Aula Proporções

Proporções

Regra de Três

Simples e Composta

Proporções

• Situação-problema 1

• Um homem adulto possui uma constituição física

diferente da constituição de uma criança.

Proporções

• Situação-problema 1

• Na figura do slide anterior podemos ver que na mulher

adulta a altura da cabeça

está para

a altura do corpo

na proporção de

1 para 7,5

;

• Enquanto isso, na criança de 3 a 4 anos, a altura da

cabeça

está para

a altura do corpo na proporção de

1

para 5,5.

• Conhecendo as proporções entre as partes do corpo

humano você consegue desenhar, ou pelo menos

esboçar pessoas de diferentes idades razoavelmente

bem.

Proporções

• Atividade 1

• Num papel quadriculado, tente esboçar um menino

cuja altura da cabeça está na proporção de 1 para 4

em relação ao corpo e uma menina de 14 anos, cuja

proporção é de 1 para 5.

Proporções

• Aplicações

• Artistas conhecem essas proporções, mas nem

sempre as seguem, pois na sua intenção podem

querer não retratar a realidade como ela é, mas dar

ênfase a algum aspecto dela.

O Abaporu

Proporções

• Aplicações

Proporções

• Aplicações

Café (Cândido Portinari)

Proporções

• Aplicações

Proporções

• Aplicações

• Outro recurso utilizado pelos artistas para manter a

proporcionalidade quando desejam obter uma cópia

reduzida ou ampliada do original é utilizar a técnica

dos quadrados.

Proporções

• Aplicações

Proporções

• Situação-problema 2

• Ana, que adora revistas de receitas, viu um anúncio de que sua revista preferida custava R$ 6,50 nas bancas, mas se fizesse a assinatura de 1 ano, receberia os 12 exemplares e pagaria

somente R$ 70,20.

• Ana quis logo saber se os preços da assinatura anual e o da revista nas bancas eram proporcionais a 12 e 1.

Proporções

• Situação-problema 2

• Bom, se Ana comprar 12 revistas nas bancas ao preço

de R$ 6,50, pagará, ao final R$ 78,00;

• No anúncio, o preço da assinatura anual saía por R$

70,20;

• Isto significa que a revista oferecia um desconto para

os assinantes no valor de R$ 7,80.

Proporções

• Proporções com números

•

Quatro números racionais A, B , C e D diferentes de zero,

nessa ordem, formam uma proporção quando:

1. Os números A, B , C e D são denominados termos 2. Os números A e B são os dois primeiros termos 3. Os números C e D são os dois últimos termos 4. Os números A e C são os antecedentes

5. Os números B e D são os consequentes 6. A e D são os extremos

7. B e C são os meios

8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K , denominada constante de proporcionalidade K desta razão.

A B =

C D

Proporções

• Propriedades

– 1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

– 3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o

segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

(A+B) A = (C+ D) C (A−B) A = (C−D ) C (A+B) B = (C+ D) D (A−B) B = (C−D ) D A . D=B . C

Proporções

• Propriedades

– 4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

(A +C ) (B + D )= A B = (A −C ) (B− D) (A +C ) (B + D )= (A−C ) (B−D )= C D

Proporções

• Grandezas diretamente proporcionais

aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma

proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção;

– Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão,isto é, existe uma constante K tal que:

ou X

Proporções

•

Exemplo

– Sabe-se que o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Assim, um carro que percorre 80 km em 1 hora, após 2 horas terá percorrido 160 km; em 3 horas, 240 km, e assim sucessivamente.

Proporções

• Grandezas inversamente proporcionais

– Duas grandezas são inversamente proporcionais se, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção;

– Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

ou _X= K

Proporções

•

Exemplo

– Um carro faz determinado percurso à velocidade de 45 km em 2 horas. Se aumentarmos a sua velocidade percorrerá o mesmo trajeto em menos tempo. Se aumentarmos a velocidade para 90 km/h o tempo que levaria para concluir o percurso seria de 1 hora. Logo tempo e velocidade são grandezas inversamente

Proporções

• Regra de Três Simples

– A Regra de Três Simples é um método prático para relacionar grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

– Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicar as mesmas na resolução de problemas. – No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios

dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Proporções

• Regra de Três Simples

Proporções

• Regra de Três Simples

– Resolvendo problemas com grandezas diretamente proporcionais

– Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais A e B e outras duas grandezas C e D também

diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A B=

C D=k

Proporções

•

Exemplo

– Na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com 10kg de massa e ocorreu um

deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Colocando um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual deve ser o deslocamento no comprimento da mola sabendo que as

grandezas envolvidas são diretamente proporcionais? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Massa do corpo Deslocamento

10 kg 54 cm

Proporções

•

Exemplo

– X será a medida procurada. As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais e conhecendo os três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X montando a proporção:

– Observe que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também

aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10X = 15 × 54 = 810, logo X = 81 e o deslocamento da mola será de 81 cm.

10 15=

54

Proporções

• Regra de Três Simples

– Resolvendo problemas com grandezas inversamente proporcionais

– Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas

também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

ou – Segue que: ou A . B=K C . D= K A . B=C . D A C = D B

Proporções

•

Exemplo

– Em um treino de Fórmula MAT, um corredor imprimiu a velocidade média de 180 km/h perfazendo um percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (km/h=quilômetro por hora, s=segundo).

Velocidade Tempo

180 km/h 20 s 200 km/h X s

Proporções

•

Exemplo

– Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Dados três valores, podemos obter um quarto valor X:

– Observe que os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e X

aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

– Assim 180.20 = 200.X, segue que 200.X = 3600 e X = 18 s. 180

200=

X

Proporções

• Regra de Três Composta

– Regra de três composta é um processo de relacionamento de

grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

– O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. – Se A1, B1, C1, D1, ... são valores para grandezas para uma

primeira situação e A2, B2, C2, D2, ... são valores para grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo para obter o valor numérico de uma grandeza Z2, se conhecemos o

correspondente valor numérico Z1 e as medidas de todas as outras grandezas.

Proporções

• Regra de Três Composta

– Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z , basta resolver a proporção:

Situação Gran_1 Gran_2 Gran_3 Gran_4 Gran_... Gran_?

Sit_1 A1 B1 C1 D1 ... Z1 Sit_2 A2 B2 C2 D2 ... Z2 (Z 1) (Z 2)= (A 1. B 1. C 1. D 1. ..) (A 2. B 2. C 2. D 2...)

Proporções

• Regra de Três Composta

– Digamos que todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (indicada com a letra B) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção trocando as posições de B1 com B2:

– As grandezas diretamente proporcionais à grandeza Z são

indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela e as grandezas inversamente proporcionais à grandeza Z aparecem na ordem invertida daquela que aparecem na tabela.

(Z 1) (Z 2)=

(A 1. B 2. C 1. D 1. ..) (A 2. B 1. C 2. D 2...)

Proporções

• Observação

– A MAIOR DIFICULDADE SERÁ A ANÁLISE LÓGICA SOBRE QUAIS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. COMO EM GERAL É DIFÍCIL REALIZAR ESTA ANÁLISE, NÓS APRESENTAREMOS ALGUNS EXEMPLOS PARA ENTENDER O SEU

Proporções

• Observação

– A MAIOR DIFICULDADE SERÁ A ANÁLISE LÓGICA SOBRE QUAIS GRANDEZAS SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. COMO EM GERAL É DIFÍCIL REALIZAR ESTA ANÁLISE, NÓS APRESENTAREMOS UM EXEMPLO PARA ENTENDER O SEU FUNCIONAMENTO.

–

EXEMPLO

– Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produzem 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se tais máquinas funcionarem durante 9 dias?

Proporções

•

EXEMPLO

– Vamos representar o número de peças pela letra X e organizar os dados do problema numa tabela:

Número de

máquinas (A) Número de dias (B) Número de peças (C)

5 6 400

Proporções

•

EXEMPLO

– A grandeza Número de dias (C) servirá como referência para as outras grandezas.

– Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais

à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. – Análise

– a) Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que rodando maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e rodando menor

número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Proporções

•

EXEMPLO

– Análise

– a) Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que rodando maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e rodando menor

número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. – (b) Vamos agora considerar as grandezas Número de dias e

Horas por dia. Observamos que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias necessitaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias

necessitaremos maior número de horas para o mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais.

Proporções

•

EXEMPLO

– Análise

– Assim: que resulta em

– Resolvendo esta proporção, obtemos X = 4, significando que para percorrer 500 km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4

dias. 2 X= (200.5) (500.4) 2 X=( 1000 2000)

Referências Bibliográficas

IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática

Elementar Volume 2. São Paulo: Atual, 2010.

IEZZI, G., MURAKAMI, C., MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática

Elementar Volume 2. São Paulo: Atual, 2010.

DANTE, Luiz Roberto; Matemática Contextos e Aplicações Vol. 1. São Paulo: Ática, 2012.

LOPES,Luiz F.;CALLIARI,L. R. Matemática Aplicada na Educação

Profissional. Curitiba: Base, 2010.

SOUZA,J. R. Coleção Novo Olhar Matemática.V.2.São Paulo: FTD, 2010. RIBEIRO,J. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. vol.2.São Paulo: Scipione, 2010.

BASSANEZI,R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma

nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher,1996. CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. 4. ed. Lisboa: Gradiva, 2002.