P
OTENCIAÇÃO E
R
ADICIAÇÃO
Apostila (em construção) para a disciplina de Matemática Aplicada Professora Ligia Corrêa - UNITAU
POTENCIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto pode ser indicado na forma . Assim, o símbolo , sendo um número inteiro e um número natural maior que 1, significa o produto de fatores iguais a :
fatores n n aaa a a . . . ... . - é a base; - é o expoente; - o resultado é a potência.
Por definição temos que: e Exemplos:
a)
b)
c)
CUIDADO COM OS SINAIS!
Número negativo elevado a um expoente par fica positivo. Exemplos:
Número negativo elevado a um expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:
Se x 2, qual será o valor de “x2
”?
Observe: , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
a)
Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potências de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes, pois, por exemplo,
Vejamos alguns exemplos:
neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. Então
Obs.: Esta propriedade é válida ou Exemplo:
b)
Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potências de bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes, pois, por exemplo,
Obs.:Esta propriedade é válida ou Exemplo: x x
a a a 4 4 c)
Nesta propriedade temos uma potência elevada a um outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes, pois, por exemplo,
Obs.:Esta propriedade é válida ou Exemplo:
d)
Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potência de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. Exemplos:
Obs.: Esta propriedade é válida ou
e)
Obs.: Esta propriedade é válida ou Exemplo:
f)
Obs.: Esta propriedade é válida ou Exemplo:
g)
Obs.: Esta propriedade é válida ou Exemplos:
CUIDADO !!!
Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e
simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do
expoente.
Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a
Atenção neste exemplo => Simplifique a expressão .
Resolução: Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir todas à mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que
aparecem na base 2. Substituiremos 4 por e por 2, como segue:
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base: EXERCÍCIOS 1)Calcule as potências: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 2)O valor de é: a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 3)Simplifique: a) b)
4)Sendo e , o quociente de por é: a) 252 b) 36 c) 126 d) 48 e) 42 5) Efetue: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 6)Simplifique as expressões: a) b) c)
Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência,
como vimos no capítulo anterior! RADICIAÇÃO
1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever:
n e n 1
a b b a n n Ex. 1: 4 2 pois 22 4 Ex. 2: 3 8 2 pois 23 8 Na raiz n a, temos:- O número n é chamado índice; - O número a é chamado radicando.
2.CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS
a) n p pn a a Ex. 1: 3 2 213 Ex. 2: 3 32 4 4 Ex. 3: 5 62 625
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja apn n ap (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
Exemplo : 235 5 23 .
c) nab nanb Ex.: 3 3 6 3 3 3 6 33 63 2 b a b a b a b a d) n n n b a b a Ex.: 5 3 2 5 3 2 5 2 6 5 6 5 6 b a ou b a b a b a b a e)
n m m n m n m n m nb b b b b 1 1 1 1 Ex.:
1 32 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 5 5 5 5 5 f) n ma mna Ex.: 3 23 323 63 EXERCÍCIOS7)Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:
a) 100 1 b) 16 1 c) 9 4 d) 0,01 e) 0,81 f) 2,25
8)Calcule a raiz indicada:
a) 9 a3 b) 3 48
c) t7
d) 4 t12
9)Escreva na forma de potência com expoente fracionário:
e) 3 2 x f) 3 1 g) 3 4 1 h) 5 3 3 a
10)Escreva na forma de radical:
a) 5 1 2 b) 3 2 4 c) 4 1 x d) 2 1 8 e) 7 5 a f)
4 1 3 b a g)
5 1 2 n m h) 4 3 m11)De que forma escrevemos o número racional 0,00154 usando notação científica?
2.2RAÍZES NUMÉRICAS Exemplos: a) 4 2 3 2 144 12 3 . 2 . 2 3 2 . 2 3 2 . 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) 3 243 3 35 3 3332 3 2 3 33 3 3 2 3 3 3 3 Devemos fatorar 144 144 3 . 2 3 3 2 2 2 2 1 3 9 18 36 72 144 2 4 Forma fatorada de 144 243 3 3 3 3 3 3 1 3 9 27 81 243 5 Forma fatorada de 243
3 2 3 3 ou 3 2 3 3 ou 3 9 3
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
2 . 3 RA Í Z E S LI T E R A I S a) 2 9 9 x x Escrever o radical 9
x na forma de expoente fracionário 2 9
x não resolve o problema, pois nove não é divisível por 2. Assim escreveremos o número 9 da seguinte forma:
9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 ou
9= 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. Assim teremos: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x9 22221 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 ou x x x x x x x x x x9 81 8 1 8 82 4
b) 3 x14 3 x122 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
3 2 4 3 2 3 12 3 2 3 12 3 12 2 x x x x x x x x Resultados possíveis
Outros Exemplos: a) 3 6 3 3 6 x 27 x . 27 2 2 1 2 3 3 3 6 3 3 x 3 x 3 x 3 3) por divisível é 6 (pois x 3 b) 3 4 6 3 3 4 3 6 y x 48 y x 48 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 6 3 por divisível é não 4 pois 3 3 1 3 3 x 6 xy 2 x 6 xy 2 y x x 6 2 y x x 6 2 y x x 6 2 y x 6 . 2 EXERCÍCIOS 12)Calcule: a) 3125 b) 5243 c) 36 d) 51 e) 60 f) 17 g) 3125 h) 532 i) 71 27 3 3 3 3 1 3 9 27 3 27 3 3 3 3 1 3 9 27 3 48 6 . 2 3 . 2 . 2 3 2 2 2 2 1 3 6 12 24 48 3 3
13)Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) 332 b) 3 25 c) 427 d) 7 81 e) 8 512 f) 8 625
14)Calcule a raiz indicada: a) 2 4a b) 36a2b6 c) 2 4 9 4 b a d) 100 2 x e) 25 16a10 f) 4 2 100x g) 8121 h) 5 5 10 1024x y i) 4 25 1 j) 3 3 6 b a k) 6 2 4 16 z y x 15)Simplifique os radicais: a) 5 10 x a b) a4b2c c) a3b d) 25a4x e) 3 432 f) 45 3 . OP E R A Ç Õ E S C O M R A D I C A I S 3.1. Adição e Subtração
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1) 34 32 3
142
3 1 3 32) 253353253
232
53 353externos fatores
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma.
3)
reduzida mais ser pode não 5 3 2 2 5 6 3 2 2 4 5 6 5 3 2 2 2 4 4) 3 275 24
35
2
74
2 23 EXERCÍCIOS 16)Simplifique 12 106 108 10:17)Determine as somas algébricas: a) 3 3 3 2 5 2 2 2 7 b) 3 3 3 3 3 8 2 4 2 3 8 2 5 c) 8574612571046
18)Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: a) 5 283 202 632 45 b) 8 25 813 1815 509 72 c) 6 4512 486 10810 20 d) 2 903 2504 10 e) 496448624694 243 f) 533223 25631623 253 4 g) 5 5 5 2 486 64 h) 3 3 3 125 24 10 729 375 81 64 81 4
19)Calcule as somas algébricas: a) 10 x4 x6 x x b) 4a 81b6 9a8 144b c) 3 2738a31000a d) 4 5 4 4 9 3 12 2a a a a a e) a2xa 4x3 a34a a f) 4a5 b34a8 b 20)Considere a 9m,b2 100m,c8 36m e determine: a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c= 21)Simplifique a expressão 4 2 4
6 3 10 5 10
2y a a y y a . 3.2MULTIPLICAÇÃO1º
CASO: Radicais que têm raízes exatas.
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: Exemplo: 163 8 4
2 82º
CASO: Radicais que têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido. Exemplos: a) 3 5 35 15 b)3 3 2 3 4 3 2 4 y x y x y x y x 3 3 5 3 3 3 5 3 3 2 3 2 . . . . y x y y xy y x y x c) 2 23 5 23 2 5 6 25 6 10 3º
CASO: Radicais que têm índices diferentes. Este caso veremos apenas mais adiante.
ATENÇÃO:
- 2 2 2 2, ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.
- 2 2 2 => 2 2
2 2
2Ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 potenciação de regra 3.3 Divisão
A divisão de radicais tem 3 casos, a seguir veremos cada um deles:
1º
CASO: Os radicais que têm raízes exatas.
A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. Exemplo: 3 3 9 27 81 3 2º
CASO: Radicais que têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.
Exemplos: y x xy x xy x xy x3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 10 20 10 20 10 20 3º
CASO: Radicais que têm índices diferentes.
Veremos este caso mais adiante.
4.RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
3 3 4 3 3 4 3 3 3 4 3 4 2 2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
(a) 3 x
2
Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2
x , pois 1 + 2 = 3. x x 2 x x 2 x x 2 x x x 2 x x x 2 3 2 3 3 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3
Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas
(b) 5 2
x 1
Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3
x , pois 2 + 3 = 5. x x x x x x x x x x x x 1 5 3 5 5 5 3 5 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 3 5 2
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:
2
3 7 4 3 7 2 3 7 3 7 2 3 7 3 7 2 3 7 3 7 3 7 2 3 7 2 2 2 EXERCÍCIOS 22)Calcule a) 6 75 73 7 b) 5 23 502 18 c) 3 3 3 3 5 24 81 2 d) 4 53 2 e) 35252 f) 4 32 3 g) 5 2 10 823)Simplifique os radicais e efetue: a) 3 3 8 8 2 2 x x x x b) 433432333 243192 c) 2 3 5 3 3 4y x y x x x x
a) x. x b) 3 x x c) a7 a d) x x 3 e) 2 3 x x f) 3 4 .x x g) x.x7 h) 3a3 a4 i) 4a a j)
3 2 a a k) 4 2 5 . b25)Efetue as multiplicações e divisões: a) 3 5 4 2 2 . . ab a b a b) 3 2 2 2 4 . 4a x a x c) 10x .3 x d) xy.3 x2y2. x3y e) a3a4a f) 3 3 5 a a 26)Efetue: a) 8 3 4 2 a a b) 4 5 6 3 2 b a b a c) 3 4 2 3 xy y x d) 4 6 9 27 2 e) 3 4 3 1 5 3 b b b f) 4 6 25 . 5 125 . 3 27)Racionalize as frações: a) x 1 b) 4 x 2 c) x 1 3 d) 3 x 4
RE S P O S T A S D O S EX E R C Í C I O S- PO T E N C I A Ç Ã O E RA D I C I A Ç Ã O 1ª Questão: a) 36 h) 16 81 o) 9 25 b) 36 i) 16 81 c) –36 j) 8 27 -d) –8 k) 0 e) –8 l) 1 f) 1 m) 1 g) 1 n) -1 2ª Questão: d) 3ª Questão: a) 3 6 2 c b a b) x8 4ª Questão: a) 5ª Questão: a) 3 8 c b 4a d) 6 8 y a 1 g) 15 x j) 8 4 b a 81 b) 6 2 y x 1 e) 2 4 a 64y 1 h) 6 8x k) 6 2 8 b 4a 25x c) 12 9 b a f) 16x4 i) 6 9 b a 125 l) 81a8 6ª Questão: a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 2 7ª Questão:
a) 10 1 c) 3 2 e) 10 9 b) 4 1 d) 10 1 - f) 10 15 8ª Questão: a) 3 a b) 23 6 c) t3 t d) 3 t 9ª Questão: a) 2 1 7 c) 5 2 3 e) 3 2 x b) 4 3 2 d) 6 5 a f) 2 1 3 10ª Questão: a) 5 2 c) 4x e) 7a5 g) 5 2 1 n m b) 342 d) 8 1 f) 4 3 b a h) 4 3 1 m 11ª Questão: 1,54.10-3 12ª Questão: a) 5 c) 6 e) 0 g) -5 b) 3 d) 1 f) 7 h) –2 i) -1 13ª Questão: a) 3 5 2 c) 4 3 3 e) 8 9 2 b) 3 2 5 d) 7 4 3 f) 2 1 5 14ª Questão: a) 2a d) 10 x g) 4 11 j) b a2
b) 3 6ab e) 5 4a5 h) 4xy2 k) 3 2 yz 4x c) 2 ab 3 2 f) 10x i) 5 1 15ª Questão: a) 25 x a c) a ab e)
6
32
b) a2b c d) x a2 5 f) 3 5 16ª Questão: 10 2 17ª Questão: a) 0 b) 3 22 c) 5 4 6 9 7 4 18ª Questão: a) 4 7 c) 12 32 5 e) 3462743 g) 252 b) 92 2 d) 3 10 f) 103 4 h)44
33
19ª Questão: a) x c) 3123 a e) a xa a b) 16 a87 b d) (a212a)4 a f) 24a13 b 20ª Questão: a) 25 m b) 31 m c) 65 m d) 71 m 21ª Questão: a y 2 22ª Questão: a) 8 7 c) 3 3 13 e) 5 4 3 g) 4 2b) 14 2 d) 12 10 f) 24 23ª Questão: a) 2x 2x b) 28 c) (7y2x) x 24ª Questão: a) x d) 6 1 x g) 2 15 x j) 2 7 a b)
