construídos por: Enéias de A. Prado.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – TANGÊNCIA
1. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE NUM PONTO DADO DA
CIRCUNFERÊNCIA.
PROCESSO I
Seja um Ponto T na circunferência de centro O. Traçar por T e O a reta normal e depois traçar a reta perpendicular à normal passando por T que será a reta tangente.
PROCESSO II
Seja um ponto T na circunferência de centro O. Com centro em O1 qualquer e
raio O1T trace um arco de circunferência que corte a circunferência dada em P.
E com centro em T e raio TP trace um outro arco de circunferência que corte o arco anterior em P'. Ligue o ponto P ao ponto T encontrando assim a reta tangente t.
2. POR UM PONTO EXTERIOR TRAÇAR DUAS RETAS TANGENTES
A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA.
PROCESSO I (Utilizando o centro da circunferência dada)
Seja a circunferência de centro O' e o ponto A exterior. Ligue o Ponto O' ao ponto A.
Encontre o Ponto Médio(M) de AO' e com centro em M e raio MA trace uma circunferência que corte a circunferência dada em C e D.
Ligue o ponto A aos pontos C e D encontrando assim as duas tangentes t e t'.
As tangentes t e t' passam pela hipotenusa dos triângulos retângulos ACO' e ADO' inscritos nas semi-circunferências o que explica o processo utilizado.
PROCESSO II (Não utilizando o centro da circunferência dada)
Seja a circunferência dada e o ponto P exterior. Passar por P uma reta secante (s) que corte a circunferência em dois pontos A e B.
Marque na reta (s) a partir de P a medida PC que é igual à medida da corda AB encontrando assim o ponto C. Com a ponta seca do compasso em C e raio CB trace um arco. Com a ponta seca do compasso em A e mesma abertura trace outro arco encontrando o ponto D.
Com a ponta seca do compasse em P e abertura igual à PD trace um arco que corte a circunferência dada em T e T'.
Ligue o ponto P aos pontos T e T' encontrando assim as duas tangentes.
3. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA QUE SEJA TANGENTE A
UMA RETA DADA NUM PONTO DADO, E PASSE POR OUTRO
PONTO QUALQUER DADO FORA DA RETA.
Encontre a mediatriz do segmento TB. Levante uma perpendicular (p) pelo ponto T encontrando assim o ponto O na interseção da mediatriz (m) com a perpendicular (p).
Com centro do compasso em O e abertura igual à OT ou OB trace a circunferência
4. TRAÇAR RETAS TANGENTES EXTERIORES COMUNS A DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS DADAS.
Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R1 e R2
respectivamente.
Com a ponta seca do compasso em O e abertura igual a (R1-R2) trace uma
circunferência auxiliar.
Ligue os centros O e O' e trace a mediatriz (m) do segmento OO' encontrando o ponto médio M.
Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO ou MO' trace uma circunferência auxiliar.
A circunferência auxiliar de centro M e raio MO corta a circunferência auxiliar de centro O nos pontos T e T'.
Ligue O' a T e T' e prolongue até encontrar os pontos A (T1) e B (T2). Centre o
compasso em T1 e com abertura igual a TO' trace um arco que corte a
circunferência de centro O' em T1'. Centre o compasso em T2 e com abertura
igual a T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T2'.
Ligue os pontos (T1 T1') e (T2 T2') encontrando as retas tangentes. Utilize o
método de divisão de segmentos (Aula 1 - Exercício oito) e divida AB em oito partes iguais.
5. TRAÇAR RETAS TANGENTES INTERIORES COMUNS A DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS DADAS
.Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R1 e R2
respectivamente.
Construa uma circunferência auxiliar com o centro em O e com o raio igual a
R1+R2. Ligue os centros O e O'.
Trace a mediatriz de OO' encontrando o ponto médio M. Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO trace uma circunferência que corta a circunferência auxiliar em T e T'.
Ligue o centro O aos pontos T e T' para encontrar na circunferência de centro O
dada, os pontos de tangência T1' e T2'.
Ligue os pontos T e T' ao centro O'.
Com a ponta seca do compasso em T1' e com abertura TO' trace um arco que
corte a circunferência de centro O' em T1.
Com a ponta seca do compasso em T2' e com abertura T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T2.
Ligue os pontos T1' a T1 e T2' a T2 encontrando as tangentes interiores comuns
às duas circunferências dadas.
6. DADA UMA CIRCUNFERÊNCIA, UM PONTO T SOBRE ELA, E UM
PONTO P EXTERIOR, DESCREVER OUTRA CIRCUNFERÊNCIA QUE
SEJA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DADA NO PONTO T DADO E
QUE PASSE PELO PONTO P EXTERIOR DADO.
Seja o ponto T pertencente à circunferência de centro O e o ponto P exterior dados. Para encontrar a circunferência que passa por P e tangencia a circunferência dada em T, primeiramente, trace uma reta normal à circunferência dada que passe por T e O.
Em seguida, ligue o centro O ao ponto P. Trace a mediatriz do segmento OP encontrando o ponto O' na interseção da mediatriz com a reta secante.
Com a ponta seca do compasso em O' e com abertura igual à O'T trace a circunferência procurada.
7. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE A SUAS RETAS CONCORRENTES DADAS.
A partir de qualquer ponto na reta r levantar uma perpendicular e marcar nela uma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto R.
A partir de qualquer outro ponto na reta s levantar uma perpendicular e marcar nela a mesma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto S.
Traçar por R e por S retas paralelas às retas r e s encontrando no seu cruzamento o ponto O'.
Levante duas perpendiculares por O' às retas r e s encontrando os pontos T1 e
T2. Com a ponta seca do compasso em O' e abertura O' T1 ou O'T2 traçar a
8. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE A DUAS OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS.
PROCESSO I (Tangentes interiores)
Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R2
A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R1) e
depois, outra reta a partir de O'' cuja medida é (R-R2).
Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R1) trace um arco e com a
Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando
respectivamente T2 e T1.
Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente as
Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares aos centros O' e O'' encontrando
assim os pontos T3 e T4.
Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente
Temos então, as duas circunferências tangentes interiores às duas circunferências dadas.
PROCESSO II (Tangentes exteriores)
Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R2
A partir de O' traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R+R1) e
outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R2).
Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R+R1) trace um arco e com a
Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando
respectivamente T2 e T1.
Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência exteriormente as
Agora, com a ponta seca do compasso em O' e O'' e abertura R trace os arcos para o lado de cima.
Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares (superior) aos centros O' e O''
Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos superiores e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que
tangencia exteriormente as duas circunferências dadas em T3 e T4.
Temos então, as duas circunferências tangentes exteriores às duas circunferências dadas.
PROCESSO III (Tangentes: exterior e interior)
Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R2
respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R.
A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R+) e
Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R1) trace um arco e com a
ponta seca em O'' e raio (R+R2) trace outro arco.
Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando
Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente a
circunferência de centro O' no ponto T1 e tangência exteriormente a
circunferência de centro O'' no ponto T2.
Agora coma ponta seca do compasso em O' e depois em O'' com abertura no
compasso igual a (R1-R) e (R2+R) respectivamente trace do lado de cima os
Ligue a intersecção dos arcos superiores aos centros O' e O'' encontrando
respectivamente os pontos T4 e T3.
Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente
a circunferências de centro O' no ponto T4 e exteriormente a circunferência de
9. POR DOIS PONTOS DADOS, TRAÇAR DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
TANGENTES A UMA RETA DADA.
Sejam A e B os dois pontos dados por onde deverão passar duas circunferências tangentes à reta r dada.
Ligue A e B e prolongue até encontrar o ponto P na intersecção com r.
Encontre a média geométrica PT' entre PB e PA: trace a mediatriz de PB encontrando o ponto M.
Com a ponta seca do compasso em M e raio MB ou MP construa uma semi-circunferência.
Levante por A uma perpendicular encontrando o ponto T'.
Marque a medida PT' a partir de P na reta r para a esquerda e para a direita
encontrando os pontos T1 e T2 respectivamente.
Trace a mediatriz do segmento BA que é uma corda da circunferência. Esta mediatriz será o lugar geométrico dos centros das duas circunferências procuradas.
Levante uma perpendicular por T1. Esta perpendicular será o lugar geométrico
do centro de uma das circunferências procuradas. Onde esta perpendicular
intersectar com a mediatriz de AB teremos o centro O1 de uma das
circunferências procuradas. Levante uma perpendicular por T2. Esta
perpendicular será o lugar geométrico do centro da outra circunferência procurada. Onde esta perpendicular intersectar com a mediatriz de AB teremos
Com a ponta seca do compasso em O1 e abertura O1T1 trace uma
circunferência. Com a ponta seca do compasso em O2 e abertura O2T2 trace a
outra circunferência procurada.
Veja abaixo a resposta com as duas circunferências de centros O1 e O2 que
10. TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A TRÊS OUTRAS
CIRCUNFERÊNCIAS DADAS
Sejam três circunferências dadas de centros O1, O2 e O3. Trace as tangentes
exteriores comum às circunferências de centros O1 e O2 encontrando
respectivamente os pontos de tangência (T1, T1') e (T2,T2').
Em seguida trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros
O2 e O3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T2'', T2''') e (T3,
T3'). Depois, trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros
O1 e O3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T1'', T1''') e (T3'',
T3''').
Em seguida, trace as retas Polares (T1,T1') e (T2,T2'). Ligue os centros das
circunferências O1 e O2 e prolongue o segmento além do centro O2 até a reta
atingir a polar T2T2' encontrando assim o segmento AB que liga uma polar à
Trace a reta d1 dishomóloga (a mediatriz do segmento AB). Ligue os centros
das circunferências O2 e O3 e prolongue o segmento além do centro O2 até a
reta atingir a polar T2''T2''' encontrando assim o segmento CD que liga uma
polar à outra. Trace a dishomóloga d2 (mediatriz de CD).
Ligue os centros das circunferências O3 e O1 e prolongue o segmento além do
centro O3 até a reta atingir a polar T3''T3''' encontrando assim o segmento EF
que liga uma polar à outra. Trace a dishomóloga d3 (mediatriz de EF). As três
Ligue o ponto K às interseções das polares encontrando assim os pontos T5 T5'
T5'' (internamente) e os pontos T6 T6' T6'' (externamente) nas três
circunferências dadas. Obtemos os pontos de tangência T5 T5' T5'' da
circunferência tangente exterior às três circunferências dadas e os pontos T6 T6'
T6'' da circunferência tangente interior às três circunferências dadas.
Ligue os pontos T5 T5' T5'' construindo assim um triângulo. Depois ligue os
pontos T6 T6' T6'' construindo um outro triângulo. Traçar as mediatrizes dos
lados dos triângulos para encontrar os centros O4 e O5 das circunferências
Temos então as duas circunferências tangentes (exterior e interior) às três circunferências dadas.
11. ACHAR O PONTO DE CONTATO DE UMA TANGENTE A UMA
CIRCUNFERÊNCIA.
Trace passando pelo centro uma reta normal (perpendicular à reta tangente dada) encontrando assim, o ponto de tangência no cruzamento das duas.
12. DADO UM PONTO SOBRE UMA CIRCUNFERÊNCIA, TRAÇAR
UMA OUTRA, DE RAIO DADO, QUE LHE SEJA TANGENTE
EXTERIOR.
Seja o ponto A pertencente à circunferência de centro O dada. Traçar por A, a reta normal (s) que passa pelo centro da circunferência dada.
Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual ao raio dado trace uma circunferência que corte a reta normal s em P e P'. Com a ponta seca do compasso em P e abertura PA trace a circunferência tangente exterior e com a ponta seca em P' e mesma abertura trace a circunferência tangente interior.
13. CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO QUE PASSE
POR UM PONTO P DADO E SEJA TANGENTE A UMA RETA DADA.
Seja o ponto T pertencente à reta (s) dada e o ponto T não pertencente à reta (s). Ligue o ponto P ao ponto T.
Trace a mediatriz do segmento PT. Levante uma perpendicular à reta (s) pelo ponto T.
Coloque a ponta seca do compasso em O e com abertura OT ou OP trace a circunferência tangente à reta (s) no ponto T.
14. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE ÀS TRÊS RETAS
QUE SE INTERSECTAM S, T, U.
Sejam a retas (s), (t) e (u) que se intersectam nos pontos A, B e C. Traçar as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC encontrando na intersecção o ponto P.
Traçar pelo ponto P, retas perpendiculares aos lados do triângulo ABC, para
encontrar os pontos de tangência T1, T2 e T3 e assim descobrir o valor do raio
15. DESCREVER CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES ENTRE SI E A
DUAS RETAS CONCORRENTES DADAS.
Sejam duas retas concorrentes no ponto O. Trace a bissetriz do ângulo AOB e marque um centro qualquer O' na bissetriz.
Em seguida trace pelo ponto O’, retas perpendiculares aos lados do ângulo,
encontrando assim, os pontos de tangência T1 e T2. Depois trace a
circunferência de centro O' tangente às retas nos pontos T1 e T2.
16. CIRCUNSCREVER UM TRIÂNGULO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
DADA, SABENDO-SE QUE OS PONTOS T1 E T3 DADOS
PERTENCENTES À CIRCUNFERÊNCIA DADA SÃO OS PONTOS DE
TANGÊNCIA DA CIRCUNFERÊNCIA COM O TRIÂNGULO.
Sejam três pontos T1, T2 e T3 pertencentes à circunferência dada. Ligar o centro
da circunferência aos pontos T1, T2 e T3 e prolongar, traçando assim, as retas
Em seguida, traçar as perpendiculares a cada reta normal por cada ponto.
17. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA
QUE SEJA PARALELA A UMA RETA DADA.
Seja uma circunferência e uma reta exterior (s). Trace passando pelo centro uma reta perpendicular à reta dada (s) encontrando o ponto B.
18. TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, TANGENTE A
UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUE SEJA SECANTE A UMA
RETA DADA, FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO.
Seja "R" o raio da circunferência dada que deve tangenciar a circunferência de centro "O" dada e também intersectar a reta "s" dada formando com ela uma corda "C" dada.Trace a mediatriz de AB encontrando o seu ponto médio M. Em seguida, encontre o ponto C que é o centro da circunferência de raio R dado. Os lados AC e BC são iguais a R dado.
Prolongue o raio da circunferência de centro O e nele, a partir da circunferência, acrescente a medida do R dado encontrando o ponto W.
Trace a circunferência de raio OW que é o Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada.
Trace uma reta paralela à reta "s" a uma distância igual a "R". Esta reta paralela é o outro Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. No cruzamento dos dois lugares geométricos (circunferência e paralela) teremos o centro procurado. Entretanto, a circunferência e a reta paralela se intersectam em dois pontos, então, teremos dois centros "E" e "F".
Coloque a ponta seca do compasso nos pontos E, F e trace as duas circunferências de raio R.
Veja a resposta: duas circunferências de centros: E, F e raio R que tangenciam a circunferência de centro O e intersectam a reta s determinando duas cordas de comprimento C.
19. CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, QUE PASSE
PELO PONTO P DADO E CORTE UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA
FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO.
Seja R2 o raio da circunferência que deve passar por P dado e cortar a
circunferência de centro O1 dada formando nela uma corda de comprimento C (AB) dado.
Trace os dois diâmetros da circunferência de centro O1 e prolongue.
Marque no diâmetro horizontal o segmento A'B' igual ao valor da medida da corda AB.
Trace duas retas paralelas ao diâmetro vertical por A' e B' encontrando na circunferência os pontos G e H.
Com a ponta seca do compasso em G e H e abertura igual a R2 trace dois arcos
que se cruzam na reta que passa pelo diâmetro. Em seguida, coloque a ponta
seca do compasso em O1 e com abertura até o cruzamento dos arcos, trace
uma circunferência. Esta circunferência será o Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada.
Coloque a ponta seca do compasso em P e com abertura igual a R2 trace uma
circunferência que será o Lugar Geométrico do centro procurado. Onde os dois lugares geométricos se cruzam teremos os pontos C e D os quais serão os centros das duas circunferências procuradas. Conclui-se que teremos duas
respostas: a circunferência de centro C e raio R2 e a circunferência de centro D
Veja a resposta: duas circunferências de raio R2 dado, que passam por P e
determinam na circunferência de centro O1 dada, as cordas A''B'' e A'''B''' iguais
20.
INSCREVER
NUMA
CIRCUNFERÊNCIA
DADA,
QUATRO
CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO E TANGENTES ENTRE SI.
Seja a circunferência de centro O dada. Trace por O uma reta s. Trace por O uma reta perpendicular à reta s.
Marque os pontos AC e BD nos quadrantes do círculo. Trace a bissetriz dos
ângulos AB e CD encontrando os pontos T e T2 respectivamente.
Trace as tangentes à circunferência pelos pontos T e T2. Elas determinam dois
triângulos. Trace as bissetrizes dos ângulos dos triângulos. Na intersecção das
bissetrizes teremos os pontos O2 e O3 que serão os centros de duas
circunferências inscritas e tangentes à circunferência dada. Coloque a ponta
seca do compasso em O2 e com abertura igual a O2T trace uma das quatro
circunferências procuradas. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em
O3 e com abertura igual a O3T2 trace a segunda das quatro circunferências
Veja abaixo as duas circunferências encontradas. Repita o processo anterior
agora para os pontos T3 e T4.
Construa as bissetrizes dos outros dois triângulos e na intersecção encontre os
pontos O4 e O5. Construa as outras duas circunferências de centros O4 e O5.
Veja na resposta abaixo as quatro circunferências de mesmo raio, tangentes entre si, inscritas e tangentes à circunferência dada.
BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p. MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.
