Base maior Base menor Altura

ESCOLA SECUNDÁRIA POETA ANTÓNIO ALEIXO - PORTIMÃO

10º ano de escolaridade

Ano lectivo 2008- 2009

Disciplina

: Matemática B

Teste nº 5 - Maio

Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando

todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta,

deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada (riscando todas

as que pretende anular).

Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente

todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:



sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o

gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para a

resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção

de gráficos, máximos, mínimos, etc.);



sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as

linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto;



sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio

padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma recta de

regressão, etc.), apresente as listas que introduziu na calculadora para as obter.

Formulário:

Áreas de figuras planas

Losango:

2

Diagonal maior Diagonal menor



Trapézio:

2

Base maior Base menor

Altura



_

Polígono regular

:

Semiperímetro Apótema



Áreas de superfícies

Área lateral de um cone:



rg r raio da base g geratriz





;





Área de uma superfície esférica:

2

4



r



r raio





Volumes

Pirâmide:

1

3



Área da base Altura



Cone:

1

3



Área da base Altura



Esfera:

4

3

3



r



r raio





Cotações

1) Na figura está representado, em referencial o. m.

Oxyz

,

o prisma triangular não regular



ABCDEF



.

Sabe-se que:

 as bases são triângulos isósceles



AB



AC

e

DE DF





 a base



ABC



está contida no plano

xOy

 as arestas laterais do prisma são

perpendiculares às bases

 o ponto

B

tem coordenadas



0, 6, 0



 o ponto

D

tem coordenadas



8, 0,16



 o ponto

C

é simétrico do ponto

B

,

relativamente ao plano

xOz

Determina a área lateral do prisma.

2) Na figura está representado um rectângulo



ABCD



Este rectângulo é o esboço de uma placa decorativa de

20

cm

de comprimento por

16

cm

de largura e que será constituída por uma

parte em metal (representada a cinzento) e por uma parte em madeira (representada a branco). A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais. Cada triângulo tem um vértice no centro do

rectângulo



ABCD



Seja

x

o lado de cada quadrado, medido em

cm x







0, 8





2.1) Mostra que a área, em

cm

2, da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de

x

,

por

 

2

6

36

160

A x



x



x



.

2.2) Determina o valor de

x

para o qual a área da parte em metal é mínima e calcula essa área.

2.3) Determina o valor de

x

para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em

3) No âmbito da disciplina de Matemática B, os alunos de uma turma da Escola Secundária APRENDERMAIS desenvolveram um trabalho de projecto que incluía um estudo sobre a intenção dos jovens da sua região, que frequentavam o ensino secundário, de prosseguirem os estudos, após terminarem esse nível de ensino.

Para a recolha dos dados, elaboram um inquérito e seleccionaram uma amostra aleatória, constituída por 300 jovens, representativa da população em estudo.

No trabalho incluíram gráficos, alguns dos quais se apresentam em seguida:

 o gráfico circular, que representa os dados recolhidos quanto à auto-avaliação do desempenho escolar dos alunos inquiridos

 o diagrama de extremos e quartis, que traduz os dados relativos à idade, em anos, dos alunos inquiridos

3.1) No gráfico circular, não constam as percentagens referentes a «Muito Bom» e «Não Responde»,

mas, no trabalho, refere-se que a percentagem de alunos que se auto-avaliaram com «Muito Bom» é o dobro da percentagem de alunos que responderam «Insuficiente». Determina a percentagem de alunos inquiridos que não responderam à questão relativamente à auto-avaliação do desempenho escolar.

3.2) Com base nos dados representados no diagrama de extremos e quartis, indica, justificando, se é

4) Num certo concelho do nosso país, uma empresa de informática vai facultar um estágio, durante as férias do verão, aos alunos do 11º. ano, das escolas desse concelho, que tenham obtido classificação final superior a 15 valores, quer a matemática, quer a Informática.

As classificações finais nas disciplinas de Matemática e de Informática obtidas pelos 50 alunos desse conselho que satisfazem as condições requeridas foram tratadas estatisticamente.

Desse tratamento resultaram os gráficos apresentados a seguir.

4.1) Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das

classificações, a Ângela comentou: «As médias das classificações a matemática e a Informática são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão.»

4.1.1) Conclui que a Ângela tem razão na sua afirmação, calculando, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações.

4.1.2) O Pedro que estava a tratar os dados em conjunto com a Ângela, comentou: «Quando me

disseste que as médias eram iguais, eu, observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes».

5) Na actualidade, há uma crescente preocupação com a preservação da natureza, nomeadamente, quanto à necessidade de proteger espécies que se encontram em vias de extinção.

Considera que uma certa espécie animal se encontrava em vias de extinção. Para a proteger, tomaram-se medidas proteccionistas, designadamente, a criação de uma área protegida, no seu habitat natural.

Admite que, no início, apenas existiam 8 animais da espécie nessa área. A tabela seguinte traduz a contagemanual do número de animais nelaexistentes.

Anos decorridos desde a criação da área protegida

(

x

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Número de animais existentes na área protegida

(

y

)

8 9 13 18 24 30 38 45 62 75 84 88 100

5.1) Calcula o centro de gravidade.

5.2) Utilizando a tua calculadora, indique um valor aproximado do coeficiente de correlação linear

entre as variáveis descritas na tabela (anos/número de animais). Apresenta o resultado com duas casas decimais.

Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente.

5.3) Com recurso à calculadora, determina o modelo de regressão linear, de equação

y ax b





,

que se ajusta à nuvem de pontos apresentada. Indica os valores de

a

e

b

, com uma aproximação às décimas.

5.4) Qual a estimativa para o número de animais existentes na área protegida, sabendo que

decorreram 20 anos desde da criação da área protegida? (Caso não tenhas resolvido a

alínea anterior considera a recta:

y



10,5

x



2,9

)

6) Seja

f

uma função de domínio IR, definida por

f x

( )



x

3



3

x

2



6

x



8

.

Sejam

Q

e

R

os pontos do gráfico de

f

cujas abcissas são

0

e

3

, respectivamente.

A recta

QR

intersecta o gráfico de

f

em mais um ponto. Designemos esse ponto por

P

.

Determina as coordenadas do ponto

P

, percorrendo as etapas indicadas a seguir:

 mostra que a equação reduzida da recta

QR

é

y



12

x



8

 recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualiza o gráfico de

f

e a recta

QR

, escolhendo uma janela que te permite visualizar também o ponto

P

 reproduz, na tua folha de prova, o que visualizas na calculadora, assinalando também os pontos

P Q

,

e

R