resistente à profundidade 𝑥, ampliada a uma abertura de 𝜃 =
63,4°, a favor da segurança, conforme figura 12;
𝑎 e 𝑏: dimensões da seção transversal da base do pilar (𝑏 ≤ 𝑎).
Figura 12 - Tensões nos planos horizontais do bloco
Para pilares com contribuições geométricas de armadura em torno de 3%, próximo ao seu limite máximo, a força normal máxima pode ser obtida através da equação (14).
𝑁 , ≤ 2(𝐴 , 0,85𝑓 ) (14)
Adota-se que, para os casos em que o comprimento de aderência é em torno de 10 a 15 vezes o diâmetro das barras de aço, a força absorvida pela armadura do pilar é transferida ao bloco de concreto ao longo de seu comprimento 𝑥.
Já para os pilares que possuírem menor taxa de armadura o valor da tensão reduzida (𝜎 = 0,20𝑓 ) é exercida em menor profundidade.
Para pilares com seções quadradas, Fusco (1994) ainda afirma que, para a profundidade 𝑥 = 𝑏 2⁄ , a área de seção ampliada (𝐴 , ) alcança o valor de 9𝑏 , mostrada na figura 13, com isso, a tensão vertical é dada pela equação (15).
𝜎 , ≤
2(0,85𝑓 )
9 = 0,19𝑓 (15)
Figura 13 - Ampliação da seção resistente – Seções quadradas
Fonte: Fusco (1994).
Para pilares com seções muito alongadas (medida em 𝑎 até 10 vezes maior que 𝑏) a tensão reduzida atinge seu valor para a profundidade de aproximadamente 𝑥 = 1,2𝑏, conforme figura 14.
Figura 14 - Ampliação da seção resistente - Seções retangulares
Fonte: Fusco (1994).
Fusco (1994) apresenta um método, mostrado na figura 15, para determinar os valores de 𝑥 através da porcentagem de armadura longitudinal do pilar (𝜌%) em sua base.
Figura 15 - Ampliação da seção resistente - Seções muito alongadas
Desta forma, nota-se que as bielas diagonais irão convergir dentro do bloco para uma seção horizontal a uma distância 𝑥 do topo do bloco, sendo esta determinada por possuir valor tensão de compressão reduzida 𝜎 , em torno de 0,2𝑓 sem a contribuição da armadura do pilar. Segundo Carvalho (2018), este valor de tensão é um dos limitantes neste método, portanto, para a verificação da segurança ao esmagamento do concreto, a tensão atuante na região nodal superior do bloco 𝜎 , , deve respeitar a relação (16).
𝜎 , , =
𝑁 𝐴 ,
≤ 0,20𝑓 (16)
Fusco (1994) ainda comenta que, como as estacas costumam penetrar de 5 a 10 cm no interior do bloco, isso faz com que as inclinações das bielas diminuam e, consequentemente, a área de sustentação delas aumentem. Em vista disso, a favor da segurança, recomenda-se utilizar para as bielas mais afastadas inclinação efetiva de 𝜃 = 26,4° (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 2⁄ ) em relação à horizontal ao invés da inclinação aparente 𝜃 = 34° (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 3⁄ ).
Portanto, a tensão máxima de compressão das bielas junto ao topo do bloco para a estaca mais afastada é dada pela equação (17).
𝜎 , = 𝜎 𝐴 , 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝜎 𝑠𝑒𝑛 𝜃= 0,20𝑓 𝑠𝑒𝑛 (26,4°)= 𝑓 (17) Onde,
𝜎 , : tensão máxima de compressão junto ao topo do bloco 𝜎 : tensão vertical na área ampliada
𝐴 , : área da seção horizontal mais afastada
𝐴 : área da biela
𝑓 : resistência de cálculo do concreto
A tensão máxima de compressão das bielas no fundo do bloco depende da tensão atuante na seção transversal das estacas projetada e ampliada onde ocorre o equilíbrio da biela, é possível obtê-la através da equação (18) (CARVALHO, 2018).
𝜎 , , =
𝑁 𝑛 𝐴 ,
≤ 0,20𝑓 (18)
Onde,
𝑁 : força normal aplicada;
𝑛 : quantidade de estacas no bloco;
𝐴 , = (𝑎 , ) : área da seção transversal da estaca ampliada; 𝑎 , : diâmetro da estaca
𝜎 , , : tensão de compressão na biela atuante na estaca
2.4.3.3. Área de Armadura (𝐴 )
A área de armadura é determinada através do equilíbrio junto à estaca, conforme mostrado na equação (19).
𝐴 = 𝑀
𝑧𝑓 (19)
Em que,
𝐴 : área total de aço;
𝑀 : momento gerado pela excentricidade das estacas em relação ao pilar; 𝑧 = 𝐻 − 𝑥 − 𝑑′: braço de alavanca dos esforços internos;
𝐻: altura do bloco de fundação.
2.4.3.4. Considerações para Blocos Sobre Duas Estacas
Em resumo, para blocos sobre duas estacas o esquema estrutural é ilustrado na figura 16.
Figura 16 - Esquema estrutural de bloco sobre duas estacas
Fonte: Fusco (1994).
Conforme determinado no método do Fusco (1994), o início das bielas se dá a partir de (𝑎 + 4𝑥) 4⁄ do centro do pilar, com isso, a inclinação das bielas se dá através da equação (20). 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐻 − 𝑑′ − 𝑥 𝐿 2− (𝑎 + 4𝑥) 4 (20)
As expressões para verificação para blocos com duas estacas são dadas pelas relações (21), (22) e (23). 𝜎 , , = 𝑁 𝐴 , ≤ 0,20𝑓 (21) 𝜎 , , = 𝑁 2𝐴 , ≤ 0,20𝑓 (22) 𝐴 = 𝑁 2𝑓 . 𝑡𝑔𝜃 (23)
A capacidade resistente do bloco é dada pelo menor valor das três equações determinadas pelo sistema de equações (24).
𝑁 , ≤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0,2 𝑘 𝑓 𝐴 , 2 0,2 𝑘 𝑓 𝐴 , 2𝐴 𝑓 𝑡𝑔𝜃 (24)
Sendo que, de acordo com Fusco (1994), o coeficiente k é dado pelo produto de outros três coeficientes, conforme apresenta-se abaixo.
𝑘 , = 1,20 considera o ganho de resistência do concreto após 28 dias de idade;
𝑘 , = 0,95 considera que a resistência medida em corpos de prova
cilíndricos é superestimada, devido à influência do atrito dos corpos de prova com os apoios da prensa de ensaio;
𝑘 , = 0,75 considera o efeito deletério da ação de cargas de longa duração.
Portanto, k = 1,20 ∙ 0,95 ∙ 0,75 ≅ 0,85.
2.4.4. Santos (2013)
O modelo proposto por Santos (2013 apud CARVALHO, 2018), demonstrado na figura 17, tem como semelhança em relação ao método de Blevot e Frémy (1967) a existência de uma treliça com bielas inclinadas ligando a base do pilar à estaca. Para o topo do bloco, o método de Santos (2013) utiliza a mesma ideia de Fusco (1994), a necessidade de haver uma profundidade mínima para ocorrer transferências dos esforços das armaduras do pilar para o concreto, lembrando que ainda é necessário considerar a profundidade do concreto nesta região para resistir aos esforços de compressão. As bielas são estabilizadas por tirantes sobre as estacas.
Figura 17 - Modelo biela-tirante para bloco sobre estacas
Fonte: Carvalho (2018).
2.4.4.1. Inclinação das Bielas
Para o método de Santos (2013), a inclinação das bielas é dada pela equação (25), respeitando o limite de 33,7° ≤ 𝜃 ≤ 63,4° (CARVALHO, 2018).
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔ℎ − 0,5𝑦 − 𝑑′
𝑎 (25)
Onde,
𝜃 : inclinação das bielas; ℎ: altura do bloco;
𝑦: altura da região nodal superior;
𝑑′: distância entre a face interior do bloco e o nível das armaduras; 𝑎 : projeção horizontal da biela.
2.4.4.2. Equilíbrio das Forças nos Nós
As forças aplicadas junto ao pilar e às estacas devem estar em equilíbrio, gerando as equações (26) e (27) (CARVALHO, 2018).
𝑅 , = 𝑁 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (26) 𝑅 , = 𝑁 𝑛 𝑡𝑔 𝜃 (27) Onde,
𝑁 : Força de cálculo aplicada ao pilar;
n : Quantidade de estacas existente no bloco de fundação; 𝑅 , : força atuante na biela;
𝑅 , : força atuante no tirante.
A resistência para o nó superior respeita o limite determinado pela NBR 6118:2014 ( 𝑓 = 0,85 𝛼 𝑓 para bielas prismáticas ou nós CCC, também chamado de pseudo hidrostático e ocorrem em locais com forças concentradas, sendo que 𝑓 é a tensão resistente máxima em bielas com compressão transversal ou sem tensões de tração transversal e nós onde se encontram somente bielas; 𝛼 = 1 − 𝑓 ⁄250 é o coeficiente de efetividade do concreto; 𝑓 = 𝑓 ⁄𝛾 a resistência de cálculo à compressão do concreto, 𝑓 resistência característica à compressão do concreto; 𝛾 coeficiente de ponderação da resistência do concreto), assim, o valor de tensão atuante no pilar deve respeitar a condição (28) (CARVALHO, 2018). 𝜎 , , = 𝑅 , 𝐴 , = 𝑁 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 𝑓 (28) Onde,
𝜎 , , : Tensão atuante no pilar;
𝐴 , : Área da seção transversal da biela junto ao pilar;
𝐴 , : Área da seção transversal do pilar ampliada.
Já a resistência para a base sobre estacas devem respeitar o limite da NBR 6118:2014 para bielas atravessadas por tirante único ou nós CCT os quais ocorrem em pontos de cruzamento entre um tirante e duas bielas comprimidas, ( 𝑓 =
0,72 𝛼 𝑓 , sendo 𝑓 tensão resistente máxima em nós com somente um tirante) (CARVALHO, 2018). A tensão atuante na estaca deve ser calculada segundo a equação (29). 𝜎 , , = 𝑅 , 𝐴 , = 𝑁 𝑛 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 𝑓 (29)
𝜎 , , : Tensão atuante na estaca;
𝐴 , : Área da seção transversal da biela junto à estaca;
𝐴 , : Área da seção transversal da estaca ampliada.
Área das bielas é determinada pelas equações (30) e (31).
𝐴 , = 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛𝜃 (30)
𝐴 , = 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛𝜃 (31)
O autor propõe que a área do pilar seja alterada por uma área ampliada com abertura de 45°, segundo ele, essa área representa melhor a área das bielas nas regiões nodais. Isto está descrito nas equações (32) e (33) (CARVALHO, 2018).
𝐴 , = (𝑎 + 2𝑦)(𝑏 + 2𝑦) (32)
𝐴 , =
𝜋
4(∅ + 2𝑑′) (33)
𝑎 , 𝑏 : dimensões da seção transversal; ∅ : Diâmetro da estaca (seção circular); 𝐷 : Largura da (seção quadrada);
Área de armadura, determinada a partir da força do tirante R , , conforme a equação (34).
𝐴 =𝑅 ,
𝑓 =
𝑁
𝑛 𝑓 𝜃 (34)
2.4.4.3. Considerações para Blocos Sobre Duas Estacas
A projeção horizontal das bielas 𝑎 é dada pela equação (35).
𝑎 =𝐿 2−
𝑎
4 (35)
A inclinação das bielas (𝜃 ) é dada pela equação (36).
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝐻 − 𝑑′ − 𝑦 2𝐿 ⁄ 2−
𝑎 4
(36)
Os limites de tensões das bielas e armaduras dos tirantes são dados pelas equações (37), (38) e (39). 𝜎 , , = 𝑁 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 0,85𝛼 𝑓 (37) 𝜎 , , = 𝑁 2 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 0,72 𝛼 𝑓 (38) 𝐴 =𝑅 , 𝑓 = 𝑁 2𝑓 𝑡𝑔𝜃 (39)
Para a calibração do método, os coeficientes de ponderação das ações e dos materiais são desconsiderados.
Capacidade de carga resistente do bloco 𝑁 , é a menor das relações apresentadas no sistema de equações (40).
𝑁 , ≤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0,85𝛼 𝑓 𝑘 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 20,72𝛼 𝑓 𝑘 𝐴 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑓 𝐴 𝑡𝑔𝜃 (40)
Sendo, o coeficiente 𝑘 o mesmo proposto por Fusco (1994) e ∝ o coeficiente de efetividade do concreto, dado por ∝ = (1 − 𝑓 ⁄250).
2.4.5. Araújo (2014)
No método proposto por Araújo (2014) determina-se a inclinação mínima das bielas de compressão admitindo inicialmente a relação para a altura útil do bloco 𝑑 como 𝑑 ≥ 𝑟 17⁄ , sendo 𝑟 a distância da estaca mais afastada até um ponto O, demonstrado na figura 18, o qual possui coordenadas (0,25𝑎; 0,25𝑏) com origem no eixo do pilar, sendo que 𝑎 e 𝑏 correspondem às dimensões dos pilares nas direções 𝑥 e 𝑦, respectivamente, lembrando que quanto maior a altura adotada para o bloco maior a garantia da segurança (ARAÚJO, 2014).
Figura 18 - Geometria dos blocos rígidos
Fonte: Araújo (2014).
O autor admite que as estacas atuam como birrotuladas, ou seja, é possível desprezar os esforços de flexão provocados por engastamento das estacas, o que é
possível apenas para estacas flexíveis e, portanto, os esforços normais têm grande influência no dimensionamento (ARAÚJO, 2014).
O risco de esmagamento do concreto junto às estacas deve ser verificado considerando que as tensões normais no topo da estaca se difundem até um plano horizontal no nível da armadura.
A tensão de cálculo na estaca é dada pela equação (41).
𝜎 =𝐹 𝐴 =
1,4𝐹
𝐴 = 1,4𝜎 (41)
Onde,
𝐴 : área da seção da estaca;
𝜎 :tensão de compressão na estaca para as cargas de serviço; 𝐹 : carga aplicada na estaca.
Para o cálculo da tensão no nível das armaduras é considerada área ampliada da seção da estaca, obtida através de 𝐴 = 𝑘𝐴 , em que 𝑘 > 1 depende da distãncia 𝑑′. Para estacas de seção circular 𝑘 = 1 +
∅ (ARAÚJO, 2014).
Caso a estaca seja quadrada, basta considerar ∅ o lado da estaca, dessa forma, a tensão aplicada na estaca (𝜎 ) pode ser obtida pela equação (42).
𝜎 = 𝐹
𝐴 =
1,4
𝑘 𝜎 (42)
Considerando o equilíbrio entre as forças na biela e estaca, tem-se a equação (43).
𝜎 = 𝜎
𝑠𝑒𝑛 𝜃 (43)
Onde,
𝜃: ângulo de inclinação da biela em relação à horizontal; 𝜎 : tensão na biela.
Como garantia de segurança ao esmagamento da biela deve-se respeitar o limite de 𝜎 ≤ 𝑓 , sendo 𝑓 a resistência à compressão de cálculo do concreto do bloco, considerando uma redução relacionada à probabilidade de fissuração do concreto na área de ancoragem da armadura, Desta forma, 𝑓 = 0,60𝛼 𝑓 , onde 𝑓 = 𝑓 ⁄1,4, substituindo nas equações (42) e (43), obtém-se a relação (44) (ARAÚJO, 2014).
𝜎 ≤ 0,30𝛼 𝑘𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑓 (44)
Araújo (2014) orienta que deve se utilizar a relação (44) para cálculo de tensão para que não ocorra o esmagamento das bielas. Caso o resultado não seja favorável, uma opção a ser tomada é aumentar a altura do bloco, consequentemente 𝜃 será alterado diretamente. Desta forma, a altura ℎ do bloco admitida inicialmente apenas auxilia em um pré-dimensionamento, sendo que a altura definitiva será determinada pela equação (44).
2.4.5.1. Considerações para Blocos Sobre Duas Estacas
No caso específico para bloco sobre duas estacas a força em cada estaca é dada por 0,50𝑁 , pois adota-se que o pilar não transmite momentos fletores ao bloco. Como garantia da segurança em relação ao esmagamento das bielas de compressão no topo do bloco, a altura é considerada 𝑍 = 0,85𝑑, portanto, o ângulo das bielas é dado através da equação (45) (ARAÚJO, 2014).
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑍
𝑙 − 0,25𝑎) (45)
Desta forma, tem-se que 𝑟 = 𝑙 − 0,25𝑎, restrigindo a 𝑡𝑔𝜃 ≥ 1 2⁄ e 𝑑 ≥ 𝑟 1,7⁄ . A segurança ao esmagamento das bielas junto às estacas é dada pela relação (46) para o cálculo da tensão de serviço nas estacas (𝜎 ) (ARAÚJO, 2014).
𝜎 = 0,5 𝑁
A força de tração no tirante (𝑅 ) é dada pela equação (47).
𝑅 =0,5𝑁 (𝑙 − 0,25𝑎)
𝑍 (47)
Sendo 𝑅 = 𝐴 𝑓 , é possível obter a área de aço pela equação (48).
𝐴 =0,5𝑁 (𝑙 − 0,25𝑎)
𝑍𝑓 =
𝑀
𝑍𝑓 (48)
Onde,
𝑎: largura da seção do pilar;
𝑙: distância do eixo da estaca até o eixo do pilar;
𝑀 : momento fletor em uma seção situada a 0,25𝑎 da face do pilar, causado pela reação da estaca.
Caso 𝑁 esteja aplicado com excentricidade, as estacas estarão desigualmente carregadas, deve-se considerar o 𝑀 gerado de maior valor (ARAÚJO, 2014).
Desta forma, a capacidade de carga para o modelo proposto por Araújo é dada pelo menor valor das equações apresentadas na relação (49).
𝑁 , ú ≤
2(0,6 ∝ 𝑓 𝑘𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 𝑘
2𝐴 𝑓 tan 𝜃
(49)
2.5. MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
O Método dos Elementos Finitos é um procedimento matemático utilizado para resolver problemas que não se enquadram de maneira satisfatória em um método analítico (ROVERE, 2002). De acordo com Martha (1994), através do Método dos Elementos Finitos é possível avaliar estruturas contínuas de diversos
formatos, pois com base no modelo real é definido um modelo matemático e esse então orientará a análise.
O primeiro passo para a modelagem computacional é definir um modelo matemático constituído por um conjunto de equações diferenciais que representam o fenômeno físico, essas equações são funções dos fatores que influenciam diretamente o problema. O segundo passo é a solução deste modelo criado, função dos métodos numéricos (RIBEIRO, 2004).
Com o Método dos Elementos Finitos é possível diminuir o domínio das equações diferenciais, compreendendo ao invés da estrutura como um todo, apenas o elemento definido (MARTHA, 1994).
Esse método tem baseia-se em subdividir a estrutura em pequenas partes com tamanhos e quantidades finitas, essas partes são chamadas de elementos e podem apresentar formas geométricas variadas dependendo do formato original da estrutura, esses elementos são conectados através de nós ou pontos nodais, a união de todos esses componentes é chamada de malha de elementos finitos. Através desta individualização, o MEF permite solucionar problemas complexos obtendo resultados com boa aproximação (ROVERE, 2002).
Os deslocamentos são calculados para os pontos nodais e através de interpolação são determinados os deslocamentos dos outros pontos da estrutura (MARTHA, 1994).
O sucesso da análise está diretamente relacionado à caracterização dos elementos e da malha formada. Desta forma, é fundamental adotar um modelo adequado. Em softwares que utilizam o MEF o usuário é quem determina o modelo matemático a ser utilizado (MARTHA, 1994).
Rovere (2002) afirma que os programas podem não fazer a conferência se o modelo adotado atende ao problema em questão. Desta forma, é fundamental que se tenha conhecimento sobre o método dos elementos finitos para aplicá-lo aos estudos de engenharia. Os softwares têm se aprimorado e alguns deles possuem pré-processadores que permitem uma visualização gráfica das malhas adotadas e consequentemente verificação da geometria.
3. ANÁLISE
3.1. BLOCO
Devido à complexidade do programa computacional, optou-se por estudar um único bloco, o qual provém de ensaio experimental de Delalibera (2006). O bloco escolhido é o B45P25E25e0Asw0, o qual, de acordo com a nomenclatura do autor, possui altura de 45 cm, pilar quadrado com dimensões de 25x25 cm, estaca quadrada de 25x25 cm, força aplicada sem excentricidade e armadura localizada apenas na base do bloco.
Notou-se que para este bloco, devido à ausência de armadura complementar (armaduras transversais entre o pilar e as estacas), ocorre o fendilhamento, o qual causa redução da capacidade de carga do bloco. Mesmo com o surgimento de fissuras com aberturas consideráveis, a estrutura só deixou de resistir após o esmagamento do concreto. As figuras 19, 20 e 21 apresentam o bloco após a realização do ensaio.
Figura 19 - Posição da primeira fissura junto à estaca
Figura 20 - Início do esmagamento do concreto junto ao pilar
Fonte: Delalibera (2006).
Figura 21 - Vista frontal do modelo B45P25E25e0Asw0
Fonte: Delalibera (2006).
No quadro 1 estão apresentados os resultados obtidos experimentalmente para o bloco B45P25E25e0Asw0, de acordo com Delalibera (2006). Sendo, Fu a
força última obtida, ereal a excentricidade real identificada no ensaio, apesar da
Quadro 1 - Resultados experimentais para o bloco B45P25E25e0Asw0 Fu (kN) Abertura máx. de fissuras (mm) Ângulo da fissura
Reação nas estacas
ereal(cm)
Deslocamentos (mm)
Est1 (kN) Est2 (kN) δT1 δT2 δT3 δT4 δT5
2090 0,29 72° 1040 1050 0,2 2,49 1,00 1,52 1,30 -0,70
Fonte: Adaptado de Delalibera (2006).
Os deslocamentos δT1, δT2, δT3, δT4 e δT5 foram medidos nos pontos, conforme
apresentado na figura 22, T1, T2, T3, T4 e T5 respectivamente. Sendo que δT1, δT2,
δT3, são positivos para baixo e δT4 e δT5 são positivos segundo orientações dos eixos
Z e X, respectivamente.
Figura 22 - Posição dos transdutores para medição do deslocamento no ensaio experimental
Fonte: Delalibera (2006).
3.2. MODELAGEM COMPUTACIONAL
3.2.1. Generalidades
O ABAQUS é um programa computacional baseado no Método dos Elementos Finitos. O programa é utilizado em diversas áreas da engenharia e permite desde análises simples até análises complexas, como a consideração das
não linearidades físicas e geométricas, análises térmicas, análises multi-físicas, dentre outras.
A biblioteca de elementos fornece um recurso completo de modelagem com sólidos de uma, duas e três dimensões bem como elementos como cascas, vigas, tubos e curvas de tubo com seções de deformação. A biblioteca de materiais é vasta e possui opções de modelos construtivos com elasticidade linear e não linear e materiais como borracha, plásticos, concreto, areia e tipos de solos.
3.2.2. Unidades
Para a simulação numérica, é necessária a definição de um sistema de unidades a ser utilizado durante toda a análise. Os dados de entrada devem ser especificados em unidades compatíveis, conforme padrões definidos no quadro 2. Para este estudo foram utilizadas as unidades do sistema internacional, SI (mm).
Quadro 2 - Padrões de unidades para o ABAQUS
Fonte: Ferreira (2016).
3.2.3. Geometria
O modelo utilizado para a análise foi o bloco rígido nomeado como B45P25E25e0Asw0, ensaiado por Delalibera (2006). O arranjo é composto por um pilar retangular centrado sobre um bloco apoiado sobre duas estacas retangulares. Neste modelo, foi considerada apenas a armadura principal de tração no tirante e as armaduras do pilar e das estacas. Não foi considerada excentricidade da força.
As áreas de aço utilizadas estão dispostas no quadro 3. A geometria está representada na figura 23. Os dados dos materiais utilizados estão dispostos nas seções 3.2.5.1 e 3.2.5.2.
Figura 23 - Detalhamento geométrico bloco B45P25E25e0Asw0
Fonte: Delalibera (2006).
Quadro 3 - Detalhamento das armaduras Área calculada (cm²) Área mínima (cm²) Número de barras Diâmetro da armadura (mm) Armadura principal 10,34 - 5 20
Armadura das estacas 0 3,5 4 12,5
Armadura dos pilares 10,27 5 14 12,5
3.2.4. Elementos
O tipo de elemento é definido no processo de criação do componente. Para representação dos componentes desta pesquisa foram utilizados elementos contidos na biblioteca do ABAQUS, os quais estão representados no quadro 4.
A escolha destes elementos se baseou em diversas referências, como Ferreira (2016) e Medeiros (2018).
Quadro 4 - Tipo de elementos no ABAQUS
Elemento Tipo Representação Dados
Bloco, pilar
e estacas C3D8RSolid
8 nós com 3 graus de liberdade por nó (translações nas direções x, y e z). Suporta análise plástica com grandes deformações,
deslocamentos e também fissuração. Permite também a inserção de barras de
armadura em seu interior.
Armaduras Truss T3D2
2 nós com 3 graus de liberdade por nó (translações nas direções x, y e z). É apropriado para representar barras, treliças
ou cabos sujeitos a esforços uniaxiais. Este elemento permite deformações iniciais e foi
utilizado para representar as armaduras. Fonte: Adaptado de Manual do ABAQUS (2018).
O modelo das armaduras está representado na figura 24. O modelo completo pode ser visualizado na figura 25.
Figura 24 - Armadura discretizada
Fonte: Autoria própria (2019).
Figura 25 - Modelo numérico completo
Fonte: Autoria própria (2019).
3.2.5. Modelos Constitutivos
3.2.5.1. Aço
Para a modelagem do aço utilizado nas armaduras do bloco, estaca e pilar, nas análises linear e não linear, o comportamento foi idealizado como elasto-plástico com strain-hardening. O diagrama utilizado segue a representação bilinear, na qual
são definidas duas fases: comportamento elástico-linear e comportamento plástico perfeito.
Para a definição do comportamento na primeira fase, a qual é considerada linear e isotrópica, são requeridos o módulo de elasticidade, Es, e o coeficiente de
Poisson, v.
O comportamento plástico foi definido como Classic Metal Plasticity - CMP, com propriedade isotrópica. As características necessárias para definição do modelo são a tensão de escoamento, fy, a deformação permanente, εy, a tensão última, fu e
a deformação última, εu.
O aço utilizado na modelagem foi o CA-50, cujos dados estão apresentados na tabela 1. Os diagramas tensão-deformação obtidos por Delalibera (2006) em ensaio de tração simples normatizado pela NBR 6152:1992, estão representados nas figuras 26, 28 e 30. Os diagramas tensão-deformação utilizados na modelagem estão representados nas figuras 27, 29 e 31.
Tabela 1 - Características gerais dos aços
Diâmetro (mm) 12,5mm 20mm 6,3mm
Módulo de Elasticidade (Es) (MPa) 200000 200000 200000
Coeficiente de Poisson (v) 0,3 0,3 0,3
Tensão de Escoamento (fy) (MPa) 578 550 597
Tensão de Ruptura (fu) (MPa) 584 560 644
Deformação permanente (εy) 0,00289 0,00275 0,0030
Deformação última (εu) 0,026 0,027 0,026
Fonte: Adaptado de Delalibera (2006).
Figura 26 - Curva tensão-deformação experimental do aço 20mm
Figura 27 - Curva tensão-deformação do aço 20mm
Fonte: Autoria própria (2019).
Figura 28 - Curva tensão-deformação experimental do aço 12,5mm
Fonte: Delalibera (2006).
Figura 29 - Curva tensão-deformação do aço 12,5mm
Fonte: Autoria própria (2019).
0 150 300 450 600 0 5 10 15 20 25 30 Te ns ão (M Pa ) Deformação (‰) 0 130 260 390 520 650 0 5 10 15 20 25 30 Te ns ão (M Pa ) Deformação (‰)
Figura 30 - Curva tensão-deformação experimental aço 6,3mm
Fonte: Delalibera (2006).
Figura 31 - Curva tensão-deformação do aço 6,3mm
Fonte: Autoria própria (2019).
3.2.5.2. Concreto
Para a análise linear, o comportamento do concreto foi caracterizado como Elastic, cujas propriedades de entrada são apenas o Módulo de Elasticidade e Coeficiente de Poisson, os quais estão apresentados na tabela 2.
0 200 400 600 800 0 5 10 15 20 25 30 Te ns ão (M Pa ) Deformação (‰)
Tabela 2 - Dados concreto - Análise linear
Bloco - C20 Estacas - C50 Pilar - C50 Módulo de Elasticidade (MPa) 27500 34937 31003
Coeficiente de Poisson 0,3 0,3 0,3
Fonte: Adaptado de Delalibera (2006).
Para a análise não linear, no ABAQUS existem duas aproximações mais relevantes que caracterizam o comportamento do concreto: Smeared Crack Model (Modelo de Fissura Distribuída) e o Concrete Damaged Plasticity (Modelo de Dano Plástico). O dano pode ser entendido como a perda de rigidez devido ao aparecimento de fissuras no concreto quando submetido a carregamentos, o que causa redução da rigidez e consequente perda de resistência. No Concrete Damaged Plasticity (CDP) o dano é computado por variáveis escalares denominadas parâmetros do dano (damaged parameter), sendo o parâmetro dc para compressão e dt para tração, calculados de acordo com as equações (50) e (51). Este modelo assume dois mecanismos de ruptura do concreto, a fissuração à tração e o esmagamento à compressão.
𝑑𝑐 = 1 − 𝜎
𝑓 (50)
𝑑𝑡 = 1 − 𝜎
𝑓 (51)
Onde σc é a tensão característica do concreto e fcm e fctm são as tensões na
fase pós pico na curva.
Estes parâmetros podem ser identificados nas curvas tensão-deformação do concreto e relacionadas com a deformação plástica em ambas as curvas, conforme demonstrado nas figuras 32 e 33.
Figura 32 - Comportamento do concreto à tração
Fonte: Manual do ABAQUS (2018).
Figura 33 - Comportamento do concreto à compressão
Fonte: Manual do ABAQUS (2018).
Para a caracterização do concreto, foi utilizado o modelo de dano plástico, visto que este é o mais utilizado pois possui maior capacidade de convergência em comparação ao modelo de fissuração distribuída devido à maior simplicidade e robustez dos algoritmos numéricos associados (FERREIRA, 2016).
O CDP é um modelo de dano contínuo e tem como objetivo caracterizar o comportamento plástico não-linear dos materiais, para isso, utiliza-se uma superfície de escoamento gerada em função da pressão hidrostática efetiva e das tensões
