Modelos modificados de redes neurais morfológicas

Instituto de Matemática, Estatística

e Computação Cientíca

Departamento de Matemática Aplicada

Modelos Modicados de Redes Neurais

Morfológicas

Autor: Estevão Esmi Laureano

Orientador: Prof. Dr. Peter Sussner

16de junho de 2010

Modelos Modificados de Redes Neurais Morfológicas

Banca Examinadora:

Este exemplar corresponde

à

reda

ç

ão final

da dissertação de

v

idamente corrigida

e

defendida por Estevão Esmi Laureano

e

aprovada pela comissão julgadora

.

Campinas

,

30 de Abril de 2010

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Orientador

1. Álvaro Rodolfo De Pierro

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Redes neurais morfológicas (MNN) são redes neurais articiais cujos nós

exe-cutam operações elementares da morfologia matemática (MM). Vários modelos

de MNNs e seus respectivos algoritmosde treinamentos têm sido propostos nos

últimos anos, incluindo os perceptrons morfológicos (MPs), o perceptron

mor-fológico com dendritos, as memórias associativas morfológicas (fuzzy), as redes

neurais morfológicasmodulareseasredesneurais depesoscompartilhadose

reg-ularizados. Aplicaçõesde MNNs incluemreconhecimentode padrão,previsão de

séries temporais,detecção de alvos,auto-localizaçãoeprocessamentode imagens

hiperespectrais.

Nesta tese, abordamos dois novos modelos de redes neurais morfológicas. O

primeiro consiste em uma memória associativa fuzzy denominada KS-FAM, e o

segundo representa uma nova versão do perceptron morfológicopara problemas

de classicação de múltiplas classes, denominado perceptron morfológico com

aprendizagem competitiva(MP/CL).

Para ambosmodelos,investigamose demonstramos várias propriedades. Em

particular para a KS-FAM, caracterizamos as condições para que uma memória

seja perfeitamente recordada, assim como a forma da saída produzida ao

ap-resentar um padrão de entrada qualquer. Provamos ainda que o algoritmo de

treinamento do MP/CL converge em um número nito de passos e que a rede

produzida independe daordem com que ospadrões de treinamentosão

apresen-tados. Além disso, é garantido que o MP/CL resultante classicaperfeitamente

todos osdados de treinamento enão produz regiões de indecisões.

Finalmente, comparamos os desempenhos destes modelos com os de outros

modelos similares em uma série de experimentos, que inclui reconhecimento de

imagensem tons de cinza,para aKS-FAM,e classicaçãode vários conjuntos de

dados disponíveis nainternet, para o MP/CL.

Palavras-chave: Reticulado,MorfologiaMatemática,ConjuntosFuzzy,Rede

Morphological neural networks (MNN) are articial neural networks whose

hid-den neurons perform elementary operationsof mathematicalmorphology(MM).

Several particular models of MNNs have been proposed in recent years,

includ-ingmorphologicalperceptrons(MPs), morphologicalperceptronswith dendrites,

(fuzzy) morphological associative memories, modular morphological neural

net-worksaswellasmorphologicalshared-weightandregularizationneuralnetworks.

Applications of MNNs includepattern recognition,time series prediction, target

detection, self-location,and hyper-spectral image processing.

In this thesis, we present two new models of morphological neural networks.

The rst one consistsof afuzzy associativememory calledKS-FAM.The second

one represents a novel version of the morphological perceptron for classication

problems with multipleclassescalled morphologicalperceptronwith competitive

learning (MP/CL).

For both KS-FAM and MP/CL models, we investigated and showed several

properties. In particular, we characterizedthe conditions for perfect recall using

the KS-FAM as well as the outputs produced upon presentation of anarbitrary

input pattern. Inaddition,we proved that the learningalgorithmof the MP/CL

converges in a nite number of steps and that the results produced after the

conclusion ofthetrainingphase donotdependontheorderinwhichthetraining

patterns are presented to the network. Moreover, the MP/CL is guaranteed to

perfectlyclassify alltraining data withoutgenerating any regionsof indecision.

Finally,wecomparedtheperformancesofournewmodelsandarangeof

com-petingmodelsinterms of aseries of experiments ingray-scale imagerecognition

(incaseoftheKS-FAM)andclassicationusingseveralwell-knowndatasets that

are available onthe internet(in case of the MP/CL).

Keywords: LatticeTheory,MathematicalMorphology,Fuzzy Set,

Aos meu pais,

Brasil Alves Laureano e,

À todos que meapoiaramemeajudaramduranteeste projeto de mestrado. Em

especial, parameuspais, BrasilAlvesLaureano eTâniaEsmiLaureano,aminha

irmã RenataEsmiLaureano, eaos demaisentes queridosquetantotorcerampor

mim.

À Damaris, por todos os momentosde compreensão, carinhoe amor.

Também aos meus grandes amigos que tiveram comigo durante este tempo:

Willian Eloi, Gustavo, Marcio, Marcos e Luciana, Willian Oliveira, Nolmar,

Celso, Ney e Flávia,Eduardo Miqueles, José Carlos e vários outros.

Ao meu orientador, Peter Sussner, pela orientação, paciência e,

principal-mente, poracreditar em minhacapacidade para desenvolver este projeto.

Agradeço por m, todos professores tanto da Unicamp quanto da Unip que

contribuiram para minha formação acadêmica nos cursos de pós-graduação e

Sigla Signicado

MNN Redes neuraismorfológicas

MP Perceptron morfológico

MPD Perceptron morfológicocom dendritos

MM Morfologiamatemática

FMNN Redes neuralmorfológicafuzzy

FMAM Memóriaassociativamorfológicafuzzy

MP/CL Perceptron morfológicocom aprendizagem competitiva

MLP Perceptron de múltiplascamadas

k

NN

k

vizinhos mais próximos ANN

k

Redes neural articial

MAM Memóriaassociativamorfológica

SE Elementoestruturante

FMM Morfologiamatemática fuzzy

AM Memóriaassociativa

FAM Memóriaassociativafuzzy

AMM Memóriamorfológicaauto-associativa

HMM Memóriamorfológicaheteroassociativa

IFAM Memóriaassociativafuzzy implicativa

GFAM Memóriaassociativafuzzy generalizada

KS-FAM Memóriaassociativafuzzy baseada namedidade subsethoodde

Kosko

DAM Memória associativa dinâmica

BAM Memória associativa bidirecional

KAM Kernelassociative memory

BSB Brain-state-in-a-box

OLAM Memória associativa linearóptima

FLN Neurocomputaçãoem reticuladosfuzzy

FLNN Fuzzy lattice neural network

FLR Fuzzy lattice reasoning

1 Introdução 1

2 Fundamentos teóricos das redes neurais morfológicas 5

2.1 Estrutura de reticulados completos namorfologiamatemática . . 7

2.2 Motivação e conceitos básicos damorfologiamatemática . . . 18

2.3 Conceitos básicos damorfologia matemáticafuzzy . . . 20

3 Memórias associativas morfológicas 25 3.1 Modelos clássicosde memórias associativasmorfológicas. . . 26

3.2 Memórias associativas morfológicasfuzzy . . . 28

3.3 FAM baseada na medidade subsethood de Kosko (KS-FAM) . . . 31

3.3.1 Medida de subsethood de Kosko . . . 31

3.3.2 FAM baseada na medida de subsethood de Kosko para o caso binário . . . 34

3.3.3 KS-FAM: Denição e propriedades . . . 35

3.4 Experimentoscom KS-FAM . . . 41

3.4.1 Imagens binárias . . . 42

3.4.2 Imagens em tons de cinza . . . 43

3.4.2.1 Experimentosusando padrõesincompletos . . . . 45

3.4.2.2 Variaçõesde claridade eorientação . . . 46

3.4.2.3 Padrões ruidosos . . . 48

4 Redes neurais morfológicas construtivas 53 4.1 Neurocomputação emreticulados fuzzy . . . 53

4.2 Perceptron morfológico . . . 57

4.3 Perceptron morfológicocom aprendizagem competitiva (MP/CL) 60 4.3.1 AlgoritmodoMP/CLparaproblemasdeclassicaçãobinários 63 4.3.2 Propriedades do algoritmo do MP/CL para problemas de classicação binários . . . 67

4.3.3 AlgoritmodoMP/CL para problemas de classicação com

múltiplas classes . . . 81

4.4 Experimentos com redes neuraismorfológicasconstrutivas . . . . 82

4.4.1 Problemasintético de Ripley. . . 85

4.4.2 Problemade segmentação de imagem . . . 87

4.4.3 Problemade classicaçãode ores íris . . . 88

4.4.4 Problemade câncerde mama de Wisconsin . . . 90

Introdução

Redes neurais morfológicas (MNNs) surgiram da fusão de idéias da

mor-fologia matemática e redes neurais articiais. Vários modelos particulares de

MNNs e seus respectivos algoritmos de treinamentos foram propostos nos

últi-mos anos, incluindo os perceptrons morfológicos (MPs) [72, 83], o perceptron

morfológico com dendritos (MPDs) [74], as memórias associativas morfológicas

(fuzzy) [92, 93, 95, 99], as redes neurais morfológicas modulares [1] e as redes

neurais de pesos compartilhados e regularizadas [37, 45]. Os modelos de

neuro-computação fuzzy desenvolvidos por Kaburlasos, Petridis et al.,tambémpodem

ser classicados como redes neurais morfológicas, mesmo tendo sido baseados e

inspirados emoutrasidéias,taiscomoasprovindasdos modelosART[11,12,13].

Redes neurais híbridasmorphological-rank-linear e morfológicastêm sido

apli-cadas comsucessoemuma variedadede problemas,taiscomoreconhecimentode

padrão [40, 42, 43, 46, 63], previsão de séries temporais [2, 44, 95], detecção de

alvos[46],reconhecimentodecaracteres[62],auto-localizaçãoeanálisedeimagem

hiperespectral [30, 66].

O perceptron morfológico está entre os primeiros modelos de redes neurais

morfológicas que apareceram na literatura[69, 72, 83]. Este modelo foi baseado

naálgebraminimax,quecorrespondeaumaálgebradereticulado originadapara

problemas em escalonamento de máquinas e pesquisa operacional[4, 14, 19]. A

álgebra minimax possui algumas semelhanças com a álgebra linear, por

exem-plo, ela dispõe de produtos de matrizes e lida com estruturas matemáticas que

ca-mada de uma rede neural tradicional poderem ser expressos como um produto

matriz-vetor,seguidodaaplicaçãode umafunçãodeativaçãonãolinear,inspirou

pesquisadores a desenvolver MNNs substituindo os produtos matriciais

conven-cionais pelos denidos na álgebra minimax [21, 28, 29]. J.D. Davidson mostrou

que a teoria da morfologia matemática clássica pode ser encaixada na álgebra

minimax, por meio de um isomorsmo que mapeia certos produtos matriciais

em operações elementares da morfologia matemática [20]. Dessa maneira, para

este tipode rede, aálgebraminimaxtem concedido aospesquisadores um acesso

fácilaoproblema dedenirpesos que,geralmente,naterminologiadamorfologia

matemática,correspondema certos elementos estruturantes.

A morfologia matemática (MM),por sua vez, éuma teoria que usa conceitos

das teorias de conjuntos, geometria e topologia para análise de estruturas

ge-ométricas em objetos [36, 58, 76, 77] e tem sido utilizada em várias áreas, tais

como processamento de imagens, reconhecimentos de padrões e visão

computa-cional [9, 32, 33, 47, 64, 78, 79]. Inicialmente, essa teoria surgiu para

processa-mentode imagensbinárias[58,76]e,subsequentemente, váriasabordagensforam

propostasparageneralizá-laparaimagensemtonsde cinza,taiscomoas

aborda-gensaumbra[76,80]emorfologiamatemáticafuzzy[23,60]. Estáúltima,consiste

de uma abordagemà MM apartir dateoria de conjuntosfuzzy [23, 60,96,101].

Em geral, a estrutura de reticulados completo é a estrutura amplamente aceita

para seconduzir àMM [36, 75].

A MM contempla quatro operadores elementares: erosão, dilatação,

anti-erosão eanti-dilatação. Posto isto, uma rede neuralmorfológicaé denida, mais

precisamente, como sendoumarede neuralarticialcujosnós executamumadas

quatro operaçõeselementares daMM, possivelmente seguidosde uma função de

ativação [99].

Uma classe de MNNs de especial importânciapara este trabalho é

constitu-ido pelas redes neurais morfológicas fuzzy (FMNNs), que consistem em MNNs

baseadas namorfologiamatemáticafuzzy. Aprimeiraclassegeralde MNN fuzzy

quesurgiunaliteraturacorrespondeàsmemóriasassociativasmorfológicasfuzzy

(FMAMs) [99]. Em termos gerais, uma memória associativa é um modelo

pro-jetado para armazenar pares de entradas e saídas, que adionalmente exibe uma

certa tolerância a entradas distorcidas ou incompletas [34, 49]. No nosso

Nesta tese, abordamos dois novos modelos de redes neurais morfológicas. O

primeiro consiste em uma memória associativa fuzzy denominada KS-FAM. O

segundo representa uma versão do perceptron morfológico para problemas de

classicaçãodemúltiplasclasses,denominadaperceptronmorfológicocom

apren-dizagem competitiva (MP/CL). O último modelo pertence a uma subclasse das

MNNs denominada redesneurais morfológicasconstrutivas, cujonome vemdo

fatodeque,duranteafasedeaprendizagem,osalgoritmosdetreinamentosdessas

redes constroeme ajustam automaticamentesua arquitetura para lidar com um

determinado problema.

Tanto para KS-FAM quanto para o MP/CL, investigamos e demonstramos

várias propriedades, porexemplo,mostramos que oalgoritmode treinamentodo

MP/CLindependedaordemcomqueospadrõesdetreinamentosãoapresentados

à rede. Adicionalmente, comparamos os desempenhos destes modelos com os de

outros modelossimilaresemumasérie de experimentos. Como frutodapesquisa

desenvolvidas sobreosdois modelos, oautoreseu orientador,emconjunto,

pub-licaram dois artigos em anais de conferência [89, 87] eum capítulode livro [88].

Além disso, eles também tiveram um artigo aceito para publicação em um

re-vista internacional com árbitro [91], e mais dois artigo aceitos para publicação

em proceedings de dois congressos internacionais[25, 90].

Esta tese é organizada emcinco capítulos.

NoCapítulo2, apresentaremos todos osconceitos matemáticos fundamentais

das redes neurais morfológicas que serão abordadas no decorrer deste trabalho.

Nele, distinguiremos entre as abordagens à morfologia matemática no sentido

algébrico (Seção 2.1) e no sentido intuitivo (Seção 2.2). Adicionalmente,

indi-caremos osconceitos básicosda abordagemfuzzy àMM na Seção 2.3.

No Capítulo 3, abordaremos a classe das memórias associativas

morfológi-cas. Inicialmente apresentando os primeiros modelos de MAMs que surgiram

na literatura e, em seguida, abordando a classe das memóriasassociativas

mor-fológicas fuzzy, onde foi revista uma estratégia geral para treinamentode certas

FMAMs, baseadanarelaçãodeadjunçãoentreoperadoresdaMMsobreestrutura

de reticulados completos. Na terceira seção, introduziremos o modelo KS-FAM,

demonstrando algumas das suas propriedades. Por m, encerraremos este

capí-tulo comparando a KS-FAM com outros modelos de memórias associativas em

KS-FAM com respeito à entradas incompletas e presença de ruídos.

NoCapítulo4,trataremosde maneirageraldosmodelosderedesneurais

mor-fológicasconstrutivas,taiscomoosmodelosFLNs deKaburlasos etal. Contudo,

uma atençãoespecial será dada aomodeloMP/CL eseu respectivoalgoritmode

treinamento,pois,boapartedotexto destecapítuloserá dedicadoàinvestigação

edemonstraçãodeváriaspropriedadesexibidaspeloalgoritmodetreinamentodo

MP/CL. Também vamos conduzir testes e comparações quanto ao desempenho

doMP/CL emquatro problemas bem conhecidosde classicação, disponíveisna

internet, com vários classicadores, incluindoo tradicional perceptron de

múlti-plascamadas(MLP),árvorededecisão,

k

vizinhosmaispróximos(

k

NN)eoutros

classicadores morfológicos.

Por último, no Capítulo 5, apresentaremos as conclusões e as considerações

Fundamentos teóricos das redes

neurais morfológicas

Asredesneuraismorfológicas(MNNs)constituemumaclassede redesneurais

articiais (ANNs), cujo elemento de processamento (ou neurônio) executa uma

operaçãoelementar da morfologia matemática (erosão, dilatação,anti-erosãoou

anti-dilatação) seguida, possivelmente, de uma função de ativação[97].

Osfundamentosmatemáticosdasredesneuraismorfológicaspodemser

encon-tradosnateoriadamorfologiamatemática(MM)juntoàestruturadereticulados

completos[70,71]. Asprimeirasredesneuraismorfológicas,comoasmemórias

as-sociativasmorfológicas(MAMs)eoperceptronmorfológico(MP),foramdenidas

poroperadores de uma sub-álgebra daálgebra de imagens, especicamente a

ál-gebra minimax, que consiste em um caso particular da morfologia matemática

[20, 21,73]. Entretanto,a partirdacaracterizaçãoalgébricados operados

funda-mentais da MM, foi vericado que cada unidade de processamento dessas redes

executavam operações daMM.

A morfologia matemática surgiu inicialmente com a morfologia matemática

binária, comouma ferramenta paraa análisede imagensbinárias [56,57, 58,76,

77]. Posteriormente, várias abordagens estenderam ateoria inicial para imagens

em tons de cinza [36, 76, 81, 75].

Ateoriadamorfologiamatemáticaincluidoisoperadoresbásicos: aerosãoea

dilatação. Estesoperadoressãodenidosemtermosdeumelementoestruturante.

numa imagem dada nos pontos do domínio, enquanto, uma dilatação calcula o

graude intersecçãodoelementoestruturantereetidopelaorigemcomaimagem

dada em cada ponto do domínio. Além da erosão e da dilatação, há ainda dois

outros operadores elementares, a anti-dilataçãoe aanti-erosão, quesão

produzi-dos pela combinação de um conceito de negação com a erosão ou dilatação. A

Figura2.1 exibeexemplosde umaerosãoeuma dilataçãode imagembináriapor

um elemento estruturante dado por um disco bináriode raio igual a

5

.

Similar-mente,aFigura2.2exibeexemplosdeumaerosãofuzzyeumadilataçãofuzzyde

uma imagem fuzzy, i.e., um conjunto fuzzy que identica uma imagem em tons

de cinza.

a) Imagem original (129x125)

b) Elemento estruturante (21x21)

c) Imagem erodida (129x125)

d) Imagem dilatada (256x256)

Figura2.1:

(

a

)

Imagem originalbinária,

(

b

)

Elementoestruturantedadopor umdisco comraio

5

,

(

c

)

Imagemoriginalerodidapeloelementoestruturante,

(

d

)

Imagemoriginal dilatadapeloelemento estruturante.

a) Imagem original (256x256)

b) Elemento estruturante (21x21)

c) Imagem erodida (256x256)

d) Imagem dilatada (256x256)

Figura 2.2:

(

a

)

Imagem original fuzzy,

(

b

)

Elemento de estruturação dado por uma bola de raio

3

,

(

c

)

Imagem original erodida pelo elemento estruturante,

(

d

)

Imagem original dilatada peloelemento estruturante.

acterizados, equivalentemente, atravésde um sentido algébricobaseado nateoria

de reticulados. Na Seção 2.1 será apresentada a generalização da morfologia

matemática em estrutura de reticulados completos a partir das propriedades

al-gébricas de seus operadores.

2.1 Estrutura de reticulados completos na

mor-fologia matemática

daforma mais geral daMM podemser encontradas nesta teoria [36, 75,77].

Um conjunto parcialmente ordenado

L

(poset) é um conjunto tal que, uma

relação binária reexiva, antisimétricae transitiva 

≤

 é denida. Se para todo

x, y

∈ L

tem-se

x

≤ y

ou

y

≤ x

então

L

é dito uma corrente. Neste trabalho, vamos supor, para simplicar,que um poset não évazio [31].

Umconjuntoparcialmenteordenado

L

édenominadoreticulado se, esomente

se, todo subconjunto nito e não vazio de

L

possuir ínmo e supremo em

L

[7, 55]. O ínmo do subconjunto

Y

⊆ L

é denotado pelo símbolo

V Y

ou,

al-ternativamente, por

V

j∈J

y

j

para

Y = {y

j

: j

∈ J}

e

J

um conjunto de índices.

Similarmente,osupremo dosubconjunto

Y

⊆ L

édenotado pelosímbolo

W Y

ou,

alternativamente, por

W

j∈J

y

j

para

Y = {y

j

: j

∈ J}

e

J

um conjunto de índices.

Um reticulado limitado

L

possui um elemento mínimo denotado por

0

L

(ou alternativamente por

−∞

) e um elemento máximo por

1

L

(ou alternativamente por

+∞

). Emum reticulado limitadodenimos

V ∅ = 1

L

e

W ∅ = 0

L

. Note que todo reticulado

L

pode ser convertido em um reticulado limitado

¯

L

pela adição de um elementomínimo

0

L

e um elemento de máximo

1

L

.

Oconjunto

L

éditoreticuladocompletosetodosubconjunto(nitoouinnito)

de

L

possui umínmoeumsupremo em

L

,ointervalo

[0, 1]

eoconjunto

R

±∞

=

R

_{∪ {+∞, −∞}}

representam exemplos de reticulado completo [7, 55]. Note que

todoreticulado completo

L

é limitado. Se um reticulado

L

possui a propriedade

de que todo subconjunto não vazio e limitado possui um ínmo e um supremo

em

L

, então

L

é condicionalmente completo. Por exemplo, o conjunto dos reais

R

é condicionalmentecompleto, mas o conjunto dos números racionais

Q

não é condicionalmentecompleto.

Lema 1. Seja

L

um reticulado condicionalmente completo, Se

L

for limitado,

então

L

é um reticulado completo.

Demonstração. Seja

Y

⊆ L

talque

Y

6= ∅

. Temosque

Y

élimitadopois

0

L

≤ y ≤

1

L

para todo

y

∈ Y

. Como

L

é condicionalmente completo, temos que existem

V Y ∈ L

e

W Y ∈ L

. Logo,

L

éreticulado completo

Sejam

L

1

, . . . , L

n

reticulados,então,umaordemparcialsobre

L

= L

1

×. . .×L

n

pode ser denida de acordo com aEq. 2.1.

Oposet

L

resultanteétambémum reticulado eé chamadode um produto de

reticulados com constituintes

L

1

, . . . , L

n

. O símbolo

L

n

éutilizado paradenotar

o produto de

n

cópias de

L

. Além disso, se

L

i

é reticulado completo para

i =

1, . . . , n

, então

L

herda apropriedade de completudese asseguintes regras para

qualquer conjunto de índice

J

foremconsideradas:

^

j∈J

x

j

=

^

j∈J

(x

j

₁

, . . . x

j

_n

) = (

^

j∈J

x

j

₁

, . . . ,

^

j∈J

x

j

_n

) ,

(2.2)

_

j∈J

x

j

=

_

j∈J

(x

j

1

, . . . x

j

n

) = (

_

j∈J

x

j

₁

, . . . ,

_

j∈J

x

j

_n

) .

(2.3)

Para

a

e

b

pertencentesaumreticulado

L

,ointervalo

[a, b]

denotaoconjunto

{x

∈ L : a ≤ x ≤ b}

correspondente à hipercaixa com vértice inferior

a

evértice

superior

b

. Note que, se

a > b

, então o conjunto

[a, b] =

∅

. Para

X

⊆ L

,

a notação box

(X)

é utilizada para denotar o menor intervalo ou hipercaixa que

contém

X

. Se

X =

∅

, então, box

(X) =

∅

, caso contrário, box

(X)

é dado por

[V X, W X]

. Se

H(L)

denota o conjunto de todas as hipercaixas no reticulado

completo

L

, então,

H(L)

formaum reticulado completo com arelação de ordem

parcialdadapor

⊆

, ondeomaior eomenorelementosão

∅

e

L

, respectivamente.

Oconjunto

τ(L) = {(a, b); a, b

∈ L}

com a ordem parcialdada por

(a, b)

≤

(c, d) ⇔ c ≤

L

a

e

b

≤

L

d

, onde

≤

L

denota a ordem parcial do reticulado

L

, também representa um reticulado. Além disso, se

L

é completo, então

τ(L)

herda apropriedadedecompletudede

L

. Oselementosde

τ(L)

são chamadosde

intervalos generalizados. Aqui, preferimos denotar por

(a, b)

ao invés de

[a, b]

para distinguir das hipercaixas, porém, note que se

(a, b)

∈ τ(L)

for tal que

a

≤ b

, então, podemos identicar

(a, b)

com uma única hipercaixa

[a, b]

6= ∅

. Oconjuntodas funçõesde um conjunto

U

em

[0, 1]

,denotado por

[0, 1]

U

(ou

alternativamente por

F(U)

), herda a estrutura de reticulado completo de

[0, 1]

em termos daseguinte ordemparcial: Para todo

a, b

∈ [0, 1]

U

,temos que

a

_{≤ b ⇔ a(u) ≤ b(u)}

,

∀u ∈ U.

(2.4)

Sejam

L

e

M

reticulados, uma função

ϕ : L → M

, que satisfaz às seguintes

ϕ(x ∨ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y)

e

ϕ(x ∧ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y) .

(2.5) Umhomomorsmodereticuladobijetivoéditoumisomorsmodereticulado.

Equivalentemente, a função

ϕ : L → M

é um isomorsmo de reticulado se

ϕ

é

bijetiva e isótona, isto é,

ϕ(x)

≤ ϕ(y)

para todo

x

≤ y

. No caso especial onde

L

= M

, temos um automorsmo de reticulado.

A função

ν : L → L

é chamada de um automorsmo dual se ela inverte

a ordem parcial. Em particular, um automorsmo dual involutivo

ν : L → L

representa uma negação em

L

. Em outras palavras, uma negação em

L

é uma

bijeção involutiva que inverte a ordem parcial de

L

[36]. Por exemplo,

N

S

(x) =

1 − x

éuma negação noreticulado completo

[0, 1]

.

No contexto da MM, uma erosão (algébrica) é um mapeamento

ε

de um

reticuladocompleto

L

paraumreticuladocompleto

M

quecomutacomooperador

ínmo. Em outraspalavras, um operador

ε

representa uma erosão se, e somente

se, a seguinte igualdade valer para todo subconjunto

Y

⊆ L

:

ε(

^

Y) =

^

y∈Y

ε(y)

(2.6)

Similarmente, um operador

δ : L → M

representa uma dilatação (algébrica)

se, e somente se, para todosubconjunto

Y

⊆ L

valer a seguinte igualdade:

δ(

_

Y) =

_

y∈Y

δ(y)

(2.7)

Um operador

¯

ε : L → M

é uma anti-erosão (algébrica) e um operador

¯

δ :

L → M

é umaanti-dilatação (algébrica)se, e somentese, paratodosubconjunto

Y

⊆ L

valer a Eq. 2.8e Eq. 2.9, respectivamente [99].

¯

ε(

^

Y) =

_

y∈Y

¯

ε(y)

(2.8)

¯

δ(

_

Y) =

^

y∈Y

¯

δ(y)

(2.9)

Algunspesquisadoresadicionamosuxoalgébrico aosnomesdosoperadores

daquelas baseadas em medidas de inclusão e intersecção, como na MM binária

[8].

O próximo lema indica que certas composições de operações elementares da

MM também representam operações morfológicas elementares. A prova deste

lema ébastanteóbviaeseguediretamenteaaplicaçãodas propriedadealgébricas

dos respectivos operadores elementares, talcomo foramdenidas acima.

Lema 2. Sejam

ε, δ, ¯

ε, ¯

δ

respectivamente uma erosão, uma dilatação, uma

anti-erosão e uma anti-dilatação de um reticulado completo

L

para um reticulado

completo

M

. Dado umoperador

f : M → K

onde

K

éum reticulado completo, as

seguintes armações são verdadeiras:

1. Se

f

é uma erosão, então,

f

◦ ε

é uma erosão e

f

◦ ¯δ

é uma anti-dilatação.

2. Se

f

éuma dilatação,então,

f

◦ δ

é umadilataçãoe

f

◦ ¯ε

éuma anti-erosão.

BanoneBarreramostraramumresultadoimportanteparaaMM,queconsiste

em quetodomapeamento

Ψ

entrereticuladoscompletos

L

e

M

podeser expresso

em termos de supremos e ínmos das quatro operações básicas da morfologia

matemática [5]. Precisamente, todo mapeamento

Ψ : L → M

pode ser expresso

como um supremo de pares de ínmos entre erosões e anti-dilatações, isto é,

existem erosões

ε

i

e anti-dilatações

¯

δ

i

para algum conjunto de índices

I

talque

Ψ =

_

i∈I

ε

i

∧ ¯

δ

i

(2.10)

Alternativamente,

Ψ : L → M

pode ser expresso como um ínmo de pares

de supremosentre dilataçõeseanti-erosões, econsequentementeumaversãodual

da Eq. 2.10 pode ser obtida. Está decomposição está de acordo com o modelo

de processamento de várias redes neurais morfológicas importantes, tais como

o perceptron morfológico e o MP/CL (que serão abordadas no Capítulo 4) [18,

19, 88]. A prova daEquação 2.10 é construtivae requer somente a estrutura de

reticulado completo de

L

e

M

[5].

A MM pode agregar duas importantes noções de dualidade: negação e

Teorema 1. Sejam

L

e

M

reticulados completos com negações

ν

L

e

ν

M

, respec-tivamente. 1. Um operador

¯

δ : L → M

é uma anti-dilatação

⇔ ¯δ = ε ◦ ν

L

e

¯

δ = ν

M

◦ δ

,

onde

δ

é uma dilataçãoe

ε

é uma erosão.

2. Um operador

¯

ε : M → L

é umaanti-erosão

⇔ ¯ε = δ ◦ ν

M

e

¯

ε = ν

L

◦ ε

, onde

ε

é uma erosão e

δ

é uma dilatação.

Sejam o mapeamento

Ψ : L → M

,e

ν

L

,

ν

M

negaçõesnos respectivos reticula-dos completos

L

e

M

. O operador

Ψ

ν

, chamadonegação de

Ψ

,é dado por:

Ψ

ν

(x) = ν

M

(Ψ(ν

L

(x)))

∀x ∈ L

(2.11)

Os operadores de erosão e dilatação podem ser ligados pelo conceito de

ne-gação, conformea proposição a seguir [36].

Proposição 1. A negação de uma erosão é uma dilatação, e vice-versa.

A seguir, será apresentada a noção de dualidade com respeito a adjunção.

Considere dois operadores arbitrários

δ : L → M

e

ε : M → L

. Dizemos que o

par

(ε, δ)

éuma adjunção se, e somente se, a seguinte expressão valer:

δ(x)

_{≤ y ⇔ x ≤ ε(y) ∀x ∈ L, y ∈ M}

(2.12)

Note que uma consequência direta da Preposição 1 é que, se o par

(ε, δ)

representauma adjunção, então, o par

(δ

ν

_{, ε}

ν

₎

também formauma adjunção.

A próxima proposição garante que existe uma única erosão que pode ser

as-sociada com uma certa dilatação,e vice-versa, emtermos adjunção [77, 36].

Proposição 2. Sejam

L

e

M

reticulados completos. Considere os mapeamentos

δ : L → M

e

ε : M → L

.

1. Se

(ε, δ)

é uma adjunção, então,

δ

é uma dilataçãoe

ε

é uma erosão.

2. Para uma dilatação

δ

existe uma única erosão

ε

tal que

(ε, δ)

é uma

ad-junção, e a erosão adjunta é dada por

3. Para uma erosão

ε

existe uma única dilatação

δ

tal que

(ε, δ)

é uma

ad-junção, e a dilatação adjunta é dada por

δ(x) =

^

{y

∈ M : ε(y) ≥ x}, ∀x ∈ L

(2.14)

Asoperaçõeselementaresda morfologiamatemática,de fato,podem ser

pro-duzidas em um reticulado se uma certa operação adicionalestiverdenida além

das operaçõesde ínmoesupremo. Se

L

éum reticuladoarbitrário,dizemosque

L

é um reticulado com ordem de grupo ou um

l

-grupo [7] se

L

também forma um grupocomuma certaoperação

+

 (geralmente, anotaçãode adiçãoéusada

para notações de grupo) ese toda translação de grupo é isótona, i.e., a seguinte

condição ésatisfeita para todo

x, y

∈ L

tal que

x

≤ y

:

a + x + b

≤ a + y + b ∀ a, b ∈ L .

(2.15)

Seum

l

-grupo

L

tambémforumreticuladocondicionalmentecompleto,então

dizemos que

L

é um

l

-grupo condicionalmentecompleto.

Demaneiramaisgeral,umgrupo parcialmenteordenadoéumgrupoque

tam-bémconstitui um conjunto parcialmenteordenado e satisfaz a Equação 2.15. O

único grupo parcialmente ordenado limitado, i.e., equipado com fronteiras

uni-versais é o grupo trivial

{0}

, onde

0

denota o elementro neutro com respeito a

adição. Portanto, o grupo trivial

{0}

é também o único reticulado com ordem

de grupo que representa um reticulado limitado [7]. Todavia, R.

Cuninghame-Greenconsidera, nateoriamatemáticadaálgebraminimax,estruturasalgébricas

denominadas bounded lattice ordered groups (ou blogs), que são dadas por um

reticulado limitado

G

cujo conjunto dos elementos nitos

F

= G \ {+∞, −∞}

forma um

l

-grupo (lembre que

−∞ =

V G

e

+∞ =

W G

representam,

respec-tivamente, o menor e maior elemento de

G

). Contudo, o nome

blog

sugere a

existência de estruturas de gruposem reticulados limitados diferente de

{0}

, por

isso, neste trabalho, preferimos chamar essa estrutura de extensão de reticulado

limitado com ordemde grupo (ouextensão de

l

-grupo)aoinvésde blog. No caso

especial onde aextensão de

l

-grupo

G

é um reticulado completo nos referimosa

G

como extensão de

l

-grupo completo.

Para que uma extensão de

l

-grupo

G

seja consistente, é necessário que o

estamos interessados apenas em

G

diferente do grupo trivial

{0}

. Como toda

translação de grupo é um automorsmo de reticulado e para todo

x

∈ F

tem-se

−∞ ≤ x ≤ +∞

, as seguintes denições são utilizadas para manter a isotonia,

i.e., preservação da ordem:

a + (+∞) = +∞ + a = +∞ , ∀a ∈ F ∪ {+∞} ,

(2.16)

a + (−∞) = −∞ + a = −∞ , ∀a ∈ F ∪ {−∞} .

(2.17)

Ainda falta denir 

+

 em

{

(+∞, −∞), (−∞, +∞)}

. Para isto, existem duas

boasopções:

(−∞)+(+∞) = (+∞)+(−∞) = +∞

queécoerentecomaEquação

2.16 e

(−∞) + (+∞) = (+∞) + (−∞) = −∞

que é coerente com a Equação

2.17. Posto isto, uma nova operação binária

+

0

que coincide com a operação

+

em

G

×G\{(+∞, −∞), (−∞, +∞)}

podeser denidaesuasdiferençassão dadas

pelas seguintes regras:

(−∞) + (+∞) = (+∞) + (−∞) = −∞ ,

(2.18)

(−∞) +

0

(+∞) = (+∞) +

0

(−∞) = +∞ .

(2.19)

Observeque

(G, +)

e

(G, +

0

₎

não formamgruposjá quenem

−∞

enem

+∞

possuem inverso aditivo.

Dessa maneira, uma extensão de

l

-grupo pode ser denotada pelo sistema

(G, ∨, ∧, +, +

0

₎

(denotaremos por apenas

G

quando não houver ambiguidade

sobre osoperadores). Nocaso especial onde

G

é extensão de

l

-grupo (completo)

etambémumacorrente,nosreferiremosà

G

comoextensãode

l

-grupo(completo)

totalmente ordenado. Exemplos de extensões de

l

-grupos completos totalmente

ordenadossão

(R

±∞

, ∨, ∧, +, +

0

₎

e

(Z

±∞

, ∨, ∧, +, +

0

₎

onde

+, +

0

coincidemcom

a operação usual de adição em

R

, e

(R

≥0

+∞

, ∨, ∧,

·, ·

0

)

onde

·

e

·

0

correspondem a

multiplicação usual nos números reais positivos. Note que

(Q

±∞

, ∨, ∧, +, +

0

₎

representauma extensãode

l

-grupo totalmenteordenadomas não uma extensão

de

l

-grupocompletototalmenteordenado, poisque

Q

não éreticuladocompleto.

Por m, observe que as operações

∨, ∧, +, +

0

denidas em

G

podem ser

es-tendidas para

G

n

, onde

n > 1

, tomandocoordenada a coordenada.

Alémdisso, oLema1porserutilizadoparaproduzirumaextensãode

l

-grupo

particular, seja

¯

R

n

_{= R}

n

_{∪ {+∞, −∞}}

e

+, +

0

denidasforade

R

n

_{× R}

n

comonas Equações 2.16,2.17, 2.18 e2.19,o sistema

( ¯

R

n

_{, ∨, ∧, +, +}

0

₎

formauma extensão

de

l

-grupocompleto quenão é umacorrentequando

n > 1

. De maneiraanaloga

obtemos a extensãode

l

-grupocompleto

(Z

n

_{∪ {+∞, −∞}, ∨, ∧, +, +}

0

₎

.

A existênciado inverso aditivoem um estrutura de

l

-grupo permite deniro

conceitode elementoconjugadoemumaextensãode

l

-grupo[18,19]. Seja

G

uma

extensão de

l

-grupo. Na álgebra minimax o conjugadode um elemento

x

∈ G

é

denotado por

x

∗

eé denido por:

x

∗

=











−x

se

x

∈ G \ {+∞, −∞}

(inverso aditivo)

−∞

se

x = +∞

+∞

se

x = −∞

(2.20)

Note que o mapeamento

ν

∗

: G → G

, dado por

ν

∗

(x) = x

∗

representa uma

negação no reticulado

G

. Uma matriz

A

∈ G

m×n

corresponde a uma matriz

cojungada

A

∗

_{∈ G}

n×m

,ondecadacomponente

[a

∗

ij

]

de

A

∗

édadapor

[a

∗

ij

] = [a

ji

]

∗

.

Obviamente, segue que

(A

∗

₎

∗

_{= A}

.

Aoperaçãode máximoemínimo,deduasmatrizesde dimensõescompatíveis,

é executada em cada componente, por exemplo,

C = A ∨ B

é dada por

[c

ij

] =

[a

ij

∨ b

ij

]

, para

A, B

∈ G

m×n

.

Osmodelosde redes neuraismorfológicas,discutidosneste trabalho, utilizam

dois tiposde produtos de matrizes. Sejam asmatrizes

A

e

B

com entradasem

G

de dimensões, respectivamente,

m

× p

e

p

× n

, a matriz

C = A ∨



B

é oproduto

max de

A

e

B

e a matriz

D = A ∧



B

é o produto min de

A

e

B

, e são denidas

pelas seguintes equações:

c

ij

=

p

_

k=1

(a

ik

+ b

kj

)

(2.21)

d

ij

=

p

^

k=1

(a

ik

+

0

b

kj

).

(2.22)

A partir das denições anteriores, uma elegante relação de dualidade entre

operações de matrizes[18,19] édada por

(A ∧ B)

∗

= A

∗

∨ B

∗

e

(A ∧



C)

∗

_{= C}

∗

_∨



A

∗

(2.23) para

A, B

∈ G

m×n

e

C

∈ G

n×p

.

O lema enunciado a seguir é útil para demonstrar que, de fato, erosões e

di-lataçõespodemserobtidasatravés, respectivamente,de produtosmineprodutos

max. Lembre que, em uma extensão de

l

-grupo, os operadores

+

e

+

0

possuem

prioridade emrelaçãoasoperaçõesde

∨

e

∧

doreticulado. Entretanto, ouso de

parênteses pode serutilizadoparaalterarosignicadodaexpressão, porexemplo

(x ∨ y) + z

.

Lema 3. [91] Sejam

G

uma extensão de

l

-grupo completo e

J

um conjunto

arbi-trário de índices. As seguintes igualdades valem para todo

w, x

j

_{∈ G}

onde

j

∈ J

:

w +

0

(

^

j∈J

x

j

) =

^

j∈J

w +

0

x

j

,

(2.24)

w + (

_

j∈J

x

j

) =

_

j∈J

w + x

j

.

(2.25)

Teorema2. [91]Seja

G

umaextensãode

l

-grupocompleto. Considereosseguintes

operadores

ε

A

, δ

A

: G

n

→ G

m

para

A

∈ G

n×m

:

ε

A

(x) = A

t



∧

x ,

(2.26)

δ

A

(x) = A

t



∨

x .

(2.27)

Temosque

ε

A

representa uma erosão e

δ

A

representa uma dilataçãodo retic-ulado completo

G

n

para o reticulado completo

G

m

.

Os operadores

ε

A

e

δ

A

são utilizados por vários modelos de redes neurais morfológicas, tais como o perceptron morfológico [72] e as memórias

associati-vas morfológicas [73]. O próximo teorema mostra como vericar a relação de

ordem entre dois elementos de uma extensão de

l

-grupo, através de operações

morfológicoselementares baseadas emproduto minouproduto max.

Teorema 3. Sejam

G

uma extensão de

l

-grupo e

x, a, b

∈ G

n

. As seguintes

armações são válidas:

1. A desigualdade

a

≤ x

valese, e somente se,

ε

v

(x)

≥ 0

,onde

v = a

∗

, ou se

¯

ε

w

(x)

≤ 0

, onde

w = a

.

2. A desigualdade

x

≤ b

valese, e somente se,

δ

v

(x)

≤ 0

, onde

v = b

∗

, ou se

¯

O Teorema3 implica que oselementosde uma hipercaixa

[a, b] = {x

∈ G

n

_:

a

≤ x ≤ b}

podem ser determinadospela vericação daseguinte igualdade

ε

a

∗

(x) ∧ ¯

δ

_b

(x)

≥ 0.

(2.28)

Em especial, esse fato é usado na estratégia de classicação de algumas redes

neurais morfológicas, tal como o perceptron morfológico. A Figura 2.3 provê

uma ilustração desta situação para a hipercaixa

[a = 1, b = 9]

na extensão de

l

-grupo

R

±∞

.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

a

b

δ

w

(x)

ε

_v

(x)

_

Figura 2.3: Exemplo de uma erosão

ε

v

e uma anti-dilatação

¯

δ

w

na extensão de

l

-grupo

¯

R

, onde

v = −a

e

w = b

para

a, b

∈ R

.

Nesta seçãoapresentamos acaracterizaçãodaMM sobreaestrutura de

retic-ulados completos numa forma algébrica. Contudo, o desenvolvimento inicial da

MM, especicamente aMM binária,não foimotivada poresse sentido algébrico,

2.2 Motivação e conceitos básicos da morfologia

matemática

A morfologia matemática binária compreende dois operadores fundamentais, a

erosão e a dilatação, que podem ser descritos, respectivamente, em termos de

inclusões eintersecções entre conjuntos[56, 57, 58,76,77]. A seguir, serão

apre-sentadas as denições básicas da MM binária junto a alguns exemplos e a uma

análise intuitivadas operaçõesde erosãoe dilatação.

Seja

X

o símbolo que denota o espaço euclidiano

R

d

ou o espaço digital

Z

d

(onde

d

éum inteiropositivo),então umaimagembinária

A

éidenticada como

um subconjunto de

X

, isto é,

A

⊆ X

. As operações de erosão binária

E

B

e a dilatação binária

D

B

são associadas a um subconjunto

S

de

X

chamado de elemento estruturante (SE). Note que o elemento estruturante pode ser visto

como uma imagemde acordocom a denição anterior.

Sejamatranslaçãodeumaimagem

A

⊆ X

por

x

∈ X

denotadapor

A

x

edada

por

A

x

= {a + x : a

∈ A}

, e areexão de

A

emtorno daorigem é denotada por

¯

A

edada por

¯

A = {−a

∈ X : a ∈ A}

. A erosão

E

B

(A, S)

e adilatação

D

B

(A, S)

de uma imagem binária

A

por um elemento estruturante

S

, são denidas pelas

Equações2.29 e2.30 quecorrespondem, respectivamente, àsubtração e àadição

de Minkowski [77, 76].

E

B

(A, S) = {x

∈ X : S

x

⊆ A} =

\

s∈¯

S

A

s

(2.29)

D

B

(A, S) =



x

∈ X : ¯

S

x

∩ A 6= 

=

[

s∈S

A

s

=

[

a∈A

S

a

(2.30)

No sentido intuitivo, uma erosão (Eq. 2.29) calcula em quais pontos

x

do

espaço

X

um elementoestruturante

S

está incluso emuma imagem

A

,enquanto

uma dilatação(Eq. 2.30) mede quais pontos o elementoestruturantereetido

¯

S

seinterseptacomaimagem

A

. AsFiguras2.4e2.5,ilustramaoperaçãodeerosão

edilataçãode umaimagem

A

porum elementoestruturante

S

,respectivamente.

Note que, para um elemento estruturante

S

xo, as Equações 2.4 e 2.5

tam-bémsatisfazem,respectivamente, àsdeniçõesde erosãoalgébricae dilatação

al-gébrica,pois,osoperadores

∩

e

∪

representam operaçõesdeínmoesupremo no

Figura 2.4:

(

a

)

Imagem A ,

(

b

)

Elemento de estruturação S,

(

c

)

Imagem A erodida por S

Figura2.5:

(

a

)

ImagemA,

(

b

)

ImagemAdilatadaporS,

(

c

)

Elementodeestruturação S

E

B

(·, S)

e

D

B

(·, S)

representam, respectivamente, uma erosão e uma dilatação

tanto nosentido intuitivo quantono sentido algébrico paratodo

S

.

Alémdisso,hátambémoutrosdois operadores fundamentaisnaMMbinária,

que são a anti-dilataçãoe aanti-erosão,e quepodem ser denidos emtermos de

um operador de negação (no caso da MM binária utiliza-se o operador

comple-mento)e pelas operações de erosão e dilatação[76, 77].

Várias abordagens estenderam a MM binária para o caso de tons de cinza

[36,76,81],entreelasdestaca-seaabordagemdeumbra [81]cujadeniçãodos

op-eradores fundamentaisestáde acordocomosprincípiosintuitivosdaMMbinária.

Aidéiabásicadestaabordagemconsisteemmapearumaimagemdetonsdecinza

para umsubconjuntodoespaçoformadopeloprodutododomíniocomespaço de

utilizadaparadenir umamorfologiamatemáticafuzzy cujosoperadores básicos

estejam baseados em medidas de inclusão e conjunção fuzzy [96], conforme será

elucidado na Seção 2.3. Numa forma algébrica, a morfologia matemática pode

ser conduzidasobreaestruturade reticuladoscompletoscomo vistonaSeção2.1

[36, 75,77].

2.3 Conceitos básicos da morfologia matemática

fuzzy

Originalmentea MM foi desenvolvidacomo uma abordagemà teoria de

con-juntos para análise de imagens binárias [58, 76]. Extensões para morfologia

matemáticade tonsdecinzaincluemasabordagensdeumbra ethreshold [76,81],

além de várias abordagens na direção da morfologia matemática fuzzy (FMM)

[60, 96].

Em poucas palavras, a idéia inicial que motivou a extensão da MM binária

a partir da teoria dos conjuntos fuzzy, consiste na substituição dos operadores

de conjuntos (inclusão, intersecção e complemento) nas equações de erosão e

di-latação binárias, pelas respectivas extensões na lógica fuzzy. Especicamente,

uma abordagem à MM fuzzy, em geral, considera certas medidas de inclusão

fuzzyeintersecçãofuzzy,assimcomo,umacertanegação fuzzyparadenir

oper-ações morfológicaselementares: erosão fuzzy, dilataçõesfuzzy, anti-erosão fuzzy

e anti-dilatação fuzzy. Esse tipo de abordagem é consistente com a motivação

intuitiva com a qual surgiu e se desenvolveu a MM, pois, só posteriormente é

que a mesma foi conduzida sobre uma estrutura de reticulados completos e seus

operadores elementares caracterizados através de propriedades algébricas. Uma

outra maneira de se conduzir uma abordagem à morfologia matemática fuzzy é

a partirdas deniçõesalgébricas conforme as Equações 2.6, 2.7, 2.8e 2.9.

Neste trabalho, denotaremos um conjunto fuzzy

A

como sendo uma função

a

de um domínio

X

em

[0, 1]

, onde o valor

a(x)

é o grau de pertinência de

x

em

A

. O símbolo

F(X)

denota a classe de todos os conjuntos fuzzy em

X

. No

caso particular onde

X =

x

1

_{, . . . , x}

k



denotaremos o conjunto fuzzy

a

∈ F(X)

como um vetor coluna

a = [a

1

, . . . , a

k

]

T

∈ [0, 1]

k

onde

a

i

= a(x

i

₎

para todo

Seja

X

um grupo, tipicamenteo

l

-grupo

R

n

ou

Z

n

. Para

x

∈ X

e

s

∈ F(X)

denotamos por

s

x

, ¯

s

∈ F(X)

a translação de

s

por

x

dada pela Eq. 2.31 e a reexão de

s

em torno daorigem dada porEq. 2.32.

s

x

(y) = s(y − x)

∀y ∈ X

(2.31)

¯

s(y) = s(−y)

∀y ∈ X

(2.32)

Seja

Inc

F

: F(X)

× F(X) → [0, 1]

umainclusãofuzzy. A erosãofuzzy

ε

F

(a, s)

de um conjuntofuzzy

a

por um elemento estruturante

s

∈ F(X)

édada por

ε

F

(a, s)(x) = Inc

F

(s

x

, a)

∀x ∈ X

(2.33)

Similarmente, se

Sec

F

: F(X)

× F(X) → [0, 1]

denota uma intersecção fuzzy então a dilataçãofuzzy

∆

F

(a, s)

deum conjuntofuzzy

a

porum elemento estru-turante

s

∈ F(X)

édada por

∆

F

(a, s)(x) = Sec

F

(¯

s

x

, a)

∀x ∈ X

(2.34)

Uma grande variedade de medidas de inclusão fuzzy e intersecção fuzzy

de-nominadas,respectivamente, porInf-IeSup-C(ouporMin-IeMax-Cnocaso de

X

nito),podem ser construídasemtermosde implicações

I

F

e conjunçõesfuzzy

C

F

[96] como se segue:

Inc

F

(a, b) =

^

x∈X

I

F

(a(x), b(x))

(2.35)

Sec

F

(a, b) =

_

x∈X

C

F

(a(x), b(x))

(2.36)

AlgunspesquisadoresemFMMtem concebidomedidasde inclusãofuzzyque

relaxamanoçãodamedidadeinclusãoeintersecçãocrisp,permitindoadenição

de medidas que não satisfazem a propriedade de herança [16], isto é, que as

re-striçõesde

Inc

F

e

Sec

F

à

P(X)

×P(X)

nãocoincidemcomainclusãoeintersecção de conjuntos crisp, respectivamente. Por exemplo, a medida de subsethood de

tra-herança [86, 87].

As denições de erosões fuzzy (Eqs 2.33) edilataçõesfuzzy (Eqs 2.34) dadas

acimaobedecemàregraintuitivacomaqualforamdenidosseuscorrespondentes

no caso binário. Apesar disso, muitos autores preferem (ou apenas consideram)

utilizar as denições algébricas desses operadores, propiciada pela estrutura de

reticulado completo formada pela classe dos conjuntos fuzzy, aproveitando-se,

assim,das propriedadeseteoremas estabelecidospara estesoperadores, talcomo

a relaçãode adjunçãoe adecomposição de Banone Barrera.

Formalmente, dizemosque uma função

ε

F

(

·, s) : F(X) → F(X)

é uma erosão fuzzy no sentido algébrico se, e somente se,

ε

F

satisfaz a Eq. 2.6 para todo

s

∈ F(X)

. Similarmente, dizemosque uma função

δ

F

(

·, s) : F(X) → F(X)

éuma

dilatação fuzzy no sentido algébrico se, e somente se,

δ

F

satisfaz a Eq. 2.7para

todo

s

∈ F(X)

[96].

Observe na Equação 2.35 que, se a implicação fuzzy

I

F

(b,

·)

comutar com o operador de ínmo para todo

b

∈ [0, 1]

, então,

Inc

F

(s,

·)

também comutará com o ínmo para todo

s

∈ F(X)

e, portanto, a função resultante

ε

F

satisfará a denição de uma erosão fuzzy, tanto no sentido algébrico quanto no sentido

intuitivo. Exemplosde implicaçõesfuzzy queproduzem erosões fuzzyem ambos

os sentidos:

I

M

(x, y) =



1, x

≤ y

y, x > y

(Gödel) (2.37)

I

P

(x, y) =



1,

x

≤ y

y

x

, x > y

(Goguen) (2.38)

I

W

(x, y) = 1 ∧ (y − x + 1)

(Lukasiewicz) (2.39)

I

k

(x, y) = (1 − x) ∨ y

(Kleene)

.

(2.40)

Similarmente, se a conjunção fuzzy

C

F

da Equação 2.36 for tal que

C

F

(b,

·)

é uma dilataçãoalgébrica

[0, 1] → [0, 1]

, istoé, comuta com ooperadorsupremo

paratodo

b

∈ [0, 1]

,então,afunçãocorrespondente

∆

F

(·, s)

étantoumadilatação

T

M

(x, y) = x ∧ y

(Mínimo) (2.41)

T

P

(x, y) = x

· y

(Produto) (2.42)

T

W

(x, y) = 0 ∨ (x + y − 1)

(Lukasiewicz) (2.43)

C

K

(x, y) =



0, x + y

≤ 1

x, x + y > 1

(Kleene) (2.44)

Note que os operadores

T

M

, T

P

e

T

L

correspondem a t-normas [48]. De fato, todat-norma contínua representa uma dilataçãoalgébrica

[0, 1] → [0, 1]

em

am-bosos argumentos [99].

Além disso, conjunções fuzzy e implicações fuzzy podem estar relacionadas

pelo conceito de adjunção. Especicamente, dizemos que uma conjunção fuzzy

C

e uma implicação fuzzy

I

formam uma adjunção se, e somente se,

C(·, z)

e

I(z,

·)

formaremumaadjunção para todo

z

∈ [0, 1]

, istoé,se

C

e

I

satiszerema seguinteequação para todo

x, y, z

∈ [0, 1]

[99]:

C(x, z)

_{≤ y ⇔ x ≤ I(z, y)}

(2.45)

Pela proposição 2,

C(·, z)

e

I(z,

·)

representam, respectivamente, uma

di-latação algébrica e uma erosão algébrica. Além disso, uma implicação fuzzy

I

e uma conjunção

C

podem ser obtidas de acordo com asseguintes equações:

I(y, x) =

_

{z

∈ [0, 1] : C(z, y) ≤ x}

e

C(x, y) =

^

{z

∈ [0, 1] : I(y, z) ≥ x}

(2.46)

Ospares

(T

M

, I

M

)

,

(T

P

, I

P

)

,

(T

W

, I

W

)

e

(C

K

, I

K

)

constituem exemplos de oper-adores adjuntos.

ApartirdasEquações2.35e2.36podemosdenirdoisprodutosmatriciaisna

lógica fuzzy. Sejam

A

∈ [0, 1]

m×k

e

B

∈ [0, 1]

k×n

, os produtos max-C e min-I de

A

por

B

sãodenotados, respectivamente, por

D = A

◦ B

e

E = A ~ B

edenidos pelas seguintes Equações [61, 99], onde

C

e

I

correspondem a uma conjunção

fuzzy e a uma implicaçãofuzzy:

d

ij

=

k

_

ξ=1

e

ij

=

k

^

ξ=1

I(b

ξj

, a

iξ

)

∀i = 1, . . . , m

e

∀j = 1, . . . , n

(2.48)

Existem ainda outros produtos matriciaisdenidos na teoria de lógica fuzzy,

tal como o produto Inf-D (ou Min-D) derivado de uma certa disjunção fuzzy

D

. Porém estes dois são sucientes para o propósito deste trabalho. Para mais informaçõesindicamos [61].

Vários modelos de FMAMs são baseados nos produtos max-C e min-I [99].

Alémdisso,umacertaestratégiadeaprendizagemparaFMAMspodeseradotada

quando esses produtos representam certas operações elementares da MM fuzzy

Memórias associativas morfológicas

Umamemóriaassociativa(AM)éummodeloprojetadoparaarmazenarpares

de entrada e saída. Uma propriedade desejável em uma AM, é que dada uma

versão incompletaoudistorcidade um padrãode entradaelasejacapaz de

recor-dar a saída desejada. Matematicamente falando, dado

k

pares de vetores (ou

memórias fundamentais)

x

1

_{, y}

1

_{, . . . , x}

k

_{, y}

k

, o projeto de uma AM consiste

emencontrar ummapeamento

g

talque

g(x

ξ

_{) = y}

ξ

paratodo

ξ = 1, . . . , k

eque

seja equipado com uma certa tolerância a ruídos, isto é, para uma versão

cor-rompida

x

˜

ξ

de

x

ξ

tenha-se

g(˜

x

ξ

_{) = y}

ξ

. Uma memóriaassociativa fuzzy (FAM)é

uma AM quearmazena pares de vetores que representam conjuntosfuzzy.

Umamemóriaassociativamorfológica(MAM)[73]éummodelodeAM

repre-sentadaporumaredeneuralmorfológica. OsmodelosclássicosdeMAMsde tons

de cinza e seus principaisresultados serão discutidos na Seção 3.1. Em seguida

serão abordadasasmemóriasassociativasmorfológicasfuzzy (FMAMs) que

con-sistem em AMs descritas por redes neurais cujos neurônios executam operações

elementaresdamorfologiamatemáticafuzzy,equearmazenamparesde entradas

e saídas dados por conjuntos fuzzy. Note que a determinação de FMAMs

de-pendede como(ouemquesentido)osoperadoresmorfológicosfuzzyelementares

são denidos, isto é, no sentido intuitivo, no sentido algébrico ou por ambos.

Também será discutido um método de aprendizagem não iterativo, baseado na

relação de dualidade com respeito a adjunção dos operadores da MM, que pode

ser empregado nafasede armazenamentoparauma certaclasse de FMAMs[99].

de subsethood de Kosko [50, 51] que pode ser classicado como uma rede neural

morfológica no sentido intuitivo. Este modelo generaliza a memória associativa

binária introduzida em [87]. Por m, encerraremos este capítulo apresentando

algunsresultadosde experimentos envolvendoaAM fuzzybaseadanamedidade

subsethood de Kosko.

3.1 Modelos clássicos de memórias associativas

mor-fológicas

Suponhaquesequeiraarmazenar

k

paresdevetores(oumemóriasfundamentais)

x

1

, y

1

, . . .

,

x

k

_{, y}

k

usandouma memóriaassociativamorfológica (MAM).

Se-jam

X = [x

1

_{, . . . , x}

k

_]

_{∈ R}

n×k

a matriz cujas colunas são os vetores

x

ξ

_{∈ R}

n

e

Y = [y

1

_{, . . . , y}

k

_]

_{∈ R}

m×k

a matriz cujas colunas são os vetores

y

ξ

_{∈ R}

m

, para

ξ = 1, . . . , k

. Aqui, foi considerado

(x

ξ

_{, y}

ξ

₎

_{∈ R}

n

_{× R}

m

ao invés de

(x

ξ

_{, y}

ξ

₎

per-tencenteaoreticuladocompleto

¯

R

n

× ¯

R

m

,vistoqueessarestriçãoésucientepara todos ospropósitos práticos. Relembre que

¯

R

p

_{= R}

p

_{∪ {−∞, +∞}}

,

p

≥ 1

,

repre-senta,peloLema 1,uma extensãode

l

-grupocompleto, pois,

R

p

éum reticulado

condicionalmentecompleto.

Considere as operações matriciais denidas na Seção 2.1,

X

∈ R

n×k

e

Y

∈

R

m×k

. Apresentaremos dois modelos básicos de MAM: o primeiro consiste na

construção de uma matriz

W

XY

de dimensão

m

× n

dada pela Equação 3.1, e o segundo consiste em um esquema dual de construção de uma matriz

M

XY

de dimensão

m×n

conformeaEquação3.2. Noteaindaquesepodeobteraseguinte

igualdade

W

XY

= (M

YX

)

∗

a partir daEquação 2.23.

W

XY

= X ∧



Y

∗

=

k

^

ξ=1

y

ξ



∧

(x

ξ

)

∗

(3.1)

M

XY

= X ∨



Y

∗

=

k

_

ξ=1

y

ξ



∨

(x

ξ

)

∗

(3.2)

Dado um padrão de entrada

x

∈ R

n

o processo de recordação de um padrão

y

∈ R

m

no modelo

W

XY

édado pelaEq. 3.3. Analogamente, uma saída

z

∈ R

m