Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Departamento de Engenharia Biomédica
HEITOR SANCHEZ FERNANDES
M
ODELO
C
OMPUTACIONAL
M
ULTIESCALA
DO
SISTEMA NEUROMUSCULAR HUMANO
Campinas 2018
M
ODELO
C
OMPUTACIONAL
M
ULTIESCALA
DO
S
ISTEMA
N
EUROMUSCULAR
H
UMANO
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica na área de Engenharia Biomédica.
Orientador: Prof. Dr. Leonardo Abdala Elias
Campinas 2018
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO HEITOR SANCHEZ FERNANDES, E ORIENTADO PELO PROF. DR. LEONARDO ABDALA ELIAS.
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Fernandes, Heitor Sanchez,
F391m FerModelo computacional multiescala do sistema neuromuscular humano /
Heitor Sanchez Fernandes. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.
FerOrientador: Leonardo Abdala Elias.
FerDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade
de Engenharia Elétrica e de Computação.
Fer1. Neurociência computacional. 2. Função neuromuscular. 3. Motoneurônio.
4. Força muscular. I. Elias, Leonardo Abdala, 1985-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Multiscale computational model of the human neuromuscular
system Palavras-chave em inglês: Computational neuroscience Neuromuscular function Motoneuron Muscle strength
Área de concentração: Engenharia Biomédica Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora:
Leonardo Abdala Elias [Orientador] José Wilson Magalhães Bassani Marcus Fraga Vieira
Data de defesa: 27-08-2018
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica
COMISSÃO JULGADORA - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Candidato: Heitor Sanchez Fernandes RA: 074096
Data da Defesa: 27 de agosto de 2018
Título da Tese: "Modelo computacional multiescala do sistema neuromuscular
humano”.
Prof. Dr. Leonardo Abdala Elias (Presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. José Wilson Magalhães Bassani (FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Marcus Fraga Vieira (UFG)
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
À memória de meus avós Antônia, Santiago, Joanna e Antônio.
Agradecimento
Agradeço, primeiro, a Deus.Agradeço, então, a meus pais, Ester e José Carlos, meus maiores exemplos, por sempre cuidarem de mim e por terem criado a maioria das oportunidades que tive na vida. Agradeço, também a meu irmão Danilo pelo apoio, mesmo quando estava longe.
Ao meu orientador, Leonardo, agradeço pela oportunidade, por todo aprendizado que me passou e pela paciência.
À minha companheira Débora, que está sempre a meu lado, por todo carinho e cuidado.
Aos amigos Fernando e Carina por terem me ajudado a encontrar o caminho de volta para a FEEC.
À amiga Liz, em especial, e a todas amigas integrantes do NER Lab pelos bons momentos de diversão e pelas conversas nos momentos de difíceis.
Agradeço, também, a todos os amigos e colegas do DEB, DEMIC e LEPO pelos momentos compartilhados.
Finalmente, à CAPES e ao CNPq (processo: 371670/2018-7) pelo financiamento das bolsas.
“Se você tentar abrir um gato para ver como ele funciona, a primeira coisa que você terá em suas mãos é um gato que não funciona.”
Resumo
A simulação computacional de modelos matemáticos tem sido utilizada em neurociências e auxiliado o estudo e a compreensão de mecanismos envolvidos no funcionamento do sistema nervoso, que podem ser difíceis por meio da experimentação. Especificamente, para o sistema neuromuscular humano, modelos matemáticos multiescala (que representam mecanismos que atuam em níveis celulares e/ou moleculares até comportamentos macroscópicos, como a geração e o controle da força muscular) têm possibilitado estudos sobre a dinâmica de redes de neurônios motores alfa (NMs) controlando a geração da força muscular. Neste estudo, o objetivo foi o desenvolvimento de um modelo multiescala do sistema neuromuscular humano em malha aberta, que é uma aproximação para a operação do sistema neuromuscular durante a contração isométrica de um músculo. No modelo desenvolvido, um núcleo motor composto por modelos de NMs é ativado por conexões sinápticas acionadas por processos pontuais estocásticos que representam comandos pré-motoneuronais Os potenciais de ação gerados por estes NMs, por sua vez, ativam modelos de unidades musculares que simulam a geração de força isométrica. Com o modelo desenvolvido, foi possível representar características do sistema neuromuscular como a ordem de recrutamento, a modulação das frequências de disparos dos NMs, a geração da força com a somação dos abalos musculares e a dependência da variabilidade da força com diferentes fatores neuromusculares (e.g., a variabilidade do comando pré-motoneuronal e a faixa de variação da amplitude dos abalos das unidades motoras). O modelo foi parametrizado e validado com base em dados experimentais de animais vertebrados (e.g., gatos) e de seres humanos. O modelo, no entanto, possui ainda algumas limitações, porém, é uma ferramenta válida para o estudo de aspectos do sistema neuromuscular e será utilizada em diversos estudos futuros sobre os mecanismos neurofisiológicos e biomecânicos de controle da força. O modelo foi desenvolvido utilizando o simulador NEURON e a linguagem de programação Python, ambas ferramentas computacionais flexíveis, de uso gratuito e reconhecidas pela comunidade científica da área de neurociências.
Abstract
Computer simulation of mathematical models is a typical approach in the neural sciences and has been a useful tool to study and to understand the functioning of the nervous system. This approach has been used to provide conceptual and theoretical support to experimental investigations. For the human neuromuscular system, some multiscale models (ones that represent both microscopic and macroscopic elements) have made possible the study of how the dynamics of networks of alpha motor neurons (MNs) controls the genesis of muscle force. The objective of the present study was to develop an open-loop multiscale neuromuscular model, which is an approximation of the neuromuscular system operation during isometric contractions. In this model, a motor nucleus with MN models is activated by synaptic connections driven by stochastic point processes that represent pre-motoneuronal commands. The action potentials generated by the MNs activate muscle unit models that simulate the generation of isometric muscle force. The model was able to reproduce some features of the neuromuscular system, such as the onion skin phenomenon (orderly recruitment and firing rate modulation of the MNs), the force generation as a sum of the individual muscle unit twitches, and the dependency of the force variability with different neuromechanical properties (e.g., the variability of presynaptic commands, and the range of twitch amplitudes). As it stands, the model has some limitations, but it is an essential tool to help the understanding of different aspects of the neuromuscular system. Additionally, the model will be used in future studies on the influence of neurophysiological and biomechanical factors on muscle force control. The model was developed using the NEURON simulator along with Python programming language, which are both free and flexible computational tools recognized and frequently used by the neuroscience scientific community.
Lista de Figuras
Figura 1: Força muscular isométrica produzida por uma unidade muscular do tipo FF (A) e por uma unidade muscular do tipo S (B) do músculo flexor radial do carpo de gato. Abalos musculares únicos são vistos nos quadros superiores. Nos quadros inferiores estão diferentes níveis de força tetânica das unidades musculares para diversas frequências de disparo. Resultados de Botterman e colaboradores (1986). Reprodução permitida para uso em teses e dissertações...20 Figura 2: Estrutura do modelo proposto...23 Figura 3: Circuito elétrico equivalente representando o soma e a árvore dendritica dos modelos NM ... 24 Figura 4: Distribuição dos parâmetros do compartimento somático dos modelos de NM ao longo do núcleo motor. A abcissa representa o índice da unidade motora, sendo que unidades motoras de menor índice são aquelas com menor limiar de recrutamento...29 Figura 5: Distribuição dos parâmetros do compartimento dendrítico dos modelos de NM ao longo do núcleo motor. A abcissa representa o índice da unidade motora, sendo que unidades motoras de menor índice são aquelas com menor limiar de recrutamento...29 Figura 6: Abalo único com a definição dos parâmetros adotados no modelo matemático...31 Figura 7: Distribuição dos parâmetros dos abalos musculares ao longo das unidades motoras. A abcissa representa o índice da unidade motora, sendo que unidades motoras de menor índice são aquelas com menor limiar de recrutamento. Painel superior: Força do abalo (Apeak). Painel inferior: Tempo de contração (tpeak)...35 Figura 8: Histogramas da geração de 10000 valores em 3 casos de aleatoriedade fracionada: noise=1, 0.5 e 0.1...37 Figura 9: Exemplo ilustrativo de conexões entre comandos pré-motoneuronais (amarelo) e NM (azul), as linhas vermelhas representam as conexões sinápticas...38 Figura 10: Variação da resistência de entrada (Rin) ao longo do núcleo motor...44 Figura 11: Variação da corrente de reobase em função da resistência de entrada...45 Figura 12: Variação dos parâmetros da AHP (amplitude e duração) em função da resistência de entrada... 47 Figura 13: Curvas f-I de sete neuroônios motores ao longo do núcleo motor...48 Figura 14: Variação do ganho da curva f-I em função da resistência de entrada...49 Figura 15: Decurso temporal dos abalos musculares. A: abalos de 7 unidades motoras distribuídas ao longo do núcleo motor das quais 3 podem ser vistas em detalhe em B...50 Figura 16: Força tetânica em função da frequência de disparo para três unidade motora. As unidade motora com menor índice são as com menor limiar de disparo...51 Figura 17: Potenciais excitatórios pós-sinápticos (PEPS) simulados a partir da ativação sináptica de 7 NMs distribuídos ao longo do núcleo motor...52 Figura 18: Força muscular simulada durante contração máxima...53 Figura 19: Níveis de força em função da intensidade dos comandos pré-motoneuronais (quantificada pela média dos ISIs)...54 Figura 20: Desvio-padrão para diferentes níveis de força em escala linear (A) e logarítmica(B). A linha preta em B representa a reta de ajuste dos pontos...54 Figura 21: Relação entre o CV da força e a força média...55 Figura 22: Histogramas dos intervalos entre disparos na MVC de sete unidades motoras distribuídas ao longo do núcleo motor...56 Figura 23: Variação do desvio-padrão dos ISI em função da média. Dados dos 120 NMs do núcleo motor recrutados para todos os níveis de força simulados (de 2% a 100% MVC)...57 Figura 24: Desvio-padrão dos ISIs dos NMs individuais para diferentes níveis de força...57 Figura 25: CV dos ISIs de 7 NMs para os diferentes níveis de força média...58 Figura 26: Relações entre o desvio-padrão e a força média (A: escala linear; B: escala logarítmica) para duas faixas distintas de amplitudes dos abalos...59
Figura 27: Relação entre o CV e a força média para duas faixas distintas de amplitudes dos abalos... 59 Figura 28: Relações entre o desvio-padrão e a média da força (A: escala linear; B: escala logarítmica) para diferentes níveis de aleatoriedade dos comandos pré-motoneuronais. Nestas simulações a faixa de variação dos abalos foi de 43 vezes...60 Figura 29: Relações entre o CV e a média da força para diferentes níveis de aleatoriedade dos comandos pré-motoneuronais. Nestas simulações a faixa de variação dos abalos foi de 43 vezes... 61 Figura 30: Relações entre o desvio-padrão e a média da força. À esquerda: escala linear; á direita: escala logarítmica) para diferentes níveis de aleatoriedade dos comandos pré-motoneuronais. Nestas simulações a faixa de variação dos abalos foi de 200 vezes...62 Figura 31: Relações entre o CV e a média da força para diferentes níveis de aleatoriedade dos comandos pré-motoneuronais. Nestas simulações a faixa de variação dos abalos foi de 200 vezes... 62
Lista de Tabelas
Tabela 1: Faixas de valores (mínimo-máximo) para os parâmetros do núcleo motor28 Tabela 2: Parâmetros dos modelos de unidade motora...32 Tabela 3: Faixas de resistências de entrada obtidas para os modelos de NMs. Os dados são apresentados para três sub-populações de NMs (S, FR e FF). Os valores entre parênteses representam as faixas observadas experimentalmente para NMs de gatos anestesiados (ZENGEL et al., 1985)...44 Tabela 4: Faixas de valores para as correntes de reobase obtidas para os modelos de NMs. Os dados são apresentados para três sub-populações de NMs (S, FR e FF). Os valores entre parênteses representam faixas de valores observadas experimentalmente para NMs de gatos anestesiados (ZENGEL et al., 1985)...45 Tabela 5: Faixas obtidas para os parâmetros da AHP (amplitude e duração) e amplitude do potencial de ação, separadas por sub-polulação de NMs. Os valores entre parênteses representam as faixas de valores obtidas experimentalmente com NMs de gatos anestesiados para os parâmetros da AHP (ZENGEL et al., 1985) e para a amplitude do potencial de ação (HOCHMAN; MCCREA, 1994)...46 Tabela 6: Faixas de ganhos das curvas f-I obtidas para os modelos de NMs. Os dados são apresentados para três sub-populações de NMs (S, FR e FF). Os valores entre parênteses representam as faixas de valores reportados na literatura experimental para gatos anestesiados (SCHWINDT;CRILL, 1984)...48
Sumário
1 Introdução... 12
1.1Objetivos...15
2 O Sistema Neuromuscular...16
2.1Eletrofisiologia do neurônio motor inferior...16
2.2A unidade motora...17
2.3Variabilidade da força muscular...19
3 Estrutura do modelo neuromuscular...20
3.1Modelo de neurônio motor alfa...21
3.1.1Corpo celular e árvore dendrítica...21
3.1.2Axônio motor...23
3.1.3Parametrização do núcleo motor...24
3.2Modelo da unidade muscular...27
3.2.1O abalo muscular...27
3.2.2Saturação da força da unidade muscular...28
3.2.3Parametrização das unidades musculares...29
3.3Modelo das sinapses...31
3.4Modelo dos comandos pré-motoneuronais...32
4 Protocolos de teste e validação...34
4.1Núcleo motor...34
4.1.1Resistência de entrada...34
4.1.2Corrente de reobase...34
4.1.3Duração da AHP, amplitude da AHP e amplitude do potencial de ação...34
4.1.4Relação frequência-corrente (f-I) e ordem de recrutamento...35
4.2Músculo... 35
4.2.1Respostas das unidades musculares a um único potencial de ação...35
4.2.2Relação força-frequência...35
4.3Sinapses: amplitudes dos potenciais excitatórios pós-sinápticos...36
4.4Validação: controle da força muscular...36
4.4.1Determinação da MVC...36
4.4.2Variabilidade da força e dos intervalos entre disparos das unidades motoras...37
4.4.2.1Influência da faixa de amplitudes dos abalos na variabilidade da força...38
4.4.2.2Influência dos comandos pré-motoneuronais na variabilidade da força...38
5 Resultados... 39
5.1Núcleo motor...39
5.1.1Resistência de entrada...39
5.1.2Corrente de Reobase...40
5.1.3Duração da AHP, amplitude da AHP e amplitude do potencial de ação...41
5.1.4Relações frequência-corrente (f-I) e ordem de recrutamento...42
5.2Músculo... 44
5.2.1Resposta das unidades musculares a um potencial de ação...44
5.2.2Curvas força vs frequência...44
5.3Sinapses: amplitudes dos potenciais excitatórios pós-sinápticos...46
5.4Validação: controle da força muscular...47
5.4.1Determinação da MVC...47
5.4.2Variabilidade da força muscular...48
5.4.3Variabilidade dos intervalos entre disparos das unidades motoras...50
5.4.4Influência da faixa de amplitudes dos abalos na variabilidade da força...53
5.4.5Influência da aleatoriedade dos comandos pré-motoneuronais na varibilidade da força... 55
6.1Sobre as unidades motoras...58
6.2Sobre a Força Muscular...59
6.3Comentários finais...61
1 Introdução
Estudos na área de neurociências têm utilizado, cada vez mais, abordagens baseadas em modelos matemáticos e simulações computacionais. Modelos matemáticos de elementos neuronais simulados computacionalmente permitem análises que experimentalmente seriam, à parte de claras questões éticas, de alto grau de dificuldade, podendo ser tecnicamente impraticáveis. Por exemplo, em estudos de controle da força muscular ainda é tecnicamente impossível se registrar os sinais de todas as unidades motoras recrutadas durante a execução do movimento, mesmo com o surgimento de modernas tecnologias de registro e processamento de sinais biológicos (FARINA et al., 2016). Além disso, o uso de modelos computacionais muitas vezes permite a elaboração de ideias e conceitos que podem, em grande medida, guiar pesquisas experimentais futuras.
Em particular, para o sistema neuromuscular humano, já existem alguns modelos reportados na literatura que são usados para investigar aspectos relacionados às influências das atividades das unidades motoras e dos circuitos neuronais medulares no controle da força e do movimento (CISI; KOHN, 2008; ELIAS et al., 2012, 2014; FARINA et al., 2014; FUGLEVAND et al., 1993; SCHUURMANS et al., 2009; STIENEN et al., 2007). No modelo proposto por Fuglevand et al. (1993) o sistema neuromuscular foi representado com o intuito de se investigar o controle de contrações voluntárias de um dado músculo comandado por sinais gerados por uma população de neurônios motores (NMs). Neste modelo, os NMs foram representados por funções que descrevem o recrutamento das unidades motoras e as estatísticas associadas aos disparos de potenciais de ação das unidades motoras, sem, no entanto, modelar matematicamente mecanismos biofísicos, como por exemplo, as dinâmicas dos canais iônicos presentes nas membranas dos NMs.
Stienen et al. (2007) e Schuurmans et al. (2009) utilizaram modelos multiescala do sistema neuromusculoesquelético para investigar, respectivamente, mecanismos reflexos de controle da posição de um membro e mecanismos envolvidos na gênese de respostas reflexas medulares. Nestes estudos, os NMs e
interneurônios medulares foram representados por modelos do tipo
integrate-and-fire (MACGREGOR; OLIVER, 1974), que incluíam condutâncias dos íons sódio (Na+)
e potássio (K+), além de entradas sinápticas capazes de promover variações no
potencial de membrana ao longo do tempo. No modelo integrate-and-fire os potenciais de ação são gerados a partir de limiares preestabelecidos e geralmente são modelados como eventos discretos, isto é, o decurso temporal do potencial de ação não é de interesse para o funcionamento do modelo e para as análises subsequentes.
Nos trabalhos de Cisi e Kohn (2008) e Elias et al. (2012; 2014) a dinâmica dos canais iônicos presentes nos modelos de NMs foram representadas por um modelo baseado em pulsos (DESTEXHE, 1997), que é uma simplificação da representação clássica proposta por Hodgkin e Huxley (1952) para aumentar a eficiência computacional dos modelos, sem perder a plausibilidade biofísica dos mecanismos de geração dos potenciais de ação. Esta abordagem, no entanto, ainda requer a definição de um limiar fixo para a geração do potencial de ação.
Mais recentemente, um trabalho desenvolvido em nosso laboratório (MATOSO, 2017) apresentou modelos de neurônios motores inferiores alfa baseados na proposta de Cisi e Kohn (2008). Nestes modelos, as morfologias dos NMs são sintetizadas em dois compartimentos (soma e dendrito) contendo condutâncias responsáveis pela geração do potencial de ação (Na+ e rápida de K+),
pela hiperpolarização pós-potencial de ação (lenta de K+) e correntes persistentes de
Na+ e Ca++. A vantagem destes modelos é que eles não utilizam a simplificação de
Destexhe (1997), baseando-se integralmente no formalismo de Hodgkin e Huxley (1952) para representação da excitabilidade motoneuronal; porém, a simplicidade computacional ainda é mantida devido à representação da morfologia dos NMs por apenas dois compartimentos.
Considerando os aspectos de representação de sistemas biológicos, os modelos mencionados acima oferecem soluções biologicamente plausíveis e computacionalmente eficientes, possibilitando investigações de como parâmetros celulares podem influenciar respostas fisiológicas medidas em diferentes escalas,
como a atividade dos neurônios individuais, a atividade de uma população de neurônios e a geração da força muscular.
Além da representação matemática adequada, outro aspecto que deve ser considerado na modelagem matemática de sistemas biológicos é a plataforma computacional a ser escolhida para a codificação dos modelos. Alguns requisitos têm sido estabelecidos pela comunidade científica da área de neurociência computacional, por exemplo: 1) a utilização de linguagens de programação livres, versáteis e de fácil utilização pelos pesquisadores; 2) a disponibilização dos códigos-fonte dos modelos em repositórios online, tornando possível a reprodutibilidade, reutilização e validação adicional por outros pesquisadores.
Alguns dos modelos mencionados anteriormente foram desenvolvidos em linguagens proprietárias (e.g. MatLab) ou em linguagens que não são tipicamente utilizadas por pesquisadores das áreas de neurociências e neurofisiologia, o que pode se tornar uma barreira adicional ao uso destes modelos em estudos científicos. Algumas ferramentas computacionais, no entanto, são amplamente utilizadas por neurocientistas. Por exemplo, o simulador de propósito geral NEURON (CARNEVALE; HINES, 2006) é frequentemente utilizado para representação e estudo da dinâmica neuronal e de redes de neurônios. Além de ser um software de código aberto, os modelos previamente desenvolvidos em NEURON são disponibilizados em um repositório científico online chamado ModelDB (MCDOUGAL et al., 2017). Recentemente, os desenvolvedores deste sistema disponibilizaram as bibliotecas do simulador para a linguagem de programação Python (HINES et al., 2009), sendo esta última uma linguagem livre, de fácil entendimento (LUTZ, 2013) e que vem sendo utilizada e difundida pela comunidade científica de neurociência computacional (MULLER et al., 2015). Vale ressaltar que o modelo de NM desenvolvido por Matoso (2017) foi implementado em Python utilizando as bibliotecas do simulador NEURON e, portanto, satisfaz alguns dos requisitos mencionados acima, tanto do ponto de vista de representação biológica quanto de uso de ferramentas computacionais. No entanto, não é de nosso conhecimento a existência de um modelo multiescala do sistema neuromuscular que possua todas as características mencionadas acima, concomitantemente, ou seja, que tenha empregado uma modelagem matemática de mecanismos que atuam em nível
celular/molecular influenciando comportamentos em escala macroscópica (e.g., geração de força muscular), e que seja desenvolvido em plataforma computacional livre e acessível.
1.1 Objetivos
O objetivo deste trabalho foi desenvolver um modelo multiescala do sistema neuromuscular humano, que fosse computacionalmente eficiente e biologicamente plausível, utilizando plataformas computacionais flexíveis e reconhecidas pela comunidade científica da área de neurociência. Os objetivos específicos foram:
• Desenvolver um modelo de núcleo motor contendo NMs com propriedades morfológicas e eletrofisiológicas tipicamente observadas em mamíferos saudáveis;
• Implementar um modelo de geração de abalos musculares (twitch) para representar os mecanismos de geração da força produzida pelas unidades motoras;
• Validar o modelo do sistema neuromuscular com base em dados disponíveis na literatura experimental para estudos sobre o controle da força muscular de seres humanos saudáveis.
2 O Sistema Neuromuscular
O movimento voluntário dos seres humanos requer a ativação e inativação de músculos esqueléticos de forma coordenada, sendo o sistema nervoso central o responsável por esta coordenação. Uma parte do controle neuromuscular tem origem no córtex, especialmente no córtex motor primário, que envia sinais neurais por meio dos tratos descendentes até os NMs localizados na medula espinhal e no tronco encefálico. Estes NMs, por sua vez, inervam as fibras dos músculos esqueléticos, formando a unidade funcional básica do sistema neuromuscular: a unidade motora. Outra parte do controle neuromuscular ocorre integralmente na medula espinhal, em circuitos neuronais específicos que processam sinais provenientes tanto de centros superiores como de aferentes sensoriais periféricas. Este processamento medular depende não apenas da maneira como os NMs e interneurônios estão conectados entre si, mas também de características morfológicas e eletrofisiológicas intrínsecas aos NMs (KANDEL et al., 2013).
2.1 Eletrofisiologia do neurônio motor inferior
Uma das características relacionada à excitabilidade de um NM é o seu tamanho. A área da membrana do corpo celular (soma) de um NM está relacionada com a facilidade de este neurônio ser recrutado, uma vez que a sua resistência de entrada (Rin) está inversamente relacionada à área da membrana celular. Quanto
menor a área de membrana de um NM, maior sua resistência de entrada (ZENGEL et al., 1985). Desta forma, para uma corrente fixa, quanto maior a Rin, maior a
variação do potencial de membrana e mais fácil será o recrutamento desta célula. Uma importante medida da excitabilidade do NM é, portanto, a corrente de reobase, definida como a mínima corrente de longa duração (>50ms) suficiente para evocar o disparo de um potencial de ação (KERNELL, 2006).
O potencial de ação dos NMs é caracterizado, em sua fase de despolarização rápida, pela abertura de canais permeáveis ao íon Na+ e, em sua fase de
repolarização, pela abertura de canais permeáveis ao íon K+. A hiperpolarização
lentos permeáveis ao íon K+, que tipicamente dependem da concentração
intracelular do íon Ca++ (REKLING et al., 2000). O decurso temporal do potencial de
ação e suas propriedades (e.g., a magnitude e a duração da AHP, o pico do potencial de ação), determinam os diferentes padrões de disparos observados em NMs de diferentes espécies animais.
Os NMs inferiores podem ser classificados pela natureza das fibras musculares que eles inervam, podendo ser dos tipos alfa, que inervam fibras musculares extrafusais, gama, que inervam as fibras musculares dos fusos neuromusculares (intrafusais), ou beta, que inervam fibras musculares extrafusais e intrafusais (MANUEL; ZYTNICKI, 2011). Os NMs inferiores do tipo alfa, por sua vez, podem ser subdivididos em função da fadigabilidade e velocidade de contração das fibras musculares que eles invervam, isto é: NMs do tipo S (slow), que inervam fibras musculares de contração lenta e resistentes à fadiga; NMs do tipo FR (fast, fatigue
resistant), que inervam fibras musculares de contração rápida e resistentes à fadiga;
e NMs do tipo FF (fast, fatigable), que inervam fibras musculares de contração rápida e fatigáveis (BURKE et al., 1973).
2.2 A unidade motora
A unidade elementar de controle da força muscular e do movimento é a unidade motora (SHERRINGTON, 1925), composta por um NM e as fibras musculares por ele inervadas. O conjunto de fibras musculares inervadas por um mesmo NM é chamado de unidade muscular. Algumas características diferem as unidades motoras entre si, como as propriedades de disparos produzidos pelos NMs, a velocidade de contração das fibras musculares, a magnitude da força e a resistência à fadiga (ENOKA, 2008).
O disparo de um potencial de ação por um NM causa, com um certo atraso devido à propagação axonal do potencial de ação, uma contração da unidade muscular. Esta contração fásica é chamada de abalo muscular ou twitch. As propriedades básicas dos abalos musculares são: a força máxima, o tempo de contração (intervalo desde o início até o pico do twitch) e o tempo de meio-decaimento (Figura 1, painéis superiores). A ativação repetitiva da unidade muscular causa uma sequência de abalos que terão seus efeitos somados, caso o intervalo
entre dois disparos seja menor do que o tempo de decaimento do abalo. O perfil de contração resultante da somação temporal dos abalos de uma unidade muscular é chamado de tétano e sua amplitude varia com a frequência de disparos (Figura 1).
Figura 1: Força muscular isométrica produzida por uma unidade muscular do tipo FF (A) e por uma unidade muscular do tipo S (B) do músculo flexor radial do carpo de gato. Abalos musculares únicos são vistos nos quadros superiores. Nos quadros inferiores estão diferentes níveis de força tetânica das unidades musculares para diversas frequências de disparo. Resultados de Botterman e colaboradores (1986). Reprodução permitida para uso em teses e dissertações.
A gradação da força muscular é controlada pelo sistema neuromuscular por meio de duas estratégias. A primeira é o recrutamento de NMs, que irão ativar as unidades musculares produzindo forças com diferentes magnitudes. A segunda é a regulação da frequência de disparos de potenciais de ação das unidades motoras previamente recrutadas (KERNELL, 2006). Desta forma, quanto maior o número de unidades motoras recrutadas, maior será a força muscular produzida. Além disso, como já mencionado acima, quanto maior a frequência de disparos de uma unidade motora, maior o tétano causado pela somação dos abalos. O efeito de sobreposição dos abalos não ocorre indefinidamente, quando a frequência de disparos é muito
alta o relaxamento das fibras musculares quase não ocorre, resultando em um tétano completo, no qual a unidade muscular atinge sua força máxima de contração.
2.3 Variabilidade da força muscular
Os mecanismos intrínsecos de geração da força muscular fazem com que a contração muscular não tenha um nível constante, mesmo que o controle voluntário tenha por objetivo manter a força em um nível alvo constante. A variabilidade em torno do nível médio da força é quantificada tipicamente pelo desvio-padrão ou pelo coeficiente de variação da força (desvio-padrão dividido pela média) (JONES et al., 2002; MORITZ, 2005) e é causada principalmente por três fatores: i) a flutuação causada pelos abalos não-fundidos; ii) a variabilidade dos intervalos entre disparos de potenciais de ação produzidos pelos NMs recrutados; e iii) o grau de sincronismo entre as unidades motoras recrutadas (ENOKA, 2008). A variabilidade causada pelos abalos não-fundidos pode ser vista nos quadros inferiores da Figura 1 e depende dos parâmetros dos abalos, isto é, tempo de contração e força máxima do abalo. A variabilidade dos intervalos entre disparos dos NMs, por sua vez, é causada pelo bombardeamento sináptico aleatório de maneira que os comandos pré-motoneuronais influenciam na estatística dos disparos das unidades musculares (CALVIN; STEVENS, 1968). Além disso, foi mostrado que o grau de sincronismo das unidades motoras afeta diretamente a variabilidade da força, pois os abalos musculares de diferentes unidades musculares que disparem juntas (ou em instantes de tempo muito próximos) terão uma máxima sobreposição, causando forças relativamente maiores do que no caso em que a sobreposição é parcial, gerando maior variação na força total (ENOKA, 2008; YAO et al., 2000).
3 Estrutura do modelo neuromuscular
O modelo neuromuscular proposto no presente trabalho é formado por três partes principais: os comandos pré-motoneuronais, o núcleo motor e o músculo. Estas partes estão conectadas de maneira a representar o sistema neuromuscular em malha aberta, uma aproximação comum (simplificada) para a operação do sistema neuromuscular durante contrações isométricas (FARINA et al., 2014; FUGLEVAND et al., 1993; WATANABE et al., 2013). O núcleo motor contém modelos de NMs e são comandados por um conjunto de axônios representando os comandos pré-motoneurais provenientes tanto dos tratos descendentes quanto das aferentes sensoriais. A atividade destes comandos pré-motoneuronais ativa condutâncias sinápticas presentes nas membranas dos NMs. Enquanto os NMs são recrutados, suas atividades são utilizadas como entradas para as unidades musculares, cujas forças são somadas para a geração da força isométrica do músculo. A estrutura básica deste modelo se assemelha às propostas em outros estudos já reportados na literatura (CISI; KOHN, 2008; ELIAS et al., 2012, 2014; NEGRO; FARINA, 2011; WATANABE et al., 2013) e está representada na Figura 2. Nas simulações foi utilizado o método numérico de Euler com passo fixo de 0,025ms.
Figura 2: Estrutura do modelo proposto.
Os componentes desta estrutura podem ser ajustados para representar quaisquer músculos que atuam isoladamente em uma determinada articulação. Neste trabalho, os parâmetros do modelo foram ajustados para representar o núcleo motor e a dinâmica de contração isométrica do músculo primeiro interósseo dorsal da mão (FDI, do inglês First Dorsal Interosseous), que é um músculo tipicamente utilizado em diferentes protocolos experimentais (BIGLAND-RITCHIE, 1981; JONES et al., 2002; MILNER BROWN et al., 1973; MORITZ, 2005)‐ .
3.1 Modelo de neurônio motor alfa
Cada modelo de NM possui três partes: o corpo celular (ou soma), a árvore dendrítica e o axônio. As subseções que seguem apresentam a descrição matemática de cada uma destas partes do modelo de NM.
3.1.1 Corpo celular e árvore dendrítica
Os modelos de NMs implementados no modelo neuromuscular foram desenvolvidos recentemente em nosso laboratório por Matoso (2017) e seu circuito elétrico equivalente é apresentado na Figura 3.
Figura 3: Circuito elétrico equivalente representando o soma e a árvore dendritica dos modelos de NMs.
Neste modelo, a morfologia dos NMs dos tipos S, FR e FF é simplificada, possuindo apenas dois compartimentos cilíndricos, um representando o soma e outro representando a árvore dendrítica, conectados por uma condutância de acoplamento gc (Equação 1). As características geométricas e eletrotônicas do
modelo foram ajustadas com base em estudos experimentais com NMs de gatos anestesiados (CRILL, 1996; FLESHMAN et al., 1988; ZENGEL et al., 1985). As condutâncias iônicas seguem o formalismo matemático de Hodgkin e Huxley (1952), com dinâmicas baseadas nos estudos de Dai et al. (2002) e Traub (1977).
gc= 2
(Rils/ πr2s)+(Rild/ πrd2) (1)
em que, Ri é a resistividade citoplasmática, ls e ld são os comprimentos dos
compartimentos soma e dendrito, respectivamente, e rs e rd são os raios dos
compartimentos.
O compartimento dendrítico possui apenas elementos passivos (i.e. capacitância e condutância de membrana, Cd e gLd, respectivamente) (Equações 2 e
3, respectivamente). O compartimento somático possui, além dos elementos passivos (Cs e gLs, respectivamente), os seguintes canais iônicos dependentes do
tempo e do potencial de membrana: canal rápido de K+ (g
Kf), canal lento de K+ (gKs),
canal de Na+ (g
condutâncias iônicas ativas são responsáveis pelo decurso temporal do potencial de membrana durante a gênese das diferentes fases do potencial de ação.
gLx=2π rxlx
Rmx
(2)
Cx=2π rxlxCm (3)
em que, Rmx são as resistências de membrana do compartimento (s: soma, d:
dendrito), rx e lx são os raios e os comprimentos dos compartimentos,
respectivamente, e Cm é a capacitância de membrana.
gNa=gNam3h (4)
gNap=gNapp3 (5)
gKf=gKfn4 (6)
gKs=gKsr2 (7)
em que, gNa , gNap , gKf e gKs são as condutâncias máximas, m, p, n e r são
as variáveis de estado que representam a ativação dos canais e h a variável de estado que representa a inativação do canal de Na+.
A resolução do circuito representado na Figura 3 leva às equações diferenciais 8 e 9. dVs(t ) dt = −1 Cs {gLs(Vs(t)− EL)+gC(Vs(t )−Vd(t ))+(gNa+gNap)(Vs(t )− ENa)+(gKf+gKs)(Vs(t )− EK)} (8) dVd(t ) dt = −1 Cd {gLd(Vd(t )−EL)+gC(Vd(t )−Vs(t ))} (9)
em que, EL é o potencial de membrana no repouso, definido aqui como 0mV, e os
potenciais de equilíbrio dos íons Na+ e K+ são, respectivamente, E
Na = 120mV e
As dinâmicas das variáveis de estado obedecem a uma equação diferencial genérica de primeira ordem descrita pela Equação 10, em que k pode ser substituído por m, h, p, n e r. dk dt=αk
[
V (t )]
(1−k )− βk[
V (t )]
k = k∞−k τk (10) em que, k∞= αk αk+βk (adimensional) e τk= 1 αk+βk(ms) .As taxas αx e βx (em ms-1) são dadas pelas equações 11 a 15. Os
valores de mact e βr estão apresentados na Tabela 1.
αm= 0,64(mact−V ) exp
(
mact−V 4)
βm= 0,56(V −40) exp(
V −40 5)
(11) αh=0,928 (17−V ) exp(
17−V 18)
βh= 9 exp(
40−V 5)
+1 (12) αp= 0,64 (5−V ) exp(
5−V 4)
βp= 0,56(V −30) exp(
V −30 5)
(13) αn= 0,08(15−V ) exp(
15−V 7)
βn=2exp(
10−V 40)
(14) αr= 3.5 exp(
55−V 4)
+1 βr=cte (15)3.1.2 Axônio motor
A dinâmica axonal não foi representada pela modelagem matemática de mecanismos biofísicos, como a geração de potenciais de ação nos segmentos iniciais dos axônios motores (POWERS et al., 2012), mas, por simplicidade, adotou-se um modelo de condução que leva em consideração a transmissão do potencial de ação desde o NM localizado na medula espinhal até a placa motora com uma certa velocidade de condução (CISI; KOHN, 2008). Desta forma, o modelo leva em
consideração apenas um atraso de propagação. Para determinar os instantes de ocorrências dos potenciais de ação dos NMs, os picos locais foram detectados caso os potenciais de membrana dos NMs fossem maiores que 60mV. Uma vez detectado o potencial de ação, o instante em que ele ocorre é registrado e um intervalo de tempo fixo (dependente da velocidade de condução atribuída àquele axônio motor e da distância entre o corpo celular e a placa motora) é somado a este instante para representar o momento em que o potencial de ação atinge a unidade muscular correspondente. A distância entre o soma e as unidades musculares foi fixada em 0,6m para todos os NMs, correspondendo à distância aproximada entre o músculo FDI e seu núcleo motor localizado na região cervical da medula espinhal. As faixas utilizadas de velocidades de condução estão na Tabela 1 e foram baseadas em estudos anteriores (CISI; KOHN, 2008).
3.1.3 Parametrização do núcleo motor
O núcleo motor foi modelado com 120 NMs, número aproximado de NMs que inervam o músculo FDI da mão (FEINSTEIN et al., 1955). Os parâmetros destes 120 NMs foram baseados nos três modelos publicados por Matoso (2017) descritos na seção 3.1. O núcleo motor foi dividido em três subpopulações (S, FR e FF), com os três neurônios de referência (MATOSO, 2017) no centro de cada sub-população. Os parâmetros geométricos e eletrotônicos de cada NMs destas sub-populações foram extrapolados por funções lineares a partir dos parâmetros dos NMs de referência e a maneira como seus valores foram distribuídos são apresentados nas Figuras 4 e 5. Esta distribuição de parâmetros foi escolhida de maneira a não causar agrupamento em clusters dos parâmetros dos NMs, como é observado em NM de gatos, com o objetivo de representar melhor as observações feitas em humanos (BIGLAND-RITCHIE et al., 1998). Por exemplo, o parâmetro geométrico ls (comprimento do
soma) dos NMs de referência dos tipos S, FR e FF são, respectivamente, 80µm, 85µm e 100,25µm (MATOSO, 2017). Estes valores foram considerados como os valores medianos de três faixas lineares contíguas, resultando nas seguintes faixas de valores para ls: 77,5µm a 82,4µm população S), 82,5µm a 87,3µm
(sub-população FR) e 87,5µm a 113,0µm (sub-(sub-população FF). Desta maneira, os neurônios centrais de cada sub-população possuem parâmetros semelhantes aos dos NMs de referência (MATOSO, 2017) e os outros NMs das sub-população
possuem parâmetros cujos valores variaram ao redor dos valores estabelecidos para os NMs centrais. As faixas de valores calculadas para os parâmetros geométricos (diâmetros e comprimentos somáticos e dendríticos) e as resistências específicas de membrana (somáticas e dendríticas) são similares às faixas de valores utilizadas em outros estudos (CISI; KOHN, 2008; NEGRO; FARINA, 2011). Os valores de capacitância específica e da resistividade citoplasmática foram mantidos constantes para todos os NMs do núcleo motor (Tabela 1).
Tabela 1: Faixas de valores (mínimo-máximo) para os parâmetros do núcleo motor
Parâmetro S FR FF Mín. Mín. Min. Soma Comprimento [µm] 77,50 – 82,40 82,50 – 87,30 87,50 – 113 Diâmetro [µm] 77,50 – 82,40 82,50 – 87,30 87,50 – 113 Capacitância específica[µF/cm2] 1 1 1 Resistividade citoplasmática [Ωcm] 70 70 70 Resistência específica Rms [kΩcm2] 1,11 – 1,04 1,05 – 0,95 0,96 – 0,70 gNa [mS/cm2] 32,5 – 66,90 67,5 – 72,30 72,5 – 77,50 gNap [mS/cm2] 0,52 – 0,66 0,66 – 0,73 0,72 – 0,65 gKf [mS/cm2] 2,80 – 2,80 3,40 – 2,76 6,67 – 1,35 gKs [mS/cm2] 18,00 – 27,30 27,5 – 27,20 26,50 – 16,00 mact [mV] 10,10 – 15,80 15,90 – 18,02 18,10 – 20,30 βr [µs-1] 19,00 – 54,96 56,00 – 59,86 60,00 – 64,00 Dendrito Comprimento [mm] 5,50 – 6,78 6,80 – 8,05 8,10 – 10,60 Diâmetro [µm] 48,50 – 64,60 65,50 – 79,50 80,50 – 89,80 Capacitância específica[µF/cm2] 1 1 1 Resistividade citoplasmática [Ωcm] 70 70 70 Resistência específica Rmd [kΩcm2] 13 – 10,42 10,36 – 7,75 7,68 – 6 Axônio Velocidade de condução[m/s] 42,50 – 48,40 48,50 – 50,40 50,50 – 52,50
Figura 4: Distribuição dos parâmetros do compartimento somático dos modelos de NMs ao longo do núcleo motor. A abcissa representa o índice da unidade motora, sendo que unidades motoras de menor índice são aquelas com menor limiar de recrutamento.
Figura 5: Distribuição dos parâmetros do compartimento dendrítico dos modelos de NMs ao longo do núcleo motor. A abcissa representa o índice da unidade motora, sendo que unidades motoras de menor índice são aquelas com menor limiar de recrutamento.
3.2 Modelo da unidade muscular
3.2.1 O abalo muscular
A resposta mecânica de uma unidade muscular a um potencial de ação é chamada de abalo muscular ou twitch. Há diferentes formas de se representar matematicamente esta resposta e, neste trabalho, foi adotado um modelo simplificado que consiste na resposta ao impulso (em tempo discreto) de um sistema de segunda ordem criticamente amortecido (CISI; KOHN, 2008; FUGLEVAND et al., 1993). O sistema pode ser representado pela equação de diferenças representada pela Equação 16. F (n)=2⋅exp (−δt tpeak )⋅F (n−1)−exp (−2 δt tpeak )⋅F (n−2)+Apeakδt 2 tpeak ⋅exp(1− δt tpeak )⋅s(n−1) (16)
em que, n é o instante em tempo discreto; δt é o passo de integração adotado na
simulação (em ms); tpeak é o tempo até amplitude máxima do abalo da unidade
muscular (em ms) (que será tratado aqui como apenas como tempo de contração), definido como o tempo entre o início da contração até a amplitude máxima; Apeak é a
potenciais de ação em tempo discreto. O resultado é uma sequência de abalos espaçados no tempo que, caso tenham duração maior que o intervalo entre dois impulsos, terão seus efeitos somados. O formato típico de um único abalo pode ser visto na Figura 6.
Figura 6: Abalo único com a definição dos parâmetros adotados no modelo matemático.
3.2.2 Saturação da força da unidade muscular
A somação dos abalos gerada pela Equação 16 não considera os mecanismos de saturação na geração de força observados em unidades musculares. Esta saturação contribui para o formato sigmoidal da relação entre a força exercida e a frequência média de disparos do NM (KERNELL, 2006). Sem a saturação, este modelo de geração de força pode gerar valores de contrações tetânicas muito maiores do que o esperado para uma dada frequência de disparo. Para limitar a maneira como as unidades musculares respondem aos trens de disparos de potenciais de ação gerados pelo NM, foi adicionado ao modelo de geração de força uma função de saturação, que leva em consideração a amplitude do twitch e a frequência máxima de resposta de uma determinada unidade muscular (WATANABE, 2012). O sinal gerado pela Equação 16 é adotado como a entrada de uma função sigmoidal, descrita pela Equação 17.
Fsat(F)=1−exp (−c⋅F)
em que, Fsat é a força após a saturação, F é a força antes da saturação e c é a uma
constante que ajusta a inclinação da função sigmoidal.
O ajuste da constante c foi feito em uma série de etapas: 1) inicialmente, sem o uso da função de saturação, o NM é excitado com um pulso de corrente cuja amplitude o faça disparar potenciais de ação com a frequência de saturação desejada. Nesta condição, a unidade muscular irá gerar uma sequência de abalos somados e não-saturados que atingirão um determinado valor, que será considerado o máximo para aquela unidade muscular (Fmáx); 2) em seguida, a curva da função de
saturação é traçada (Fsat em função de F) para diversos valores de c. O valor de c
desejado é aquele cuja aplicação na Equação 17 faça com que a seguinte condição seja atendida: Fsat(Fmáx) = 1 ± 0,001; 3) uma vez encontrado o valor de c, avalia-se o
valor da função de saturação quando F é igual à unidade, isto é, Fsat(1). O valor
obtido neste ponto representa a amplitude relativa de um único abalo da unidade muscular em relação à força tetânica máxima gerada por esta unidade.
Para fins de clareza, será dado um exemplo: suponha que um pulso de 18nA injetado no NM cause a ativação repetitiva de uma unidade muscular a 30Hz, sendo esta a sua frequência de saturação. A somação dos abalos nesta frequência resulta em um valor máximo de 6N (ainda sem saturação). Agora, com o valor de c = 2,4 obtêm-se um valor de Fsat(6) = 0,999, desta forma satisfazendo a condição de força
máxima. Além disso, com este valor de c obtém-se Fsat(1) = 0,29, indicando que a
amplitude de um único abalo é 29% da amplitude máxima da força tetânica gerada por aquela unidade muscular com saturação. As frequências de saturação e as consequentes forças tetânicas máximas estão sumarizadas na Tabela 2.
Tabela 2: Parâmetros dos modelos de unidade motora.
S FF FR
Frequência de saturação [Hz]
10 – 20 20 – 30 30 – 40 Força tetânica máxima [mN] 10,68 – 67,32 69,45 – 171,64 177,08 – 437,69
3.2.3 Parametrização das unidades musculares
Como apresentado na seção 3.2.1, os parâmetros que definem as propriedades contráteis das unidades musculares são a força do twitch (Apeak) e o
tempo de contração (tpeak). Estes dois parâmetros foram distribuídos ao longo das
120 unidades musculares de forma que uma grande quantidade das unidades musculares fossem capazes de produzir forças relativamente pequenas, enquanto uma menor proporção produzisse forças de amplitude relativamente maiores (FUGLEVAND et al., 1993). As amplitudes dos abalos das unidades musculares em um mesmo músculo podem variar em faixas amplas (tipicamente 100 vezes ou mais) comparando o abalo da unidade muscular mais fraca com a mais forte (MILNER BROWN et al., 1973)‐ . Além disso, a força exercida por uma unidade motora está relacionada com seu limiar de recrutamento (STEPHENS; USHERWOOD, 1977). A amplitude máxima Apeak de cada unidade muscular i foi
definida com base na Equação 18.
Apeak(i)=a0⋅exp(b⋅i) (18)
em que, i representa o índice da unidade muscular, a0 é a amplitude máxima do
abalo da unidade muscular de menor força e b é um coeficiente que determina a faixa de variação. Para manter a faixa dentro dos limites desejados, o coeficiente b foi determinado pela Equação 19.
b=ln(Δtwitch)
n (19)
em que, Δtwitch é a faixa de variação das amplitudes dos abalos, definida como a
razão entre a amplitude do maior abalo e a do menor abalo, isto é, a120/a0 , e n é o
número de unidades motoras (120, no caso do músculo representado neste trabalho). Este equacionamento pode ser sintetizado pela Equação 20.
Apeak(i)=a0⋅(Δtwitch)
i
n (20)
As amplitudes máximas dos abalos variaram de 3mN a 130mN, conforme dados experimentais disponíveis na literatura para o músculo FDI (ENOKA; FUGLEVAND, 2001; MILNER BROWN et al., 1973)‐ . A distribuição foi feita com o menor NM (mais facilmente excitável) inervando a unidade muscular que exerce
3mN de força e o NM de maior área somática (último a ser recrutado) inervando a unidade muscular que exerce 130mN de força isométrica. Com estes valores limites, temos: Δtwitch = 43 e n = 120, o que produz a distribuição ilustrada na Figura 7 (painel
superior).
Os tempos de contração de cada unidade muscular foram, também, distribuídos seguindo uma função exponencial (FUGLEVAND et al., 1993). Porém, neste caso, as unidades motoras de menor limiar produzem abalos com maiores tempos de contração. Desta forma, as unidades motoras de menor limiar são de contração lenta, enquanto as últimas unidades motoras a serem recrutadas possuem contração rápida (painel inferior da Figura 7). Esta distribuição de parâmetros foi feita de maneira similar à feita para as amplitudes dos abalos e é descrita pela Equação 21.
tpeak(i)=tmáx⋅(Δcontraction)−
i
n (21)
em que, tpeak é o tempo de contração da unidade muscular de índice i, tmáx é o maior
tempo de contração, Δcontraction é a faixa de variação (razão entre o maior e o menor
tempos de contração, isto é, ct0/ct120 , e n é o número de unidades musculares (120).
Figura 7: Distribuição dos parâmetros dos abalos musculares ao longo das unidades motoras. A abcissa representa o índice da unidade motora, sendo que unidades motoras de menor índice são aquelas com menor limiar de recrutamento. Painel superior: Força do abalo (Apeak). Painel inferior: Tempo de contração (tpeak).
3.3 Modelo das sinapses
Neurônios motores recebem tanto sinais excitatórios quanto inibitórios, porém, foi adotado um modelo apenas com sinais excitatórios, que é uma simplificação considerando apenas o efeito sináptico líquido excitatório sobre o MN (ELIAS; KOHN, 2013). Cada evento associado à geração de um potencial de ação nos comandos pré-motoneuronais ativa uma sinapse nos NMs comandados por estes axônios. Para modelar matematicamente o decurso temporal da condutância sináptica foi adotada a função alfa, que é a resposta impulsiva de um sistema de segunda ordem criticamente amortecido (Equação 22). Os parâmetros da sinapse foram ajustados de maneira a gerar potenciais excitatórios pós-sinápticos (PEPS)
com amplitudes similares às reportadas experimentalmente (FINKEL; REDMAN, 1983). A condutância máxima (gmáx) ajustada foi de 0,06mS, o tempo de subida (tS)
foi de 0,2ms e o potencial de reversão ajustado em 70mV. Estes parâmetros foram iguais para todos os NMs do núcleo motor.
gs(t )=gmaxt −tact
tS
exp(t−tact
tS
) para t ≥ tact e zero caso contrário (22)
em que, tact é o instante de ativação da sinapse e gs atinge seu valor máximo gmáx em
t = tS.
3.4 Modelo dos comandos pré-motoneuronais
Os comandos pré-motoneuronais foram representados aqui como processos estocásticos pontuais, uma abordagem já adotada em outros modelos (CISI; KOHN, 2008; WATANABE et al., 2013). Um processo pontual estocástico é caracterizado por eventos discretos no tempo, cujos intervalos entre eventos seguem uma distribuição estatística (COX; ISHAM, 1980). Cada processo pontual representa uma entrada sináptica para o NM e seus eventos representam disparos de potenciais de ação. Para representar a aleatoriedade na atividade dos comandos pré-motoneuronais, foi utilizado um modelo de distribuição dos intervalos entre disparos, ou ISIs (do inglês interspike intervals) descrito pela Equação 8. Neste modelo, conhecido como aleatoriedade fracionada (CARNEVALE; HINES, 2006), a distribuição dos intervalos será exponencial quando o termo noise for igual a 1. Desta forma, o processo pontual estocástico será do tipo Poisson. Quando o termo
noise é igual a zero os ISIs serão regulares com um valor igual a mean. interval=(1−noise)∗mean+noise∗mean∗exprnd () (23)
em que, noise é o nível de aleatoriedade (0 a 1), mean é o valor médio desejado do intervalo e exprnd() representa uma função que gera valores aleatórios a partir de uma distribuição exponencial negativa. Assim, após a geração de um disparo, é garantido que nenhum outro disparo irá ocorrer nos próximos (1-noise)*mean milissegundos. Apenas após esse tempo a probabilidade de outro disparo ocorrer será não nula. (CARNEVALE; HINES, 2006). A Figura 8 ilustra o modelo de
distribuição adotado. Para cada histograma desta figura foram gerados 10000 valores, com o valor de noise variando em cada caso. O caso noise = 1 resulta em uma distribuição exponencial (processo de Poisson) e, conforme reduz-se o parâmetro noise, mais próximos os valores gerados estarão entre si (maior regularidade dos ISIs).
O conjunto de sinais pré-motoneuronais foi formado por 400 processos pontuais estocásticos com distribuições estatísticas independentes e com valores ajustáveis de média dos ISIs (mean) e de nível de aleatoriedade (noise). Este número foi escolhido com base no trabalho de Watanabe e colaboradores (2013).
Além da duração média dos ISIs e do nível de aleatoriedade da distribuição, a cada processo descendente foi atribuída uma probabilidade de conexão com os NMs que compõem o núcleo motor. Foi selecionada a probabilidade de 30% de conexão, significando que cada processo irá se conectar a aproximadamente 30% dos NMs do núcleo motor. Este valor foi escolhido de maneira a manter o grau de sincronismo entre os NMs dentro de valores fisiológicos (ENOKA; FUGLEVAND, 2001). As conexões entre os comandos pré-motoneuronais e os NMs está ilustrada
Figura 8: Histogramas da geração de 10000 valores em 3 casos de aleatoriedade fracionada: noise=1, 0,5 e 0,1.
na Figura 9, onde observam-se 20 comandos pré-motoneuronais conectados com 30% de conectividade a 20 NMs.
Figura 9: Exemplo ilustrativo de conexões entre os comandos pré-motoneuronais (amarelo) e os NMs (azul). As linhas vermelhas representam as conexões sinápticas.
4 Protocolos de teste e validação
4.1 Núcleo motor
Após a parametrização do núcleo motor, foram feitos testes para verificar as respostas eletrofisiológicas dos NMs individuais. Foram testadas: a resistência de entrada, a corrente de reobase, a duração da AHP, a amplitude da AHP e a amplitude do potencial de ação. Nestas simulações, foram aplicadas correntes determinísticas no compartimento somático.
4.1.1 Resistência de entrada
Para determinar a resistência de entrada (Rin) de cada NM, foram injetados
pulsos de corrente subliminares com amplitudes entre -5nA e 1nA, com duração de 100ms. Após as simulações mediu-se o potencial de membrana em regime permanente. A Rin foi determinada como o coeficiente angular da reta de ajuste da
relação entre a corrente injetada e o potencial de membrana em regime permanente (KERNELL, 2006; ZENGEL et al., 1985).
4.1.2 Corrente de reobase
Nestas simulações, cada NM foi estimulado por injeção de corrente em pulsos de 100ms de duração e amplitudes que variaram de 1nA a 30nA, registrando-se o potencial de membrana do neurônio e definindo-se a corrente de reobase como a amplitude mínima de corrente necessária para evocar um único potencial de ação, seguindo o protocolo de Zengel e colaboradores (1985).
4.1.3 Duração da AHP, amplitude da AHP e amplitude do potencial
de ação
Para determinar os parâmetros da AHP e do potencial de ação, foram aplicados pulsos de corrente com curta duração (0,5ms) com uma amplitude de 45nA. Desta forma, gerou-se um único potencial de ação em cada NM (ZENGEL et al., 1985). A partir do decurso temporal do potencial de membrana durante e após o potencial de ação, foram estimadas a duração da AHP e as amplitudes da AHP e do potencial de ação.
4.1.4 Relação frequência-corrente (f-I) e ordem de recrutamento
Para determinar as relações entre a frequência de disparos e a corrente de estímulação aplicada nos NMs, foi adotado um protocolo similar a outros estudos, em que injeta-se uma corrente triangular de longa duração (10s de duração, sendo 5s de subida e 5s de descida) e uma amplitude máxima de 40nA. A taxa de variação do pulso triangular é lenta o suficiente para considerar que os NMs respondem como se estivessem em regime permanente (ELIAS; KOHN, 2013; LEE; HECKMAN, 1998). A relação f-I pode ser caracterizada pela inclinação da reta (ou ganho) que ajusta os pontos de frequência vs. corrente. Para isso, foram registrados os decursos temporais dos potenciais de membrana dos 120 NMs e, a partir destes registros, detectou-se os instantes de disparos de potenciais de ação de cada NM para calcular suas frequências de disparos instantâneas (definida como o inverso do intervalo entre dois disparos).
4.2 Músculo
4.2.1 Respostas das unidades musculares a um único potencial de
ação
Para verificar o comportamento das unidades motoras, desejou-se, primeiro, observar os sinais gerados quando um único NM ativa sua unidade muscular. Foram realizadas simulações com os três NMs centrais que são idênticos aos modelos S, FR e FF de referência (MATOSO, 2017). Além disso, avaliou-se os dois extremos do núcleo motor, ou seja, os NMs de menor e maior limiares, respectivamente. Nestas simulações, cada NM foi estimulado com a injeção de um pulso de corrente com duração de 100ms e amplitude supraliminar. Foram registrados os decursos temporais dos potenciais de membrana somáticos e as forças geradas pelas unidades musculares associada aos NMs avaliados. Sabendo-se o instante de disparo do potencial de ação e o instante de início do abalo da unidade motora, foi possível calcular os tempos de propagação pelos axônios motores.
4.2.2 Relação força-frequência
Nestas simulações avaliou-se o efeito da somação temporal de uma série de abalos musculares causados por um trem de potenciais de ação gerados pelas unidades motoras operando em diferentes frequências. Para isto, foram feitas
simulações independentes para cada unidade motora, nas quais o NM foi excitado por pulsos de correntes com intensidades de 3nA a 50nA, de modo a promover disparos repetitivos em diferentes frequências médias. Em seguida, mediu-se a força média em regime permanente gerada por cada unidade motora. A partir destas simulações foram obtidas as relações entre as frequências de ativação das unidades musculares e as forças médias gerada pela unidade muscular (relação força-frequência). Além disso, foram calculadas as relações twitch/tétano de cada unidade muscular (KERNELL, 2006).
4.3 Sinapses: amplitudes dos potenciais excitatórios
pós-sinápticos
Após os ajustes dos parâmetros do modelo de sinapse, foram feitas simulações para verificar o decurso temporal dos PEPS gerados por um único evento pré-sináptico ativando cada NM. Em cada simulação um processo pontual (comando pré-motoneuronal) foi conectado a cada NM e ativado uma única vez em um instante de tempo específico (150ms) e foi registrado o potencial de membrana.
4.4 Validação: controle da força muscular
4.4.1 Determinação da MVC
A contração voluntária máxima (MVC, do inglês Maximum Voluntary
Contraction) é uma medida comumente utilizada em experimentos de controle da
força muscular em humanos que consiste em registrar a força máxima exercida por um músculo durante sua contração realizada pelo indivíduo de maneira voluntária. Tipicamente, mede-se a MVC durante uma contração isométrica, ou seja, quando não há movimentação da articulação sobre a qual o músculo (ou grupo muscular) atua. Diferentes tipos de análises, por exemplo, a variabilidade da força e dos intervalos entre disparos das unidades motoas (vide subseção 4.4.2) são feitas para níveis de força submáximos, geralmente representados como porcentagens da MVC (JONES et al., 2002; MORITZ, 2005; WATANABE et al., 2013).
Neste cenário de simulação, todos os elementos do modelo do sistema neuromuscular foram utilizados de maneira a simular os comandos pré-motoneuronais que excitam o núcleo motor que, por sua vez, ativam as unidades musculares, produzindo a força muscular. Estudos experimentais mostram que,
durante a contração voluntária máxima, a frequência de disparos dos NMs do núcleo motor do FDI de humanos é, em média, 30Hz (ENOKA; FUGLEVAND, 2001). Assim, para determinar a MVC no modelo, foram feitas simulações alterando-se a intensidade do comando pré-motoneuronal (determinada pela frequência média de eventos pré-sinápticos) e registrando-se a frequência média de disparos dos NMs. A MVC foi então definida como a força média obtida na saída do modelo quando a frequência média de disparos de todo o núcleo motor foi igual a 30Hz. A intensidade do comando pré-motoneuronal foi definida em função dos seguinte parâmetros: número de processos pontuais (400), intervalo médio entre os eventos (5,3ms) e o grau de conectividade entre os comandos e os NMs (30%). Os valores adotados foram baseados no estudo de Watanabe et al. 2013.
4.4.2 Variabilidade da força e dos intervalos entre disparos das
unidades motoras
Uma importante medida do desempenho motor é a variabilidade da força produzida por um determinado músculo ou grupo muscular. Os mecanismos de controle da força muscular influenciam diretamente o grau de variabilidade da força, que pode ser quantificada pelo desvio-padrão ou pelo coeficiente de variação (CV) do sinal de força (ENOKA, 2008; JONES et al., 2002; MORITZ, 2005). Para determinar a variabilidade da força gerada pelo modelo, a intensidade dos processos pontuais foi variada de forma a gerar forças médias com magnitudes variando entre 2% a 100% da MVC. Foram feitas simulações independentes para cada intensidade do sinal de entrada com durações de 7s. Para os cálculos estatísticos realizados com o sinal de força (vide abaixo) descartou-se o primeiro segundo de cada simulação, evitando o regime transitório da força.
Para cada nível de intensidade do sinal de entrada foram registrados os instantes de disparo dos NMs e a força muscular total, calculada como a soma das forças individuais das unidades musculares. Para cada intensidade de força submáxima calculou-se a média, o desvio-padrão e o CV. Outra medida comumente utilizada em estudos de variabilidade é a inclinação da reta de ajuste da relação entre o desvio-padrão e média da força em escala logarítmica (JONES et al., 2002; MORITZ, 2005; WATANABE et al., 2013).
