Modelos para Dados de Contagem com Estrutura Temporal

(1)

Modelos para Dados de Contagem com

Estrutura Temporal

Jo˜

ao Batista de Morais Pereira

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matem´

atica

Departamento de M´etodos Estat´ısticos

2010

(2)

(3)

Pereira, João Batista de Morais

P436 Modelos para dados de contagem com estrutura

temporal / João Batista de Morais Pereira. -- Rio de

Janeiro : IM/UFRJ, 2010. xix,162f. : il. ;30 cm.

Orientador: Alexandra Mello Schmidt e Helio dos Santos Migon.

Dissertação (mestrado) – UFRJ/IM. Programa de pós-graduação em Estatística, 2010.

Referências: f.160- 162.

1.Teoria da decisão estatística bayesiana -Tese. 2.processos de markov - Tese. Schmidt, Alexandra Mello. II. Migon, Helio dos Santos. III.Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática.

CDD 20a: 519.5

(4)

Aos meus pais, pela educa¸c˜ao, exemplo e incentivo que sempre me deram.

(5)

“A estrada em frente vai seguindo

Deixando a porta onde come¸ca.

Agora longe já vai indo, Devo seguir, nada me impe¸ca; Por seus percal¸cos vão meus pés, Até a jun¸cão com a grande estrada, De muitas sendas através.

Que vem depois? N˜ao sei mais nada.”

(6)

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agrade¸co a Deus pelo Seu amor, miseric´ordia e providˆencia (muitas vezes disfar¸cada de aleatoriedade) na minha vida. Por estar comigo em todos os

momen-tos, mesmo naqueles em que eu n˜ao soube reconhecer Sua presen¸ca, renovando minha

esperan¸ca e me motivando a continuar. Agrade¸co pelas oportunidades ´unicas que fez

sur-gir na minha vida e pelas pessoas maravilhosas que colocou no meu caminho. `A Nossa

Senhora, agrade¸co pela sua intercess˜ao constante e pelas gra¸cas que sempre derramou e continua derramando na minha vida.

Agrade¸co `a minha irm˜a Josiane e minha sobrinha Kassiane, a quem muitas vezes

deixei na m˜ao na hora das brincadeiras, por estar ocupado estudando. De forma muito

especial, agrade¸co aos meus pais, Laurinda e Frutuozo, que são os responsáveis por eu ter chegado até aqui através do apoio e incentivo que sempre me deram, da educa¸cão que sempre me proporcionaram, do amor que sempre me dispensaram e dos sacrif´ıcios que

sempre fizeram e ainda fazem por mim. Agrade¸co pelos momentos de preocupa¸c˜ao e por

compartilharem comigo minhas conquistas como se fossem deles pr´oprios. Obrigado por

todos os ensinamentos, exorta¸c˜oes e carinho!

Agrade¸co aos meus grandes amigos Felipe, Anderson, Diego, Adenilson, Carla, Cibele, Anderson “Rods”e Graziele, que fazem parte da minha vida h´a tantos anos e que Deus

es-colheu para serem minha companhia para o destino. Agrade¸co `as minhas amigas queridas

Kelly e Larissa, que me acompanharam durante estes dois anos de mestrado. Dividimos experiências, preocupa¸cões e noites em claro, mas também dividimos alegrias, risadas e

bons momentos. Vocˆes fazem parte da minha vida! `A querida Camila, que me

acom-panhou de maneira t˜ao especial durante este ´ultimo ano, agrade¸co pelo amor, carinho, companhia, exemplo, conselhos, apoio e incentivo, sempre! Aos meus amigos e com-panheiros de departamento, em especial Targino, Nassif, Thiago, Vin´ıcius, Alexandre,

(7)

Sheila, Josi, Patr´ıcia, Mari e Val. Obrigado pelas experiências trocadas e momentos compartilhados! Enfim, agrade¸co a todos os amigos que Deus colocou no meu caminho. Amigos que, de maneira direta ou indireta, também são responsáveis por eu ter chegado até aqui!

`

A minha orientadora Alexandra M. Schmidt, agrade¸co por todo apoio e incentivo

que sempre recebi, pela preocupa¸c˜ao que sempre demonstrou com o meu futuro e por

sempre acreditar no meu potencial. Agrade¸co pelas oportunidades que me mostrou, pelas experiências que me transmitiu e pela dedica¸cão que sempre me dispensou durante tantos anos em que trabalhamos juntos. Ao meu co-orientador Helio S. Migon, agrade¸co pela oportunidade de trabalhar com tão excelente profissional que me transmitiu, e ainda me

transmite, tantas experiˆencias e conhecimento. Agrade¸co aos professores do programa

de pós-gradua¸cão em Estat´ıstica da UFRJ que, de uma forma ou de outra, contribu´ıram para a minha forma¸cão.

Agrade¸co `a CAPES e `a FAPERJ pelo financiamento dos meus estudos, os quais seriam praticamente imposs´ıveis sem este apoio financeiro.

Por fim, agrade¸co aos professores Dani Gamerman e Cibele Q. da-Silva por aceitarem fazer parte da minha banca.

(8)

Resumo

Neste estudo, discutimos a aplica¸c˜ao de modelos da classe dos modelos lineares

dinˆamicos generalizados (MLDG) e o modelo Poisson autoregressivo (PAR) na

mode-lagem de s´eries temporais de contagens. Entre os modelos discutidos, consideramos

modelos de sobredispers˜ao, modelos com estrutura sazonal e modelos de mistura para

dados de contagem inflacionados de zeros. Nosso interesse ´e verificar as vantagens e

desvantagens entre as diferentes modelagens e que informa¸c˜oes cada uma destas pode

revelar a respeito do processo sob estudo. Todo o procedimento de inferência é feito sob o enfoque bayesiano, isto é, atribu´ımos uma distribui¸cão a priori para os parâmetros de interesse de cada modelo a fim de obter a distribui¸cão a posteriori, que, em nosso caso,

não é conhecida. Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC na sigla em

inglês) são utilizados para obter amostras desta distribui¸cão.

Em modelos dinâmicos, obter amostras da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros de interesse exige certa cautela. Há diferentes propostas na literatura sugerindo diferentes maneiras de se obter amostras destes parâmetros. Entre as mais recentes está o CUBS (do inglês Conjugate Updating Backward Sampling), proposto porRavines et al.(2007). Neste trabalho, também temos interesse em discutir esta metodologia aplicada na estima¸cão de parâmetros de modelos dinâmicos para séries temporais de contagens e investigar o seu desempenho.

Palavras-Chaves: dados de contagem, modelos dinˆamicos, modelo Poisson

autoregres-sivo, sobredispers˜ao, modelos de mistura, inferˆencia bayesiana, Monte Carlo via cadeias de Markov.

(9)

Abstract

In this study, we discuss the implementation of models in the class of dynamic ge-neralized linear models (MLDG) and the Poisson autoregressive model (PAR) in the modelling of time series count data. Among the discussed models, we consider overdis-persion models, models with seasonal patterns and zero-inflated count data models. Our interest is to verify the advantages and disadvantages among the different modelling ap-proaches and what information each of these apap-proaches may reveal about the process under study. All the inference procedure is made under the Bayesian approach, that is, we attribute a prior distribution for the parameters of interest of each model in order to obtain the posterior distribution, which in our case, is not known. Markov chain Monte Carlo methods (MCMC) are used to obtain samples of this distribution.

In dynamic models, to obtain samples from the posterior distribution of the param-eters of interest requires some caution. There are different proposals in the literature suggesting different ways to obtain samples of these parameters. Among the most

re-cent is the CUBS (Conjugate Updating Backward Sampling), proposed by Ravines et al.

(2007). In this work, we are also interested in discussing this methodology in the esti-mation of parameters of dynamic models for time series count data and to investigate its performance.

Keywords: count data, dynamic models, Poisson autoregressive model, overdispersion, mixture models, Bayesian inference, Markov chain Monte Carlo.

(10)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Modelos Dinâmicos e Métodos de Estima¸cão 5

2.1 Inferˆencia Bayesiana . . . 5

2.1.1 Estima¸c˜ao Pontual . . . 6

2.1.2 Estima¸c˜ao por Intervalo . . . 7

2.1.3 Previs˜ao . . . 8

2.2 M´etodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . 9

2.2.1 Amostrador de Gibbs . . . 10

2.2.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings . . . 11

2.3 Modelos Dinˆamicos . . . 12

2.3.1 Modelos Lineares Dinˆamicos (MLD) . . . 13

2.3.2 Modelos Lineares Dinˆamicos Generalizados (MLDG) . . . 15

2.4 Esquemas de Amostragem em Modelos Dinˆamicos . . . 17

2.4.1 Esquema de Amostragem proposto por Gamerman (1998) . . . . 17

2.4.2 CUBS . . . 20

3 Modelos de Sobredispers˜ao para Dados de Contagem 28 3.1 Modelos Dinˆamicos para Dados de Contagem . . . 29

3.1.1 Modelo Poisson Dinˆamico . . . 29

3.1.2 Modelo Binomial Negativo Dinˆamico . . . 30

3.1.3 Modelo Poisson-Lognormal Dinˆamico . . . 32

(11)

3.2 Modelo Poisson Autoregressivo (PAR) . . . 37

3.2.1 Modelo PAR com Estrutura Sazonal . . . 38

3.3 Critérios de Compara¸cão e Diagnóstico de Modelos . . . 39

3.3.1 Verossimilhan¸ca Preditiva . . . 39

3.3.2 Res´ıduos Recursivos . . . 40

3.4 Aplica¸c˜ao 1 . . . 45

3.4.1 Procedimento de Inferˆencia . . . 47

3.4.2 Resultados . . . 52

3.4.3 Compara¸c˜ao entre os Modelos Ajustados . . . 73

4 Modelos para Dados de Contagem Inflacionados de Zeros 81 4.1 Modelos para Dados Inflacionados de Zeros . . . 82

4.2 Aplica¸c˜ao 2 . . . 84

4.2.1 Procedimento de Inferˆencia . . . 87

4.2.2 Investigando o Desempenho do CUBS. . . 92

4.2.3 Resultados . . . 99

4.2.4 Compara¸c˜ao entre os Modelos Ajustados . . . 117

5 Conclusões 125 A Distribui¸cões Condicionais Completas dos Parâmetros dos Modelos Ajus-tados 129 A.1 Modelos Dinâmicos . . . 129

A.1.1 Modelo Poisson Dinˆamico . . . 129

A.1.2 Modelo Binomial Negativo Dinˆamico . . . 130

A.1.3 Modelo Poisson-Lognormal Dinˆamico . . . 132

A.2 Modelos Dinˆamicos Sazonais . . . 133

A.2.1 Modelo Poisson Dinˆamico com Estrutura Sazonal . . . 133

A.2.2 Modelo Binomial Negativo Dinˆamico com Estrutura Sazonal . . . 135

A.2.3 Modelo Poisson-Lognormal Dinˆamico com Estrutura Sazonal . . . 137

(12)

A.3.1 Modelo PAR com Estrutura Sazonal . . . 139

A.3.2 Modelo PAR sem Estrutura Sazonal . . . 140

A.4 Modelos para Dados Inflacionados de Zeros . . . 141

A.4.1 Modelo ZIP Dinˆamico . . . 141

A.4.2 Modelo ZINB Dinˆamico . . . 142

A.4.3 Modelo ZIP-LN Dinˆamico . . . 144

B Cálculos das Distribui¸cões Propostas para os Parâmetros de Estado dos Modelos Ajustados 146 B.1 Distribui¸cão Proposta Calculada pelo CUBS . . . 146

B.2 Distribui¸c˜ao Proposta Calculada pelo Algoritmo Proposto por Gamerman (1998) . . . 149

C Tra¸cos das Cadeias dos Parâmetros de Estado dos Modelos Dinâmicos Ajustados 152 C.1 Aplica¸cão 1 . . . 152

(13)

Lista de Tabelas

3.1 Estat´ısticas descritivas da s´erie temporal do n´umero de requerentes do

benef´ıcio por perda salarial causada por acidentes de trabalho. . . 46

3.2 Taxas de aceita¸c˜ao dos valores propostos pelo CUBS para o vetor param´etrico

de estados para cada um dos modelos dinˆamicos ajustados. . . 51

3.3 Estimativas a posteriori dos parˆametros est´aticos dos modelos ajustados

com respectivos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori.. . . 62

3.6 Estimativas a posteriori dos parˆametros do modelo Poisson autoregressivo

3.7 Verossimilhan¸ca preditiva dos modelos ajustados. . . 73

4.1 Estat´ısticas descritivas da s´erie temporal do n´umero de casos de dengue

notificados no bairro da Mangueira no munic´ıpio do Rio de Janeiro. . . . 86

4.2 Taxas de aceita¸c˜ao m´edia dos valores propostos pelo algoritmo proposto

por Gamerman (1998) para os elementos do vetor param´etrico de estados

para cada um dos modelos dinˆamicos ajustados. . . 91

(14)

4.5 Estimativas a posteriori dos parˆametros do modelo Poisson autoregressivo

(15)

Lista de Figuras

3.1 S´erie de valores simulados λt, para t = 1, . . . , 100. . . 34

3.2 Sobredispers˜ao λ2_t/ε = λ2_t(exp(V ) − 1), para t = 1, . . . , 100, para alguns

valores de ε e V . . . 34

3.3 S´erie temporal do n´umero de requerentes do benef´ıcio por perda salarial

causada por acidentes de trabalho. . . 45

3.4 Autocorrela¸c˜ao entre os valores do n´umero de requerentes do benef´ıcio por

perda salarial causada por acidentes de trabalho. . . 46

3.5 M´edia a posteriori do n´ıvel µt, para t = 1, . . . , 120, com respectivos

inter-valos de 95% de credibilidade a posteriori. . . 53

3.6 M´edia a posteriori do n´ıvel θt1, para t = 1, . . . , 120, com respectivos

inter-valos de 95% de credibilidade a posteriori. . . 54

3.7 M´edia a posteriori do efeito sazonal θt2, para t = 1, . . . , 120, com

respecti-vos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori. . . 55

3.8 M´edia a posteriori do efeito sazonal θt3, para t = 1, . . . , 120, com

respecti-vos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori. . . 56

3.9 M´edia a posteriori do parˆametro λt, para t = 1, . . . , 120, com respectivos

intervalos de 95% de credibilidade a posteriori para os modelos dinˆamicos

sem estrutura sazonal. . . 57

intervalos de 95% de credibilidade a posteriori para os modelos dinˆamicos

com estrutura sazonal. . . 59

3.11 Média a posteriori do parâmetro de sobredispersão δt, para t = 1, . . . , 120,

(16)

3.12 M´edia a posteriori da sobredispers˜ao λ2_t/ε (modelo binomial negativo e

binomial negativo sazonal) e λ2

texp(2ξ + V )(exp(V ) − 1) (modelo

Poisson-lognormal e Poisson-Poisson-lognormal sazonal), para t = 1, . . . , 120, com

respec-tivos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori. . . 61

3.13 Histograma e média a posteriori da variância da evolu¸cão do n´ıvel W . . . 65

3.14 Histograma e média a posteriori da variância da evolu¸cão do n´ıvel W1. . 66

3.15 Histograma e média a posteriori da variância da evolu¸cão dos efeitos

sazon-ais W2. . . 67

3.16 Histograma e m´edia a posteriori do parˆametro ε (modelo binomial negativo

e binomial negativo sazonal) e do parˆametro V (modelo Poisson-lognormal

e Poisson-lognormal sazonal). . . 68

3.17 M´edia a posteriori do parˆametro λt, para t = 1, . . . , 120, com

respec-tivos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori e histogramas dos

parˆametros β0, β1, β2 e α com respectivas m´edias a posteriori. . . 70

3.18 Mediana a posteriori dos valores replicados Yrep,t, para t = 1, . . . , 120, com

respectivos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori (´area

hachu-rada) para os modelos dinˆamicos sem estrutura sazonal. . . 71

hachu-rada) para os modelos dinˆamicos com estrutura sazonal e modelo PAR

sazonal. . . 72

3.20 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo Poisson dinâmico e modelo

bi-nomial negativo dinˆamico. . . 75

3.21 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo Poisson-lognormal dinâmico com

ξ = −V /2 e com ξ = 0. . . 76

3.22 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo Poisson dinâmico sazonal e

modelo binomial negativo sazonal. . . 77

3.23 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo Poisson-lognormal dinâmico

sazonal com ξ = −V /2 e com ξ = 0. . . 78

(17)

4.1 S´erie temporal do n´umero de casos de dengue notificados no bairro da

Mangueira no munic´ıpio do Rio de Janeiro. . . 85

4.2 Gráfico da propor¸cão dos valores observados do número de casos de dengue

4.3 Autocorrela¸c˜ao entre os valores do n´umero de casos de dengue notificados

no bairro da Mangueira no munic´ıpio do Rio de Janeiro. . . 86

4.4 Compara¸c˜ao entre as aproxima¸c˜oes de Taylor e valores aproximados por

Newton-Raphson dos momentos a priori αt e βt do preditor linear ϕt =

log(λt), para t = 1, . . . , 77. . . 94

4.5 Compara¸cão entre os métodos de estima¸cão para os parâmetros de estado

µt, para t = 1, . . . , 77, para a s´erie temporal do n´umero de casos de dengue

4.6 Compara¸cão entre os métodos de estima¸cão para os parâmetros de estado

µt, para t = 1, . . . , 77, para a s´erie temporal artificial gerada a partir da

s´erie temporal do n´umero de casos de dengue notificados no bairro da

Mangueira no munic´ıpio do Rio de Janeiro. . . 98

interva-los de 95% de credibilidade a posteriori para o modelo Poisson, binomial

negativo e Poisson-lognormal. . . 99

in-tervalos de 95% de credibilidade a posteriori para os modelos para dados

inflacionados de zeros. . . 100

intervalos de 95% de credibilidade a posteriori para o modelo Poisson,

binomial negativo e Poisson-lognormal. . . 101

intervalos de 95% de credibilidade a posteriori para os modelos para dados

inflacionados de zeros. . . 103

4.11 Média a posteriori do parâmetro de sobredispersão δt, para t = 1, . . . , 77,

(18)

4.12 M´edia a posteriori da sobredispers˜ao λ2_t/ε (modelo binomial negativo e

ZINB) e λ2

texp(2ξ +V )(exp(V )−1) (modelo Poisson-lognormal e ZIP-LN),

para t = 1, . . . , 77, com respectivos intervalos de 95% de credibilidade a

posteriori. . . 105

4.13 Histograma e média a posteriori da variância da evolu¸cão do n´ıvel W para

o modelo Poisson, binomial negativo e Poisson-lognormal. . . 108

4.14 Histograma e média a posteriori da variância da evolu¸cão do n´ıvel W para

os modelos para dados inflacionados de zeros. . . 109

4.15 Histograma e m´edia a posteriori do parˆametro ε (modelo binomial negativo

e ZINB) e do parˆametro V (modelo Poisson-lognormal e ZIP-lognormal). 111

4.16 Histograma e m´edia a posteriori da probabilidade ζ. . . 112

4.17 M´edia a posteriori da probabilidade pt = P (Xt = 1 | Yt = 0), para

t = 1, . . . , 77, com respectivos intervalos de 95% de credibilidade a posteriori.113

4.18 Histogramas dos parˆametros λ1, λ e α com respectivas m´edias a posteriori.114

hachu-rada) para o modelo Poisson, binomial negativo e Poisson-lognormal. . . 115

hachu-rada) para os modelos para dados inflacionados de zeros e modelo PAR

sazonal. . . 116

4.21 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo Poisson dinâmico e modelo

bi-nomial negativo dinˆamico. . . 119

4.22 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo Poisson-lognormal dinâmico com

ξ = −V /2 e com ξ = 0. . . 120

4.23 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo ZIP dinâmico e modelo ZINB

dinˆamico. . . 121

4.24 Gráficos da análise de res´ıduos do modelo ZIP-lognormal dinâmico com

ξ = −V /2 e com ξ = 0. . . 122

(19)

C.1 Tra¸cos das cadeias dos parˆametros de estado µ10, µ40, µ70 e µ100 com

respectivas m´edias a posteriori. . . 153

C.2 Tra¸cos das cadeias dos parˆametros de estado θ10,1, θ40,1, θ70,1 e θ100,1 com

res-pectivas m´edias a posteriori. . . 158

(20)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Modelos para dados de contagem s˜ao amplamente empregados nas mais diversas ´areas

de estudo para a modelagem de diversos fenˆomenos. Em Controle de Qualidade, por

exemplo, usualmente utiliza-se uma distribui¸c˜ao binomial na modelagem do n´umero de

pe¸cas defeituosas de uma linha de produ¸c˜ao. Em Epidemiologia, ´e comum utilizar-se

uma distribui¸c˜ao de Poisson para modelar o n´umero de ind´ıviduos que sofrem de uma

determinada doen¸ca. Fenˆomenos deste tipo s˜ao, geralmente, caracterizados por uma

evolu¸c˜ao temporal. Ainda no contexto de Epidemiologia, podemos, por exemplo, estar

interessados em modelar o n´umero de ind´ıviduos que sofrem de uma determinada doen¸ca

atrav´es do tempo. Para este tipo de dado, a estrutura temporal deve ser levada em conta na modelagem.

Uma classe de modelos que vem sendo cada vez mais explorada para a modelagem de dados não-normais com estrutura temporal é a classe dos modelos dinâmicos bayesianos generalizados, que foram introduzidos porWest et al.(1985) e são amplamente discutidos em West e Harrison (1997). Particularmente, para a modelagem de dados de contagem

com estrutura temporal, um dos modelos dinˆamicos comumente utilizados ´e o modelo

Poisson dinâmico em que assumimos que média e variância do processo sob observa¸cão são iguais e evoluem no tempo através de uma estrutura dinâmica. Entretanto, o que ocorre geralmente em dados de contagem é que a variância do processo sob observa¸cão é maior que a média, fenômeno este que chamamos de sobredispersão. De forma particu-lar, a estrutura dinâmica imposta à média da distribui¸cão de Poisson no modelo Poisson

(21)

dinâmico é capaz de capturar algum efeito de sobredispersão, porém pode não ser sufi-ciente para explicar toda a varia¸cão do processo sob observa¸cão. Para capturar a varia¸cão

extra, pode-se, ent˜ao, considerar modelos de mistura tais como o modelo Poisson-gama

dinâmico ou Poisson-lognormal dinâmico. Estas misturas são equivalentes à inclusão de efeitos aleatórios na média da distribui¸cão de Poisson e já foram discutidas por Scollnik

(1995) e por Kim et al. (2002). Em muitas situa¸cões, a varia¸cão extra nos dados pode ser provocada por excesso de valores 0 (zero) nas observa¸cões. Neste caso, modelos para

dados de contagem inflacionados de zeros como, por exemplo, o modelo ZIP (do inglˆes

Zero Inflated Poisson) podem ser considerados. Para dados de contagem com

estru-tura temporal, como ´e o caso, o modelo ZIP dinˆamico pode ser considerado. Trata-se

especificamente de uma mistura entre uma distribui¸cão de Poisson e uma distribui¸cão de Bernoulli com o objetivo de inflacionar a probabilidade da ocorrência de um valor 0 (zero) através da inclusão de uma variável aleatória latente, que representa presen¸ca ou ausência do processo sob observa¸cão.

Uma segunda classe de modelos para dados de contagem com estrutura temporal ´e

a classe dos modelos Poisson autoregressivos, que foi introduzida por Al-Osh e Alzaid

(1987) e McKenzie (1988). O modelo Poisson autoregressivo não se trata de um mo-delo dinâmico e também não é um modelo de sobredispersão. Entretando, apesar de originalmente este modelo não possuir nenhuma destas duas caracter´ısticas, é

conside-rado apropriado para modelagem de s´eries temporais ao assumir uma dependˆencia de

curto alcance nas observa¸cões. Esta dependência é considerada no modelo através de uma estrutura formada por duas componentes latentes: um processo de nascimento e um processo de morte.

Neste estudo, nosso interesse é discutir a aplica¸cão de modelos dinâmicos e o modelo

Poisson autoregressivo na modelagem de s´eries temporais de contagens. Queremos

veri-ficar as vantagens e desvantagens entre as diferentes modelagens e que informa¸c˜oes cada uma destas pode revelar a respeito do processo sob estudo. Ser˜ao discutidos modelos de

sobredispers˜ao, modelos com estrutura sazonal e modelos de mistura para dados de

con-tagem inflacionados de zeros. Todo o procedimento de inferência será feito sob o enfoque bayesiano, isto é, atribuiremos uma distribui¸cão a priori para os parâmetros de interesse

(22)

de cada modelo a fim de obter a distribui¸cão a posteriori e a partir dela realizar todo o processo de estima¸cão. Obteremos amostras desta distribui¸cão a posteriori por meio de métodos de simula¸cão estocástica, particularmente utilizaremos os métodos de Monte

Carlo via cadeias de Markov (MCMC na sigla em inglˆes).

A estima¸cão dos parâmetros de um modelo dinâmico é um grande desafio.

De-vido ao fato do próprio modelo induzir uma correla¸cão entre estes parâmetros, torna-se dif´ıcil a obten¸cão de amostras independentes destes. Há diferentes propostas na lite-ratura sugerindo diferentes maneiras de se obter amostras da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros de modelos dinâmicos. Entre as mais recentes está o CUBS (do inglês

Conjugate Updating Backward Sampling), proposto por Ravines et al. (2007). Neste

es-tudo, ´e nosso interesse tamb´em discutir a metodologia desenvolvida por Ravines et al.

(2007) aplicada na estima¸cão de parâmetros de modelos dinâmicos para séries temporais

de contagens e investigar seu desempenho, em especial para os modelos dinˆamicos de

mistura.

Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao

No Cap´ıtulo 2, faremos uma breve revis˜ao sobre estima¸c˜ao e sobre procedimento

de inferência sob o enfoque bayesiano. Discutiremos também métodos de simula¸cão

estocástica, particularmente métodos MCMC. Em seguida faremos uma breve revisão

sobre modelos dinˆamicos e detalharemos os esquemas de amostragem utilizados neste

estudo para estima¸cão de parâmetros de modelos dinâmicos, em especial o CUBS. Já no Cap´ıtulo3, apresentaremos os modelos de interesse para dados de contagem com estrutura temporal, descreveremos algumas ferramentas de compara¸cão e diagnóstico de

modelos e faremos uma aplica¸c˜ao a dados reais. Freeland e McCabe (2002) ajustaram

para o conjunto de dados em quest˜ao um modelo Poisson autoregressivo com

estru-tura sazonal e consideraram o procedimento sob o enfoque cl´assico. Neste cap´ıtulo,

ajustaremos este mesmo modelo para este mesmo conjunto de dados reais considerando o procedimento de inferˆencia sob o enfoque bayesiano.

Em seguida, no Cap´ıtulo 4, come¸caremos discutindo modelos dinˆamicos para dados

(23)

com excesso de valores 0 (zero). Neste cap´ıtulo, discutiremos mais detalhadamente o desempenho do CUBS na estima¸cão dos parâmetros dos modelos dinâmicos considerados na modelagem do conjunto de dados reais.

(24)

Cap´ıtulo 2

Modelos Dinˆ

amicos e M´

etodos de

Estima¸

c˜

ao

Modelos dinâmicos bayesianos são cada vez mais utilizados na literatura para descre-ver os mais variados fenômenos. A maior classe destes modelos é a classe dos modelos lineares dinâmicos generalizados na fam´ılia exponencial. Neste cap´ıtulo, serão discutidos alguns métodos de estima¸cão para os parâmetros dos modelos que pertencem a esta classe

especial de modelos. Come¸caremos com uma breve revis˜ao sobre os principais conceitos

envolvidos no procedimento de inferência sob o enfoque bayesiano, apresentaremos alguns aspectos sobre métodos de simula¸cão estocástica, em particular os métodos MCMC, e por fim, discutiremos com detalhes dois esquemas de amostragem existentes na litera-tura para estima¸cão em modelos lineares dinâmicos generalizados: o algoritmo proposto por Gamerman (1998) e o mais recente CUBS (do inglês Conjugate Updating Backward Sampling) proposto por Ravines et al. (2007).

2.1 Inferˆ

encia Bayesiana

Nesta se¸cão, faremos uma breve revisão sobre os principais conceitos do procedimento de inferência sob o enfoque Bayesiano. Considere Y, uma variável aleatória ou vetor aleatório com fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade p(Y | θ) em que θ é um parâmetro ou vetor paramétrico que caracteriza a distribui¸cão de

(25)

probabilidade de Y. O valor de θ é desconhecido e queremos estimá-lo. Sob o ponto de vista da inferência bayesiana, podemos incorporar nossa própria incerteza na estima¸cão de θ, assumindo uma distribui¸cão de probabilidade para este parâmetro, p(θ), a distribui¸cão a priori. Esta distribui¸cão é atribu´ıda antes da observa¸cão dos dados e mede a nossa incerteza a priori a respeito de θ.

Uma vez que os dados s˜ao observados, os quais denotaremos por y, podemos encontrar

a distribui¸cão a posteriori de θ, p(θ | y), obtida a partir da combina¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca p(y | θ) com a distribui¸cão a priori de θ, p(θ), via teorema de Bayes, da forma p(θ | y) = p(y | θ)p(θ) p(y) , (2.1) com p(y) = Z Θp(y, θ)dθ = Z Θp(y | θ)p(θ)dθ, (2.2)

em que Θ ´e o espa¸co param´etrico de θ.

Note que p(y) n˜ao depende de θ, logo o denominador da equa¸c˜ao acima pode ser

considerado constante com rela¸c˜ao a θ. Assim, podemos reescrever (2.1) como

p(θ | y) ∝ p(y | θ)p(θ). (2.3)

O procedimento de inferência bayesiano é baseado fundamentalmente na distribui¸cão a posteriori de θ. Esta distribui¸cão contém toda informa¸cão probabil´ıstica a respeito do parâmetro de interesse. No entanto, em algumas situa¸cões torna-se necessário resumir a informa¸cão contida na distribui¸cão a posteriori. O caso mais simples é a estima¸cão pontual, descrita na subse¸cão a seguir.

2.1.1 Estima¸

c˜

ao Pontual

Na estima¸cão pontual, nosso objetivo é a minimiza¸cão de uma fun¸cão perda L(δ(Y), θ) para algum estimador δ(Y) de θ. Note que o valor de θ é estimado a partir de elementos da amostra. Para cada valor de θ e cada poss´ıvel estimativa d pentencente ao espa¸co

(26)

param´etrico Θ, associamos uma perda L(d, θ). Neste caso, podemos calcular a perda esperada a posteriori ou risco a posteriori, da forma

r(d | y) = E[L(d, θ) | y] = Z

ΘL(d, θ)p(θ | y)dθ. (2.4)

A regra de Bayes consiste em escolher o valor de d ´otimo, ou seja, o valor de d que

minimiza a perda esperada E[L(d, θ) | y]. Os estimadores d(Y) obtidos minimizando

esta perda esperada s˜ao chamados estimadores de Bayes.

As fun¸c˜oes perda mais utilizadas s˜ao:

• fun¸cão perda quadrática: L(d(Y), θ) = (θ − d(Y))0(θ − d(Y)); • fun¸cão perda absoluta: L(d(Y), θ) =|| θ − d(Y) ||;

• fun¸c˜ao perda zero-um: L(d(Y), θ) =

   k, se || θ − d(Y) ||≥ 0, se || θ − d(Y) ||< , para > 0 arbitr´ario e k constante, em geral unit´aria.

Os estimadores obtidos com a minimiza¸cão destas fun¸cões são, respectivamente: • média a posteriori: bθ = E(θ | y);

• mediana a posteriori: bθ tal que R_−∞θb p(θ | y)dθ = 0, 5; • moda a posteriori: bθ tal que p(bθ | y) = sup

θ∈Θ

p(θ | y).

2.1.2 Estima¸

c˜

ao por Intervalo

Quando estimamos um parˆametro pontualmente, estamos resumindo toda a informa¸c˜ao

presente na distribui¸cão a posteriori em um único valor, o que pode não ser apropriado. ´

E importante também obtermos informa¸cões sobre o quão precisa é a especifica¸cão deste valor. Podemos, então, através da distribui¸cão a posteriori, encontrar um intervalo para θ onde está concentrada a maior massa de probabilidade. Tal intervalo é chamado intervalo de credibilidade.

Considere novamente Θ, o espa¸co param´etrico onde est˜ao definidos os poss´ıveis valores

de θ. C ∈ Θ ´e um intervalo de credibilidade de 100(1 − α)% para θ, se

(27)

O tamanho do intervalo traz informa¸cões sobre a dispersão de θ. Assim, quanto menor o intervalo, mais concentrada está a distribui¸cão deste parâmetro, quanto maior, menos concentrada está a distribui¸cão. Podemos, por exemplo, querer obter um intervalo de 95% de credibilidade para θ, para isso basta calcularmos diretamente os quantis a = 2, 5% e b = 97, 5% da distribui¸cão a posteriori p(θ | y), ou seja,

Z a −∞ p(θ | y)dθ = 0, 025 (2.6) e Z b −∞ p(θ | y)dθ = 0, 975. (2.7)

Uma caracter´ıstica importante dos intervalos de credibilidade é que são invariantes a transforma¸cões biun´ıvocas. Seja C = [a, b] o intervalo de 100(1 − α)% de credibilidade para θ e φ(θ) uma transforma¸cão biun´ıvoca de θ, então, um intervalo de 100(1 − α)% de credibilidade para φ(θ) seria da forma C∗ = [φ(a), φ(b)].

2.1.3 Previs˜

ao

Previsões de futuras observa¸cões são poss´ıveis através da distribui¸cão preditiva. Suponha que queremos prever Ypred cuja fun¸cão de probabilidade ou densidade de probabilidade ´

e da forma p(Ypred | θ). A fun¸cão de distribui¸cão preditiva de Ypred é obtida da forma p(Ypred | y) =

Z

Θp(Ypred, θ | y)dθ (2.8a)

= Z

Θp(Ypred | θ, y)p(θ | y)dθ (2.8b)

= Z

Θp(Ypred | θ)p(θ | y)dθ. (2.8c)

= Eθ|y[p(Ypred| θ)]. (2.8d)

Uma vez que conhecemos θ, Yprede y são independentes e a passagem da equa¸cão (2.8b) para a equa¸cão (2.8c) fica explicada.

(28)

2.2 M´

etodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov

Como discutido na Se¸cão2.1, todo o procedimento de inferência bayesiana está fun-damentado na distribui¸cão a posteriori de θ, porém o que temos geralmente na prática, ´

e que esta distribui¸cão não é conhecida ou não possui forma anal´ıtica fechada. Podemos, entretanto, de forma aproximada, obter amostras da distribui¸cão a posteriori através de métodos de simula¸cão estocástica. Entre estes, estão os métodos de MCMC. Estes métodos serão utilizados na estima¸cão dos parâmetros dos modelos de interesse, que serão

discutidos nos Cap´ıtulos 3 e4. Particularmente, dentro dos m´etodos MCMC, estaremos

utilizando o amostrador de Gibbs e o algoritmo de Metropolis-Hastings que ser˜ao discu-tidos mais adiante nas Subse¸c˜ao 2.2.1 e2.2.2.

Considere que queremos simular de uma distribui¸cão de probabilidade cuja fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade é dada por p(·). Como pode ser

visto em Gamerman e Lopes (2006), o método MCMC é qualquer método que produza

uma cadeia de Markov homogênea, ergódica e irredut´ıvel cuja distribui¸cão estacionária seja p(·).

Uma cadeia de Markov ´e:

• homogênea: quando a probabilidade de transi¸cão de estados é constante; • ergódica: se é aperiódica e recorrente positiva;

• aperiódica: se nenhum dos seus estados é visitado após d passos com probabilidade 1, para qualquer d > 0 inteiro;

• recorrente positiva: quando o número médio de passos para que uma cadeia retorne a qualquer estado é finito;

• irredut´ıvel: se com probabilidade positiva, ela se move de um ponto a outro, qual-quer, em um n´umero finito de itera¸c˜oes.

Se a cadeia de Markov segue todas estas caracter´ısticas, existe a distribui¸cão esta-cionária e os estados da cadeia são aproximadamente realiza¸cões desta distribui¸cão. Entre

(29)

os algoritmos de MCMC mais utilizados est˜ao o amostrador de Gibbs e o algoritmo de Metropolis-Hastings, que ser˜ao descritos a seguir.

2.2.1 Amostrador de Gibbs

O amostrador de Gibbs ´e um esquema iterativo de amostragem de uma cadeia de

Markov cujo núcleo de transi¸cão é formado pelas distribui¸cões marginais condicionais das componentes θi de um vetor paramétrico θ, a partir da fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade conjunta p(θ1, . . . , θp). São as chamadas distribui¸cões condicionais completas e são da forma p(θi | θ1, . . . , θi−1, θi+1, . . . , θp).

O amostrador de Gibbs foi originalmente introduzido por Geman e Geman (1984),

mas foram Gelfand e Smith (1990) que compararam este amostrador com esquemas de

simula¸c˜ao estoc´astica. Podemos descrever o algoritmo da seguinte maneira: (i) inicialize o contador j = 1 e arbitre valores iniciais

θ(0) = (θ(0)₁ , . . . , θ_p(0));

(ii) obtenha θ(j) a partir de θ(j−1) sucessivamente da forma θ(j)₁ ∼ p(θ1 | θ (j−1) 2 , . . . , θ (j−1) p ) θ(j)₂ ∼ p(θ2 | θ (j) 1 , θ (j−1) 3 , . . . , θ (j−1) p ) θ(j)₃ ∼ p(θ3 | θ (j) 1 , θ (j) 2 , θ (j−1) 4 , . . . , θ (j−1) p ) .. . θ(j)_p ∼ p(θp | θ (j) 1 , θ (j) 2 , . . . , θ (j−1) p−1 ).

(iii) atualize o contador de j para j + 1 e retorne ao passo (ii) até a convergência. A convergência da cadeia de Markov é admitida quando a série gerada pelos valores sorteados das distribui¸cões condicionais completas alcan¸ca um estado de estacionarie-dade, significando que elas estão suficientemente próximas das distribui¸cões marginais dos parâmetros. Na literatura, vários procedimentos de avalia¸cão de convergência são

(30)

propostos, alguns exemplos podem ser vistos em Cowles e Karlin (1990) e Gamerman e Lopes (2006). Em nosso caso, avaliaremos a convergência dos parâmetros de interesse através da inspe¸cão visual dos tra¸cos das cadeias destes parâmetros após termos descar-tado quantidade suficiente de valores do in´ıcio da cadeia, o qual denominamos per´ıodo de aquecimento. Para diminuir a autocorrela¸cão entre os valores sorteados dos parâmetros, podemos ainda considerar um espa¸camento k entre estes valores, isto é, iremos considerar em nossa amostra somente valores sorteados a cada k itera¸cões. Pode ser mostrado, sob certas condi¸cões de regularidade, que θ(j) = (θ₁(j), . . . , θ(j)p ) converge em distribui¸cão para uma amostra da distribui¸cão a posteriori quando j tende a infinito.

Este algoritmo é extremamente útil quando conhecemos a forma das distribui¸cões

condicionais completas, porém quando não conhecemos devemos lan¸car mão de outros

m´etodos. Entre eles, est´a o algoritmo de Metropolis-Hastings descrito a seguir.

2.2.2 Algoritmo de Metropolis-Hastings

O algoritmo de Metropolis-Hastings foi inicialmente proposto por Metropolis et al.

(1953) e foi posteriormente estendido por Hastings (1970). Este método é geralmente utilizado quando as distribui¸cões condicionais completas não são identificáveis e, assim

como o amostrador de Gibbs, tem a finalidade de gerar amostras de uma distribui¸c˜ao

de probabilidade. Para isso, ele faz uso de uma distribui¸c˜ao auxiliar conhecida como

distribui¸cão proposta. Um valor proposto para o parâmetro é gerado desta distribui¸cão e este valor é preferido ou não com rela¸cão ao valor corrente da cadeia de Markov de acordo com uma probabilidade α.

Considere p(·) como a fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabili-dade da distribui¸cão a qual queremos simular e q(·) como a fun¸cão de probabilidade ou

fun¸c˜ao de densidade de probabilidade proposta que, em geral, sabemos como simular.

Podemos descrever o algoritmo de Metropolis-Hastings da seguinte maneira: (i) inicialize o contador j = 1 e arbitre um valor inicial θ(0);

(31)

(iii) o novo valor θ(j) ser´a θ(j)=    θ∗ com probabilidade α θ(j−1) com probabilidade 1 − α, em que α = min ( 1, p(θ ∗ )q(θ(j−1) | θ∗) p(θ(j−1))q(θ∗ | θ(j−1)₎ ) ; (2.9)

(iv) atualize o contador de j para j + 1 e retorne ao passo (iii) até a convergência. Geralmente, na prática, p(·) é a fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade da distribui¸cão condicional completa do parâmetro de interesse, a qual não sabemos simular, pois não é conhecida ou não possui solu¸cão anal´ıtica fechada. Portanto, quando esta situa¸cão ocorre, o passo de sorteio de um valor da distribui¸cão condicional completa dentro do amostrador de Gibbs é substitu´ıdo pelo passo de sorteio de um valor

de uma distribui¸c˜ao proposta q(·). Este valor proposto ser´a aceito como novo valor

corrente da cadeia com probabilidade α calculada em (2.9). Para um estudo detalhado

sobre m´etodos MCMC, verGamerman e Lopes (2006).

2.3 Modelos Dinˆ

amicos

Freq¨uentemente, estamos interessados em modelar fenˆomenos caracterizados por uma

evolu¸cão temporal. A grande motiva¸cão da utiliza¸cão de modelos dinâmicos na modela-gem de tais processos é a vantagem de podermos medir a incerteza associada à passagem

do tempo. Como exemplo, considere um modelo em que uma vari´avel resposta Y , em

um instante particular de tempo, est´a associada a uma vari´avel X da forma Y = Xθ + ,

em que θ é um parâmetro desconhecido e é um erro aleatório. Do ponto de vista

bayesiano, podemos expressar nossa incerteza a priori a respeito de θ atrav´es de uma

distribui¸cão de probabilidade p(θ). Este modelo é localmente apropriado para o particular instante de tempo, porém a própria natureza do processo requer que a incerteza devida a

(32)

evolu¸c˜ao temporal seja levada em considera¸c˜ao. Podemos incorporar esta caracter´ıstica

ao modelo se permitirmos que o parˆametro θ evolua suavemente no tempo atrav´es de

uma estrutura temporal imposta a ele. Quando nos referimos a modelo dinˆamico, o

termo “dinâmico”está relacionado justamente às mudan¸cas no processo sob observa¸cão devido a passagem do tempo.

2.3.1 Modelos Lineares Dinˆ

amicos (MLD)

A classe de modelos dinâmicos é bastante abrangente. Uma subclasse destes modelos bastante conhecida e utilizada na literatura é a subclasse dos modelos linerares dinâmicos

normais (MLD), em que supomos normalidade da vari´avel resposta e normalidade na

evolu¸cão dos parâmetros dinâmicos através do tempo. Nesta subse¸cão, faremos uma

breve revis˜ao sobre MLD. Para um estudo mais detalhado, verWest e Harrison(1997).

Considere uma s´erie temporal Y1, Y2, . . . em que Yt, para t = 1, 2, . . . , ´e um vetor

observacional de dimens˜ao (r × 1). Um MLD pode ser caracterizado atrav´es de duas

equa¸c˜oes da forma

Yt = F0tθt+ vt, vt ∼ N (0, Vt) (2.10a)

θt = Gtθt−1+ ωt, ωt∼ N (0, Wt), (2.10b)

em que, para t = 1, 2, . . . , temos que

• θt ´e um vetor p-dimensional denominado parˆametro de estado ou simplesmente

estado do modelo dinˆamico;

• Fté uma matriz de regressão (p × r) cujos elementos são valores conhecidos; • Gté uma matriz p × p conhecida que descreve a evolu¸cão temporal dos parâmetros

de estado;

• Vté uma matriz de covariância r × r conhecida associada ao erro observacional vt; • Wté uma matriz de covariância p × p conhecida associada ao erro de evolu¸cão dos

(33)

A equa¸cão (2.10a) é denominada equa¸cão da observa¸cão e relaciona o vetor de ob-serva¸cões Yt ao parâmetro de estado θt, enquanto que a equa¸cão (2.10b) é denominada equa¸cão do sistema e é responsável pela evolu¸cão dos parâmetros de estado através do tempo. Estas duas equa¸cões podem ser reescritas, para t = 1, 2, . . . , da forma

Yt| θt ∼ N (F0tθt, Vt) (2.11a)

θt| θt−1 ∼ N (Gtθt−1, Wt). (2.11b)

O modelo descrito em (2.10) é completamente especificado através da quádrupla {F, G, V, W}t e de uma distribui¸cão a priori assumida para os parâmetros de estado. Devido à própria estrutura markoviana do modelo, θt dado θt−1, para t = 1, 2, . . . , tem uma distribui¸cão normal, conforme podemos ver nas equa¸cões (2.10b) e (2.11b), porém ainda precisamos especificar quem é θ0. Denotamos por Dt= (D0, y1, . . . , yt) o conjunto de informa¸cões dispon´ıveis até o instante de tempo t, para t = 1, 2, . . . , em que D0 de-nota o conjunto de informa¸cões no instante inicial t = 0, ou seja, D0 denota o conjunto de informa¸cões a priori. Quantificamos esta informa¸cão a priori em termos de média e variância de uma distribui¸cão normal para θ0, isto é,

θ0 | D0 ∼ N (m0, C0), (2.12)

em que m0 e C0 são, respectivamente, a média e a variância da distribui¸cão a priori normal para θ0 que reflete nossa incerteza a respeito do processo sob estudo no instante de origem t = 0. Assim, atribu´ıda a distribui¸cão a priori para os parâmetros de estado, o modelo é completamente especificado.

Ainda, para o modelo descrito em (2.10), algumas suposi¸cões são feitas: estamos assumindo que as observa¸cões Yt são condicionalmente independentes dado θt, para t = 1, 2, . . . , assim como, para todo t 6= s, os erros observacionais vt e vs são independentes, os erros de evolu¸cão ωt e ωs são independentes, e vt e ωs são independentes.

Quando os valores dos elementos que compõem quádrupla {F, G, V, W}tsão conheci-dos, o procedimento inferência sobre os parâmetros de estado nesta subclasse de modelos pode ser feito através de algoritmos seqüenciais, como o Filtro de Kalman. Mais detalhes podem ser vistos em West e Harrison(1997).

(34)

2.3.2 Modelos Lineares Dinˆ

amicos Generalizados (MLDG)

A classe dos modelos lineares dinˆamicos generalizados (MLDG) foi introduzida por

West et al. (1985). Os modelos desta subclasse dos modelos dinâmicos são extensões dos modelos lineares dinâmicos (MLD) apresentados na Subse¸cão 2.3.1, mas agora sem a suposi¸cão de normalidade da variável resposta e sem a suposi¸cão de normalidade na evolu¸cão dos parâmetros de estado.

Considere uma série temporal Y1, Y2, . . . de observa¸cões univariadas. Assumimos agora que Yt, para t = 1, 2, . . . , segue uma distribui¸cão na fam´ılia exponencial: uma classe muita ampla de distribui¸cões que inclui, entre outras, a distribui¸cão normal. Se uma variável aleatória Yt cont´ınua ou discreta segue uma distribui¸cão na fam´ılia expo-nencial, sua fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade pode ser escrita como

p(Yt | ηt, φt) = exp{φt[Ytηt− b(ηt)]}c(Yt, φt), (2.13) em que b(·) e c(·, ·) são fun¸cões conhecidas, ηt é o parâmetro natural da distribui¸cão, satisfazendo a

E(Yt | ηt, φt) = ϑt= ˙b(ηt), (2.14)

e φt ´e um parˆametro de escala conhecido, satisfazendo a V ar(Yt| ηt, φt) =

¨_b(η_t₎ φt

, (2.15)

em que ˙b(·) e ¨b(·) s˜ao, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas da fun¸c˜ao b(·).

Podemos, ent˜ao, caracterizar um MLDG de forma semelhante ao MLD como

Yt ∝ exp{φt[Ytηt− b(ηt)]} (2.16a)

g(ηt) = F0tθt (2.16b)

θt = Gtθt−1+ ωt, ωt∼ (0, Wt). (2.16c)

Note que a equa¸cão da observa¸cão, descrita anteriormente em (2.10a) para um MLD, foi agora substitu´ıda pelo par de equa¸cões (2.16a) e (2.16b), em que g(·) é uma fun¸cão de

(35)

liga¸cão conhecida que relaciona o parâmetro natural da distribui¸cão ηt ao parâmetro de estado θt e g(ηt) é denominado preditor linear, o qual denotaremos por ϕt. Note também que a equa¸cão de evolu¸cão dos estados (2.16c) permanece igual à equa¸cão de evolu¸cão dos estados de um MLD, descrita em (2.10b), a não ser pelo fato de que agora os erros de evolu¸cão ωt não seguem necessariamente uma distribui¸cão normal.

Como em um MLD, o modelo ´e completado quando assumimos uma distribui¸c˜ao a

priori para os parâmetros de estado. De forma semelhante, a distribui¸cão do parâmetro de estado θt dado θt−1, para t = 1, 2, . . . , tem distribui¸cão imposta pela própria estrutura

markoviana do modelo. Resta-nos, ent˜ao, atribuir uma distribui¸c˜ao a priori para o

parâmetro θ0. Novamente, quantificamos a informa¸cão a priori a respeito do processo sob estudo no instante inicial t = 0, denotada por D0, através do primeiro e segundo momentos de uma distribui¸cão, que agora não é necessariamente normal, para θ0, isto é,

θ0 | D0 ∼ (m0, C0), (2.17)

em que m0 e C0 s˜ao, respectivamente, o primeiro e segundo momentos conhecidos da

distribui¸cão a priori para θ0. Em muitos casos, a forma desta distribui¸cão não precisa

ser conhecida totalmente, basta apenas que conhe¸camos os momentos m0 e C0.

Para o MLDG descrito em (2.16), como em um MLD, algumas suposi¸cões são feitas: as observa¸cões Ytsão condicionalmente independentes dado ηt, e além disso, dado ηt, são também independentes dos erros de evolu¸cão ωt, para t = 1, 2, . . . , e supomos também que, para todo t 6= s, os erros de evolu¸cão ωt e ωs são independentes.

O procedimento de inferência sobre os parâmetros de estado nesta classe de modelos, devido a complexidade, pode somente ser feito de forma aproximada. Se todas as quan-tidades envolvidas no modelo, com exce¸cão dos parâmetros de estado, são conhecidas, algoritmos seqüenciais baseados em estimadores Linear Bayes (Hartigan (1969)) podem ser utilizados na estima¸cão destes parâmetros. Algoritmos baseados nestes estimadores foram utilizados porWest et al.(1985). Outras abordagens e métodos de estima¸cão para os parâmetros de estado, inclusive métodos baseados nas idéias de West et al. (1985), serão discutidos na Se¸cão2.4.

(36)

2.4 Esquemas de Amostragem em Modelos Dinˆ

amicos

O grande desafio da estima¸cão em modelos dinâmicos é a estima¸cão do vetor de estados cujos elementos são altamente correlacionados, o que torna dif´ıcil a obten¸cão de amostras independentes. Há muitas propostas na literatura sugerindo diferentes maneiras de se obter amostras da distribui¸cão a posteriori destes parâmetros. Shephard e Pitt

(1997),Gamerman (1998),Geweke e Tanizaki (2001) e Ravines et al. (2007) consideram

abordagens baseadas no algoritmo de Metropolis-Hastings descrito na Subse¸c˜ao 2.2.2

dentro do amostrador de Gibbs descrito na Subse¸c˜ao 2.2.1. Particularmente, sugerem

distribui¸c˜oes propostas eficientes dentro do algoritmo de Metropolis-Hastings para sortear

os parˆametros de estado de modelos dinˆamicos na fam´ılia exponencial. O algoritmo

proposto por Gamerman(1998) e o algoritmo CUBS, proposto por Ravines et al.(2007)

ser˜ao apresentados nas subse¸c˜oes a seguir.

2.4.1 Esquema de Amostragem proposto por Gamerman (1998)

Gamerman(1998) sugere a utiliza¸cão de um modelo linear dinâmico normal ajustado a fim de construir uma densidade proposta eficiente para amostrar os parâmetros de estado

no algoritmo de Metropolis-Hastings. A amostragem destes parˆametros pode ser feita

individualmente ou em blocos, ou individualmente atrav´es dos erros de evolu¸c˜ao. Neste ´

ultimo caso, o modelo dinâmico é reparametrizado e os estados são representados em

termos dos erros de evolu¸c˜ao. Gamerman (1998) concluiu que a amostragem individual

´

e mais eficiente que a amostragem em blocos e que amostrar os erros de evolu¸c˜ao ´e

também mais eficiente, pois as cadeias geradas são menos autocorrelacionadas, o que pode acelerar a convergência. Entretanto, o algoritmo para amostrar os parâmetros de estado através dos erros de evolu¸cão é de dif´ıcil implementa¸cão e gera um custo computacional bastante significativo. Por esta razão, utilizaremos o esquema de amostragem individual e sortearemos diretamente os parâmetros de estado.

Considere Y1, . . . , YT, uma série temporal de observa¸cões univariadas para as quais assumimos o MLDG descrito em (2.16) com a diferen¸ca de que a evolu¸cão dos parâmetros

(37)

de estado, descrita pela equa¸c˜ao (2.16c), ´e assumida normal, ou seja,

θt= Gtθt−1+ ωt, ωt∼ N (0, Wt), (2.18)

em que Wt é assumido conhecido. Consideramos agora uma série de observa¸cões ajus-tadas ˜Yt, para t = 1, . . . , T , da forma

˜

Yt = ˜Yt(θt) = g(ϑt) + (Yt− ϑt) ˙g(ϑt) (2.19)

com variˆancias associadas Vt da forma

Vt= Vt(θt) = ¨b(ηt){ ˙g(ϑt)}2, (2.20)

em que ϑté a esperan¸ca de Yt da forma descrita em (2.14) e ηt é o parâmetro natural da fam´ılia exponencial descrita em (2.13). As observa¸cões ajustadas ˜Yt = ˜Yt(θt) e variâncias associadas Vt= Vt(θt) são fun¸cões do valor corrente do parâmetro de estado θtatravés da dependência funcional entre θt e a média ϑt. Podemos agora criar um modelo dinâmico normal ajustado cuja equa¸cão da observa¸cão, para t = 1, . . . , T , é da forma

˜

Yt(θt) = F0tθt+ vt, vt∼ N (0, Vt(θt)). (2.21)

A distribui¸c˜ao proposta para a amostragem do parˆametro de estado θt, para t =

1, . . . , T − 1, na itera¸cão j do algoritmo de Metropolis-Hastings é dada pela distribui¸cão condicional completa ajustada de θt cuja fun¸cão de densidade de probabilidade é da forma

˜

p(θt) ∝ p( ˜Yt | θt)p(θt| θt−1)p(θt+1 | θt)

∝ exp{−1/2[V_t−1( ˜Yt− F0tθt)2+ (θt− Gtθt−1)0Wt−1(θt− Gtθt−1) (2.22) +(θt+1− Gt+1θt)0Wt+1−1(θt+1− Gt+1θt)]},

que é a fun¸cão de densidade de probabilidade de uma distribui¸cão normal com variância Bt= (FtVt−1F 0 t+ W −1 t + G 0 t+1W −1 t+1Gt+1)−1 (2.23) e média bt = Bt(FtVt−1Y˜t+ W−1t Gtθt−1+ G0t+1W −1 t+1θt+1), (2.24)

(38)

com ˜Yt = ˜Yt(θ (j−1) t ) e Vt = Vt(θ (j−1) t ), em que θ (j−1)

t ´e o valor corrente da cadeia. Para

θT, a distribui¸cão proposta é uma distribui¸cão normal com variância BT = (FTVT−1F 0 T + W −1 T ) −1 (2.25) e média bT = BT(FTV_T−1Y˜T + W_T−1GTθT −1), (2.26) com ˜YT = ˜YT(θ (j−1) T ) e VT = VT(θ (j−1) T ), em que θ (j−1)

T ´e o valor corrente da cadeia.

Assim, para obter uma amostra do vetor param´etrico de estados Θ = (θ1, . . . , θT)0na itera¸c˜ao j do algoritmo de Metropolis-Hastings, os seguintes passos devem ser seguidos:

1. calcule o valor da observa¸c˜ao ajustada ˜Yt(θ (j−1)

t ) e variˆancia associada Vt(θ (j−1)

t ),

para t = 1, . . . , T , conforme visto em (2.19) e (2.20);

2. calcule Bt e bt, para t = 1, . . . , T − 1, conforme visto em (2.23) e (2.24), e calcule BT e bT, conforme visto em (2.25) e (2.26);

3. sorteie θ∗_t da distribui¸cão proposta normal com média bt e variância Bt, para t = 1, . . . , T ;

4. para t = 1, . . . , T , o novo valor θ(j)_t ser´a

θ(j)_t =    θ∗_t com probabilidade αt θ(j−1)_t com probabilidade 1 − αt, com αt= min ( 1, p(θ ∗ t)˜p(θ (j−1) t | θ ∗ t) p(θ(j−1)_t )˜p(θ∗_t | θ(j−1)_t ) ) , (2.27)

em que p(·) é a fun¸cão de densidade da distribui¸cão condicional completa de θt e ˜

p(·) é a fun¸cão de densidade da distribui¸cão proposta normal para θt (condicional completa ajustada de θt).

Os valores sorteados das distribui¸cões propostas calculadas através desta algoritmo geralmente tem altas taxas de aceita¸cão devido ao fato das aproxima¸cões serem bastante

convenientes. Para mais detalhes sobre as varia¸c˜oes deste esquema de amostragem, ver

(39)

2.4.2 CUBS

O algoritmo CUBS (do inglˆes Conjugate Updating Backward Sampling) foi proposto

porRavines et al. (2007) e, assim como o algoritmo proposto porGamerman(1998), su-gere o uso de uma distribui¸cão proposta eficiente para a amostragem dos parâmetros de estado dentro do algoritmo de Metropolis-Hastings. Para a obten¸cão desta distribui¸cão proposta, o CUBS combina duas abordagens existentes na literarura: o Conjugate

Up-dating, algoritmo baseado em aproxima¸c˜oes por Linear Bayes proposto por West et al.

(1985) para a estima¸cão em MLDG, e o Backward Sampling deFrühwirth-Schnater(1994) eCarter e Kohn (1994) para estima¸cão em MLD. A amostragem é feita em bloco, isto é, os valores sorteados da distribui¸cão proposta para o vetor de estados são aceitos ou re-jeitados em um movimento conjunto de todo o vetor de estados. Este esquema é análogo

ao FFBS (do inglˆes Forward Filtering Backward Sampling), algoritmo proposto,

inde-pendentemente por Frühwirth-Schnater (1994) e Carter e Kohn (1994), para estima¸cão em modelos lineares dinâmicos normais, cuja principal idéia está na decomposi¸cão da distribui¸cão a posteriori do vetor de estados em um produtório de distribui¸cões retros-pectivas. Detalhes sobre este algoritmo podem ser vistos em West e Harrison (1997). Estimador Linear Bayes

Considere um vetor de observa¸c˜oes Y n-dimensional e um vetor p-dimensional θ de

parˆametros a ser estimado. Para cada valor de θ e cada poss´ıvel estimativa d pentencente

ao espa¸co param´etrico Θ, associamos uma perda L(d, θ). Como dito na Se¸c˜ao 2.1.1,

uma estimativa ´otima para θ ´e o valor de d que minimiza a perda esperada a posteriori E[L(d, θ) | y], em que y representa os valores observados.

Considere agora que a distribui¸cão conjunta de θ e Y é parcialmente conhecida através de seu vetor de médias e matriz de covariância, ou seja,

  θ Y  ∼     a f  ,   R AQ QA0 Q    , (2.28)

e uma fun¸c˜ao perda quadr´atica

(40)

Para qualquer que seja a fun¸cão perda a ser considerada, a especifica¸cão da distribui¸cão conjunta do vetor de observa¸cões Y e do vetor de parâmetros θ em (2.28) não garante in-forma¸cão suficiente para identifica¸cão da estimativa ótima a posteriori. Média e variância a posteriori também são indefinidas. Uma alternativa a este problema é a utiliza¸cão de

uma aproxima¸cão da estimativa ótima através de um estimador Linear Bayes. Como o

risco a posteriori n˜ao pode ser calculado, o risco global

r(d) = E[L(d, θ)] = E[(θ − d)0(θ − d)] = TrE[(θ − d)(θ − d)0], (2.30)

baseado na fun¸cão perda quadrática em (2.29), é utilizado.

Um estimador Linear Bayes ´e um estimador linear da forma

d(Y) = h + HY, (2.31)

para algum vetor h de dimens˜ao p e alguma matriz H de dimens˜ao p × n, que

mini-miza o risco global em (2.30). Pode ser mostrado que o estimador Linear Bayes de θ

considerando a especifica¸c˜ao em (2.28) ´e da forma

m = a + A(Y − f ). (2.32)

O risco associado, por sua vez, ´e da forma

r(m) = Tr(C), (2.33)

em que

C = R − AQA0. (2.34)

Os valores de m e C podem ser interpretados como aproxima¸c˜oes do primeiro e segundo

momentos a posteriori de θ. Mais detalhes podem ser vistos emWest e Harrison(1997).

Conjugate Updating

O Conjugate Updating é um algoritmo de estima¸cão seqüencial proposto por West

et al.(1985) para aproximar a distribui¸c˜ao a posteriori dos parˆametros de estado em um

(41)

aplicadas ao n´ıvel das distribui¸cões a priori e em uma análise conjugada da distribui¸cão do parâmetro natural da fam´ılia exponencial descrita em (2.13).

Considere Y1, . . . , YT, uma série temporal de observa¸cões univariadas para as quais assumimos o MLDG descrito em (2.16). Suponha que a distribui¸cão posteriori de θt−1

no tempo t − 1 ´e conhecida parcialmente atrav´es de seu primeiro e segundo momentos

mt−1 e Ct−1, respectivamente, isto ´e,

θt−1 | Dt−1 ∼ (mt−1, Ct−1), (2.35)

em que, como dito na Subse¸cão2.3.1, Dt−1representa o conjunto de informa¸cões dispon´ıveis até o tempo t − 1. Através da equa¸cão de evolu¸cão em (2.16c), a distribui¸cão a priori do parâmetro de estado θt no tempo t − 1 é parcialmente conhecida através de sua média e variância, isto é,

θt| Dt−1∼ (at, Rt), (2.36)

em que

at = Gtmt−1 (2.37)

e

Rt= GtCt−1G0t+ Wt, (2.38)

em que Wt é assumido conhecido. Finalmente, através da equa¸cão (2.16b), temos que

g(ηt) | Dt−1 ∼ (ft, qt), (2.39)

em que

ft= F0tat (2.40)

e

qt= F0tRtFt (2.41)

(42)

Uma vez que observamos um valor yt, nossa informa¸cão dispon´ıvel no tempo t torna-se Dt= {Dt−1, yt} e estamos agora interessados em encontrar a distribui¸cão a posteriori de θt. Esta distribui¸cão não é conhecida, mas pode ser aproximada através de seu primeiro e segundo momentos da forma

p(θt | Dt) ∝ p(θt | Dt−1)p(yt| θt, φt) (2.42a) = p(θt | Dt−1)p(yt| ηt, φt) (2.42b) = Z p(θt, ηt | Dt−1)p(yt| ηt, φt)dηt (2.42c) = Z p(θt | ηt, Dt−1) p(ηt| Dt−1)p(yt | ηt, φt) | {z }

An´alise Conjugada

dηt (2.42d) = Z p(θt | ηt, Dt−1) | {z } Linear Bayes p(ηt| Dt)dηt (2.42e) ∼ = (mt, Ct), (2.42f)

em que mt e Ct s˜ao o primeiro e segundo momentos aproximados da distribui¸c˜ao a

posteriori de θt. O parâmetro de escala φt da fam´ılia exponencial é assumido conhecido. Na análise conjugada, assumimos uma distribui¸cão a priori conjugada para o parâmetro natural da fam´ılia exponencial ηt cuja fun¸cão de probabilidade ou fun¸cão de densidade de probabilidade é da forma

p(ηt| Dt−1) ∝ exp{αtηt− βtb(ηt)}, (2.43)

em que αte βtsão os parâmetros da distribui¸cão a priori conjugada à fam´ılia exponencial. Assim, a distribui¸cão a posteriori é conhecida e pode ser encontrada facilmente através do teorema de Bayes, isto é,

p(ηt| Dt) ∝ p(yt| ηt, φt)p(ηt| Dt−1) (2.44a)

∝ exp{(φtyt+ αt)ηt− (φt+ βt)b(ηt)}. (2.44b)

Os parâmetros αt e βt da distribui¸cão a priori conjugada de ηt não são escolhidos

arbitrariamente. Os valores destes parˆametros devem ser condizentes com os valores da

média e variância de ηtobtidos, respectivamente, na equa¸cão (2.40) e equa¸cão (2.41), pois estes estão relacionados. Uma vez que conhecemos a distribui¸cão a priori de ηt, podemos

(43)

encontrar m´edia e variˆancia a priori do preditor linear ϕt = g(ηt), respectivamente, da forma

E(g(ηt) | Dt−1) = r(αt, βt) (2.45)

e

V ar(g(ηt) | Dt−1) = s(αt, βt), (2.46)

em que r(·, ·) e s(·, ·) são fun¸cões conhecidas. Freqüentemente, não existe uma forma anal´ıtica para a esperan¸ca em (2.45) ou para a variância em (2.46). Neste caso, métodos de aproxima¸cão de fun¸cões, como aproxima¸cões de Taylor, podem ser utilizados. Os valores de αt e βt podem ser encontrados agora resolvendo-se o seguinte sistema:

   ft = r(αt, βt) qt = s(αt, βt). (2.47)

De posse dos valores de αt e βt que satisfazem o sistema em (2.47), podemos encontrar facilmente, através da conjuga¸cão, os parâmetros da distribui¸cão a posteriori de ηt da forma

α?_t = φtyt+ αt (2.48)

e

β_t? = φt+ βt, (2.49)

e por sua vez, podemos encontrar a m´edia e a variˆancia a posteriori do preditor linear ϕt= g(ηt) da forma

f_t? = r(α_t?, β_t?) (2.50)

e

q_t? = s(α?_t, β_t?). (2.51)

Na aproxima¸cão por Linear Bayes, consideramos inicialmente a especifica¸cão da dis-tribui¸cão a priori conjunta do parâmetro de estado θt e do preditor linear ϕt= g(ηt) da

(44)

forma   θt g(ηt) Dt−1  ∼     at ft  ,   Rt RtFt F0_tRt qt    , (2.52)

em que RtFt= Cov(θt, g(ηt)). Nosso interesse a princ´ıpio é aproximar por Linear Bayes a distribui¸cão a priori do parâmetro de estado θtcondicional ao parâmetro natural ηt, ou seja, queremos aproximar p(θt | ηt, Dt−1) ou, equivalentemente, p(θt| ϕt, Dt−1) através de seu primeiro e segundo momentos utilizando Linear Bayes. Pode ser mostrado facilmente

que estes momentos s˜ao da forma

˜

mt= at+ RtFt(g(ηt) − ft)/qt (2.53)

e

˜

Ct = Rt− RtFtF0tRt/qt. (2.54)

A partir de (2.53) e (2.54), podemos, atrav´es das propriedades da esperan¸ca e da variˆancia

condicional, encontrar o primeiro e segundo momentos a posteriori do parˆametro de

= V ar(E(θt| ηt, Dt−1) | Dt) + E(V ar(θt| ηt, Dt−1) | Dt) (2.56b)

= V ar( ˜mt| Dt) + E( ˜Ct| Dt) (2.56c)

(45)

Backward Sampling

Frühwirth-Schnater (1994) e Carter e Kohn (1994) propuseram o algoritmo FFBS (do inglês Forward Filtering Backward Sampling) para estima¸cão dos parâmetros de es-tado em modelos lineares dinâmicos normais. A idéia do método é amostrar todos os

elementos do vetor de estados em um passo de amostragem m´ultipla. Em um MLD, o

passo Forward Filtering, similarmente ao Conjugate Updating em um MLDG, consiste em calcular seqüencialmente o primeiro e segundo momentos da distribui¸cão a posteriori do parâmetro de estado θt, para t = 1, . . . , T . Estes momentos são encontrados através

do Filtro de Kalman. Neste caso, por´em, diferentemente do Conjugate Updating, a

dis-tribui¸c˜ao a posteriori de θt ´e exatamente conhecida, de modo mais espec´ıfico, θt segue

uma distribui¸c˜ao normal. O passo Backward Sampling do algoritmo FFBS ´e baseado na

decomposi¸cão da distribui¸cão a posteriori conjunta dos parâmetros de estado da forma p(θ1, . . . , θT | DT) = p(θT | DT)

T −1 Y

t=1

p(θt | θt+1, Dt). (2.57)

Pelo teorema de Bayes, para t = T − 1, . . . , 1, pode ser mostrado que

p(θt| θt+1, Dt) ∝ p(θt+1 | θt, Dt)p(θt| Dt) (2.58)

segue uma distribui¸c˜ao normal com m´edia

ms_t = mt+ CtG0t+1(Gt+1CtG0t+1+ Wt+1)−1(θt+1− Gt+1mt) (2.59) e variˆancia

Cs_t = Ct− CtG0t+1(Gt+1CtG0t+1+ Wt+1)−1Gt+1Ct, (2.60) em que mte Cts˜ao o primeiro e segundo momentos obtidos atrav´es do Filtro de Kalman.

O primeiro momento ms

t e o segundo momento Cst s˜ao denominados momentos

suaviza-dos. Para o tempo T , temos que ms_t = mt e Cst = Ct.

No algoritmo CUBS, substitu´ımos o passo Forward Filtering pelo Conjugate

Updat-ing. Uma vez que encontramos seq¨uencialmente o primeiro e o segundo momentos da

distribui¸cão a posteriori do parâmetro de estado θt, para t = 1, . . . , T , supomos nor-malidade desta distribui¸cão e baseando-nos na decomposi¸cão da distribui¸cão condicional

(46)

completa do vetor de estados em (2.57), encontramos os momentos suavizados da dis-tribui¸cão normal que, neste caso, é a distribui¸cão proposta. Assim, podemos sortear desta distribui¸cão um vetor de valores propostos para os parâmetros de estado, que será aceito

ou rejeitado em um movimento m´ultiplo dentro do algoritmo de Metropolis-Hastings.

Desta forma, para obter uma amostra do vetor param´etrico de estados Θ = (θ1, . . . , θT)0 na itera¸c˜ao j do algoritmo de Metropolis-Hastings, os seguintes passos devem ser segui-dos:

1. calcule mt e Ct, para t = 1, . . . , T , utilizando os passos do Conjugate Updating; 2. sorteie θ∗_T da distribui¸cão normal com média mT e variância CT;

3. para t = T − 1, . . . , 1, sorteie θ∗_t da distribui¸cão normal com média suavizada ms_t e variância suavizada Cs

t, calculadas conforme visto em (2.59) e (2.60); 4. o novo valor Θ(j) = (θ(j)₁ , . . . , θ(j)_T )0 ser´a

Θ(j)=    Θ∗ = (θ∗₁, . . . , θ∗_T)0 com probabilidade α Θ(j−1) = (θ(j−1)₁ , . . . , θ(j−1)_T )0 com probabilidade 1 − α, com α = min ( 1,p(Θ ∗ )q(Θ(j−1)) p(Θ(j−1))q(Θ∗) ) , (2.61)

em que p(·) é a fun¸cão de densidade da distribui¸cão condicional completa conjunta dos parâmetros de estado θte q(·) é a fun¸cão de densidade da distribui¸cão proposta

normal para Θ, que ´e calculada da mesma maneira que a fun¸c˜ao de densidade em

(2.57).

No cap´ıtulo seguinte, apresentaremos os modelos dinˆamicos de interesse para s´eries

temporais de contagem e faremos uma aplica¸c˜ao em que utilizamos o CUBS como

es-quema de amostragem proposto para os parˆametros destes modelos. Veremos que a

defini¸cão dos modelos considerados foge ligeiramente da defini¸cão de um MLDG vista (2.16) com respeito à fun¸cão de liga¸cão, que, neste caso, não estará necessariamente

apli-cada no parˆametro natural da fam´ılia exponencial. Iremos mostrar que o CUBS pode

ser utilizado com bons resultados ainda que a defini¸cão do modelo considerado não seja exatamente aquela a qual o algoritmo se propõe originalmente ser aplicável.