Matemática
Aluno
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Disciplina
Curso
Bimestre
Série
Matemática Ensino Fundamental 2° 7º Ano
Habilidades Associadas
1. Números Racionais na forma de fração e Operações com frações.
2. Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. 3. Realizar operações com números racionais nas formas de fração e decimal.
4. Compreender e aplicar o conceito de razão entre duas grandezas. 5. Utilizar o conceito de razão para calcular porcentagem.
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da autorregulação.
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.
A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.
Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.
Secretaria de Estado de Educação
Apresentação
Caro aluno,
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas habilidades e competências do 2º Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 7º Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período de um mês.
A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas atividades de forma autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do século XXI.
Neste caderno de atividades, iremos dar início ao estudo das frações e dos números decimais e estudaremos ainda o conceito de razão, proporção e porcentagem. Na primeira parte vamos reconhecer os Números Racionais sob a forma de fração e efetuar operações básicas com as frações. Iremos também efetuar operações utilizando números com vírgula. Você irá aprender o conceito de razão, proporção e, por fim, irá realizar cálculos envolvendo porcentagem.
Este documento apresenta 06 (seis) aulas. As aulas são compostas por uma
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias
relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e
atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as atividades propostas. As
atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõe-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.
Um abraço e bom trabalho!
Introdução ... 03
Aula 01: Números Racionais na forma de fração ... Aula 02: Operações com frações ... Aula 03: Números Racionais na forma decimal ... Aula 04: Operações com números decimais ... Aula 05: Razão e Proporção ... Aula 06: Porcentagem ... Avaliação ... Pesquisa ... Referências: ... 05 12 19 24 31 34 39 42 44
Sumário
Caro aluno, no primeiro bimestre você aprendeu a reconhecer inúmeras situações em que estavam presentes os números inteiros. Nesta primeira aula, você verá que muitas dessas situações podem envolver também os números descritos sob a forma de fração ou números com vírgulas. A estes números chamamos de números racionais.
Mas, antes de iniciarmos nosso estudo, vamos relembrar o que é uma fração e quais as partes que compõem uma fração.
Então, vamos lá!
1 – CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS:
.O conjunto dos números racionais é representado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração. Então, vamos iniciar nossa aula retomando um importante conceito já estudado anteriormente: frações.
A Fração é uma forma de se representar um número inteiro dividido em partes iguais. Por exemplo, como é que você representaria a quantidade referente a uma pizza que foi dividida em 6 partes iguais?
Matematicamente, você representaria simplesmente através da seguinte fração: .
A fração é a representação do valor 1 que é dividido por 6 partes iguais. Em toda fração, o termo que está acima do traço de fração é chamado de numerador e o termo que está abaixo do traço de fração chamamos de denominador. Observe:
Agora, que já relembramos o conceito de frações, vamos retomar a explicação sobre o conjunto dos números racionais? Como dissemos no inicio desta aula, número
racional é todo número que pode ser representado por uma fração com numerador e
denominador inteiros e denominador diferente de zero, porque não existe divisão por zero.
No entanto, é importante ressaltar que alguns números que aparentemente não estão na forma fracionária, ainda assim podem ser apresentados na forma de fração, observe:
+ 3 é um número racional, pois = 3. ─ é um número racional, pois
= ─
4,50 é um número racional, pois 4,50 = 4,5 = . 0,3333... é um número racional, pois 0,333... = .
OBSERVAÇÃO:
Existem números que não são racionais, por exemplo, as raízes quadradas não-exatas de números naturais.
= 64575... ;
Você se lembra que estudamos o conjunto dos números naturais (N) e o conjunto dos números inteiros (Z)? Então, agora que já conhecemos o conjunto dos
O conjunto dos números racionais é indicado pela letra .
números racionais podemos fazer algumas comparações interessantes entre eles. Observe:
Não é número natural (─ 5 N). ─ 5 É número inteiro (─ 5 Z).
É número racional ( Q).
É número natural (5 N). 5 É número inteiro (5 Z).
É número racional ( Q).
Não é número natural ( N). Não é número inteiro ( Z).
Não é número racional ( Q).
Não é número natural ( N). Não é número inteiro ( Z). É número racional ( Q).
2 – LOCALIZAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA:
Agora, vamos aprender a localizar os números racionais em forma de fração na reta numérica. Fique de olho!
A princípio, desenhe uma reta e marque a origem da reta numérica. Você se lembra o que é origem? Origem é o ponto que divide a reta ao meio. É nesse ponto que se localiza o zero e se separam os números positivos dos negativos.
Vamos aproveitar e marcar os números inteiros, sem esquecer que os positivos se localizam à direita da origem e os negativos, à esquerda.
Vamos recordar!!!
Agora que já representamos os números inteiros na reta numérica, vamos localizar números racionais. Considere como exemplo, .
Note que é um número racional localizado entre 0 e 1. Mas como sabemos que esta fração está localizada entre 0 é 1? Simples! Basta dividir 1 por 2. É isso mesmo! A fração significa que estaremos dividindo 1 por 2.
No entanto, dividir por 2 equivale a encontrar a metade do número. Logo, a metade de 1 é 0,5.
Observe que 0,5 é maior que 0 e menor que 1, por isso a sua localização entre 0 e 1, entendeu?
Vamos ver como fica na reta?
Antes de iniciarmos os nossos exercícios, vamos ver outro exemplo? Agora iremos localizar na reta um número racional negativo. Que tal − ?
Neste caso, vamos dividir −5 por 2. Para isto, utilize uma calculadora! Na próxima aula, estudaremos com mais detalhes a divisão de números decimais.
Então, como −5 : 2 = −2,5, e este é menor que −3 e maior que −2, podemos dizer que − estará localizado entre −3 e −2. Então, a representação deste número na nossa reta será a seguinte:
Agora, que já conhecemos um pouco mais sobre o conjunto dos números reais, vamos apresentar algumas situações nas quais esses números podem estar envolvidos:
3 − PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES:
É muito comum encontrar cálculos envolvendo frações em diversas partes da matemática. Ao estudarmos os números racionais na forma fracionária é importante que tenhamos clareza em como se calcula uma parte de alguma quantidade. Observe o exemplo a seguir:
EXEMPLO 01:
A sala de aula de uma turma de 7º Ano é composta por 36 alunos, dentre os quais são meninos e são meninas. Quantos meninos e quantas meninas estudam nesta turma?
Observe que neste caso a turma foi dividida em seis partes iguais, das quais, duas partes são de meninos e quatro partes são de meninas.
Transformando em linguagem matemática, vamos dividir a turma em seis partes iguais: 36 ÷ 6 = 6.
Vamos calcular o número de meninos: 2 x 6 = 12. Depois, o número de meninas: 4 x 6 = 24.
Que tal exercitarmos um pouco sobre o que você acabou de aprender? Então, vamos lá!
01. Observe esse delicioso bolo da imagem abaixo e indique que fração cada fatia
desse bolo representa.
Fonte: http://wwwjackbolosecia-jakinha.blogspot.com.br
02. Observe os números abaixo e responda se cada um deles é racional ou não. Se
necessário, faça uso da calculadora. Justifique a sua resposta:
a) b) – 3,5 c) d) – 8 e) −
03. Ao realizar uma prova de matemática com 35 questões, um aluno do 7º Ano do
Ensino Fundamental observou que da prova era composta de questões de geometria. Quantas questões de geometria caíram nesta prova?
04. Utilizando os sinais de maior (>) ou menor (<), faça a comparação entre os números racionais em forma de frações.
a) ______ b) – ______ c) ______ − d) _____ e) ______
05. Localize os números racionais − , , e − na reta numérica a seguir. (DICA: Utilize uma calculadora para transformar as frações em números decimais.)
Caro aluno, agora que você já aprendeu o que é um número racional na forma de fração, daremos início ao estudo das operações envolvendo frações. Como em nossa vida, muitas vezes temos a necessidade de operar com números racionais, nesta aula você irá aprender as técnicas necessárias para realizar adições, subtrações, multiplicações, divisões e potenciações envolvendo frações.
Aproveite bem a aula e depois teste tudo o que você aprendeu realizando as atividades propostas.
1 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES:
Antes de você realizar uma operação de adição ou de subtração envolvendo frações, você deverá observar o denominador das frações. De acordo com essa observação, você definirá como irá resolver essa operação. A soma e a subtração de frações necessitam que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador.
1.1 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES DE MESMO DENOMINADOR:
Para realizar adições ou subtrações de frações de mesmo denominador, basta repetir o denominador e, dependendo da operação, somar ou diminuir os numeradores.
Se todas as frações possuírem o mesmo denominador, basta realizar as operações entre os numeradores, tendo a devida atenção para as regras de sinais dos números inteiros. Observe os exemplos a seguir:
+
=
=
=
=
+
=
=
+
=
=
=
+
=
1.2 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES DE DENOMINADORES DIFERENTES:
Para realizar adições ou subtrações de frações de denominadores diferentes, não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiro devemos escrever todas as frações envolvidas no mesmo denominador.
Vamos exemplificar para ficar mais fácil para você! Consideremos o exemplo a seguir:
+
= ?
Como os denominadores são diferentes, precisamos representar as duas frações com o mesmo denominador, para isso iremos calcular o m.m.c entre os denominadores 5 e 2. Você lembra deste cálculo? Calculamos o m.m.c. entre dois números através da fatoração simultânea. Vamos recordar!
5 - 2 2 5 - 1 5 1 - 1
Logo, m.m.c.(5,2) = 2 x 5 = 10,
Mas, como vamos resolver a adição de frações quando as frações apresentarem
denominadores diferentes? É simples!
Vamos começar calculando o m.m.c. entre os denominadores!
Então, todas as frações deverão ter como denominador comum o número 10. Agora basta encontrar o novo numerador de cada uma das duas frações. Note que, dividindo 10 pelo seu denominador atual, encontramos o número o qual multiplicamos o denominador para que este se tornasse 10. Em seguida, multiplica-se o valor encontrado na divisão pelo numerador original da fração. Acompanhe!
10 ÷ 5 = 2 2 x 3 = 15 A nova fração será: . 10 ÷ 2 = 5 5 x 7 = 35 A nova fração será: .
Agora que convertemos as frações ao mesmo denominador, vamos calcular conforme as explicações do item 1.1. Tenha atenção para a regra de sinais, pois neste caso, teremos que calcular: – 15 + 35:
─ = 2 – MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES:
Caro aluno, você verá agora que a multiplicação de frações é a mais simples das operações que as envolvem. Na multiplicação, não há necessidade que as frações tenham um denominador comum. Para realizar a multiplicação de frações, basta você multiplicar os numeradores entre si e depois fazer o mesmo com os denominadores.
Acompanhe alguns exemplos:
.
=
=
.
=
=
3 – DIVISÃO DE FRAÇÕES:
Para que você compreenda melhor como realizar a divisão de frações, acompanhe no exemplo abaixo o passo a passo de como você deverá proceder para dividir uma fração por outra. Considere a seguinte divisão:
÷
.
1º - Você deverá manter a primeira fração em sua forma inicial;
2º - O sinal de divisão deverá ser substituído pelo sinal de multiplicação; 3º - Inverta a segunda fração
4º - Agora basta proceder normalmente como faz numa multiplicação de frações.
ATENÇÃO: Lembre-se da regra de sinais da multiplicação! Vamos ver como fica o nosso
exemplo!
÷
=
x
=
4 – POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES:
Para calcular a potência de uma fração, basta elevar tanto o numerador, quanto o denominador ao mesmo expoente da fração. Verifique como é simples!
Ou OBSERVAÇÃO:
Não esqueça de aplicar as regras básicas das operações de potenciação que você aprendeu quando estudou operações com números inteiros:
Toda potência de expoente zero é igual a 1. Exemplo:
0 = 1
Toda potência de base positiva é sempre positiva. Exemplo:
=
Toda potência de base negativa e expoente par é positiva. Exemplo:
=
Toda potência de base negativa e expoente ímpar é negativa. Exemplo:
Agora é a sua vez!! Vamos aplicar o que você acabou de aprender!
01. Efetue as operações abaixo envolvendo números racionais na forma fracionária:
a) + = b) − = c)
x
= d)÷
= e)=
Atividade 2
02. Descubra o valor de : a) + = b) + = c) x = d) ÷ = e)
=
03. Vamos treinar o teu raciocínio? Então pense, calcule e responda:
Se A = x e B = ÷ , quanto vale A – B?
04. O esquema abaixo mostra a distância, em quilômetros, entre as cidades W e Z. Veja
que está indicada a distância da cidade W até X e a distância de X até Y. Então, a fração referente à distância das cidades Y e Z é:
05. A receita de um bolo utiliza do tablete de margarina para a massa, para o recheio e para a cobertura. Quanto do tablete de margarina é utilizado nesta receita?
Agora que você já aprendeu sobre os números racionais em sua forma fracionária, que tal aprender um pouco sobre esses números na forma decimal?
Você verá que, assim como os números racionais podem ser representados na forma de fração, também podemos representá-los na forma decimal.
Então vamos lá! Para começar observe o gráfico abaixo, que apresenta em porcentagem (%) a evolução da indústria entre os anos de 2002 a 2012.
De acordo com o gráfico, os anos de 2009 e 2012 apresentam uma queda na produção industrial, enquanto nos outros anos houve um crescimento.
Os números 2,7; 0,1; 8,3; 3,1; 2,8; 6,0; 3,1; 10,5 e 0,4 são exemplos de números racionais positivos escritos na forma decimal. Já os números – 7,4 e – 2,7 são exemplos de números racionais negativos escritos na forma decimal.
Percebeu como é importante conhecer e sabe operar com os números racionais?
1 – NÚMEROS DECIMAIS:
Os números decimais são formados por uma parte inteira e outra fracionária (casa decimal) ou somente pela parte fracionária.
Alguns números decimais podem ser representados como frações decimais que possuem denominadores iguais a 10, 100, 1000, 10 000, etc. Como, por exemplo, temos:
1.1 – LEITURA DOS NÚMEROS DECIMAIS:
Um número decimal deve ser lido da seguinte maneira:
Número Decimal
Parte
Inteira Décimos Centésimos Milésimos Leitura
0,1 0, 1 Um décimo.
0,82 0, 8 2 Oitenta e dois centésimos.
0,315 0, 3 1 5 Trezentos e quinze milésimos.
8,743 8, 7 4 3 Oito inteiros, setecentos e
quarenta e três milésimos.
42,32 42, 3 2 Quarenta e dois inteiros e trinta
e dois centésimos.
2 – DÍZIMAS PERIÓDICAS:
Os números decimais infinitos também podem ser chamados de dízima periódica. Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que se repetem em grupos ou individualmente. Veja nos exemplos a seguir:
= 0,333333333... = 0,142857142857... = 0,111111111...
3 – LOCALIZAÇÃO DOS NÚMEROS DECIMAIS NA RETA NUMÉRICA:
Assim como fizemos com os números racionais fracionários, vamos aprender a localizar os números decimais na reta numérica. Preste Atenção!!
Depois de desenhar a reta numérica e fixar a origem e os números inteiros, iniciamos a marcação dos números decimais.
Como exemplo, vamos marcar na reta numérica os números racionais decimais 2,5 e − 1,5.
Observe que 2,5 é maior que 2 e menor que 3, por isso a sua localização será entre 2 e 3. E o número −1,5 é menor que −2 e maior que −1, por isso a sua localização será entre −2 e −1.
Vamos ver como fica na reta?
Que tal agora, iniciarmos nossos exercícios para testar o que você acabou de ver? Vamos lá, você consegue!
01. Utilize os sinais de maior (>) ou menor (<) e faça a comparação entre os números decimais, abaixo: a) 0,7 _____ − 1,0 b) - 3,5 _____ − 1,2 c) 0,62 _____ 0 d) - 1,6 _____ − 1,65 e) 1,3 _____ 1,333333...
02. Escreva como se lê os números decimais:
a) 0,5 - ... b) 1,25 - ... c) 0,02 - ... d) 3,001 - ... e) 0,00007 - ...
03. Observe o exemplo e passe os números racionais fracionários para a forma
decimal. (DICA: Se desejar, utilize uma calculadora.)
a) = 1 ÷ 2 = 0,5 b) = c) = d) = e) =
Atividade 3
04. Verifique se a fração pode ser escrita na forma de uma dízima periódica.
Agora que você já aprendeu o que é um número racional na sua forma decimal, vamos aprender como realizar as operações básicas envolvendo números com vírgula.
1 – ADIÇÃO:
Para realizar a soma de números decimais, você não pode esquecer, de organizar cada parcela de modo que as unidades de mesma ordem fiquem exatamente uma sobre as outras. Depois, some normalmente como fazemos com os números inteiros e, após a soma, insira a vírgula novamente no seu lugar correspondente.
Acompanhe o exemplo abaixo para eliminar qualquer dúvida que ainda exista!
EXEMPLO 01:
Vamos realizar a adição 2,6590 + 56,7014 + 0,7 + 1,09102:
2 – SUBTRAÇÃO:
Para realizar a subtração de números decimais, você deve agir de modo semelhante ao da adição. Irá colocar o minuendo embaixo do subtraendo, de forma que as unidades de mesma ordem fiquem exatamente uma sobre a outra. Depois você irá subtrair normalmente, inserindo a vírgula novamente no seu lugar correspondente.
Aula 4: Operações com Números Decimais.
As parcelas são posicionadas de forma que cada unidade fique exatamente sobre a mesma ordem que ocupam.
Dica: Se você tiver dúvida de como ordenar as parcelas,
basta ver que a vírgula deve ficar exatamente uma embaixo da outra.
EXEMPLO 02:
Vamos realizar a subtração 89,7685 – 4,25312:
3 – MULTIPLICAÇÃO:
Para multiplicar números decimais, você também deverá agir normalmente como se estivesse trabalhando com números inteiros. Para posicionar a vírgula corretamente no produto (resultado da multiplicação), você deverá contar quantas casas decimais os fatores (multiplicando e multiplicador) têm juntos, e colocá-la no produto contando da direita para a esquerda. (←).
Vamos ver o exemplo?
EXEMPLO 03:
Multiplicaremos 23,476 X 2,51:
O minuendo deve ficar posicionado embaixo do subtraendo, com a parte inteira e as casas decimais ocupando exatamente a mesma ordem.
Dica: Assim como na adição, se você tiver dúvida
de como ordenar o minuendo e o subtraendo, basta você ordenar de forma que a vírgula fique exatamente uma embaixo da outra.
IMPORTANTE:
Note que na multiplicação não há necessidade de colocar as unidades de mesma ordem exatamente uma embaixo da outra .
3.1 – MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL POR 10, 100, 1000, ETC.:
Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, ... basta você deslocar a vírgula, para a direita do número decimal, tantas casas decimais quanto forem o número de zeros do multiplicador.
EXEMPLO 04:
Vamos multiplicar 23,4569 por 100:
4 – DIVISÃO:
Para dividir dois números decimais, você deverá primeiro igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros a direita do termo que tiver menor número de casas decimais. Em seguida, elimine as vírgulas e realize a divisão normalmente, pois agora os números decimais se transformaram em números inteiros.
No caso da divisão por números decimais, você deverá prosseguir com a divisão até que ela se torne exata ou até que se atinja a quantidade de casas decimais desejada.
Complicado? Vamos exemplificar para que você compreenda melhor!
EXEMPLO 05:
1° Passo:
Normalmente, dividimos o número 26.798 por 2500. Para isso, vamos começar a divisão, dividindo 2.679 por 2500. Então, teremos resto 179. Descemos o algarismo 8 para continuar a conta, no entanto, não é possível continuar a divisão, pois 1798 menor que 2500.
2° Passo:
Como nós já descemos o algarismo 8, devemos inserir um zero seguido de vírgula no quociente e outro zero no resto. Agora, devemos dividir 17.980 por 2500. Observe:
3° Passo:
Divide-se 17.980 por 2500 e teremos quociente 7 e resto 480.
4° Passo:
Como já utilizamos a vírgula, podemos inserir um zero a cada linha. Divide-se 4800 por 2500, e teremos quociente 1 e resto 2300.
5° Passo:
Insere-se outro zero no resto e continuamos a divisão. Vamos dividir 23.000 por 2500, então teremos quociente 9 e resto 500.
Podíamos continuar a divisão, porém iremos encerrá-la com três casas decimais após a vírgula.
OBSERVAÇÃO:
Se o divisor for um número inteiro, basta você acrescentar a esse divisor quantos zeros for os números de casas decimais do dividendo e depois dividir como já vimos acima, por exemplo, 25,34 ÷ 2, ficaria assim: 2534 ÷ 200.
4.1 – DIVISÃO DE UM NÚMERO DECIMAL POR 10, 100, 1000, ETC.:
Assim como na multiplicação, se você for dividir um número decimal por 10, 100, 1000, ... basta você deslocar a vírgula. No entanto, na divisão, você irá fazer o deslocamento para a esquerda do número decimal. Vamos deslocar tantas casas decimais quanto forem o número de zeros do divisor.
EXEMPLO 06:
Bom, agora você pode verificar o que aprendeu. Realize com atenção as tarefas a seguir. Vamos lá, você consegue!
01. Você sabia que antigamente a medição dos pontos mais altos do Brasil era realizada
com o auxílio do barômetro? Somente a partir de 2004 a medição passou a ser feita com o auxílio dos satélites e com isso as altitudes dos nossos principais picos foram recalculadas, conforme a tabela a seguir:
Nome Localidade Altitude Antiga
Altitude Nova Pico da Neblina Serra Imeri (AM) 3.014,1 m 2.993,78 m
Pico 31 de Março Serra Imeri (AM) 2.992,4 m 2.972,66 m
Pico da Bandeira Serra do Caparaó (MG) 2.889,8 m 2.891,98 m
Pico da Pedra da Mina Serra da Mantiqueira (MG) 2.770,0 m 2.798,39 m
Pico das Agulhas Negras Serra da Mantiqueira (RJ) 2.787,0 m 2.791,55 m
Pico do Cristal Serra do Caparaó (MG) 2.780,0 m 2.769,76 m
Monte Roraima Serra de Pacaraíma (RR) 2.739,3 m 2.734,06 m
Fonte: IBGE
Agora, observe a tabela acima e responda:
a) De acordo com a nova medição, qual foi a diferença encontrada no Pico das Agulhas Negras?
b) Qual o pico que menos apresentou diferença entre as duas medições?
c) Qual a diferença entre o maior e o menor pico descrito na tabela acima, de acordo com a nova medição?
d) Os dois picos localizados na Serra do Imeri, no Amazonas, são considerados os mais altos do Brasil. Qual a diferença atual de altitude entre eles?
e) E antes da nova medição, qual era a diferença?
02. Arme e efetue:
a) 23,567 + 4,56 + 0,0003 = b) 45,6879 – 8,345 = c) 234,67 X 2,582 = d) 30,118 ÷ 8,14 =
03. Utilizando a regra prática que você aprendeu sobre multiplicação e divisão por 10,
100 , 1000, etc., resolva: a) 87,4567 X 100 = b) 1,297642 X 1000 = c) 0,8609 X 10 = d) 786,4510 ÷ 100 = e) 67,567 ÷ 10 =
04. Calcule conforme o modelo:
a) 0,3 de 360 = 180 b) 0,5 de 1500 = c) 1,2 de 250 = d) 2,5 de 120 =
05. Um vendedor colocou 25 caixotes de legumes numa carroça e saiu para vender.
Caro aluno, nesta aula você vai aprender sobre razão e proporção. Através de alguns exemplos estudaremos o conceito de razão e proporção entre grandezas!
Este assunto está presente em diversas situações do dia a dia, por exemplo, ao nos inscrevermos para um concurso ouvimos a frase que a relação candidato por vaga é de 7 para 3. Neste momento, estamos diante de uma razão. Observe que estamos fazendo uma comparação entre o número de vagas e o número de candidatos inscritos.
Representamos esta razão da seguinte forma:
Mas como chegamos a essa razão? É simples! Olha só!
No concurso tivemos 3.570 pessoas inscritas disputando o total de 1530 vagas, então, para saber a razão, basta simplificar esta razão.
Vamos apresentar uma forma diferente de realizar essa simplificação, observe o cálculo a seguir! Vamos fazer a decomposição dos dois números ao mesmo tempo pelos divisores em comum aos dois. Observe como é fácil!
Aula 5: Razão e Proporção
Só efetuamos a divisão se os dois números puderem ser divididos pelo mesmo número.
Então, podemos chegar à conclusão que:
= , ou seja, temos uma razão 7
para 3. Em outras palavras, retomando ao nosso exemplo inicial, temos que para cada 7 candidatos temos 3 vagas.
Essa igualdade = é chamada de PROPORÇÃO, pois é uma igualdade entre duas razões.
Agora, vamos testar o que você aprendeu?
01. Numa escola trabalham 27 professoras e 18 professores. Além disso, sabemos que
nesta escola estudam 560 meninos e 840 meninas. Responda:
a) Qual a razão entre o número de professoras e de professores?
b) Qual a razão entre o número de meninos e o de meninas?
02. Qual razão é igual a , cujo o antecedente seja igual a 6? E se o antecessor fosse 12, qual seria a razão?
DICA: a
antecedente
consequente
03. Numa urna existem diversas bolinhas, das quais 4 bolinhas são azuis e as restantes,
vermelhas.
a) Se = é a proporção entra as bolinhas azuis e vermelhas, quantas bolinhas vermelhas há na urna?
b) E se a nova proporção fosse = , quantas bolinhas vermelhas há agora na urna?
04. Numa pesquisa realizada sobre as idades das pessoas que estavam numa pequena
fila, descobriu-se que Paula tem 30 anos, Roberto tem 45 anos, Maria tem 27 anos e Luiz tem 36 anos. Responda:
a) Qual a razão entre as idades de Paula e Roberto?
b) Qual a razão entre as idades de Maria e Luiz?
05. A distância entre duas cidades é de aproximadamente 480 Km. Para calcular a
velocidade média de um automóvel que faz esse percurso em 5 horas, usamos a razão
, como 480 ÷ 5 = 96, concluímos que esse automóvel viajou numa velocidade média de 96 Km/h. Com base nisso, qual seria a velocidade média desse automóvel se o percurso fosse feito em 8 horas?
Caro aluno, nesta aula você irá estudar um pouco sobre porcentagem. Mas você sabe o que significa porcentagem? A porcentagem vem do latim per centum, que significa por cento ou a cada cem. É uma medida de razão com base 100 (cem). Quando você avançar nos estudos da porcentagem, irá perceber o quanto ele está presente em nosso cotidiano e o quanto é importante para que você entenda as notícias que lê, quando estas indiquem porcentagem.
No nosso dia a dia, o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em quantidades, números e preços estão sempre presentes.
Observe alguns exemplos de situações do nosso dia a dia:
Os alimentos aumentaram 15% em um ano. Um cliente recebeu um desconto de 5%.
Na verdade, a porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, é uma razão cujo denominador é 100. Nos casos acima, as razões seriam:
e
De outra forma podemos dizer que:
= 0,15 = 15% ( lê-se “quinze por cento”)
= 0,05 = 5% (lê-se “cinco por cento” )
No entanto, você deve estar se perguntando como calcular um percentual sobre algum valor! É simples, acompanhe os exemplos a seguir:
Aula 6: Porcentagem
EXEMPLO 01:
Calcular 20% de 500:
Para calcular 20% de 500 basta multiplicar o valor pela razão centesimal, ou seja:
x 500 = x = 100 EXEMPLO 02:
Uma pessoa vendeu 60% de sua coleção de 800 livros. Quantos livros a pessoa vendeu? 60% de 800 = x = = 480
A pessoa vendeu 480 livros.
1 – PROBLEMAS ENVOLVENDO PORCENTAGEM:
Muitos problemas dos nosso dia a dia envolvem percentuais, por isso, é importante saber realizar algunas cálculos de porcentagens mentalmente. Acompanhe o raciocínio dos exemplos abaixo:
EXEMPLO 03:
Uma sala de aula tem 40 alunos. Podemos dizer que:
100% da sala de aula são 40 alunos → 100% significa total. 50% da sala de aula são 20 alunos → 50% significa metade.
25% da sala de aula são 10 alunos → 25% significa metade da metade. 20% da sala de aula são 8 alunos → 20% significa a quinta parte (40÷5=8). 10% da sala de aula são 4 alunos → 10% significa a décima parte
(40÷10=4).
60% da sala de aula são 24 alunos → 60% significa 6 X 4 = 24. 80% da sala de aula são 32 alunos → 80% significa 8 X 4 = 32.
Entendeu?
01. Represente as frações em forma de porcentagem e escreva como se lê: a) = b) = c) = d) = e) =
02. Escreva a porcentagem que representa a parte pintada de cada figura:
03. Calcule e responda: a) 45% de 80 = b) 56% de 1200 = c) 28% de 900 = d) 8% de 142,00 = e) 6% de 247,00 =
04. Calcule mentalmente e complete:
a) Um grupo tem 600 integrantes, 100% desse grupo têm _____ integrantes. b) Uma estante tem 250 livros, 10% desses livros têm _____ livros.
c) Um cinema tem 400 poltronas, 25% dessas poltronas são _____ poltronas. d) Um livro tem 1200 páginas, já li 20% do livro, então, já li _____ páginas.
05. Na promoção de uma loja, uma bicicleta custa R$ 240,00. Se o pagamento for
realizado à vista, a loja está concedendo um desconto de 5%. Então, quanto pagará um cliente que comprar a bicicleta à vista?
Agora chegou o momento de avaliar tudo que você estudou neste bimestre, e verificar se você aproveitou bem as nossas aulas. Leia cada uma das questões e responda com bastante atenção.
01. Cada pedaço do bolo abaixo pode ser representado pela fração:
(A) (B) (C) (D) (E) 02. Sabemos que,
de um livro que contém 890 páginas já foram lidas. Esta
quantidade de páginas corresponde a:
(A) 267 páginas (B) 296 páginas (C) 189 páginas (D) 269 páginas (E) 276 páginas 03. O resultado da divisão
÷
é: (A) (B)Avaliação
(C) (D) (E) 04. Na soma + =
,
o valor de x é: (A) 6 (B) 9 (C) 8 (D) 11 (E) 305. A fração equivale ao número decimal:
(A) 1,2 (B) 2,1 (C) 1 (D) 0,5 (E) 0,2 06. O resultado da multiplicação 3456,7820 x 1000 é: (A) 3,4567820 (B) 34,567820 (C) 3456782,0 (D) 345678,20 (E) 345,67820
07. A mãe de Marcos tem 38 anos e seu pai tem 42 anos. A razão entre as idades da mãe e do pai de Marcos é:
(A) (B) (C) (D) (E) 08. 12% de R$ 150,00 equivale a : (A) R$ 1.800,00 (B) R$ 180,00 (C) R$ 80,00 (D) R$ 18,00 (E) R$ 1.250,00
Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 2° bimestre, é hora de pesquisar e descobrir curiosidades sobre os assuntos abordados. Então, vamos lá!
I − Você já ouviu falar em frações aparentes e frações correspondentes? Não? Então
pesquise e responda abaixo o que são frações aparentes e frações correspondentes. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
II − Em todos os prismas, o número de vértices é igual a do número de aresta? Observe os desenhos abaixo, verifique se a informação é verdadeira. Pesquise outras figuras que confirmem ou não esta afirmação!
III − A utilização da porcentagem existe desde a época do Império Romano (246 a.C. a
14 d.C.).Pesquise como o Imperador Augustos (27 a.C. a 14 d.C.) usava a porcentagem naquela época?
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04. Pesquise, em jornais e revistas, reportagens em que apareçam porcentagens
importantes. Após a pesquisa, recorte as reportagens e cole no espaço abaixo:
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05. No link http://www.youtube.com/watch?v=aTAI9Q9X3_s está disponível um vídeo que apresenta o conceito de frações através do tangran. Assista ao vídeo e responda. Que fração da figura do tangran o triângulo grande representa?
[1] Bosquilha, Alessandra. Mini-manual compacto de matemática: teoria e Prática. 2
ed. São Paulo: Rideel, 2003.
[2] Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Volume 2. São Paulo: Ática, 2005.
[3] Ferreira, Marcus Vinicius Reis. Geometria Analítica e Espacial. 1 ed. Rio de Janeiro,
2004.
[4] Giovanni, José Ruy, 1937 – A conquista da matemática. 7º Ano, Edição renovada.
São Paulo: FTD, 2008.
[5] Bianchini, Edwaldo – Matemática. 6 ed. São Paulo: Moderna, 2011. [6] Site www.youtube.com.br
COORDENADORES DO PROJETO Diretoria de Articulação Curricular
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Coordenação de Áreas do Conhecimento Bianca Neuberger Leda
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