APOSTILA 2013 - Parte 2

SUMÁRIO

Matemática

Aula 12: Conjuntos 2

Aula 13: Funções 3

Aula 14: Funções de 1º e 2 º Grau 4

Aula 15: Trigonometria I 5 Aula 16: Trigonometria II 6 Aula 17: PA 8 Aula 18: PG 9 Aula 19: Polinômios 9

Química

Aula 5: Ligações Químicas 11

Aula 6: Funções Inorgânicas 13

Aula 7: Balanceamento 15

MATEMÁTICA – PARTE 2

AULA 12 – Conjuntos

A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Alguns exemplos:

1- Conjunto das vogais.

2- Conjunto dos times paulistas.

3- Conjunto dos planetas do sistema solar. 4- Conjunto dos números ímpares positivos.

Cada membro do conjunto recebe o nome de elemento, assim, nos exemplos acima temos os elementos:

1- a, e, i, o, u.

2- São Paulo, Palmeiras, Corinthians, … 3- Mercúrio, Venus, Terra, …

4- 1, 3, 5, 7, …

No conjunto dos números ímpares temos que 1 é um de seus elementos, então dizemos que 1 pertence ao conjunto dos números ímpares. Se chamarmos o conjunto dos números ímpares de A, então:

(1 pertence a A)

É importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjuntos das seleções que disputam um campeonato mundial é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.

Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.

1- Conjunto das vogais {a,e,i,o,u}

2- Conjunto dos números ímpares positivos {1,3,5,7,9,…}

3- Conjunto dos números inteiros de 0 a 500 {0,1,2,3,…,500}

Alguns conjuntos notáveis:

1- Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. Esse conjunto pertence a todos os outros conjuntos. O símbolo usado para ele é 2- Conjunto universo, quando vamos desenvolver um

certo assunto de matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem TODOS os elementos do assunto. Se procuramos a solução real de uma equação então o nosso conjunto universo são os reais.

Subconjunto, um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.

Quando (A é subconjunto de B), também podemos escrever (B contém A).

União de conjuntos ( ), dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A ou a B, exemplo: 1- {a,b} {a,c,d}={a,b,c,d}

2- {a,b,c} ={a,b,c}

Propriedade associativa da união:

( ) ( )

Intersecção, dados dois conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B. Exemplo:

1- {a,b} {a,c,d}={a} 2- {a,b,c} =

Propriedade associativa da união: 3- ( ) ( ) Propriedades

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

1- ( ) 2- ( )

3- ( ) ( ) ( ) 4- ( ) ( ) ( )

Diferença, dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Exemplo:

1- {a,b}-{a,c,d}={b} 2- {a,b,c}- ={a,b,c}

Diagramas de Venn, esses diagramas foram inventados para representar todas as possíveis interações entre conjuntos. Dois deles são essenciais: o para dois conjuntos

E o para três

Finalmente, denota-se o número de elementos de um conjunto A como n(A), assim para a união de dois conjuntos A e B, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

Exemplo: Numa sala onde 50 gostam de matemática e/ou física: 30 gostam de matemática e 10 gostam de matemática e física, quantos gostam de física? Sendo A alunos que gostam de matemática e B que gostam de física:

( ) Assim, os que gostam de física são em 30.

A B

A B

Exercícios

1. Construir o Diagrama de Venn que simbolize a seguinte situação: A, B, C, D são conjuntos não vazios e A  B  C  D

2. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 7}, B= {3, 7, 9} e C = {1, 2} determine os conjuntos: (a) AB, (b) AC, (c) BC e (d) ABC.

3. Dados os conjuntos A = { a, b, c, d}, B = {b, c, d, e} e C = {b, c}, determine (a) A – C, (b) AB – C e (c) A – B. 4. Uma população consome três marcas de sabão em pó:

A, B e C. Feita uma pesquisa, foram colhidos os seguintes resultados:

Marca A B C A e B A e C B e C Todas nenhuma Pessoas 60 50 40 25 20 15 5 2

Pede-se:

(a) o número de pessoas consultadas

(b) o número de pessoas que só consomem a marca A (c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C

(d) o número de pessoas que consomem, pelo menos, duas marcas.

Respostas:

2) (a) AB = {3, 7} (b) AC = {1, 2, 3, 4, 7} (c) BC =  (d) ABC = { 1, 2, 3, 4, 7, 9} 3) (a) A – C = { a, d}, (b) AB – C = {a, d, e} (c) A – B = {a}

4) (a) 115 (b) 30 (c) 17 (d) 50

AULA 13 – FUNÇÕES

No estudo científico de qualquer fato sempre procuramos identificar grandezas mensuráveis ligadas a ele e, em seguida, estabelecer as relações existentes entre essas grandezas. Por exemplo, um pintor cobra R$ 5,00 para m2 que pintar. Para não precisar fazer contas a todo momento, ele utiliza a seguinte tabela:

Área (m2) 1 2 5 10 20

Preço (R$) 5 10 25 50 100

Neste caso, estão sendo medidas duas grandezas: a área a ser pintada e o respectivo preço. A cada área pintada corresponde um único preço. Dizemos por isso que o preço é uma função da área. Nesse caso é possível acharmos uma formula que associa a área ao preço:

Preço = 5. área

ou, se chamarmos o preço de y e a área de x: y = 5x

Em outro exemplo, um pedreiro vai achar o número de azulejos que precisa comprar para revestir uma parede de 4 m X 10 m. Na loja existem azulejos de 2 cm X 2 cm, 4 cm X 4 cm e 10 cm x 10 cm. Para isso, ele divide a área de cada azulejo (em metros) pela área total:

Número de azulejos = área total / área de cada azulejo O pedreiro já pegou o serviço e portanto, a área a ser revestida é constante (40 m2). Se chamarmos o número de azulejos de y, e o lado de cada azulejo por x teremos:

(y em m2, x em m)

Nos dois exemplos anteriores, para cada valor de x, existe um único valor de y. Dizemos que y é uma função de x e representamos por y = f(x).

O conjunto dos valores que podem ser atribuídos a x é chamado de domínio da função (D). O conjunto de valores que podemos obter em y é chamado de imagem da função (Im). Graficamente, temos:

Funções definidas por formulas

Por exemplo, a função que associa o número x ao número y, onde y é o dobro de x será: y = x2

O domínio de f é D = {1, 2, 3} e a imagem é Im = {1, 4, 9} Para uma relação f ser considerada uma função, é necessário satisfazer duas condições:

 Todo elemento de D deve ter um correspondente em Im

 Cada elemento de D deve ter apenas um correspondente em Im.

Veja os casos:

Contradomínio: contém os elementos que podem ser associados ao domínio. A imagem são os valores que f(x) efetivamente assume. O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio. Im  CD. f(x) D Im y = x2 1, 2, 3 1, 4, 9 é função! é função!

é função! não é função!

Exercícios

5. Qual(is) exemplo(s) abaixo define(m)( uma função?

6. Determine o conjunto imagem de f(x) = 2 + x2. Sabe-se que D = {1, 2, 3}

7. Determine o domínio de g(x) = 3x – 2 sabendo-se que a imagem é o conjunto Im = { 4, 10, 16}

8. Determine a função h(x) onde D = {2, 4, 6} e Im = {5, 9, 13}

9. Seja uma função com domínio nos números reais (xR) definida por f(x) = 3x2 + 3.

(a) Calcule f(0), f(-2) e f(1)

(b) Calcula o(s) valor(es) de x para que f(x) = 30

Respostas 5) c e d 6) Im = {3, 6, 11} 7) D = {2, 4, 6} 8) f(x) = 2x + 1 9)(a) f(0) = 3, f(-2)= 15 e f(1) = 6 (b) x = ±3

AULA 14

Funções de 1° e 2° grau

Função constante

Qualquer que seja o elemento do domínio, a imagem será sempre a mesma, ou seja, ao variarmos x, encontramos sempre o mesmo valor C. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x.

Exemplos de funções constantes:

a) y = 3 b) y = -2 c) y = 0

Nota: Uma função pode ter sua imagem representada por f(x) ou por y. Por exemplo: f(x) = 3x + 4 ou y = 3x + 4

Função identidade

E uma função que dá como imagem de cada elemento, o próprio elemento, ou seja, f(x) = x, para qualquer valor de x. O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Observe que essa reta passa pela origem (0,0).

Exemplos de funções identidade: a) y = x b) k = m

Função linear

E a função expressa por f(x) = ax, com a ≠ 0. O gráfico da função linear é uma reta qualquer que passa pela origem. Exemplos de funções lineares:

a) y = 3x, onde a = 3 b) y =-2x, onde a = -2 c) y = x, onde a =

Função afim

E a função que tem por equação: f(x) = ax + b, com a ≠ 0. O gráfico da função afim é uma reta qualquer. Observe que se b = 0, a função afim transforma-se numa função linear e o gráfico passa pela origem. Se a = 0, a função afim transforma-se numa função constante. Na função afim, o valor

a

é chamado coeficiente angular e o valor

b

é chamado coeficiente linear. Graficamente,

a

é a inclinação da reta e é numericamente igual ao valor da tangente do ângulo entre a reta da função e o eixo dos x, enquanto que

b

é o ponto onde a reta corta o eixo dos y.

Exemplos de funções afim: a) y = 3x + 2, onde a = 3 e b = 2 b) y = -2x + 1, onde a = -2 e b = 1 c) y = x – 3, onde a = 1 e b = -3 d) y = 4x, onde a = 4 e b = 0.

Exemplo

Construir o gráfico da função y = 2x + 1.

Função constante

Função identidade

Função identidade

Sabendo que o gráfico de uma função afim é uma reta, devemos atribuir dois valores distintos a x e calcular os correspondentes valores de y.

Portanto, o gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 3).

Funções do 2° grau

Uma função f de R em R recebe o nome de função do 2° grau quando associa a cada x Є R o elemento (ax2+ bx + c) Є R, onde a ≠ 0.

Exemplos de funções do 2° grau:

(a) f(x) = x2 – 3x + 2 onde a = 1, b = -3, c = 2 (b) f(x) = 2x2 + 4x – 3 onde a = 2, b = 4, c = -3 (c) f(x) = -3x2 + 5x - 1 onde a = -3, b = 5, c = -1 (d) f(x) = x2 – 4 onde a = 1, b = 0, c = -4 (e) f(x) = -2x2 + 5x onde a = -2, b = 5, c = 0

O gráfico dessa função é uma parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0 a concavidade da parábola está voltada para baixo.

Exemplo:

Construção do gráfico da função f(x) = x2 - 1

I - Método da tabelinha

II - Metodo dos três pontos (duas raízes e vértice) 1) Acha-se as duas raízes pela fórmula de Báskara :

2) Acha-se o vértice da parábola:

Sabendo que o gráfico é uma parábola com vértice no ponto (0, -1) e que cruza o eixo dos x nos pontos (-1, 0) e (1, 0), traçamos o gráfico acima.

Se  = 0 → a função tem duas raízes iguais. Se  > 0 → a função tem duas raízes diferentes. Se  < 0 → a função não tem raiz, ou seja, o gráfico não

corta o eixo x.

Abaixo estão os tipos de gráficos que podem existir:

EXERCÍCIOS

10. Desenhe o gráfico das funções: (a) y = 2x – 1 (b) y = 3x + 2. (c) y = -3x – 4 (d) y = -2x + 3

11. Desenhe o gráfico das retas, dados os coeficientes angular e linear:

(a) a = 1 e b = 5 (b) a = -2 e b = 3 (c) a = 0 e b = 3

12. Obter a equação das retas que passam pelos pontos: (a) (1, 4) e (2, 2) (b) (0, -2) e (3, 5) (c) (-2, -3) e (0,0)

13. Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 3.

14. Obter a equação da reta que passa pelo ponto (3, 2) e tem coeficiente angular igual a .

15. Determine, se existirem, os zeros reais das funções: (a) f(x)= 3x² - 7x + 2 (b) f(x)= -x² + 3x - 4 (c) f(x)= -x² + 3/2x + 1 (d) f(x)= x² - 4 (e) f(x)= 3x² (f) f(x)=x - 2x²-1 (g) f(x)=x² + 2x + 1 (h) f(x)=14x² - 7x + 149 (i) f(x)=9x² - 16 (j) f(x)=(x - 3)(x + 1)

16. Construa o gráfico das seguintes funções: (a) f(x)= x² - 16x + 63 (b) f(x)= 2x² - 7x + 3 (c) f(x)= 4x² - 4x +1 (d) f(x)= -x² + 4x - 5 (e) f(x)= -2x² + 8x - 6

17. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.

(a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice

(b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?

(c) Esboce o gráfico que represente esta situação. 18. O movimento de um projétil, lançado para cima

verticalmente, é descrito pela equação y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente, a quanto?

19. Sabe-se que a equação 5x2- 4x + 2m = 0 tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condições, determine o valor de ‘m’.

20. Determine o valor de ‘p’ na equação x2– px + 9 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.

Respostas 12) (a) y = -2x + 6 (b) y = 7/3x – 2 (c)y = 3/2x 13) y = 3x 14) y = -x/2 + 7/2 15) (a) x = 2 ou x = 1/3 (b) (c) x = 2 ou x = ½ (d) x = 2 ou x = -2 (e) x = 0 (f) x = 1+√ ou x = 1-√ 17) (a) 4s (b) 16m 18) 250m e 5s 19) m<2/5 20) p=6 ou p=-6

AULA 14 – TRIGONOMETRIA I

Perímetro da circunferência de raio r:

Arco ̅̅̅̅ na circunferência de raio r:

Transformações de ângulos - de graus para radianos:

- de radianos para graus:

Os ângulos notáveis (em graus):

Os ângulos notáveis (em radianos):

Valores básicos de seno, cosseno e tangente:

EXERCÍCIOS

21. Passar os seguintes ângulos para radianos:

a) 45° b)75° c) 135° d) 720° e) 120° 22. Passar os seguintes ângulos para graus:

a) 3π b) c) d) e) f)

23. Uma pizza tem 9 pedaços. Quando comemos 3 fatias, a parte vazia faz um arco de quantos graus? Dê a resposta também em radianos.

24. Calcular o seno, o cosseno e a tangente dos seguintes ângulos:

a) 135° b) 180° c) 270°

d) 315° e) 120° f) 210°

25. Para os seguintes ângulos, dizer qual é maior: seno ou cosseno? a) : seno , cosseno = . π 𝜋 0 ou 2π 𝜋 𝜋 4 𝜋 4 𝜋 4 7𝜋 4 0 ou 360⁰ 180⁰ 45⁰ 270⁰ 90⁰ 315⁰ 225⁰ 135⁰

b) 50° : seno = , cosseno = . c) 89° : seno = , cosseno = . d) 100° : seno = , cosseno = . e) 260° : seno = , cosseno = . f) 350° : seno = , cosseno = . 26. O círculo trigonométrico tem raio unitário. Imagine o

conjunto de todos os valores que uma função pode assumir. Determine:

a) A imagem da função f(x) = sen(x). b) A imagem da função f(x) = cos(x).

27. Faça o gráfico da função: f(x) = sen(x) + cos(x) para o intervalo [0;2π] , ou seja, x variando de zero a 2π radianos. O eixo das ordenadas (eixo y) representa f(x) e o eixo das abscissas (eixo x) representa o valor de x. Utilize os seguintes pontos notáveis para calcular a função: 0

,

, , , , , Respostas: 15) (a)π/4 (b) 5π/12 (c) 3π/4 (d) 4π (e) π/3 16) (a) 540º (b) 225º (c) 450º (d) 630º (e) 30º (f) 36º 17) 60º

AULA 16 – TRIGONOMETRIA II

Relações fundamentais

(a) sen2x + cos2x = 1 (b) tg x = (c) cotg x = = (d) sec x = (e) cossec x = =

As duas primeiras relações são as mais importantes! As demais podem ser deduzidas a partir dessas duas.

Exercícios

28. Sabendo que sen x = 4/5, calcular as demais funções circulares do ângulo x. (considere 0 < x < )

29. Calcular

m

de modo que se tenha sen x = 2

m

+ 1 e cos x = 4

m

+ 1

30. Demonstre que: tg x + cotg x = sec x + cossec x Soma e subtração de arcos

cos (a + b) = cos a. cos b – sen a. sen b cos (a - b) = cos a. cos b + sen a. sen b sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a

sen (a - b) = sen a. cos b - sen b. cos a tg (a + b) =

tg (a - b) =

Trigonometria para resolução de triângulos quaisquer

Lei dos Cossenos

Exemplo

Dois lados de um triângulo medem 8 cm e 12 cm, formando entre si um angulo de 120°. Calcular o terceiro lado, e os ângulos ̂ e ̂.

Resolução:

Lei dos Senos

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

Exemplo

Calcular os lados b e c de um triângulo ABC no qual

a

= 10 cm, ̂ = 30° e = ̂ 45°.  a = ?

c

b

2R

Exercícios

31. Classificar as medidas dos ângulos internos (agudo, obtuso, reto ou raso) dos triângulos cujos lados são: (a)17, 15, 8 (b) 5, 10, 6 (c) 6, 7, 8

(Lembrando que ângulo agudo <90 , ângulo obtuso > 90 , ângulo reto = 90 e ângulo raso = 180 )

32. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo retângulo ABC em que b = 15 cm e ̂ .

33. Calcular os ângulos ̂ e ̂ de um triângulo em que a = 10, b = √ e ̂ . Dado: sen 14⁰ = √

34. Em um triangulo ABC sabe-se que ̂ = 2 ̂ e ̂ = 60 . Calcular os outros dois ângulos.

35. Calcule os três ângulos ̂, ̂ e ̂de um triângulo, sabendo que ̂= 2 ̂ = 6 ̂

Respostas:

31) cos x = 3/5, tg x = 4/3 32)r = 5√ 33) ̂=14⁰ e ̂=106⁰

34) ̂= 40⁰ e ̂=80⁰

AULA 17

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

Uma função que associa números naturais (1, 2, 3, 4, ... n) a números reais é denominada sequência ou sucessão. É comum indicar a sequência por (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an), onde n indica o número de termos da sequência.

Os elementos de uma sequência pode ser escrita pela Lei

de Recorrência ou pela Lei de Formação.

I) Lei de Formação (exemplo):

Determine os cinco primeiros termos da sequência definida pela fórmula an = 3n2 + 2, n  N*

Atribuindo os valores permitidos a n, obtemos: (5, 14, 29, 50, 77, ...)

II) Lei de Recorrência (exemplo):

Vamos definir a sequência definida pelas relações:

Determinaremos o 2⁰ termo a partir do 1⁰, o 3⁰ a partir do 2⁰ e assim por diante. para isso basta atribuirmos valores para n:

a1 = 5

n = 1 → a1+1 = a2 = a1 + 2 = 5 + 2 = 7 n = 2 → a2+1 = a3 = a2 + 2 = 7 + 2 = 9 e por aí vai...

Progressão aritmética (PA) é uma sequência de números

reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2⁰ e o termo antecedente é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada razão.

Por exemplo:

(2, 5, 8, 11, ...) → r = 3 (7, 7, 7, 7, ...) → r = 0 (11, 6, 1, -4, -9, ... ) → r = -5

Se r > 0 a progressão é chamada crescente; Se r < 0 a progressão é chamada decrescente; Se r = 0 a progressão é chamada constante;

Termo geral da PA

( )

A expressão acima permite escrever qualquer termo em função de a1 e r. Por exemplo, para uma PA com a1 = 4 e r = 5, podemos escrever:

a7 = a1 + (7 – 1).5 → a7 = 34

Soma dos n primeiros termos da PA

( ) EXERCICIOS

36. Calcule o 20⁰ termo da PA (26, 31, 26, 41, ...). 37. Determine x, de modo que (x, 2x + 1, 5x + 7) seja

uma PA.

38. Em relação a PA (52, 44, 36, 28, ...) determine (a) o seu 18⁰ termo e (b) a soma a19 + a25.

39. Determine a PA (a1 e r) em que o 10⁰ termo vale 16 e a soma do 5⁰ com o 9⁰ vale 2.

40. Determine a, de modo que [a2, (a + 1)2, (a + 5)2] seja uma PA.

41. Obter uma PA de três termos tais que a soma seja 15 e o produto seja 80.

a1 = 5

an+1 = an + 2, n  N.

42. Obter uma PA a de quatro termos onde a soma é 45 e o produto vale 7560.

43. Calcular o 21º termo da PA, onde o primeiro termo é 3 e a razão e 4.

44. Obter a razão da PA em que a2 = 9 e a14 = 45. 45. Obter o primeiro termo e a razão da PA em que a4 +

a25 = - 44 e a7 + a15 = - 8

46. Qual é o índice n e qual é o valor do primeiro termo negativo da PA (60, 53, 46, ...)?

47. Qual o milésimo número ímpar positivo?

48. Uma sucessão de números igualmente distantes um após o outro, tem como décimo e vigésimo termos, respectivamente os números 43 e 83. Qual é o trigésimo termo desta sucessão?

49. Quantos números inteiros e positivos, formados por 3 algarismos são múltiplos de 13?

50. Inserindo-se 9 meios aritméticos entre 15 e 45 qual será a razão da PA?

51. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da seqüência dos inteiros positivos.

52. Calcule a soma dos 15 termos iniciais da seqüência (-4, -1, 2, 5, ...).

53. Calcule a soma dos números pares de 4 até 100. 54. Obter a soma dos n elementos iniciais da seqüência

( )

55. Qual é o 25º elemento da PA de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255?

Respostas: 36) 121 37) -5/2 38)a1 = -84 e S = -232

39)r = 5 e a1 = -29 41) (8, 5, 2) ou (2, 5, 8) 46) n=10, a10=-3

AULA 18

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

Definição: Progressão geométrica (PG) é a sequência de

números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo. Essa constante é chamada de razão da PG e é indicada por q. Por exemplo: (5, 10, 20, 40, ...) é PG de razão 2.

(9, 3, 1, , ...) é PG de razão .

Termo geral da PG

A fórmula acima é o termo geral da PG e a partir dela podemos escrever qualquer termo em função do 1⁰ termo e da razão q. Por exemplo:

a6 = a1.q5 a29=a1.q28

Soma dos n primeiros termos de uma PG

( )

A fórmula acima é válida para q ≠ 1. Se isto ocorrer, todos os termos serão iguais e ela será constante.

EXERCÍCIOS

56. Determine a PG em que a1 = 2 e q = 3.

57. Determine o 12⁰ termo da PG em que a1 = 5 e q = 2. 58. Encontre a razão, o 5º e o 7º termo da PG (1, 3, 9,

...).

59. Qual a soma dos múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos?

60. Encontre a PG cujos elementos satisfazem as relações: a2 + a4 + a6 = 10 e a3 + a5 + a7 = 30.

61. Calcular o número de elementos da PG onde q = , a1 = 6144 e o último termo vale 3.

62. Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes: Janeiro: R$ 98,00 Fevereiro: R$ 99,96 Março: R$ 101,96 Abril: R$ 104,00 Maio: R$ 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

63. Qual é o número para o qual converge a série:

? Respostas: 56) (2, 6, 18, 54) 57) a12 = 10.240 58) q = 3, a5 = 81, a7 = 729 63) 4a/5

AULA 19 – POLINÔMIOS

A função expressa por:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn

é chamada função polinomial de ordem n, nN. Por exemplo:

 f(x) = 3 + x2 – 2x3 é um polinômio de grau 3 com a0 = 3, a1 = 0, a2 = 1 e a3 = -2.

 g(x) = x2 + x6 é um polinômio de grau 7 com a0 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0, a6 = 1 e a1 = 1

Obs: f(x) = 4 não é um polinômio porque ¾ não N

Igualdade de polinômios

devemos ter: a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3

Exemplo Considere que:

f(x) = 2a +2bx –cx2 e g(x) = 4 + (b- )x + 5x2 para termos f(x) = g(x) devemos fazer:

2a = 4 → a=2; 2b = b - 1 → b = -1; -c = 5 → c= -5 Portanto,

g(x) = f(x) = 4 + -2x -5x2

Soma de polinômios

Dados dois polinômios f(x) e g(x) por:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 e g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x3

Chama-se soma (f + g)(x) o polinômio que se obtém por: (f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + (a3 + b3)x3 Exemplo Somar f(x) = 4 + 3x + x2 e g(x) = 5 + 3x2 + x5 f(x) = 4 + 3x + x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 g(x) = 5 + 0x +3x2 + 0x3 + 0x4 + x5 (f+g)(x) = (4+5)+ (3+0)x + (1+3)x2 + (0+0)x3 + (0+0)x4 + (0+1)x5 (f+g)(x) = 9 + 3x + 4x2 + x5 EXERCÍCIOS

64. Dado o polinômio f(x) = 2 +3x – x2, calcule f(1), f(4), f(-2) e f(3x)

65. Determinar os números a, b, c e d para que f(x) seja o polinômio nulo. f(x) = (a-2)x3 + (3b-1)x2 + (2c+2)x + d 66. Dado dois polinômios:

f(x) = (a-1)x2 +bx + c e g(x) = 2ax2 +2bx – c. (a) Determine a condição para que f(x) = g(x). (b) Determine f(2) e g(2) se a=b=1 e c=2.

(c) Determine (f+g)(x) na condição do item b e dê o valor de (f+g)(2). Pode-se concluir que f(2) + g(2) = (f+g)(2)? 67. Dados os polinômios f(x) = 7 – 2x + 4x2 g(x) = 5 + x + x2 _{+ 5x}3 h(x) = 2 – 3x + x4 Calcule (f+g)(x), (g-h)(x), (h-f)(x) Respostas: 64) f(1)=4, f(4)=-2, f(-2)=-8, f(3x)=2+9x-9x2. 65) a=2, b=1/3, c=-1, d=0 66)(a) a=-1, b=0, c=0 (b) f(2)=4, g(2)=10

QUÍMICA

AULA 5

LIGAÇÔES QUÍMICAS

Os átomos adquirem estabilidade quando suas configurações eletrônicas assemelham-se àquelas dos gases nobres: Hélio He 2 Neônio Ne 2, 8 Argônio Ar 2, 8, 8 Kriptônio Kr 2, 8, 18, 8 Xenônio Xe 2, 8, 18, 18, 8 Radônio Rn 2, 8, 18, 32, 18, 8

Dessa forma, um átomo de sódio (Na) estabiliza-se quando perde um elétron e um átomo de cloro (Cl) estabiliza-se quando ganha um elétron.

O átomo procura "reagir", quimicamente, para passar de uma configuração instável para outra mais estável. Uma das formas de estabilizar-se é "ganhando" ou "perdendo" elétrons. Na figura acima, o

átomo de sódio (Na) transforma-se no íon sódio (Na+)

Regra do Octeto: Um átomo adquire estabilidade quando possui 8 elétrons na camada periférica. Também será estável o átomo que possuir apenas 2 elétrons na camada K.

Ligação iônica é a força que mantém os íons unidos, depois que um átomo cede definitivamente um, dois ou mais elétrons para outro átomo.

Por exemplo, o magnésio (Mg) e o cloro (Cl), para se tornarem estáveis, reagem da seguinte forma:

A reação abreviada é:

Veja a reação entre o alumínio (Al) e o flúor (F):

A reação abreviada é:

Perceba que a ligação iônica ocorre entre um metal e um não-metal (Por quê?). Em geral são os elementos das famílias 1A e 2A que reagem com os elementos das famílias 4A, 5A, 6A e 7A. Os elementos da família 8ª já são estáveis e não reagem.

Ligação Covalente é a ligação onde os átomos compartilham elétrons. Essa ligação ocorre por pares de elétrons.

Veja a reação de formação do gás hidrogênio (H2):

Por exemplo, veja a formação da molécula de gás hidrogênio (H2):

Outro exemplo é a formação da molécula da água (H2O):

Perceba que os elementos das famílias 4A, 5A, 6A e 7A quando se ligam entre si, o resultado é uma ligação covalente.

Ligação Metálica

Os átomos de metais se agrupam de forma ordenada, dando origem aos reticulados cristalinos. Os reticulados unitários mais comuns são mostrados abaixo:

Teoria da Nuvem Eletrônica

Segundo essa teoria o metal seria um aglomerado de átomos neutros e cátions mergulhados em uma nuvem (ou mar) de elétrons livres deslocalizados. Essa nuvem de elétrons funciona como uma “cola” que mantém os átomos unidos. A ligação metálica seria a força eletrostática entre os cátions e esses elétrons deslocalizados.

O tipo de ligação que determinada substância realiza entre suas partículas, determina várias propriedades! Veja a tabela a seguir:

Tipo de Ligação Estado físico Densidade Condutividade Elétrica Covalente Líquidos ou gases baixa conduz quando

dissociados Iônica Sólidos quebradiços média

conduz quando fundidos ou dissociados Metálica Sólidos com alta

maleabilidade e ductibilidade alta sempre conduzem

As ligações iônica, covalente e metálica são chamadas de intramoleculares.

Ligações intermoleculares

Quando a molécula realiza ligação covalente entre seus átomos, existem certas forças que agem de molécula para molécula, são as chamadas ligações intermoleculares. As principais são: Ligações de Hidrogênio e Ligações de Van der Waals.

Ligações de Hidrogênio: Quando existem átomos muito eletronegativos na molécula, eles geram pólos positivos e pólos negativos. O pólo positivo de uma molécula vai atrair o pólo negativo de outra. Observe a molécula da água:

Ligações de Van der Waals: Quando os átomos vão sendo aglomerados, seus elétrons não estarão distribuídos simetricamente a todo instante. A deslocalização de certos elétrons num átomo já causa uma pequena polarização neste átomo.

Por outro lado, elétrons de um átomo repelem elétrons de outros átomos e atraem núcleos vizinhos. Um átomo já "deformado" eletricamente causa induções elétricas mais sensíveis nos átomos vizinhos.

Dizemos que os átomos sofreram uma polarização induzida. Em outras palavras: Se um átomo apresentar distribuição eletrônica "deformada", este desencadeia uma sequencia de polarizações por indução.

Essas cargas induzidas vão gerar pequenas forcas de atração entre os átomos/moléculas. Essa é a ligação de Van der Waals.

EXERCICIOS

1. (FUVEST) A figura abaixo traz um modelo da estrutura microscópica de determinada substância no estado sólido, estendendo-se pelas três dimensões do espaço.

Nesse modelo, cada esfera representa um átomo e cada bastão, uma ligação química entre dois átomos. A substância representada por esse modelo tridimensional pode ser

a) sílica, (SiO2)n. b) diamante, C.

c) cloreto de sódio, NaCl. d) zinco metálico, Zn. e) celulose, (C6H10O5)n

2. (MACK) O composto de fórmula NaHCO3 apresenta em sua estrutura: [Número atômico: H=1; C=6; O=8; Na=11]

a) duas ligações iônicas e quatro ligações covalentes normais.

b) uma ligação iônica e cinco ligações covalentes normais.

c) uma ligação iônica, três ligações covalentes normais e uma ligação covalente dativa.

d) duas ligações iônicas, duas ligações covalentes normais e uma ligação covalente dativa.

e) quatro ligações covalentes normais e uma ligação covalente dativa.

3. (VUNESP) P e Cl têm, respectivamente, 5 e 7 elétrons na camada de valência

a) Escreva a fórmula de Lewis do tricloreto de fósforo. b) Qual é o tipo de ligação formada?

4. (VUNESP) Linus Pauling, recentemente falecido, recebeu o prêmio Nobel de Química em 1954, por seu trabalho sobre a natureza das ligações químicas. Através dos valores das eletronegatividades dos elementos químicos, calculados por Pauling, é possível prever se uma ligação terá caráter covalente ou iônico. Com base nos conceitos de eletronegatividade e de ligação química, pede-se:

a) Identificar dois grupos de elementos da Tabela Periódica que apresentam, respectivamente, as maiores e as menores eletronegatividades.

b) Que tipo de ligação apresentará uma substância binária, formada por um elemento de cada um dos dois grupos identificados?

5. (FEI) Escrever as estruturas de Lewis dos seguintes compostos: CH3Cl (clorometano), HNO2, H2CO3

6. (VUNESP) A única espécie que contém uma ligação tripla é:

(a) HNO3 (b) CO2 (c) AlCl3 d)HCN e)SO3

7. (FUVEST) O elemento A, de número atômico 34, combina-se com o elemento B, de número atômico 17. Quais as configurações eletrônicas de A e de B e qual a fórmula do composto formado?

8. (UFPA) O elemento cálcio apresenta número atômico 20. Considerando-se que o mesmo realize ligação química com um elemento X do grupo dos halogênios, qual será a fórmula do composto formado?

9. (VUNESP) Considere as espécies químicas Br2 e KBr. Dados os números de elétrons na camada de valência, K = 1 e Br = 7, explique, justificando, o tipo de ligação que ocorre entre os átomos de:

a) Bromo, no Br2.

b) Potássio e bromo, no KBr.

10. (Unicamp) Considere as seguintes informações sobre os elementos químicos X, Y e Z:

Elemento Família ou grupo Periodo

X Do oxigênio 2

Y 14 2

Z Dos alcalinos 4

a) Quais são os elementos X, Y e Z? pólo + pólo – pólo – pólo – pólo + pólo – atracao

b) A combinação de dois desses elementos pode formar substâncias não iônicas e gasosas na temperatura ambiente. Escreva a fórmula de uma dessas substâncias. c) Escreva a fórmula de uma substância iônica e sólida formada pela combinação dos três elementos.

Respostas: 1) a 2) b 3) (b) covalente 4) (b) iônica 6) d 7) (a) A: 1s22s22p63s23p64s23d104p4 B: 1s22s22p63s23p5 (b) SeCl2

AULA 6

FUNÇÕES INORGÂNICAS

Dissociação x Ionização

Dissociação: processo em que os compostos iônicos têm

seus íons separados. Esse processo ocorre apenas em compostos que apresentem ligações iônicas.

Ionização: processo em que são produzidos íons a partir

de átomos ou moléculas neutras. Não confundir com a dissociação, que e a separação dos íons.

Eletrólito: é toda substância que, dissociada ou ionizada,

origina íons positivos e negativos pela adição de um solvente ou por aquecimento.

Grau de ionização ()

Quando as moléculas de um ácido estão em solução aquosa, nem todas se ionizam. O grau de ionização mede a porcentagem das moléculas iniciais que geraram íons. O  é calculado da seguinte forma:

Por exemplo: , , H2SO4

Observação: Não confundir forca dos ácidos com

toxicidade!

Ácidos

Definição de Arrhenius: São compostos que, em solução aquosa, se ionizam, liberando como íon positivo apenas o cátion H+.

Exemplos:

HCl + H2O → H3O+ + Cl -H3PO4 + 3H2O → 3H3O+ + PO4

-Classificação dos ácidos

(a) De acordo com o número de hidrogênios ionizáveis (b) De acordo com o grau de ionização

(c) De acordo com a presença ou não de oxigênio na molécula

Formulas

Todo ácido é formado por um cátion H+ e por um átomo (ou grupo de átomos) com carga negativa. Exemplos:

Para escrever a fórmula, e só perceber que a carga de um vira o índice do outro e a carga de outro vira o índice do um.

Nomenclatura

(a) Oxiácidos: Ácido ico.

Ácido oso.

(nome do elemento)

A terminação ICO ou OSO depende do cátion.

(b) Hidrácidos: Ácido ídrico

(nome do elemento) Ácidos importantes: HF → Ácido fluorídrico HCl → Ácido clorídrico H2CO3 → Ácido carbônico H2SO4 → Ácido sulfúrico HNO3 → Ácido nítrico H3PO4 → Ácido fosfórico

Solubilidade

Todos os ácidos são solúveis até que se diga o contrário.

Bases

Definição de Arrhenius: São compostos que, por dissociação iônica, liberam como íon negativo apenas o ânion hidróxido (OH-).

Exemplos:

NaOH → Na+ + OH -Ca(OH)2 → Ca2+ + 2OH

-Classificação

(a) de acordo com o número de hidroxilas (OH-) (b) de acordo com o grau de dissociação (c) de acordo com a solubilidade em água

Fórmulas

Semelhante aos ácidos, porém aqui o íon invariável é a hidroxila: Ca1(OH)2 → Ca2+ + 2OH-1 Nomenclatura Hidróxido de (nome do cátion) Solubilidade Solúveis família 1A + NH4OH Pouco solúveis família 2A

Insolúveis os demais

Bases importantes

NaOH: Hidróxido de cálcio Ca(OH)2: hidróxido de cálcio NH4OH: hidróxido de amônio

Ácidos Bases

Solubilidade em água A maior parte é solúvel

A maior parte é insolúvel (Só os hidróxidos da família A e o NH4OH são solúveis).

Estrutura São moleculares

Hidróxidos das famílias 1A e 2A são iônicos. Os demais são moleculares.

Condutividade Elétrica Só conduzem quando em solução aquosa

Conduzem quando em solução aquosa. Os hidróxidos alcalinos, sendo iônicos, também conduzem quando fundidos,

Sais

São compostos formados juntamente com a água na reação de um ácido com uma base.

Exemplo:

HF + NaOH → NaF + H2O

ácido fluorídrico hidróxido de sódio fluoreto de sódio água Fórmulas

A fórmula do sal fica: By+ + Ax- → BxAy

Nomenclatura

O nome de um sal deriva do nome do ácido e da base que lhe deram origem.

Exemplos:

ácido clorídrico + hidróxido de sódio = cloreto de sódio ácido nitroso + hidróxido de potássio = nitrito de potássio ácido sulfúrico + hidróxido de cálcio = sulfato de cálcio

Solubilidade

SAL SOLUBILIDADE EXCEÇÕES

Nitratos Cloratos Acetatos Solúveis Cloretos Brometos Iodetos Solúveis Ag+, Hg22+, Pb2+ Sulfatos Solúveis Ca2+, Sr2+, Ba2+, Pb2+ Sulfetos Insolúveis Li + , Na+, K+, Rb+, Cs+, NH4+, Ca2+, Sr2+, Ba2+ Outros sais Insolúveis Li+, Na+, K+, Rb+, Cs+, NH4+

Sais importantes

NaCl (cloreto de sódio ou sal de cozinha): É obtido da água do mar (processo de salinas) ou de minas subterrâneas (sal gema). O uso mais importante é para produção de NaOH, H2 e Cl2 pela reação:

2NaCl(aq) + 2H2O(l)

→ 2NaOH(aq) + H2(g) + Cl2(g) Na2CO3 (carbonato de sódio): usado na produção de vidro pela reação:

Na2CO3(aq) + CaCO3(aq) + SiO2(s)

→ vidro

NaOCl (hipoclorito de sódio): é agente anti-séptico. Também é alvejante usado no branqueamento de roupas e no tratamento de piscinas (água sanitária).

CaCO3 (carbonato de cálcio): muito comum na natureza na forma de mármore, calcita ou calcário. A produção de cal virgem é dada pela equação química:

CaCO3(aq)

→ CaO + CO2(g)

Obs: A decomposição pelo calor é chamada pirólise.

Óxidos

São compostos binários nos quais o oxigênio é o elemento mais eletronegativo*.

*Você lembra a fila de eletronegatividade? F>O>N>Cl>Br>I>S>C>P>H

Exemplos: H2O, CO2, Fe2O3, SO2, P2O5, etc. Fórmula geral

Considerando um elemento químico E, com número de oxidação +Z e lembrando que o oxigênio tem número de oxidação -2, temos: _{ou seja: E} 2Oz Outros exemplos: _{ou seja: Al} 2O3 _{ou seja: Na} 2O Nomenclatura

(mono, di, tri) óxido de (di, tri, tetra) .

nome do elemento

Exemplos

CO: Monóxido de carbono CO2: Dióxido de carbono SO3: Trióxido de enxofre EXERCÍCIOS

11. (Unicamp) Água pura é um mal condutor de energia elétrica. O ácido sulfúrico (H2SO4) puro também é um mal condutor. A solução resultante da mistura dessas duas substâncias é boa condutora. Por quê? 12. Dissolvendo-se 600 moléculas de uma substância em

água, verificou-se que 15 moléculas sofreram ionização. Qual é o grau de ionização () dessa substância?

13. Classifique os ácidos HClO4, H2MnO4, H3PO3, H4Sb2O7 quanto ao número de hidrogênios ionizáveis (mono, di, tri ou tetra ácidos).

14. Escreva a fórmula estrutural do H3PO2, sabendo que se trata de um monoácido.

15. Explique por que é praticamente impossível medir a condutividade de uma base que não seja de metal alcalino.

16. (Fuvest) Um elemento metálico M forma um cloreto de fórmula MCl3. Qual a fórmula de seu sulfato? 17. Conhecendo as seguintes fórmulas e nomes:

H2SO4 — ácido sulfúrico H2SO3 — ácido sulfuroso H2S — ácido sulfídrico

Deduza as fórmulas e os nomes dos ácidos correspondentes, formados pelos elementos químicos selênio (Se) e telúrio (Te), que aparecem na mesma coluna (6A) em que se encontra o enxofre (S) na Tabela Periódica.

18. Correlacione os ácidos da 1a coluna com as respectivas características e aplicações listadas na 2a coluna.

I- H2SO4 ( ) Encontrado como ácido muriático II- H3PO4 ( ) Usado para temperar saladas III- HCl ( ) Adicionado em refrigerantes IV- CH3COOH ( ) Adicionado em baterias de carros V- HCN ( )Extremamente tóxico

Marque a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo.

a) I, II, IV, V, III b) III, IV, II, I, V c) IV, II, III,V, I d) IV, II, I,III, IV

19. À temperatura ambiente, o cloreto de sódio, NaCl, é sólido e o cloreto de hidrogênio, é um gás. Estas duas substâncias podem ser líquidas em temperaturas adequadas.

(a) Por que, no estado líquido, o NaCl é um bom condutor de eletricidade, enquanto que no estado sólido, não é?

(b) Por que, no estado líquido, o HCl é um mal condutor de eletricidade?

(c) Por que, em solução aquosa, ambos são bons condutores de eletricidade?

20. As fórmulas corretas do ácido e da base que, por neutralização, produzem CaSO4, além de água, são, respectivamente,

a) H2SO4 e CaCl2. b) H2SO4 e Ca(OH)2. c) H2SO3 e CaH2. d) H2S e CaO. e) H2S e Ca(OH)2.

Respostas

11) A água (H2O) e o H2SO4 puros são compostos moleculares e portanto, mal

condutores de eletricidade. Quando o H2SO4 entra em contato com a água ele se

ioniza formando íons H+ e SO42-. Em solução aquosa esses íons estarão livres para

transportar a corrente elétrica. 12)  = 15/600 = 1/40 = 0,025 = 2,5%. 13) monoácido→HClO4; diácido→H2MnO4; diácido→H3PO3 (Apesar desse ácido conter

3 hidrogênios, somente dois são ionizáveis. Dica: peça para o professor escrever a fórmula deste ácido para vocês verem porque é diácido!); tetrácido→H4Sb2O7.

14) As bases de metais não-alcalinos são compostos moleculares e portanto, não conduzem corrente elétrica. 15) Para formar o composto MCl3, o elemento M

deve formar um cátion M3+_{. Na união com o íon sulfato (SO}

42-) formará o composto

M2(SO4)3. 17) H2SeO4 — ácido selênico; H2SeO3 — ácido selenoso; H2Se — ácido

selenídrico; H2TeO4 — ácido telúrico; H2TeO3 — ácido teluroso; H2Te — ácido

telurídrico. 18) (b) 20) (b)

AULA 7

Balanceamento de Equações Químicas

Balancear significa acertar os coeficientes da equação de forma que as quantidades de átomos no inicio da reação seja igual as quantidades de átomos no final.

Duas formas de balanceamento 1) Por tentativas (chutar valores!) 2) Por óxido-redução

Método por Tentativas - Regras práticas

I) começar pelo elemento que aparece apenas 1 vez nos reagentes e apenas uma vez nos produtos;

II) preferir o elemento (ou ânion) que possua os maiores índices (maiores quantidades);

III) escolhido o elemento (ou ânion), transpor seus índices de um membro para outro, usando-os como coeficientes;

IV) prosseguir com os outros elementos (ou ânions), usando o mesmo raciocínio ate o final do balanceamento.

Exemplo 1

Balancear a equação química Al + O2 → Al2O3

Regra I) É indiferente começar com o Al ou com o O. Regra II) Preferir o O, que possui os maiores índices (2 e 3) Regra III) Al + 3 O2 → 2 Al2O3

Regra IV) Agora só falta acertar o Al 4Al + 3O2 → 2 Al2O3

Resposta: 4Al + 3O2 → 2Al2O3

No balanceamento, estamos mais interessados na proporção entre os coeficientes do que nos coeficientes em si. Por isso, podemos multiplicar ou dividir todos os coeficientes por um mesmo número.

A equação 4Al + 3O2 → 2Al2O3

equivale a 8Al + 6O2 → 4Al2O3(coeficientes multiplicados por 2) ou a 2Al + O2 → Al2O3(coeficientes divididos por 2)

Entretanto, é sempre preferível a primeira representação, em que os coeficientes são números inteiros e os menores possíveis.

Exemplo 2

Balancear a equação CaO + P2O5 → Ca3(PO4)2

Regra I) devemos iniciar com o Ca ou P, porque o O já aparece duas vezes nos reagentes (CaO e P2O5).

Regra II) prefere-se o Ca, que possui índices maiores (1 e 3)

Regra III) 3 Ca1O + P2O5 → 1 Ca3(PO4)2 Regra IV) por fim, acerta-se o P:

3 CaO + 1 P2O5 → 1 Ca3(P1O4)2 Resposta: 3CaO + P2O5 → Ca3(PO4)2

Observe que, na equação final, o oxigênio ficou automaticamente acertado com 3 + 5 = 4 . 2 = 8 átomos, antes e depois da reação. Observe também que, embora na equação final não seja necessário escrever o coeficiente 1, é prudente conservá-lo ate o final, para lembrar que ele já foi acertado.

Exemplo 3

Balancear: Al(OH)3 + H2SO4 → Al2(SO4)3 + H2O

Regra I) devemos começar com o Al, o S ou com o radical SO4 (e não com o H e o O, que aparecem várias vezes) Regra II) preferimos o SO4, que apresenta índices maiores (1 e 3).

Regra III) Al(OH)3 + 3 H2(SO4)1 → 1 Al2(SO4)3 + H2O Regra IV) prosseguimos com o Al:

2 Al(OH)3 + 3 H2SO4 → 1 Al2(SO4)3 + H2O

Finalmente o coeficiente da água pode ser acertado pela contagem dos H’s ou dos O’s:

2 Al(OH)3 + 3 H2SO4 → Al2(SO4)3 + 6 H2O Exercícios

21. Faça o balanceamento das seguintes equações químicas:

Cl = 1*2 = 2 P = oxx nro de átomos = 3*4 = 12 N = 3*1 = 3 P = 5*1 = 5 (a) Fe + O2 → Fe2O3 (b) NaOH + H3PO3→ Na3PO3 + H2O (c) CaC2O7 + KOH → Ca(OH)2 + K2C2O7

(d) C6H12O6 + O2 → CO2 + H2O (reação da respiração) Número de Oxido-redução

Oxidação: é quando ocorre perda de elétrons Redução é quando ocorre ganho de elétrons

Reação de oxido-redução: é quando ocorre transferência de elétrons.

Por exemplo

O número de oxidação do Na é +1 e o do Cl é -1.

Entretanto podemos estender o conceito de número de oxidação também para os compostos covalentes, dizendo que é a carga elétrica que teoricamente o átomo iria adquirir se houvesse quebra da ligação covalente, ficando os elétrons com o átomo mais eletronegativo.

Por exemplo: Na água (H2O), o oxigênio é mais eletronegativo que os hidrogênios. Se houvesse quebra da ligação os elétrons ficariam com o oxigênio. Portanto o número de oxidação de cada hidrogênio seria +1 e o número de oxidação do oxigênio seria -2:

Resumindo, podemos dizer que: Nos íons simples, o número de oxidação é a carga elétrica real do íon. Nos compostos covalentes, o número de oxidação é a carga elétrica que o átomo iria teoricamente adquirir se houvesse ruptura da ligação covalente, ficando os elétrons com o átomo mais eletronegativo.

É importante lembrar que:

 O Nox de um elemento ou substância simples é sempre zero;

 O Nox do oxigênio é sempre -2 (exceto nos peróxidos);

 O Nox do hidrogênio é sempre +1 (exceto nos hidretos metálicos)

 O Nox dos elementos das famílias A pode ser deduzido do próprio nome da família, de acordo com a tabela abaixo:

Família 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A Nox máximo +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 Nox mínimo -4 -3 -2 -1 Exemplos:

Calcule o número de oxidação do fósforo (P) na fórmula abaixo:

Calcule o número de oxidação do C no Na2CO3.

Devemos lembrar que nos íons, a soma dos Nox de todos os elementos é igual à carga do íon.

Calcule o número de oxidação do Mn no íon MnO4–.

Calcule o número de oxidação do fósforo no íon P2O74–.

Exercícios

22. Calcule o Nox dos elementos em negrito nas fórmulas abaixo:

H3PO3, H2SO4, K2C2O7, HNO3, NH4+, SiF62- . Balanceamento por Óxido-redução

I) Descobrir as mudanças nos números de oxidação; II) Calcular o número de elétrons cedidos e recebidos através da multiplicação da variação () nos valores de oxidação e redução pela quantidade de átomos que cedem/recebem elétrons;

III) Determinação dos demais coeficientes pelo método das tentativas. Exemplo 1 Balancear P4 + Cl2 → PCl3 P4 + Cl2 → PCl3 NOX 0 0 Cl = -1 → P = +3 Cl P4 + P Cl2 → PCl3 Portanto: P4 +  Cl2 → PCl3 Com os coeficientes de P4 e Cl2 determinados é só acertar o PCl3 através do P.

P4 +  Cl2 → 8 PCl3

Os coeficientes dever ser os menores inteiros possíveis. Para finalizar é preciso simplificar por 2:

P4 +  Cl2 → 4 PCl3 Exemplo: Balancear: P + HNO3 + H2O → H3PO4 + NO 0 +5 +5 +2  P + P HNO3 + H2O → H3PO4 + NO 3 P + 5 HNO3 + H2O → H3PO4 + NO

A partir dos coeficientes do P e do HNO3 determinamos os outros coeficientes por tentativas.

3 P + 5 HNO3 + 2 H2O → 3 H3PO4 + 5 NO

Exercícios

23. Indique os coeficientes estequiométricos da reação a seguir: CaO + P2O5 → Ca3(PO4)2

24. Quais os coeficientes que balanceiam a reação: Aℓ2O3 → Aℓ + O2

25. O óxido de alumínio (Aℓ2O3) é utilizado como antiácido. A reação que ocorre no estômago é: xAℓ2O3 + yHCℓ → zAℓCℓ3 + wH2O

26. Balanceie a equação química a seguir: Ca(OH)2 + H3PO4 → Ca3(PO4)2 + H2O 27. Balanceie a equação química a seguir:

BaO + As2O5 → Ba3(AsO4)2

28. Calcule a soma dos coeficientes da reação balanceada:

C3H8O + O2 → CO2 + H2O 29. Faça o balanceamento da equação química:

Fe + H2O → Fe3O4 + H2 30. Balanceie a equação:

Zn+ + Cu2+ + SO42- → Zn2+ + SO42- + Cu

Respostas

21) a) 4Fe + 3O2 → 2Fe2O3; b) 3NaOH + H3PO3→ Na3PO3 + 3H2O;

(c) CaC2O7 + 2KOH → Ca(OH)2 + K2C2O7

(d) C6H12O6 + 6O2 → 6CO2 + 6H2O

22) H3PO3→Nox=+3, H2SO4→ Nox=+6, K2C2O7→ Nox=+6, HNO3→ Nox=+5,

NH4+→ Nox=-3, SiF62-→ Nox=+4.

23)3CaO + 1P2O5 → 1Ca3(PO4)2 24) 1Aℓ2O3 → 2Aℓ +3O2

25) x, y, z, w valem 1, 6, 2, 3, respectivamente. 26) 3Ca(OH)2 + 2H3PO4 → 1Ca3(PO4)2 + 6H2O

27) 3BaO + 1As2O5 → 1Ba3(AsO4)2

28) 25/2 29) 3Fe + 4H2O → 1Fe3O4 + 4H2

30) 2Zn+ _{+ 1Cu}2+ _{+ SO}

42- → 2Zn2+ + SO42- + 1Cu (balanceie as cargas elétricas)

AULA 8

Estudo dos Gases

Lei de Boyle

Sob temperatura constante, o volume ocupado por determinada massa de gás é inversamente proporcional à sua pressão. Matematicamente:

P1V1 = P2V2 = constante

Ley de Gay-Lussac

Sob pressão constante, o volume ocupado por determinada massa de gás é diretamente proporcional à sua temperatura absoluta. Matematicamente:

Lei de Charles

Sob volume constante, a pressão exercida por determinada massa de gás é diretamente proporcional à sua temperatura absoluta. Matematicamente:

Equação Geral dos Gases

Um gás que obedeça rigorosamente as condições acima é chamado gás ideal. Os gases reais se aproximam dos ideais quando estão submetidos a baixas pressões e altas temperaturas. As condições padronizadas de temperatura e pressão, chamadas Condições Normais de Temperatura e Pressão (CNTP), são T0 = 273K e P0 = 1 atm.

Vamos agora calcular o valor da constante que aparece na equação geral nas CNTP:

Sabe-se que 1 mol de um gás ideal ocupa o volume de 22,4L. Substituindo os valores de T0 e P0 na equação acima, obtemos:

4

7 ⁄ O valor que obtemos para a constante é chamado de Constante Universal dos Gases (símbolo R).

Sabe-se ainda que o volume de um gás é diretamente proporcional ao seu número de mols. Portanto,

para 1 mol temos: para 2 mols temos: para n mols temos:

A generalização nos leva à famosa equação de Clapeyron:

onde:

P - Pressão em que o gás se encontra V - Volume do gás

n - número de mols do gás (n = m/M onde m é a massa e M é a massa molar).

R - constante universal dos gases T - temperatura absoluta (em Kelvins).

Unidades de pressão: 1 atm = 76 cmHg = 760 mmHg = 760 torr Unidades de volume: 1m3 = 1000L e 1L = 1(0,01m)3 = 1dm3 Unidades de temperatura: TKelvin = TCelcius + 273

Dependendo das unidades com que se trabalhe, podemos obter os seguintes valores para R:

R = 0; 082 = 62,3 = 8,31

Observação 1: A equação geral é utilizada para estudar as transformações pelas quais o gás passa. A Equação de Clapeyron é para se estudar o gás em si.

Observação 2: Podemos obter a densidade do gás a partir da Eq. de Clapeyron:

Exercícios

31. (ITA-SP) A pressão total do ar no interior de um pneu era de 2,30 atm quando a temperatura do pneu era de 27 ⁰C. Depois de ter rodado certo tempo com esse pneu, mediu-se novamente sua pressão e verificou-se que ela era agora de 2,53 atm. Supondo uma variação do volume do pneu desprezível, qual a nova temperatura (em ⁰C)?

32. (Unaerp-SP) O argônio é um gás raro utilizado em solda de peças de aço inoxidável. Qual a massa de argônio contida num cilindro de 9,84 L que, a 27 ⁰C, exerce uma pressão de 5 atm? Dado: Mar = 40g/mol 33. Calcular a densidade do gás carbônico (CO2) em

relação ao gás metano (CH4). Dado: C = 12g/mol, O = 16g/mol, H = 1g/mol.

34. No comércio se encontra o oxigênio, comprimido à pressão de 120 atm, em cilindros de aço de 41 L. Quantos quilogramas de oxigênio existem no cilindro? (O = 16 g/mol; Tamb = 27 ⁰C)

35. O suco de fruta encontrado nas prateleiras dos supermercados contém conservantes químicos, e um desses é o dióxido de enxofre (SO2), substância gasosa nas condições ambientes. Tempos atrás, os jornais, rádios e as TVs anunciaram a retirada de muitos desses sucos do mercado, pelo fato de conterem um teor de conservante maior que o permitido comercialmente. Sabendo-se que o SO2 é um gás dissolvido no suco, qual a quantidade (em mol) dessa substância contida num recipiente de 1,0 L, sob pressão de 22,4 atm, mantido a 273 K? 36. Um dos equipamentos mais comuns de camping é o

botijão de gás propano (C3H8), de volume igual a 5,0 L e conteúdo de 3,0 kg de propano líquido. Qual deve ser o volume aproximado que esse gás ocupa a 25 ⁰C e a 1 atm?

37. Calcule a densidade absoluta do CO2 nas CNTP e a 47⁰C e 1,6 atm

38. Calcule a densidade absoluta do H2 nas CNTP e a 17⁰C e 0,58 atm.

39. (FUVEST-SP) Uma concentração de 0,4% de CO no ar (em volume) produz a morte de um indivíduo em um tempo relativamente curto. O motor de um carro desajustado pode produzir 0,67 mols de CO por minuto. Se o carro ficar ligado em uma garagem fechada, com volume de 41.000 litros, a 27 ⁰C, em quanto tempo a concentração de CO atingirá o valor mortal? Suponha que a pressão total se mantenha constante, com valor de 1,0 atm, e que a concentração de CO inicial no ar seja nula.

40. (ITA-SP) Dois balões de mesmo volume são unidos por um tubo de volume desprezível, provido de torneira. Inicialmente o balão A contém 1 mol de um gás ideal e em B há vácuo. Os dois balões são mantidos às temperaturas indicadas na figura. A torneira é aberta durante certo tempo. Após a torneira ser fechada, verifica-se que a pressão em B

é 0,81 do valor da pressão em A. Quanto do gás deve ter sobrado no balão A?

41. (FUVEST) Um congelador doméstico (freezer) está regulado para manter a temperatura de seu interior a –18⁰C. Sendo a temperatura ambiente igual a 27⁰C (ou seja, 300K), o congelador é aberto e, pouco depois, fechado novamente. Suponha que o freezer tenha boa vedação e que tenha ficado aberto o tempo necessário para o ar em seu interior ser trocado por ar ambiente. Quando a temperatura do ar no freezer voltar atingir –18⁰C, a pressão em seu interior será:

a) cerca de 150% da pressão atmosférica; b) cerca de 118% da pressão atmosférica; c) igual à pressão atmosférica;

d) cerca de 85% da pressão atmosférica; e) cerca de 67% da pressão atmosférica.

Respostas 31) 57⁰C 32) 80g 33) dCO2/dCH4 = 2,75 34) 6, 4Kg 35) 1 mol 36) 1.700L 37) dCNTP = 2,0 g/L e d47⁰, 1, 6atm = 2,7 g/L 39) 10 min. 40) zero 41) d A T= 400K B T= 324K